等差数列易错题分析
SXC168高考数学必修_剖析等差数列中常见错误
剖析等差数列中常见错误在数列这一章的学习中，如果审题不清和概念模糊，就不能识破题设设置的各种“陷阱”，造成各种解题错误.怎样才能准确地识别试题设置的“陷阱”，并迅速避开，实现正确的解题呢？①正确理解基本概念和理论；②全面分析并灵活运用已知条件；③重视题设中的限定条件；④克服思维定势；⑤养成对结果验证的习惯；⑥注意转化过程的等价性等.下面就数列中常见错误进行分类解析.一﹑忽视公差d ＝0的情形在解答等差数列的有关问题时，如果忽视存在公差d ＝0时情况，可能使整个变形过程不具有等价性.例1 已知{a n }是正项等差数列，求证：1a 1+a 2+1a 2+a 3+…+1a v +a v+1=n a 1+a v+1. 错证：设公差为d ，则a 2-a 1=a 3-a 2=…=a n+1-a n =d ，a n+1=a 1+nd ， ∴1a 1+a 2+1a 2+a 3+…+1a v +a v+1=a 2-a 1a 2-a 1+a 3-a 2a 3-a 2+…+a n+1-a n a n+1-a n =a n+1-a 1d =a n+1-a 1d a n+1+a 1=nd d a n+1+a 1=n a 1+a v+1. 剖析：上面的证明只有在d ≠0时，证明过程才是等价变形，因此，本题忽视了d=0的特殊情形，正确证明需分d=0和d ≠0两种情形.当d ≠0时，证明如上；当d=0时， a 1=a 2=a 3=…=a n+1，左式=n 2a 1=右边，所以，原式成立.二、忽视a n 与S n 的关系中n ≥2的情形在利用a n 与S n 的关系中，a n =S n ﹣S n －1，成立的条件是n ≥2，求出a n 中不包括a 1，而a 1应由a 1=S 1求出，还需检验a 1是否在a n 中，学生往往易在此处出错.例2 已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+3n+1(n ∈N*)，求a 1+a 3+a 5+…+a 21的值.错解：由公式a n =S n ﹣S n －1，得a n =2n+2，故a 1=4，a 3=8，a 21=14，∴a 1+a 3+a 5+…+a 21=4+8+12+…+44=11×(4+44)2=264. 剖析：上面解法在运用a n =S n ﹣S n －1时，忽略了公式的适用范围n ≥2，从而误认为{a 2n －1}是等差数列，实质上，由S n =n 2+3n+1(n ∈N*)，a 1=S 1=5，a 1不在a n 中，故数列{a 2n －1}从第二项起，即a 3、a 5、…、a 21为等差数列，所以a 1+a 3+a 5+…+a 21=265.三﹑忽视等差数列的前n 项公式的特点当等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数，且常数项为0，因此，当题中出现两个等差数列的前n 项和公式之比时，易将关于n 的一次之比作为前n 项和之比进行处理，对等差数列的前n 项和公式认识不够全面，忽视公式特点造成的.例3 已知两个数列{a n }和{b n }的前n 项之和为S n 和T n ，且对一切正整数n 都有S n T n =5n+32n+7，试求a 9b 9的值. 错解：设S n =(5n+3)k ，T n = (2n+7)k ，于是a 9=S 9﹣S 8=(5×9+3)k ﹣(5×8+3)k=5k ，b 9=T 9﹣T 8=(2×9+7)k ﹣(2×8+7)k=2k ，∴a 9b 9=52. 剖析：上述解法错误在利用S n T n =5n+32n+7，设S n =(5n+3)k ，T n = (2n+7)k 的过程中错误地把k 认为是与n 无关的常数.其实，等差数列的前n 项和公式S n =na 1+12·(n-1)nd 是关于n 的二次函数，且常数项为0，所以，其正确解法应设S n =(5n+3)n k ，T n = (2n+7)n k ，由此仿照上法解法不难求得a 9b 9=8841.或利用等差数列的中项性质，则可迅速求解：a 9b 9=a 1+a n 2·17b 1+b n 2·17=S 17T 17=5·17+32·17+3=8841. 四﹑忽视等差数列中项为零的情况在等差数列的前n 项的最值中，若其中有一项为0，则前n 项和的最大值或最小值有2项，若等差数列中任一项都不为0，则最大值或最小值有1项.例4 在等差数列{a n }中，已知a 1=20，前n 项为S n ，且S 10=S 15，求当n 取何值时，S n 有最大值，并求它的最大值.错解：设公差为d ，则由S 10=S 15，得10×20+10×92·d ＝15×20+15×142·d ，解得 d=﹣53， ∴a n ＝﹣53n+653，a n ＝﹣53n+653＞0, 解得n ＜13，所以，当n=12时，S 12为最大. 剖析：上面的解法，忽略了S 13=0的情况，事实上，由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＝﹣53n+653≥0a n+1＝﹣53(n+1)+653≤0，解得12≤n ≤13， 由此可知，当n=12或n=13时，S n 有最大值.易求得S n 有最大值为130.五、忽视项数满足的条件：n ∈N*由于数列是定义域为正整数集(或它的有限子集{1，2，3，…n}的函数，在解题中如果不注意对结果的验证，会造成n ∈／N*.例5 在等差数列{a n }中，a 2=3，a n =12，S n =30，求公差d .错解：由已知，得a 2﹣d=a 1，a n =a 2﹣d+(n ﹣1)d .∴S n =(a 2﹣d )+a n 2·n ，即60=[(3﹣d)+12]n. 又12=(3﹣d)+(n ﹣1)d ，消去n ，得2d 2+39d ﹣135=0，解得d=3，d=﹣452. 剖析：若d=﹣452，代入S n ，解出n=85∉N *，应舍去.经检验，d=3为所求.因此解这类问题一定要检验n 值是否符合题意，若n 不已知，不论是求d ，还是求其它元素如a 1，a n ，S n ，都要先求出n 的值.只有当n ∈N *时，问题都有意义，这是数列及其通项公式a n ==f(n)这函数解析式的特点.六、混淆等差数列通项性质与前n 项和的性质由于受思维定势的影响，在解答等差数列时，容易把通项具有性质错误用作前n 项和的性质，造成概念上的错误.例6等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，求它的前3m 项和.错解：由等差数列的性质得S m ,S 2m ,S 3m 成等差数列，则2S 2m =S m +S 3m ，故S 3m =2S 2m -S m =170. 剖析：上述解法错误理解了等差数列前n 项和的有关性质，应该是S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m 成等差数列，即2(S 2m -S m )=S m +(S 3m -S 2m )，∴2(100-30)=30+(S 3m -100)，则S 3m =210.七、忽略对等差数列项数n 的讨论在等差数列中，求前n 项绝对值之和时，对正负项都存在等差数列的项数必须讨论，否则会致误. 例7已知数列{a n }的前n 项和S n =10n-n 2(n ∈N +)，求数列{|a n |}的前n 项和T n .错解：当n ＝1时，a 1＝S 1＝9；当n ≥2时，a n =S n －S n-1＝11－2n ，因为当n ＝1时a 1＝9也满足11－2n ，由11-2n ＞0，得n ＜112，即从第6项开始数列各项为负，∴T n ＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5－a 6－a 7－a 8－a 9－…－a n ＝－a 1－a 2－a 3－a 4－a 5－a 6－a 7－a 8－a 9－…－a n ＋2S 5＝－S n ＋2S 5＝n 2－10n ＋50－25＝n 2－10n ＋25.剖析：错解用等式T n =a 1+a 2+a 3+a 4+a 5-a 6-a 7-a 8-a 9-…-a n 来求{|a n |}的前n 项和，已肯定了n ＞5的前提，而事实上n 未必大于5，∵当n ≤5时，T n =S n ，而不是T n =a 1+a 2+a 3+a 4+a 5-a 6-a 7-a 8-a 9-…-a n ，所以数列{|a n |}的前n 项和应对n 是否大于5进行分类讨论，正确答案为：T n =⎩⎨⎧ 10n-n 2……n ≤5n 2-10n+25…n ＞5. 八、忽视隐含条件对数列题中的隐含条件历来都是一个难点问题，须透彻分析题中的各个条件，挖掘出隐含条件. 例6已知等差数列{a n }中，a 1=-3，且由第5项开始都是正数，求公差d 的取值范围.错解：依题意得：a 5=-3+4d ＞0，所以d ＞34. 剖析：忽视隐含条件前四项为非正数的使用.事实上，依题意得：a 5＞0且a 4≤0，即⎩⎨⎧ a 5=-3+4d ＞0a 4=-3－3d ＞0，解得34＜d ≤1.。
等差数列高考重点题型及易错点提醒 百度文库
