(含答案)天津大学线代2017-2018第一学期期末试题
17-18线性代数第一学期考试卷A - 答案
第 1 页 共 4 页 背面有试题华东交通大学2017—2018学年第一学期考试卷课程名称： 线性代数A 考试时间： 120 分钟 考试方式：闭卷 （A ）卷一、填空题(每题 3 分，共 15 分)1、设矩阵A ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛--4321，则矩阵A 的伴随矩阵A *＝ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13242、设方阵A 满足A 3-2A+E=0，则21(A 2E)-- = -A .3、已知向量),,(211-=α与向量),,(x 22-=β正交，则=x -2. 4、如果n 元齐次线性方程组0=Ax 的基础解系含有)(n s s <个解向量， 那么矩阵的秩为()=A R s n - 5、设 123,,λλλ为方阵270056004A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的三个特征值，则123λλλ＝ 40 二、选择题(每题3 分，共15 分)6、若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛λ--=05021311A 为奇异矩阵，则=λ( C ).(A) 1 (B) 2 (C) -3 (D) -4 7、B A ,是n 阶方阵，则下列结论成立的是( C ).(A)000==⇔=B A AB 或 (B)00=⇔=A A (C)000==⇔=B A AB 或 (D).1=⇔=A E A 8、若向量组s ααα,,, 21的秩为r ，则( D ).(A)必定s r < (B)向量组中任意小于r 个向量的部分组线性无关(C)向量组中任意r 个向量线性无关 (D)向量组中任意1+r 个向量必定线性相关9、设B A ,为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（B ） (A)111)(---+=+B A B A (B)111)(---=A B AB(C)111---=)()(T T B A AB (D)11--=kA kA )(（其中k 为非零常数）第 2 页 共 4 页 背面有试题2装O订O线O10、设1234,,,αααα都是3维向量，则必有( B )(A) 1234,,,αααα线性无关 (B) 1234,,,αααα线性相关 (C) 1α可由234,,ααα线性表示 (D) 1α不可由234,,ααα线性表示三、解答题(每题8分，共40分)11、求行列式21021001201002。
天津大学线性代数答案
x4 , x1 1 1 x2 2 2 x4 , x 1 1 x , 3 2 2 4
故方程组的全部解为
[ x1 , x2 , x3 , x4 ]T [0, 1 , 1 ,0]T k[ 1, 1 , 1 ,1]T , k P . 2 2 2 2
(3) 对方程组的系数矩阵作初等行变换，有
3 1 2 1 0 2 . 有限次 A 1 2 4 初等行变换 0 1 1 3 8 2 0 0 0
) 2 3 ，所以方程组有无穷多解. 其同解方程组为 由于 r ( R) r ( R
0 0 3 2
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0 r2 r1 0 r4 2 r3 3 1 1
0
1 1 7 3
0 0 2 0
0 1 0 1 3 0 1 0
0 0 0
0 0 1 0 0 1 0 1
2 1
0 0 0 2
习 题 一
1/4
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3 1 0 0 1 2 3 1 0 0 1 2 r2 2 r1 1、解 (1) [ A, E3 ] 2 2 1 0 1 0 r3 3r1 0 2 5 2 1 0 3 4 3 0 0 1 0 2 6 3 0 1 1 0 2 1 1 0 1 0 0 1 3 2 r 2 r 1 3 0 2 0 3 6 5 r2 5 r3 0 2 5 2 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1
大一线性代数期末试题及答案
,考试作弊将带来严重后果！线性代数期末考试试卷及答案1. 考前请将密封线内填写清楚；所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； ．考试形式：开（闭）卷；题 号 一 二 三四五总分得 分 评卷人单项选择题（每小题2分，共40分）。
