数学模型课程设计-中国人口增长预测

中国人口增长预测摘要: 中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。

根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。

对此，我们建立了短期与长期两种预测人口增长的模型，并对附录中城镇乡的人口演变趋势做拟合与分析。

本文的建模过程选用了1996年到2005年的人口数据。

短期人口预测用曲线的直接拟合，分析出人口的增长趋势。

人口的出生率与死亡率均符合指数函数bt=+，利y ae c用logistic模型求出人口最大上限x，据此拟合人口增长的指数函数x（t），预测m2006-2011年的人口数量。

长期预测中，建立灰色动态模型GM（1,1）预测中国人口长期增长趋势。

在解系数的过程中运用了最小二乘法，得出预测人口数据的方程)0(ˆx，并预测2011年到2015年的人口数量。

在对中国总人口进行短期和中长期的总体预测后，我们从附件中提取出城、镇、乡三地人口、男女出生性别比、老龄人口比率等相关数据，对中国未来城、镇、乡三地人口比例、男女出生性别比、妇女生育率、老龄人口比率等影响人口发展的主要因素做趋势预测，从而达到了对中国人口全方位的预测。

关键词: 曲线拟合、灰色动态模型、最小二乘法、自然增长率一、问题的重述中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。

根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。

近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。

2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》还做出了进一步的分析。

关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。

附录2就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。

试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测。

二、符号说明nianfen 年份chusheng 出生率bata0 估计的参数值nlinfit 非线性拟合函数1y出生率函数2y死亡率函数mx人口上限t 时间x（t）人口增长函数X(0)中国各年人口总数X(1) X(0)的一次累加序列Z(1) X(1)的紧邻均值生成数列-a 发展系数b 灰色作用量)0(ˆx人口预测值c 均方差k∆相对误差三、模型的假设1.假设人口迁入迁出对问题产生的影响可以忽略；2.忽略社会环境、自然、经济、文化水平的对人口的影响；3.长期预测中，不考虑出生率、死亡率等因素的影响。

四、模型的建立与求解4.1中国人口短期预测的模型建立与求解根据查找资料得到，人口死亡率，出生率与人口增长符合指数增长的模型bty ae c=+。

模型选取了1996年到2005年的全国人口进行nlinfit拟合。

（代码见附录一）处理人口增长函数时，考虑到人口数量受资源等因素的约束，中国人口将有一个上限。

定义函数时，用“人口上限与指数函数相减”模式。

死亡率、出生率等客观因素很大程度上影响着中国人口的变化趋势。

而且随着环境等的因素，中国的总人口最终会趋向一个固定值，即最大容纳量xm，由logistic模型求出。

假设xm在短时间内不会改变，则可利用逐年的历史数据来计算出人口增长率的变化情况。

设x(t)为第t年中国总人口数，r为人口的增长率，xm为中国人口的最大容纳量。

建立logistic 模型20(0)m dx r rx x dt x x x ⎧=-⎪⇒⎨⎪=⎩ 20(0)dx x xdt x x αβ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ （1）解得：0()11m rtm x x t x ex -=⎛⎫+- ⎪⎝⎭，m x αβ=将1996-2005年中国人口总数带入方程（1），导数用一阶差商来代替：()()()2i h i i f x f x h dxf x dt h+--'≈= （2）得方程组(0)(0)(0)(0)20000(0)(0)(0)(0)20000(0)(0)(0)(0)20000(3)(1)(2)(2)2(4)(2)(3)(3)2()(2)(1)(1)2x x x x x x x x x n x n x n x n αβαβαβ⎧-=-⎪⎪-⎪=-⎪⎨⎪⎪--⎪=---⎪⎩ （3）由最小二乘法求解出,αβ 可得：m x设置系数的初始值beta0，beta0是使函数收敛的值。

并由代码拟合，分别得到出生率和死亡率的函数。

（详细代码见附录一） 出生率函数： 1959.7455346.7280008.01+-=t e y （4） 死亡率函数 8561.943434.880001.02+-=t e y （5） 将logistic 模拟出的数据m x 代入bt y ae c =+的常数项，用MATLAB 求解（方法同（4）、（5）） 人口增长函数：0.027837046()37355.571160000t x t e -=-+ 保留结果时，用digits ，vpa 来精确位数。

由拟合函数求得预测死亡率与出生率。

并计算相对误差见表1（图1）实际出生率与预测出生率比较（图2）实际死亡率与预测率的比较（图3）实际人口与预测人口的比较由表1、表2及其相关图例可得出生率与死亡率预测值与实际值相对误差较小，实际人口与预测人口的误差较小，由出生率、死亡率函数与人口增长函数的关系可知拟合函数)x可直接用于人口预测。

