线性代数大一上学期考试复习
大一线性代数期末考试试题
大一线性代数期末考试试题一、选择题（每题2分，共10分）1. 向量空间的定义中，下列哪一项不是其公理化系统的一部分？A. 向量加法的封闭性B. 向量的数乘封闭性C. 向量加法的交换律D. 存在非零零向量2. 设A是一个3阶方阵，且满足A^2 - 2A + I = 0，其中I是3阶单位矩阵。
则A^3的值为：A. AB. 2AC. 3AD. 03. 在线性代数中，下列哪个矩阵是不可逆的？A. 单位矩阵B. 对角矩阵C. 行最简矩阵D. 行阶梯矩阵4. 特征值和特征向量的定义中，下列说法正确的是：A. 特征向量可以是零向量B. 每个特征值都有对应的特征向量C. 一个矩阵的特征值是唯一的D. 一个矩阵可能没有特征值5. 设T是一个线性变换，且T保持向量加法和数乘，那么T是一个：A. 线性变换B. 非线性变换C. 仿射变换D. 恒等变换二、填空题（每题2分，共10分）6. 若向量v = (1, 2, 3)，向量w = (x, y, z)，且v与w垂直，则x + y + z = _______。
7. 设矩阵A = (\*, \*, \*; \*, \*, \*; \*, \*, \*)，若A的行列式为0，则称A为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵。
对于3阶方阵，其行列式计算公式为：det(A) = \*\*\* - \*\*\* + \*\*\* - \*\*\*+ \*\*\*。
8. 在求解线性方程组时，若系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，则该方程组是_______的。
9. 设P是n阶置换矩阵，那么P的行（或列）向量中，有_______个1，n-_______个0。
10. 对于一个n维向量空间，其基可以通过_______个线性无关的向量来构造。
三、简答题（每题10分，共30分）11. 请简述线性相关与线性无关的定义，并给出一个例子说明两者的区别。
12. 给出一个具体的3维向量空间，并说明其基和维数。
13. 解释何为矩阵的秩，并举例说明如何计算一个矩阵的秩。
大一线性代数必考知识点
大一线性代数必考知识点线性代数是大一学生学习的一门重要的数学课程。
掌握线性代数的基础知识对于后续学习高等数学、概率论、统计学等学科都非常重要。
接下来，本文将介绍大一线性代数必考的知识点，以帮助大一学生有效备考。
一、向量和矩阵1. 向量的概念和运算：向量的定义、数量积、向量的代数运算等。
2. 矩阵的概念和运算：矩阵的定义、矩阵的乘法、矩阵的转置和逆等。
3. 向量和矩阵的性质：向量和矩阵的加法和乘法满足的性质，线性相关和线性无关的概念等。
二、线性方程组1. 线性方程组的概念和解法：齐次线性方程组和非齐次线性方程组的定义、高斯消元法、矩阵的秩等。
2. 向量空间和子空间：向量空间的定义、子空间的定义、线性无关组和基、维数的概念等。
三、特征值和特征向量1. 特征值和特征向量的定义：特征值和特征向量的概念和基本性质等。
2. 对角化和相似矩阵：对角化的概念、相似矩阵的性质等。
四、内积空间和正交性1. 内积的定义和性质：内积的定义、内积的基本性质等。
2. 正交向量和正交投影：正交向量的定义、正交投影的概念等。
五、线性变换1. 线性变换的定义和基本性质：线性变换的定义、线性变换的基本性质等。
2. 线性变换的矩阵表示：线性变换与矩阵的关系、矩阵的相似和对角化等。
六、向量空间的维数和秩1. 向量空间的维数和秩的定义和性质：向量空间的维数的定义、秩的定义与性质等。
2. 雅可比矩阵和秩-零度定理：雅可比矩阵的定义和性质、秩-零度定理等。
这些是大一线性代数课程中必考的知识点，通过学习这些知识点，掌握了线性代数的基础知识，将能够更好地理解和应用其他数学知识，为今后的学习打下坚实的基础。
在备考过程中，建议多做习题和练习，加深对这些知识点的理解，并且理论联系实际，将其与实际问题进行结合，提高解决实际问题的能力。
祝大家在线性代数的学习中取得优异的成绩！。
线代大一上学期期末知识点
线代大一上学期期末知识点线性代数是数学中的重要分支之一，它涉及向量空间、矩阵、线性方程组等内容。
在大一上学期的线性代数课程中，我们学习了许多重要的知识点，这些知识点不仅对我们理解数学的整体框架有很大帮助，也对我们后续学习其他数学课程有着重要影响。
下面我将对一些重要的知识点进行总结和介绍。
1. 向量空间向量空间是线性代数的基础概念。
它由一组向量构成，满足一定的运算规则。
我们学习了向量的线性组合、线性相关性以及线性无关性等概念。
这些概念帮助我们理解向量与空间的联系，以及向量之间的运算规则。
2. 矩阵及其运算矩阵是线性代数中重要的工具。
我们学习了矩阵的定义、常见的矩阵类型以及矩阵的加法、数乘和乘法等运算。
矩阵乘法是线性代数中的核心内容之一，它的运算规则对于理解矩阵的性质和应用具有重要意义。
3. 线性方程组线性方程组是线性代数中的重要问题之一。
我们学习了如何求解线性方程组，并讨论了方程组的解的存在唯一性以及解的结构。
矩阵的行变换也是解线性方程组的一种重要方法，可以简化方程组的求解过程。
4. 向量的内积和正交性向量的内积是向量空间中的重要概念，它可以用来计算向量的长度、夹角以及投影等。
我们学习了内积的定义、性质和计算方法。
正交性是内积的一个重要性质，它在向量空间中具有很多应用，如正交矩阵、Gram-Schmidt 正交化等。
5. 特征值与特征向量特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念。