一、等差数列选择题1．《周碑算经》有一题这样叙述：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，则后五个节气日影长之和为（ ）（注：一丈=十尺，一尺=十寸） A ．一丈七尺五寸 B ．一丈八尺五寸 C ．二丈一尺五寸D ．二丈二尺五寸2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 2=8，38522a a a +=+，则a 1等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足212n n n a a a ++=-，534a a =-，则7S =（ ） A ．7B ．12C ．14D ．214．等差数列{}n a 的公差为2，若248,,a a a 成等比数列，则9S =（ ） A ．72B ．90C ．36D ．455．在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为（ ） A ．825两 B ．845两 C ．865两 D ．885两 6．设数列{}n a 的前n 项和21n S n =+. 则8a 的值为（ ）．A ．65B ．16C ．15D ．147．已知等差数列{}n a ，其前n 项的和为n S ，3456720a a a a a ++++=，则9S =（ ） A ．24B ．36C ．48D ．648．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，31567a a a +=+，则23S =（ ） A ．121B ．161C ．141D ．1519．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（ ） A ．161B ．155C ．141D ．13910．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2938a a a +=+，则15S =（ ） A ．60B ．120C ．160D ．24011．若数列{}n a 满足121()2n n a a n N *++=∈，且11a =，则2021a =（ ） A ．1010 B ．1011 C ．2020D ．202112．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第2天起每天比前一天多织（ ） A ．12尺布 B ．518尺布 C ．1631尺布 D ．1629尺布 13．在数列{}n a 中，129a =-，()*13n n a a n +=+∈N ，则1220a a a +++=（ ）A ．10B ．145C ．300D ．32014．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且71124a a -=，则5S =（ ） A ．15B ．20C ．25D ．3015．在等差数列{}n a 中，10a >，81335a a =，则n S 中最大的是（ ） A ．21SB ．20SC ．19SD ．18S16．已知数列{}n a 的前项和221n S n =+，n *∈N ，则5a =（ ）A ．20B ．17C ．18D ．19 17．若等差数列{a n }满足a 2=20，a 5=8，则a 1=（ ）A ．24B ．23C ．17D ．1618．在数列{}n a 中，11a =，且11nn na a na +=+，则其通项公式为n a =（ ） A ．211n n -+B ．212n n -+C ．221n n -+D ．222n n -+19．在等差数列{}n a 中，25812a a a ++=，则{}n a 的前9项和9S =（ ） A ．36B ．48C ．56D ．7220．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，2n ≥且*n ∈N ，满足120n n n a S S -+=，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则下列说法中错误的是（ ） A ．214a =-B ．648211S S S =+ C ．数列{}12n n n S S S +++-的最大项为712D ．1121n n n n nT T T n n +-=++ 二、多选题21．已知S n 是等差数列{}n a (n ∈N *)的前n 项和，且S 5>S 6>S 4，以下有四个命题，其中正确的有（ ）A ．数列{}n a 的公差d <0B ．数列{}n a 中S n 的最大项为S 10C ．S 10>0D ．S 11>022．设数列{}n a 满足1102a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-对任意的*n N ∈恒成立，则下列说法正确的是（ ） A ．2112a << B ．{}n a 是递增数列 C ．2020312a <<D ．2020314a << 23．已知数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（ ）A ．0,2,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数B ．1(1)1n n a -=-+C ．2sin2n n a π= D ．cos(1)1n a n π=-+24．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则（ ） A ．若59S >S ，则150S > B ．若59S =S ，则7S 是n S 中最大的项 C ．若67S S >， 则78S S >D ．若67S S >则56S S >.25．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．a 8＝34 B ．S 8＝54C ．S 2020＝a 2022－1D ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2021＝a 202226．无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 1＞0，d ＜0，则下列结论正确的是（ ） A ．数列{}n a 单调递减 B ．数列{}n a 有最大值 C ．数列{}n S 单调递减D ．数列{}n S 有最大值27．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d > B ．70a =C ．95S S >D ．6S 与7S 均为n S 的最大值28．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <29．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题中正确的有（ ）A ．若100S =，则280S S +=；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15C ．若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大D ．若78S S <，则89S S <30．设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1718S S =，则下列各式的值为0的是（ ） A ．17aB ．35SC ．1719a a -D ．1916S S -【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．D 【分析】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，已知条件为985.5S =，14731.5a a a ++=，由等差数列性质即得5a ，4a ，由此可解得d ，再由等差数列性质求得后5项和． 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和， 则()19959985.52a a S a +===（尺），所以59.5a =（尺），由题知1474331.5a a a a ++==（尺），所以410.5a =（尺），所以公差541d a a =-=-， 则()8910111210555522.5a a a a a a a d ++++==+=（尺）． 故选：D ． 2．C 【分析】利用等差数列的下标和性质以及基本量运算，可求出1a ． 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则3856522a a a a a +=+=+，解得652d a a =-=，212112228S a a a d a =+=+=+=，解得13a =故选：C3．C 【分析】判断出{}n a 是等差数列，然后结合等差数列的性质求得7S . 【详解】∵212n n n a a a ++=-，∴211n n n n a a a a +++-=-，∴数列{}n a 为等差数列. ∵534a a =-，∴354a a +=，∴173577()7()1422a a a a S ++===. 故选：C 4．B 【分析】由题意结合248,,a a a 成等比数列，有2444(4)(8)a a a =-+即可得4a ，进而得到1a 、n a ，即可求9S . 【详解】由题意知：244a a =-，848a a =+，又248,,a a a 成等比数列，∴2444(4)(8)a a a =-+，解之得48a =，∴143862a a d =-=-=，则1(1)2n a a n d n =+-=，∴99(229)902S ⨯+⨯==，故选：B 【点睛】思路点睛：由其中三项成等比数列，利用等比中项性质求项，进而得到等差数列的基本量 1、由,,m k n a a a 成等比，即2k m n a a a =； 2、等差数列前n 项和公式1()2n n n a a S +=的应用. 5．C 【分析】设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子，数列{}n a 是等差数列，8106100a S =⎧⎨=⎩利用等差数列的通项公式和前n 项和公式转化为关于1a 和d 的方程，即可求得长兄可分得银子的数目1a . 【详解】设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子，由题意可得 设数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和为n S ，则由题意得8106100a S =⎧⎨=⎩，即1176109101002a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得186585a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 所以长兄分得865两银子. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是能够读懂题意10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子构成公差0d <的等差数列，要熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式. 6．C 【分析】利用()12n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 的通项公差，然后求解8a . 【详解】由21n S n =+得，12a =，()2111n S n -=-+，所以()221121n n n a S S n n n -=-=--=-， 所以2,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，故828115a =⨯-=.故选：C. 