自动控制理论第八章 采样控制..
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自动控制原理采样控制系统PPT课件
s
/s
ωS=2∏/T
传递函数
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零阶保持器的频率特性
低通特征：
|G0(jω)|
幅频特性中幅值随频率值的增大而迅速衰减. ωS -∏
相角滞后特性：
2ωS 3ωS
w = ws 处，相角滞后可达－180°
零阶保持器可以用无源网络近似代替.
G0 (s)
1 [1 esT s
]
1 s
1
1 e sT
lim e * (t ) lim( z 1)E( z)
t
z 1
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举例
例: 已知 e(t)=te-at，求E（z）。
解：由复数位移定理
Z[e(t)] Z[t eat ] E[z eaT ]
令e1 (t )
t, 则E1(z)
Z[e1(t)]
Tz (z 1)2
所以
Z[e(t)]
2. 名称由来：处在每个采样区间内的信号值为常数，导数为零，故得名。
将阶梯信号eh(t) 的每个区间中点连接起来，可得到与e(t)形状一 致时间上落后T/2的曲线e(t-T/2)。
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3.零阶保持器的传递函数和频率特性
r(t)=δ(t) , R(s)=1
理想单位脉冲
频率特性:
gh(t)=1(t)-1(t-T)
一. 采样过程 连续信号变换为脉冲信号。
输出为宽度等于τ的调幅脉冲系列，在采样瞬时nT(n= 0,1,2,…)时出现。
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二.采样过程的数学描述
τ非常小，通常为毫秒到微秒级，一般远小于采样周期T。
e*(t) = e(t) δT(t）
其中:T (t) (t nT)
自控08 采样系统分析
则
1 e * ( t ) e( kT )e jkws t T k
1 E * ( s ) E ( s jk s ) T k
17
上式描述了采样过程的复频域特征。
如果连续信号e(t)的频谱E(j)是单一的连续频谱，则离散信 号e*(t)的频谱除包含原连续信号主频谱外（幅值为1/T），还 包含无穷多个高频频谱。
τ
对e*(t)取拉氏变换，得
*
0
T
E (s) L e (t ) L e(kT ) (t kT ) e(kT )ekTs k 0 k 0
*
2T 连续信号与采样信号
上式可以将E*(s)与离散时域信号e(kT)联系起来，可以直接看出e*(t)的 时间响应。但是e*(t)仅描述了e(t)在采样时刻的值，所以E*(s)不可能 给出e(t)在两个采样时刻之间的任何信息。
10
3、单位脉冲序列函数 函数的序列。
T (t )
k
下式为 (t ) (t T ) (t kT )
…… -2T -T 0 T 2T ……
单位脉冲序列函数 4、断续信号(采样信号） 将连续的信号经采样后得到断续信号， 利用单位脉冲序列函数可以描述断续信号为：
– 结构简单、控制灵活 – 检测器精度可以做得很高，则控制精度高 – 抗干扰性好：除非扰动和离散信号同时出现才 会受到干扰 – 便于远距离传递。
9
6.2.2 采样信号的数学描述
1、几点假定（理想化） 采样开关应能立即开或闭； 通过采样开关的输出不发生畸变； 采样时间(即采样装置闭合的时间) τ 远小于采样周期T，分 析时可以近似认为趋近于零； 开关闭合时，其输出为常数； 等采样周期，即采样周期T 为常数。 2、单位脉冲函数 (t ) 为单位脉冲函数，脉冲的宽度为无限小、 幅度为无限大，而面积为1。 1 1 1 t 0 0 t (t ) (t ) 0 t 0或t t 0 t 0 0
自动控制原理课件：采样控制系统的分析
特性，而不能反映其在采样时刻之间的特性。
例8-2：试求函数 f(t)=1(t) 的z变换。
解:
f (kT) =1(kT) =1
(k=0,1,2,3….)
