第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛

合集下载

2012年-2017年华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛真题合集(小高组)附答案

目录第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛 (1)第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛 (3)第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛 (5)第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛 (7)第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛 (9)第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛 (11)第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛 (13)第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛 (15)第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛 (17)第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛 (19)第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛 (21)第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 (23)第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 (24)第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 (25)第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 (26)第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 (27)第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 (28)第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 (29)第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 (30)第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 (31)第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 (32)第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 (33)第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 (34)A B 第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学高年级组）（时间 2016 年 12 月 10 日 10：00-11:00）一、选择题．（每小题 10 分，共 60 分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）1. 两个有限小数的整数部分分别是 7 和 10，那么这两个有限小数的积的整数部分有（）种可能的取值．A ．16B ．17C ．18D ．192. 小明家距学校，乘地铁需要 30 分钟，乘公交车需要 50 分钟，某天小明因故先乘地铁，再换乘公交车，用了 40 分钟到达学校，其中换乘过程用了 6 分钟，那么这天小明乘坐公交车用了（）分钟． A ．6 B ．8 C ．10 D ．123. 将长方形 ABCD 对角线平均分成 12 段，连接成右图，长方形 ABCD 内部空白部分面积总和是 10 平方厘米，那么阴影部分面积总和是（）平方厘米．A ．14B ．16C ．18D ．204.请在图中的每个方框中填入适当的数字，使得乘法竖式成立．那么乘积是（）．A ．2986B ．2858C ．2672D ．27545. 在序列 20170……中，从第 5 个数字开始，每个数字都是前面 4 个数字和的个位数，这样的序列可以一直写下去．那么从第 5 个数字开始，该序列中一定不会出现的数组是（）A ．8615B ．2016C ．4023D ．20176. 从 0 至 9 选择四个不同的数字分别填入方框中的四个括号中，共有（）种填法使得方框中话是正确的．× 71 0 2罗华金杯ABG FHDEC二、填空题．（每小题 10 分，共 40 分）7．若( 1 5 245 3— )× 9 2 5 7 ÷ 2 ＋2.25＝4，那么A 的值是．3 34 1A8. 右图中，“华罗庚金杯”五个汉字分别代表 1－5 这五个不同的数字，将各线段两端点的数字相加得到五个和，共有种情况使得这五个和恰为五个连续自然数．9. 右图中，ABCD 是平行四边形，E 为 CD 的中点，AE 和 BD 的交点为 F ，AC 和 BE 的交点为 H ，AC 和BD 的交点为 G ，四边形 EHGF 的面积是 15 平方厘米，则 ABCD 的面积是平方厘米．10. 若 2017，1029 与 725 除以 d 的余数均为 r ，那么 d －r 的最大值是．庚第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学高年级组A 卷）（时间：2015 年 12 月 12 日 10:00~11:00一、选择题．（每小题 10 分，共 60 分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内） 1．算式999 9 × 999 9 的结果中含有（）个数字 0．2016个92016个9A ．2017B ．2016C ．2015D ．20142. 已知 A ，B 两地相距 300 米．甲、乙两人同时分别从 A 、B 出发，相向而行，在距 A 地 140 米处相遇；如果乙每秒多行 1 米，则两人相遇处距 B 地 180 米．那么乙原来的速度是每秒（）米．A ． 2 2B ． 2 4C ．3D ． 3 15 5 53. 在一个七位整数中，任何三个连续排列的数字都构成一个能被 11 或 13 整除的三位数，则这个七位数最大是（）A ．9981733B ．9884737C ．9978137D ．98717734. 将 1，2，3，4，5，6，7，8 这 8 个数排成一行，使得 8 的两边各数之和相等，那么共有（）种不同的排法． A ．1152B ．864C ．576D ．2885. 在等腰梯形 ABCD 中，AB 平行于 CD ，AB ＝6，CD ＝14，∠AEC 是直角，CE ＝CB ，则 AE 2 等于（）A ．84B ．80C ．75D ．646. 从自然数 1，2，3，…，2015，2016 中，任意取 n 个不同的数，要求总能在这 n 个不同的数中找到 5个数，它们的数字和相等．那么 n 的最小值等于（）． A ．109 B ．110 C ．111 D ．112EABD C二、填空题．（每小题 10 分，共 40 分）AP M O7. 两个正方形的面积之差为 2016 平方厘米，如果这样的一对正方形的边长都是整数厘米，那么满足上述条件的所有正方形共有对．8. 如下图，O ，P ，M 是线段 AB 上的三个点，AO ＝ 4 AB ，BP ＝ 2AB ，M 是 AB 的中点，且 OM ＝2，那5 3么 PM 长为．9. 设 q 是一个平方数．如果 q －2 和 q ＋2 都是质数，就称 q 为 p 型平方数．例如，9 就是一个 p 型平方数．那么小于 1000 的最大 p 型平方数是．10. 有一个等腰梯形的纸片，上底长度为 2015，下底长度为 2016．用该纸片剪出一些等腰梯形，要求剪出的梯形的两底边分别在原来梯形的底边上，剪出的梯形的两个锐角等于原来梯形的锐角，则最多可以剪出个同样的等腰梯形．第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷 B （小学高年级组）（时间：2015 年 12 月 12 日 10:00~11:00）一、选择题．（每小题 10 分，共 60 分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内） 1. “凑 24 点”游戏规则是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下 52 张，（如果初练也可只用 1 至 10 这 40 张牌）任意抽取 4 张牌（称牌组），用加、减、乘、除（可加括号）把牌面上的数算成 24．每张牌必须用一次且只能用一次，并不能用几张牌组成一个多位数，如抽出的牌是 3，8，8，9，那么算式为(9－ 8)×8×3 或(9－8÷8)×3 等．在下面 4 个选项中，唯一无法凑出 24 点的是（）． A ．1，2，2，3 B ．1，4，6，7 C ．1，5，5，5 D ．3，3，7，72. 有一种数，是以法国数学家梅森的名字命名的，它们就是形如 2n －1（ n 为质数）的梅森数，当梅森数是质数时就叫梅森质数，是合数时就叫梅森合数．例如：22－1＝3 就是一个梅森质数．第一个梅森合数是（）．A ．4B ．15C ．127D ．20473. 有一种饮料包装瓶的容积是 1.5 升．现瓶里装了一些饮料，正放时饮料高度为 20 厘米，倒放时空余部分的高度为 5 厘米，如下图．那么瓶内现有饮料（）升．A ．1B ．1.2C ．1.25D ．1.3754. 已知 a ，b 为自然数， 4 = 1 + 1，那么 a ＋b 的最小值是（）．15 a bA ．16B ．20C ．30D ．65. 如下图，平面上有 25 个点，每个点上都钉着钉子，形成 5×5 的正方形钉阵．现有足够多的橡皮筋，最多能套出（）种面积不同的正方形．A ．4B ．6C ．8D ．106. 在一个七位整数中，任何三个连续排列的数字都构成一个能被 11 或 13 整除的三位数，那么这个七位数最大是（）．A ．9981733B ．9884737C ．9978137D ．9871773二、填空题．（每小题 10 分，共 40 分）华杯赛三十年× 杯杯今年认真赛好今年认真赛好三十年华杯赛好7．计算：20152＋20162－2014×2016－2015×2017＝．8. 在下边的算式中，相同汉字代表相同数字，不同汉字代表不同数字．当杯代表 5 时，“华杯赛”所代表的三位数是．9. 于 2015 年 10 月 29 日闭幕的党的十八届五中全会确定了允许普遍二孩的政策．笑笑的爸爸看到当天的新闻后跟笑笑说：我们家今年的年龄总和是你年龄的 7 倍，如果明年给妳添一个弟弟或妹妹，我们家 2020 年的年龄总和就是你那时年龄的 6 倍．那么笑笑今年岁．10. 教育部于 2015 年 9 月 21 日公布了全国青少年校园足球特色学校名单，笑笑所在的学校榜上有名．为了更好地备战明年市里举行的小学生足球联赛，近期他们学校的球队将和另 3 支球队进行一次足球友谊赛．比赛采用单循环制（即每两队比赛一场），规定胜一场得 3 分，负一场得 0 分，平局两队各得 1分；以总得分高低确定名次，若两支球队得分相同，就参考净胜球、相互胜负关系等决定名次．笑笑学校的球队要想稳获这次友谊赛的前两名，至少要得分．第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛 A 试卷（小学高年级组）（时间：2015 年 3 月 14 日 10:00—11:00）一、选择题（每小题 10 分，共 60 分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）1. 现在从甲、乙、丙、丁四个人中选出两个人参加一项活动，规定：如果甲去，那么乙也去；如果丙不去，那么乙也不去；如果丙去，那么丁不去．最后去参加活动的两个人是（）A ．甲、乙B ．乙、丙C ．甲、丙D ．乙、丁2. 以平面上任意 4 个点为顶点的三角形中，钝角三角形最多有（）个．A ．5B ．2C ．4D ．33. 桌上有编号 1 至 20 的 20 张卡片，小明每次取出 2 张卡片，要求一张卡片的编号是另一张卡片的 2 倍多 2，则小明最多取出（）张卡片． A ．12B ．14C ．16D ．184. 足球友谊比赛的票价是 50 元，赛前一小时还有余票，于是决定降价，结果售出的票增加了三分之一，而票房收入增加了四分之一，那么每张票售价降了（）元．A ．10B ． 25C ． 50D ．25235. 一只旧钟的分针和时针每重合一次，需要经过标准时间 66 分，那么，这只旧钟的 24 小时比标准时间的 24 小时（）．A ．快 12 分B ．快 6 分C ．慢 6 分D ．慢 12 分6. 在下图的 6×6 方格内，每个方格中只能填 A 、B 、C 、D 、E 、F 中的某个字母，要求每行、每列、每个标有粗线的 2×3 长方形的六个字母均不能重复．那么，第四行除了首尾两个方格外，中间四个方格填入的字母从左到右的顺序是（）．A ．E 、 C 、 D 、 FB ．E 、D 、C 、FC ．D 、 F 、 C 、E D ．D 、C 、F 、EB CA B D ABCE二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） - - - = AFDPBEC7．计算4811 + 265 1 + 904 129 41 55184160 7036 12 2030 42 568. 过正三角形 ABC 内一点 P ，向三边作垂线，垂足依次为 D 、E 、F ，连接 AP 、BP 、CP ．如果正三角形ABC 的面积是 2028 平方厘米，三角形 PAD 和三角形 PBE 的面积都是 192 平方厘米，则三角形 PCF的面积为平方厘米．9. 自然数 2015 最多可以表示成个连续奇数的和．10. 由单位正方形拼成的 15×15 网格，以网格的格点为顶点作边长为整数的正方形，则边长大于 5 的正方形有个．第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛A BED H C 初赛 C 试卷（小学高年级组）（时间：2015 年 3 月 14 日 10:00—11:00）一、选择题（每小题 10 分，共 60 分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）1．计算：( 9 － 11 ＋ 13 － 15 ＋ 17 )×120－ 1 ÷ 1＝（）20 30 42 56 72 3 4A ．42B ．43C ．15 1D ．16 2332. 如图，有一排间距相同但高度不等的小树，树根成一条直线，树顶也成一条直线，这两条直线成 45 度角．最高的小树高 2.8 米，最低的小树高 1.4 米，那么从左向右数第 4 棵树的高度是（）米．A ．2.6B ．2.4C ．2.2D ．2.03. 春季开学后，有不少同学都将部分压岁钱捐给山区的贫困学生，事后，甲、乙、丙、丁 4 位同学有如下的对话：甲：“丙、丁之中至少有 1 人捐了款．” 乙：“丁、甲之中至多有 1 人捐了款．” 丙：“你们 3 人中至少有 2 人捐了款．” 丁：“你们 3 人中至多有 2 人捐了款．” 已知这 4 位同学说的都是真话且其中恰有 2 位同学捐了款，那么这 2 位同学是（）．A ．甲、乙B ．丙、丁C ．甲、丙D ．乙、丁4. 六位同学数学考试的平均成绩是 92.5 分，他们的成绩是互不相同的整数，最高的 99 分，最低的 76分，那么按分数从高到低居第三位的同学的分数至少是（）． A ．94 B ．95 C ．96D ．975. 如图，BH 是直角梯形 ABCD 的高，E 为梯形对角线 AC 上一点；如果△DEH 、△BEH 、△BCH 的面积依次为 56、50、40，那么△CEH 的面积是（）．A ．32B ．34C ．35D ．366. 