【点睛】本题考查数列的通项公式求解，较简单，利用()12n n n a S S n -=-≥求解即可. 7．B 【分析】利用等差数列的性质进行化简，由此求得9S 的值. 【详解】由等差数列的性质，可得345675520a a a a a a ++++==，则54a =19592993622a a aS +=⨯=⨯= 故选：B 8．B 【分析】由条件可得127a =，然后231223S a =，算出即可. 【详解】因为31567a a a +=+，所以15637a a a =-+，所以1537a d =+，所以1537a d -=，即127a =所以231223161S a == 故选：B 9．B 【分析】画出图形分析即可列出式子求解. 【详解】所给数列为高阶等差数列,设该数列的第8项为x ，根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列，得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列，即得到了一个等差数列，如图：由图可得：3612107y x y -=⎧⎨-=⎩ ，解得15548x y =⎧⎨=⎩.故选：B. 10．B 【分析】根据等差数列的性质可知2938a a a a +=+，结合题意，可得出88a =，最后根据等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质，得出()11515815152a a S a +==，从而可得出结果.【详解】解：由题可知，2938a a a +=+，由等差数列的性质可知2938a a a a +=+，则88a =，故()1158158151521515812022a a a S a +⨯====⨯=. 故选：B. 11．B 【分析】根据递推关系式求出数列的通项公式即可求解. 【详解】由121()2n n a a n N *++=∈，则11()2n n a a n N *+=+∈， 即112n n a a +-=， 所以数列{}n a 是以1为首项，12为公差的等差数列，所以()()11111122n n a a n d n +=+-=+-⨯=， 所以2021a =2021110112+=. 故选：B 12．D 【分析】设该女子第()N n n *∈尺布，前()N n n *∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，根据15a =，30390S =可求得d 的值. 【详解】设该女子第()N n n *∈尺布，前()N n n *∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，由题意可得30130293015015293902S a d d ⨯=+=+⨯=，解得1629d =.故选：D. 13．C 【分析】由等差数列的性质可得332n a n =-，结合分组求和法即可得解。
数列加减法易错题
数列加减法易错题引言本文档将介绍一些关于数列加减法的容易出错的题目，并提供详细的解答和解题思路。
通过掌握这些题目的解法，希望读者能够更好地理解和应用数列加减法。
本文将分为以下几个部分来进行讲解。
题目示例1. 题目一：已知等差数列的首项是3，公差是5，前n项的和为121。
求n的值。
2. 题目二：已知等差数列的前n项的和为S，首项是a，公差是d。
求这个等差数列的第m项。
3. 题目三：已知一个等差数列的首项是6，公差是-2，第n项是2。
求n的值。
解题思路以下是对每个题目的解题思路的详细说明。
1. 题目一：根据等差数列的求和公式，可知前n项的和为：Sn = (n/2)(a + l)，其中Sn为前n项的和，n为项数，a为首项，l为末项。
将给定的数据代入公式，可得方程：(n/2)(3 + (n-1)5) = 121。
解这个方程，即可得到n的值。
2. 题目二：由等差数列的求和公式可知，前n项的和为：Sn = (n/2)(a + a + (n-1)d)。
将给定的数据代入公式，可得方程：(n/2)(2a + (n-1)d) = S。
解这个方程，求得n值后再代入公式即可求得第m项的值。
3. 题目三：根据等差数列的通项公式，可知第n项的值为：an = a + (n-1)d，其中an为第n项的值，a为首项，d为公差。
将给定的数据代入公式，可得方程：6 + (n-1)(-2) = 2。
解这个方程，即可得到n的值。
结论通过本文档的讲解和示例题目的解答，我们可以看出，数列加减法中的一些题目容易出错。
然而，只要掌握了相应的解题思路和公式，我们就能够解决这些题目，提高我们的数学运算能力。
希望本文能够对读者在数列加减法的研究中提供帮助，并增加对这一知识内容的理解和掌握。
细节决定成败_例析等差_等比数列中一些容易忽视的问题
高中版2014年3月展示如下，供读者赏析.试题1［1，2］（2009年安徽高考数学理14）给定两个长度为1的平面向量O A A A 和O A AB ，它们的夹角为120°.如图5所示，点C 在以O 为圆心的圆弧A AB 上变动.若O A A C=xO A A A+yO A AB ，其中x 、y ∈R ，则x+y 的最大值是________.解析：由图5可知线段x+y=k 与直线x+y=1平行.k 增加到2时，点C 在A ∈B 上，恰好点C 也在AB 的平行线段A ′B ′上，此时，（x+y ）max =2.试题2（2009年安徽高考数学文14）在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若A A A P=λA A AE+μA A A F ，其中λ、μ∈R ，则λ+μ=_________.解析：由图6可知：当λ+μ=1时，A A A P 的终点在直线EF 上.过点C 作EF 的平行线，交AE 的延长线与H 点，BD 与AE 交于点G ，那么有EH=GE ，GE GA =DE AB =12.可知：AH AE =43，即λ+μ=43.试题3（2013年江苏高考数学10）设D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，AD=12AB ，BE=23BC ，若D A A E =λ1A A A B+λ2A A AC（λ1、λ2为实数），则λ1+λ2的值为______.解析：过点A 作A A A F=D A AE ，设AF 与BC 的延长线交于点H ，易知AF=FH ，即DF 为BC 的中位线（见图7），因此λ1+λ2=12.四、结语文中笔者从分析一道高考试题的解法入手，进而转化为基于单纯的向量视角进行分析，即：利用平面向量的基本定理，将一类涉及基底的线性表示系数之和的问题，化归为利用基底向量建立“向量坐标系”进行向量值线性规划的问题.这种做法既可以避免烦琐的代数计算，又能够充分体现向量的“形”的几何优势，将“形”的魅力展现到极致.因此，在解题过程中，不同的审视角度决定不同的思维策略，这需要平时通过不断地思考、反思并积累解题经验，才能培养良好的思维品质［3］.同时，这种思维角度变换更能从本质上理解知识、把握方法，形成能力，才能触类旁通，游刃有余，对我们教学的起承与创新将大有裨益.参考文献：1.丁益民，袁琴琴.2009年安徽卷中一道高考题的思考过程［J ］.中学数学（上），2009（10）.2.缪荷芳.一节高三“一题多解”课的听课感悟［J ］.中学数学教学参考（上），2012（1-2）.3.滕传民.平面向量题目的求解策略［J ］.中学数学（上），2012（9）.WG教材教法案例点评B ′CB A ′O x+y=2x+y=1A 图5数列问题是高考中的一个热点，也是一个难点.学生在解题时经常会忽视一些问题而造成不必要的扣分，下面笔者通过教学中常见的错误一一加以说明.一、对等差、等比数列定义认识不深刻我们在证明某一个数列是等差数列还是等比数列的时候，如果选用定义法证明，可以用如下的等式说明：（1）a n -a n-1=d （n ≥2，n ∈N *）（d 为常数）；（2）a n a n-1=q （n ≥2，n ∈N *）（q 为常数）.注意：用定义证明时，务必要保证a 1、a 2也要满足这个式子.然而在很多时候，老师在讲解概念的时候，容易忽略掉这个细节，所以学生在解决有关S n 、a n 等递推关系的解答题时，常常会犯一些简单的错误.例1数列{a n }中，已知a 1=1，a n =a n-1+a n-2+a n-3+…+a 1细节决定成败———例析等差、等比数列中一些容易忽视的问题筅福建省福州延安中学林方芳F C H EGB A D 图6A D F BE C H图718高中版2014年3月教材教法案例点评（n ≥2），则a n =________.错解：因为S n-1=a 1+a 2+…+a n-1，所以原式为a n =S n-1（n ≥2）.①所以a n-1=S n-2.②由①-②，可得a na n-1=2，所以{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，即a n =2n-1.分析：当等式a n =a n-1+a n-2+a n-3+…+a 1（n ≥2）中的n=2时，有a 2=a 1=1，这与错解当中的a n =2n-1矛盾.（当a n =2n-1中的n=2时，a 2=2）那我们在解答过程中到底疏忽了什么呢？在我们将式①中的n 变为n-1时，忘了考虑②中n 的范围了！若②要成立，则n ≥3，所以①-②可得a na n-1=2（n ≥3），不满足等比数列的定义.通过计算可得a 2=1，所以a 2a 1=1≠2，即{a n }不是等比数列，是从第二项开始为等比数列的特殊数列，所以该数列的通项公式应该是一个分段的形式，即a n =1（n=1），2n-2（n ≥2）2.二、误用数列是等比数列的充要条件例2在数列{a n }中，a 1=1，a 2=3，a n+1-103a n +a n-1=0（n ≥2，且n ∈N *），若数列{a n+1+λa n }是等比数列，求实数λ.错解：设a n+1+λa n =μ（a n +λa n-1）（n ≥2）.所以a n+1+（λ-μ）a n -μλa n-1=0.所以λ-μ=-103，-μλ=1111111111，所以λ=-3或λ=-13.上述解法看似无懈可击，但实际上当λ=-3时，a 2-3a 1=0，不能构成等比数列，当λ=-13时，a 2-13a 1=83≠0，此时{a n }为等比数列，故λ=-13.本题错解原因在于误认为a n =qa n-1（n ≥2）为数列{a n }是等比数列的充要条件，实际上数列{a n }为等比数列的充要条件为：a n =qa n-1（n ≥2）且a 1≠0.三、运用等比中项性质，忽视等比数列的隔项同号性例3数列{a n }为等比数列，a 1=2，a 5=8，则a 3=______.