微分方程模型习题解答人口的预测和控制模型
数学建模人口预测模型正确答案
一、问题提出人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一。
认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提。
要求：分别建立并求解两个最基本的人口模型，即：指数增长模型和Logistic 模型，并利用表1给出的近两百年的人口统计数据，画出图形拟合数据，对模型做出检验，最后用它预报2000年的人口。
表1 人口统计数据模型一：指数增长（Malthus ）模型： 模型假设：人口(相对)增长率 r 是常数此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766~1834）于1798年提出. [1] 假设：人口增长率r 是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）.[2] 建立模型： 记时刻t=0时人口数为x 0, 时刻t 的人口为()t x ，由于量大，()t x 可视为连续、可微函数.t 到t t ∆+时间内人口的增量为：()()()t rx tt x t t x =∆-∆+于是()t x 满足微分方程：()⎪⎩⎪⎨⎧==00x x rx d t d x（1）[3] 模型求解： 解微分方程（1）得()rt e x t x 0= （2）表明：∞→t 时，()∞→t x （r>0）.[4] 模型的参数估计：要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数r 进行估计，这可以用表1的数据通过拟合得到.通过表中1790-1980的数据拟合得：r=0.307. [5] 模型检验：将x 0=3.9，r=0.307 代入公式（2），求出用指数增长模型预测的1810-1920的人口数，见表2.画图：（根据拟合出的数据和原来数据填写表格）表2 美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较年以后的误差越来越大.（分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长。
而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著。
下需要对该模型进行改进，即阻滞增长模型。
）分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的模型中著名的一个模型二：Logistic 模型（阻滞增长模型） [1]假设：（a ）人口增长率r 为人口()t x 的函数()x r （减函数），最简单假定()0, ,>-=s r sx r x r （线性函数），r 叫做固有增长率.（b ）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量m x . [2]建立模型： 当mx x =时，增长率应为0，即()m x r =0，于是mx rs =，代入()sx r x r -=得：()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=m x x r x r 1 （3）将（3）式代入（1）得：模型为： ()⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=001xx x x x r dt dx m （4）[3] 模型的求解： 解方程组（4）得()rt m me x x x t x -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=110 （5）根据方程（4）作出x dtdx~ 曲线图，见图1-1，由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果（5）作出x~t 曲线，见图1-2，由该图可看出人口数随时间的变化规律.[4] 模型的参数估计：利用表1中1790-1980的数据对r 和x m 拟合得：r=0.2072, x m =464. [5] 模型检验：将r=0.2072, x m =464代入公式（5），求出用指数增长模型预测的1800-1990的人口数，见表3第3、4列.也可将方程（4）离散化，得图1-2 x~t 曲线)())(1()()()1(t x x t x r t x x t x t x m-+=∆+=+ t=0,1,2,… (6) 用公式（6）预测1800-1990的人口数，结果见表3第5、6列.画图：（根据拟合出的数据和原来数据填写表格）表3 美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较根据对比可知，第二个模型更好，所以我们用第二个模型来预测。
第二章微分方程模型-22人口问题模型
*** 模型修改
分析表明，以上这些现象的主要原因是 随着人口的增长，自然资源，环境条件等因 素对人口增长的限制作用越来越显著。人口 较少时，人口的自然增长率基本上是常数， 而当人口增加到一定数量以后，这个增长率 就要随着人口的增加而减少。因此，我们将 对指数模型关于净相对增长率是常数的基本 假设进行修改。
我国是世界第一人口大国，地球上每九 个人中就有二个中国人，在20世纪的一段 时间内我国人口的增长速度过快，如下表：
年
1908 1933 1953 1964 1982 1990 2000
人口（亿）3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.95
2020年，13.4亿，2013年，13.5亿。有效地 控制人口的增长，不仅是使我国全面进入小 康社会、到21世纪中叶建成富强民主文明的 社会主义国家的需要，而且对于全人类社会 的美好理想来说，也是我们义不容辞的责任。
返回
*** 模型求解 分离变量得
dN
N
1
N Nm
=rdt 即
N
NmdN
Nm
N
=rdt
或
dN dN
N + Nm N =rdt 两边积分得
ln N -ln Nm-N =C1ert
代入边界条件，并整理得
N t=
Nm
1+
模型分析 容易看出
t 时，N t Nm.