．设矩阵22, B 23, C 32A ⨯⨯⨯为矩阵为矩阵为矩阵，则下列矩阵运算无意义的是【 】A . BAC B. ABC C . BCA D. CAB设n 阶方阵A 满足A 2＋E =0，其中E 是n 阶单位矩阵，则必有 【 】A. 矩阵A 不是实矩阵B. A=-EC. A=ED. det(A)=1设A 为n 阶方阵，且行列式det(A)=1 ,则det(-2A)= 【 】A. 2－B. ()n2－ C. n2－ D. 1设A 为3阶方阵，且行列式det(A)=0，则在A 的行向量组中 【 】A.必存在一个行向量为零向量B.必存在两个行向量，其对应分量成比例C. 存在一个行向量，它是其它两个行向量的线性组合D. 任意一个行向量都是其它两个行向量的线性组合．设向量组321,,a a a 线性无关，则下列向量组中线性无关的是 【 】A ．133221,,a a a a a a --- B. 212132,,a a a a - C. 32322,2,a a a a + D. 1321,,a a a a －6.向量组(I): )3(,,1≥m a a m 线性无关的充分必要条件是 【 】A.(I)中任意一个向量都不能由其余m-1个向量线性表出B.(I)中存在一个向量,它不能由其余m-1个向量线性表出C.(I)中任意两个向量线性无关D.存在不全为零的常数0,,,111≠++m m m a k a k k k 使7．设a 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 存在非零解的充分必要条件是【 】A ．A 的行向量组线性相关B . A 的列向量组线性相关 C. A 的行向量组线性无关 D. A 的列向量组线性无关 8.设i a 、i b 均为非零常数（i =1，2，3），且齐次线性方程组⎩⎨⎧=++=++00332211332211x b x b x b x a x a x a的基础解系含2个解向量，则必有 【 】A.03221= b b a aB.02121≠ b b a a C. 332211b a b a b a == D. 02131= b b a a9.方程组12312312321 21 3 321x x x x x x x x x a ++=⎧⎪++=⎨⎪++=+⎩有解的充分必要的条件是 【 】A. a=-3B. a=-2C. a=3D. a=110. 设η1，η2，η3是齐次线性方程组Ax = 0的一个基础解系，则下列向量组中也为该方程组的一个基础解系的是 【 】A. 可由η1，η2，η3线性表示的向量组B. 与η1，η2，η3等秩的向量组C.η1－η2，η2－η3，η3－η1D. η1，η1-η3，η1-η2-η3 11. 已知非齐次线性方程组的系数行列式为0，则【 】A. 方程组有无穷多解B. 方程组可能无解，也可能有无穷多解C. 方程组有唯一解或无穷多解D. 方程组无解12.n 阶方阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 有n 个 【 】A.互不相同的特征值B.互不相同的特征向量C.线性无关的特征向量D.两两正交的特征向量13. 下列子集能作成向量空间R n 的子空间的是 【 】A. }0|),,,{(2121=a a a a a nB. }0|),,,{(121∑==ni in aa a aC. },,2,1,|),,,{(21n i z a a a a i n =∈D. }1|),,,{(121∑==ni in aa a a14.若2阶方阵A 相似于矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3- 201B ,E 为2阶单位矩阵,则方阵E –A 必相似于矩阵【 】A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4 10 1B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4- 1 0 1-C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4 2-0 0D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4- 2-0 1-15.若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=8020001 a a A 正定,则实数a 的取值范围是 【 】 A ．a < 8 B. a ＞4 C ．a ＜-4 D ．-4 ＜a ＜4二、填空题（每小题2分，共20分）。
天津市部分区2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)
