黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三数学上学期期中试题理
考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1．若集合 A {x x 2 x 2 0} ，集合 B {x | A． (1, 2) B． ( , 1) (1, )
18． （本小题 12 分） 若数列
an 的 前
n 项 和 S n 满 足 2 S n 3an 1(n N *) ， 等 差 数 列 bn 满 足
b1 3a1 , b3 S 2 3 ．
（Ⅰ）求数列 an ， bn 的通项公式； （Ⅱ）设 cn
bn ，求数列 cn 的前 n 项和 Tn ． 3an
1 1} ，则 A B x2
C． ( 1,1) D． ( 1, 0) (0,1)
2．已知 2sin cos 0 ，则 sin cos cos 2 的值 A．
6 5
B．
3 5
C．
3．已知向量 a (1, 3) ，向量 a , c 的夹角是 A．
C．
1 2672
D．
1 2673
12．已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，满足 f (2 x) f ( x) 0 ，且当 x [0,1) 时，
f ( x)
A．12
x ，则函数 g ( x) f ( x) 2sin x 在区间 (3,5) 上的所有零点之和为 x 1
-3-
AC BD 0 ，求 AC BD 的最小值．
5． 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春 分、清明、谷 雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、 春分日影长之和为 31.5 尺，前九个节气日影长之和为 85.5 尺，则芒种日影长为 A．1.5 尺 B．2.5 尺 C．3.5 尺 D．4.5 尺
4 3 3
C．
5 3 3
D．
11 3 6
11．已知定义域为 R 的奇函数 f ( x) ，当 x 0 时， f ( x) 2 f ( x +3) ， 当 3 x 0 时， f ( x) log 3 (1 x) ，则 f (2018) A．
侧侧侧
1 2673
B．
1 2672
个单位长度
-1-
7．直三棱柱 ABC A1 B1C1 中， AB AC ， AB AC AA1 ，则直线 A1 B 与 AC1 所成角的 大小为 A．30° B．60° C．90° D．120°
8． 若函数 f x log 0.3 5 4 x x 2 在区间 a 1, a 1 上单调递减， 且 b lg 0.3 ， c 20.3 ， 则 A． b a c B． b c a C． a b c D． c b a
B．13 C．14 D．15
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．过点 (1, 2) 且与直线 2 x 3 y 9 0 垂直的直线方程为 ．
-2-
2 ) ，则 sin ． 4 2 3 15．在△ ABC 中， AD AB ， BC 3 BD ， | AD | 1 ，则 AC AD
19． （本小题 12 分） 已知椭圆 E : 为 4． （Ⅰ）求椭圆 E 的方程；
x2 y2 1 2 1(a b 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ，其离心率 e ，焦距 2 a b 2
（ Ⅱ） 若 A, B, C , D 是 椭 圆 上 不 重 合 的 四 个 点 ， 且 满 足 F1 A ∥ F1C ， F1 B ∥ F1 D ，
9．已知数列 {an } 的首项 a1 2 ，数列 {bn } 为等比数列，且 bn
9 10 11
an 1 ．若 b10b11 2 ，则 a21 an
D． 2
12
A． 2
B． 2
C． 2
10．某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为 A． 3 B．
2 1 1 侧侧侧 3 侧侧侧
3
3 5
D．
6 5
， a c 2 ，则 | c | 等于 C． 2 D．2
1 2
B．1
4．若 m, n 是两条不同的直线， , , 是三个不同的平面，则下列说法中正确的是 A． ∥ , m , n m ∥ n C． ∥ , m ∥ n , m n B． , ∥ D． m, n, m ∥ n ∥
6． 函数 f ( x) A sin( x ) （其中 A 0,| | 的图 象，则只要将 f ( x) 的图象
2
） 的图象如图所示， 为了得到 g ( x) cos 2 x
A．向右平移
6
个单位长度
B．向右平移
12
个单位长度
C．向左平移
6
个单位长度ຫໍສະໝຸດ D．向左平移1214．已知 sin(
．
16．已知正三角形 ABC 的三个顶点都在半径为 2 的球面上，球心 O 到平面 ABC 的距离为 1 ， 点 E 是线段 AB 的中点，过点 E 作球 O 的截面，则截面面积的最小值是 ．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17． （本小题 12 分） 在 ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ，且 3 cos A cos C (tan A tan C 1) 1 ． （Ⅰ）求 sin B 的值； （Ⅱ）若 a c 3 3 ， b 3 ,求 ABC 的面积．