一个由边长为 1 的小正方形组成的n n 的方格网，用白色或黑色对每个小正方形涂色，要求满足在任意矩形的 4 个角上的小正方形不全同色，那么正整数 n 的最大值是（）．A ．3B ．4C ．5D ．645°二、填空题（每小题10 分，共40 分）7.在每个格子中填入1 至6 中的一个，使得每行、每列及每个2×3 长方形内（粗线框围成）数字不重复；如果小圆圈两边格子中所填数的和是合数，其它相邻两格所填数的和是质数，那么四位数相约华杯是3 月 1 4相约华杯8.整数n 一共有10 个约数，这些约数从小到大排列，第8 个数是n.那么整数n 的最大值是39.在边长为300 厘米的正方形中，如图放置了两个直角扇形和一个半圆，那么两块阴影部分的面积差是平方厘米，两块阴影部分的周长差是厘米．（π取3.14）10．A 地、B 地、C 地、D 地依次分布在同一条公路上，甲、乙、丙三人分别从A 地、B 地C 地同时出发，匀速向D 地行进．当甲在C 地追上乙时，甲的速度减少40%；当甲追上丙时，甲的速度再次减少40%；甲追上丙后9 分钟，乙也追上了丙，这时乙的速度减少25%；乙追上丙后再行50 米，三人同时到D 地．已知乙出发时的速度是每分钟60 米，那么甲出发时的速度是每分钟米，A、D 两地间的路程是米．第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛 A 试卷（小学高年级组）（时间：2014 年 3 月 15 日 8:00—9:00）一、选择题（每小题 10 分，共 60 分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．） 1. 平面上的四条直线将平面分割成八个部分，则这四条直线中至多有（）条直线互相平行．A ．0B ．2C ．3D ．42. 某次考试有 50 道试题，答对一道题得 3 分，答错一道题扣 1 分，不答题不得分．小龙得分 120 分，那么小龙最多答对了（）道试题．A ．40B ．42C ．48D ．503. 用左下图的四张含有 4 个方格的纸板拼成了右下图所示的图形．若在右下图的 16 个方格分别填入 1、3、5、7（每个方格填一个数），使得每行、每列的四个数都不重复，且每个纸板内四个格子里的数也不重复，那么 A 、B 、C 、D 四个方格中数的平均数是（）．A ． 4B ． 5C D ．74. 小明所在班级的人数不足 40 人，但比 30 人多，那么这个班男、女生人数的比不可能是（）．A ．2︰3B ．3︰4C ．4︰5D ．3︰75. 某学校组织一次远足活动，计划 10 点 10 分从甲地出发，13 点 10 分到达乙地，但出发晚了 5 分钟，却早到达了 4 分钟．甲、乙两地之间的丙地恰好是按照计划时间到达的，那么到达丙地的时间是（）． A ．11 点 40 分 B ．11 点 50 分 C ．12 点 D ．12 点 10 分6. 如图所示，AF ＝7cm ，DH ＝4cm ，BG ＝5cm ，AE ＝1cm ．若正方形 ABCD 内的四边形 EFGH 的面积为78 平方厘米，则正方形的边长为（）cm ．A ．10B ．11C ．12D ．13ABA EDHF BC二、填空题（每小题 10 分，共 40 分）甲乙7. 五名选手 A 、B 、C 、D 、E 参加“好声音”比赛，五个人站成一排集体亮相．他们胸前有每人的选手编号牌，5 个编号之和等于 35．已知站在 E 右边的选手的编号和为 13；站在 D 右边的选手的编号和为 31；站在 A 右边的选手的编号和为 21；站在 C 右边的选手的编号和为 7．那么最左侧与最右侧的选手编号之和是．8. 甲、乙同时出发，他们的速度如下图所示，30 分钟后，乙比甲一共多行走了米．9. 四个黑色 1×1×1 的正方体和四个白色 1×1×1 的正方体可以组成方体（经过旋转得到相同的正方体视为同一种情况）．种不同的 2×2×2 的正10. 在一个圆周上有 70 个点，任选其中一个点标上 1，按顺时针方向隔一个点的点上标 2，隔两个点的点上标 3，再隔三个点的点上标 4，继续这个操作，直到 1，2，3，…，2014 都被标记在点上．每个点可能不止标有一个数，那么标记了 2014 的点上标记的最小整数是分分5 10 15 202530 5 10 15 202530第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛 B 试卷（小学高年级组）（时间：2014 年 3 月 15 日 8:00—9:00）一、选择题（每小题 10 分，共 60 分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．） 1. 平面上的四条直线将平面分割成八个部分，则这四条直线中至多有（）条直线互相平行．A ．0B ．2C ．3D ．42. 在下列四个算式中： AB ÷ CD ＝2，E ×F ＝0，G －H ＝1，I ＋J ＝4，A ～J 代表 0～9 中的不同数字，那么两位数 AB 不可能是（）． A ．54 B ．58 C ．92 D ．963. 淘气用一张正方形纸剪下了一个最大的圆（如图甲），笑笑用一张圆形纸剪下了七个相等的最大圆（如图乙），在这两种剪法中，哪种剪法的利用率最高？（利用率指的是剪下的圆形面积和占原来图形面积的百分率）下面几种说法中正确的是（）．A ．淘气的剪法利用率高B ．笑笑的剪法利用率高C ．两种剪法利用率一样D ．无法判断4. 小华下午 2 点要到少年宫参加活动，但他的手表每个小时快了 4 分钟，他特意在上午 10 点时对好了表．当小华按照自己的表于下午 2 点到少年宫时，实际早到了（）分钟．A ．14B ．15C ．16D ．175. 甲、乙、丙、丁四个人今年的年龄之和是 72 岁．几年前（至少一年）甲是 22 岁时，乙是 16 岁．又知道，当甲是 19 岁的时候，丙的年龄是丁的 3 倍（此时丁至少 1 岁）．如果甲、乙、丙、丁四个人的年龄互不相同，那么今年甲的年龄可以有（）种情况．A ．4B ．6C ．8D ．106. 有七张卡片，每张卡片上写有一个数字，这七张卡片摆成一排，就组成了七位数 2014315.将这七张卡片全部分给了甲、乙、丙、丁四人，每人至多分 2 张．他们各说了一句话：甲：“如果交换我卡片上的 2 个数字在七位数中的位置，那么新的七位数就是 8 的倍数．” 乙：“如果交换我卡片上的 2 个数字在七位数中的位置，那么新的七位数仍不是 9 的倍数．” 丙：“如果交换我卡片上的 2 个数字在七位数中的位置，那么新的七位数就是 10 的倍数．” 丁：“如果交换我卡片上的 2 个数字在七位数中的位置，那么新的七位数就是 11 的倍数．” 已知四个人中恰好有一个人说了谎，那么说谎的人是（）．A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁甲乙二、填空题（每小题 10 分，共 40 分）13 ÷ 3 + 3 ÷ 2 1 + 17．算式 1007× 4 44 3 ÷19 的计算结果是．（1 + 2 + 3 + 4 + 5）⨯ 5 - 228. 海滩上有一堆栗子，这是四只猴子的财产，它们想要平均分配，第一只猴子来了，它左等右等别的猴子都不来，便把栗子分成四堆，每堆一样多，还剩下一个，它把剩下的一个顺手扔到海里，自己拿走了四堆中的一堆．第二只猴子来了，它也没有等到别的猴子，于是它把剩下的栗子等分成四堆，还剩下一个，它又扔掉一个，自己拿走一堆．第三只猴子也是如此，等分成四堆后，把剩下的一个扔掉，自己拿走一堆；而最后一只猴子来，也将剩下的栗子等分成了四堆，扔掉多余的一个，取走一堆．那么这堆栗子原来至少有个．9. 甲、乙二人同时从 A 地出发匀速走向 B 地，与此同时丙从 B 地出发匀速走向 A 地．出发后 20 分钟甲与丙相遇，相遇后甲立即掉头；甲掉头后 10 分钟与乙相遇，然后甲再次掉头走向 B 地．结果当甲走到 B 地时，乙恰走过 A 、B 两地中点 105 米，而丙离 A 地还有 315 米．甲的速度是乙的速度的倍，A 、B 两地间的路程是米．10. 从 1，2，3，…，2014 中取出 315 个不同的数（不计顺序）组成等差数列，其中组成的等差数列中包含 1 的有种取法；总共有种取法．第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛 A 试卷（小学高年级组）（时间：2013 年 3 月 23 日 10:00—11:00）一、选择题（每小题 10 分，共 60 分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．） 1． 2012.25×2013.75－2010.25×2015.75＝（）A ．5B ．6C ．7D ．82. 2013 年的钟声敲响了，小明哥哥感慨地说：这是我有生以来第一次将要渡过一个没有重复数字的年份．已知小明哥哥出生的年份是 19 的倍数，那么 2013 年小明哥哥的年龄是（）岁．A ．16B ．18C ．20D ．223. 一只青蛙 8 点从深为 12 米的井底向上爬，它每向上爬 3 米，因为井壁打滑，就会下滑 1 米，下滑 1 米的时间是向上爬 3 米所用时间的三分之一．8 点 17 分时，青蛙第二次爬至离井口 3 米之处，那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为（）分钟．A ．22B ．20C ．17D ．164. 一个盒子里有黑棋子和白棋子若干粒，若取出一粒黑子，则余下的黑子数与白子数之比为 9︰7，若放回黑子，再取出一粒白子，则余下的黑子数与白子数之比为 7︰5，那么盒子里原有的黑子数比白子数多（）个．A ．5B ．6C ．7D ．85. 图 ABCD 是平行四边形，M 是 DC 的中点，E 和 F 分别位于 AB 和 AD 上，且 EF 平行于 BD ．若三角形 MDF 的面积等于 5 平方厘米，则三角形 CEB 的面积等于（）平方厘米．A ．5B ．10C ．15D ．206. 水池 A 和 B 同为长 3 米，宽 2 米，深 1.2 米的长方体．1 号阀门用来向 A 池注水，18 分钟可将无水的A 池注满；2 号阀门用来从 A 池向B 池放水，24 分钟可将 A 池中满池水放入 B 池．若同时打开 1 号和2 号阀门，那么当 A 池水深 0.4 米时，B 池有（）立方米的水．A ．0.9B ．1.8C ．3.6D ．7.2D F MCAEB二、填空题（每小题 10 分，共 40 分）D E AFB7. 小明、小华、小刚三人分 363 张卡片，他们决定按年龄比来分．若小明拿 7 张，小华就要拿 6 张；若小刚拿 8 张，小明就要拿 5 张．最后，小明拿了张；小华拿了张．张；小刚拿了8. 某公司的工作人员每周都工作 5 天休息 2 天，而公司要求每周从周一至周日，每天都至少有 32 人上班，那么该公司至少需要名工作人员．9. 如图，AB 是圆 O 的直径，长 6 厘米，正方形 BCDE 的一个顶点 E 在圆周上，∠ABE ＝45°．那么圆 O中非阴影部分的面积与正方形 BCDE 中非阴影部分面积的差等于平方厘米（取 π＝3.14）10. 圣诞老人有 36 个同样的礼物，分别装在 8 个袋子中．已知 8 个袋子中礼物的个数至少为 1 且各不相同．现要从中选出一些袋子，将选出的袋子中的所有礼物平均分给 8 个小朋友，恰好分完（每个小朋友至少分得一个礼物）．那么，共有种不同的选择．第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛AB 初赛 B 试卷（小学高年级组）（时间：2013 年 3 月 23 日 10:00—11:00）一、选择题（每小题 10 分，共 60 分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）1．一个四位数，各位数字互不相同，所有数字之和等于 6，并且这个数是 11 的倍数，则满足这种要求的四位数共有（）个．A ．6B ．7C ．8D ．92． 2＋2×3＋2×3×3＋……＋2× 3 ⨯ 3 ⨯⨯ 3 个位数字是（）． 9个3A ．2B ．8C ．4D ．63. 在下面的阴影三角形中，不能由下图中左面的阴影三角形经过旋转、平移得到的是图（）中的三角形.ABCD4. 某日，甲学校买了 56 千克水果糖，每千克 8.06 元．过了几日，乙学校也需要买同样的 56 千克水果糖，不过正好赶上促销活动，每千克水果糖降价 0.56 元，而且只要买水果糖都会额外赠送 5%同样的水果糖．那么乙学校将比甲学校少花（）元．A ．20B ．51.36C ．31.36D ．10.365. 甲、乙两仓的稻谷数量一样，爸爸、妈妈和阳阳单独运完一仓稻谷分别需要 10 天、12 天和 15 天．爸爸、妈妈同时开始分别运甲、乙两仓的稻谷，阳阳先帮妈妈，后帮爸爸，结果同时运完两仓稻谷．那么阳阳帮妈妈运了（）天. A ．3B ．4C ．5D ．66. 如图，将长度为 9 的线段 AB 分成 9 等份，那么图中所有线段的长度的总和是（）.A ．132B ．144C ．156D ．165二、填空题（每小题10 分，共40 分）7．将乘积0.2˙43˙×0.32˙5233˙化为小数，小数点后第2013 位的数字是.8.一只青蛙8 点从深为12 米的井底向上爬，它每向上爬3 米，因为井壁打滑，就会下滑1 米，下滑1 米的时间是向上爬3 米所用时间的三分之一．8 点17 分时，青蛙第二次爬至离井口3 米之处，那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为分钟.9.一个水池有三个进水口和一个出水口．同时打开出水口和其中的两个进水口，注满整个水池分别需要6 小时、5 小时和4 小时；同时打开出水口和三个进水口，注满整个水池需要3 小时．如果同时打开三个进水口，不打开出水口，那么注满整个水池需要小时.10.九个同样的直角三角形卡片，用卡片的锐角拼成一圈，可以拼成类似下图所示的平面图形．这种三角形卡片中的两个锐角中较小的一个的度数有种不同的可能值．（下图只是其中一种可能的情况）第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛 A 试卷（小学高年级组）（时间：2012 年 3 月 17 日 10:00—11:00）一、选择题（每小题 10 分，共 60 分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）1．计算：[(0.8＋ 1 )×24＋6.6]÷ 9－7.6＝（）.5 14A ．30B ．40C ．50D ．602. 以平面上 4 个点为端点连接线段，形成的图形中最多可以有（）个三角形．A ．3B ．4C ．6D ．83. 一个奇怪的动物庄园里住着猫和狗，狗比猫多 180 只．有 20%的狗错认为自己是猫；有 20%的猫错认为自己是狗．在所有的猫和狗中，有 32%认为自己是猫，那么狗有（）只．A ．240B ．248C ．420D ．8424. 下图的方格纸中有五个编号为 1，2，3，4，5 的小正方形，将其中的两个涂上阴影，与图中阴影部分正好组成正方体的展开图，这两个正方形的编号可以是（）A ．1，2B ．2，3C ．3，4D ．4，55. 在下图所示的算式中，每个字母代表一个非零数字，不同的字母代表不同的数字，则和的最小值是（） A ．369B ．396C ．459D ．5496. 下图是由相同的正方形和相同的等腰直角三角形构成，则正方形的个数为（）A ．83B ．79C ．72D ．651 253 4A B C ＋ D E F H IJ二、填空题（每小题 10 分，共 40 分）百十个百十个A EC HFB7. 如图的计数器三个档上各有 10 个算珠，将每档算珠分成上下两部分，得到两个三位数．要求上面部分是各位数字互不相同的三位数，且是下面三位数的倍数，则上面部分的三位数是．8. 四支排球队进行单循环比赛，即每两队都要赛一场，且只赛一场．如果一场比赛的比分是 3：0 或 3：1．则胜队得 3 分，负队得 0 分；如果比分是 3：2，则胜队得 2 分，负队得 1 分．比赛的结果各队得分恰好是四个连续的自然数，则第一名的得分是分．9. 甲、乙两车分别从 A 、B 两地同时出发，且在 A 、B 两地往返来回匀速行驶．若两车第一次相遇后，甲车继续行驶 4 小时到达 B ，而乙车只行驶了 1 小时就到达 A ，则两车第 15 次（在 A ，B 两地相遇次数不计）相遇时，它们行驶了小时．10. 正方形 ABCD 的面积为 9 平方厘米，正方形 EFGH 的面积为 64 平方厘米．如图所示，边 BC 落在 EH上．己知三角形 ACG 的面积为 6.75 平方厘米，则三角形 ABE 的面积为平方厘米．。