F ( z ) f (kT ) z k 1 1 z 1 1 z 2
k 0
1 z k
通过外，一些高频分量也允许通过。
9
8.3
采样控制系统的数学基础
例8-1：求如下系统采样后输入到采样后输出的传递函数
解：取∗ = ，则 ∗ = ，连续对象的输出为
= − ⇒ ∗ = () + − − + − − + ⋯
⇒
(Discrete-time signal)
离散信号通常是按照一定的时间间隔对连续的模拟信号进行采样而
得到的，又称采样信号。
脉冲采样（理想情形）
1
0
t
T ( t )
理想采样器 对应脉冲序列 = σ∞
=−∞ ( − )
t
0
T
2T
8.2
采样过程和采样定理
按一定的时间间隔对连续信号采样，将其变换为在时间上离散的脉冲序列
线性采样系统稳定的充要条件是，闭环系统的全部特征根均位于
z平面的单位圆内，即满足特征根皆
i 1，i 1，
2，
，n
问题：高阶系统求取特征根不容易，如何不用求解特征方程的根
就能判别线性采样系统的稳定性呢？
问题：如何推广应用劳斯稳定判据？
首先要通过双线性变换
w 1
z
w 1Байду номын сангаас
将Z平面的单位圆映射到W平面的虚轴，然后在W平面中应用
例8-2：试求函数 f(t)=1(t) 的z变换。
解:
f (kT) =1(kT) =1
(k=0,1,2,3….)
F ( z ) f (kT ) z k 1 1 z 1 1 z 2
k 0
1 z k
通过外，一些高频分量也允许通过。
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8.3
采样控制系统的数学基础
例8-1：求如下系统采样后输入到采样后输出的传递函数
解：取∗ = ，则 ∗ = ，连续对象的输出为
= − ⇒ ∗ = () + − − + − − + ⋯
⇒
(Discrete-time signal)
离散信号通常是按照一定的时间间隔对连续的模拟信号进行采样而
得到的，又称采样信号。
脉冲采样（理想情形）
1
0
t
T ( t )
理想采样器 对应脉冲序列 = σ∞
=−∞ ( − )
t
0
T
2T
8.2
采样过程和采样定理
按一定的时间间隔对连续信号采样，将其变换为在时间上离散的脉冲序列
线性采样系统稳定的充要条件是，闭环系统的全部特征根均位于
z平面的单位圆内，即满足特征根皆
i 1，i 1，
2，
，n
问题：高阶系统求取特征根不容易，如何不用求解特征方程的根
就能判别线性采样系统的稳定性呢？
问题：如何推广应用劳斯稳定判据？
首先要通过双线性变换
w 1
z
w 1Байду номын сангаас
将Z平面的单位圆映射到W平面的虚轴，然后在W平面中应用
自动控制原理--信号采样相关知识与零阶保持器及例题
8.2 信号采样相关知识与零阶保持器 2) 脉冲序列的数学表达
当脉冲宽度相对于采样周期足够小，可统一将其近似为宽度为零且冲量等
于其面积的理想脉冲。数学上，采样信号f*(t)可用连续信号f(t)与周期为Ts
的单位脉冲序列来
描述。
Ts (t )
f *(t) f (t )Ts (t) f (t) (t kTs ) f (kTs ) (t kTs ),
• 采样频谱的主分量与相邻 的高频谐波分量以及各相 邻的谐波分量之间将出现 重叠，这种现象称为混叠。 显然，此时仅通过低通滤 波已无法复原信号。
香农定理（C.E.Shannon）:
若则采原样连角续频信率号f(ts)满可足从以采下样条信件号：f*(t)中唯一确定。s 2max
(8 - 8)
说明: 对于实际控制系统而言，为保证控制系统的动态性能及抗干扰能 力，采样周期的选择往往远大于2max，例如，可取为闭环系统带宽的 20倍以上。当然，采样频率过大往往需要增大计算机和A/D及D/A转换 器的字长，提高其运算与转换速度，增加系统实现成本。
fh(t)与连续信号f(t)相比，形状一致但在时间上 平均落后Ts/2；即零阶保持器相当于滞后时间 常数为Ts/2的延迟环节。 • 从相频特性可知，所引入的滞后角度随的增 大而增大，在=s处，相角滞后为180； • 因此，采样频率的选择不能过小，当小于20 倍闭环系统带宽时，控制系统的分析和设计 一般需要考虑零阶保持器的影响。
8.2 信号采样相关知识与零阶保持器 8.2.1 信号采样
1. 采样信号的数学表示