陆地，每人只有9.3平方英尺的活动范围。
而到2670年，人口达到 361015亿，只有一个人
站到另一个的肩上了。 因此，Malthus人口模型是不完善的。从根本上 说是不完整的，必须修正。
问题在于：在上述模型中假设r是常数，从 而人口方程是线性常微分方程。这个模型 在群体总数不太大时才合理。而没有考虑 总数增大时，生物群体的各成员之间由于 有限的生存空间，有限的自然资源及食物 等原因，就要进行生存竞争。
应用微分方程求解世界各国人口发展问题
应用微分方程求解世界各国人口发展问题近年来，人口问题成为世界关注的热点之一。
不同国家的人口增长率不同，人口老龄化、人口减少等问题也开始受到世界各国的重视。
但是，应用微分方程求解人口问题的方法似乎比较少见。
本文将探讨如何应用微分方程解决世界各国人口发展问题。
一、人口增长率的微分方程模型首先，我们需要知道人口增长率的微分方程模型是什么。
假设一个国家的人口数量为P，其增长率为r（单位为人/人年），则有：dP/dt = rP其中，dP/dt表示P对t的导数，即人口数量随时间变化的速率。
由于r是为常数，我们可以将其写成：dP/P = rdt对上述式子两边同时求积分，得到：ln(P) = rt + C其中，C为积分常数。
解出P，得到：P = e^(rt+C)由于e^C是一个常数，我们可以将其表示为K，即：P = Ke^(rt)这个式子被称为人口数量的微分方程模型。
通过这个模型，我们可以预测一个国家在未来的某个时间点的人口数量。
二、应用微分方程预测人口数量根据上面的式子，我们可以计算未来某个时间点的人口数量。
例如，我们可以应用这个式子预测中国未来10年的人口数量。
首先，我们需要知道中国目前的人口数量和增长率。
根据联合国的统计数据，中国在2019年的人口数量为13.91亿人，增长率为0.44%。
因此，我们可以将r和P代入上面的式子，得到：P = Ke^(0.0044t)假设我们要预测中国10年后的人口数量，即t=10，则有：P = Ke^(0.044)我们可以通过以下方式计算K值：K = P/e^(rt)将t=0、P=13.91亿代入上面的式子，得到：K = 13.91亿/e^0 = 13.91亿因此，代入上面的式子，我们可以计算出中国未来10年的人口数量为：P = 13.91亿*e^(0.044*10) = 15.92亿通过微分方程模型，我们得出了中国未来10年的人口增长情况。
类似地，我们也可以预测其他国家的人口增长情况。
人口增长问题数学模型
人口增长问题数学模型人口增长问题是一个复杂的社会现象，它涉及到众多因素，如生育率、死亡率、移民、出生性别比等。
为了更好地理解和预测人口增长趋势，人们常常建立数学模型来描述人口变化的规律。
下面是一个简单的人口增长问题数学模型的示例。
假设人口数量为P(t)，时间t为以年为单位。
则人口增长可以用以下微分方程表示：dP(t)/dt = rP(t)其中，r是人口自然增长率，是一个常数。
这个微分方程描述了人口数量随着时间的变化情况，即人口数量呈指数增长。
然而，实际情况要复杂得多。
以下是一个更复杂的人口增长模型，考虑到生育率、死亡率和移民等因素：dP(t)/dt = (b - d)P(t) + I其中，b是每单位时间的出生率，d是每单位时间的死亡率，I是每单位时间的移民人数。
这个模型可以更好地描述人口增长的趋势，特别是当存在外部干扰（如战争、自然灾害等）时。
除了以上两个模型，还有其他更复杂的模型，如Logistic增长模型、Malthusian模型等。
这些模型考虑的因素更加全面，可以更准确地描述人口增长的趋势。