详解第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛

详解第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A（小学高年级组）一、填空题（每小题 10 分, 共80 分）1、如右图, 边长为12 米的正方形池塘的周围是草地, 池塘边A, B, C, D处各有一根木桩, 且CD＝BC＝AB＝3 米. 现用长 4 米的绳子将一头羊拴在其中的某根木桩上。

为了使羊在草地上活动区域的面积最大, 应将绳子拴在A, B, C, D 处的哪个木桩上？解：因为BC＝AB＝3 米，拴在A桩和C桩上活动范围一样大，都是一个半径为4米的半圆加上一个半径为1米的14圆；拴在D桩上活动范围是一个半径为4米的半圆；而拴在B桩上活动范围最大，是一个半径4米的34圆。

所以，绳子应当拴在B处的木桩上。

2、在所有是20 的倍数的自然数中, 不超过3000 并且是14 的倍数的数之和是。

解：20和14的最小公倍数是：［20，14］＝140不超过3000 并且是14 的倍数的数有：［3000140］＝21（个）是14 的倍数的数之和是：140×（1＋2＋3＋…＋21）＝32340。

3、从1～8这八个自然数中任取三个数，其中没有连续自然数的取法有种。

解法一：枚举法：①、三个数字同为奇数：135、137、157、357. 共有4种；②、三数字同为偶数：246、248、268、468. 共有4种；③、三数字两奇一偶：136、138、158、147、358、257. 共有6种；④、三数字两偶一奇：247、258、146、148、168、368. 共有6种；总计：4＋4＋6＋6＝20（种）解法二：排除法：1~8中任取三个数，有38C＝56种不同的取法，其中三个连续数有6种（123 ~ 678）两个连续数有5+4+4+4+4+4+5＝30种（如124、125、126、127、128等）则满足题意的取法有56－6－30＝20种4、如右图所示, 网格中每个小正方格的面积都为4 平方厘米. 小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成, 小线段的端点在格子点上或在格线上）, 则这个剪影的面积为多少平方厘米？.解：解格点与面积的问题，一般通过分割和采用格点面积公式的计算来求得。

