人教版九年级数学上册第二十一章综合测试卷
九年级第二十一章综合测试卷
时间：100分钟 总分：150分
一、选择题（48分）
1．下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ） （A ）
()
()
1212
+=+x x （B ）02112
=-+x x （C ）02=++c bx ax
（D ） 1222-=+x x x
2. 下列方程是一元二次方程的一般形式的是（ ）
A. ()1612
=-x B.()27232
=-x C.
0352=-x x D.
8222=+x x 3. 已知1x 、2x 是方程01052=+-x x 的两根，则=+21x x =21x x A. -5，-10 B. -5,10 C. 5，-10 D. 5，10
4．下列一元二次方程中，有实数根的方程是（ ） A ． x 2﹣x+1=0 B ． x 2﹣2x+3=0 C ． x 2+x ﹣1=0
D ． x 2+4=0
5．方程（x+1）（x ﹣3）=0的解是（ ） A ． x 1=1，x 2=3 B ． x 1=，x 2=﹣3 C ． x 1=﹣1，x 2=3 D ． x 1=﹣1，x 2=-3
6．用配方法解6632=-x x 配方得（ ）
A. ()312
=-x B. ()322
=-x C. ()332
=-x D. ()342
=-x
7．方程05622
=++x x 的根的情况是（ ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根
D. 无法判断
8．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x 名同学，根据题意，列出方程为( )
A.x(x ＋1)＝1035
B.x(x －1)＝1035
C.1035)1(21=+x x
D.1035)1(2
1
=-x x
9、若α、β是方程x2+2x-2005=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（ ）
A 、2005
B 、2003
C 、-2005
D 、4010
10、已知关于x 的方程0)12(2
2
=+--k x k x 有两个不相等的实根，那么k 的最大整数值是（ ）
A 、-2
B 、-1
C 、0
D 、1
11、某城2004年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2006年底增加到363公顷，设绿化面积平均每年的增长率为x ，由题意所列方程正确的是（ ） A 、300（1+x ）=363 B 、363)1(3002=+x
C 、300（1+2x ）=363
D 、()36313002
=-x
12、甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为-3
和5，乙把常数项看错了，解得两根为2+ 和2- ，则原方程是（ ） A 、 01542
=-+x x B 、01542
=+-x x
C 、01542=++x x
D 、01542
=--x x
二、填空题（24分）
13．把一元二次方程3x （x ﹣2）=4化为一般形式是 ．
14．方程x 2﹣3x+1=0的一次项系数是 ．
15．关于x 的方程x 2+5x ﹣m=0的一个根是2，则m= ． 16. 方程0162
=-x 的根是 ;
17．写出一个有一根为2=x 的一元二次方程 . 18．关于x 的方程
是一元二次方程，那么m= ．
19．若关于x 的一元二次方程x 2+2x-k=0没有实数根，则k 的取值范围是 ．
20．制造一种商品，原来每件成本为100元，由于连续两次降低成本，现在的成本是每件81元，则平均每次降低成本的百分率是 ．
三、解答题（78分）
21、解方程（每小题4分，共16分）
（1）()1652
=-x （直接开平方法） （2）0142
=+-x x （配方法）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案。
2024-2025学年人教版九年级数学上册第二十一章 一元二次方程单元测试卷(含答案)
第二十一章一元二次方程一、选择题1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A．x−1=0B．x2−x−1=0C．x2−y=0D．1x+x−1=02．一元二次方程x2−4x+1=0配方后，可化为（ ）A．(x−2)2=3B．(x+2)2=3C．(x−2)2=4D．(x+2)2=43．若x=1是方程x2+mx+1=0的一个解，则m的值为（ ）A．1B．2C．−1D．−24．方程x(x−2)=0的解是（ ）A．0B．2C．−2D．0或25．如果关于x的一元二次方程k x2−4x+2=0有实数根，则k的取值范围是（ ）A．k≤2B．k≤2且k≠0C．k<2且k≠0D．k≥2且k≠06．若x1+x2=3，x1x2=2，则以x1，x2为根的一元二次方程是（ ）A．x2−3x+2=0B．x2+3x−2=0C．x2+3x+2=0D．x2−3x−2=07．学校要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式，即每两队之间比赛一场，计划安排15场比赛，应邀请多少个队参加比赛？设应邀请x个球队参加比赛，下列算式正确的是（ ）A．x(x+1)=15B．x(x−1)=15C．12x(x+1)=15D．12x(x−1)=158．若m，n是关于x的一元二次方程x2+2x−5=0的两个根，则m2+mn−2n的值为（ ）A．−6B．6C．−4D．4二、填空题9．若关于x的方程（m+1）x2﹣3x+2＝0是一元二次方程，则m的取值范围是 ．10．将关于x的一元二次方程x2−6x−5=0化成(x+a)2=b的形式，则b= ．11．方程3x2−6x=0的解是 12．已知关于x的方程(a−2)x2−2x+1=0有实数根，则a的取值范围是 13．若x1，x2是一元二次方程x2−x−6=0的两个实数根，则1x1+1x2的值为 ．三、计算题14．解方程：（1）3x2−10x+6=0；（2）5(x+3)2=2(x+3)．15．已知关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+k2+k=0 .（1）求证：方程有两个不相等的实数根.（2）若 Rt△ABC的两边AB，AC的长分别是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，求 k 的值.16．已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2−1=0有两个不相等的实数根.（1）求m的取值范围.（2）设x1，x2分别是方程的两个根，且x21+x22+x1x2−17=0，求m的值.17．交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同.（1）求该品牌头盔销售量的月增长率.（2）若此种头盔的进价为30元/个，经测算，此种头盔在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个.现希望该头盔每月销售利润为10 000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少?18．某超市销售一种衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该超市准备适当降价，经过一段时间测算，发现每件衬衫每降价1元，平均每天可多售出2件.（1）若每件衬衫降价4元，平均每天可售出多少件衬衫? 此时每天销售获利多少元?（2）在每件盈利不少于 25元的前提下，要使该衬衫每天销售获利为1 200元，问每件衬衫应降价多少元?（3）该衬衫每天的销售获利能达到 1 300 元吗?如果能，请写出降价方案；如果不能，请说明理由.1．B 2．A 3．D 4．D 5．B 6．A 7．D 8．D 9．m≠-1 10．1411．x1=0，x2=212．a≤313．−1614．（1）解：3x2−10x+6=0，∵a=3，b=−10，c=6，∴b2−4ac=(−10)2−4×3×6=28>0，∴x=−b±b2−4ac2a =10±286=5±73，∴x1=5+73，x2=5−73；（2）解：5(x+3)2=2(x+3)，5(x+3)2−2(x+3)=0，(x+3)(5x+13)=0，x+3=0或5x+13=0，解得x1=−3，x2=−135．15．（1）证明：∵关于x的一元二次方程为x2−(2k+1)x+k2+k=0，∴Δ=[−(2k+1)]2−4(k2+k)=4k2+4k+1−4k2−4k=1>0，∴关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+k2+k=0有两个不相等的实数根；（2）解：∵关于x的一元二次方程为x2−(2k+1)x+k2+k=0，∴(x−k)[x−(k+1)]=0，解得：x1=k，x2=k+1.∵ Rt△ABC的两边AB，AC的长分别是这个方程的两个实数根，分两种情况讨论如下：当BC=5为直角边时，k2+52=(k＋1)2，解得：k=12；当BC=5为斜边时，k2+(k+1)2=52，解得：k1=3，k2=−4（根据边长为正判断不合题意，舍去），∴k=12或k=3．16．（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实根∴(2m+1)2−4×1×(m2−1)=4m2+4m+1−4m2+4=4m+5＞0，解得m>−54；（2）解：∵ x1，x2分别是方程的两个根∴x1+x2=−(2m+1)=−2m−1，x1·x2=m2−1；∵x12+x22+x1x2−17=0，配方后可得(x1+x2)2−x1x2−17=0；将x1+x2=−(2m+1)=−2m−1和x1·x2=m2−1代入，可得：(−2m−1)2−(m2−1)−17=0，化简可得3m2+4m−15=0；解得m=53或-3（舍去）；∴m的值为53.17．（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，依题意，得：150(1+x)2=216，解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2（不合题意，舍去）．答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%；（2）设该品牌头盔的实际售价为y元，依题意，得：(y−30)(600−y−400.5×5)=10000，整理，得：y2−130y+4000=0，解得：y1=80（不合题意，舍去），y2=50，∵尽可能让顾客得到实惠，∴该品牌头盔的实际售价应定为50元，答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．18．（1）解：由题意可得，每件衬衫降价4元，平均每天可售出衬衫的数量为：20+4×2=28（件）；此时每天获取的利润为(40-4)×28=1008（元）；（2）解：设每件衬衫降价x元（0≤x≤15），由题意可得(20+2x)×(40-x)=1200，整理得x2-30x+200=0，解得x1=10，x2=20(舍)，答：在每件盈利不少于25元的前提下，要使该衬衫每天销售获利为1200元，每件衬衫应降价10元；（3）解：该衬衫每天的销售获利不能达到1300元，理由如下：设每件衬衫降价y元，由题意可得(20+2y)×(40-y)=1300，整理得y2-30y+250=0，∵b2-4ac=302-4×1×250=-100＜0，∴此方程没有实数根，即该衬衫每天的销售获利不能达到1300元.。
人教版九年级上册数学第二十一章测试题及答案
人教版九年级上册数学第二十一章测试卷一、单选题1．关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k -++=的根的情况是（ ）A ．有两不相等实数根B ．有两相等实数根C ．无实数根D ．不能确定2．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是( )A ．ax 2+bx+c ＝0(a ，b ，c 为常数)B ．x 2﹣x ﹣2＝0C ．211x x +﹣2＝0D ．x 2+2x ＝x 2﹣13．若关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋4x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A ．k<5B ．k<5，且k≠1C ．k≤5，且k≠1D ．k>54．一元二次方程y 2﹣4y ﹣3＝0配方后可化为( )A ．(y ﹣2)2＝7B ．(y+2)2＝7C ．(y ﹣2)2＝3D ．(y+2)2＝3 5．用配方法解一元二次方程245x x -=时，此方程可变形为（ ）A ．()221x +=B ．()221x -=C ．()229x +=D ．()229x -= 6．关于x 的一元二次方程x 2-2x -（m -1）=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．0m >且1m ≠B ．0m >C ．0m ≥且1m ≠D ．0m ≥7．一元二次方程2810x x --=配方后可变形为（ ）A ．2(4)17x +=B ．2(4)15x +=C ．2(4)17x -=D ．2(4)15x -= 8．若关于x 的方程260x mx +-=有一个根为2.则另一个根为( )A ．2-B ．2C ．4D ．3-9．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x ，则由题意列方程应为（ ）A ．200（1+x ）2＝1000B ．200+200×2x ＝1000C ．200+200×3x ＝1000D ．200[1+（1+x ）+（1+x ）2]＝100010．如果关于x 的一元二次方程（m ﹣3）x 2+3x +m 2﹣9＝0有一个解是0，那么m 的值是（ ） A ．﹣3 B ．3 C ．±3 D ．0或﹣3 11．一元二次方程x 2+x ﹣2=0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根12．如图，某小区计划在一块长为32m ，宽为20m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m 2．若设道路的宽为xm ，则下面所列方程正确的是（ ）A ．（32﹣2x ）（20﹣x ）=570B ．32x+2×20x=32×20﹣570C ．（32﹣x ）（20﹣x ）=32×20﹣570 D ．32x+2×20x ﹣2x 2=570二、填空题 13．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x 个球队参赛，根据题意，可列方程为_____．14．方程22310x x +-=的两个根为1x 、2x ，则1211+x x 的值等于______． 15．若实数a ，b 满足(4a ＋4b)(4a ＋4b －2)－8＝0，则a ＋b ＝_____．16．设m 、n 是一元二次方程x 2＋3x －7＝0的两个根，则m 2＋4m ＋n ＝_____． 17．三角形的每条边的长都是方程2680x x -+=的根，则三角形的周长是________．三、解答题18．用适当的方法解下列方程：（1）2162250x -= （2）2(21)21x x +=+（3）21x x -= （4）2231y y =+19．已知关于x 的一元二次方程2(3)0x m x m ---=.（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两实根为1x ，2x ，且2212127x x x x +-=，求m 的值．20．如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB ，BC 各为多少米？21．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？22．阅读下面的材料：解方程2||20x x --=．解：当0x >时，原方程化为220x x --=，解得122,1x x ==-（不合题意，舍去）；当0x =时，20-=，矛盾，舍去；当0x <时，原方程化为220x x +-=解得122,1x x =-=（不合题意，舍去）．综上所述，原方程的根是122,2x x ==-．请参照上面材料解方程．（1）2|1|10x x ---=；（2）2|21|4x x =-+．23．已知关于x 的两个一元二次方程：方程①：2(1)(2)102kx k x +++-= ；方程②：x 2+（2k+1）x ﹣2k ﹣3=0．（1）若方程①有两个相等的实数根，求：k 的值（2）若方程①和②只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根．（3）若方程①和②有一个公共根a ，求代数式（a 2+4a ﹣2）k+3a 2+5a 的值．参考答案1．A【详解】【分析】根据一元二次方程的根的判别式进行判断即可.【详解】()2x k 3x k 0-++=，△=[-(k+3)]2-4k=k 2+6k+9-4k=(k+1)2+8，∵(k+1)2≥0，∴(k+1)2+8>0，即△>0，∴方程有两个不相等实数根，故选A.