通过求解特征方程，我们可以得到矩阵的特征值和对应的特征向量。
这对于理解矩阵的几何性质、判断矩阵的对角化以及矩阵的稳定性具有重要作用。
6. 行列式行列式是矩阵理论中的重要工具，它具有许多重要的性质和应用。
我们学习了行列式的定义、计算方法以及行列式的性质。
行列式可以用来计算矩阵的逆、判断矩阵是否可逆以及求解线性方程组等。
7. 线性变换线性变换是线性代数中的重要概念，它将一个向量空间映射到另一个向量空间。
我们学习了线性变换的定义、矩阵表示以及线性变换的性质。
大一线代知识点总结期末
大一线代知识点总结期末线性代数是大一学生必修的一门数学课程，它是现代数学与应用数学的基础，对于学习后续的高等数学和相关专业课程非常重要。
本文将对大一线代的知识点进行总结，希望能够帮助同学们更加深入地理解和掌握这门课程。
一、向量与矩阵1. 向量的概念：向量是有方向和大小的量，用于表示空间或其他数学领域中的物理量。
向量可以用坐标表示，也可以用箭头或斜体字母表示。
2. 向量的运算：向量的加法、减法、数乘和内积是线性代数中常见的运算。
加法满足交换律和结合律，数乘满足分配律。
3. 矩阵的概念：矩阵是有着固定大小的矩形阵列，由行和列组成。
矩阵可以表示向量和线性变换。
4. 矩阵的运算：矩阵的加法和数乘运算与向量类似，矩阵乘法则需要满足形状相容性的条件。
二、线性方程组与矩阵的应用1. 线性方程组的概念：线性方程组是由一组线性方程组成的方程集合。
其中的未知数称为变量。
2. 线性方程组的求解：通过高斯消元法或矩阵的逆矩阵求解线性方程组，可以得到该方程组的解集。
3. 线性方程组的应用：线性方程组广泛应用于物理、经济等领域中的实际问题，如平衡力的计算、投资组合的优化等。
4. 矩阵的逆矩阵与矩阵的行列式：当矩阵存在逆矩阵时，可以通过逆矩阵来求解线性方程组。
行列式是用于判断矩阵是否可逆的工具。
三、向量空间与线性相关性1. 向量空间的概念：向量空间是由一组向量构成的集合，满足特定的运算规则。
向量空间具有加法封闭性和数乘封闭性。
2. 线性相关性与线性无关性：线性相关的向量能够通过线性组合得到零向量，而线性无关的向量之间不能通过线性组合得到零向量。
3. 基与维数：向量空间的基是指能够线性表示该空间中所有向量的最小向量组，基向量线性无关且生成整个空间。
向量空间的维数等于其基向量的个数。
四、线性变换与特征值特征向量1. 线性变换的概念：线性变换是指将一个向量空间映射到另一个向量空间的运算。
线性变换具有保持加法和数乘运算的性质。
2. 线性变换的矩阵表示：线性变换可以用矩阵表示，通过将元空间中的向量映射到像空间中的向量来实现。
大一线性代数必考知识点
1、行列式1. 行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式；2. 代数余子式的性质：①、和的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=-4. 设行列式：将上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，则(1)21(1)n n D D -=-；将顺时针或逆时针旋转，所得行列式为，则(1)22(1)n n D D -=-；将主对角线翻转后（转置），所得行列式为，则3D D =；将主副角线翻转后，所得行列式为，则4D D =； 5. 行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；⑤、拉普拉斯展开式：A O A C AB CB O B==、(1)m n CA OA AB B OB C==-⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；6. 对于阶行列式，恒有：1(1)nnk n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中为阶主子式；7. 证明0A =的方法：①、A A =-； ②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵1. 是阶可逆矩阵：0A ≠（是非奇异矩阵）；()r A n =（是满秩矩阵）的行（列）向量组线性无关； 齐次方程组0Ax =有非零解； n b R ∀∈，Ax b =总有唯一解；与等价；可表示成若干个初等矩阵的乘积； 的特征值全不为0； T A A 是正定矩阵；的行（列）向量组是的一组基； 是中某两组基的过渡矩阵；2. 对于阶矩阵：**AA A A A E ==无条件恒成立；3.1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----===***111()()()T T T AB B A AB B A AB B A ---===4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均、可逆：若12s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则： Ⅰ、12s A A A A =；Ⅱ、111121s A A A A ----⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； ②、111A O A O O B O B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（主对角分块） ③、111O A O B B O AO ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（副对角分块） ④、11111A C A A CB O B OB -----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） ⑤、11111A O A O C B B CAB -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n ⨯矩阵，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rm nEO F OO ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭； 等价类：所有与等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵、，若()()r A r B A B = ⇔ ； 2. 行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若(,)(,)rA E E X ，则可逆，且1X A -=；②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当变为时，就变成1A B -，即：1(,)(,)cA B E A B - ~ ；③、求解线形方程组：对于个未知数个方程Ax b =，如果(,)(,)rA b E x ，则可逆，且1x A b -=； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、12n ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭λλλ，左乘矩阵，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素； ③、对调两行或两列，符号(,)E i j ，且1(,)(,)E i j E i j -=，例如：1111111-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④、倍乘某行或某列，符号(())E i k ，且11(())(())E i k E i k-=，例如：1111(0)11kk k -⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-，如：11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；5. 矩阵秩的基本性质：①、0()min(,)m n r A m n ⨯≤≤；②、()()T r A r A =； ③、若AB ，则()()r A r B =；④、若、可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※） ⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※） ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）⑧、如果是m n ⨯矩阵，是n s ⨯矩阵，且0AB =，则：（※） Ⅰ、的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）； Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若、均为阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-；6. 三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如101001a c b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的矩阵：利用二项展开式； 二项展开式：01111110()nn n n m n m mn n n n m m n mn n n n n n m a b C a C a b C a b C a b C b C a b-----=+=++++++=∑；注：Ⅰ、()n a b +展开后有1n +项；Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!--+====-mn nn nn n n m n C C C m m n mⅢ、组合的性质：111102---+-===+==∑nm n mm m m rnr r n nn n nnn n r C C C C C CrC nC ；③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1n r A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩； ②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AA AX X A A A A X X λλλ- == ⇒ =；③、*1A A A -=、1*n A A-=8. 关于矩阵秩的描述：①、()r A n =，中有阶子式不为0，1n +阶子式全部为0；（两句话）②、()r A n <，中有阶子式全部为0； ③、()r A n ≥，中有阶子式不为0；9. 