第十九届华杯赛决赛解答_初二

第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题解答（初二组）（时间: 2014年4月12日）一、填空题 (每小题10分, 共80分)1. 计算:23322332623323333--⋅+-=________.【答案】45【解答】原式=()24513262436394-=-⋅⋅-4516=-. 2. 已知正整数a , b , c 满足三个等式：cba =3,9432=⎪⎭⎫ ⎝⎛++c b a , 6822=+b a , 那么2c 等于________.【答案】144. 【解答】由cba cb a ++==33, 知 9439322222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++==c b a c b a c b a , 所以,153)(499222=+=+b a c . 得1442=c .3. 如图, E , F 分别是菱形ABCD 的边AB , AD 上的点,︒=∠60DCB , ︒=∠105DFE , 1=DF , 32-=BE , 那么这个菱形的边长等于________. 【答案】3【解答】设菱形ABCD 的边长为a , 如右图, 过F 作AB 的垂线, 垂足为H .在直角三角形AHF 中, 由已知条件可知:︒=∠60FAE , ︒=∠30AFH , 1-=a AF .进而得到:21-=a AH （直角三角形中, 30度角所对边长是斜边长的一半）, 32122-=-=a AH AF FH （勾股定理）. 由已知条件︒=∠105DFE 和︒=∠30AFH , 立即得到︒=︒-︒=∠453075EFH ,从而△EFH 是等腰直角三角形, FH HE =. 所以3232121-=----=-=a a a AE AB BE , 3=a . 4. 将一个四位数的四个数字之和的两倍与这个四位数相加得2379, 则满足条件的四位数有________个. 【答案】2【解答】设这个四位数为xyzw . 首先, 2=x . 因为 ,9,,0≤≤w z y 若1=x , 则有20552541999,54)(20=++≤++≤w z y ,与条件不符. 另一方面x 不能大于2. 于是, yzw xyzw 2=, 即有23792224101002000=+++++++w z y w z y .得到375312102=++w z y .容易验证, .2,1≠y 因此, .3=y 于是69312=+w z , 12369wz -=. 整数解： 4,7;5,3====z w z w .所求四位数为：2353, 2347. 经验证, 都符合要求.5. 已知a a x 14501450-++=, 其中a 是正整数, 那么所有使得x 为整数的a 的取值之和为________. 【答案】158 【解答】首先,a x 14250021002-+=,则a 142500-为完全平方数, 令2142500y a =-, 0≥y ,则a y y 14)50)(50(=-+, )50(|14y + 或 )50(|14y -, 500≤≤y .因此, y 的可能取值为6, 8, 20, 22, 34, 36, 48, 50, 使得2x 为完全平方数的是22, 48, 对应的a 为144和14.6. 已知a , b , c 为互不相等的非零实数, 且存在实数x , y 满足 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000333y cx c y bx b y ax a ,那么c b a ++的值是________. 【答案】0【解答】令⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++)3(.0)2(,0)1(,0333y cx c y bx b y ax a 由方程 (1), (2), 可得0)()(33=-+-x b a b a .因为0≠-b a , 所以022=+++x b ab a ,解得)(22b ab a x ++-=.代入方程 (1), 解得22ab b a y +=.将方程 (1), (2), (3) 相加, 得03)(333=++++++y x c b a c b a ,将y 代入, 得0)(3)(22333=+++++++y ab b a x c b a c b a .整理得0)2)(()()(22233=+--+++++=+++++x ca bc ab c b a c b a x c b a c b a .将x 代入整理得0))()(())((2=--++=--+++b c a c c b a ca bc ab c c b a .因为a , b , c 互不相等且均不等于0, 所以 0=++c b a .7. 如右图所示, 五边形ABCDE 中, AE AB =, CD BC =,2=AC 厘米, ︒=∠60BAE , E D BCD B ∠=∠=∠=∠, 则五边形ABCDE 的面积是________平方厘米. 【答案】3【解答】因为五边形的内角和为︒540, 且︒=∠60BAE , E D BCD B ∠=∠=∠=∠所以︒=∠=∠=∠=∠120E D BCD B .见右图, 以A 为旋转中心, 逆时针旋转△ABC 到△AEF 的位置, 则AB AE =, BC EF =, AC AF =, ︒=∠=∠=∠120AED ABC AEF .所以CDE DEF ∠=︒=∠120.连接CF 交DE 于P , 则△CDP ≌△FEP . 相当于将△CDP 绕P 旋转︒180补到△FEP 的位置. 可见五边形ABCDE 的面积 = △ACF 的面积.又, △ACF 是边长为2厘米的正三角形, 所以其面积为32432=⨯（平方厘米）. 因此五边形ABCDE 的面积为3 平方厘米.8. 方程023=+++C Bx Ax x 的系数C B A ,,为整数, 10||,10||,10||<<<C B A ,且1是方程的根, 那么这种方程总共有________个. 【答案】270. 【解答】由已知,b x a b x a x b ax x x C Bx Ax x --+-+=++-=+++)()1())(1(23223,其中, a , b 为实数, 于是有b C a b B a A -=-=-=,,1,并且得到a , b 为整数. 由题目条件得10||,10||,10|1|<<-<-b a b a ,因此1010,1010,119<<-+<<-<<-b b a b a .当0=b 时, 由1010,119<<-<<-a a , 得109<<-a , 即a 能够取18个整数值; 当1=b 时, 由119<<-a , 知a 能够取19个整数值; 当2=b 时, 由128,119<<-<<-a a , 得118<<-a , 即a 能够取18个整数值; ……; 当9=b 时, 由191,119<<-<<-a a , 得111<<-a , 即a 能够取11个整数值. 同样地, 当1-=b 时, 由911,119<<-<<-a a , 得99<<-a , 即a 能能够取17个整数值; ……; 当9-=b 时, 由119,119<<-<<-a a , 得19<<-a , 即a 能取9个整数值.这样, ),(b a 的取法, 亦即),,(C B A 的取法有270210272930)91617()111819(18=⨯+⨯=++++++++ （种）. 所以, 这种方程共有270个.二、解答下列各题（每题10分, 共40分, 要求写出简要过程）9. 关于x 的方程 ()02|4|21=--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a x a x 的3个解恰好是某个直角三角形三条边的边长, 那么这个直角三角形面积的最大值是多少?【答案】4323+ 【解答】由已知, 原方程共有三个解:)2(41),2(41,12321-=+=-=a x a x a x . 当2>a , 它们才可能是某个直角三角形的三条边长. 下面分两种情况讨论. （1）26>>a . 在这种情形下, 312x x x >>, 2x 是斜边长. 因此,222)2(16112)2(161-+⎪⎭⎫⎝⎛-=+a a a , (*)解(*), 得到: 53±=a . 因为253<-, 仅有53+=a . 此时, 直角三角形面积为()853253161)2(161212231+=-+=-=a x x . （2）6≥a . 在这种情形下, 321x x x >>, 1x 是斜边长. 因此,222)2(161)2(16112-++=⎪⎭⎫⎝⎛-a a a , (**)解(**), 得到: ()322±=a . 因为()6322<-, 仅有()322+=a . 此时, 直角三角形面积为()43234324321)4(321212232+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-=a x x . 综上, 直角三角形面积的最大值是4323+. 10. 若干个选手参加象棋比赛, 每两个选手下一盘. 每盘棋的记分方法为：胜者得1分, 和棋各得0.5分, 负者得0分. 如果有两名选手共积11分, 其他选手的平均积分为整数, 那么一共下了多少盘棋? 【答案】21或231【解答】不论比赛状况如何, 下棋的盘数等于得分总数. 假设共有2+x 个人参加比赛, 那么共下)2)(1(21++x x 盘. 设n 为除两人外其余人的平均积分, 那么 nx x x =-++11)2)(1(21. 整理可得:020)32(2=--+x n x .由于人数为整数, 32-n 也为整数, 所以x 必为20的正约数. 又因为其中两名选手共得11分, 所以5≥x . 因此x 的取值只可能是5, 10或 20.当5=x , 7人比赛, 共计比赛21场, 总分21分, 其余人共得10分, 平均2分, 符合题意.当10=x 时, 12人比赛, 共计比赛66场, 总分66分, 其余人共得55分, 平均5.5分, 不合题意.当20=x 时, 22人比赛, 共计比赛231场, 总分231分, 其余人共得220分, 平均11分, 符合题意.因此, 参加比赛的选手人数可能为7人或者22人, 共举行的场数可能为21场或者231场.11. 在梯形ABCD 中, CD AB //, 8=AB , 6=CD .M , N 分别为AD , BC 的中点, MN 与梯形ABCD 的对角线AC , BD 分别相交于P , Q . 如图所示的四边形ABQP 的面积为18, 求梯形ABCD 的面积. 【答案】56【解答】见右图, 连接CQ . 因为M , N 分别为AD , BC 的中点, 所以P 为AC 的中点. 令x S QBN =∆, 则x S CQN =∆.因为P , N 分别为AC , BC 的中点, 所以421==AB PN . 同理可知321==CD QN .所以31=-==∆∆QN QN PN QN PQ S S CQNCPQ . 得x S CPQ 31=∆. 在CAB ∆中, x x x S S CPN ABNP 43133=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==∆.所以x S S S BNP ABNP ABQP 3=-=∆.得6=x . 所以321837=+=∆x S ABC 又43==∆∆AB CD S S ABC ACD , 得2443==∆∆ABC ACD S S . 最终,563224=+=ABCD S .12. 已知十个互不相同的正数满足:1) 它们的和为385;2) 它们中任意两个数的和或者差的绝对值是这十个数中的某个数. 请写出这十个数.【答案】7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70【解答】设这十个数为1021,,,a a a , 且1021a a a <<< . 由于1010a a a i >+, 91≤≤i ,所以它们都不是这十个数中的成员, 因此i a a -10都是这十个数中的成员, 都小于10a , 且有10110710810910a a a a a a a a a <-<<-<-<- ,故有i i a a a -=-1010, 特别地1910a a a =-. 又因为10199a a a a a i =+>+, 81≤≤i ,也都不是这十个数中的成员, 所以i a a -9都是这十个数中的成员, 都小于9a , 且有9197989a a a a a a a <-<<-<- ,故有i i a a a -=-99, 特别地189a a a =-. 完全相同的道理, 可得11a a a i i =-+, 91≤≤i .所以385)1021(11021=+++=+++ a a a a .解得71=a . 所以这十个数是7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70.三、解答下列各题（每题15分, 共30分, 要求写出详细过程）13. 右图中, ︒=∠=∠=∠45DAB BCD ABC , 2=BD 厘米,求四边形ABCD 的面积.【答案】2平方厘米【解答】见左图, 连接AC , 延长AD 交BC 于H . 则︒=∠90AHB , ︒=∠45CDH . 所以, BH AH =, HC DH =. 又在BHD ∆与AHC∆中,︒=∠=∠90AHC BHD , 所以AHC BHD ∆∆≌（边、角、边）. 得2==AC BD （厘米）.延长BD 交AC 于K , 由于︒=∠+∠90CAH ACH , 而KBH CAH ∠=∠ 所以︒=∠+∠90CAH KBH . 因此︒=∠90BKC , 得 AC BK ⊥, 即AC BD ⊥. 最终,四边形ABCD 的面积= ABC ∆的面积ADC ∆-的面积=)(212121DK BK AC DK AC BK AC -⨯⨯=⨯⨯-⨯⨯ = 2222121=⨯⨯=⨯⨯BD AC （平方厘米）. 14. 有n 个人在网上购物, 2>n . 已知, 任意三个人中有两人买有同一种类的商品, 没有三个人买有同一种类的商品. 若他们中的甲和乙两人各买了四种商品, 但没有买同一种类的商品, 则n 的最大值是多少? 当n 最大时, n 个人一共最少买了多少种商品？【答案】10, 20【解答】分别用A 1, A 2表示甲、乙两人, 他们没买同一种商品. 由任意3人中有2人买了相同的商品, 余下的(2-n )个人可分成两组: A 1组, 与A 1买有同种商品的人; A 2组, 与A 2买有同种商品的人. 注意, 同一个人可以即在A 1组也在A 2组. 两个组每组最多5人. 否则, 设有一个组有6个或6个以上的人, 不妨设是A 1. 但是A 1只买了4种商品, 由抽屉原则, 另外5个或5个以上的人中必有2人与A 1都买有同一种类商品. 这与题设“没有三个人买有同一种类的商品”矛盾. 若10>n , 由抽屉原则有一组有6个或6个以上的人, 与“两个组每组最多5人”矛盾. 所以, 10≤n .考虑10=n 的情况. 记第i 个人为A i , 用B1, B2, …, B20表示20种不同种类的商品. 购物情况可以如下:A 1买B1, B2, B3, B4; A 2买B11, B12, B13, B14;A 3买B1, B5, B6, B7; A 7买B11, B15, B16, B17;A 4买B2, B5, B8, B9; A 8买B12, B15, B18, B19;A 5买B3, B6, B8, B10; A 9买B13, B16, B18, B20;A 6买B4, B7, B9, B10; A 10买B14, B17, B19, B20.满足题目的要求, 且两组各有5人.当10=n 时, 两个组只能各有5人且无人同属两组. 同一组中, 三人有二人购有同种商品, 而无其他同组人买这种商品. 这二人可以是同组中任意二人, 所以, 一个组就至少买了1025=C 种商品. 两个组至少买了20种商品.。

(复赛)第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛(1)