1) 采样的形状多样： • 对同一连续信号，采样方式和采样装置不同，所得的脉冲序列的形状（包
括高度和宽度等）也不一样。
• 采样结果可能为幅值恒定而宽 度正比于采样值大小的脉冲调 宽序列，亦可能为幅值正比于 采样值而宽度恒定的脉冲调幅 序列，或者其他形式的脉冲序 列。
(自动控制原理)采样控制系统
X(s )= M(s ) N(s ) 的多项式， 其中， 其中，M(s )及 N(s )分别为复变量s 的多项式，并
且有 deg M( s ) ≤ deg N( s )以及 deg N( s ) = n . 展开成部分分式和的形式， 将 X(s)展开成部分分式和的形式，即
n
Ai X(s)= ∑ i =1 s + si 式中： 的零点， 的极点， 式中： i 为 N(s)的零点，即 X(s) 的极点，且设为 s
①线性性质 若 Z[ x1(t )] = X 1( z ), Z[ x2(t )] = X 2( z ) , a1, a2为常数 则 Z[a1 x1(t )+ a2 x2(t )] = a1 X 1( z )+ a2 X 2( z ) ②平移定理 若 Z[ x(t )] = X( z )
Z[ x(t + kT )] = z k X( z )− z k − j x( j ) ∑ 则 j =0 Z[ x(t − kT )] = z − k X( z ) 若 k = 1时，有 Z[ x(t + T )] = z[ X( z )− x(0)] Z[ x(t − T )] = z −1 X( z )
若上述级数收敛，则称 E ( z ) 为采样信号的z变换。 为采样信号的z变换。 若上述级数收敛， 为了书写方便， 为了书写方便，通常写成 E ( z ) = Z [e(t )] ,但仍理 变换。 解为是对取 Z 变换。
（2）常用函数的 Z 变换和 Z 变换的性质 变换见表8 1）常用普通时间函数的 Z 变换见表8-1 表8-1 Z 变换表
* n=0
+∞
( n 式中 e nT ) = e t )t = nT ， (
且有 deg M( s ) ≤ deg N( s )以及 deg N( s ) = n . 展开成部分分式和的形式， 将 X(s)展开成部分分式和的形式，即
n
Ai X(s)= ∑ i =1 s + si 式中： 的零点， 的极点， 式中： i 为 N(s)的零点，即 X(s) 的极点，且设为 s
①线性性质 若 Z[ x1(t )] = X 1( z ), Z[ x2(t )] = X 2( z ) , a1, a2为常数 则 Z[a1 x1(t )+ a2 x2(t )] = a1 X 1( z )+ a2 X 2( z ) ②平移定理 若 Z[ x(t )] = X( z )
Z[ x(t + kT )] = z k X( z )− z k − j x( j ) ∑ 则 j =0 Z[ x(t − kT )] = z − k X( z ) 若 k = 1时，有 Z[ x(t + T )] = z[ X( z )− x(0)] Z[ x(t − T )] = z −1 X( z )
若上述级数收敛，则称 E ( z ) 为采样信号的z变换。 为采样信号的z变换。 若上述级数收敛， 为了书写方便， 为了书写方便，通常写成 E ( z ) = Z [e(t )] ,但仍理 变换。 解为是对取 Z 变换。
（2）常用函数的 Z 变换和 Z 变换的性质 变换见表8 1）常用普通时间函数的 Z 变换见表8-1 表8-1 Z 变换表
* n=0
+∞
( n 式中 e nT ) = e t )t = nT ， (
自动控制原理课件
1 ∞ E*(s) = ∑E[s + jnωs ] T n=−∞
上式表明，采样函数的拉氏变换式 是以ωs 上式表明，采样函数的拉氏变换式E*(s)是以 是以 为周期的周期函数。另外， 为周期的周期函数。另外，上式还表示了采样函数 的拉氏变换式E*(s)与连续函数拉氏变换式 与连续函数拉氏变换式E(s)之间 的拉氏变换式 与连续函数拉氏变换式 之间 的关系。 的关系。 通常E*(s)的全部极点均位于 平面的左半部， 的全部极点均位于S平面的左半部 通常 的全部极点均位于 平面的左半部， 因此可用jω代替上式中的复变量 代替上式中的复变量s， 因此可用 代替上式中的复变量 ，直接求得采样信 号的傅氏变换： 号的傅氏变换：
∞ k=0 ∞
或
e*(t ) = e(t )∑δ (t − kT) = e(t )δT (t )