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知全集{}{}1,2,3,4,5,6,1,2U A ==，且U A B U ⋃=ð，则满足条件的集合B 有（ ） A ．3个B ．4个C ．15个D ．16个2．已知命题()002:,log 310xP x R ∃∈+≤，则（ ） A ．P 是假命题；()2:,log 310xP x R ⌝∀∈+≤ B ．P 是假命题；()2:,log 310xP x R ⌝∀∈+> C ．P 是真命题；()2:,log 310xP x R ⌝∀∈+≤ D ．P 是真命题；()2:,log 310xP x R ⌝∀∈+>3．已知()2024sin cos 0π2025θθθ+=<<，则2θ是（ ） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角4．若函数()ln 1f x x ax =-+的图象在2x =处的切线与y 轴垂直，则函数()f x 的图象在1x =处的切线方程为（ ） A ．0x y += B ．20x y -= C ．210x y -+=D ．220x y --=5．已知,a b 是正数，1a b +=，则①14ab ≤，②114a b +≥，③2212a b +≥，④3314a b +≥四个结论中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个6．已知122log aa =，121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下面正确的是（ ）A ．a b >B ．14a <C．b >D ．12a b -<7．已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有(1)(1)()xf x x f x +=+，则52f ⎛⎫⎪⎝⎭的值是（ ）A ．0B ．12C ．1D ．528．已知函数()sin (0)f x x ωω=>的图像向左平移π12后得到的图像关于π(,0)6对称，()f x 在π5π(,)418上具有单调性，则ω的最大值为（ ） A ．16 B ．18 C ．32D ．36二、多选题9．已知函数())f x x x =，则下面正确的是（ ） A ．(sin1)(cos1)f f > B ．(sin 2)(cos 2)f f > C ．(sin1)(sin 2)f f >D ．(cos1)(cos2)f f >10．在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若,,A B C 成等差数列，b D 是AC 中点，则下面正确的是（ ）A ．ABC VB ．ABC V 周长的最大值为C ．中线BD 长度的最大值为32D ．若A 为锐角，则(1,2]c ∈11．已知函数2()sin sin 2f x x x =，则下面说法正确的是（ ）A ．π是()f x 的一个周期；B ．π,02（）是()f x 的对称中心;C ．π4x =是()f x 的对称轴; D ．()f x三、填空题12．不等式12(3)(21)(log 1)0xx x --->的解集为；13．锐角α的终边上有一点()sin 6,cos6P -，则α=；14．定义在R 上的函数()f x 满足：(1)(1)0,(2)(2)2f x f x f x f x ++-=++-=.下面四个结论：①()y f x =具有周期性；②(1)y f x =+是奇函数；③()1y f x =+是奇函数；④(2025)2024f =.其中正确的序号是四、解答题15．已知ABC V 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，ccos 1A A +=. (1)求角A ；(2)若23a bc =，求5cos sin 62B C ππ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；16．已知函数()121log 22xx f x a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(1)若()f x 的定义域为R ，求a 的取值范围；(2)当0a =时，判断()f x 的奇偶性，并解关于t 的不等式()()112f t f t +>-. 17．已知函数()2cos f x x x x =+． (1)求()f x 的单调区间；(2)若11π024x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，，使()222f x a a ≤-++成立，求a 的取值范围．18．已知()(1)ln(1)f x ax x x =++-. (1)当2a =时，求函数()y f x =的极值；(2)当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.19．已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：存在实数a 、()0k k ≠，对于定义域内任意x ，均有()()f a x kf a x +=-成立，称数对(),a k 为函数()f x 的“伴随数对”.（1）判断函数()2f x x =是否属于集合M ，并说明理由；（2）若函数()sin f x x M =∈，求满足条件的函数()f x 的所有“伴随数对”； （3）若()1,1、()2,1-都是函数()f x 的“伴随数对”，当12x ≤<时，()cos 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭，当2x =时，()0f x =，求当20142016x ≤≤时，函数()y f x =的解析式和零点.。
《高考真题》专题06 函数的奇偶性的应用-2019年高考文数母题题源系列(全国Ⅱ专版)(解析版)