第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题（初二组）（时间: 2014年4月12日10:00～11:30）一、填空题（每小题 10分, 共80分）1. 计算:23322332623323333--⋅+-=________.2. 已知正整数a , b , c 满足三个等式：c b a =3, 9432=⎪⎭⎫ ⎝⎛++c b a , 6822=+b a , 那么2c 等于________.3. 如图, E , F 分别是菱形ABCD 的边AB , AD 上的点,︒=∠60DCB , ︒=∠105DFE , 1=DF , 32-=BE , 那么这个菱形的边长等于________.4. 将一个四位数的四个数字之和的两倍与这个四位数相加得2379, 则满足条件的四位数有________个.5. 已知aa x 14501450-++=, 其中a 是正整数, 那么所有使得x 为整数的a 的取值之和为________.6. 已知a , b , c 为互不相等的非零实数, 且存在实数x , y 满足 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000333y cx c y bx b y ax a ,那么c b a ++的值是________. 7. 如右图所示, 五边形ABCDE 中, AEAB =, CD BC =, 2=AC 厘米, ︒=∠60BAE , E D BCD B ∠=∠=∠=∠, 则五边形ABCDE 的面积是________平方厘米.学校____________ 姓名_________ 参赛证号密封线内请勿答题8. 方程023=+++C Bx Ax x 的系数C B A ,,为整数, 1||,10||,10||<<<C B A , 且1是方程的根, 那么这种方程总共有________个.二、解答下列各题（每题 10 分, 共40分, 要求写出简要过程）9. 关于x 的方程()02|4|21=--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a x a x 的3个解恰好是某个直角三角形三条边的边长, 那么这个直角三角形面积的最大值是多少?10. 若干个选手参加象棋比赛, 每两个选手下一盘. 每盘棋的记分方法为：胜者得1分, 和棋各得0. 5分, 负者得0分. 如果有两名选手共积11分, 其他选手的平均积分为整数, 那么一共下了多少盘棋?11. 在梯形ABCD 中, CD AB //, 8=AB , 6=CD .M , N 分别为AD , BC 的中点, MN 与梯形ABCD 的对角线AC , BD 分别相交于P , Q . 如图所示的四边形ABQP 的面积为18, 求梯形ABCD 的面积. 12. 已知十个互不相同的正数满足:1) 它们的和为385;2) 它们中任意两个数的和或者差的绝对值是这十个数中的某个数. 请写出这十个数.三、解答下列各题（每题 15 分, 共30分, 要求写出详细过程）13. 右图中, ︒=∠=∠=∠45DAB BCD ABC , 2=BD 厘米,求四边形ABCD 的面积.14. 有n 个人在网上购物, 2>n . 已知, 任意三个人中有两人买有同一种类的商品, 没有三个人买有同一种类的商品. 若他们中的甲和乙两人各买了四种商品, 但没有买同一种类的商品, 则n 的最大值是多少? 当n 最大时, 这n 个人一共最少买了多少种商品？第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题（初一组）（时间: 2014年4月12 日 10:00 ~ 11:30）一、填空题（每小题 10分, 共80分）1.计算:])()[()()]([.||)()(6831232706253855421653233÷-+-⨯+-÷--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯---÷+-⨯-= . 2.如图，由单位正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点, 以格点为顶点做了一个三角形, 记L 为三角形边上的格点数目, N 为三角形内部的格点数目, 三角形的面积可以用下面的式子求出来：顶点在格点的三角形的面积=121-+N L .如果三角形的边上与内部共有20个格点, 则这个三角形的面积最大等于 , 最小等于 .3.长为4的线段AB 上有一动点C , 等腰三角形ACD 和等腰三角形BEC 在过AB的直线同侧, DC AD =, EB CE =, 则线段DE 的长度最小为 .4.正整数c b a ,,满足等式, c b a =3, 且9432=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++c b a , 又6822=+b a ,则=c .5.如图, 直角三角形ABC 中, F 为AB 上的点, 且FBAF 2=,6.方程023=+++C Bx Ax x 的系数C B A ,,为整数, 5||,5||,5||<<<C B A , 且1是方程的一个根, 那么这种方程总共有个.学校____________ 姓名_________ 参赛证号密封线内请勿答题第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(初一组)7.一辆公交快车和一辆公交慢车沿某环路顺时针运行, 它们的起点分别在A 站和B 站, 快车每次回到A 站休息4分钟, 慢车每次回到B 站休息5分钟, 两车在其他车站停留的时间不计. 已知沿顺时针方向A 站到B 站的路程是环路全程的52, 两车环行一次各需45分钟和51分钟（不包括休息时间）, 那么它们从早上6时同时出发, 连续运行到晚上10时, 两车同在B 站共次.8.如果a , b , c 为不同的正整数, 且 222cb a =+, 那么乘积abc 最接近2014的值是 .第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(初一组)二、解答下列各题（每题10分, 共40分, 要求写出简要过程）9.有三个农场在一条公路边, 如图A, B 和C 处. A 处农场年产小麦50吨, B 处农场年产小麦10吨, C 处农场年产小麦60吨. 要在这条公路边修建一个仓库收买这些小麦. 假设运费从A 到C 方向是1.5元/吨千米, 从C 到A 方向是1元/吨千米, 那么仓库应该建在何处才能使运费最低？120公里50公里10.如右图, 在ABC ∆中, D 为BC 中点, FB AF 2=, AE CE 3=. 连接CF 交DE 于P 点, 求DPEP的值.11.某地参加华杯赛决赛的104名小选手来自14所学校. 请证明：一定有选手人数相同的两所学校.12.将一个四位数中的四个数字之和的两倍与这个四位数相加得2379. 求这个四位数.三、解答下列各题（每小题 15分, 共30分, 要求写出详细过程）13.求质数c b,a, 使得ab bc ab a =++715.14.如果有理数10321,,,,a a a a 满足条件: ,10,10,0109432110321≤++++≤+≥≥≥≥≥a a a a a a a a a a 那么210232221a a a a ++++ 的最大值是多少？。

第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(小中组)

2014年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组）一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）用□和○表示两个自然数，若□×○＝42，则（□×4）×（○÷3）．2．（10分）计算：10×9×8+7×6×5+6×5×4+3×2×1﹣9×8×7﹣8×7×6﹣5×4×3﹣4×3×2＝．3．（10分）将学生分成35组，每组3人．其中只有1个男生的有10组，不少于2个男生的有19组，有3个男生的组数是有3个女生的组数的2倍．则男生有人．4．（10分）从 1～8 这八个自然数中取三个数，其中有连续自然数的取法有种．5．（10分）如图，三个圆交出七个部分，将整数0～6分别填入七个部分中，使得每个圆内的四个数字的和都相等，那么和的最大值是．6．（10分）若干自然数的乘积为324，则这些自然数的和最小为．7．（10分）在嫦娥三号着月过程中，从距离月面2.4千米到距离月面100米这一段称为接近段．图1和图2分别是它到距月面 2.4 千米和月面100米处时，录像画面截图．则嫦娥三号在接近段内行驶的时间是秒（录像时间的表示方法：30：28/2：10：48表示整个录像时间长为 2 小时10分钟48秒，当前恰好播放到第30分钟28秒处）．8．（10分）将 1～6 这六个自然数分成甲、乙两组，则甲组数的和与乙组数的和的乘积最大是．二、简答题（每小题10分，共40分，要求写出简要过程）9．（10分）如图，将一个大三角形纸板剪成四个小三角形纸板（第一次操作），再将每个小三角形纸板剪成四个更小的三角形纸板（第二次操作）．这样继续操作下去，完成第5次操作后得到若干个小三角形纸板．甲和乙在这些小三角形纸板上涂色，每人每次可以在1至10个小三角形纸板上涂色，谁最后涂完谁赢．在甲先涂的情况下，请设置一个方案使得甲赢．10．（10分）如图所示，网格中每个小正方格的面积都为1平方厘米．小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成，小线段的端点在格子点上或在格线上），则这个剪影的面积为平方厘米．11．（10分）从一块正方形土地上，划出一块宽为10米的长方形土地（如图），剩下的长方形土地面积是1575平方米．那么，划出的长方形土地的面积是多少？12．（10分）三位数中，有些数本身是该数的数字和的19倍，如190＝19×（1+9+0），请写出所有这样的三位数．2014年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组）参考答案与试题解析一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）用□和○表示两个自然数，若□×○＝42，则（□×4）×（○÷3）56 ．【分析】第一个因数扩大4倍，所以积也扩大4倍，是42×4，然后第二个因数又缩小了3倍，所以积也缩小3倍，是42×4÷3，据此解答即可．【解答】解：根据分析可得，42×4÷3＝168÷3＝56；故答案为：56．2．（10分）计算：10×9×8+7×6×5+6×5×4+3×2×1﹣9×8×7﹣8×7×6﹣5×4×3﹣4×3×2＝132 ．【分析】先把每一项分组，再根据乘法的分配律解答．【解答】解：10×9×8+7×6×5+6×5×4+3×2×1﹣9×8×7﹣8×7×6﹣5×4×3﹣4×3×2＝（10×9×8﹣9×8×7）﹣（8×7×6﹣7×6×5）+（6×5×4﹣5×4×3）﹣（4×3×2﹣3×2×1）＝9×8×（10﹣7）﹣7×6×（8﹣5）+5×4×（6﹣3）﹣3×2×（4﹣1）＝9×8×3﹣7×6×3+5×4×3﹣3×2×3＝（9×8﹣7×6+5×4﹣3×2）×3＝（72﹣42+20﹣6）×3＝44×3＝132；故答案为：132．3．（10分）将学生分成35组，每组3人．其中只有1个男生的有10组，不少于2个男生的有19组，有3个男生的组数是有3个女生的组数的2倍．则男生有60 人．【分析】总共有四种情况，①3名女生，②2名女生1名男生，③1名女生2名男生，④3名男生．根据只有1个男生的有10组，可得②的情况有10组，不少于2个男生的19组，③和④的情况，共有19组，可得①的情况有35﹣19﹣10＝6（组），又因为有3个男生的组数是有3个女生的组数的2倍．所以④的情况有6×2＝12（组）．③的情况有19﹣12＝7（组），再把每组中男生的人数相加即可求解．【解答】解：总共有四种情况，①3名女生，②2名女生1名男生，③1名女生2名男生，④3名男生．根据只有1个男生的有10组，可得②的情况有10组，有男生10×1＝10（人）不少于2个男生的19组，③和④的情况，共有19组，可得①的情况有35﹣19﹣10＝6（组），这6组没有男生；又因为有3个男生的组数是有3个女生的组数的2倍；所以④的情况有6×2＝12（组），有男生12×3＝36（人）③的情况有19﹣12＝7（组），7×2＝14（人）男生共有10+36+14＝60（人）答：男生有60人．故答案为：60．4．（10分）从 1～8 这八个自然数中取三个数，其中有连续自然数的取法有36 种．【分析】没有连续自然数的取法分四种情况列举：（1）三个奇数，（2）三个偶数，（3）两个奇数一个偶数，（4）两个偶数一个奇数；从 1～8 这八个自然数中取三个数共有＝56种，然后用56减去没有连续自然数的取法解答即可．【解答】解：没有连续自然数的取法：（1）三个奇数：135、137、157、357，共4个；（2）三个偶数：246、248、268、468，共4个；（3）两个奇数一个偶数：136、138、158、147、358、257，共6个；（4）两个偶数一个奇数：247、258、146、148、168、368，共6个；综合上述没有连续自然数的取法共：4+4+6+6＝20（种）从 1～8 这八个自然数中取三个数的取法：＝＝56（种）所以有连续自然数的取法有56﹣20＝36（种）；答：从 1～8 这八个自然数中取三个数，其中有连续自然数的取法有 36种．故答案为：36．5．（10分）如图，三个圆交出七个部分，将整数0～6分别填入七个部分中，使得每个圆内的四个数字的和都相等，那么和的最大值是15 ．【分析】因为使得每个圆内的四个数字的和都相等，且和最大值时，6最大，就把6写在最中间，还剩的3个较大数字5、4、3，填在两圆公共的部分，最后剩下的0、1、2；0与6、4、5结合；1与6、5、3结合；2与6、3、4结合，那么每个圆内的四个数字的和都是15，据此解答即可．【解答】解：根据分析可得，所以，6+5+4+0＝6+4+3+2＝6+5+3+1＝15；所以，和的最大值是 15．故答案为：15．6．（10分）若干自然数的乘积为324，则这些自然数的和最小为16 ．【分析】因为将一个数分解出若干个2与3的乘积，而不含1，此时这些自然数的和最小，所以324＝2×2×3×3×3×3，所以这些自然数的和最小为：2+2+3+3+3+3＝16，据此解答．【解答】解：因为324＝2×2×3×3×3×3，所以这些自然数的和最小为：2+2+3+3+3+3＝16，故答案为：16．7．（10分）在嫦娥三号着月过程中，从距离月面2.4千米到距离月面100米这一段称为接近段．图1和图2分别是它到距月面 2.4 千米和月面100米处时，录像画面截图．则嫦娥三号在接近段内行驶的时间是114 秒（录像时间的表示方法：30：28/2：10：48表示整个录像时间长为 2 小时10分钟48秒，当前恰好播放到第30分钟28秒处）．【分析】根据题目给出的数据，接近段是从录像的第45分39秒到47分33秒，用47分33秒减去45分39秒，即可求出接近段这部分时间是多少．【解答】解：47分33秒﹣45分39秒＝1分54秒＝114秒答：嫦娥三号在接近段内行驶的时间是 114秒．故答案为：114．8．（10分）将 1～6 这六个自然数分成甲、乙两组，则甲组数的和与乙组数的和的乘积最大是110 ．【分析】要使甲组数的和与乙组数的和的乘积最大，则这两个和应尽可能大，且两个和的差要尽可能小；由此先分组解答即可．【解答】解：6个数的和为：1+2+3+4+5+6＝21，21分解成两个最接近的整数的和是：21＝11+10，即，把 1～6 这六个自然数分成（1+2+3+4）、（5+6）两组，所以，乘积最大为：（1+2+3+4）×（5+6）＝11×10＝110；答：甲组数的和与乙组数的和的乘积最大是 110．股单位：110．二、简答题（每小题10分，共40分，要求写出简要过程）9．（10分）如图，将一个大三角形纸板剪成四个小三角形纸板（第一次操作），再将每个小三角形纸板剪成四个更小的三角形纸板（第二次操作）．这样继续操作下去，完成第5次操作后得到若干个小三角形纸板．甲和乙在这些小三角形纸板上涂色，每人每次可以在1至10个小三角形纸板上涂色，谁最后涂完谁赢．在甲先涂的情况下，请设置一个方案使得甲赢．【分析】根据已知第一次操作后得到4个小正三角形，第二次操作后得到4×4＝16个小正三角形；第三次操作后得到4×4×4＝64个小正三角形；…继而第5次操作后得到4×4×4×4×4＝1024个小三角形．首先理解题意，谁先涂谁并且获胜，甲要先涂，利用甲所涂小三角形的个数均为10减去乙所涂三角形个数解答此题即：甲先涂1个，以后当乙涂n个时，甲涂11﹣n个，据此即可解答问题．【解答】解：4×4×4×4×4＝1024（个）1024÷（10+1）＝93 (1)甲先涂，由于余1，所以甲先涂1个张，乙再涂n（1≤n≤10）张，接着甲涂走（11﹣n）个；以后每次在乙涂后，甲所涂的个数均为11减去乙所涂数之差；最后都得给甲剩下1～10个，这样，甲就能最后涂剩下的所有小三角形．10．（10分）如图所示，网格中每个小正方格的面积都为1平方厘米．小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成，小线段的端点在格子点上或在格线上），则这个剪影的面积为56 平方厘米．【分析】按题意，可以将图中剪影分割成若干部分，然后标出每部分的面积，利用剪切和拼接的性质求得每部分的面积，最后求和．【解答】解：根据分析，如图，将剪影分割，通过分割和格点面积公式可得小马剪影的总面积＝0.5+3+16+2+1+2.5+3+0.5+1.5+12+3+2+0.5+3+0.5+1+2+1.5+0.5＝56（平方厘米）故答案是：56．11．（10分）从一块正方形土地上，划出一块宽为10米的长方形土地（如图），剩下的长方形土地面积是1575平方米．那么，划出的长方形土地的面积是多少？【分析】根据题干，剩下的长方形的长与宽的差是10米，因为1575＝3×3×5×5×7＝45×35，所以原正方形的边长为45米，所以划出的长方形的长与宽分别是45米、10米，据此计算即可解答问题．【解答】解：根据题干分析可得：1575＝3×3×5×5×7＝45×35，45﹣35＝10，所以原正方形的边长为45米，则划出的面积是：45×10＝450（平方米），答：划出的长方形土地的面积是450平方米．12．（10分）三位数中，有些数本身是该数的数字和的19倍，如190＝19×（1+9+0），请写出所有这样的三位数．【分析】首先，这个数是19的倍数，这个数是三位数，三位数各位数字的和不会超过27，那么这个数不会超过19×27＝513，500多，数字和不会超过4+9+9＝22，即这个数不超过22×19＝418，找出418以内所有19的倍数，看是否符合题意即可解答．【解答】解：这个数是19的倍数，三位数各位数字的和不会超过27，那么这个数不会超过19×27＝513，500多，数字和不会超过4+9+9＝22，即这个数不超过22×19＝418，19×6＝114 （√）1+1+4＝619×7＝133 （√）1+3+3＝719×8＝152 （√）1+5+2＝819×9＝171 （√）1+7+1＝919×10＝190 （√）1+9+0＝1019×11＝209 （√）2+0+9＝1119×12＝228 （√）2+2+8＝1219×13＝247 （√）2+4+7＝1319×14＝266 （√）…19×15＝285 （√）…19×16＝304 3+0+4＝7≠1619×17＝323 …19×18＝342 …19×19＝361 …19×20＝380 …19×21＝399 （√）3+9+9＝2119×22＝418 4+1+8＝13≠22所以所有的结果是：114、133、152、171、190、209、228、247、266、285、399共11个数，答：这样的三位数有114、133、152、171、190、209、228、247、266、285、399．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:49:57；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@；学号：20913800。