线性方程组：Ax b =，其中为m n ⨯矩阵，则：①、与方程的个数相同，即方程组Ax b =有个方程；②、与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b =为元方程； 10. 线性方程组Ax b =的求解：①、对增广矩阵进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由个未知数个方程的方程组构成元线性方程：①、11112211211222221122n n n n m m nm n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩； ②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（向量方程，为m n ⨯矩阵，个方程，个未知数） ③、()1212n n x x aa a x β⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭（全部按列分块，其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭）； ④、1122n n a x a x a x β+++=（线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（为未知数的个数或维数） 4、向量组的线性相关性1. 个维列向量所组成的向量组：12,,,m ααα构成n m ⨯矩阵12(,,,)m A =ααα；个维行向量所组成的向量组：12,,,T TTm βββ构成m n ⨯矩阵12T T T m B βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ⇔=有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出 Ax b ⇔=是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 AX B ⇔=是否有解；（矩阵方程）3. 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax =和0Bx =同解；(101P 例14)4.()()T r A A r A =；(101P 例15)5. 维向量线性相关的几何意义：①、线性相关 0α=；②、,αβ线性相关 ,αβ坐标成比例或共线（平行）； ③、,,αβγ线性相关,,αβγ共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若12,,,s ααα线性相关，则121,,,,s s αααα+必线性相关；若12,,,s ααα线性无关，则121,,,s ααα-必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若维向量组的每个向量上添上n r -个分量，构成维向量组：若线性无关，则也线性无关；反之若线性相关，则也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组（个数为）能由向量组（个数为）线性表示，且线性无关，则r s ≤；向量组能由向量组线性表示，则()()r A r B ≤； 向量组能由向量组线性表示AX B ⇔=有解；()(,)r A r A B ⇔= 向量组能由向量组等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==8. 方阵可逆存在有限个初等矩阵12,,,l P P P ，使12l A P P P =；①、矩阵行等价：~rA B PA B ⇔=（左乘，可逆）0Ax ⇔=与0Bx =同解②、矩阵列等价：~c A B AQ B ⇔=（右乘，可逆）； ③、矩阵等价：~A B PAQ B ⇔=（、可逆）； 9. 对于矩阵m n A ⨯与l n B ⨯：①、若与行等价，则与的行秩相等；②、若与行等价，则0Ax =与0Bx =同解，且与的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵的行秩等于列秩； 10. 若m s s n m n A B C ⨯⨯⨯=，则：①、的列向量组能由的列向量组线性表示，为系数矩阵；②、的行向量组能由的行向量组线性表示，为系数矩阵；（转置）11. 齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；①、0ABx = 只有零解0Bx ⇒ =只有零解； ②、0Bx = 有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解；12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ⨯可由向量组12:,,,n s s A a a a ⨯线性表示为： 1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K =（B AK =） 其中为s r ⨯，且线性无关，则组线性无关()r K r ⇔=；（与的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=；充分性：反证法） 注：当r s =时，为方阵，可当作定理使用；13. ①、对矩阵m n A ⨯，存在n m Q ⨯，m AQ E =()r A m ⇔=、的列向量线性无关；②、对矩阵m n A ⨯，存在n m P ⨯，n PA E =()r A n ⇔=、的行向量线性无关； 14. 