2017-2018学年天津市部分区高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.设集合U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，则∁U A=（）A. 2，B.C. 2，3，4，D.2.已知向量，的夹角为60°，且||=1，||=2，则•=（）A. B. C. 1 D. 23.下列运算的结果正确的是（）A. B. C. D.4.函数f（x）=-x+1的零点所在的区间是（）A. B. C. D.5.将函数y=sin2x的图象上所有点向左平移个长度，再把所得各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式是（）A. B. C. D.6.已知函数f（x）=a x（a＞0，a≠1），若f（-2）＜f（-3），则a的取值范围是（）A. B. C. D.7.若非零向量，满足|+|=|-|，则（）A. B. C. D.8.若α为第二象限的角，且tanα=-，则cosα=（）A. B. C. D.9.已知集合P={x|y=}，Q={x|y=lg（x-1）}，则P∩Q=（）A. B.C. D. ，或10.已知偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，若a=f（ln2.1），b=f（1.11.1），c=f（-3），则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11.sin（-）=______．12.已知幂函数f（x）经过点（2，8），则f（3）=______．13.设集合A={x|2＜x＜3}，B={x|x＞a}，若A∪B=B，则实数a的取值范围是______．14.已知sin（α-）=，则sin（-α）=______．15.在平行四边形ABCD中，AB=8，AD=6，∠BAD=60°，点P在CD上，且=3，则•=______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）16.已知向量=（1，2），=（2，λ），=（-3，2）．（1）若 ∥，求实数λ的值；（2）若k+与-2垂直，求实数k的值．17.已知函数f（x）=．（1）求f（2）及f（f（-1））的值；（2）若f（x）≥4，求x的取值范围．18.已知在△ABC中，sin A=，cos B=-．（1）求sin2A的值；（2）求cos C的值．19.已知函数f（x）=是奇函数，且f（1）=1．（1）求a，b的值；（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义证明．20.已知函数f（x）=2sin x cos（x+）+．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间[-，]上的最大值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，则∁U A={4，5}．故选：B．由集合的补集的定义，即由U中不属于A的元素构成的集合，即可得到所求．本题考查集合的运算，主要是补集的求法，运用定义法解题是关键．2.【答案】C【解析】解：向量，的夹角为60°，且||=1，||=2，则•===1．故选：C．利用已知条件，通过向量的数量积公式求解即可．本题考查平面向量的数量积的计算，考查计算能力．3.【答案】B【解析】解：∵log43=，∴选项A错误；∵（-a2）3=-（a2）3=-a6，∴选项B正确；由a0=1（a≠0），可得（-1）0=1，故C错误；∵lg2+lg3=lg（2×3）=lg6，∴D错误．∴计算结果正确的是（-a2）3=-a6，故选：B．利用有理指数幂的运算性质及对数的运算性质逐一核对四个选项得答案．本题考查命题的真假判断与应用，考查有理指数幂的运算性质及对数的运算性质，是基础题．4.【答案】C【解析】解：函数f（x）=-x+1是连续函数，f（2）=-2+1＞0，f（3）=＜0，故有f（2）•f（3）＜0，由零点的存在性定理可知：函数f（x）=-x+1的零点所在的区间是（2，3）故选：C．据函数零点的判定定理，判断f（2），f（3）的符号，即可求得结论．本题考查函数的零点的判定定理，解答关键是熟悉函数的零点存在性定理，属基础题．5.【答案】A【解析】解：把函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，得y=sin2（x+）=sin（2x+）的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin（x+）的图象；故选：A．