第十九届“华杯赛”决赛小学中年级组试题与答案

第 1 页
共 1 页
8. 将 1~6 这六个自然数分成甲、乙两组, 则甲组数的和与乙组数的和的乘积最大是________.
第 1 页
共 2 页
二、简答题（每小题 15 分, 共 60 分, 要求写出简要过程）
9. 如下图, 将一个大三角形纸板剪成四个小三角形纸板（第一次操作）, 再将每个小三角形纸板剪成四个更小的三角形纸板（第二次操作）. 这样继续操作下去, 完成第 5 次操作后得到若干个小三角形纸板. 甲和乙在这些小三角形纸板上涂色, 每人每次可以在 1 至 10 个小三角形纸板上涂色, 谁最后涂完谁赢. 在甲先涂的情况下, 请设置一个方案使得甲赢.
10. 如右图所示, 网格中每个小正方格的面积都为 1 平方厘米. 小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成 , 小线段的端点在格子点上或在格线上）, 则这个剪影的面积为多少平方厘米?
11. 从一块正方形土地上, 划出一块宽为 10 米的长方形土地（如右图）, 剩下的长方形土地面积是 1575 平方米. 那么, 划出的长方形土地的面积是多少？
12. 三位数190 19 (1 9 0) , 请写出所有这样的三位数.
第 2 页
共 2 页
第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题参考答案（小学中年级组）一、填空（每题 10 分, 共 80 分）
题号答案 1 56 2 132 3 60 4 36 5 15 6 16 7 114 8 110
3. 将学生分成 35 组, 每组 3 人. 其中只有 1 个男生的有 10 组, 不少于 2 个男生的有 19 组 , 有 3 个男生的组数是有 3 个女生的组数的 2 倍 . 则男生有 ________人. 4. 从 1~8 这八个自然数中取三个数, 其中有连续自然数的取法有________种. 5. 如右图, 三个圆交出七个部分. 将整数 0～6 分别填到七个部分中, 使得每个圆内的四个数字的和都相等, 那么和的最大值是________. 6. 若干自然数的乘积为 324, 则这些自然数的和最小为________. 7. 在嫦娥三号着月过程中, 从距离月面 2.4 千米到距离月面 100 米这一段称为接近段. 下面左图和右图分别是它到距月面 2.4 千米和月面 100 米处时, 录像画面截图. 则嫦娥三号在接近段内行驶的时间是________秒（录像时间的表示方法：30 : 28 / 2 : 10 : 48 表示整个录像时间长为 2 小时 10 分钟 48 秒, 当前恰好播放到第 30 分钟 28 秒处）.

第19届华杯赛初赛小高组卷及参考答案

第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛（A）卷
1、平面上的四条直线将平面分割成八个部分，则这四条直线中至多有（）条直线相互平行。
(A)0
(B)2
(C)3
(D)4
2、某次考试有 50 道试题，答对一道题得 3 分，答错一道题扣 1 分，不答题不得分。小龙得分 120 分，那么小龙最多答对了（）道试题。
总结:行程问题始终是围绕“路程=速度×时间”展开的，碰到行程问题，首先画出行程图，明确题目的已知条件，可以通过其隐含的等量关系列方程求解。

6.解析：【知识点】平面几何，割补法
正方形 ABCD 被分成了四个三角形和一个不规则的四边形，我们设法将不规则阴影部分分割成规则图形，如图过 E 点作 AB 的平行线，过 F 点作 BC 的平行线，过 G 点作 AB 的平行线，过 H 点作 BC 的平行线，四条辅助线的交点为 I、J、K、M ；
3.解析：【知识点】数独，平均数
题目要求的是 A， B， C， D 这四个方格中数的平均数，没必要求出 A， B， C， D 各自对应的数是多少，求出它们的和即可；
如下图所示，将第四行的四个数字设为分别为 E，F，G，H，每行、每列的四个数都不重复，且每个纸板内四个格子里的数也不重复，所以，我们可以得到：
行程问题中，有一个重要的公式“路程=速度×时间”，当路程一致时，速度与时间成反比，我们假定两种情况下都是匀速运动，那么两种情况下，从甲地到丙地的速度比等于从丙地到乙地的速度比；
从甲地到丙地， t原计划
: t实际
x : (x 5) ，则
v原计划 v实际
x5 x
，
同理，从丙地到乙地， t原计划
: t实际
A B E F 16 C D G H 16