例如，Logistic增长模型考虑了环境承载能力对人口增长的限制，而Malthusian 模型则考虑了人口增长与资源供给之间的关系。
建立数学模型有助于我们更好地理解和预测人口增长趋势。
这些模型可以帮助我们评估不同政策对人口增长的影响，如计划生育政策、移民政策等。
此外，这些模型还可以帮助我们预测未来人口数量和结构的变化情况，从而为社会发展规划提供科学依据。
然而，需要注意的是，数学模型只是对现实世界的近似描述，它可能无法完全准确地预测未来情况。
因此，在使用数学模型进行人口增长预测时，需要结合实际情况和专家意见进行综合分析。
总之，数学模型是研究人口增长问题的重要工具之一。
通过建立数学模型，我们可以更好地理解和预测人口增长的规律和趋势。
这些模型可以帮助我们评估不同政策对人口增长的影响，为社会发展规划提供科学依据。
微分方程竞赛模型(传染病和人口发展模型)(精)
21
③参数的确定 1) 1——根据医学资料和有关数据推导而得。
2) q——由该城市的医疗水平和已知的统计数据分析，求其
统计平均值。
3) l——由经济发达程度和交通状况决定。
4) e1——根据医学研究和调查的有关结果和该城市的疫情发 展状况可得。 5) p——由流入该城市人群的地区分布情况和各其他地区的 疫情决定。
1
随
6
模型3(SIR模型)
假设： (1) 病人治愈后具有终生免疫力 , 成为移出者(Removed), 健康 者、病人和移出者所占人群比例分别为 s(t ), i (t ), r (t ) ; (2) , , 同 SIS 模型.
s( t ) i ( t ) r ( t ) 1 di dr N Ni , N Nsi Ni dt dt
17
2.2 总体假设 1.假设一个SARS康复者不会二度感染，他们已退出传染体系， 因此将其归为“退出者”。
2.不考虑这段时间内的自然出生率和死亡率, 由SARS引起的死 亡人数，归为“退出者”。 3.假设潜伏期为一常数t=5天。 4.根据国家卫生部资料可知处于潜伏期的SARS病人不具有传 染性。
⑥忽略迁移的影响。
11
这些比例系数可以是常数、时间的函数、时间和各类人口的函
数、或分几段取常数。当然，还可以根据需要做其它假设。建
立模型一般是将总人口分为易感者S(susceptible)、患者
I(infective)、恢复者R(removed)，再仔细一些的还有潜伏者E,
隔离者Q(quarantinable)、疑似病人P(peradventure)和确诊病人 J等类型。叙述或作出各类人口之间流动的示意图，并根据传染 病建模的一般原理建立起如SIR, SEIR, SEQPIJR等类模型。这 些模型基本思路相同，差异在于人口分类的多少，关键在于参 数的确定。例如最简单的SIR模型为
2微分方程模型(人口模型)
K x (t ) 成正比， 比例系数为固有增长率(或称内增长率)， K
映了人口增长率随人口数量的增加而减少的现象。
模型建立
人口增长的洛杰斯蒂克 (Logistic)模型：
x dx rx(1 ) K dt x(t 0 ) x0
微分方程模型实例1——人口模型
模型求解 模型分析
微分方程模型实例1——人口模型
补充：从另一个角度导出Logistic模型
2 在 Malthus 模型上增加一个竞争项 bx (b 0) ，它
的作用是使纯增长率减少。如果一个国家工业化程度 较高，食品供应较充足，能够提供更多的人生存，此 时 b 较小；反之 b 较大，故建立方程
dx x(a bx) dt x(t 0 ) x0 , (a, b 0),
a 时， x' (t ) b