错解：因为数列{a n }为等比数列，所以a 1，a 3，a 5也成等比数列.所以a 23=a 1a 5=16，所以a 3=±4.上述解法同样看似无懈可击，但实际上当a 3=-4时，a 3=-4=a 1q 2=2q 2，所以q 2=-2，显然不可能.因此只有a 3=4符合题意，所以a 3=4.本题错解原因在于运用等比数列等比中项公式时，忽视等比数列的隔项同号性，因此该类题最好直接用等比数列通项公式求解.四、运用等比数列求和公式求和，忽视公式的分段形式例4已知a n =n ，记b n =a n p a n （p ＞0），求数列{b n }的前n 项和T n .错解：由b n =a n p a n ，得b n =np n .所以T n =p+2p 2+3p 3+…+（n-1）p n-1+np n ，pT n =p 2+2p 3+3p 4+…+（n-1）p n +np n+1.（1-p）T n =p+p 2+p 3+…+p n-1+p n -np n+1=p （1-p n ）1-p-np n+1.即T n =p （1-p n ）（1-p）2-np n+11-p .上述解法中，当p=1时，p+p 2+p 3+…+p n-1+p n 不能用等比数列求和公式求，同时1-p=0也不能用作分母.因此本题要分p=1和p ≠1两种情况讨论.正确解法：由b n =a n p a n ，得b n =np n .所以T n =p+2p 2+3p 3+…+（n-1）p n-1+np n .当p=1时，T n =1+2+…+n=n （n+1）2.当p ≠1时，pT n =p 2+2p 3+3p 4+…+（n-1）p n +np n+1，（1-p）T n =p+p 2+p 3+…+p n-1+p n-np n+1=p （1-p n ）1-p-np n+1.故T n =n （n+1）2（p=1），p （1-p n）（1-p）2-np n+11-p （p ≠1）1111111111111.本题错解原因在于运用等比数列求和公式时忽视公式的分段形式，没有对等比数列的公比是否等于1进行分类讨论.五、忽略等比数列可能是非零常数列的情形例5下列有关数列的说法正确的有____________.19高中版2014年3月教材教法案例点评拜读文1，使笔者获益匪浅.文中讨论了下面的问题，摘抄如下.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）经过（1，1）与6%姨2，3%姨2姨姨两点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过原点的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，椭圆上一点M 满足|MA|=|MB|，求证：1|OA|2+1|OB|2+2|OM|2为定值.文1给出两种证明方法：第一种是普通方程法；第二种是参数方程法，其做法如下.由题意可设A 3%姨cos θ，6%姨2sin 姨姨θ.由于OM ⊥OA ，故可设M 3%姨cos θ+π2⊥姨%，6%姨2sin θ+π2⊥姨⊥姨%，即M -3%姨sin θ，6%姨2cos ⊥姨θ.|OA |2=（3%姨cos θ）2+6%姨2sin ⊥姨θ2=32cos 2θ+32=|OB|2，|OM|2=（-3%姨sin θ）2+6%姨2cos ⊥姨θ2=32sin 2θ+32.整理可得1|OA|2+1|OB|2+2|OM|2=16sin 22θ+8.当且仅当sin2θ=0，即当θ=k π2（k=0、1、2、3）时，结论成立.正如文1所说，用参数方程解此题时只能得出第一种解法中的特殊情况.进一步介绍了椭圆参数的意义，说明了上述做法仅在θ=k π2（k=0、1、2、3）时才满足OM ⊥山穷水复疑无路，柳暗花明又一村———对《用椭圆参数方程时的一个“误区”》一文的质疑筅江苏省滨海中学陈海祥（1）若2b=a+c ，则a 、b 、c 成等差数列；（2）若b 2=ac ，则a 、b 、c 成等比数列；（3）数列{a n }为等差数列，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n 成等差数列；（4）数列{b n }为等比数列，记T n 为数列{b n }的前n 项和，则T n ，T 2n -T n ，T 3n -T 2n 成等比数列；（5）设数列{a n }为等差数列，则“m 、n 、l 、s ∈N *且m+n=l+s ”是“a m +a n =a l +a s ”的充要条件；（6）设数列{b n }为等比数列，则“m 、n 、l 、s ∈N *且m+n=l+s ”是“b m ·b n =b l ·b s ”的充要条件.错解：（2）中b 2=ac 时，a 、b 、c 可能都为0，此时a 、b 、c 不能构成等比数列；（4）中等比数列{b n }的公比为-1时，当n 为偶数时T n =0，此时T n ，T 2n -T n ，T 3n -T 2n 不能构成等比数列.其他都是正确的，故答案为（1）（3）（5）（6）.实际上本题中（5）和（6）也是错误的，因为（5）和（6）中的数列{a n }和数列{b n }都有可能是常数列，这样任意两项和都相等，和下标没有关系.正确答案应为（1）（3）.本题错解原因在忽略等差数列可能为常数列，等比数列可能是非零常数列的情形.“细节决定成败”，所以，在教授新课的时候，我们一定要将这个细节的地方讲透讲通，这样学生在以后学习或者高三复习的时候才不会在这样的细节方面出错.现在由于高一、高二的课程比较紧，所以老师往往是在赶进度，从而忽略了一些本质的东西，在学习概念的时候只是“蜻蜓点水”，然后以大量的练习来巩固概念，学生往往也是吃了“夹生饭”，不能完全消化.这样的教学模式是与我们的新课改背道而驰的.从近几年的江苏高考试题可以看出，学生陷入题海战术后，在高考中是不能够脱颖而出的，只有平时多“悟”，多“思”，这样才能在高考中取得理想的成绩.当然在这样的大环境下，也给我们老师提出了更高的要求，只有更深入地去研究教材，才能更好地教会学生在细节方面多留心，学生才能越学越轻松，越学越想学.WG20。
等差数列高考重点题型及易错点提醒百度文库
一、等差数列选择题1．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（ ）尺 A ．47B ．1629C ．815D ．452．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 2=8，38522a a a +=+，则a 1等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1476a a a ++=，则7S =（ ） A ．10-B ．8C ．12D ．144．等差数列{}n a 的公差为2，若248,,a a a 成等比数列，则9S =（ ） A ．72 B ．90C ．36D ．455．定义12nn p p p +++为n 个正数12,,,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为12n ，又2n n a b =，则1223910111b b b b b b +++=（ ） A ．817 B ．1021C ．1123 D ．9196．在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为（ ） A ．825两 B ．845两 C ．865两 D ．885两 7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列判断错误的是（ ） A ．S 5，S 10-S 5，S 15-S 10必成等差数列 B ．S 2，S 4-S 2，S 6-S 4必成等差数列 C ．S 5，S 10，S 15+S 10有可能是等差数列D ．S 2，S 4+S 2，S 6+S 4必成等差数列8．等差数列{}n a 中，12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项和等于（ ） A ．160B ．180C ．200D ．2209．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则3810b b b =（ )A ．1B ．8C ．4D ．210．若两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3221n n S n T n +=+，则1215a b =（ ）A ．32B ．7059C ．7159D ．8511．已知数列{}n a 中，12(2)n n a a n --=≥，且11a =，则这个数列的第10项为（ ） A ．18B ．19C ．20D ．2112．设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别是n S 、n T .若237n n S n T n =+，则63a b 的值为（ ） A ．511B ．38C ．1D ．213．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且71124a a -=，则5S =（ ） A ．15B ．20C ．25D ．3014．在等差数列{}n a 中，10a >，81335a a =，则n S 中最大的是（ ） A ．21SB ．20SC ．19SD ．18S15．已知{}n a 是公差为2的等差数列，前5项和525S =，若215m a =，则m =（ ） A ．4B ．6C ．7D ．816．冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{}n a ，已知11a =，22a=，且满足()211+-=+-nn n a a （n *∈N ），则该医院30天入院治疗流感的共有（ ）人A ．225B ．255C ．365D ．46517．在等差数列{}n a 的中，若131,5a a ==，则5a 等于（ ） A ．25B ．11C ．10D ．918．在等差数列{}n a 中，()()3589133224a a a a a ++++=，则此数列前13项的和是（ ） A ．13B ．26C ．52D ．5619．在等差数列{}n a 中，25812a a a ++=，则{}n a 的前9项和9S =（ ） A ．36B ．48C ．56D ．7220．已知等差数列{}n a ，其前n 项的和为n S ，3456720a a a a a ++++=，则9S =（ ） A ．24B ．36C ．