【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0，a ，b ，c 为常数）的根的判别式△=b 2-4ac ．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．2．B【分析】根据一元二次方程的定义逐一进行分析即可求得答案.【详解】A ．若a ＝0，则该方程不是一元二次方程，故A 选项错误，B ．符合一元二次方程的定义，故B 选项正确，C ．属于分式方程，不符合一元二次方程的定义，故C 选项错误，D ．整理后方程为：2x+1＝0，不符合一元二次方程的定义，故D 选项错误，故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．3．B【详解】试题解析：∵关于x 的一元二次方程方程()21410k x x -++=有两个不相等的实数根，∴100k -≠⎧⎨∆>⎩，即()2104410k k -≠⎧⎨-->⎩，解得：k ＜5且k ≠1．故选B ． 4．A【分析】先表示得到243y y -=，再把方程两边加上 4 ，然后把方程左边配成完全平方形式即可 ．解：243y y -=，2447y y -+=，()227y -=．故选A ．【点睛】本题考查解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成()2x m n +=的形式， 再利用直接开平方法求解， 这种解一元二次方程的方法叫配方法 ．5．D【详解】试题解析：245,x x -=24454,x x -+=+ 2(2)9.x -=故选D.6．A【解析】【分析】根据一元二次方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出实数m 的取值范围．【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣（m ﹣1）=0有两个不相等的实数根，∴△=（﹣2）2﹣4×1×[﹣（m ﹣1）]=4m ＞0，∴m ＞0．故选B ．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 7．C先移项，再方程两边同加上16，即可得到答案．【详解】2810--=，x x281-=，x x28+161+16x x-=，2x-=，(4)17故选C．【点睛】本题主要考查一元二次方程的配方，熟练掌握配方法是解题的关键．8．D【分析】将x=2代入方程求出参数m,再重新解方程即可.【详解】∵方程x2+mx﹣6=0有一个根为2．将x=2代入方程得,m=1,∴原方程为x2+x﹣6=0解得：x1=-3,x2=2∴方程另一个根是-3,故选D,【点睛】本题考查了一元二次方程的求解,属于简单题,代入求m的值是解题关键.9．D【分析】根据增长率问题公式即可解决此题，二月为200（1+x），三月为200（1+x）2，三个月相加即得第一季度的营业额.【详解】解：∵一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x，∴二月份的营业额为200×（1+x），∴三月份的营业额为200×（1+x）×（1+x）＝200×（1+x）2，∴可列方程为200+200×（1+x）+200×（1+x）2＝1000，即200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000．故选D．【点睛】此题考察增长率问题类一元二次方程的应用，注意：第一季度指一、二、三月的总和. 10．A【分析】把X=0代入方程(m-3)x2+3x+m2-9=0中,解关于m的一元二次方程,注意m的取值不能使原方程对二次项系数为0【详解】把x=0代入方程(m-3)x2+3X+m2-9=0中得：m2-9=0解得m=-3或3当m=3时,原方程二次项系数m-3=0,舍去,故选A【点睛】此题主要考查一元二次方程的定义，难度不大11．A【详解】∵∆=12-4×1×（-2）=9>0,∴方程有两个不相等的实数根.故选A.点睛:本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.12．A【详解】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm，根据草坪的面积是570m2，即可列出方程:(32−2x)(20−x)=570，故选A.13．12x （x ﹣1）=21 【详解】【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x 个球队比赛总场数为12x （x ﹣1），即可列方程．【详解】有x 个队，每个队都要赛（x ﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得： 12x （x ﹣1）=21， 故答案为12x （x ﹣1）=21．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键. 14．3．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可.【详解】 解：根据题意得1232x x +=-，1212x x =-， 所以1211+x x =1212x x x x +=3212--=3． 故答案为3．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若1x 、2x 是一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）的两根时，12b x x a +=-，12c x x a =． 15．-12或1【详解】试题分析：设a+b=x ，则由原方程，得4x （4x ﹣2）﹣8=0，整理，得16x 2﹣8x ﹣8=0，即2x 2﹣x ﹣1=0，分解得：（2x+1）（x ﹣1）=0，解得：x 1=﹣12，x 2=1．则a+b 的值是﹣12或1．考点：换元法解一元二次方程．16．4．【分析】求代数式的值，一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系．【详解】解：∵m 、n 是一元二次方程x 2＋3x －7＝0的两个根，∴m 2＋3 m －7＝0，即m 2＋3 m ＝7；m ＋n ＝－3．∴m 2＋4m ＋n ＝（m 2＋3 m ）＋（m ＋n ）＝7－3＝4．故答案为：417．6或10或12【分析】首先用因式分解法求得方程的根，再根据三角形的每条边的长都是方程2680x x -+=的根，进行分情况计算．【详解】由方程2680x x -+=，得x =2或4．当三角形的三边是2，2，2时，则周长是6；当三角形的三边是4，4，4时，则周长是12；当三角形的三边长是2，2，4时，2+2=4，不符合三角形的三边关系，应舍去； 当三角形的三边是4，4，2时，则三角形的周长是4+4+2=10．综上所述此三角形的周长是6或12或10．18．（1）121515,44x x ==-；（2）1210,2x x ==-；（3）1x =，2x =；（4）12y y == 【分析】（1）根据方程的形式，用直接开平方法；（2）两个式子都有因式()21x +，用因式分解法；（3）既可以用公式法也可以用配方法；（4）既可以用公式法也可以用配方法．【详解】（1）将方程变形得216225x =，二次项系数化为1，得222516x =，解得121515,44x x ==-． （2）2(21)(21)0x x +-+=，(21)(211)0x x ∴++-=，即2(21)0x x +=，则20x =或210x +=，解得1210,2x x ==-． （3）方程整理得210x x +-=，方程中1,1,1a b c ===-．145∆=+=，x ∴=1x ∴=2x =． （4）将方程变形得23122y y -=，配方，得2391721616y y -+=，即2317416y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，开平方，得34y -=12y y ∴==． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，需要注意根据题意利用适当的方法进行求解，尤其是当式子里面有公因式的时候要能够想到利用因式分解法．19．（1）证明见解析（2）1或2【详解】试题分析：（1）要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明原来的一元二次方程的△的值大于0即可；（2）根据根与系数的关系可以得到关于m 的方程，从而可以求得m 的值．试题解析：（1）证明：∵()230x m x m ---=，∴△=[﹣（m ﹣3）]2﹣4×1×（﹣m ）=m 2﹣2m +9=（m ﹣1）2+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵()230x m x m ---=，方程的两实根为1x ，2x ，且2212127x x x x +-=，∴123x x m +=- ，12x x m =- ，∴()2121237x x x x +-=，∴（m ﹣3）2﹣3×（﹣m ）=7，解得，m 1=1，m 2=2，即m 的值是1或2．20．羊圈的边长AB ，BC 分别是20米、20米.【详解】试题分析：设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为（100﹣4x ）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．试题解析：设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为（100﹣4x ）米． 根据题意得 （100﹣4x ）x=400，解得 x 1=20，x 2=5． 则100﹣4x=20或100﹣4x=80． ∵80＞25， ∴x 2=5舍去． 即AB=20，BC=20考点：一元二次方程的应用．21．（1）4元或6元；（2）九折.【详解】解：（1）设每千克核桃应降价x 元.根据题意，得（60﹣x ﹣40）（100+x2×20）=2240，化简，得 x 2﹣10x+24=0，解得x 1=4，x 2=6.答：每千克核桃应降价4元或6元.（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元.∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元.此时，售价为：60﹣6=54（元），54100%=90%60⨯.答：该店应按原售价的九折出售.22．（1）121,2x x ==-；（2）123,1x x ==-．【分析】（1）分三种情况去掉绝对值，化成一元二次方程，解一元二次方程即可．（2）分三种情况去掉绝对值，化成一元二次方程，解一元二次方程即可．【详解】（1）2|1|10x x ---=，当1x >时，原方程化为20x x -=，解得1210x x ==（舍去），（不合题意，舍去）；当1x =时，原方程化为1010--=，∴1x =是原方程的解；当1x <时，原方程化为220x x +-=，解得1221x x =-=，（不合题意，舍去）．综上所述，原方程的根是1212x x ==-，；（2）2|21|4x x =-+， 当12x >时，原方程化为2230x x --=， 解得1231x x ==-，（不合题意，舍去）； 当12x =时，144=，矛盾，舍去； 当12x <时，原方程化为2250x x +-=，解得11x =-21x =-（不合题意，舍去）．综上所述，原方程的根是1231x x ==-，【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把含绝对值的一元二次方程转化成一元一次方程．23．（1）k=﹣4；（2）证明见解析；（3）5；【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到1+2k ≠0且△1=0，即（k+2）2-4（1+2k ）×（-1）=0，求出k 的值即可.（2）计算第2个方程的判别式得△2=（2k+3）2+4＞0，利用判别式的意义可判断方程②总有实数根，于是可判断此时方程①没有实数根，（3）设a 是方程①和②的公共根，利用方程解的定义得到（1+2k ）a 2+（k+2）a-1=0 ③，a 2+（2k+1）a-2k-3=0④，利用③×2（2+k ）a 2+（2k+4）a ﹣2=0⑤，由⑤+④得（3+k ）a 2+（4k+5）a ﹣2k=5，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．【详解】（1）∵方程①有两个相等的实数根， ∴102k +≠ ，Δ1=0， 则k≠﹣2，△1=b 2﹣4ac=（k+2）2﹣4（1+2k ）×（﹣1）=k 2+4k+4+4+2k=k 2+6k+8， 则（k+2）（k+4）=0，∴k=﹣2，k=﹣4，∵k≠﹣2，∴k=﹣4；（2）∵△2=（2k+1）2﹣4×1×（﹣2k ﹣3）=4k 2+4k+1+8k+12=4k 2+12k+13=（2k+3）2+4＞0，∴无论k 为何值时，方程②总有实数根，∵方程①、②只有一个方程有实数根，∴此时方程①没有实数根．（3）根据a 是方程①和②的公共根， ∴2(1)(2)102k a k a +++-=③， a 2+（2k+1）a ﹣2k ﹣3=0④， ∴③×2得：（2+k ）a 2+（2k+4）a ﹣2=0⑤，⑤+④得：（3+k ）a 2+（4k+5）a ﹣2k=5，代数式=（a 2+4a ﹣2）k+3a 2+5a=（3+k ）a 2+（4k+5）a ﹣2k=5．故代数式的值为5．【点睛】本题考查了根的判别式：利用一元二次方程根的判别式（△=b 2-4ac ）判断方程的根的情况．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．。
人教版九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》测试卷(含答案)
人教版九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》测试卷（含答案）一．选择题1．一元二次方程2x2﹣5x+1＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．无法确定2．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+x+k2﹣4＝0有一个根是0，则k的值是（）A．﹣2B．2C．0D．﹣2或23．关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0有（）A．两个相等的实数根B．两个不相等的正数根C．两个不相等的负数根D．一个正数根和一个负数根4．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥B．m＜C．m＞且m≠1D．m≥且m≠1 5．关于x的多项式N＝x﹣1，M＝2x2﹣ax﹣2，a为任意实数，则下列结论中正确的有（）个．①若M•N中不含x2项，则a＝﹣2；②不论x取何值，总有M≥N；③若关于x的方程M＝0的两个解分别为x1＝t2，x2＝2t﹣3，则实数a的最小值为﹣8；④不论a取何值，关于x的方程（M+N）2﹣（M+N）＝6始终有4个不相同的实数解．A．1B．2C．3D．46．下列配方中，变形正确的是（）A．x2+2x＝（x+1）2B．x2﹣4x﹣3＝（x﹣2）2+1C．2x2+4x+3＝2（x+1）2+1D．﹣x2+2x＝﹣（x+1）2﹣17．某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11、12两个月营业额的月均增长率，设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，则根据题意可列的方程为（）A．2500（1+x）2＝9100B．2500[1+（1+x）+（1+x）2]＝9100C．2500[（1+x）+（1+x）2]＝9100D．9100（1+x）2＝25008．已知A＝x2+6x+n2，B＝2x2+4x+2n2+3，下列结论正确的个数为（）①若A＝x2+6x+n2是完全平方式，则n＝±3；②B﹣A的最小值是2；③若n是A+B＝0的一个根，则4n2+＝；④若（2022﹣A）（A﹣2019）＝2，则（2022﹣A）2+（A﹣2019）2＝4．A．1个B．2个C．3个D．4个9．已知关于x的方程x2+（k+3）x+k+2＝0，则下列说法正确的是（）A．不存在k的值，使得方程有两个相等的实数解B．至少存在一个k的值，使得方程没有实数解C．无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根D．无论k为何值，方程有两个不相等的实数根10．满足（x﹣3）2+（y﹣3）2＝6的所有实数对（x，y），使取最小值，此最小值为（）A．B．C．D．二．填空题11．对于实数m，n，先定义一种运算“⊗”如下：，若x⊗（﹣2）＝10，则实数x的值为．12．德尔塔（Delta）是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地有1人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有144人感染了德尔塔病毒，如果不及时控制，照这样的传染速度，经过三轮传染后，一共有人感染德尔塔病毒．13．已知m，n是方程x2﹣3x＝2的两个根，则式子的值是．