专题06 函数的奇偶性的应用【母题来源一】【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )= A ．e 1x -- B ．e 1x -+ C ．e 1x ---D ．e 1x --+【答案】D【解析】由题意知()f x 是奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当0x <时，0x ->，则()e x f x --=-1()f x =-，得()e 1x f x -=-+．故选D ．【名师点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．【母题来源二】【2018年高考全国Ⅱ卷文数】已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=A ．50-B ．0C ．2D ．50【答案】C【解析】因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+， 所以(1)(1),(3)(1)(1),4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=， 因此[](1)(2)(3)(50)12(1)()(2)(3)4(1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++，因为(3)(1),(4)(2)f f f f =-=-，所以(1)(2)0())(34f f f f +++=， 因为(2)(0)0f f ==，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==．故选C ．【名师点睛】先根据奇函数的性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果．函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．【母题来源三】【2017年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+,则(2)f =______________．【答案】12【解析】(2)(2)[2(8)4]12f f =--=-⨯-+=．【名师点睛】（1）已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于()f x 的方程，从而可得()f x 的值或解析式；（2）已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．【命题意图】1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．以抽象函数的奇偶性、对称性、周期性为载体考查分析问题、解决问题的能力和抽象转化的数学思想． 【命题规律】高考对该部分内容考查一般以选择题或填空题形式出现，难度中等或中等上，热点是奇偶性、对称性、周期性之间的内在联系，这种联系成为命题者的钟爱，一般情况下可“知二断一”． 【答题模板】1．判断函数奇偶性的常用方法及思路 （1）定义法（2）图象法（3）性质法利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断． 注意：①性质法中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．②性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程． 2．与函数奇偶性有关的问题及解决方法 （1）已知函数的奇偶性，求函数的值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． （2）已知函数的奇偶性求解析式已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式,求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可． （3）已知带有参数的函数的表达式及奇偶性求参数在定义域关于原点对称的前提下，利用()f x 为奇函数⇔()()f x f x -=-，()f x 为偶函数⇔()f x -()f x =，列式求解，也可以利用特殊值法求解．对于在0x =处有定义的奇函数()f x ，可考虑列式(0)0f =求解．（4）已知函数的奇偶性画图象判断单调性或求解不等式．利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象及判断另一区间上函数的单调性． 【方法总结】1．函数奇偶性的定义及图象特点（1）偶函数：如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称；（2）奇函数：如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么函数()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．2．判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论：如果(()0)f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数；如果()0()f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数． 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x ，x -也在定义域内（即定义域关于原点对称）． 3．函数奇偶性的几个重要结论（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． （2）()f x ，()g x 在它们的公共定义域上有下面的结论：（3）若奇函数的定义域包括0，则(0)0f =．（4）若函数()f x 是偶函数，则()()(||)f x f x f x -==．（5）定义在(,)-∞+∞上的任意函数()f x 都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．