48D ．64二、多选题21．在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，前n 项和为n S ，则（ ） A ．4619a a a a >B ．130S >，140S <，则78a a >C ．若915S S =，则n S 中的最大值是12SD ．若2n S n n a =-+，则0a =22．题目文件丢失！23．题目文件丢失！24．设数列{}n a 满足1102a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-对任意的*n N ∈恒成立，则下列说法正确的是（ ） A ．2112a << B ．{}n a 是递增数列 C ．2020312a <<D ．2020314a << 25．若不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的可能取值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．226．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的m ，*n N ∈，都有m n m n a a a +=+，则下列结论正确的是（ ）A ．11285a a a a +=+B ．56110a a a a <C ．若该数列的前三项依次为x ，1x -，3x ，则10103a = D ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减的等差数列 27．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（ ） A ．1055a = B ．2020a 是偶数C ．2020201820223a a a =+D ．123a a a +++…20202022a a +=28．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <29．在数列{}n a 中，若22*1(2,.n n a a p n n N p --=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．{(1)}n -是等方差数列C ．若{}n a 是等方差数列，则{}()*,kn a k Nk ∈为常数)也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 30．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知535S =，411a =，则（ ） A ．45n a n =-B ．23n a n =+C ．223n S n n =-D ．24n S n n =+【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．D 【分析】设该妇子织布每天增加d 尺，由等差数列的前n 项和公式即可求出结果 【详解】设该妇子织布每天增加d 尺， 由题意知2020192042322S d ⨯=⨯+=， 解得45d =． 故该女子织布每天增加45尺． 故选：D 2．C 【分析】利用等差数列的下标和性质以及基本量运算，可求出1a ． 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则3856522a a a a a +=+=+，解得652d a a =-=，212112228S a a a d a =+=+=+=，解得13a =故选：C 3．D 【分析】利用等差数列下标性质求得4a ，再利用求和公式求解即可 【详解】147446=32a a a a a ++=∴=，则()177477142a a S a +=== 故选：D 4．B 【分析】由题意结合248,,a a a 成等比数列，有2444(4)(8)a a a =-+即可得4a ，进而得到1a 、n a ，即可求9S . 【详解】由题意知：244a a =-，848a a =+，又248,,a a a 成等比数列，∴2444(4)(8)a a a =-+，解之得48a =，∴143862a a d =-=-=，则1(1)2n a a n d n =+-=，∴99(229)902S ⨯+⨯==，故选：B 【点睛】思路点睛：由其中三项成等比数列，利用等比中项性质求项，进而得到等差数列的基本量 1、由,,m k n a a a 成等比，即2k m n a a a =； 2、等差数列前n 项和公式1()2n n n a a S +=的应用. 5．D 【分析】由题意结合新定义的概念求得数列的前n 项和，然后利用前n 项和求解通项公式，最后裂项求和即可求得最终结果. 【详解】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，由题意可得：12n n S n=，则：22n S n =， 当1n =时，112a S ==，当2n ≥时，142n n n a S S n -=-=-， 且14122a =⨯-=，据此可得 42n a n =-， 故212nn a b n ==-，()()111111212122121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 据此有：12239101111111111233517191.21891919b b b b b b +++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=⨯= 故选：D 6．C 【分析】设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子，数列{}n a 是等差数列，8106100a S =⎧⎨=⎩利用等差数列的通项公式和前n 项和公式转化为关于1a 和d 的方程，即可求得长兄可分得银子的数目1a . 【详解】设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子，由题意可得 设数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和为n S ，则由题意得8106100a S =⎧⎨=⎩，即1176109101002a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得186585a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 所以长兄分得865两银子. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是能够读懂题意10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子构成公差0d <的等差数列，要熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式. 7．D 【分析】根据等差数列的性质，可判定A 、B 正确；当首项与公差均为0时，可判定C 正确；当首项为1与公差1时，可判定D 错误. 【详解】由题意，数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，根据等差数列的性质，可得而51051510,,S S S S S --，和24264,,S S S S S --构成等差数列，所以，所以A ，B 正确；当首项与公差均为0时，5101510,,S S S S +是等差数列，所以C 正确；当首项为1与公差1时，此时2426102,31,86S S S S S =+=+=，此时24264,,S S S S S ++不构成等差数列，所以D 错误. 故选：D. 8．B 【分析】把已知的两式相加得到12018a a +=，再求20S 得解. 【详解】由题得120219318()()()247854a a a a a a +++++=-+=， 所以1201203()54,18a a a a +=∴+=. 所以2012020()10181802S a a =+=⨯=. 故选：B 9．B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，求出72a =，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】因为各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，所以27720a a -=，解得72a =或70a =（舍）；又数列{}n b 是等比数列，且772b a ==，所以33810371178b b b b b b b ===.故选：B. 10．C 【分析】可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，进而求得n a 与n b 的关系式，即可求得结果． 【详解】因为{}n a ，{}n b 是等差数列，且3221n n S n T n +=+， 所以可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，又当2n 时，有1(61)n n n a S S k n -=-=-，1(41)n n n b T T k n -=-=-， ∴1215(6121)71(4151)59a kb k ⨯-==⨯-， 故选：C ． 11．B 【分析】由已知判断出数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，求出通项公式后即可求得10a .【详解】()122n n a a n --=≥，且11a =，∴数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，通项公式为()12121n a n n =+-=-，10210119a ∴=⨯-=，故选：B. 12．C 【分析】令22n S n λ=，()37n T n n λ=+，求出n a ，n b ，进而求出6a ，3b ，则63a b 可得． 【详解】令22n S n λ=，()37n T n n λ=+，可得当2n ≥时，()()221221221n n n a S S n n n λλλ-=-=--=-，()()()()137134232n n n b T T n n n n n λλλ-=-=+--+=+，当1n =，()11112,3710a S b T λλλ====+=，符合()221n a n λ=-，()232n b n λ=+故622a λ=，322b λ=，故631a b =. 