按照题目所给条件，先求把函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，函数解析式，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），求出解析式即可．本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查计算能力，是基础题．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．6.【答案】D【解析】解：函数f（x）=a x（a＞0，a≠1），若f（-2）＜f（-3），则f（x）是单调减函数，∴a的取值范围是0＜a＜1．故选：D．根据指数函数的单调性即可得出a的取值范围．本题考查了指数函数的单调性问题，是基础题．7.【答案】A【解析】解：如图，设=，=，则|+|=||，|-|=||，则||=||，所以四边形ABCD为矩形，所以AB BC，所以．故选：A．利用向量的几何意义解答．本题考查了向量的模．解题时，借用了矩形的判定与性质，属于基础题．8.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．【解答】解：∵α是第二象限角，且tanα==-，∴sinα=-cosα，∵cosα＜0，sinα＞0，sin2α+cos2α=1，∴（-cosα）2+cos2α=1，可得：cosα=-，故选D．9.【答案】C【解析】解：集合P={x|y=}={x|3-x≥0}={x|x≤3}，Q={x|y=lg（x-1）}={x|x-1＞0}={x|x＞1}，则P∩Q={x|1＜x≤3}，故选：C．由偶次根式被开方式非负，化简集合P，对数的真数大于0，化简集合Q，再由交集的定义，即可得到所求集合．本题考查集合的交集的求法，考查函数的定义域的求法，运用定义法解题是关键，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，∴a=f（ln2.1），b=f（1.11.1），c=f（-3）=f（3），∵0＜ln2.1＜1，1＜1.11.1＜3，则0＜ln2.1＜1.11.1＜3，∴f（ln2.1）＜f（1.11.1）＜f（3），即f（ln2.1）>f（1.11.1）>f（-3），则c＜b＜a，故选：B．根据函数奇偶性和单调性的性质，进行转化求解即可．本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性的关系进行转化是解决本题的关键．11.【答案】-【解析】解：sin（-）=sin（-）=-sin=-，故答案为：-．由条件利用诱导公式化简所给的三角函数式，可得结果．本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．12.【答案】27【解析】解：设f（x）=x n，由题意可得2n=8，解得n=3，则f（x）=x3，f（3）=33=27，故答案为：27．设f（x）=x n，代入（2，8），求得n，再计算f（3），即可得到所求值．本题考查幂函数的解析式的求法，考查运算能力，属于基础题．13.【答案】a≤2【解析】解：集合A={x|2＜x＜3}，B={x|x＞a}，若A∪B=B，则A⊆B，∴a≤2，∴实数a的取值范围是a≤2．故答案为：a≤2．根据A∪B=B得出A⊆B，从而写出实数a的取值范围．本题考查了并集的定义与应用问题，是基础题．14.【答案】【解析】解：∵sin（α-）=，∴sin（-α）=sin（π+-α）=-sin（）=sin（α-）=，故答案为：．由已知直接利用三角函数的诱导公式化简求值．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础的计算题．15.【答案】12【解析】解：以A为原点建立坐标系，则A（0，0），B（8，0），D（3，3），∵=3，∴DP=2，即P（5，3），∴=（5，3），=（-3，3），∴=-15+27=12．故答案为：12．建立坐标系，求出各向量坐标，再计算数量积．本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系可使计算较简单，属于中档题．16.【答案】解：（1）∵向量=（1，2），=（2，λ），=（-3，2）．∥，∴，解得实数λ=4．（2）k+=（k-3，2k+2），=（7，-2），∵k+与-2垂直，∴（k）•（）=7k-21-4k-4=0，解得实数k=．【解析】（1）利用向量平行的性质能出实数λ的值；（2）先利用平面向量坐标运算法则求出k+，-2，由此利用向量垂直的性质能求出实数k的值．本题考查实数值的求法，考查向量平行、平面向量坐标运算法则、向量垂直等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．