14．如图，某生物兴趣小组要在长40米、宽30米的矩形园地种植蔬菜，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽小路，若蔬菜种植面积为1008平方米，则小路的宽为米．15．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程x2+ax＝b2的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程x2+x﹣1＝0的一个正根．如图，一张边长为1的正方形的纸片ABCD，先折出AD，BC的中点E，F，再沿过点A的直线折叠使AD落在线段AF上，点D 的对应点为点H，折痕为AG，点G在边CD上，连接GH，GF，线段BF、DG、CG和GF 中，长度恰好是方程x2+x﹣1＝0的一个正根的线段为．三．解答题16．已知a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根．求：（1）2a2﹣4040a﹣3的值；（2）代数式a2﹣2019a+的值．17．解方程：（1）2x2﹣4x﹣1＝0；（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x．18．在理解例题的基础上，完成下列两个问题：例题：若m2+2mn+2n2﹣4n+4＝0，求m和n的值；解：由题意得：（m2+2mn+n2）+（n2﹣4n+4）＝0，∴（m+n）2+（n﹣2）2＝0∴，解得．请解决以下问题：（1）若x2+4xy+5y2﹣4y+4＝0，求y x的值；（2）若a，b，c是△ABC的边长，满足a2+b2＝12a+8b﹣52，c是△ABC的最长边，且c为偶数，则c可能是哪几个数？19．【阅读材料】“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．例如：求当a取何值，代数式a2+6a+8有最小值？最小值是多少？解：a2+6a+8＝a2+6a+32﹣32+8＝（a+3）2﹣1因为（a+3）2≥0，所以a2+6a+8≥﹣1，因此，当a＝﹣3时，代数式a2+6a+8有最小值，最小值是﹣1．【问题解决】利用配方法解决下列问题：（1）当x取何值时，代数式x2﹣2x﹣1有最小值？最小值是多少？（2）当x＝时，代数式2x2+8x+12有最小值，最小值为．20．近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在逐年增加．某商场从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，两种净化器的销售相关信息如表：A型销售数量（台）B型销售数量（台）总利润（元）51025001052750（1）每台A型空气净化器的销售利润是元；每台B型空气净化器的销售利润是元；（2）该商场计划一次购进两种型号的空气净化器共80台，其中B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，为使该商场销售完这80台空气净化器后的总利润最大，那么应该购进A型空气净化器台；B型空气净化器台．（3）已知A型空气净化器的净化能力为300m3/小时，B型空气净化器的净化能力为200m3/小时．某长方体室内活动场地的总面积为300m2，室内墙高3m．该场地负责人计划购买7台空气净化器，每天花费30分钟将室内空气净化一新，如不考虑空气对流等因素，他至少要购买A型空气净化器多少台？参考答案一．选择题1．【解答】解：∵Δ＝（﹣5）2﹣4×2×1＝25﹣8＝17＞0，∴一元二次方程2x2﹣5x+1＝0有两个不相等的实数根，故选：C．2．【解答】解：把x＝0代入（k﹣2）x2+x+k2﹣4＝0得：k2﹣4＝0，解得k1＝2，k2＝﹣2，而k﹣2≠0，所以k＝﹣2．故选：A．3．【解答】解：x2﹣2x﹣5＝0，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣5）＝24＞0，所以方程有两个不相等的实数根，设方程x2﹣2x﹣5＝0的两个根为e、f，则ef＝﹣5＜0，则e和f异号，即方程有一个正数根和一个负数根，故选：D．4．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，∴，解得：m≥且m≠1．故选：D．5．【解答】解：M•N＝（x﹣1）（2x2﹣ax﹣2）＝2x3﹣（a+2）x2+（a﹣2）x+2，若M•N中不含x2项，则a+2＝0，∴a＝﹣2，故①正确；当x＝0时，N＝﹣1，M＝﹣2，此时M＜N，故②错误；若关于x的方程2x2﹣ax﹣2＝0的两个解分别为x1＝t2，x2＝2t﹣3，则t2+2t﹣3＝，∴a＝2（t+1）2﹣8，∴当t＝﹣1时，a的最小值是﹣8，故③正确；由（M+N）2﹣（M+N）＝6得（M+N﹣3）（M+N+2）＝0，∴M+N﹣3＝0或M+N+2＝0，由M+N﹣3＝0得2x2+（1﹣a）x﹣6＝0，Δ＝（1﹣a）2+48＞0，∴M+N﹣3＝0有两个不相同的实数根，由M+N+2＝0得2x2+（1﹣a）x﹣1＝0，Δ＝（1﹣a）2+8＞0，∴M+N+2＝0有两个不同的实数根，∴（M+N）2﹣（M+N）＝6始终有4个不相同的实数解，故④正确，∴正确的有①③④，共3个，故选：C．6．【解答】解：x2+2x＝x2+2x+1﹣1＝（x+1）2﹣1，A错误．x2﹣4x﹣3＝x2﹣4x+4﹣4﹣3＝（x2﹣4x+4）+（﹣4﹣3）＝（x﹣2）2﹣7．B错误．2x2+4x+3＝2（x2+2x）+3＝2（x2+2x+1﹣1）+3＝2（x2+2x+1）﹣2×1+3＝2（x+1）2﹣2+3＝2（x+1）2+1．C正确．﹣x2+2x＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）＝﹣（x2﹣2x+1）+1＝﹣（x+1）2+1D错误．故选：C．7．【解答】解：设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为2500[1+（1+x）+（1+x）2]＝9100，故选：B．8．【解答】解：①∵A＝x2+6x+n2是完全平方式，∴n＝±3，故结论正确；②∵B﹣A＝2x2+4x+2n2+3﹣（x2+6x+n2）＝x2﹣2x+n2+3＝（x﹣1）2+n2+2，而（x﹣1）2+n2≥0，∴B﹣A≥2，∴B﹣A的最小值是2，故结论正确；③∵A+B＝x2+6x+n2+2x2+4x+2n2+3＝3x2+10x+3n2+3，把x＝n代入3x2+10x+3n2+3＝0，得3n2+10n+3n2+3＝0，即6n2+10n+3＝0，解得n＝，当n＝时，2n+＝+＝﹣，∴4n2+＝（2n+）2﹣4＝﹣4＝；当n＝时，2n+＝+＝﹣，∴4n2+＝（2n+）2﹣4＝﹣4＝；故结论错误；④∵（2022﹣A+A﹣2019）2＝（2022﹣2019）2＝（2022﹣A）2+（A﹣2019）2+2（2022﹣A）（A﹣2019）＝（2022﹣A）2+（A﹣2019）2+2×2＝9，∴（2022﹣A）2+（A﹣2018）2＝5；故结论错误；故选B．9．【解答】解：关于x的方程x2+（k+3）x+k+2＝0，Δ＝（k+3）2﹣4×1×（k+2）＝k2+2k+1＝（k+1）2≥0，A、当k＝﹣1时，Δ＝0，此时方程有两个相等的实数解，故此选项错误；B、因为Δ≥0，所以不存在k的值，使得方程没有实数解．故此选项错误；C、解方程得：x1＝﹣1，x2＝﹣k﹣2，所以无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根﹣1，故此选项正确；D、当k≠﹣1时，方程有两个不相等的实数解，故此选项错误；故选：C．10．【解答】解：令＝t，则（x﹣3）2+（y﹣3）2＝6可变形为：（x﹣3）2+（tx﹣3）2＝6，整理得：（t2+1）x2﹣6（t+1）x+12＝0，则Δ＝[﹣6（t+1）]2﹣4×（t2+1）×12＝36（t+1）2﹣48（t2+1）≥0，t2﹣6t+1≤0，由t2﹣6t+1＝[t﹣（3﹣2）][t﹣（3+2）]知t2﹣6t+1≤0的解集为3﹣2≤t≤3+2，故取最小值，此最小值为3﹣2；故选：A．二．填空题11．【解答】解：分两种情况：当x≥﹣2时，∵x⊗（﹣2）＝10，∴x2+x﹣2＝10，x2+x﹣12＝0，（x+4）（x﹣3）＝0，x+4＝0或x﹣3＝0，x1＝﹣4（舍去），x2＝3，当x＜﹣2时，∵x⊗（﹣2）＝10，∴（﹣2）2+x﹣2＝10，x＝8（舍去），综上所述：x＝3，故答案为：3．12．【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得：1+x+x（1+x）＝144，整理得：x2+2x﹣143＝0，解得：x1＝11，x2＝﹣13（不合题意，舍去）．144+11×144＝1728（人）．答：经过三轮传染后，一共有1728人感染德尔塔病毒．故答案为：1728．13．【解答】解：∵m，n是方程x2﹣3x＝2的两个根，∴m2＝3m+2，n2﹣2＝3n，m+n＝3，∴m3﹣10m+n＝m（3m+2）﹣10m+n＝3m2﹣8m+n＝3（3m+2）﹣8m+n＝m+n+6＝3+6＝9，n﹣＝＝＝3，原式＝9×3＝27．故答案为：27．14．【解答】解：小路的宽为x米．由题意可得：（40﹣2x）（30﹣x）＝1008，解得：x1＝2，x2＝48（不合题意，舍去），答：小路的宽为2米，故答案为：2．15．【解答】解：设DG＝m，则GC＝1﹣m．由题意可知：△ADG≌△AHG，F是BC的中点，∴DG＝GH＝m，FC＝0.5，根据勾股定理得AF＝．∵S正方形＝S△ABF+S△ADG+S△CGF+S△AGF，∴1×1＝×1×+×1×m+××（1﹣m）+××m，∴m＝．∵x2+x﹣1＝0的解为：x＝，∴取正值为x＝．∴这条线段是线段DG．故答案为：DG．三．解答题16．【解答】解：（1）∵a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，∴a2＝2020a﹣1，∴a2＝2020a﹣1，∴2a2﹣4040a﹣3＝2（2020a﹣1）﹣4040a﹣3＝4040a﹣2﹣4040a﹣3＝﹣5；（2）原式＝2020a﹣1﹣2019a+＝a+﹣1＝﹣1＝﹣1＝2020﹣1＝2019．17．【解答】解：（1）2x2﹣4x﹣1＝0，x2﹣2x﹣＝0，x2﹣2x＝，x2﹣2x+1＝，（x﹣1）2＝，x﹣1＝，∴x1＝1+，x2＝1﹣；（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x，3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，（x﹣1）（3x+2）＝0，∴x﹣1＝0或3x+2＝0，∴x1＝1，x2＝﹣．18．【解答】解：（1）∵x2+4xy+5y2﹣4y+4＝0，∴x2+4xy+4y2+y2﹣4y+4＝0，∴（x+2y）2+（y﹣2）2＝0，∴x+2y＝0，y﹣2＝0，解得x＝﹣4，y＝2，∴y x＝2﹣4＝；（2）已知等式整理得：（a﹣6）2+（b﹣4）2＝0，解得：a＝6，b＝4，由△ABC中最长的边是c，∴6≤c＜10，∵c为偶数，∴c可能是6或8．19．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣1＝x2﹣2x+1﹣1﹣1＝（x﹣1）2﹣2，因为（x﹣1）2≥0，所以x2﹣2x﹣1≥﹣2，因此，当x＝1时，代数式x2﹣2x﹣1有最小值，最小值是﹣2；（2）2x2+8x+12＝2（x2+4x）+12＝2（x2+4x+4﹣4）+12＝2[（x+2）2﹣4]+12＝2（x+2）2﹣8+12＝2（x+2）2+4，因为（x+2）2≥0，所以2x2+8x+12≥4，因此，当x＝﹣2时，代数式2x2+8x+12有最小值，最小值是4；故答案为：﹣2；4．20．【解答】解：（1）设每台A型空气净化器的销售利润是x元，每台B型空气净化器的销售利润是y元，根据题意得：，解得：故答案为：200，150；（2）设购进a台A型空气净化器，总利润为w元，则：w＝200a+150（80﹣a）＝50a+12000，∵80﹣a≥2a，∴a≤26，∴a的最大值为：26，∵w随a的增大而增大，∴当a＝26时，w有最大值，此时．80﹣a＝54，故答案为：26，54；（3）设要购买A型空气净化器a台，由题意得：150a+100（7﹣a）≥300×3，解得：a≥4，所以a的最小值为：4，答：至少要购买A型空气净化器4台．。
人教版九年级上册数学第二十一章测试卷附答案
人教版九年级上册数学第二十一章测试卷一、单选题1．如果关于x 的方程27(3)30m m x x ---+=是一元二次方程，那么m 的值为（ ）A ．3±B ．3C ．3-D ．都不是2．如果2是方程x 2-3x +k =0的一个根，则常数k 的值为（ ） A ．2B ．1C ．-1D ．-23．下列说法正确的是（ ）A ．一元二次方程的一般形式是20ax bx c ++=B ．方程2x x =的解是1x =C ．一元二次方程的一般形式是20ax bx c ++= 的根是x =D ．方程()()230x x x +-=的实数根有三个 4．一元二次方程240x -=的解是（ ）A ．2-B ．2C ．D ．2±5．若α，β是方程x 2+2x ﹣2005=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（ ） A ．2005B ．2003C ．﹣2005D ．40106．用配方法将一元二次方程2640x x --=变形为2()x m n +=的形式是（ ） A ．2(3)13x +=B ．2(3)4x -=C ．2(3)5x -=D ．2(3)13x -=7．如果关于x 的方程()2110m x x -++=有实数根，那么m 的取值范围是（ ）A ．54m <B ．5<4m 且1m ≠C ．54m ≤D ．54m ≤且1m ≠ 8．关于x 的方程2()0a x m b ++=的解是12x =-，21(x a =，m ，b 均为常数，0)a ≠，则方程2(2)0a x m b +++=的解是（ ） A ．2-或1B ．4-或1-C ．1或3D ．无法求解9．已知p 、q 是方程x 2-3x-1=0的两个不相等的实数根，则代数式3p 2-8p+q 的值是（ ） A ．6B ．1-C ．3D ．010．把方程2310x x +-=的左边配方后可得方程（ ）A ．2313()24x +=B ．235()24x += C ．2313()24x -= D ．235()24x -=二、填空题11．当x =________时，代数式22x x --与21x -的值互为相反数．12．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x 米，则根据题意可列出关于x 的方程为________．13．若关于x 的方程（k ﹣1）x 2﹣4x ﹣5=0有实数根，则k 的取值范围是_____．14．某商店4月份销售额为50万元，第二季度的总销售额为182万元，若5、6两个月的月增长率相同，求月增长率为________．15．若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是_________．16．已知1x ，2x 分别是一元二次方程260x x --=的两个实数根，则12x x +=________．17．已知关于x 的一元二次方程()2121m x mx +-=的一个根是3x =，则m =________．18．若把代数式232x x -+化为2()x m k -+的形式，其中m ，k 为常数，则m k +=___．19．把关于x 的方程2220x x -+=配方成为()2(2)20a x b x c -+-+=的形式，得___．20．要给一幅长30cm ，宽25cm 的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占的面积为照片面积的四分之一，设镜框边的宽度为xcm ，则依据题意，列出的方程是：_____．三、解答题21．（1）用配方法解方程2650x x +-=（2）用适当的方法解方程：()23(5)25x x -=-22．已知关于x的方程220++-=.x ax a（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.23．用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积为21.44m？（设窗框宽为xm）24．为了绿化学校附近的荒山，某校初三年级学生连续三年春季上山植树，至今已成活了2000棵，已知这些学生在初一时种了400棵，若平均成活率95%，求这个年级两年来植树数的年平均增长率．（只列式不计算）25．如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．（1）当通道宽a为10米时，花圃的面积=________；（2）通道的面积与花圃的面积之比能否恰好等于3:5，如果可以，试求出此时通道的宽．26．在解决数学问题时，我们经常要回到基本定义与基本方法去思考．试利用方程的解的定义及解方程组的基本方法解决以下问题：已知a 是关于x 的方程()22140x k x -++=及()236180x k x --+=的公共解，求a 和k 的值．27．根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式 （1）有一个三位数，它的个位数字比十位数字大3，十位数字比百位数字小2，三个数字的平方和的9倍比这个三位数小20，求这个三位数．