12,,,s ααα线性相关存在一组不全为0的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++=成立；（定义）1212(,,,)0s s x xx ααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有非零解，即0Ax =有非零解；12(,,,)s r s ααα<，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15. 设m n ⨯的矩阵的秩为，则元齐次线性方程组0Ax =的解集的秩为：()r S n r =-；16. 若为Ax b =的一个解，12,,,n r ξξξ-为0Ax =的一个基础解系，则*12,,,,n r ηξξξ-线性无关； 5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵T A A E ⇔=或1T A A -=（定义），性质：①、的列向量都是单位向量，且两两正交，即1(,1,2,)0T i j i j a a i j n i j=⎧==⎨≠⎩；②、若为正交矩阵，则1T A A -=也为正交阵，且1A =±； ③、若、正交阵，则也是正交阵； 注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化：12(,,,)r a a a11b a =；1222111[,][,]b a b a b b b =-121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=----;3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4. ①、与等价 经过初等变换得到；⇔=PAQ B ，、可逆； ()()⇔=r A r B ，、同型；②、与合同 ⇔=T C AC B ，其中可逆； ⇔T x Ax 与T x Bx 有相同的正、负惯性指数； ③、与相似 1-⇔=P AP B ； 5. 相似一定合同、合同未必相似；若为正交矩阵，则T C AC B =A B ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； 6. 为对称阵，则为二次型矩阵； 7. 元二次型T x Ax 为正定：A ⇔的正惯性指数为；A ⇔与合同，即存在可逆矩阵，使T C AC E =； A ⇔的所有特征值均为正数； A ⇔的各阶顺序主子式均大于0； 0,0ii a A ⇒>>；(必要条件)。
大一线代试题及答案
大一线代试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 线性代数中，向量空间的维数是指：A. 向量空间中的向量个数B. 向量空间中的基的个数C. 向量空间中任意向量的分量数D. 向量空间中最大的线性无关向量组的向量个数答案：D2. 对于任意的矩阵A，行列式|A|等于：A. 矩阵A的迹B. 矩阵A的秩C. 矩阵A的逆的负数D. 矩阵A的主对角元素的乘积答案：A3. 如果一个矩阵A可逆，那么下列哪个选项是正确的？A. |A| = 0B. A的秩小于A的阶数C. A的行列式不为零D. A的转置矩阵不可逆答案：C4. 对于n维向量空间中的任意两个向量，它们：A. 一定线性相关B. 一定线性无关C. 可以线性相关也可以线性无关D. 以上都不对答案：C5. 矩阵的特征值是：A. 矩阵的对角线元素B. 矩阵的迹C. 满足方程Ax = λx的非零向量x对应的λD. 矩阵的行列式的值答案：C二、填空题（每题3分，共15分）6. 向量组α1, α2, ..., αk的秩为r，那么这组向量的极大无关组中包含的向量个数为________。
答案：r个7. 设A是一个m×n矩阵，B是一个n×m矩阵，若AB=I（单位矩阵），则称矩阵B为矩阵A的________。
答案：左逆矩阵8. 若向量β1, β2, ..., βs能由向量组α1, α2, ..., αt线性表示，且向量组α1, α2, ..., αt也能由向量组β1, β2, ...,βs线性表示，则称向量组α1, α2,..., αt和向量组β1,β2, ..., βs________。
答案：等价9. 设矩阵A的特征多项式为f(λ)=λ^2 - aλ + b，那么矩阵A的迹为________。
答案：a10. 对于任意的n阶方阵A，|A^T| = |A|________。
答案：相等三、解答题（共75分）11. （15分）已知矩阵A和B满足AB=BA，证明(A+B)^2 = A^2 + B^2 + 2AB。
大一线性代数知识点例题
大一线性代数知识点例题1. 矩阵运算给定矩阵 A = [2 1; 3 4], B = [5 6; 7 8]，计算以下运算：a) 2A + 5Bb) ABc) BA2. 矩阵消元给定矩阵 C = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，通过列消元将其转化为矩阵 RREF。
3. 线性方程组求解给定线性方程组：2x + 3y - z = 14x + 2y + z = -2x - y + 2z = 3求解上述线性方程组的解集。
4. 向量空间以下向量组是否为向量空间？如果是，证明其为向量空间；如果不是，解释原因。
a) V = {(x, y) | x + y = 1}，其中 x 和 y 是实数。
b) V = {(x, y) | x^2 + y^2 = 1}，其中 x 和 y 是实数。