k=0
采样开关相当于一个单位脉冲发生器， 采样开关相当于一个单位脉冲发生器，采样信 号的调制过程如图8-7所示 所示。 号的调制过程如图 所示。
图8-7：采样信号的调制过程
8.2.2 采样定理
采样定理(shannon定理 ，由于它给出了从采 采样定理 定理)， 定理 样的离散信号恢复到原连续信号所必需的最低采 样频率，所以在设计离散系统时是很重要的。 样频率，所以在设计离散系统时是很重要的。
返回
§8.3 采样信号保持器
实现采样控制遇到的另一个重要问题， 实现采样控制遇到的另一个重要问题，是如何 把采样信号恢复为连续信号。 把采样信号恢复为连续信号。 的条件下， 根据采样定理，在满足ωs ≥2 ωmax的条件下， 根据采样定理， 离散信号的频谱彼此互不重叠。这时， 离散信号的频谱彼此互不重叠。这时，就可以用具 有图8-9特性的理想滤波器滤去高频频谱分量， 有图 特性的理想滤波器滤去高频频谱分量，保 特性的理想滤波器滤去高频频谱分量 留主频谱，从而无失真地恢复原有的连续信号。 留主频谱，从而无失真地恢复原有的连续信号。
上式表明，采样函数的拉氏变换式 是以ωs 上式表明，采样函数的拉氏变换式E*(s)是以 是以 为周期的周期函数。另外， 为周期的周期函数。另外，上式还表示了采样函数 的拉氏变换式E*(s)与连续函数拉氏变换式 与连续函数拉氏变换式E(s)之间 的拉氏变换式 与连续函数拉氏变换式 之间 的关系。 的关系。 通常E*(s)的全部极点均位于 平面的左半部， 的全部极点均位于S平面的左半部 通常 的全部极点均位于 平面的左半部， 因此可用jω代替上式中的复变量 代替上式中的复变量s， 因此可用 代替上式中的复变量 ，直接求得采样信 号的傅氏变换： 号的傅氏变换：
∞ k=0 ∞
或
e*(t ) = e(t )∑δ (t − kT) = e(t )δT (t )
k=0
采样开关相当于一个单位脉冲发生器， 采样开关相当于一个单位脉冲发生器，采样信 号的调制过程如图8-7所示 所示。 号的调制过程如图 所示。
图8-7：采样信号的调制过程
8.2.2 采样定理
采样定理(shannon定理 ，由于它给出了从采 采样定理 定理)， 定理 样的离散信号恢复到原连续信号所必需的最低采 样频率，所以在设计离散系统时是很重要的。 样频率，所以在设计离散系统时是很重要的。
返回
§8.3 采样信号保持器
实现采样控制遇到的另一个重要问题， 实现采样控制遇到的另一个重要问题，是如何 把采样信号恢复为连续信号。 把采样信号恢复为连续信号。 的条件下， 根据采样定理，在满足ωs ≥2 ωmax的条件下， 根据采样定理， 离散信号的频谱彼此互不重叠。这时， 离散信号的频谱彼此互不重叠。这时，就可以用具 有图8-9特性的理想滤波器滤去高频频谱分量， 有图 特性的理想滤波器滤去高频频谱分量，保 特性的理想滤波器滤去高频频谱分量 留主频谱，从而无失真地恢复原有的连续信号。 留主频谱，从而无失真地恢复原有的连续信号。
自动控制原理第八章
1) σ < 0, z < 1, 瞬态分量衰减。 2) σ > 0, z > 1, 瞬态分量发散。 3) σ = 0, z = 1, 瞬态分量等幅振荡。
离散系统的Routh稳定判据（在w平面上的应用） 稳定判据（ 平面上的应用） 离散系统的 稳定判据 平面上的应用
选择w 平面，取z 选择w = σ + jω平面，取z = 由幅值条件 z = z < 1, σ < 0; w + 1 σ + jω + 1 = 作双线性变换 w 1 σ + jω 1 得： z = 1, σ = 0; 1+ w 或z = 1 w
∞
s )e
nT s s
Z变换的求取方法
级数求和法 查表计算法（ Z Z变换表）
Z x * (t) = X(z) =
{
}
∑ x(nT
n=0
∞
s )z
n
( z = e Ts )
Z变换的基本定理 Z反变换的求取方法
长除法 分布分式查表计算法
差分方程的求解
直接递推求解 利用z变换求解
Z变换的求取方法（对离散系统而言） 变换的求取方法 对离散系统而言）
R(s)
求所示开环系统的传递 函数 G(s) = 1 e Ts
T Gh0(s) R*(s) G(s) C(s)
T C*(s)
1 ; G (s) = . ho s(s + 1) s C(z) 1 = Z G (s)G (s) = (1 z 1 )Z[ G(z) = ] 1 2 2(s + 1) R(z) s