（2）如果一个直角三角形的两条直角边长之和为14cm ，面积为224cm ，求它的两条直角边的长．28．若1x ，2x 是关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个根，则方程的两个根1x ，2x 和系数a ，b ，c 有如下关系：12b x x a +=-，12cx x a⋅=，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理，请利用此定理解答一下问题：已知1x ，2x 是一元二次方程()2320m x mx m -++=的两个实数根．（1）是否存在实数m ，使11224x x x x -+=+成立？若存在，求出m 的值，若不存在，请你说明理由；（2）若12x x -m 的值和此时方程的两根．29．某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件． （1）若商场要求该服装部每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多．参考答案1．C【分析】据一元二次方程的定义得到m-3≠0且m2-7=2，然后解不等式和方程即可得到满足条件的m 的值．【详解】解：根据题意得m-3≠0且m2-7=2，解得m=-3．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．2．A【分析】把x=2代入已知方程列出关于k的新方程，通过解方程来求k的值．【详解】解：∵2是一元二次方程x2-3x+k=0的一个根，∴22-3×2+k=0，解得，k=2．故选：A．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．3．D【分析】根据一元二次方程的定义，因式分解法解方程，求根公式进行判断．【详解】A、当ax2+bx+c=0中的a=0时，该方程不是一元二次方程．故本选项错误；B、方程x2=x的解是x=1或x=0．故本选项错误；C、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0，且a≠0．故本选项错误；D、方程x（x+2）（x-3）=0的实数根是x=0或x=-2或x=3，共3个．故本选项正确；故选D．【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法，一元二次方程的一般形式．一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．4．D【分析】这个式子先移项，变成x2=4，从而把问题转化为求4的平方根．【详解】移项得，x2=4开方得，x=±2，故选D．【点睛】（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．5．B【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解则可．设x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2=-ba，x1x2=ca．而α2+3α+β=α2+2α+（α+β），即可求解．【详解】α,β是方程x2+2x−2005=0的两个实数根，则有α+β=−2.α是方程x2+2x−2005=0的根,得α2+2α−2005=0,即：α2+2α=2005.所以α2+3α+β=α2+2α+(α+β)=α2+2α−2=2005−2=2003，故选B.【点睛】此题考查根与系数的关系，一元二次方程的解，解题关键在于掌握运算法则.6．D【分析】先移项，然后两边同时加上一次项系数一半的平方．【详解】2640x x，--=移项得，264x x-=，配方得，2226343x x，-+=+2(3)13x-=，故选:D.【点睛】本题考查了配方法，解题的关键是注意：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．7．C【分析】分类讨论：当m-1=0时，方程为一元一次方程，有解；当m-1≠0时，根据判别式的意义得到△=12-4×（m-1）×1≥0，解得m≤54且m≠1，然后综合两种情况就可得到m的取值范围．【详解】解：当m-1=0时，x+1=0，解得x=-1；当m-1≠0时，△=12-4×（m-1）×1≥0，解得m≤54且m≠1，所以m的取值范围为m≤5 4 .故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．8．B【分析】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．【详解】∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=-2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0），∴方程a（x+m+2）2+b=0变形为a[（x+2）+m]2+b=0，即此方程中x+2=-2或x+2=1，解得x=-4或x=-1．故方程a（x+m+2）2+b=0的解为x1=-4，x2=-1．故选B．【点睛】此题主要考查了方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算．9．A【分析】根据一元二次方程的解的定义得到p2-3p-1=0，即p2=3p+1，则3p2-8p+q=3（3p+1）-8p+q=p+q+3，再根据根与系数的关系得到p+q=3，然后利用整体思想计算即可．【详解】∵p是方程x2-3x-1=0的解，∴p2-3p-1=0，即p2=3p+1，∴3p2-8p+q=3（3p+1）-8p+q=p+q+3，∵p、q是方程x2-3x-1=0的两个不相等的实数根，∴p+q=3，∴3p2-8p+q=3+3=6．故选A．【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系，解题关键是熟记根与系数的关系． 10．A 【分析】首先把常数项1-移项后，再在左右两边同时加上一次项系数3的一半的平方，继而可求得答案. 【详解】 2310x x +-=，∴231x x +=， ∴29931+44x x ++=， ∴231324x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 故选：A . 【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程的知识，此题比较简单，注意掌握配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方.11【分析】根据互为相反数的定义，先列出方程，然后利用公式解方程求得x 的值即可． 【详解】∵代数式x 2−x −2与2x −1的值互为相反数， ∴x 2−x −2+2x −1=0， ∴x 2+x −3=0，b 2−4ac =1−4×1×(−3)=13>0，∴x ==∴12x x ==【点睛】考查一元二次方程的解法，解题的关键是根据题意列出方程. 12．x （5﹣x ）=6． 【详解】试题解析：一边长为x 米，则另外一边长为：5x -， 由题意得：()5 6.x x -= 故答案为()5 6.x x -= 13．15k ≥【详解】当k−1=0，即k=1时，原方程为−4x−5=0， 解得：x=−54，∴k=1符合题意；当k−1≠0，即k≠1时，有4)210(4(1)(5)0k k --≠⎧⎨∆=-⨯-⨯-≥⎩， 解得：k ⩾15且k≠1.综上可得：k 的取值范围为k ⩾15.故答案为k ⩾15.14．20% 【分析】设月平均增长率为x ，就可以表示出5月份的销售额为50×（1+x ）万元，6月份的销售额为50×（1+x ）2万元，根据第二季度的销售总额为182万元建立方程求出其解即可． 【详解】设月平均增长率为x ，就可以表示出5月份的销售额为50×（1+x ）万元，6月份的销售额为50×（1+x ）2万元，由题意，得 50+50×（1+x ）+50×（1+x ）2=182， 解得：x 1=-3.2（舍去），x 2=0.2=20% 故答案为20%．本题考查了运用增长率解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据条件找到等量关系建立方程是关键． 15．1k >-且0k ≠ 【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可求解． 【详解】解：关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根， ∴0k ≠且440k +>， 解得1k >-且0k ≠， 故答案为：1k >-且0k ≠． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，掌握一元二次方程的定义及根的判别式是解题的关键． 16．1 【分析】根据一元二次方程x 2-x-6=0的根与系数的关系x 1+x 2=-ba（a 是二次项系数、b 是一次项系数）来填空． 【详解】∵一元二次方程x 2-x-6=0的二次项系数a=1，一次项系数b=-1， 又∵x 1，x 2分别是一元二次方程x 2-x-6=0的两个实数根， ∴根据根与系数的关系，知 x 1+x 2=-b a =-11-=1；故答案是：1． 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系．根与系数的关系有：x 1+x 2=-b a、x 1•x 2=ca ．解答时，注意要找对方程中的二次项系数、一次项系数及常数项．17．83-将x=3代入方程，再依据一元二次方程的二次项系数不为零，问题可求． 【详解】∵关于x 的一元二次方程（m+1）x 2-2mx=1的一个根是x=3， ∴（m+1）×32-2m×3=1，m+1≠0， ∴m=-83．故答案为-83．【点睛】本题主要考查了方程的根的定义，把求未知系数的问题转化为解方程的问题，是待定系数法的应用，容易出现的错误是忽视二次项系数不等于0这一条件． 18．54【分析】将代数式配方后，求出m 与k 的值，即可确定出m+k 的值． 【详解】x 2-3x+2=x 2-3x+94-14=（x-32）2-14，∴m=32，k=-14，则m+k=32-14=54．故答案为54.【点睛】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．19．()2(2)2220x x -+-+=【分析】此题把x-2看作整体，用配方法可化为（x-2）2+2（x-2）+2=0，即可． 【详解】∵x 2-2x+2=x 2-4x+4+2x-4+2=（x-2）2+2（x-2）+2，∴方程x 2-2x+2=0配方成为a （x-2）2+b （x-2）+c=0的形式为， （x-2）2+2（x-2）+2=0，故答案为（x-2）2+2（x-2）+2=0. 【点睛】本题考查了用配方法解一元一次方程，还考查了一个很重要的思想，整体思想． 20．()()530225230254x x ++=⨯⨯【分析】镜框所占的面积为照片面积的四分之一，为了不出差错，最好表示出照片加上镜框的面积．那么镜框+照片的面积=54照片面积．【详解】 如图，设镜框边的宽度为xcm ，那么新矩形的长（30+2x ）cm ，宽（25+2x ）cm ， ∴（30+2x ）（25+2x ）=54×30×25．故填空答案：（30+2x ）（25+2x ）=54×30×25． 【点睛】本题的难点在于把给出的关键描述语进行整理，找到不容易出差错的等量关系．21．（1）3x =-（2）5x =或133x = 【分析】（1）配方法求解可得； （2）因式分解法求解可得． 【详解】（1）∵265x x +=，∴26959x x ++=+，即2(3)14x +=，∴3x +=则3x =-；（2）∵()23(5)250x x -+-=，∴()()53520x x ⎡⎤--+=⎣⎦，即()()53130x x --=， 则50x -=或3130x -=， 解得：5x =或133x =． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 22．（1）12，32-；（2）证明见解析.【详解】试题分析：（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可. （2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可. 试题解析：（1）设方程的另一根为x 1，∵该方程的一个根为1，∴1111{211a x a x +=--⋅=.解得132{12x a =-=.∴a 的值为12，该方程的另一根为32-.（2）∵()()222241248444240a a a a a a a ∆=-⋅⋅-=-+=-++=-+>， ∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.考点：1.一元二次方程根与系数的关系；2. 一元二次方程根根的判别式；3.配方法的应用. 23．宽为0.8m 、长为1.8m 或长宽均为1.2m 【详解】试题分析：设出长为x ，然后表示出宽，利用面积公式列出方程求解即可． 试题解析：设窗框宽为xm 63 1.442xx -⋅= 22550240x x -+=(54)(56)0x x --= 120.8, 1.2x x ==答：宽为0.8m 、长为1.8m 或长宽均为1.2m 考点：一元二次方程的应用．24．()(295%[40040014001)2000x x ⎤++++=⎦【分析】设这个年级两年来植树数的年平均增长率我x ，然后用含x 的表达式表示每年的植树数量，再根据题中相等的关系列出方程即可. 【详解】设这个年级两年来植树数的年平均增长率我x ， 由题意得：初二时植树数为：()4001x +， 那么这些学生在初三时的植树数为：2400(1)x +；由题意得：()(295%[40040014001)2000x x ⎤++++=⎦．【点睛】本题考查列一元二次方程，解此题的关键在于用含x 的表达式表示出各个数值，再找出题中相等的关系即可.25．（1）800（米2）；（2）5米． 【分析】（1）用含a 的式子先表示出花圃的长和宽后利用其矩形面积公式列出式子即可； （2）根据通道所占面积是整个长方形空地面积的38，列出方程进行计算即可． 【详解】解：（1）由图可知，花圃的面积为（40-2a ）（60-2a ）； 当a=10米时，面积=（40-2×10）（60-2×10）=800（米2） 故答案为：800（米2）；（2）由已知可列式：60×40-（40-2a ）（60-2a ）=38×60×40， 解得：a 1=5，a 2=45（舍去）． 答：所以通道的宽为5米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据所给出的图形和数据表示出花圃的长和宽．26．a 的值为1，k 的值为2 【分析】根据一元二次方程解的意义，列出关于a 、k 的二元二次方程组，然后解方程组即可． 【详解】∵a 是这两个方程的公共根，则()()22214036180a k a a k a ⎧-++=⎪⎨--+=⎪⎩，由①3⨯-②得1a =，将1a =代入①，得()12140k -++=， 解得2k =．故a 的值为1，k 的值为2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题时，逆用一元二次方程解的定义易得出关于a 、k 的方程组，在解题时要重视解题思路的逆向分析． 27． (1)227791060x x +-=；(2)214480x x -+=． 【分析】（1）个位上的数字是几，表示几个一，十位上的数字是几就表示几个十，百位上的数字是几就表示几个百；由此求解；（2）设一边长为x ，然后表示出另一边，然后利用直角三角形的面积的计算方法列出方程即可． 【详解】解：()1设十位数字为x ，则个位数字为3x +，百位数字为2x +，根据题意得：()()][(222[10021039(3)2)20x x x x x x ⎤++++-++++=⎦，化简为227791060x x +-=；(2)设其中一条直角边的长为x ，则另一条直角边为()14x -，根据题意得：()114242x x -=，整理得：214480x x -+=． 【点睛】本题考查了由实际问题列出一元二次方程，解题的关键是找到等量关系，难度不大．28．（1）存在，12（2）1x ，2x =；1x =2x =【分析】（1）先根据根的判别式得到m 的取值范围为m≥0且m≠3，再根据根与系数的关系得x 1+x 2=23m m --，x 1•x 2=3m m -，然后利用-x 1+x 1x 2=4+x 2得2433m mm m =---，再解关于m 的方程即可；（2）先利用完全平方公式变形得到（x 1-x 2）2=3，即（x 1+x 2）2-4x 1x 2=3，再把1223mx x m +=--，123m x x m ⋅=-，代入得到（-23m m -）2-4×3mm -=3，解得m 1=1，m 2=9，然后分别把m 的值代入原方程，并且利用公式法解方程． 【详解】 （1）存在．∵1x ，2x 是一元二次方程()2320m x mx m -++=的两个实数根，∴30m -≠且()24430m m m =--⋅≥，∴m 的取值范围为0m ≥且3m ≠， 根据根与系数的关系得1223m x x m +=--，123mx x m ⋅=-， ∵11224x x x x -+=+， ∴12124x x x x =++， ∴2433m mm m =---， ∴12m =；（2）∵12x x -∴212()3x x -=，即21212()43x x x x +-=，∴22()4333m mm m --⨯=--，解得11m =，29m =，当1m =时，原方程变形为22210x x --=，解得1x =，2x =当9m =时，原方程变形为22630x x ++=，解得1x =，2x =【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=-b a、x 1•x 2=ca ．也考查了一元二次方程根的判别式．29．（1）设每件应降价x 元，由题意可列方程为（40-x ）•（30+2x ）=1200，解得x1=0，x2=25，当x=0时，能卖出30件；当x=25时，能卖出80件．根据题意，x=25时能卖出80件，符合题意，不降价也能盈利1200元，符合题意．因为要减少库存，所以应降价25元．答：每件衬衫应降价25元；（2）设商场每天盈利为W元．W=（40-x）（30+2x）=-2x2+50x+1200=-2（x2-25x）+1200=-2（x-12.5）2+1512.5．当每件衬衫降价为12或13元时，商场服装部每天盈利最多．【详解】（1）本题的关键语“每件降价1元时，平均每天可多卖出2件”，设每件应降价x元，用x 来表示出商场所要求的每件盈利的数额量，然后根据盈利1200元来列出方程；（2）根据（1）中的方程，然后按一元二次方程的特点，来求出最大值．解：（1）设每件应降价x元，由题意可列方程为(40－x)·(30+2x)=1200，解得x1=0，x2=25，当x=0时，能卖出30件；当x=25时，能卖出80件．根据题意，x=25时能卖出80件，符合题意．故每件衬衫应降价25元．(2)设商场每天盈利为W元．W=(40－x)(30+2x)=－2x2+50x+1200=－2(x2－25x)+1200=－2(x－12.5)2+1512.5当每件衬衫降价为12.5元时，商场服装部每天盈利最多，为1512.5元．。