（6）若函数()y f x =的定义域关于原点对称，则()()f x f x +-为偶函数，()()f x f x --为奇函数，()()f x f x ⋅-为偶函数．（7）一些重要类型的奇偶函数 ①函数()xxf x a a-=+为偶函数，函数()x xf x a a-=-为奇函数．②函数221()1x x x x xxa a a f x a a a ----==++（0a >且1a ≠）为奇函数． ③函数1()log 1axf x x-=+（0a >且1a ≠）为奇函数．④函数()log (a f x x =（0a >且1a ≠）为奇函数． 4．若()()f a x f a x +=-，则函数()f x 的图象关于x a =对称． 5．若()()f a x f a x +=--，则函数()f x 的图象关于(,0)a 对称．6．若函数()f x 关于直线x a =和()x b b a =>对称，则函数()f x 的周期为2()b a -． 7．若函数()f x 关于直线x a =和点(,0)()b b a >对称，则函数()f x 的周期为4()b a -． 8．若函数()f x 关于点(,0)a 和点(,0)()b b a >对称，则函数()f x 的周期为2()b a -． 9．若函数()f x 是奇函数，且关于x a =(0)a >对称，则函数()f x 的周期为4a ． 10．若函数()f x 是偶函数，且关于x a =(0)a >对称，则函数()f x 的周期为2a ． 11．若函数()f x 是奇函数，且关于(,0)a (0)a >对称，则函数()f x 的周期为2a ． 12．若函数()f x 是偶函数，且关于(,0)a (0)a >对称，则函数()f x 的周期为4a ． 13．若函数()()f x x R ∈满足()()f a x f x +=-，1()()f a x f x +=-，1()()f a x f x +=均可以推出函数()f x 的周期为2a ．1．【重庆市第一中学2019届高三上学期期中考试】下列函数为奇函数的是 A ． B ． C ．D ．【答案】D【分析】根据奇函数的定义逐项检验即可．【解析】A 选项中 ，故不是奇函数，B 选项中 ，故不是奇函数，C 选项中，故不是奇函数，D 选项中，是奇函数，故选D ．2．【黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第一次模拟】若函数2()22x a xx f x -=-是奇函数，则(1)f a -= A ．1- B ．23- C ．23D ．1【答案】B【分析】首先根据奇函数的定义，求得参数0a =，从而得到2(1)(1)3f a f -=-=-，求得结果． 【解析】由()()f x f x -=-可得22(2)22a x x x x--+=+，∴0a =，∴2(1)(1)3f a f -=-=-， 故选B ．【名师点睛】该题考查函数的奇偶性及函数求值等基础知识，属于基础题目，考查考生的运算求解能力． 3．【甘肃省静宁县第一中学2019届高三上学期第一次模拟】已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当 时3()x m f x =+(m 为常数)，则3(log 5)f -的值为A ．4B ．4-C ．6D ．6-【答案】B【分析】根据奇函数的性质 求出 ，再根据奇函数的定义求出3(log 5)f -．【解析】当 时3()x m f x =+(m 为常数)，则03(0)0m f =+=，则 ， ， 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴335log 35((log 5)()log )314f f -=-=--=-．故选B ．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，解题的突破口是利用奇函数性质：如果函数是奇函数，且0在其定义域内，一定有 ．4．【甘青宁2019届高三3月联考】若函数3()1f x x =+，则1(lg 2)(lg )2f f +=A ．2B ．4C ．2-D ．4-【答案】A【分析】3()1f x x =+，可得()()2f x f x -+=，结合1lglg22=-，从而求得结果． 【解析】∵3()1f x x =+，∴()()2f x f x -+=，∵1lglg22=-，∴1(lg 2)(lg )22f f +=， 故选A ．【名师点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有奇函数的性质，属于简单题目，注意整体思维的运用．5．【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第二次模拟】已知函数2()e e 21xxxxf x -=-++，若(lg )3f m =，则1(lg )f m = A ．4- B ．3- C ．2-D ．1-【答案】C【分析】先由2()e e 21xxxx f x -=-++得到()()1f x f x -+=，进而可求出结果．【解析】因为2()e e 21x xxx f x -=-++，所以21()e e e e 2121x x xx x x xf x -----=-+=-+++， 因此()()1f x f x -+=； 又(lg )3f m =，所以(lg )1(lg 1(lg )132)f mf m f m =-=-=-=-． 故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数奇偶性的性质，熟记函数奇偶性即可，属于常考题型． 6．【山东省济宁市2019届高三二模】已知 是定义在 上的周期为4的奇函数，当 时， ，则 A ． B ．0 C ．1D ．2【答案】A【解析】由题意可得： ． 故选A ．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．7．【云南省玉溪市第一中学2019届高三第二次调研】下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数是 A ．