第十九届华杯赛决赛解答_初一

第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题解答（初一组）（时间: 2014年4月12日）一、填空（每题10分, 共80分）1. 计算: =÷-+-⨯+-÷--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯---÷+-⨯-]6)8()3[(12)3()]27(0[625.385|54|)2(16)5(3233 . 【答案】2-【解答】原式 =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+-÷+--÷+-⨯-31312)3(27920)8(16)5(27=2611225299202135-=-=--+--. 2. 如图，由单位正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点, 以格点为顶点做了一个三角形, 记L 为三角形边上的格点数目, N 为三角形内部的格点数目, 三角形的面积可以用下面的式子求出来：顶点在格点的三角形的面积=121-+N L如果三角形的边上与内部共有20个格点, 则这个三角形的面积最大等于 , 最小等于 .【答案】17.5, 9【解答】（题目中的公式取自闵嗣鹤教授写的《格点与面积》一本小册子, 只用到顶点数目, 其说明也易于理解. 下面的说明也是取自该书）,根据顶点在格点图形的面积=121-+N L ,因为L 为三角形边上的格点数目, N 为图形内部的格点数目, 要使三角形面积最大, 则要求L 最小. 当L 最小的时候, 三角形只有三个顶点在格点上,其它的点在三角形的内部. 此时面积为17.5.这种图形是存在的, 在相邻的3列格点中, 三角形的三个顶点分别在其中一列上, 使得只有3个顶点在三角形的边上, 见下图.考虑面积最小的情况, 当所有的格点都在三角形的边上时, 面积最小. 取相邻两行格点, 三角形的一个顶点在其中一行, 底边包含19个格点在另一行, 此时面积为9, 见下图.下面叙述这个公式的一步步的说明过程.（1）考虑1+m 行, 1+n 列的矩形, 则图形内的点数为))((11--n m , 边上的点数为)(2n m +, 图形的面积为mn . 而1))(2(21)1)(1(-++--=n m n m mn . 因此公式成立.（2）对于直角三角形, 设直角边的长度分别为m , n . 设斜边上的点数为K , 则三角形内部的格点数为2211+---K n m ))((, 三条边上的格点数为1-++K n m .因此,1211212211+=-++++---mn K n m K n m )())((. 而三角形的面积为mn 21, 故公式成立. （3）对于一般的三角形, 有下面的三种方式：对于每个上述情况, 可以把这个三角形记为T , 放入一个矩形中. 这样把矩形分割成一些直角三角形, 矩形与T . 对这些直角三角形与矩形进行编号 ,3,2,1. 记i 个图形的内部格点数目为i N , 边上的格点数目为i L , 每个图形面积满足121-+i i L N . 注意到：a) 每个图形的内部格点一定是外部矩形的内部格点.b) 每个公共边上内部的格点属于两个图形.c) 公共边的端点可能为多个图形的顶点. 如上左图中A , B 属于两个图形边的顶点, C 为3个图形顶点.把每个点对应一个数, 图形内部的格点对应1, 图形边上的格点对应21. 这样用外部矩形面积公式减去T 之外的其他直角三角形与矩形面积公式.T 之内的格点为对应的数1, T 边上内部的格点对应的数为21211=-, T 的三个顶点对应数的和是21212212123-=⨯---, 公式中常数1对应的值为1121=-⨯--)(, 其他格点对应的数为0. 这样外部矩形面积公式减去T 之外的其他直角三角形与矩形面积公式= T 的内部格点数+⨯21(边的内部格点数3-)+(121+-) = T 的内部格点数+⨯21(边的内部格点数)1-,因此公式对T 成立.对其他两个图形也进行类似的讨论. 3. 长为4的线段AB 上有一动点C , 等腰三角形ACD 和等腰三角形BEC 在过AB 的直线同侧, DC AD =, EB CE =, 则线段DE 的长度最小为 .【答案】2.【解答】分别从D , E 向AB 作垂线, 过D 或E 做与AB 的平行线, 可以得到一个矩形, 参见右图. 线段DE 最短等于该矩形平行于AB 的边的长度（由过一点D 或E 到另一直线的距离, 垂线最短的结论）. 三角形ACD 和三角形BCD 是等腰三角形, DE 最短等于AB 的一半, 即为2.4. 正整数c b a ,,满足等式, c b a =3, 且9432=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++c b a , 又6822=+b a , 则=c . 【答案】12.【解答】由 cb ac b a ++==33, 知 9439322222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++==c b a c b a c b a , 所以,153499222=+=+)(b a c . 得1442=c , 12=c .5. 如图, 直角三角形ABC 中, F 为AB 上的点, 且FB AF 2=, 四边形EBCD 为平行四边形, 那么【答案】2【解答】连接FC , BD , 设kEF FD =, S S BFE =∆, 那么kS S BDF =∆, S k S S FBC BCD )1(+==∆∆. 由FB AF 2=可知kS S AFD 2=∆, 进而S k S A B C )41(+=∆, 得又所以)1(341k k +=+.解得, 2=k . 因此, EF FD 2=.6. 方程023=+++C Bx Ax x 的系数C B A ,,为整数, 5||,5||,5||<<<C B A , 且1是方程的一个根, 那么这种方程总共有个.【答案】60【解答】由已知,b x a b x a x b ax x x C Bx Ax x --+-+=++-=+++)()1())(1(23223,其中, a , b 为实数, 于是有b C a b B a A -=-=-=,,1,并且得到a , b 为整数. 由题目条件得5||,5||,5|1|<<-<-b a b a .因此555564<<-+<<-<<-b b a b a ,,.当0=b 时, 由55,64<<-<<-a a , 得54<<-a , 即a 能够取8个整数值. 类似地, 当b 为1, 2, 3, 4 时, a 分别可以取9, 8, 7, 6个整数值. 同样地, 当1-=b 时, 由46,64<<-<<-a a , 得44<<-a , 即a 能能够取7个整数值. 类似地, 当b 为4,3,2---时, a 分别可以取6, 5, 4个整数值.这样, ),(b a 的取法, 亦即),,(C B A 的取法有60)4567()67898(=++++++++（种）所以, 这种方程共有60个.7. 一辆公交快车和一辆公交慢车沿某环路顺时针运行, 它们的起点分别在A站和B 站, 快车每次回到A 站休息4分钟, 慢车每次回到B 站休息5分钟, 两车在其他车站停留的时间不计. 已知沿顺时针方向A 站到B 站的路程是环路全程的52, 两车环行一次各需45分钟和51分钟（不包括休息时间）, 那么它们从早上6时同时出发, 连续运行到晚上10时, 两车同在B 站共次.【答案】3【解答】记早上6时为第0分钟, 从6时到22时是 9606016=⨯分钟, 快车环行一周连同休息时间需49445=+分钟, 294919960+⨯=, 慢车环行一周连同休息时间需56551=+分钟, 85617960+⨯=. 即第960分钟时, 快车共环行了19次, 慢车环行了17次.设慢车第m 次（171≤≤m , 6点出发为第0次）到达B 站的时间为第 m T 分钟, 则有:556-=m T m .快车第1次到达B 站是在第185245=⨯ 分钟, 11491918960+⨯=-, 快车经过B 站共20次. 记第n 次（201≤≤n ）经过B 站的时间为n t 分钟, 则3149)1(4918-=-+=n n t n .两车同在B 站时, m , n 必须满足:m n m 563149556≤-≤-. 26495631n m ≤-≤推出31564926≤-≤m n , 73187726≤-≤m n . 既然m n 87-是整数, 故有4874≤-≤m n , 即得到二元整数方程:487=-m n .由上面的方程得,51,4≤≤=k k n ,得到:,4847=-⨯m k 127=-m k .所以, k 为奇数. 当k 为1, 3, 5时, m 分别为3, 10, 17, n 分别为4, 12, 20.所以, 快车和慢车同在B 站3次.8. 如果a , b , c 为不同的正整数, 且 222c b a =+¸那么乘积abc 最接近2014的值是 .【答案】2040【解答】解答1. 设如若平方数c ²取3m 或13+m 的形式, 那么a , b 中必有3的倍数, 不然c ²为23+m , 而与原设矛盾.如若设平方数c ²取5m 或5m ±1的形式, 那么, 要是a , b 都不是5的倍数, 则c ²必为5m 或5m ±2, 而与原设矛盾; 要是a , b 都是5m , 则c 为5的倍数, 要是a , b 是5m ±2, 则c 不是5的倍数, 而与题设矛盾, 则a , b 中必有5的倍数.若设平方数c ²取4m 或14+m 的形式, 要是a , b 都不是4的倍数, 则c ²必为24+m 的形式, 与题设矛盾. 故, a , b 中必有4的倍数.因而可知abc 必为3, 4, 5的公倍数, 且4, 5, 6的最小公倍数为60. 又 19803360=⨯, 3419802014=-, 20403460=⨯, 2620142040=-, 并且当17,8,15===c b a 时, 22217815=+, 204017815=⨯⨯.所以abc 中最接近2014的值是2040.解答2. 根据a , b , c 为不同的正整数, 满足222c b a =+, 则存在正整数)(,n m n m >, 使得22n m a -=, mn b 2=, 22n m c +=.所以)()(22222n m mn n m abc +-=.根据2)(2)2()()2()(222222222n m mn n m mn n m +=+-≤⨯-, 知道2)()(2)(3222222n m n m mn n m abc +≤+-=. （*）当3=m 时, 根据n m >, n 最大为2,221972492233222222=+≤+≤+-=)()()()(n m n m mn n m abc . 另外4222222222m n m mn n m n m n m mn n m abc ≥++-=+-=)())(()()(. （**）所以当7≥m 时,48042224222222=≥++-=+-=m n m mn n m n m n m mn n m abc )())(()()(.考察6,5,4===m m m , 把n 的所有情况代人公式)(2)(2222n m mn n m abc +-=有下表:所以abc 中最接近2014的值是2040.二、解答下列各题（每题10分, 共40分, 要求写出简要过程）9. 有三个农场在一条公路边, 如图A 、B 和C 处. A 处农场年产小麦50吨, B处农场年产小麦10吨, C 处农场年产小麦60吨. 要在这条公路边修建一个仓库收买这些小麦.假设运费从A 到C 方向是1.5元/吨千米, 从C 到A 方向是1元/吨千米. 问仓库应该建在何处才能使运费最低？A【答案】A 处【解答】设仓库离B 处x 公里 (靠C 处), 则运费为：109503010950)120(6015)50(505.1≥+=-+++⨯x x x x 元.设仓库离B 处x 公里 (靠A 处), 则运费为：10700510950)120(601050505.1≥-=+++-⨯x x x x ）（元.因此, 应该将仓库建在A 处.10. 如图, 在ABC Δ中, D 为BC 中点, FB AF 2=,AE CE 3=. 连接CF 交DE 于P 点, 求DPEP 的值. 【答案】3.【解答】如图所示, 连接EF , DF . 设x S BDF =Δ. 因为D 为BC 的中点, 所以x S FDC =∆, x S CFB 2=∆.因为BF AF 2=, 所以2==∆∆BFAF S S CFB CAF , 得x S CAF 4=∆. 因为31==∆∆CE AE S S EFC AFE , 所以x S EFC 3=∆. 因为DP PE S S S S CPD CEP DPF EFP ==∆∆∆∆, 所以3==∆∆FDC EFC S S DP PE . 11. 某地参加华杯赛决赛的104名小选手来自当地14所学校. 请你证明：其中一定存在两所学校选手的人数是相同的.【解答】如果结论不成立, 则这14所学校的选手数彼此互不相同. 也就是这14所学校的选手数是彼此不同的14个正整数. 而14个彼此不同的正整数之和最小为1051413121110987654321=+++++++++++++,104105>, 得出矛盾.所以这14所学校的选手数彼此不同不能成立. 因此, 一定存在两所学校选手的人数是相同的.12. 将一个四位数中的各数字和的两倍与这个四位数相加得2379. 求这个四位数.【答案】2353, 2347.【解答】设这个四位数为xyzw . 首先, 2=x . 因为 ,9,,0≤≤w z y 若1=x , 则有20552541999,54)(20=++≤++≤w z y ,与条件不符. 另一方面x 不能大于2. 于是, yzw xyzw 2=, 即有23792224101002000=+++++++w z y w z y .得到375312102=++w z y .容易验证, .2,1≠y 因此, .3=y 于是69312=+w z , 12369w z -=. 整数解： 4,7;5,3====z w z w . 所求四位数为：2353, 2347. 经验证, 都符合要求.三、解答下列各题（每小题15分, 共30分, 要求写出详细过程）13. 求质数c b,a,使得ab+bc=abc a+715.【答案】29,2,2===c b a ;11,5,11===c b a 或者13,3,13===c b a【解答】因为bc a |, 所以b a |或者c a |. 因为 a , b , c 都是质数, 所以b a =或者c a =.① 当b a =时,c a ac a a 2275=++,所以ac c a =++715,2112271⨯==--))((c a .若 ⎩⎨⎧=-=-27111c a , 得⎩⎨⎧==912c a , 与题意不符; 若⎩⎨⎧=-=-11721c a , 得⎩⎨⎧==1813c a , 也与题意不符; 若⎩⎨⎧=-=-17221c a , 得⎩⎨⎧==823c a , 也与题意不符. 若⎩⎨⎧=-=-22711c a , 得⎩⎨⎧==292c a , 与题意相符, 29,2,2===c b a 为一个答案. ②当c a =时,b a ac ab a 2715=++,所以b a ab a 2815=+, 由ab b =+815变化得到53151)8(×=×b=a -.若 ⎩⎨⎧==-1518b a , 得 ⎩⎨⎧==159b a , 与题意不符; 若 ⎩⎨⎧==-1158b a , 得 ⎩⎨⎧==123b a , 与题意不符; 若 ⎩⎨⎧==-538b a , 得 ⎩⎨⎧==511b a , 与题意相符, 11,5,11===c b a 为一个答案; 若 ⎩⎨⎧==-358b a , 得 ⎩⎨⎧==313b a , 与题意相符, 13,3,13===c b a 为一个答案.. 14. 如果正数10321,,,,a a a a 满足条件:,10,10,109432110321≤++++≤+≥≥≥≥a a a a a a a a a a那么210232221a a a a ++++ 的最大值是多少？【答案】100【解答】记⎪⎩⎪⎨⎧≤++++≤+≥≥≥≥)3(,10)2(,10)1(,109432110321a a a a a a a a a a 由 (2) 和 (3) 得2010321≤++++a a a a .根据 (1) 和 (2),,100)()()())((100)()()()(1002)(1022010)10(1021042432321221021024242323212221023222103212210232222210232222210232221≤-++-+-+-+=-++-+-+-+=++++++++-≤++++-=++++-≤++++a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a并且等号成立当且仅当乘积10210323212)(,,)(,)(a a a a a a a a a ---都等于0.取0,10104321======a a a a a ,或0,510654321========a a a a a a a ,则10321,,,,a a a a 都满足 (1), (2), (3), 并且100210232221=++++a a a a .综和上述讨论, 210232221a a a a ++++ 的最大值是100.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题（小学中年级组）
（时间: 2014年4月12日14:00～15:30）
一、填空题（每小题 10分, 共80分）
1、。