人教版九年级数学上册第二十一章全章测试题
人教版九年级数学上册第二十一章全章测试题IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】人教版九年级数学上册第二十一章全章测试题（总分120分考试时间：120分钟）班别：姓名：考号：一、选择题（每题3分，共36分）1、下列选项中是一元二次方程的是（）A 、0322=+y xB 、05352=+-x xC 、047=-y xD 、129312-+x x 2、将一元二次方程25)2(4=+x x 化为一般形式正确的是（）A 、25842=+xB 、025842=+-x xC 、25842=+x xD 、025842=-+x x3、一元二次方程02572=--x x 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A 、7，1，25B 、7，25,1--C 、7，0，25-D 、7，0，254、下列哪些数是一元二次方程0122=-+x x 的根（）A 、4B 、4-C 、3-D 、55、用直接开平方法解一元二次方程25)7(2=+x 两边开平方正确的是（）A 、257±=+xB 、57-=+xC 、57=+xD 、57±=+x6、用配方法解一元二次方程532=-x x 下一步配方正解的是（）A 、65632+=+-x xB 、2352332+=+-x xC 、54932=+-x xD 、4954932+=+-x x 7、一元二次方程642=-x x 根的情况是（）A 、一个实数根B 、两个不等实数根C 、两个相等实数根D 、无实数根8、关于x 的一元二次方程0452=--a x x 的一个根是51-，另一个根是（） A 、2=x B 、1=x C 、5=x D 、3=x9、一个直角三角形，一条直角边长xcm ，另一条直角边比它长3cm ，面积是92cm ，求直角边的长，列出的一元二次方程正确的是（）A 、9)3(=-x xB 、9)3(=+x xC 、92)3(=-x xD 、92)3(=+x x 10、要组织一次排球比赛，每两个队都比赛两场，共比赛110场，共有（）队参加比赛？A 、9B 、10C 、11D 、1211、已知关于x 的一元二次方程022=+-k x x 有两个实数根，则k 的取值范围（）A 、k ＞1B 、1≥kC 、k ＜1D 、1≤k12、在正方形纸板上剪下一个长方形后，余下另一个长方形，长比宽多3cm ，面积为242cm ，设原正方形边长为x cm ，依题意列出方程正确的是（）A 、2432=+x xB 、24)3(=-x xC 、24)3(2=-xD 、24)3(=+x x二、填空题（每小题3分，共18分）13、写出一个一元二次方程。
人教版九年级上册数学第21章《一元二次方程》 单元测试(含答案)
试卷第1页，总3页 第二十一章《一元二次方程》 测试题一、单选题（共12小题，每小题3分，共36分）1．下列方程为一元二次方程的是 ( )A ．ax 2+bx+c=0B ．x 2－2x －3C ．2x 2＝0D ．xy ＋1＝02．把方程x （3-2x ）+5=1化成一般式后二次项系数与常数项的积是（ ）A ．3B ．-8C ．-10D ．153．若关于x 的一元二次方程(a ＋1)x 2＋x ＋a 2－1＝0的一个解是x ＝0，则a 的值为( )A ．1B ．－1C ．±1D ．04．若a-b+c=0，则方程ax 2+bx+c=0(a 0≠)必有一个根是（ ）A ．0 B ．1C ．-1 D ．b a -5．用配方法解一元二次方程2x 2﹣4x+1=0，变形正确的是（ ）A ．（x ﹣12）2=0 B ．（x ﹣12）2=12 C ．（x ﹣1）2=12 D ．（x ﹣1）2=06．已知直角三角形的两边长是方程x 2﹣7x+12=0的两根，则第三边长为（ ） A ．7 B ．5C 7D ．577．若关于 x 的一元二次方程x 2﹣x ﹣3m ＝0有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（）A ．m 12>B ．m 112<C ．m ＞﹣112D ．m 112< 8．若方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1、x 2，则11x ＋21x 的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．13 D ．－139．已知关于x 的一元二次方程(2a －1)x 2＋(a ＋1)x ＋1＝0的两个根相等，则a 的值等于( )A ．－1或－5B ．－1或5C ．1或－5D ．1或510．如图，在长为33米宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路（阴影部分），余下的部分为草坪，要使草坪的面积为510平方米，则道路的宽为（ ）A ．1米B ．2米C ．3米D ．4米11．是下列哪个一元二次方程的根（ ） A ．3x 2+5x+1=0、 B ．3x 2﹣5x+1=0、 C ．3x 2﹣5x ﹣1=0、 D ．3x 2+5x ﹣1=012．已知m ，n 是方程x 2﹣2018x +2019＝0的两个根，则（m 2﹣2019m +2018）（n 2﹣2019n +2018）的值是（ ）A ．1B ．2C ．4037D ．4038二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．一元二次方程4x 2= 3x 的解是_____________．14．圣诞节时，某班一个小组有x 人，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡110张，则可列方程为_____．15．关于a 的方程2420a a ++=的两个解为1a 、2a ，则2212a a +=_____. 16．已知两数的积是12,这两数的平方和是25, 以这两数为根的一元二次方程是___________.三、解答题（共6小题，第17题8分，第18题12分，第19题6分，第20题6分，第21题8分，第22题12分，共52分）17、解下列方程 (1) x 2-2x-5=0 (用配方法) (2)2x 2+3x=4(公式法)18、已知关于x 的方程||(2)210m m x x ++-=．（1）当m 为何值时是一元一次方程？（2）当m 为何值时是一元二次方程？19、 已知两个方程20x px q ++=和20x qx p ++=仅有一个相同的根，求p q +的值．20、小刚在做作业时，不小心将方程2350x bx --=的一次项系数用墨水覆盖住了，但从题目的答案中，他知道方程的一个解为5x =，请你帮助小刚求出被覆盖住的数试卷第3页，总3页 21、已知关于x 的一元二次方程22(51)40x m x m m -+++=. 求证：无论m 取任何实数时，原方程总有两个实数根；22、现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？参考答案1．考点：一元二次方程试题解析：解析：A 选二次项系数为字母，要强调不为0；B 选项不是等式；D 选项有两个未知数，故选C ．答案：C2．.考点：一元二次方程的一般形式试题解析：解析：x （3-2x ）+5=1 -2x 2+3x+4=0 -2×4=-8 故选B ．答案：B3．考点：一元二次方程的解试题解析：解析：将x ＝0代入原方程得a 2－1＝0且a ＋1≠0所以a=1故选A ．答案：A4．考点：一元二次方程试题解析：解析：A 选二次项系数为字母，要强调不为0；B 选项不是等式；D 选项有两个未知数，故选C ．答案：C5．考点：配方法答案第4页，总3页试题解析：解析x 2﹣2x+12=0 x 2﹣2x+1=12（x ﹣1）2=12故选C ．答案：C6．考点：解一元二次方程和勾股定理试题解析：解析：解方程得x 1 =3, x 2=4.当3和4为直角边时，第三边为5，当4为斜边故选D ．答案：D7．考点：一元二次方程根的判别式和一元一次不等式的解法试题解析：解析：∆= b ²-4ac >0即1+12m >0 m >﹣112故选C ． 答案：C8．考点：一元二次方程根与系数的关系 试题解析：解析：11x ＋21x =(x ₁+x ₂)/(x ₁x ₂)=﹣3 故选B ． 答案：B9．考点：一元二次方程根的判别式和解一元二次方程试题解析：解析：(a ＋1)²- 4(2a －1)=0解得a ₁=1a ₂=5故选D ．答案：D10．考点：一元二次方程的应用试题解析：解析：设路宽为x,依题可得：（20-x ）(33-x)=510解得x 1 =3, x 2=50（舍去）故选C ．答案：C11．考点：一元二次方程求根公式试题解析：解析：由一元二次方程求根公式与方程给出的根可找出a=3 b=5 c = - 1 故选D ．答案：D12．考点：一元二次方程的解和根与系数的关系试题解析：解析：将m 和n 分别代入方程变形得m 2﹣2018m =-2019n 2﹣2018n =-2019将原式变形后整体代入（-2019-m+2018(-2019-n+2018)=(-1-m)(-1-n)=1+m+n+mn∵m+n=2018 mn=2019∴原式=1+2018+2019=4038故选D ．答案：D13．考点：解一元二次方程(因式分解法)试题解析：解析：4x 2 -3x= 0 x(4x-3)=0 x 1 =0, x 2=34答案：x 1 =0, x 2=3414．考点：一元二次方程的应用试题解析：答案：x （x ﹣1）＝11015．考点：一元二次方程根与系数的关系和完全平方公式试题解析：解析：2212a a +=（a ₁+a ₂）²-2a ₁a ₂答案：1216．考点：一元二次方程解法和根与系数的关系试题解析：解析：∵ x₁x₂=12 x₁²+x₂²=25∴x ₁+x ₂=7或-7答案：x 2-7x+12=0或x 2+7x+12=017．考点：一元二次方程解法答案：(1)11x =21x =；(2)134x -=，234x -= 18．考点：一元一次方程和一元二次方程的概念试题解析：解析：（1）注意分三种情况讨论（2）注意指数和系数答案：（1）-2或±1或0 （2）2 19．考点：一元二次方程根和方程组试题解析：解析：x ²+px+q= x ²+qx+p (p-q)x=p-q x=1代入原方程1+p+q=0 ∴p+q=-1答案：-1；.20．考点：一元二次方程解试题解析：解析：答案：1421．考点：一元二次方程根的判别式和完全平方公式试题解析：解析：答案：∵∆= b ²-4ac =（5m+1）²-4（4m ²+m ）=9m ²+6m+1=(3m+1)²≥0∴不论m 取任何实数，原方程总有两个实数根22．考点：一元二次方程的应用和一元一次不等式试题解析：解析：（1）设增长率为x ，依题可得10（1+x ）²=12.1解得x 1 =0.1, x 2=-2.1(舍去)故增长率为10％；（2）6月总数12.1×（1+10％）=13.31>21×0.6所以不能完成任务。
人教版九年级上册数学第二十一章测试卷带答案
人教版九年级上册数学第二十一章测试卷一、单选题1．如果2是方程的一个根，那么c 的值是（ ） A ．4 B ．－4 C ．2 D ．－22．用配方法解方程x 2+8x ﹣9=0时，此方程可变形为（ ）A ．（x+4）2=7B ．（x+4）2=25C ．（x+4）2=9D ．（x+4）2=﹣7 3．一元二次方程240x -=的解是（ ）A ．x 1＝2，x 2＝-2B ．x ＝-2C ．x ＝2D ．x 1＝2，x 2＝0 4．将二次函数y=x 2﹣2x+3化为y=（x ﹣h ）2+k 的形式，结果为（ ）A ．y=（x+1）2+4B ．y=（x ﹣1）2+4C ．y=（x+1）2+2D ．y=（x ﹣1）2+25．设x 1、x 2是一元二次方程2x 2﹣4x ﹣1=0的两实数根，则x 12+x 22的值是（ ） A ．2 B ．4 C ．5 D ．66．已知一元二次方程2x 2+x ﹣5=0的两根分别是x 1，x 2，则x 12+x 22的值是（ ）A ．12B ．-12C ．-214D ．2147．有下列关于x 的方程：①ax 2+bx+c=0，②3x （x ﹣4）=0，③x 2+y ﹣3=0，④21x +x=2，⑤x 3﹣3x+8=0，⑥12x 2﹣5x+7=0，⑦（x ﹣2）（x+5）=x 2﹣1．其中是一元二次方程的有（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58．关于x 的一元二次方程()222201440a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值（ ）A ．-2B ．2C ．2或-2D ．09．某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为，可列方程为 （ ）A ．120（1－x ）2="100"B ．100（1－x ）2=120C ．100（1＋x ）2=120D ．120（1＋x ）2=10010．华润万家超市某服装专柜在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌童装平均每天可售出20件．为了迎接“六一”，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，要想平均每天销售这种童装盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠，设降价x 元，根据题意列方程得( )A ．(40﹣x)(20+2x)＝1200B ．(40﹣x)(20+x)＝1200C ．(50﹣x)(20+2x)＝1200D ．(90﹣x)(20+2x)＝1200二、填空题11．方程 2x -4x+c=0有两个不相等的实数根，则c 的取值范围是________．12．已知1x =是方程²30x ax ++=的一个根，则a 的值为_________________13．已知x=2是方程 232x ﹣2a=0的一个根，则2a+1=________． 14．当x=________时，代数式（3x ﹣4）2与（4x ﹣3）2的值相等．15．若（x 2+y 2）2﹣3（x 2+y 2）﹣70=0，则x 2+y 2= _________ ．16．等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x 的一元二次方程x 2﹣12x+k=0的两个根，则k 的值是________．17．已知m 是方程2x 2﹣x ﹣1=0的一个根，则代数式6m 2﹣3m 的值等于_____．18．若x=a 是方程x 2+x ﹣1=0的一个实数根，则代数式3a 2+3a ﹣5的值是__________．19．方程()()231212x x x +-=+化为一般形式为________20．在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由去年10月份的7000元/m 2下降到12月份的5670元/m 2，则11、12两月平均每月降价的百分率是_____．三、解答题21．请选择适当的方法解下列一元二次方程：（1）240x -=（2）(6)5x x -=22．我市一家电子计算器专卖店每只进价13元，售价20元，为了扩大销售，该店现规定，凡是一次买10只以上的，每多买1只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，例如，某人买20只计算器，于是每只降价0.10×(20－10)=1(元)，因此，所买的全部20只计算器都按照每只19元计算，但是最低价为每只16元．