表3即为2006-2011年的人口预测值。

(t4.2中国人口长期预测的模型建立与求解 4.2.1模型的建立与求解对于序列X (0)=（x (0)(1),x (0)(2),x (0)(3),x (0)(4),x (0)(5),x (0)(6),x (0)(7)......x (0)(n)） 建立灰色模型中较常用的GM(1,1)模型：b k az k x =+)()()1(0）（ （1）X (0)：中国各年人口总数（见表4）X (1)=（x (1)(1),x (1)(2),x (1)(3),x (1)(4),x (1)(5),x (1)(6),x (1)(7),x (1)(8),x (1)(9)......x (1)(n)）为x 的一次累加序列，其中x (1)（k ）=)(x 1)0(i ki ∑=（见表5）Z (1)为X (1)的紧邻均值生成数列，)1(5.0)(.50)()1()1()1(-+=k x k x k z （见表四）(0)-a 利用MATLAB 软件在最小二乘法意义下求解线形方程组aˆ = Y B B B T T 1)(- 其中a ˆ=a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭， B =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---111),(),3( ),2(z )1()1()1( n z z Y=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛)(x )3(x )2(x )0()0()0(n 求解知： a ˆ =a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭ =⎪⎪⎭⎫⎝⎛.01228710668873.00- 3.0-≤a ,GM （1，1)可用于中长期预测。

方程（1）的白化方程形式为： b ax dtdx =+)1()1( （2） 可以解得下列时间响应：⎪⎩⎪⎨⎧-+=++⋅-=+-)(ˆ)1(ˆ)1(ˆ))1(()1(ˆ)1()1()0()0()1(k x k x k xa b e a b x k x ak 取x (1)(0)=x (0)(1)得a b e a b x k ak +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-)1(1x ˆ)0(1）（）（ （3）方程（3）的还原值：)(ˆ)1(ˆ)1(ˆ)1()1()0(k x k x k x -+=+=）（）（）（a ak e e a b x k -1)1(1x ˆ)0(0-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+ （4）方程（4）即为所求人口预测函数。

4.2.2模型的分析将原始数据列x （0）带入灰色动态模型中，计算出1996-2005年这个时间段的人口数 )0(ˆx=（123278，124106，124941，125781，126626，127477，128334，129197，130066，130940），为了检验预测函数是否合理、精确，本文采用后验差检验方法。

需要的数据如下：X （0）的方差 2)0(121))((1x k x n S n k -=∑==69656236X （0）均方差 1211-=n S S =2782.01残差方差 ))((1122∑=-=n k k n S εε=965766.5 残差均方差 1222-=n S S =327.58均方差比值 12S Sc ==0.117749397≈0.118和查得的资料数据进行比较，得到表格如下：表7：灰色模型检验的对比数据图（4）较上表更好的显示了人口预测函数的精确性。

由图可见实际人口与预测人口的差距很小。

（图4）实际人口与预测人口比较根据预测精度的等级划分：c<0.35，该模型的预测等级为“好”，可直接用于预测。

根据函数求值得2011-2015年的人口预测值见表8。

人口总数每年都会增加，但幅度不大。

上述两个模型都是根据前几年的数据而初步所建立起来的模型，是直接根据前几年的人口总数所建立的，其模型是根据前几年的总数而预测几年之后的数据，没有考虑到人口迁移、人口老龄化等因素。

现实生活中，人口总数总是与性别比例、出生率、死亡率、迁移率等因素有关。

4.3人口迁移对人口增长的影响由附件所给数据：2001~2005年城市，城镇，乡村人口分别所占总人口的比例见表9：表9由表9市城镇迁移，由于乡村计划生育等政策的普及不高，现在乡村人口的迁移使得总生育率下降，人口增长也得到控制。

人口增长的趋势如图5（图5）2001-2005市,镇,乡人口比例4.4人口死亡率拟合由附件所给数据，用MATLAB 三次曲线拟合得到图6、图7。

（代码见附录一）图6、图7分别为2001-2005年 城镇男性、城市男性、城市女性的死亡率与年龄的关系年龄死亡率城市男性（图6）城市男性死亡率102030405060708090年龄死亡率城市女性（图7）城市女性死亡率由图可见城市人口中：年龄越大，死亡率高。

在中青年阶段死亡率趋向于零，青少年阶段死亡率各年变化趋势一致。

医疗卫生事业的发展对人口出生率和死亡率有着直接影响，它使得因各种疾病致死的死亡率下降。

拟合图中青少年的死亡率大于中年，考虑到学业压力及对不安全因素的警惕性低，自制能力差等因素。

4.5人口老龄化假设年龄65岁以上为老龄人口。

根据城市人口的上升现状，进城务工及发展的多为青年男女，城市人口的老龄化趋势变缓，但乡村老龄化严重，人口增长会趋势变缓。

（2005年城市人数变化过大 不宜参与分析老龄人口数量增长）表10：2001-2005年65岁以上人口占总人口的比例（图8）65岁以上人口所占比例20012001.520022002.520032003.52004年份人口代表的城乡镇老龄人口数量及趋势（图9）城镇乡老龄化趋势4.6男女出生比率图表显示的男女出生率比值一直大于1，联系男女比例的现状，持续这样增长导致性别比例危机。