3x y =B ．1ln||y x = C ．||2x y =D ．cos y x =【答案】B 【解析】易知1ln||y x =，||2x y =，cos y x =为偶函数， 在区间(0,)+∞上，1ln ||y x =单调递减，||2x y =单调递增，cos y x =有增有减． 故选B ．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题．8．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试】若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，1()14f =，当0x <时，2()log ()f x x m =-+，则实数m = A ．1- B ．0 C ．1D ．2【答案】C【解析】∵()f x 是定义在R 上的奇函数，1()14f =， 且0x <时，2()log ()f x x m =-+， ∴211()log 2144f m m -=+=-+=-， ∴1m =． 故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及已知函数值求参数的方法，熟记函数奇偶性的定义即可，属于常考题型．9．【宁夏银川市2019年高三下学期质量检测】已知()f x 是定义在R 上奇函数，当0x ≥时，2()log (1)f x x =+，则3()f -=C ．2D ．1【答案】A【分析】利用函数()f x 是奇函数，得到(3)(3)f f -=-，再根据对数的运算性质，即可求解． 【解析】由题意，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()log (1)f x x =+，则22(3)(3)log (31)log 42f f -=-=-+=-=-，故选A ．【名师点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及对数的运算的性质的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性，以及熟练应用对数的性质运算是解答的关键，着重考查了转化思想，以及运算与求解能力，属于基础题．10．【甘肃省甘谷县第一中学2019届高三上学期第一次检测】已知定义在 上的函数 ，若 是奇函数，是偶函数，当 时， ，则 A ． B ． C ．0D ．【答案】A【分析】根据题意和函数的奇偶性的性质通过化简、变形，求出函数的周期，利用函数的周期性和已知的解析式求出 的值．【解析】因为 是奇函数， 是偶函数，所以 ，则 ，即 ， 所以 ， 则奇函数 是以4为周期的周期函数， 又当 时， ，所以 ， 故选A ．【名师点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有函数的周期性，函数的奇偶性的定义，正确转化题的条件是解题的关键．11．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三上学期期中考试】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x ∈R 都有33())22(f x f x +=-，当3(,0)2x ∈-时，()f x =12log (1)x -，则(2017)f +(2019)f =C ．1-D ．2-【答案】A【分析】根据题意，对33())22(f x f x +=-变形可得()(3)f x f x =-，则函数()f x 是周期为3的周期函数，据此可得(2017)(1)f f =，(2019)(0)f f =，结合函数的解析式以及奇偶性求出(0)f 与(1)f 的值，相加即可得答案．【解析】根据题意，函数()f x 满足任意的x ∈R 都有33())22(f x f x +=-， 则()(3)f x f x =-，则函数()f x 是周期为3的周期函数，所以(2017)(16723)(1)f f f =+⨯=，(2019)(6733)(0)f f f =⨯=， 又由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)0f =， 当3(,0)2x ∈-时，()f x =12log (1)x -，则12(1)log [1(1)]1f -=--=-，则(1)(1)1f f =--=，故(2017)(2019)(0)(1)1f f f f +=+=， 故选A ．12．【甘肃省兰州市第一中学2019届高三9月月考】奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为 A ．2B ．1C ．－1D ．－2【答案】A【分析】根据函数的奇偶性的特征，首先得到 ，进而根据奇函数可得 ，根据 可得 ，即可得到结论．【解析】∵ 为偶函数， 是奇函数，∴设 ， 则 ，即 ，∵ 是奇函数，∴ ，即 ， ， 则 ， ，∴ ， 故选A ．【名师点睛】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴以及周期性是解决本题的关键，属于中档题．13．【陕西省彬州市2019届高三上学期第一次教学质量监测】已知函数()y f x =是奇函数，当0x >时，2()log (1)f x x =-，则(1)0f x -<的解集是A ．(,1)(2,3)-∞-B ．(1,0)(2,3)-C ．(2,3)D ．(,3)(0,1)-∞-【答案】A【分析】根题设条件，分别求得，当0x >和0x <时，()0f x <的解集，由此可求解不等式(1)0f x -<的解集，得到答案．【解析】由题意，当0x >时，令()0f x >，即2log (1)0x -<，解得12x <<， 又由函数()y f x =是奇函数，函数()f x 的图象关于原点对称， 则当0x <时，令()0f x >，可得2x <-，又由不等式(1)0f x -<，可得112x <-<或12x -<-，解得23x <<或1x <-， 即不等式(1)0f x -<的解集为(,1)(2,3)-∞-，故选A ．