问一次卖多少只获得的利润为120元？23．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．24．某单位通过旅行社组织职工去上海世博会.下面是领队与旅行社导游收费标准的一段话：领队：每人的收费标准是多少？导游：如果人数不超过30人，人均旅游费用为120元.领队：超过30人怎样优惠呢？导游：如果超过30人，每增加1人，人均旅游费用就降低2元，但人均旅游费用不得低于90元.该单位按旅行社的收费标准组团参观世博会后，共支付给旅行社4000元.请你根据上述信息，求该单位这次参观世博会的共有几人？25．如图，学校准备修建一个面积为48m2的矩形花园．它的一边靠墙，其余三边利用长20m 的围栏．已知墙长9m，问围成矩形的长和宽各是多少？26．巴中市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于有关部门关于房地产的新政策出台后，部分购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售，若两次下调的百分率相同，求平均每次下调的百分率．27．一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．若图案中三条彩条所占面积是图案面积的25，求横、竖彩条的宽度．28．如图，已知△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发(点P 不与点A、B重合，点Q不与点B、C重合)，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t s，则当t为何值时，△PBQ是直角三角形？参考答案1．A【详解】解：由题意得，40-=c解得：4c =，故选A ．2．B【分析】将方程常数项移动右边，两边都加上16，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．【详解】x 2+8x ﹣9＝0，移项得：x 2+8x ＝9，配方得：x 2+8x +16＝25，即（x +4）2＝25．故选B ．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟掌握完全平方公式是解答本题的关键．3．A【分析】首先将原方程移项可得24x =，据此进一步利用直接开平方法求解即可.【详解】原方程移项可得：24x =，解得：12x =，22x -=，故选：A.【点睛】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握相关方法是解题关键.4．D【详解】试题分析：本题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式即可得y=x 2﹣2x+3=x 2﹣2x+1﹣1+3=（x ﹣1）2+2．故选D ．考点：二次函数的三种形式5．C【详解】【分析】根据根与系数的关系得出x 1+x 2=2，x 1•x 2=-12，把2212x x +2化成(x 1+x 2)2-2x 1x 2代入进行求出即可.【详解】∵x 1、x 2是一元二次方程2x 2﹣4x ﹣1=0的两实数根，∴x 1+x 2=2，x 1x 2=﹣12，∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=22﹣2×（﹣12）=5，故选C ．【点睛】本题考查了根与系数的关系的应用，关键是把所求的代数式化成含有x 1+x 2和x 1•x 2的形式．6．D【分析】根据根与系数的关系得到x 1+x 212=-，x 1x 252=-，再利用完全平方公式变形得到x 12+x 22＝（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2，然后利用整体代入的方法计算．【详解】根据题意得：x 1+x 212=-，x 1x 252=-，所以x 12+x 22＝（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2＝（12-）2﹣2×（52124）-=． 故选D ．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2b a =，x 1x 2c a=． 7．A【详解】一元二次方程有②⑥，共2个，故选A.8．A【分析】代入求解即可，注意二次项系数不为0.【详解】因为0是方程的根，所以a 2–4=0，又因为a ≠2，所以a=–2.【点睛】二次项系数不为0是易错点.9．A【详解】∵某种商品原价是120元，平均每次降价的百分率为x ，∴第一次降价后的价格为：120×（1﹣x ），∴第二次降价后的价格为：120×（1﹣x ）×（1﹣x ）=120×（1﹣x ）2，∴可列方程为：120（1﹣x ）2=100，故选A ．10．A【详解】试题分析：总利润=单件利润×数量；单件利润=90－50－x ，数量=20+2x ，则（40－x ）（20+2x ）=1200．考点：一元二次方程的应用11．c ＜4.【详解】试题分析：利用方程有两个不相等的实数根时△＞0，建立关于c 的不等式，求出c 的取值范围即可．由题意得△=2b ﹣4ac=16﹣4c ＞0，解得c ＜4.故答案为c ＜4．考点：根的判别式．12．4-【分析】把1x =代入方程²30x ax ++=，即可求出a 的值． 【详解】把1x =代入方程²30x ax ++=，得 1+a+3=0，∴a=-4．故答案为：-4．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，也叫作一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程解得定义是解答本题的关键．13．7【分析】根据一元二次方程解的定义把x ＝2代入232x -2a ＝0得到关于a 的方程，然后解关于a 的方程即可．【详解】把x ＝2代入232x -2a ＝0得：6﹣2a ＝0，解得：2a ＝6，2a +1＝6+1＝7． 故答案为7．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．14．﹣1或1【分析】代数式（3x ﹣4）2与（4x ﹣3）2的值相等，则可得到一个一元二次方程，然后移项，套用公式a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ）进行因式分解，利用因式分解法即可得到x 的值．【详解】由题意得：（3x ﹣4）2＝（4x ﹣3）2移项得：（3x ﹣4）2﹣（4x ﹣3）2＝0分解因式得：[（3x ﹣4）+（4x ﹣3）][（3x ﹣4）﹣（4x ﹣3）]＝0解得：x 1＝﹣1，x 2＝1．故答案为﹣1或1．【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法，当方程通过移项把等式的右边化为0后，方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的式子的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．【详解】试题分析：将看作一个整体，记则方程为解得a=-7或10即又因为所以考点：解一元二次方程；整体思想点评：本题实际考查解一元二次方程，本题的关键在于整体思想的应用16．36【分析】分3为等腰三角形的腰与3为等腰三角形的底两种情况考虑．①当3为等腰三角形的腰时，将x＝3代入原方程可求出k的值，再利用分解因式法解一元二次方程可求出等腰三角形的底，由三角形的三边关系可确定此情况不存在；②当3为等腰三角形的底时，由方程的系数结合根的判别式可得出△＝144﹣4k＝0，解之即可得出k值，进而可求出方程的解，再利用三角形的三边关系确定此种情况符合题意．此题得解．【详解】①当3为等腰三角形的腰时，将x＝3代入原方程得9﹣12×3+k＝0，解得：k＝27，此时原方程为x2﹣12x+27＝0，即（x﹣3）（x﹣9）＝0，解得：x1＝3，x2＝9．∵3+3＝6＜9，∴3不能为等腰三角形的腰；②当3为等腰三角形的底时，方程x2﹣12x+k＝0有两个相等的实数根，∴△＝（﹣12）2﹣4k＝144﹣4k＝0，解得：k＝36，此时x1＝x2122-=-=6．∵3、6、6可以围成等腰三角形，∴k＝36．故答案为36．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法、根的判别式、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，分3为等腰三角形的腰与3为等腰三角形的底两种情况考虑是解题的关键．【分析】把x=m 代入方程得出2m 2﹣m=1，把6m 2﹣3m 化成3（2m 2﹣m ），代入求出即可．【详解】解：∵m 是方程2x 2﹣x ﹣1=0的一个根，∴2m 2﹣m ﹣1=0，∴2m 2﹣m=1，∴6m 2﹣3m=3（2m 2﹣m ）=3×1=3，故答案为：3．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的应用，用了整体代入思想，即把2m 2﹣m 当作一个整体来代入．18．-2.【详解】试题分析：由题意，将x=a 代入关于x 的方程得，a 2+a-1=0,移项：a 2+a=1,所以3a 2+3a-5=3(a 2+a)-5=3×1-5=-2.故答案为-2.考点：一元二次方程根的意义.19．5x 2﹣x ﹣3=0【分析】将原方程移项、合并同类项，就可化成ax 2+bx+c=0（a≠0）的形式.【详解】解:()()231212x x x +-=+，6x 2+2x ﹣3x ﹣1=x 2+2，6x 2+2x ﹣3x ﹣1﹣x 2﹣2=0，5x 2﹣x ﹣3=0，故答案为5x 2﹣x ﹣3=0【点睛】考查一元二次方程的一般形式.一元二次方程的一般形式为：形如ax 2+bx+c=0（a≠0）. 20．10%【分析】设11、12两月平均每月降价的百分率是x ，那么11月份的房价为7000（1−x ），12月份的房价为7000（1−x ）2，然后根据12月份的价格即可列出方程解决问题．【详解】解：设11、12两月平均每月降价的百分率是x ，由题意，得：7000（1﹣x ）2＝5670，解得：x 1＝0.1＝10%，x 2＝1.9（不合题意，舍去）．故答案为：10%．【点睛】本题是一道一元二次方程的应用题，与实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键．21．(1) x 1=﹣2，x 2=2；(2)13x =23x =【详解】试题分析：利用直接开平方法直接可求解；（2）先化简，再根据公式法求解.试题解析：（1）x 2﹣4=0x 2=4x=±2（2）x （x ﹣6）=5x 2-6x-5=0因为a=1，b=-6，c=-5所以△=36-4×（-5）=56＞0所以x ==3，所以13x =13x =22．20只【分析】设每次卖x 只，所获得的利润为120元，根据我市一家电子计算器专卖店每只进价13元，售价20元，为了扩大销售，该店现规定，凡是一次买10只以上的，每多买1只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，可列方程求解.【详解】设每次卖x只，所获得的利润为120元，x[20-13-0.1（x-10）]=120x2-80x+1200=0x=20或x=60（舍去）．（因为最多降价到16元，所以60舍去．）故卖20只时利润可达到120.23．（1）见解析；（2）a=12，x1=﹣32【分析】（1）根据根的判别式即可求解；（2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0，求出a，再利用根与系数的关系求出方程的另一根．【详解】解：（1）∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4≥0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．（2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0得1+a+a﹣2=0，解得a=12；∴方程为x2+12x﹣32=0，即2x2+x﹣3=0，设另一根为x1，则1×x1=ca=﹣32，∴另一根x1=﹣32．【点睛】此题主要考查一元二次方程根的求解，解题的关键是熟知根的判别式与根与系数的关系．24．30X120="3600" ∵3600小于4000，∴参观的人数大于30人设共有x人，则人均旅游费为【120-2（x-30）】元由题意得：x【120-2（x-30）】=4000整理得：x1＝40,x2＝50当x=40时，120—2（40-30）=100大于90当x=50时，120—2（50.30）=80.小于90（不合，舍去）答：该单位这次参观世博会共又40人【分析】本题要先判断出人数的大致范围，判断是否超过30人，根据对话中给出的条件来套用合适的等量关系：人均旅游费×人数＝4000元，即可列出方程求解．【详解】30×120＝3600．∵3600＜4000，∴参观的人数大于30人，设共有x人，则人均旅游费为[120﹣2（x﹣30）]元，由题意得：x[120﹣2（x﹣30）]＝4000解得：x1＝40，x2＝50．当x＝40时，120﹣2（40﹣30）＝100＞90；当x＝50时，120﹣2（50﹣30）＝80＜90（不合，舍去）．答：该单位这次参观世博会共有40人．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键是首先要弄清题意，可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．25．围成矩形的长为8m、宽为6m【详解】试题分析：设宽为xm，则长为（20﹣2x）m，然后根据48平方米的长方形即可列出方程，解方程即可解决问题．解：设宽为x m，则长为（20﹣2x）m．由题意，得x•（20﹣2x）=48，解得x1=4，x2=6．当x=4时，20﹣2×4=12＞9（舍去），当x=6时，20﹣2×6=8．答：围成矩形的长为8m、宽为6m．考点：一元二次方程的应用．26．10%【分析】设平均每次下调的百分率为x ，根据调价前后的价格，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取小于1的正值即可得出结论．【详解】设平均每次下调的百分率为x ，根据题意得：5000（1﹣x ）2=4050，解得：x 1=0.1=10%，x 2=1.9（不合题意，舍去）．答：平均每次下调的百分率为10% .【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据调价前后的价格，列出关于x 的一元二次方程是解题的关键．27．横彩条的宽度为3cm ，竖彩条的宽度为2cm ．【分析】设竖彩条的宽度为xcm ，则横彩条的宽度为3cm 2x ，根据三条彩条所占面积是图案面积的25,即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】设竖彩条的宽度为xcm ，则横彩条的宽度为3cm 2x , 根据题意，得：23322021223542012225x x x x x x ⨯+⨯⋅-⨯⋅=-+=⨯⨯， 整理，得：218320x x -+=，解得：12216x x ==，（舍去）， ∴332x =， 答：横彩条的宽度为3cm ，竖彩条的宽度为2cm ．【点睛】考查由实际问题抽象出一元二次方程，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键. 28．当t=1秒或t=2秒时，△PBQ 是直角三角形．【分析】分情况进行讨论：①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°．然后在直角三角形BQP 中根据BP ，BQ的表达式和∠B 的度数进行求解即可．【详解】根据题意得AP=tcm，BQ=tcm，△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，∴BP=（3-t）cm，△PBQ中，BP=3-t，BQ=t，若△PBQ是直角三角形，则∠BQP=90°或∠BPQ=90°，BP，当∠BQP=90°时，BQ=12（3-t），t=1（秒），即t=12BQ，当∠BPQ=90°时，BP=12t，∴3-t=12∴t=2（秒），答：当t=1秒或t=2秒时，△PBQ是直角三角形．【点睛】主要考查了直角三角形的判定、等边三角形的性质．分情况进行讨论：①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°是解本题的关键．。
人教版九年级上册数学第二十一章测试卷有答案