17.【答案】解：（1）f（2）=-2×2+8=-4+8=4，f（f（-1））=f（-1+5）=f（4）=-2×4+8=0．（2）若x≤1，由f（x）≥4得x+5≥4，即x≥-1，此时-1≤x≤1，若x＞1，由f（x）≥4得-2x+8≥4，即x≤2，此时1＜x≤2，综上-1≤x≤2．【解析】（1）根据分段函数的表达式，利用代入法进行求解即可．（2）根据分段函数的表达式，讨论x的取值范围进行求解即可．本题主要考查分段函数的应用，利用代入法是解决本题的关键．18.【答案】解：（1）在△ABC中，由cos B=-，可知B为钝角，且sin B=，又sin A=，得cos A=．∴sin2A=2sin A cosA=2×；（2）cos C=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=-cos AcocB+sin A sin B=-+=．【解析】（1）由已知可得B为钝角，分别求出sinB，cosA的值，由二倍角公式求得sin2A；（2）利用三角形内角和定理可得cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B），展开两角和的余弦得答案．本题考查同角三角函数基本关系式的应用，考查两角和与差的余弦，是基础题．19.【答案】解：（1）∵f（1）=1，∴f（1）==1，即a-1=1+b，则a=2+b，则f（-x）=-f（x），即=-，即-x+b=-x-b，则b=-b，b=0，得a=2．（2）∵b=0，a=2，∴f（x）==2x1--2x2+=2（x1-x2）+=（x1-x2）（2+）∵x1，x2为（0，+∞）上任意两个自变量，且x1＜x2∴x1-x2＜0，2+＞0，∴（x1-x2）（2+）＜0，∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）∴函数f（x）在（0，+∞）上为增函数．【解析】（1）根据函数奇偶性的性质和定义建立方程进行求解即可．（2）根据函数单调性的定义进行证明即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用定义法是解决本题的关键．20.【答案】解：f（x）=2sin x cos（x+）+=2sin x（cos x cos）+=2sin x（）=sin2x-===．（1）f（x）的最小正周期T=；（2）由，得0，∴sin（）∈[0，1]，则∈[-，1-]，∴f（x）∈[-，1-]，则f（x）在区间[-，]上的最大值为．【解析】展开两角和的余弦，再由辅助角公式化积．（1）直接利用周期公式求周期；（2）由x的范围求得相位的取值范围，则f（x）在区间[-，]上的最大值可求．本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查两角和的余弦，是中档题．。
天津大学工程数学基础2017级试题
一.判断（10分）1.设是K上的线性空间,算子则是的子空间.（）2.线性无关.（）3.对L e g e n d r e 多项式,有.（）4.,则可对角化.（）5.设是H e r mi t e插值余项，则节点为的二重零点.（）6.C o t e s 系数只与求积节点的个数有关而与被积函数和积分区间无关.（）7.设是上的任意方阵范数，则.（）8.,则.（）9.若为G a u s s型求积公式,则.（）10.若正规矩阵,其特征值均为实数,则为酉矩阵.（）二、填空（10分）1.已知，则.2.,则.3.设是S e i d e l迭代矩阵，则的所有特征值中绝对值最小的为.4.若为插值型求积公式,，是n次L a g r a n g e插值基函数，令则.5.设酉矩阵,且则的不变因子.三.(8分)设，求的有理标准形.题号12345678910平时成绩成绩得分四.(8分)求解初值问题五.(8分)已知线性方程组为(1)写出S e i d e l迭代格式，(2)判断迭代格式收敛性.六.（8分）由下列插值条件1.631.731.952.282.5314.09416.84418.47520.96323.135用三次N e w t o n插值多项式计算的近似值(结果保留至小数点后第3位)七.（10分）用算法求积分的近似值，并将计算结果列于下表（计算结果保留至小数点后第5位）01234八.(10分)用L e g e n d r e 多项式求函数在上的三次最佳平方逼近，并求(结果保留到小数点后第5位，取)九.(8分)写出用标准R u n g e-K u t t a方法解下列初值问题的计算公式.十.(10分)证明1.内积空间中的任何正交系都是线性无关的.2.,则。
天津五区联考2017-2018高三上学期期末数学(理)试题及答案
13．3