a
0 ， x(t ) 递增；当 x
a a x' (t ) 0 ；当 x (t ) 时， b b 时，
x' (t ) 0 ， x(t ) 递减。
（iii）当 0 x
a 2b
时， x' ' (t ) 0 ， x(t ) 为凹，当
a a x 时， x' ' (t ) 0 ， x(t ) 为凸。 2b b
dx K dx (t ) x rx (1 ) 的右端为 x(t ) 的二次函数，易证当 x 时， (3) 由于 dt dt 达到最大 2 K
常微分方程数值解--案例(中国人口增长预测)
y i ( 1 2 ) h y ( x i ) 2 ph
y ( x i ) O ( h )
3
§2 Runge-Kutta Method
Step 3: 将 yi+1 与 y( xi+1 ) 在 xi 点的泰勒展开作比较
y i 1 y i ( 1 2 ) h y ( x i ) 2 ph
3
即隐式欧拉公式具有 1 阶精度。
梯形公式 /* trapezoid formula */
y i1 y i h 2
§1 Euler’s Method
— 显、隐式两种算法的平均
( i 0 , ... , n 1 )
[ f ( x i , y i ) f ( x i 1 , y i 1 )]
3 i i 1 i 1
中点欧拉公式 /* midpoint formula */
中心差商近似导数
y ( x 1 )
y( x2 ) y( x0 ) 2h
y ( x 2 ) y ( x 0 ) 2 h f ( x 1 , y ( x 1 ))
y i 1 y i 1 2 h f ( x i , y i )
其中i ( i = 1, …, m )，i ( i = 2, …, m ) 和 ij ( i = 2, …, m; j = 1, …, i1 ) 均为待定 系数，确定这些系数的 步骤与前面相似。
... ... Km f ( xi m h, y m1 hK1 m2 hK2 ... m m1 hKm1 )
§2 龙格 - 库塔法 /* Runge-Kutta Method */
建立高精度的单步递推格式。
微分方程模型人口增长数学模型
模型二：（SI模型）
1：假设：
（1）记i(t),s(t)表示时刻t传染病人数和未被传染人数， i(0)=i0 。
（2）每个病人单位时间内传播的人数是与这时未
被传染人数成正比，即k(t)=ks(t)。
（3）一人得病后，经久不愈，并且在传染期内不 会死亡。
（4）总人数n不变， i(t)+s(t)=n.
eh2
1
t
dt 2S0
2
kermach得印度:
dR 890seh20.2t 3.4t按星期计
dt
dt
N |t t0 N 0
kN 2 为竞争项因为资源有限
r , k 称生命系数
3 模型求解
N
1
5
k r
1 N0
k r
e rt
4：模型分析：
（3）如图：
1t , Nt r ,人口总数有极限值
k
2当0
N0
r k
时; NN2rrk时时曲曲线线下上凹凹
k5：模型检验：源自-12估计出r=0.029,k=2.941*10
r(t-t0)
3: 求解：
N(t)=N0e
结论：人口呈现几何级数增长
4：适应性：
• （1）1700~1964世界人口总数增长一致。 • （2）t时不再合适。
5:离散模型（见混沌）
三：logistic模型：
1：假定：r(t,N)=r-kN(t) 2:建立模型：
dN ( t ) r kN t N t 4
i1
其中fi(t) f r,tdr
i
初始条件离散化
i1
Xi0 p0rdr,i 0,1,,m1.