人教版九年级上册数学第二十一章测试卷一、单选题1．关于x 的方程（m ﹣1）x 2+2mx ﹣3＝0是一元二次方程，则m 的取值是（ ） A ．任意实数 B ．m ≠1 C ．m ≠﹣1 D ．m ＞12．一元二次方程254x x +=-的一次项的系数是（ ）A ．4B ．-4C ．1D ．53．若关于x 的一元二次方程(a ＋1)x 2＋x ＋a 2－1＝0的一个解是x ＝0，则a 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．04．方程（x +1）2＝0的根是（ ）A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝x 2＝﹣1C ．x 1＝﹣1，x 2＝1D ．无实根5．方程x 2+2x +1＝0的根是（ ）A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝x 2＝﹣1C ．x 1＝﹣1，x 2＝1D ．无实根6．方程210x x +-=的根是（ ）A ．1BC ．1-D 7．方程240x x -=的根是（ ）A ．x=4B ．x=0C ．120,4x x ==D ． 1204,x x ==- 8．如果（x +2y ）2+3（x +2y ）﹣4＝0，那么x +2y 的值为（ ）A ．1B ．﹣4C ．1或﹣4D ．﹣1或39．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2k +1）x +k 2＝0①有两个不相等的实数根．则k 的取值范围为（ ）A ．k ＞﹣14B ．k ＞4C ．k ＜﹣1D ．k ＜410．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（ ）A ．50（1+x ）²=182B ．50+50（1+x ）+50（1+x ）²=182C ．50(1+2x)=182D ．50+50(1+x)+550（1+x ）²=182二、填空题11．已知1x =-是方程230x ax a ++-=的一个根，则a 的值是_______.12．如果关于x 的方程（m ﹣1）x 3﹣mx 2+2＝0是一元二次方程，那么此方程的根是_____． 13．已知关于x 的一元二次方程210mx x ++=有实数根，则m 的取值范围是__． 14．将一元二次方程x 2﹣6x +10＝0化成（x ﹣a ）2＝b 的形式，则b 的值为_____． 15．圣诞节时，某班一个小组有x 人，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡110张，则可列方程为_____．16．我市计划用三年时间对全市学校的设施和设备进行全面改造，2015年市政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，2017年投资7.2亿元人民币，那么每年投资的增长率为_____．17．若12x x 、是一元二次方程2310x x -+=的两个根，则1211+x x ＝___________． 18．已知x ＝2是一元二次方程x 2+mx +6＝0的一个根，则方程的另一个根是_____． 19．施秉县城关镇为打造“绿色小镇”，投入资金进行河道治污．已知2017年投入资金1000万元，2019年投入资金1210万元．（1）求该镇投入资金从2017年至2019年的年平均增长率；（2）若2020年投入资金保持前两年的年平均增长率不变，求该镇2020年预计投入资金多少万元？三、解答题20．解方程：（1）2（x ﹣3）＝3x （x ﹣3）（2）2x 2﹣x ﹣3＝0．21．是否存在某个实数m ，使得方程x 2+mx +2＝0和x 2+2x +m ＝0有且只有一个公共的实根？如果存在，求出这个实数m 及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由．22．关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+mx﹣1＝0是一元二次方程，求m的值．23．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于0，求k的取值范围．24．汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设.某汽车销售公司2016年盈利1500万元，到2018年盈利2160万元，且从2016年到2018年，每年盈利的年增长率相同.（1）求平均年增长率？（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2019年盈利多少万元？25．为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？参考答案1．B【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足二次项系数不为0，所以m －1≠0，即可求得m 的值．【详解】根据一元二次方程的定义得：m －1≠0，即m ≠1，故答案为B.【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握该定义是本题解题的关键.2．A【分析】方程整理为一般形式，求出一次项系数即可．【详解】方程整理得：x 2+4x +5=0，则一次项系数为4．故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx +c =0（a ，b ，c 是常数且a ≠0）特别要注意a ≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．3．A【分析】方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于a 的方程，从而求得a 的值,且（a ＋1)x 2＋x ＋a 2－1＝0为一元二次方程，+10a ≠即-1a ≠． 【详解】把x=0代入方程得到：a 2－1＝0解得：a=±1． （a ＋1)x 2＋x ＋a 2－1＝0为一元二次方程∴+10a ≠即-1a ≠．综上所述a=1.故选A ．【点睛】此题考查一元二次方程的解，解题关键在于掌握一元二次方程的求解方法.4．B【分析】根据平方根的意义,利用直接开平方法即可进行求解.【详解】(x +1)2＝0,解: x +1=0,所以x 1＝x 2＝﹣1,故选B.【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法,解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程的解法. 5．B【分析】由原方程得出（x+1）2=0，开方即可得．【详解】∵x 2+2x+1=0，∴(x+1)2=0，则x+1=0，解得：x 1=x 2=−1，故答案选：B.【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程-配方法，解题的关键是熟练的掌握解一元二次方程-配方法.6．D【分析】观察原方程，可用公式法求解.【详解】解：∵1a =，1b =，1c =-，∴241450b ac -=+=>，∴x =； 故选：D .【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，正确理解运用一元二次方程的求根公式是解题的关键. 7．C【分析】利用因式分解法求解即可．【详解】方程整理得：x （x ﹣4）=0，可得x =0或x ﹣4=0，解得：x 1=0，x 2=4．故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． 8．C【分析】在本题中有两个未知数，且通过观察最后结果，可采用换元法，把2x y +当成一个整体进行考虑.【详解】设2x y a +=，则原方程变形为2340a a +-=，解得4a =-或1a =.故选：C .【点睛】此题考查了解一元二次方程，主要是把2x y +当成一个整体，把求代数式的值的问题转化为解关于这个整体的方程，利用因式分解法求解.9．A【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0；即可得出关于k 的一元一次不等式；解之即可得出结论．【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2+（2k +1）x +k 2=0有两个不相等的实数根，∴△=（2k +1）2﹣4×1×k 2=4k +1＞0，∴k ＞﹣14．故选A ．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 10．B【分析】先根据平均每月的增长率求出该厂五．六月份生产的零件数量，再根据“第二季度共生产零件182万个”列出方程即可．【详解】由题意得：该厂五、六月份生产的零件数量分别为50(1)x +万个、250(1)x +万个 则25050(1)50(1)182x x ++++=故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意，正确求出该厂五、六月份生产的零件数量是解题关键．11．2【分析】由题意知x=-1是方程x 2+ax+3-a=0的一个根，再根据一元二次方程的根的定义代入x=-1，求解即可．【详解】∵x=-1是方程的根，由一元二次方程的根的定义，可得，1-a+3-a=0，解此方程得到a=2．【点睛】本题考查一元二次方程解的定义，把解代入方程易得出a 的值．12．【分析】直接利用一元二次方程的定义得出m 的取值范围，再代入方程解方程即可．【详解】由题意得：10{0m m -=-≠， ∴m=1，原方程变为：﹣x 2+2=0，x=故答案为【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握二次项系数不为零是解题关键． 13．14m 且0m ≠ 【分析】由于关于x 的一元二次方程有实数根， 计算根的判别式， 得关于m 的不等式， 求解即可 【详解】解：关于x 的一元二次方程210mx x ++=有实数根，则△140m =-，且0m ≠．解得14m ≤且0m ≠． 故答案为14m ≤且0m ≠． 【点睛】本题考查了根的判别式、 一次不等式的解法及一元二次方程的定义 ． 题目难度不大， 解题过程中容易忽略0m ≠条件而出错 ．14．8【分析】对原方程移项，利用完全平方公式的特点对其配方.【详解】原方程移项得x 2﹣6x=-1，配方得x 2﹣6x+9=-1＋9，即（x-3）2=8故b 的值为8．【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程配方法，解题的关键是熟练的掌握解一元二次方程配方法.15．x （x ﹣1）＝110【分析】设这个小组有x 人，要求他们之间互送贺卡，即除自己外，每个人都要求送其他的人一张贺卡，即每个人要送x －1张贺卡，所以全组共送x （x －1）张，又知全组共送贺卡110张，由送贺卡数相等为等量关系，列出方程即可．【详解】设这个小组有x 人，则每人应送出x −1张贺卡，由题意得：x (x −1)＝110，故答案为x (x −1)＝110.【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，熟练掌握该知识点是本题解题的关键. 16．20%【分析】先设每年投资的增长率为x ．根据2015年县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2017年投资7.2亿元人民币，列方程求解．【详解】设每年投资的增长率为x ，根据题意,得：5(1＋x )2＝7.2，解得：x 1＝0.2＝20%,x 2＝−2.2(舍去)，答：每年投资的增长率为20%.故答案为20%.【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握该定义是本题解题的关键.17．3【分析】根据韦达定理可得123x x +=，121=x x ，将1211+x x 整理得到1212x x x x +，代入即可． 【详解】解：∵12x x 、是一元二次方程2310x x -+=的两个根，∴123x x +=，121=x x ，∴121212113x x x x x x ++==， 故答案为：3．【点睛】 本题考查韦达定理，掌握12b x x a +=-，12c x x a=是解题的关键． 18．x=3．【分析】设方程的另一根为a ，由根与系数的关系可得到方程2a=6，解方程求得a 的值，即可求得原方程的另一根．【详解】设方程的另一根为a ，∵x=2是一元二次方程x 2+mx+6=0的一个根，∴2a=6，解得a=3，即方程的另一个根是x=3，故答案为x=3．【点睛】 本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和等于﹣b a、两根之积等于c a 是解题的关键． 19．(1）该镇投入资金从2017年至2019年的年平均增长率为10%;（2）该镇2020年预计投入资金1331万元．【分析】（1）利用2017年投资1000万元，2019年投资1210万元，进而得出方程求出即可； （2）利用（1）中所求，得出2020年该镇2020年预计投入资金．【详解】(1）设该镇投入资金从2017年至2019年的年平均增长率为x ，根据题意得：2100011210x （＋）＝，解得：120.110% 2.1x x ＝＝，＝﹣（舍去）． 答：该镇投入资金从2017年至2019年的年平均增长率为10%．（2）1210×（1＋10%）＝1331（万元）．答：该镇2020年预计投入资金1331万元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.20．（1）x1＝3，x2＝23；（2）x1＝32，x2＝﹣1．【分析】（1）方程整理后，利用因式分解法求出解即可；（2）方程变形后，利用因式分解法求出解即可．【详解】解：（1）2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0，（x﹣3）（2﹣3x）＝0，x﹣3＝0或2﹣3x＝0，所以x1＝3，x2＝；（2）（2x﹣3）（x＋1）＝0，2x﹣3＝0或x＋1＝0，所以x1＝，x2＝﹣1．【点睛】本题考查了解一元二次方程－因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是本题解题的关键.21．实数m＝﹣3，两方程的公共根为x＝1．【分析】设两方程的公共根为a，然后将两方程相减，消去二次项，求出公共根和m的值．【详解】解：假设存在符合条件的实数m，且设这两个方程的公共实数根为a，则①﹣②，得a（m﹣2）＋（2﹣m）＝0（m﹣2）（a﹣1）＝0∴m＝2 或a＝1．当m＝2时，已知两个方程是同一个方程，且没有实数根，故m＝2舍去；当a＝1时，代入②得m＝﹣3，把m＝﹣3代入已知方程，求出公共根为x＝1．故实数m＝﹣3，两方程的公共根为x＝1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解及定义，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.22．m的值为3．【分析】根据一元二次方程的定义，m＋1≠0、│m－1│＝2即可求出答案.【详解】解：根据题意得，|m﹣1|＝2，且m＋1≠0，解得：m＝3，答：m的值为3．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是本题解题的关键. 23．（1）见解析；（2）k＜﹣1．【分析】根据一元二次方程的解及定义，（1）根据公式法可知当 ≥0时，方程总有两个实数根；（2）通过因式分解法求出两根，可得其中一个为实数、一个为k＋1，再根据方程一根小于0即可求出本题答案.【详解】（1）证明：∵△＝[﹣（k＋3）]2﹣4×1×（2k＋2）＝k2﹣2k＋1＝（k﹣1）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵x2﹣（k＋3）x＋2k＋2＝0，即（x﹣2）[x﹣（k＋1）]＝0，∴x1＝2，x2＝k＋1．∵方程有一个根小于0，∴k＋1＜0，∴k＜﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解及定义，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.24．（1）20%；（2）2592万元．【分析】（1）设平均年增长率为x ，根据题意列出方程，求解即可，需注意去除不符合题意的根； （2）根据所求得的平均增长率和2018年盈利2160万元，即可求出2019年盈利.【详解】解：（1）设平均年增长率为x ，根据题意得：()2150012160x +=，整理得：()21 1.44x +=，开方得：1 1.2x +=±，解得：0.220%x ==或 2.2x =-（舍去），则平均年增长率为20%；（2）根据题意得：()2160120%2592⨯+=（万元），则2019年盈利2592万元．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，能根据增长率公式列出方程是解决本题的关键，需注意要排除不符合题意的根.25．共有35名同学参加了研学游活动．【分析】由该班实际共支付给旅行社3150元，可以判断出参加的人数在30人以上，等量关系为：（100﹣在30人基础上降低的人数×2）×参加人数=3150，得到相关解后根据人均活动费用不得低于80元作答即可．【详解】∵100×30=3000＜3150，∴该班参加研学游活动的学生数超过30人．设九（1）班共有x 人去旅游，则人均费用为[100﹣2（x ﹣30）]元，由题意得： x[100﹣2（x ﹣30）]=3150，整理得x 2﹣80x+1575=0，解得x 1=35，x 2=45，当x=35时，人均旅游费用为100﹣2（35﹣30）=90＞80，符合题意．当x=45时，人均旅游费用为100﹣2（45﹣30）=70＜80，不符合题意，应舍去． 答：该班共有35名同学参加了研学旅游活动．。
第二十一章 一元二次方程 单元测试(含答案) 2024-2025学年人教版九年级数学上册