x * (t) = Z 1 [X(z)] = 10δ(t T) + 30δ(t 2T) + 70δ(t 3T) + 150δ(t 4T) + 310δ(t 5T) +
离散系统的Routh稳定判据（在w平面上的应用） 稳定判据（ 平面上的应用） 离散系统的 稳定判据 平面上的应用
选择w 平面，取z 选择w = σ + jω平面，取z = 由幅值条件 z = z < 1, σ < 0; w + 1 σ + jω + 1 = 作双线性变换 w 1 σ + jω 1 得： z = 1, σ = 0; 1+ w 或z = 1 w
∞
s )e
nT s s
Z变换的求取方法
级数求和法 查表计算法（ Z Z变换表）
Z x * (t) = X(z) =
{
}
∑ x(nT
n=0
∞
s )z
n
( z = e Ts )
Z变换的基本定理 Z反变换的求取方法
长除法 分布分式查表计算法
差分方程的求解
直接递推求解 利用z变换求解
Z变换的求取方法（对离散系统而言） 变换的求取方法 对离散系统而言）
R(s)
求所示开环系统的传递 函数 G(s) = 1 e Ts
T Gh0(s) R*(s) G(s) C(s)
T C*(s)
1 ; G (s) = . ho s(s + 1) s C(z) 1 = Z G (s)G (s) = (1 z 1 )Z[ G(z) = ] 1 2 2(s + 1) R(z) s
x * (t) = Z 1 [X(z)] = 10δ(t T) + 30δ(t 2T) + 70δ(t 3T) + 150δ(t 4T) + 310δ(t 5T) +
自动控制原理 第8章_采样控制系统
离散控制系统、数字控制系统和采样控 制系统都是同类系统，但严格是有差别的。 一、离散控制系统：内涵最广，它涵盖了采 样和数字控制系统。离散控制处理的是 离散信号。 二、采样控制系统：包括了采样数据信号和 数字信号，如过程控制系统（PCS）。 采样控制处理的是采样信号。 三、数字控制系统：信号是一个数字序列， 如数字仿真系统（DSS）。数字控制处 理的是数字信号。
C ne
j n s t
…………………(8-13) 为采样角频率；
1 T
式中：T 为采样周期，
1 T
ωs
2 T
Cn
T /2 T / 2
T ( t )e
j n t t
dt
…………… (8-14)
理想单位脉冲序列 T ( t ) 的傅氏级数为：
T (t )
e * ( t ) e ( t ) T ( t ) ……………………(8-6)
其中理想的单位脉冲序列 T ( t ) 可以表示为：
T (t )
( t n T ) ………………………(8-7)
实际的控制系统中，当 t 0 时，e ( t ) 0 ，所以式(8-7) 求和下限变为零后代入式（8-6）中得到：
零阶保持器可以实现采样点的常值外推，它的输出是 一个高度为，宽度为的方波，如图8-11所示，零阶保 持器的输出相当于一个幅值为的阶跃函数和滞后时间 的反向阶跃函数之差，即：
e(t ) A(t )
eh (t ) Au(t ) Au(t T )
零阶保持器的传递函数为：
G0 ( s ) L [ eh ( t )] L [ e( t )] A 1 s A A 1 s e
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e nsT z n 1 1 1 z s2 1(t ) s z 1 二重极点s=0的留数为 1 Tz t 21 2 1 d z 2 (z 1 ) R lim [( s 0) s 2 ] (2 1)! S 0 ds s z e ST 1 z at e sT zTe Tz aT lim s a z e S 0 ( z e sT ) 2 ( z 1) 2 aT 1 Tze at f (t ) te t的z变换为 2 aT 2 ( s a) (z e )
• 数字控制的优点： 1.占用空间小； 2.成本低；
3.灵敏、抗干扰性强；
4.方便控制算法的重构与复用。 在离散控制系统的分析中为方便起见引入以下假设： (1)定时采样和A/D转换相当于一个每隔T秒瞬时接 通一次的理想采样开关，采样时间为0，周期为T。
(2)D/A相当于保持器，将数字信号变为连续信号。 本课程中假设保持器均为0阶保持器.