【点睛】由n S 求n a 时，11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，注意验证a 1是否包含在后面a n 的公式中，若不符合要单独列出，一般已知条件含a n 与S n 的关系的数列题均可考虑上述公式求解． 13．B 【分析】设出数列{}n a 的公差，利用等差数列的通项公式及已知条件，得到124a d +=，然后代入求和公式即可求解 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由已知可得()()111261024a d a d a d +-+=+=， 所以()5115455254202S a d a d ⨯=+=+=⨯= 故选：B 14．B设等差数列的公差为d .由已知得()()1137512a d a d +=+，可得关系1392a d =-.再运用求和公式和二次函数的性质可得选项. 【详解】设等差数列的公差为d .由81335a a =得，()()1137512a d a d +=+，整理得，1392a d =-. 又10a >，所以0d <，因此222120(20)2002222n d d d dS n a n n dn n d ⎛⎫=+-=-=-- ⎪⎝⎭， 所以20S 最大. 故选：B. 15．A 【分析】由525S =求出1a ，从而可求出数列的通项公式，进而可求出m 的值 【详解】 解：由题意得15452252a ⨯+⨯=，解得11a =， 所以1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=-， 因为215m a =，所以22115m ⋅-=，解得4m =， 故选：A 16．B 【分析】直接利用分类讨论思想的应用求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和 【详解】解：当n 为奇数时，2n n a a +=， 当n 为偶数时，22n n a a +-=， 所以13291a a a ==⋅⋅⋅==，2430,,,a a a ⋅⋅⋅是以2为首项，2为公差的等差数列，所以30132924301514()()1515222552S a a a a a a ⨯=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+⨯+⨯=， 故选：B 17．D 【分析】利用等差数列的性质直接求解． 【详解】 因为131,5a a ==，315529a a a a =+∴=，18．B 【分析】利用等差数列的下标性质，结合等差数列的求和公式即可得结果. 【详解】由等差数列的性质，可得3542a a a +=，891371013103a a a a a a a ++=++=， 因为()()3589133224a a a a a ++++=， 可得410322324a a ⨯+⨯=，即4104a a +=， 故数列的前13项之和()()11341013131313426222a a a a S ++⨯====. 故选：B. 19．A 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，得出54a =，再由等差数列前n 项和公式，即可得出结果. 【详解】因为{}n a 为等差数列，25812a a a ++=， 所以5312a =，即54a =， 所以()1999983622a a S +⨯===. 故选：A . 【点睛】熟练运用等差数列性质的应用及等差数列前n 项和的基本量运算是解题关键. 20．B 【分析】利用等差数列的性质进行化简，由此求得9S 的值. 【详解】由等差数列的性质，可得345675520a a a a a a ++++==，则54a =19592993622a a aS +=⨯=⨯= 故选：B二、多选题21．AD 【分析】对于A ，作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案；对于B ，根据等差数列的前n 项和公式得到70a >和780a a +<， 进而可得80a <，由此可知78||||a a <，故B 不正确；对于C ，由915S S =得到，12130a a +=，然后分类讨论d 的符号可得答案； 对于D ，由n S 求出n a 及1a ，根据数列{}n a 为等差数列可求得0a =. 【详解】对于A ，因为46191111(3)(5)(8)a a a a a d a d a a d -=++-+215d =，且0d ≠，所以24619150a a a a d -=>，所以4619a a a a >，故A 正确；对于B ，因为130S >，140S <，所以77713()1302a a a +=>，即70a >，787814()7()02a a a a +=+<，即780a a +<，因为70a >，所以80a <，所以7878||||0a a a a -=+<，即78||||a a <，故B 不正确；对于C ，因为915S S =，所以101114150a a a a ++++=，所以12133()0a a +=，即12130a a +=，当0d >时，等差数列{}n a 递增，则12130,0a a <>，所以n S 中的最小值是12S ，无最大值；当0d <时，等差数列{}n a 递减，则12130,0a a ><，所以n S 中的最大值是12S ，无最小值，故C 不正确；对于D ，若2n S n n a =-+，则11a S a ==，2n ≥时，221(1)(1)n n n a S S n n a n n a -=-=-+--+--22n =-，因为数列{}n a 为等差数列，所以12120a a =⨯-==，故D 正确. 故选：AD 【点睛】关键点点睛：熟练掌握等差数列的通项公式、前n 项和公式是解题关键.22．无 23．无24．ABD 【分析】构造函数()()ln 2f x x x =+-，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】由()1ln 2n n n a a a +=+-，1102a << 设()()ln 2f x x x =+-，则()11122xf x x x-'=-=--， 所以当01x <<时，0f x ，即()f x 在0,1上为单调递增函数，所以函数在10,2⎛⎫⎪⎝⎭为单调递增函数，即()()102f f x f ⎛⎫<<⎪⎝⎭，即()131ln 2ln ln 1222f x <<<+<+=， 所以()112f x << ， 即11(2)2n a n <<≥， 所以2112a <<，2020112a <<，故A 正确；C 不正确； 由()f x 在0,1上为单调递增函数，112n a <<，所以{}n a 是递增数列，故B 正确； 2112a <<,所以 23132131113ln(2)ln ln 222234a a a e =+->+>+=+> 因此20202020333144a a a ∴<><>，故D 正确 故选：ABD 【点睛】本题考查了数列性质的综合应用，属于难题. 25．ABC 【分析】根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有12+a n-<恒成立，当n 为偶数时有12a n<-恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立， 当n 为奇数时有：12+a n-<恒成立，由12+n 递减，且1223n<+≤，所以2a -≤，即2a ≥-， 当n 为偶数时有：12a n<-恒成立， 由12n -第增，且31222n ≤-<， 所以32a <， 综上可得：322a -≤<， 故选：ABC . 【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中当题. 26．AC 【分析】令1m =，则11n n a a a +-=，根据10a >，可判定A 正确；由256110200a a a a d -=>，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；122n d d n a n S ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，根据02>d ，可判定D 错误. 【详解】令1m =，则11n n a a a +-=，因为10a >，所以{}n a 为等差数列且公差0d >，故A 正确；由()()22225611011119209200a a a a a a d daa d d -=++-+=>，所以56110a a a a >，故B错误；根据等差数列的性质，可得()213x x x -=+，所以13x =，213x -=， 故1011109333a =+⨯=，故C 正确； 由()111222nn n na dS d d n a nn -+⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，因为02>d ，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增的等差数列，故D 错误. 故选：AC . 【点睛】解决数列的单调性问题的三种方法；1、作差比较法：根据1n n a a +-的符号，判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列；2、作商比较法：根据1(0n n na a a +>或0)n a <与1的大小关系，进行判定；3、数形结合法：结合相应的函数的图象直观判断. 27．AC 【分析】由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】对于A ，821a =，9211334a =+=，10213455a =+=，故A 正确； 对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误；对于C ，20182022201820212020201820192020202020203a a a a a a a a a a +=++=+++=，故C 正确； 对于D ，202220212020a a a =+，202120202019a a a =+，202020192018a a a =+，32121,a a a a a ⋅⋅⋅=+=，各式相加得()2022202120202021202020192012182a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++， 所以202220202019201811a a a a a a =++⋅⋅⋅+++，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项. 28．