第二十一章一元二次方程一、选择题（每题3分，共24分）1．在一元二次方程x2−2x−3=0中，一次项系数是（ ）A．1B．0C．−2D．−3 2．若x=−1是关于x的方程x2+ax=0的一个根，则a的值为（ ）A．1B．2C．3D．43．用配方法解方程x2-6x-1=0时，配方结果正确的是（ ）A．(x-3)2=10B．(x-3)2=8C．(x-6)2=10D．(x-3)2=1 4．一元二次方程x2−2x=0的解是（ ）A．x1=3，x2=1B．x1=2，x2=0C．x1=3，x2=−2D．x1=−2，x2=−15．一元二次方程x(x−1)=2(x−1)的解完全正确的是（ ）A．x=2B．x1=2,x2=1C．x1=−2,x2=1D．x1=3,x2=−1 6．若关于x的一元二次方程（k−1）x2−4x−1=0有实数根，则k的取值范围（ ）A．k＞−3B．k≥−3且k≠1C．k＞−3且k≠0D．k≤−37．若一元二次方程2x2+3x﹣6＝0的两个根分别为x1，x2，则x1•x2的值等于（ ）A．﹣6B．6C．﹣3D．38．甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，若有一人感染了“甲流”，若得不到有效控制，则每轮传染平均一个人传染x人，经过两轮传染后共有256人感染了“甲流”．则关于x的方程为（ ）A．x+x(x+1)=256B．x2+x=256C．1+x+x(x+1)=256D．(x+1)+(x+1)2=256二、填空题（每题4分，共20分）9．若方程(m−1)x2+6x−1=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 ．10．用配方法解一元二次方程x2+6x+3=0时，将它化为(x+m)2=n的形式，则m−n的值为 .11．已知关于x的一元二次方程2m x2−4x+1−5n=0有两个相等的实数根，则2m+5n的值为 .12．已知三角形两边的长分别是2和5，第三边的长是方程x2-7x+10＝0的根，则这个三角形的周长是 ．13．已知m,n是方程x2+4x−3=0的两个实数根，则m2+5m+n+2024的值是 ．三、计算题（共10分）14．解方程：（1）x2−4x−12=0；（2）x(x−9)=8(9−x)．四、解答题（共46分）15．关于x的一元二次方程2x2−4x+(2m−1)=0有两个不相等的实数根.（1）求m的取值范围；（2）若方程有一个根为x=3+1，求m的值和另一根.16．已知关于x的一元二次方程x2−(m+2)x+m−1=0.（1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x21+x22−x1x2=9，求m的值.17．为了提升居民生活质量，完善社区公共区域配套设施，今年夏天长春市在多个城区实施了旧城改造工程．已知某工程队在开始施工的7月份为某小区翻新道路12000m2，为了在入冬前完成道路翻新工程，之后加快了工程进度，结果9月份为该小区翻新道路14520 m2．（1）求这两个月该工程队工作效率的月平均增长率．（2）若10月份该工程队的工作效率按此增长率增长，估计到10月末该工程队能否完成该小区共55000m2的道路翻新任务？18．某超市销售一种衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该超市准备适当降价，经过一段时间测算，发现每件衬衫每降价1元，平均每天可多售出2件.（1）若每件衬衫降价4元，平均每天可售出多少件衬衫? 此时每天销售获利多少元?（2）在每件盈利不少于 25元的前提下，要使该衬衫每天销售获利为1 200元，问每件衬衫应降价多少元?（3）该衬衫每天的销售获利能达到 1 300 元吗?如果能，请写出降价方案；如果不能，请说明理由.1．C2．A3．A4．B5．B6．B7．C8．C9．m≠110．−311．112．1213．202314．（1）解：x2−4x−12=0 x2−4x=12x2−4x+4=12+4(x−2)2=16x−2=±4即：x−2=4或x−2=−4∴x1=6，x2=−2（2）解：x(x−9)=8(9−x)解：x(x−9)−8(9−x)=0x(x−9)+8(x−9)=0(x−9)(x+8)=0即：x−9=0或x+8=0∴x1=9，x2=−815．（1）解：∵方程2x2−4x+(2m−1)=0有两个不相等的实数根，∴Δ=16−8(2m−1)=24−16m>0解得m<32；∵方程有一个根x=3+1，∴2×(3+1)2−4×(3+1)+(2m−1)=0解得m=−32，则2x2−4x−4=0，x2−2x−2=0∵x1+x2=2，∴x2=2−(1+3)=1−3，则x1=1+3，x2=1−3，即m的值是−32，另一根是1−3．16．（1）证明：Δ=[−(m+2)]2−4×1×(m−1)=m2+8，∵无论m取何值，m2+8>0，恒成立，∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；（2）解：∵x1，x2是方程x2−(m+2)x+m−1=0的两个实数根，∴x1+x2=m+2，x1⋅x2=m−1，∵x21+x22−x1x2=(x1+x2)2−3x1x2=9，∴(m+2)2−3(m−1)=9解得：m1=1或m2=−2.17．（1）解：设该工程队工作效率的月平均增长率为x，根据题意，得12000(1+x)2=14520．解这个方程，得x1=0.1，x2=−2.1（不合题意舍去）．答：该工程队工作效率的月平均增长率为10%．（2）解：8月的工程量为：13200m2；10月的工程量为：15972m2；12000+13200+14520+15972=55692>55000．所以该工程队能完成该小区的道路翻新任务．18．（1）解：由题意可得，每件衬衫降价4元，平均每天可售出衬衫的数量为：20+4×2=28（件）；此时每天获取的利润为(40-4)×28=1008（元）；（2）解：设每件衬衫降价x元（0≤x≤15），由题意可得(20+2x)×(40-x)=1200，整理得x2-30x+200=0，解得x1=10，x2=20(舍)，答：在每件盈利不少于25元的前提下，要使该衬衫每天销售获利为1200元，每件衬衫应降价10元；（3）解：该衬衫每天的销售获利不能达到1300元，理由如下：设每件衬衫降价y元，由题意可得(20+2y)×(40-y)=1300，整理得y2-30y+250=0，∵b2-4ac=302-4×1×250=-100＜0，∴此方程没有实数根，即该衬衫每天的销售获利不能达到1300元.。
人教版九年级上册数学第二十一章同步测试试卷及答案
第二十一章综合素质评价一、选择题(每题3分，共30分)1．下列式子是一元二次方程的是()A．3x2－6x＋2 B．x2－y＋1＝0 C．x2＝0 D.1x2＋x＝22．【教材P3例题拓展】若方程2x2＋mx＝4x＋2不含x的一次项，则m＝() A．1 B．2 C．3 D．43．【教材P14练习T1改编】一元二次方程x2－2x＝0的根是()A．x1＝0，x2＝－2 B．x1＝1，x2＝2C．x1＝1，x2＝－2 D．x1＝0，x2＝24．【教材P9练习T1改编】用配方法解方程x2－6x－8＝0时，配方结果正确的是() A．(x－3)2＝17 B．(x－3)2＝14C．(x－6)2＝44 D．(x－3)2＝15．【2020·沈阳】一元二次方程x2－2x＋1＝0的根的情况是()A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定6．方程x2－6x＝5的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2的值是()A．－3 B．0 C．3 D．67．【教材P22习题T7变式】【2020·衢州】某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示，设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程()A．180(1－x)2＝461B．180(1＋x)2＝461C．368(1－x)2＝442D．368(1＋x)2＝4428．已知3是关于x的方程x2－(m＋1)x＋2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边的长，则△ABC的周长为()A．7 B．10 C．11 D．10或119．【2021·武汉】已知a，b是方程x2－3x－5＝0的两根，则代数式2a3－6a2＋b2＋7b＋1的值是()A．－25 B．－24 C．35 D．3610．若关于x的一元二次方程mx2－2x－1＝0无实数根，则一次函数y＝mx＋m的图象不经过．．．()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限二、填空题(每题3分，共24分)11．若关于x的方程(m－1)x|m＋1|＋3x－2＝0是一元二次方程，则m的值为________．12．【教材P4习题T1变式】一元二次方程(3x－1)(2x＋4)＝1化成一般形式为____________，其中二次项系数为________，一次项系数为________．13．【教材P4习题T7变式】【2021·长沙】若关于x的方程x2－kx－12＝0的一个根为3，则k 的值为________．14．【教材P17习题T4改编】【2021·吉林】若关于x的一元二次方程x2＋3x＋c＝0有两个相等的实数根，则c的值为____________．15．定义运算“★”：对于任意实数a，b，都有a★b＝a2－3a＋b，如3★5＝32－3×3＋5＝5.若x★2＝6，则实数x的值是____________．16．【2021·南京】设x1，x2是关于x的方程x2－3x＋k＝0的两个根，且x1＝2x2，则k＝________. 17．【教材P21习题T2拓展】有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，则这个两位数是________．18．在解一元二次方程x2＋bx＋c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝2，x2＝3；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝1，x2＝4.请你写出正确的一元二次方程：____________.三、解答题(19题16分，25题10分，其余每题8分，共66分)19．用适当的方法解下列方程：(1)(x＋1)2－4＝0；(2)x(x－2)＝8(2－x)；(3)x2－3x＋1＝0; (4)y2－2y＝5.20．利用判别式判断下列方程的根的情况：(1)x2－5x＝－7；(2)(x－1)(2x＋3)＝x；(3)x2＋5＝25x.21．已知关于x的一元二次方程x2＋kx－2＝0的一个解与方程x＋2x－1＝4的解相同，求：(1)k的值；(2)方程x2＋kx－2＝0的另一个解．22．【2021·罗湖区】现代互联网技术的广泛应用，加速了快递行业的发展，据调查，某家小型快递公司，今年3月与5月完成投递的快件总数分别为10万件和14.4万件，现假定该公司每月投递的快件总数的增长率相同．(1)求该快递公司投递快件总数的月平均增长率．(2)如果该公司平均每名快件投递业务员每月最多可投递快件0.6万件，那么该公司现有的21名快件投递业务员能否完成今年6月的快件投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？23．【2020·随州】已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m－2＝0.(1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程有两个实数根x1，x2，且x1＋x2＋3x1x2＝1，求m的值．24．先阅读下面的材料，再解答问题．解方程：x4－5x2＋4＝0.这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2－5y＋4＝0①，解得y1＝1，y2＝4.当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2.∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2.(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到________的目的，体现了数学中的转化思想．(2)解方程：(x2＋x)2－4(x2＋x)－12＝0.25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，点P从A点开始沿AC边向C点以1 cm/s的速度移动，在C点停止，点Q从C点开始沿CB边向点B以2 cm/s的速度移动，在B点停止．(1)如果点P，Q分别从A，C同时出发，经过2 s后，S△QPC＝________cm2.(2)如果点P从点A先出发2 s，点Q再从点C出发，问点Q移动几秒后S△QPC＝4 cm2?(3)如果点P，Q分别从A，C同时出发，经过几秒后PQ＝BQ?答案一、1.C 2.D 3.D 4.A 5.B 6.D7.B8.D9.D点思路：原式＝2a·(a2－3a)＋b2－3b＋10b＋1.将a＋b＝3，a2－3a＝3，b2－3b＝5代入化简求值.10．A二、11.－312.6x2＋10x－5＝0；6；1013.－114.9415.4或－116.217.2418. x2－5x＋6＝0 点思路：利用“将错就错”法，先求出c＝2×3＝6，再求出－b＝1＋4＝5，即b＝－5.三、19.解：(1)原方程变形为(x＋1)2＝4，开平方，得x＋1＝±2.∴x1＝1，x2＝－3.(2)原方程变形为x(x－2)－8(2－x)＝0，因式分解得(x－2)(x＋8)＝0，∴x－2＝0或x＋8＝0，∴x1＝2，x2＝－8.(3)∵a＝1，b＝－3，c＝1，∴Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×1×1＝5.∴x＝3±52，即x1＝3＋52，x2＝3－52.(4)配方，得y2－2y＋1＝5＋1，即y2－2y＋1＝6，则(y－1)2＝6.∴y－1＝±6.∴y1＝1＋6，y2＝1－ 6.20．解：(1)方程变形为一元二次方程的一般形式为：x2－5x＋7＝0.∵a＝1，b＝－5，c＝7，∴Δ＝b2－4ac＝(－5)2－4×1×7＝－3<0，∴方程没有实数根；(2)方程变形为一元二次方程的一般形式为：2x2－3＝0.∵a＝2，b＝0，c＝－3，∴Δ＝b2－4ac＝02－4×2×(－3)＝24>0，∴方程有两个不相等的实数根；(3)方程变形为一元二次方程的一般形式为：x2－25x＋5＝0. ∵a＝1，b＝－25，c＝5，∴Δ＝b2－4ac＝(－25)2－4×1×5＝0，∴方程有两个相等的实数根．21．解：(1)解x＋2x－1＝4，得x＝2.经检验，x＝2是分式方程的解．∴x＝2是x2＋kx－2＝0的一个解．∴4＋2k－2＝0，解得k＝－1.(2)由(1)知方程为x2－x－2＝0，解得x1＝2，x2＝－1.∴方程x2＋kx－2＝0的另一个解为x＝－1.22．解：(1)设该快递公司投递快件总数的月平均增长率为x，根据题意得10(1＋x)2＝14.4，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．答：该快递公司投递快件总数的月平均增长率为20%；(2)今年6月的快件投递任务是14.4×(1＋20%)＝17.28(万件)．∵平均每名快件投递业务员每月最多可投递快件0.6万件，∴21名快件投递业务员能完成的快件投递任务是0.6×21＝12.6(万件)．∵12.6<17.28，∴该公司现有的21名快件投递业务员不能完成今年6月的快件投递任务．至少需要增加业务员(17.28－12.6)÷0.6≈8(名)．答：该公司现有的21名快件投递业务员不能完成今年6月的快件投递任务，至少需要增加8名业务员．23．(1)证明：∵Δ＝(2m＋1)2－4×1×(m－2)＝4m2＋4m＋1－4m＋8＝4m2＋9>0，∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．(2)解：由根与系数的关系得x1＋x2＝－(2m＋1)，x1x2＝m－2.由x1＋x2＋3x1x2＝1，得－(2m＋1)＋3(m－2)＝1，解得m＝8.24.点易错：利用换元法解方程要注意，第一次求得的解并不是最终解，还需要将“元”代入所设方程求解.解：(1)换元；降次(2)设x2＋x＝y，则原方程可化为y2－4y－12＝0，解得y1＝6，y2＝－2.由x2＋x＝6，解得x1＝－3，x2＝2；由x2＋x＝－2，得方程x2＋x＋2＝0，Δ＝b2－4ac＝1－4×2＝－7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x1＝－3，x2＝2.25．解：(1)8(2)设点P出发t s时S△QPC＝4 cm2，则点Q移动的时间为(t－2)s，由题意得：12(6－t)·2(t－2)＝4，所以t2－8t＋16＝0，解得t1＝t2＝4.经检验符合题意．所以t－2＝2.＝4 cm2.答：点Q移动2 s后S△QPC(3)设经过x s后PQ＝BQ，则PC＝(6－x)cm，QC＝2x cm，BQ＝(8－2x)cm，在Rt△PCQ中，PC2＋CQ2＝PQ2＝BQ2，即(6－x)2＋(2x)2＝(8－2x)2，解得x1＝－10＋82，x2＝－10－82(不合题意，舍去)．答：经过(－10＋82)s后PQ＝BQ.。