z e j T
在Z平面上，上式表示单位圆
jω
j
S平面
T
s j
Im
Z平面
z e e
T j
T
σ
j
-1
T
0
0
1
T
Re
可见S平面上的虚 轴，映射到Z平面， 是以原点为圆心的 单位圆，且左半S 平面对应单位圆内 的区域。
二、线性采样系统稳定的充要条件
设采样系统的闭环脉冲传递函数为 系统特征方程为
2 滞后定理（负偏移定理）：
Z [ f (t kT )] z k F ( z )
说明： 原函数在时域中延迟k个采样单位，相当于其z变换乘以 z k 。
3.超前定理（正偏移定理）
Z [ f (t kT )] z k F ( z )
说明： z k 代表超前环节，表示采样信号超前了k个采样单位，但是 在物理系统中并不存在，仅用于运算。
g
* 2
(t ) 的乘积的Z变
换。结论可推广到n个环节直接串联的情况。
例：
r (t )
T
由
1 S
T
a S a
C (t )
1 z G1 ( s ) ，得 G1 ( z ) s z 1 a az G 2 ( s) ，得 G 2 ( z ) sa z e aT az 2 G ( z ) G1 ( z )G 2 ( z ) ( z 1)( z e aT )
2、当 s p i 为q重极点，留数为
1 d q 1 z q Ri lim [( s p i ) F ( s ) ] q 1 sT (q 1)! s pi ds z e
变换 (t nT ) 例：求 f (t ) t 的Z 1 ( t ) 解： F ( s)
0。
采样过程可用图表示
T (t )
e(t )
采样器
e (t )
*
采样信号e (t ) 是e(t ) 和 T (t ) T (t ) 的乘积，其中载波信号 决定采样时刻，它是周期为T 的单位脉冲序列，采样信号 在nT(n=0,1,2…)时刻的值由
*
e(t ) 决定。
二、采样过程的数学表达式
根据零阶保持器的单位脉冲响应，推出其传递函数。
g (t )
1 0 1 0
T
零阶保持器的单位脉冲响应是一个 矩形，宽度为T，高为1，它可表示 成以下二个单位阶跃信号的迭加。
g (t ) 1(t ) 1(t T )
单位脉冲响应的拉氏变换就是零阶 保持器的传递函数。
-1
1 1 TS 1 e Ts Gh (s) L[ g (t )] e s s s
Tz F ( s) R ( z 1) 2
常见函数的Z变换P341
8.5 脉冲传递函数
一、基本概念
G(Z )
*
r (t )
r
T
(t )
G(S )
C (t )
C (t )
T
*
定义：线性离散系统中，在零初始条件下，系统输 出采样信号的Z变换与输入采样信号Z变换之比，称 为系统的脉冲传递函数。
C ( z) G( z) R ( z ) 1 GH ( z )
1 GH ( z ) 0
其特征根1，2， n是闭环极点。
线性采样系统稳定的充要条件是，闭环系统的全 部特征根均位于Z平面的单位圆内，即满足
i 1，i 1， 2， ，n
三、用劳斯判据判定采样系统的稳定性
8.2 采样过程和采样定理
一、采样过程
按一定的时间间隔对连续信号采样，将连续信号转换为脉 冲序列的过程，称为采样过程。采样开关是用来实现采样过程 的装置。 采样开关按周期T闭合，T称为采样周期。每次闭合时间 为 ，由于在实际中总有 T ，且 远小于G ( S ) 中的
时间常数，可近似认为
模拟信号——在时间上连续，且在幅值上连续（导数 连续）的信号。
采样信号——又称离散信号，按一定的时间间隔对模 拟信号进行采样得到的在时间上离散的一系列脉冲。 采样控制系统和连续控制系统的区别：在连续系统中， 各处的信号都是模拟信号；在采样系统中，一处或数 处的信号是采样信号。 采样系统的个性——采样过程和采样信号保持 采样系统和连续系统的共性——（1）闭环控制； （2）需分析稳定性、暂态性能和稳态性能； （3）需进行校正。