【答案：125】
2、在某商店每花费25元就可以得到5点积分。

如果在该商店里花费了200元，能得到_________点积分。

【答案：40】
3、在甲乙两地之间，有一段300千米长的铁路正在施工，使得行驶其间的列车时速从每小时100千米降至每小时75千米。

列车行驶施工路段须增加__________小时。

【答案：1】
4、一天在数学课上，小明问老师：“老师，您今年多大岁数？”老师回答道：“今年我的岁数是你的4倍，但是5年前我的岁数是你的7倍。

”那么老师今年________岁。

【答案：40】
5、有10个人要在医院做手术，每个人的手术都要花45分钟。

第一个手术在早上8点开始，第二个手术在早上8点15分开始，并且以后的手术都相隔15分钟开始。

那么最后一个手术结束的时间是上午_______时______分。

【答案：11点0分】
6、如图所示的加法竖式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字则代表相同的数字。

若“赛”代表数字7，则“有”代表的数字是_________。

【答案：3】
7、如图所示，在一个正方形的网格上有A、B、C、D、E、F六个点。

任意连接其中3个点，可得到许多三角形。

这些三角形中，不含直角的三角形有_________个。

【答案：4】
8、在一个小立方块的每一面上都喷刷了一个不同的字母。

左下图显示了小方块的三个不同的位置。

右下图中“？”处的字母是_________。

【答案：V】
二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9、小明有1800件货物，每件进价37.9元，预计售价每件40元。

因占道经营，被城管罚款5000元。

那么，这批货物卖完后，小明赚（赔）了多少元？
【答案：赔了1220元】
10、将1~9不重复地填入下图中的□，使得图中的6个式子成立。

那么“？”格中的数字是多少？
【答案：6】
11、在投篮比赛中，每个选手投10个球，球上的数字从1到10，投中篮的得分等于所投球上的数字。

有一选手有两球未中，甲、乙、丙、丁分别猜测该选手的总分是52、41、38、35分。

那么谁的判断一定是错的？（简述理由）
【答案：丁】
12、一张长方形卡片，长 30cm，宽24cm。

它被剪成形状、大小相同的两片后，可拼成一个长40cm，宽18cm的新长方形。

下面哪个图形显示了原来的长方形和剪切线？请画出拼法。

【答案：E】
三、解答下列各题（每小题 15分，共30分，要求写出详细过程）
13、若从2、5、8、…、101这34个数中最少需要取多少个不同的数才能保证其中一定有两个数的和为43？
【答案：28】
14、有六名同学向老师咨询考试成绩。

老师说：甲不是六人中成绩最好的，乙不是六人中成绩最差的，而且六人的成绩各不相同。

则他们六人的成绩排序共有多少种不同的可能？（排序相同、分数不同的算同一种）
【答案：504】
第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题B（小学高年级组）
（时间: 2014年4月12日10:00～11:30）
一、填空题（每小题 10分, 共80分）
1. 如右图, 边长为 12米的正方形池塘的周围是草地, 池塘边A, B, C, D处各有一根木桩, 且米. 现用长4米的绳子将一头羊拴在其中的某根木桩上（不计打结处）. 为使羊在草地上活动区域的面积最大, 应将绳子拴在处的木桩上。

2. 在所有是20 的倍数的自然数中, 不超过3000并且是14的倍数的数之和是 .
3. 从1～8这八个自然数中, 任取三个数, 其中没有连续自然数的取法有种.
4. 如右图所示, 网格中每个小正方格的面积都为1平方厘米. 小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成, 小线段的端点在格子点上或在格线上）, 则这个剪影的面积为平方厘米.
5. 如果成立, 则“○”与“□”中可以填入的非零自然数之和最大为 .
6. 如右图, 三个圆交出七个部分. 将整数1～7分别填到七个部分中, 要求每个圆内的四个数字的和都相等. 那么和的最大值是 .
7. 学校组织482人去郊游, 租用42座大巴和20座中巴两种汽车. 如果要求每人一座且每座一人,则有种租车方案.
8. 平面上的五个点A, B, C, D, E 满足: AB = 16厘米, BC = 8厘米, AD = 10厘米, DE = 2厘米, AC = 24厘米, AE = 12厘米. 如果三角形EAB的面积为96平方厘米, 则点 A 到 CD 的距离等于厘米.
二、解答下列各题（每题10分, 共40分, 要求写出简要过程）
9. 把n个相同的正方形纸片无重叠地放置在桌面上, 拼成至少两层的多层长方形（含正方形）组成的图形, 并且每一个上层正方形纸片要有两个顶点各自在某个下层的正方形纸片一边的中点上. 下图给出了时所有的不同放置方法, 那么时有多少种不同放置方法?
10. 有一杯子装满了浓度为15% 的盐水. 有大中小铁球各一个, 它们的体积比为 . 首先将小球沉入盐水杯中, 结果盐水溢出10%, 取出小球; 其次把中球沉入盐水杯中, 又将它取出; 接着将大球沉入盐水杯中后取出; 最后在杯中倒入纯水至杯满为止. 此时杯中盐水的浓度是多少？
11. 清明节, 同学们乘车去烈士陵园扫墓. 如果汽车行驶1个小时后, 将车速提高五分之一, 就可以比预定时间提前10分钟赶到; 如果该车先按原速行驶60千米, 再将速度提高三分之一, 就可以比预定时间提前20分钟赶到. 那么从学校到烈士陵园有多少千米？
12. 如右图, 在三角形ABC 中, , , . 连接CF交DE于P点, 求的值.
三、解答下列各题（每小题 15分，共30分，要求写出详细过程）
13. 在右边的算式中, 字母a, b, c, d和“□”代表十个数字
0到9中的一个, 其中a, b, c, d四个字母代表不同的数
字, 求a, b, c, d代表的数字之和.
14. 从连续自然数1, 2, 3, …, 2014中取出n个数, 使这n个数满足: 任意取其中两个数, 不会有一个数是另一个数的7倍. 试求n的最大值, 并说明理由.
一、选择题(每小题10 分, 满分60分. 以下每题的四个选项中, 仅
有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号
内.)
1. 平面上的四条直线将平面分割成八个部分, 则这四条直线中至多有（）
条直线互相平行．
（A）0 （B）2 （C）3 （D）4
2. 某次考试有50道试题, 答对一道题得3分, 答错一道题扣1分, 不答题不得分．小龙得分120分, 那么小龙最多答对了（）道试题．
（A）40 （B）42 （C）48 （D）50
3. 用左下图的四张含有4个方格的纸板拼成了右下图所示的图形. 若在右下图
的16个方格分别填入1, 3, 5, 7（每个方格填一个数）, 使得每行、每列的四个
数都不重复, 且每个纸板内四个格子里的数也不重复, 那么A, B, C, D四个方
格中数的平均数是（）．
．
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
4. 小明所在班级的人数不足40人, 但比30人多, 那么这个班男、女生人数的比不可能是（）．
（A）2:3 （B）3:4 （C）4:5 （D）3:7
5. 某学校组织一次远足活动, 计划10 点10 分从甲地出发, 13 点10 分到达乙地, 但出发晚了5 分钟, 却早到达了4 分钟. 甲乙两地之间的丙地恰好是按照计划时
间到达的, 那么到达丙地的时间是（）．
（A）11 点40 分（B）11 点50 分（C）12 点（D）12 点10 分6. 如右图所示, AF 7 cm, DH 4 cm, BG 5 cm, AE 1cm.
若正方形ABCD 内的四边形EFGH 的面积为78 cm
2, 则正方形的边长为（）cm.
（A）10 （B）11 （C）12 （D）13
二、填空题(每小题10 分, 满分40 分)
7. 五名选手A, B, C, D, E 参加“好声音”比赛, 五个人站成一排集体亮相. 他们
胸前有每人的选手编号牌, 5 个编号之和等于35．已知站在E 右边的选手的编号
和为13；站在D 右边的选手的编号和为31；站在A 右边的选手的编号和为21；站在C右边的选手的编号和为7．那么最左侧与最右侧的选手编号之和是_____．8. 甲乙同时出发, 他们的速度如下图所示, 30 分钟后, 乙比甲一共多行走了
________米．
9. 四个黑色1×1×1 的正方体和四个白色1×1×1 的正方体可以组成________
种不同的2×2×2 的正方体（经过旋转得到相同的正方体视为同一种情况）．
10. 在一个圆周上有70 个点, 任选其中一个点标上1, 按顺时针方向隔一个点的
点上标2, 隔两个点的点上标3, 再隔三个点的点上标4, 继续这个操作, 直到1, 2, 3, …, 2014 都被标记在点上．每个点可能不只标有一个数, 那么标记了2014 的
点上标记的最小整数是________．。