14． ,
1 1 3 e
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15） （本小题满分 13 分） 解： （Ⅰ） f x cos x sin x 2 3 sin x cos x
2 2
cos 2 x 3 sin 2 x
由 g n 1 g n
2 n 1 7 2
n 3
2n 7 9 2n n 3 …………………………11 分 2n 2 2
得：当 9 2n 0 2 n 4 n N 时， g 2 g 3 g 4 g 5 ； 当 9 2n 0 n 5 n N 时， g 5 g 6 g 7 ； 所以对任意 n 2 ，且 n N 均有 g 5 g n ，故 k 5 .………………13 分
（18） （本小题满分 13 分） 解： （Ⅰ）设数列 an 的公比为 q ，则由条件得：
2 a3 2 a2 a4 ，
……………………………1分
又 a1 2 ，则 2 2q 2 2 2q 2q 3 4 q 2 1 2q 1 q 2 ， 因为 1 q 0 ，解得： q 2 ， 故 an 2 . （Ⅱ）由（Ⅰ）得： bn 2nan n 2 则 Sn 1 2 2 2 n 2
3 , 0 , 0 ， C 0 ,1, 0 ，
由 AC 2 DE 3 得 E 0, 0 ,
3 ， A 0 ,1, 3 …………6 分 2
依题意 AE 0 , 1,
大一线性代数期末试卷试题附有答案.docx
__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _⋯⋯⋯⋯⋯⋯诚信应考 , 考试作弊将带来严重后果！⋯线性代数期末考试试卷及答案⋯⋯⋯号⋯注意事： 1.考前将密封内填写清楚；位⋯ 2.所有答案直接答在卷上( 或答上 ) ；座⋯3．考形式：开（）卷；⋯4.本卷共五大，分100 分，考 120分。
题号一二三四五总分⋯⋯得分⋯评卷人⋯⋯⋯⋯一、（每小 2 分，共 40 分）。
⋯业⋯专⋯1．矩A为2 2矩阵, B为23矩阵 ,C为32矩阵，下列矩运算无意的是⋯⋯【】⋯⋯)⋯封A B.ABCC. BCAD.CAB⋯. BAC2答⋯＋ E =0 ，其中 E是 n 位矩，必有【】2. n 方 A 足 A院不⋯A.矩 A 不是矩B. A=-EC. A=ED. det(A)=1⋯学内⋯⋯封⋯3. A n 方，且行列式det(A)= 1 ,det(-2A)=【】密⋯(⋯A. －2－2 n－2n⋯ B. C. D. 1⋯⋯4. A 3 方，且行列式det(A)=0，在 A的行向量中【】⋯⋯ A. 必存在一个行向量零向量⋯⋯ B. 必存在两个行向量，其分量成比例⋯C. 存在一个行向量，它是其它两个行向量的性合号⋯密D. 任意一个行向量都是其它两个行向量的性合学⋯⋯5．向量a1, a2,a3性无关，下列向量中性无关的是【】⋯⋯A．a1a2 , a2a3 , a3a1 B.a1, a2 ,2a13a2⋯C. a2,2a3,2a2a3a1－ a3, a2 , a1⋯ D.⋯⋯名⋯6. 向量 (I):a1 ,, a m (m3)性无关的充分必要条件是【】姓⋯⋯⋯⋯⋯⋯A.(I)中任意一个向量都不能由其余m-1 个向量线性表出B.(I)中存在一个向量, 它不能由其余m-1 个向量线性表出C.(I)中任意两个向量线性无关D. 存在不全为零的常数k1,, k m ,使 k1 a1k m a m 07．设a为m n矩阵，则n元齐次线性方程组Ax 0存在非零解的充分必要条件是【】A．A的行向量组线性相关B. A 的列向量组线性相关C. A的行向量组线性无关D. A 的列向量组线性无关a1 x1a2 x2a3 x30 8. 设a i、b i均为非零常数（i =1， 2， 3），且齐次线性方程组b2 x2b3 x30b1 x1的基础解系含 2 个解向量，则必有【】a1a20 B.a1a20a1a2a3 D.a1 a3A.b3b1b2C.b2b3b1 b2b2b19. 方程组2 x1x2x31有解的充分必要的条件是【】x12x2x313 x13x22x3a1A. a=-3B. a=-2C. a=3D. a=110.设η1，η2，η3 是齐次线性方程组Ax = 0的一个基础解系，则下列向量组中也为该方程组的一个基础解系的是【】A. 可由η1，η2，η3线性表示的向量组B.与η 1，η2，η3 等秩的向量组C. η1－η2，η2－η3，η3－η1D.η1，η1-η3，η1-η2-η311.已知非齐次线性方程组的系数行列式为0，则【】A.方程组有无穷多解B.方程组可能无解，也可能有无穷多解C.方程组有唯一解或无穷多解D.方程组无解12.n阶方阵 A 相似于对角矩阵的充分必要条件是 A 有n 个【】A. 互不相同的特征值B.互不相同的特征向量C. 线性无关的特征向量D.两两正交的特征向量13. 