5. 线性变换给定线性变换 T：R^2 → R^3，使得 T((1, 0)) = (2, 1, 3) 和T((0, 1)) = (-1, 2, 0)。
a) 计算 T((3, 2))。
b) 判断 T 是否为一一映射。
6. 特征值和特征向量给定矩阵 D = [4 1; 2 3]，求其特征值和特征向量。
7. 内积和正交性给定向量 A = (3, -1, 2) 和向量 B = (-2, 5, 1)。
a) 计算 A 和 B 的内积。
b) 判断 A 和 B 是否正交。
c) 如果 A 和 B 是正交的，计算它们的夹角。
8. 最小二乘法给定数据点 (1, 2), (2, 3), (3, 4)，求使拟合的直线 y = ax + b 与这些数据点的距离最小化的最佳拟合直线。
以上是大一线性代数的一些知识点例题，通过这些例题的练习，可以加深对线性代数的理解，提升解题技巧。
希望能够为你的学习提供一些帮助。
线性代数大学试题及答案
线性代数大学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设A是一个3阶方阵，且满足A^2 = A，则下列说法正确的是：A. A是可逆矩阵B. A是幂等矩阵C. A是正交矩阵D. A是单位矩阵答案：B2. 若矩阵A的特征值为1，则下列说法正确的是：A. 1是A的迹B. 1是A的行列式C. 1是A的一个特征值D. 1是A的秩答案：C3. 设向量组α1, α2, ..., αn线性无关，则下列说法正确的是：A. 向量组中任意向量都可以用其他向量线性表示B. 向量组中任意向量都不可以被其他向量线性表示C. 向量组中任意向量都可以被其他向量线性表示D. 向量组中任意向量都不可以被其他向量线性表示，除非它们线性相关答案：B4. 若矩阵A的秩为2，则下列说法正确的是：A. A的行向量组线性无关B. A的列向量组线性无关C. A的行向量组线性相关D. A的列向量组线性相关答案：A二、填空题（每题5分，共30分）1. 若矩阵A的行列式为0，则A的______。
答案：秩小于矩阵的阶数2. 设向量空间V的一组基为{v1, v2, ..., vn}，则任意向量v∈V可以唯一地表示为______。
答案：v = c1v1 + c2v2 + ... + cnn，其中ci为标量3. 设矩阵A和B可交换，即AB = BA，则A和B的______。
答案：特征值相同4. 若线性变换T: R^n → R^m，且T是可逆的，则T的______。
答案：行列式不为零5. 设A为n阶方阵，若A的特征多项式为f(λ) = (λ-1)^2(λ-2)，则A的特征值为______。
答案：1, 1, 26. 若向量组α1, α2, ..., αn线性无关，则向量组α1, α2, ..., αn, α1+α2也是______。
答案：线性相关三、简答题（每题10分，共20分）1. 简述什么是矩阵的秩，并给出如何计算矩阵的秩的方法。
答案：矩阵的秩是指矩阵行向量或列向量组中线性无关向量的最大个数。
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x1 x2 2x3 2x1 x2 x3
x4 1 2x4
3
3x1 x2 3x4 5
解
1
(
AM
)
1
0 1
1 2
1 1
2 1
r2 r1
r3 2r1
r4 3r1
1 0
0 1
1 3
1 0
2 1
2 1 1 2 3 0 1 3 0 1
3
1
0
3
5
0 1 3 0 251
r3 r2
并且
k个
Am Ak Amk
Am k Amk （m,k为正整数）
方阵的多项式：
f ( A) a Ak a Ak1 a A a E
k
k 1
1
0
方阵的行列式：
满足: 1 A n A ; 2 AB A B
14
三. 逆矩阵的计算
定义：A为n阶方阵，若存在n阶方阵,使得 AB BA E
非齐次： 通解： X X0 k1 X1 k2 X2 L knr Xnr , 其中 X0 为AX=b 的一个特解；X1 , X2 ,L Xnr 是导出组的一个基础解系。
例. 求下列齐次线性方程组的一个基础解系和通解:
2x1 4x2 3x1 6x2
5x3 4x3
3x4 2x4
性质6：行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一数k后 再加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。 3
几个重要结论：
a11
(1) D
a 22
a a11 22 ann
ann
(2) D
a1n
a2,n1
n( n1)
(1)
2
a a a 1n 2,n1
n1
a n1 4
(3) 上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为0）
分别取
x1 x3
2x2
5 7
x4
2 7
x4
x2 x4
1 0
,
x2 x4
0 1
得一个基础解系为:
2
2 7
1
1
0
,
0
2
0
5 7
1
通解:
X k11 k22
（ k1, k2 为任意常数）
24
例. 求下列非齐次线性方程组的通解:
x1 x3 x4 2
30
例. 设
1 2 1
α1
0
,
α
2
1
,
α3
1 ;
1
1
1
0 1 1
β1
1
,
β
2
1
,
β3
2
1
0
1
(1)在R3中求由基1, 2, 3到基1, 2, 3的过渡矩阵;
(2)求向量=(2, 5, 3)T在基1, 2, 3下的坐标. (3)已知向量在基1, 2, 3下的坐标为(2, 5, 3)T，求 在基1, 2, 3下的坐标。