AD 【分析】利用等差数列的通项公式可以求70a >，80a <，即可求公差0d <，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确. 【详解】因为67S S <，所以7670S S a -=> ， 因为78S S >，所以8780S S a -=<， 所以等差数列{}n a 公差870d a a =-<， 所以{}n a 是递减数列，故1a 最大，选项A 正确；选项B 不正确；10345678910770S S a a a a a a a a -=++++++=>，所以310S S ≠，故选项C 不正确；当8n ≥时，80n a a ≤<，即0n a <，故选项D 正确； 故选：AD 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和前n 项和n S ，属于基础题. 29．BCD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故{}n a 不是等方差数列，故A 错误；对于B ，数列(){}1n-中，222121[(1)][(1)]0n n n n aa ---=---=是常数， {(1)}n ∴-是等方差数列，故B 正确；对于C ，数列{}n a 中的项列举出来是，1a ，2a ，，k a ，，2k a ，数列{}kn a 中的项列举出来是，k a ，2k a ，3k a ，，()()()()2222222212132221k k k k k k k k aa a a a a a a p +++++--=-=-==-=，将这k 个式子累加得()()()()2222222212132221k kk k k k k k aa a a a a a a kp +++++--+-+-++-=，222k k a a kp ∴-=，()221kn kn a a kp +∴-=，{}*(,kn a k N ∴∈k 为常数)是等方差数列，故C 正确；对于D ，{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+{}n a 是等方差数列，()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，2210n n a a --=是常数，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，属于中档题. 30．AC 【分析】由535S =求出37a =，再由411a =可得公差为434d a a =-=，从而可求得其通项公式和前n 项和公式 【详解】由题可知，53535S a ==，即37a =，所以等差数列{}n a 的公差434d a a =-=， 所以()4445n a a n d n =+-=-，()2451232n n n S n n --==-.故选：AC. 【点睛】本题考查等差数列，考查运算求解能力.。
《数列》中的易错题剖析
《数列》中的易错题剖析
《数列》的易错题剖析
一、关于等差数列的题目：
1、若等差数列a2,a5,a8…的公差为d，其中a6=10，则a9的值是多少？在此类题目中，最容易做错的是使用错误的公差。
例如，在题中只指
出a2,a5,a8…，很容易将公差设定成3，而不是d，最后计算出的a9
也将是错误的。
2、若等差数列a1,a2,a3…的公差为d，其中a7=22，则a11的值
是多少？
此类题目容易出现偏离等差数列规律计算出错误答案的情况。
例如，
根据题干可知a1,a2,a3…的公差为d，即a2-a1=d，但有些人会忘记
a3-a2=d，继续成立公式，而计算出错误答案。
二、关于等比数列的题目：
1、若等比数列a1,a2,a3…的公比为q，其中a7 =21，则a11的值是多少？
有些学生会将等比数列的公比设定成a4/a3，而不是q，这样一来，计
算出来的a11就会错误。
2、若等比数列a1,a2,a3…的公比为q，其中a2 =8，则a5的值是
多少？
有些学生会将a5的计算公式写错：a5=a2*q*q，而不是a5=a2*q*q*q，
这样一来，计算出来的a5就会错误。
等差数列的三种常考题型及解答方法
等差数列的三种常考题型及解答方法 一、 通项公式的运用1. 已知等差数列{}n a 的通项公式为32n a n =- , 则它的公差为（A ）2- （B ） 3- （C ） 2 （D ）32. 已知数列的等差数列，若，则数列的公差等于A ．1B ．3C ．5D ．63. 在等差数列{a n }中，a 1=13,a 3=12若a n =2，则n 等于A ．23B ．24C ．25D ．264. {a n }是首项a 1=1，公差为d=3的等差数列，如果a n =2008，则序号n 等于（ ）A 、667B 、668C 、669D 、6705. 在等差数列{a n }中，若等于 A ．7 B ．8 C ．9 D ．10二、 性质：1）若m+n=p+q ，则q p n m a a a a +=+2）若m+n=2p ，p n m a a a 2=+运用6. 数列为等差数列，且，则．7. 在等差数列{}中，已知则等于A.40B.42C.43D.458.已知等差数列中，，则________。
9. （2008•海南）已知{a n}为等差数列，a3+a8=22，a6=7，则a5=_____________10.已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20=_______________11.已知等差数列中，和是方程的两根，则——————————————12.在等差数列中，若，则等于 A．30 B．40 C．60 D．80 13. 已知数列{a n}是等差数列，且a4+a7+a10=17，a8+a9+a10=21，若a k=13，则k=14.已知等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差________。
15.等差数列共有项,其中奇数项之和为319,偶数项之和为290,则中间项为16.在项数为2n+1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于______________17.等差数列{a n}中共有奇数项，且此数列中的奇数项之和为77，偶数项之和为66，a1=1，求其项数和中间项．18.（2005•黑龙江）如果数列{a n}是等差数列，则（）A、a1+a8＞a4+a5B、a1+a8=a4+a5C、a1+a8＜a4+a5D、a1a8=a4a519.（2005•黑龙江）如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则（）A、a1a8＞a4a5B、a1a8＜a4a5C、a1+a8＞a4+a5D、a1a8=a4a5三、灵活求解20.已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成的一个首项为1/4的等差数列,则|m-n|等于______________21.首项为-30的等差数列，从第7项开始为正，则公差d的取值范围是（）A 、5≤d ＜6B 、d ＜6C 、5＜d ≤6D 、d ＞522. 已知动点P(x,y)，若lgy,lg|x|,lg2x y -成等差数列，则点P 的轨迹图形是什么？23. 已知数列{}n a 的首项135a =，121n n n a a a +=+，*n N ∈，求{}n a 的通项公式。
专题08 数列(5大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关)(新高考专用)(原卷版)
B．3
C． 1 5
D．不存在
2．已知公差不为零的等差数列an中， a3 a5 14 ，且 a1 ， a2 ， a5 成等比数列，则数列an的前 9 项的和
为（ ） A．1
B．2
C．81
D．80
3．已知 a 5 2 6 ， c 5 2 6 ，则使得 a,b, c 成等比数列的充要条件的 b 值为（ ）
1 2
，则 a3a5
（
）
A．4
B．8
C．32
D．64
6．已知实数 4，m，9 构成一个等比数列，则圆锥曲线 x2 ＋y2＝1 的离心率为（ ） m
A． 30 6
B． 7
C． 30 或 7 6
D．
5 6
或
7
7．数列an 为等比数列，a1 1，a5 4 ，命题 p : a3 2 ，命题 q : a3 是 a1 、a5 的等比中项，则 p 是 q的（ ）
D．若 a 1 ，则 Sn 中， S5 ， S6 最大
8．已知数列an的前 n 项和 Sn n2 9n n N ，则下列结论正确的是（ ）
A． an 是等差数列
B． a4 a6 0
C． a9 a10
D．
Sn
有最大值
81 4
9．数列an 的前 n 项和为 Sn ，已知 Sn n2 7n ，则下列说法正确的是（ ）
n
的前 n
项和为 Tn
，则 Tn
0
时， n
的最大值为
27
7．已知数列an的前 n 项和 Sn 满足 Sn an2 11n b a, b R, n N* ，则下列说法正确的是（ ）
A． b 0 是an为等差数列的充要条件
B． an 可能为等比数列 C．若 a 0 ， b R ，则an为递增数列
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数列易错题分析一、疑难知识导析1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(｛1，2，3，…，n ｝)的函数.2.一个数列的通项公式通常不是唯一的.3.数列｛a n ｝的前n 项的和S n 与a n 之间的关系：⎩⎨⎧≥-==-).2(),1(11n S S n S a n n n 若a 1适合a n (n>2),则n a 不用分段形式表示，切不可不求a 1而直接求a n .4.从函数的角度考查等差数列的通项公式：a n = a 1+(n-1)d=d ·n+ a 1-d, a n 是关于n 的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,n a ）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.5、对等差数列的前n 项之和公式的理解：等差数列的前n 项之和公式可变形为n d a n d S n )2(212-+=，若令A ＝2d ，B ＝a 1－2d ，则n S ＝An 2+Bn. 6、在解决等差数列问题时，如已知，a 1，a n ，d ，n S ，n 中任意三个，可求其余两个。