下列子集能作成向量空间n的子空间的是【】RA. {( a1, a2,, a n ) | a1a20}B.12n n i,) |a0}{( a ,a, aC. {( a1, a2,, a n ) | a i z, i 1,2,,n}D.i n1{( a1 ,a2 ,, a n ) |a i1}i 114. 若 2 阶方阵 A 相似于矩阵 B12 ,E 为 2 阶单位矩阵 , 则方阵 E – A 必相似于矩阵- 3【 】1 0 -10 0 - 1A.4B. - 4C.4D.11 - 2- 2 - 41 015. 若矩阵 A02a 正定 , 则实数 a 的取值范围是 【】0 a8A ． a < 8B. a ＞ 4C ． a ＜ -4D． -4 ＜ a ＜ 4二、填空题 （每小题 2 分，共 20 分）。
2017-2018(1)线性代数期末考试-A卷参考答案
A. 12,,,s ⋅⋅⋅ααα都不是零向量;B. 12,,,s ⋅⋅⋅ααα中至少有一个向量可由其余向量线性表示;C. 12,,,s ⋅⋅⋅ααα中任意两个向量都不成比例;D. 12,,,s ⋅⋅⋅ααα中任一部分组线性无关.6. 若二次型222123123(,,)(1)(1)(2)f x x x k x k x k x =++-+-正定，则k 的取值范围为 ( A ). A. 2k > ; B. 1k >; C. 12k << ;D. 1k >-.二、填空题 （共22分,第1-6小题每小题3分，第7小题4分）1. 行列式是一个 数值 ，矩阵是一个 数表 。
（请填“数表或数值”）2. 100201100010140001201103010⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭=210104350⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 3. 行列式111111x x x= (x +2)(x -1)2 或x 3-3x +2 ．4. n 元齐次线性方程组A x =0只有零解的充要条件是 R(A)=n ．5. 设向量1-2-1⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α，β=22λ-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭正交，则λ= -6 ．6. 任意n +1个n 维向量 线性相关 .填（“线性相关”或“线性无关”）7. 已知三阶方阵A 的三个特征值分别为1,1,2,-则_-2_,A =1*132__.2A A -+=三、计算题 （共60分）1. （10分） 设122212221A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，1) 判断A 是否可逆；（4分）2) 如果A 可逆，请用初等行变换求出-1A .（6分）解：1） 由于||=-270A ≠，所以A 可逆。
(4分)2）用初等行变换求得11/92/92/92/91/9-2/92/9-2/91/9A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
（6分）2. （10分）计算行列式2004310050100232D =.解：将D 的第三行的-3倍加到第四行，得：2004200431003100501050100232-15202D ==（2分）对200431005010-15202按第三列展开，得：204310-1522D = （3分）将204310-1522第二行的-2倍加到第三行，得： 204310-2102D = （2分） 按第二列展开得2488-212D ==。
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一、填空题
1、子空间412341234{[,,,]R 0,0}W x x x x x x x x =∈+=+=的维数为__________________.
2、设向量组12(I),αα和 123(II),,ααα的秩均为2, 向量组124(III),,ααα的秩为3, 则向量组1234,,23−αααα的秩为___.
3、设3阶方阵A 的特征值为1,2, 则223______.−+=A A E
4、设矩阵21222361a −
=−− −
A 与矩阵diag(2,2,4)=−
B 相似, 则_______.a = 5、设3阶方阵A 的全部特征值为123,,λλλ, 且123,,λλλ互异, 对应的特征向量依次为1230111,,1110k
===
ααα, 则参数k 的取值范围是___________.
二、选择题
1、设矩阵A 与B 相似, 则下列结论中错误的是( ).