【名师点睛】本题主要考查了函数的基本性质的综合应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，以及数列应用函数的奇偶性的转化是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．14．【陕西省榆林市2019届高三第四次普通高等学校招生模拟考试】已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(5)(3)f x f x +=-，如果当[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+，则(766)f =A ．3B ．3-C ．2D ．2-【答案】C【分析】根据(5)(3)f x f x +=-，可得(8)()f x f x +=，即()f x 的周期为8，再根据[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+及()f x 为R 上的偶函数即可求出(766)(2)2f f ==．【解析】由(5)(3)f x f x +=-，可得(8)()f x f x +=，所以()f x 是周期为8的周期函数，当[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+，所以(96(7682)6)(2)2f f f ⨯-===， 又()f x 是定义在R 上的偶函数，所以2(2)(2)log 42f f -===． 故选C ．15．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期期中考试】已知定义域为R 的奇函数 ，当时， ，当 时， ，则 A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】由当 时， ，可得，根据奇偶性求出 即可． 【解析】定义域为R 的奇函数 ，当 时， ，则， 则 ．．．， 又当 时， ， — ， 故． 故选B ．16．【重庆市2018-2019学年3月联考】定义在[7,7]-上的奇函数()f x ，当07x <≤时，()26x f x x =+-，则不等式()0f x >的解集为 A ．(2,7]B ．(2,0)(2,7]-C ．(2,0)(2,)-+∞D ．[7,2)(2,7]--【答案】B【分析】当07x <≤时，()f x 为单调增函数，且(2)0f =，则()0f x >的解集为(2,7]，再结合()f x 为奇函数，所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-．【解析】当07x <≤时，()26xf x x =+-，所以()f x 在(0,7]上单调递增，因为2(2)2260f =+-=，所以当07x <≤时，()0f x >等价于()(2)f x f >，即27x <≤，因为()f x 是定义在[7,7]-上的奇函数，所以70x -≤<时，()f x 在[7,0)-上单调递增，且(2)(2)0f f -=-=，所以()0f x >等价于()(2)f x f >-，即20x -<<， 所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-．故选B ．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性及不等式的解法，属基础题．应注意奇函数在其对称的区间上单调性相同，偶函数在其对称的区间上单调性相反．17．【宁夏平罗中学2019届高三上学期期中考试】已知定义在 上的函数 是奇函数，且当 时，，则 ______________． 【答案】18-【分析】先求(4)f ，再利用函数的奇偶性求4()f -．【解析】由题得22(4)log 4418f =+=，所以(4)(4)18f f -=-=-．18．【重庆南开中学2019届高三第四次教学检测】已知偶函数()f x 的图象关于直线2x =对称，(3)f =则(1)f =______________．【分析】由对称性及奇偶性求得函数的周期求解即可【解析】由题()()(4)f x f x f x =-=-，则函数的周期4T =，则()1f =(1)(1)(3)f f f =-==19．【辽宁省抚顺市2019届高三第一次模拟】已知函数()f x 是奇函数，且当0x <时1()()2xf x =，则(3)f 的值是______________． 【答案】8-【分析】先求(3)f -，再根据奇函数性质得(3)f ． 【解析】因为31(3)()82f --==，函数()f x 是奇函数，所以(3)(3)8f f =--=-．20．【辽宁省朝阳市重点高中2019届高三第四次模拟】已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，且周期为2，若当[0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-，则( 2.5)f -=______________． 【答案】0.25-【分析】根据函数的奇偶性和周期性，求出( 2.5)(0.5)f f -=-，求出函数值即可．【解析】已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，且周期为2，∴( 2.5)( 2.52)(0.5)(0.5)f f f f -=-+=-=-，∵当[0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-，∴(0.5)0.5(10.5)0.25f =⨯-=，∴( 2.5)0.25f -=-． 21．