i
4：优缺点：离散模型易于计算机计算； 连续模型便于理论分析。
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在人口的预测和控制模型中，总和生育率β(t)和生育模式h(r,t)两种控制人口增长的手段。
试说明我国目前的人口政策,如提倡一对夫妻只生一个孩子、晚婚晚育，及生育第 2 胎的一些规定，可以怎样通过这两种手段加以实施。
一、问题分析
目前，我国人口总数占世界人口总数的1/5，居世界第一。
虽然在二十世纪八十年代开始就已经开始控制人口，但
现在人口的增长仍然很快，人口老年化问题也越来越严重,所以现在开始提倡晚婚晚育,一对夫妻只能生一个孩子以及
定下了一些关于生第二胎的政策。
所以在此我们可以考虑
用微分方程中生育率和生育模式来求解问题。
二、模型的假设
⑴时刻t 年龄小于r 的人口即人口分布函数记作F(r,t);
⑵婴儿的出生率记为p( 0, t)= f( t)；
⑶时刻t 年龄r 的人的死亡率记为μ(r,t)
⑷μ(r,t) p(r,t)dr表示时刻t 年龄在[r, r +dr] 内单位时间死亡人数;
⑸p0(r)是人口调查得到的已知函数;
⑹婴儿的出生率记为f(t );
三模型的建立与求解
由问题假设我们可以得到各个年龄的人口数,即人口分布函数为:
F(r,t)=∫r 0p(s,t)ds
由于在社会安定的局面下和不太长的时间里,死亡率大
致与时间无关,于是可近似的假设μ(r,t)= μ(r)
因为p0(r)与μ(r)可由人口统计数据得到
,所以) , μ
(r,t)可由μ(r,0)粗略估计，为了预测和控制人口的发展状况,
我们需要关注和可以用作控制的就是婴儿的出生率f(t)了,下
面我们就来讨论
f(t) 。
记女性的性别函数为k(r,t)即时刻t 年龄在
[r, r +dr]
的女性人数为k(r,t)μ(r,t)dr 将这些女性在单位时间内平均每人的生育数记作
b(r,t)则育龄区间为[r1,r2]则: f(t)=∫
21
r r b(r,t)k(r,t)p(r,t)dr
再将b( r,t) 定义为
b(r,t)=β(t)h(r,t)
其中h(r,t)满足
∫
21
r r h(r,t)dr=1
于是就有
β(t)=∫21
r r B(r,t)dr
f(t)=β(t)∫21
r r b(r,t)k(r,t)dr
可以看出β(t)就是时刻t 单位时间内平均每个育龄女
性的生育率。
如果所有的育龄女性在她的育龄期所及的时刻
都保持这个生育数,那么β(t)即为生育总和。
从上式我们得到h(r,t)是年龄为
r 女性的生育加权因子
,即生育模式。
在稳定
环境下可近似地认为它与t 无关,即h(r,t)=h(r),h(r)表示了
哪些年龄生育率高,哪些低。
所以
r 取得一定的值的时候
,生
育率能达到最高。
由人口统计资料可以知道当前实际的h(r,t)。
作理论分析时常采用的h(r)的一种形式是借用概率论
中的F 分布:
h(r)=
)
(F )(1
1
1a
r r a e r r
r>r 1
并取=2,α=
2
n 这时有
r e =r1+n-2
即r1意味着晚婚,而增加n 意味着晚育。
所以生育率β(t)和生育模式
h(r,t)是可以控制人口发展
过程的两种手段.β(t)可以控制生育的多少
,而h(r,t)可以控
制生育的早晚与疏密。
我国的计划生育正是通过这两种手段实施的。
所以一对夫妻只生一个孩子,即总和生育率为
1,所以
β(t)=1晚婚晚育相当于生育模式
h(r)中使r1和r e 增大；生
育第二胎的一些规定可相当于总和生育率略高于
1即β(t)
略高于1，且h(r)曲线扁平一些,因为规定了生二胎要间隔多少年。
四模型的评注
在上面的模型中密度函数p(r,t)或分布函数F(r,t)固然是人口发展过程中最完整的描述，但是使用起来不是很方便，
在人口统计学中常用一些所谓人口指数来简明扼要地表示
一个国家或地区的人口特征。
不过根据上面的生育率和生育
模式我们还是可以很方便的预测和控制人口的增长，并针对
我国的人口情况做一些相关的计划生育策略。
使得人口能够
更优更好的发展。