(A) 2A 与2B 相似 (B) A+E 与B +E 相似 (C) T A 与T B 相似 (D) T A+A 与T B +B 相似
2017 ～ 2018 学年第一学期期末考试试卷 《 线性代数及其应用 》 （A 卷 共4页）
1
2、设向量β可由向量组12,,,m ααα线性表示, 但不可由121(I),,,m − ααα线性表示, 记121(II),,,,m − αααβ, 则( ). (A) 向量m α不可由向量组(I)线性表示, 也不可由向量组(II)线性表示 (B) 向量m α不可由向量组(I)线性表示, 但可由向量组(II)线性表示 (C) 向量m α可由向量组(I)线性表示, 也可由向量组(II)线性表示 (D) 向量m α可由向量组(I)线性表示, 但不可由向量组(II)线性表示
3、设A 为m n ×矩阵, 非齐次线性方程组=βAX 有唯一解, 则( ). (A) 向量β可由矩阵A 的线性无关的列向量组线性表示 (B) 向量β可由矩阵A 的线性无关的行向量组线性表示 (C) 向量β可由矩阵A 的线性相关的列向量组线性表示 (D) 向量β可由矩阵A 的线性相关的行向量组线性表示
4、设A 为n 阶实对称矩阵, 则−A E 正定矩阵当且仅当A 的特征值( ). (A) 全为正数 (B) 全小于1 (C) 全大于1 (D) 全为1
5、设实对称矩阵A 与120210002−
=−
B 合同, A *为A 的伴随矩阵, 则实二次型f X ()=X T A*X 的规范形为( ). 2
(A) 222123y y y ++ (B) 222123y y y +− (C) 222123y y y −− (D) 222
123y y y −−−三、1、求向量组123411210251,,,20131141
− =
=== − −
αααα的秩和一个极大无关组, 并用该极大无关组线性表示其余向量. 2、设矩阵12212221a =
A , 11b
=
α是1−A 的对应于特征值λ的特征向量, 求常数,a b 的值以及λ的值. 四、试问a 取何值时, 线性方程组1231231
232,2(2),1x x x x a x x a x x ax a +
+= ++−=
−−+=− 有唯一解, 无解, 无穷多解？在有解时求其通解. 五、设123,,ααα是线性空间V 的一个基, 且11223323,,2==+=+βαβααβαα. (1) 证明123,,βββ也是V 的一个基;
(2) 求由基123,,βββ到基123,,ααα的过渡矩阵; 123+2α+α3在基123(3) 求γα=ββ,,β下的坐标.
六、设σ是线性空间R 3上的线性变换, 规定σ()=[,y z ,x ],T αα∀=[x ,,y z ]T 3∈R .
(1) 求σ在标准基123=[1,0,0],εε=T [0,1,0],=[T
T ε0,0,1]下的矩阵A ;
3
七、求一个正交线性替换, 将实二次型222123123121323(,,)710744f x x x x x x x x x x x x =++−−+化为标准形, 并写出其标准形. 八、设 ,αβ分别是长度为1,2 的3 元列向量, 且α 与β 正交, 记A =αβ + 4βαT T . 证明(1) r A ()≤ 2；(2) 矩阵A 可对角化.
填空题: 1、2. 2、3. 3、6. 4、3. 5、2k ≠. 选择题: DBACC
三、1、秩为3, 41232=+−αααα. 2、2,2,1a b λ==
−=−或1
5
2,1,a b λ===.
四、0,1a a ≠≠−, 唯一解[]T
11
123,,,1,1a a x x x =− ; 0a =, 无解; 1a =−, 无穷多解T T [3,5,0][2,3,1]k =
−+−X . 五、过渡矩阵为100021011 −
− ; 坐标111
. 六、(1) 010001100
; (2) 490241120
− −
. 七、123λ=λ=6,λ=12. (2) 求σ在标准基123=[1,α0,0],=T [2,α1,0],=T [α0,2,1]T 下的矩阵B .
4
答案。