r4 r2
r2
1 0
0 1
1 3
1 0
2
1
0 0 0 0 0
0
0
0
0
0
同解方程组为: 通解为:
x1 x2
2 1
x3 3x3
x4
x1 2 x%3 x%4 x1 2 1 1
x2 x3
1 x%3
3x%3
x4 x%4
或
x2 x3 x4
1 0
31
解：(1)基1, 2, 3到基1, 2, 3的过渡矩阵为
性质4：如果某一行（列）是两组数的和，则此行列式就等 于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行（列）以外 全与原来行列式的对应的行（列）一样。
性质5：(i) 行列式某行（列）的元全为零；(ii) 行列式有 两行（列）相同；(iii) 行列式有两行（列）的对应元素 成比例，若上述条件之一满足，则行列式等于0 。
1, 2, 3 1,2,3 M M 1,2,3 1 1, 2, 3
即：
1 2 11 0
M
0 1
1 1
11
1 1
1 1
1 0
2 1
0 1 1 0 1 1 0 1 1
1
2
1
1
1
2
1
3
2
1 3 1 1 0 1 2 4 4
0 1 1
M
1
3
2
2 4 4
aa
11
12
0 D
a22
0 0
a 1n
a2n a a a
11 22
nn
ann
(4) 下三角形行列式 （主对角线上侧元素都为0）
a 0 11
D a21 a22
0
0
a a11 22 ann
an1 an2 ann 5
四. 行列式的计算 △
1. 利用行列式性质计算：
化为三角形行列式
7
x a1 x L x
a1
a2
an
(a1a2 L an ) 1 1 L 0
L LLL
1 0 L 1
ci c1
n x
x
1
L
a i1 i
a2
x an
i 2, , n (a1a2 L an ) 0
1 L 0
L LLL
0
0 L 1
(1)n1(a1a2 L
an )[
n i 1
x ai
1]
8
例2：
初等列变换 具体包括：对换变换、倍乘变换、倍加变换
△ 用初等行变换法求矩阵的逆矩阵
要求可逆矩阵A的逆矩阵, 只需对分块矩阵
( A E)施行初等行变换,当把A变成E时,原来的E就
变成了 A1 .
即， A, E 初 等行变 换 E，A1
17
3 0 1
例:
设
A
1
1
0
且
AX
E 2X,求矩阵X.
2n
1 j1 2 j2
njn
j1 j2 jn
a a a
n1
n2
nn
例：五阶行列式， a13a52a41a35a24
a13a52a41a35a24 a13a24a35a41a52
带正号
2
三. 行列式的性质
性质1：行列式与它的转置行列式相等。
性质2：互换行列式的两行（列），行列式的值变号。
性质3：用数 k 乘行列式的某一行（列）中所有 元素，等于用数 k 乘此行列式。
29
(2) 设在基1,2,3下的坐标为 X ( x1, x2 , x3 )T
x1
1 0 1 1 1 1
X
x2
M
1
2
1
3
2
2
x3
3 2 4 4 3
x1 1/ 2
x2
7
/
2
x3 9 / 2
在基1,2,3下的坐标为(-1/2, -7/2, 9/2)T.
0 1 4
解： Q AX E 2X , (A 2E)X E,
X ( A 2E)1 E,
1 0 1
A
2E
1 0
1 1
0 2
2 1 1 1
X ( A 2E )1 E
2 1 1
2
2 1
1 1 1
18
第三章 线性方程组
一. 向量组的线性相关性
1 0
1 2
,
B
2 0
3 3 ,
求： 2A(B E)1 _4_
15
1. 解矩阵方程 (1)AX B X A1 B (2) XA B X BA1
2. 克莱姆法则（求解线性方程组）
AX b
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D2 D
,
, xn
Dn D
.
16
四. 矩阵的初等变换
初等行变换 初等变换
0 0
4x1 8x2 17x3 11x4 0
解
2 4 5 3 r2 3/ 2r1 2 4 5 3
A
3
6
4
2
r3 2r1
0
0
7 2
5 2
4 8 17 11
0 0 7 5
2/ 7r 1
r3 7r2
r1 5r2
1/ 2r1
0 0
2 0 0
0 1 0
2 7
5
7
0
r2
23
所以, 方程组等价于
a11 a12
记作
A
a 21
a 22
a m
1
a m2
a1n
a 2n
a mn
简记为： Amn
实矩阵: 元素是实数
一些特殊的矩阵： 零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、
对角阵、单位阵
12
二. 矩阵的基本运算
同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等
矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等
矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）
唯一解
齐次： 化A为阶梯形，比较 rA,n之间的关系
rA n rA n
唯一解（零解）
无穷多解 （非零解）
四. 线性方程组解的结构 △
齐次：基础解系～解集合中的一个极大线性无关组( X1, X2,L , Xnr ) 通解： X k1 X1 k2 X2 L knr Xnr , k1 , k2 ,L , knr R
第一章 行列式
一. 排列与反序
行列式的概念定义
二. n 阶行列式的定义
三. 行列式的性质
四. 行列式的计算