三、经典例题导讲1．设s n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，已知s 6=36, s n =324, s 6-n =144 (n >6),则n=( )A 15B 16C 17D 18正确答案：D 错因：学生不能运用数列的性质计算a 1+a n =614432436-+ 2．已知s n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若a 2+a 4+a 15是一个确定的常数，则数列｛s n ｝中是常数的项是（ ）A s 7B s 8C s 11D s 13正确答案: D 错因：学生对等差数列通项公式的逆向使用和等差数列的性质不能灵活应用。
3．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第七项等于（ ）A. 22B. 21C. 19D. 18解：设该数列有n 项且首项为a 1，末项为a n ，公差为d则依题意有51034151014622234311a d a d a a n n n +=-=+⋅=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪()()()()()12+可得a a n 136+=代入(3)有n =13 从而有a a 11336+=又所求项a 7恰为该数列的中间项∴=+==a a a 7113236218故选D 说明：虽然依题意只能列出3个方程，而方程所涉及的未知数有4个，但将a a n 1+作为一个整体，问题即可迎刃而解。
在求a 7时，巧用等差中项的性质也值得关注。
知识的灵活应用，来源于对知识系统的深刻理解。
4．数列{}n a 的前n 项和为s n =n 2+2n-1， 则a 1+a 3+a 5+……+a 25=( )A 350B 351C 337D 338正确答案：A错因：不理解该数列从第二项起向后成等差数列。
5、已知三个互不相等实数a,b,c 成等差数列，那么关于x 的方程220ax bx c ++= A ，一定有两个不相等的实数根 B ，一定有两个相等的实数根C, 一定没有实数根 D ，一定有实数根正确答案：D错因：不注意ａ＝０的情况。
6、已知等差数列｛a n ,｝的前n 项和为s n ，且S 2=10,S 5=55,则过点P(n,s n n )，Q(n+2,S n+2n+2)(n ∈N+*)的直线的斜率为A 、4B 、3C 、2D 、1正确答案： D错因：不注意对和式进行化简。
7、在等差数列}{n a 中，11011-<a a ，若它的前n 项和Sn 有最大值，那么}{n S 中的最小正数是（ ）A 、S 17B 、S 18C 、S 19D 、S 20答案：C 错解：D错因：11011-<a a 化简时没有考虑a 10的正负。
8、从集合{}1,2,3,4,,20⋅⋅⋅中任取三个不同的数，使这三个数成等差数列，这样的等差数列最多有_________[错解]90个[错解分析]没有考虑公差为负的情况,思考欠全面[正解]180个9、设等差数列}{n a 中，31-=a ，且从第5项开始是正数，则公差的范围是错解：)43∞+，（错因：忽视04≤a ，即第4项可为0。
正解：]143，（ 10、设数列的前n 项和为224()n S n n n N +=++∈，求这个数列的通项公公式[错解] ()1,21n n n n a S S a n n N -*=-∴=+∈[错解分析]此题错在没有分析1n =的情况，以偏概全．误认为任何情况下都有()1n n n a S S n N *-=-∈[正解] 1111,S 7,221n n n n a n a S S n -===≥=-=-时时,因此数列的通项公式是()()17221n n a n n =⎧=⎨≥+⎩ 11、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +2S n ·S n —1=0（n ≥2），a 1=21， （1）求证：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1成等差数列；（2）求a n 的表达式。
解：（1）当n ≥2时，a n =S n －S n －1，又a n +2S n S n －1=0，∴S n －S n －1+S n S n －1=0若S n =0，则a 1=S 1=0与a 1=21矛盾，∴S n ≠0，∴2111=--n n S S ，又211=S ∴ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1成等差数列。
（2）由（1）知：n S n 21=，nS n 21= 当n ≥2时，a n =－2S n S n －1=－)1(21-n n ，当n=1时，a 1=21∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=)1(2121n n a n 21≥=n n 点评：本题易错点忽视公式a n =S n －S n －1成立的条件“n ≥2”，导致（2）的结果)1(21--=n n a n 12、已知数列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+…+（3n －5）是该数列的前几项之和.错解：（1）a n =3n+7;(2) 1+4+…+（3n －5）是该数列的前n 项之和.错因：误把最后一项（含n 的代数式）看成了数列的通项.（1）若令n=1,a 1=10≠1,显然3n+7不是它的通项.正解：（1）a n =3n －2;(2) 1+4+…+（3n －5）是该数列的前n －1项的和.13、已知数列{}n a 的前n 项之和为① n n S n -=22 ② 12++=n n S n求数列{}n a 的通项公式。
错解： ① 34)1()1(2222-=-+---=n n n n n a n② n n n n n a n 21)1()1(122=-----++=错因：在对数列概念的理解上，仅注意了a n ＝S n －S n-1与的关系，没注意a 1=S 1. 正解： ①当1=n 时，111==S a当2≥n 时，34)1()1(2222-=-+---=n n n n n a n经检验 1=n 时 11=a 也适合，∴34-=n a n②当1=n 时，311==S a当2≥n 时，n n n n n a n 21)1()1(122=-----++=∴ ⎩⎨⎧=n a n 23 )2()1(≥=n n14、 已知等差数列{}n a 的前n 项之和记为S n ，S 10=10 ，S 30=70，则S 40等于 。
错解：S 30= S 10·2d. ∴ d ＝30， ∴ S 40= S 30+d =100.错因：将等差数列中S m , S 2m －S m , S 3m －S 2m 成等差数列误解为S m , S 2m , S 3m 成等差数列.正解：由题意：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯+=⨯+7022930301029101011d a d a 得152,521==d a 代入得S 40 ＝1204023940401=⨯⨯+d a 。
15、等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和为S n 、T n .若),(27417+∈++=N n n n T S n n 求77b a ； 错解：因为等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，故由题意令a n =7n+1;b n =4n+27.1110277417777=+⨯+⨯=∴b a 错因：误认为=nn T S n n b a 正解：79922713411371313777777=+⨯+⨯==++=∴T S b b a a b a 16、已知一个等差数列{}n a 的通项公式a n =25－5n ，求数列{}||n a 的前n 项和； 错解：由a n ≥0得n ≤5∴ {}n a 前5项为非负，从第6项起为负，∴ S n =a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=50(n ≤5)当n ≥6时，S n =｜a 6｜+｜a 7｜+｜a 8｜+…+｜a n ｜＝2)5)(520(--n n ∴ S n =⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤6,2)5)(520(5,50n n n n 错因：一、把n ≤5理解为n=5，二、把“前n 项和”误认为“从n ≥6起”的和.正解： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+--≤-6,502)5)(520(5,2)545(n n n n n n17、已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n 项和的公式吗？解：理由如下：由题设： 31010=S 122020=S得： ⎩⎨⎧=+=+122019020310451011d a d a ⎩⎨⎧==⇒641d a ∴ n n n n n S n +=⨯-+=2362)1(4 17、已知：n n a -+=12lg 1024 （3010.02lg =）+∈N n （1） 问前多少项之和为最 大？（2）前多少项之和的绝对值最小？解：（1） ⎩⎨⎧<-=≥-+=+02lg 102402lg )1(10241n a n a n n 3403340112lg 10242lg 1024<<⇒+≤<⇒n n ∴3402=n（2） 0)2lg (2)1(1024=--+=n n n S n 当n n S S 或0=近于0时其和绝对值最小令：0=n S 即 1024+0)2lg (2)1(=--n n 得：99.680412lg 2048≈+=n ∵ +∈N n ∴6805=n18、项数是n 2的等差数列，中间两项为1+n n a a 和是方程02=+-q px x 的两根，求证此数列的和n S 2是方程 0)lg (lg lg )lg (lg lg 2222=+++-p n x p n x 的根。