r (t )
T
1 S
a S a
C (t )
a G1 ( s )G 2 ( s ) s( s a) L1 [G1 ( s )G 2 ( s )] 1 e aT G ( z ) G1G 2 ( z ) Z [1 e aT ] z (1 e aT ) ( z 1)( z e aT )
* * n 0
三、采样定理
经采样得到的离散信号 x 有可能无失真地恢复到原来的连 （t） 续信号的条件是
*
s 2 max
其中
2 s : 采样角频率， s ＝ T
采样定理给出了选择 采样周期T的依据。
max : 连续信号 x(t )频谱的上限频率。
8.3 采样信号保持器
一、零阶保持器
（t） (t nT ) 单位脉冲序列 T
n 0
采样信号为
e（t） e(t ) T (t ) e(t ) (t nT ) ＝ e(nT ) (t nT )
* n 0 n 0
采样信号的拉氏变换
E ( s) L[e (t )] e(nT )e nTS
2、两个串联环节之间无采样开关隔开
G(Z )
r (t )
r * (t )
T
G1 ( S )
x(t )
G2 ( S )
C (t )
C * (t )
T
C ( z) G1 G 2 ( z ) R( z )
无采样开关隔开的两个线性环节串联，脉冲传递函数是两个环
节经采样后的单位脉冲响应
g
* 1
(t ) 和
X * (t )
X * (t )
X n (t )
零阶 保持器
X n (t )
0
T
2T
3T
4T
t
0
T
2T
3T 4T
t
零阶保持器是一种按恒值规律外推的保持器，它将前一采样时 刻的值，保持到下一个采样时刻，即
X n (t ) X (nT )，nT t (n 1)T，n 0,1,2,
二、零阶保持器的传递函数
G( z) C ( z) R( z)
采样脉冲函数的物理意义 采样系统的脉冲传递函数是系统单位脉冲响应 g (t )经采样后 * 的采样信号 g (t ) 的Z变换。
g (t )
*
n 0
g (nT ) (t nT )
* n0 n g ( nT ) z
G ( z ) Z [ g (t )]
F ( z) 4.初值定理： f (0) lim z
5.终值定理：常用于计算系统的稳态误差
设函数f ( t )的z变换为F(z), 而且(1 z )F(z)在以原点 为圆心的单位圆上和单位圆外均无极点，则： lim f ( t ) lim f (nT ) lim (1 z 1 )F(z) lim (z 1)F(z)
t n z 1 z 1 1
6卷积和定理/卷积定理：
则卷积和定理可以表示为：
c(kT ) g[( k n)T ]r (nT )
n 0
k
式中n 0,1,2......正整数[当n为负数时，c(nT ) g(nT ) r (nT ) 0], C（z） G（z）R（z） 式中C（z） Z[C(nT )] G (z) Z[g(nT )] R (z) Z[r (nT )]
首先要通过双线性变换
w 1 z w 1
将Z平面的单位圆映射到W平面的虚轴，然后在W平面中应用 劳斯判据。 例：求使系统稳定的K值范围。
R( S ) ＋
－ T 0.25s
K S ( S 4)
C (s)
解：1、求系统的开环脉冲传递函数
K K 1 1 G( s) s ( s 4) 4 s s4
T
T
G(S )
C (s)
H (S )
C ( z) D ( z )G ( z ) R ( z ) 1 D ( z )GH ( z )
典型采样系统及其C（Z）见P353
8.6 采样系统的稳定性分析
一、S域到Z域的映射
根据Z变换定义，有