【陕西省咸阳市2019届高三模拟检测三】已知定义在R 上的奇函数()f x 的图像关于点(2，0)对称，且(3)3f =，则(1)f -=______________．【答案】3【分析】先由函数关于(2，0)对称，求出(1)f ，然后由奇函数可求出(1)f -． 【解析】函数()f x 的图像关于点(2，0)对称，所以(1)(3)3f f =-=-， 又函数()f x 为奇函数，所以(1)(1)3f f =-=-．22．【宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模】若函数2,0()3(),0x x f x g x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩是奇函数，则1()2f -=______________．【答案】3-【分析】利用解析式求出1()2f ，根据奇函数定义可求得结果．【解析】由题意知1212()23f === ()f x为奇函数，11()()22f f ∴-=-=．23．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟】已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，()lg f x x =，则1(())100f f 的值为______________． 【答案】2lg - 【分析】先求出1()100f 的值，设为a ，判断a 是否大于零，如果大于零，直接求出()f a 的值，如果不大于零，那么根据奇函数的性质()()f a f a =--，进行求解．【解析】10,100>∴1()100f =21lg()lg102100-==-， 20-<∵，函数()f x 是奇函数，(2)(2)lg 2f f ∴-=-=-，所以1(())100f f 的值为lg2-．24．【山东省滨州市2019届高三第二次模拟（5月）】若函数 为偶函数，则______________．【答案】2-【解析】函数 为偶函数，则 ， 即 恒成立， ．则．【名师点睛】本题主要考查偶函数的性质与应用，对数的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．25．【甘肃省张掖市2019届高三上学期第一次联考】已知()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且(0)0g =，当0x ≥时，2()()22xf xg x x x b -=+++（b 为常数），则(1)(1)f g -+-=______________． 【答案】4-【分析】根据函数的奇偶性，先求b 的值，再代入1x =，求得(1)(1)4f g -=，进而求解(1)(1)f g -+-的值．【解析】由()f x 为定义在R 上的奇函数可知(0)0f =，因为(0)0g =，所以0(0)(0)20f g b -=+=，解得1b =-，所以(1)(1)4f g -=，于是(1)(1)(1[(1)(1)](4)1)f g f g f g =-+=---+=--．【名师点睛】本题考查了函数的奇偶性的应用，涉及了函数求值的知识；注意解析式所对应的自变量区间．26．【陕西省安康市安康中学2019届高三第三次月考】若函数2()e 1xf x a =--是奇函数，则常数 等于______________． 【答案】【分析】由奇函数满足，代入函数求值即可．【解析】对一切且恒成立．恒成立，恒成立．，．27．【吉林省长春市实验中学2019届高三期末考试】已知函数是定义在上的周期为的奇函数，当时，，则______________．【答案】【分析】根据是周期为4的奇函数即可得到＝f(﹣8)＝f()＝﹣f()，利用当0＜x＜2时，＝4x，求出，再求出，即可求得答案．【解析】∵是定义在R上周期为4的奇函数，∴＝f(﹣8)＝f()＝﹣f()，∵当x∈（0，2）时，，∴＝﹣2，∵是定义在R上周期为4的奇函数，∴＝＝，同时＝﹣，∴＝0，∴﹣2．【名师点睛】考查周期函数的定义，奇函数的定义，关键是将自变量的值转化到函数解析式所在区间上，属于中档题．28．【新疆昌吉市教育共同体2019届高三上学期第二次月考】下列函数：①；②，，；③；④．其中是偶函数的有______________．（填序号）【答案】①【分析】先判断函数的定义域是否关于原点对称可知②，，为非奇非偶函数；再利用偶函数的定义，分别检验①③④是否符合，从而得到结果．【解析】①，为偶函数；②定义域，关于原点不对称，为非奇非偶函数；③，为奇函数；④ ，为非奇非偶函数； 故答案为①．【名师点睛】该题考查的是有关偶函数的选择问题，涉及到的知识点有函数奇偶性的定义，注意判断函数奇偶性的步骤，首先确定函数的定义域是否关于原点对称，再者就是判断 与 的关系． 29．【吉林省长春市吉林省实验中学2019届高三上学期第三次月考】已知 ， ．若偶函数 满足 （其中 ， 为常数），且最小值为1，则 ______________． 【答案】【分析】利用函数是偶函数，确定 ，利用基本不等式求最值，确定 的值，即可得到结论． 【解析】由题意， ， ， 为偶函数， ， ， ， ， ， ，．30．【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟】已知函数()f x 是定义域为(,)-∞+∞的偶函数，且(1)f x -为奇函数，当[0,1]x ∈时，3()1f x x =-，则29()2f =______________． 【答案】78-【分析】先由题意，()f x 是定义域为(,)-∞+∞的偶函数，且(1)f x -为奇函数，利用函数的奇偶性推出()f x 的周期4T =，可得291()()22f f =-，然后带入求得结果． 【解析】因为(1)f x -为奇函数，所以(1)(1),(2)()f x f x f x f x --=--∴--=-， 又()f x 是定义域为(,)-∞+∞的偶函数，所以()()f x f x -=，即(2)(),(2)()f x f x f x f x --=--∴-=-，所以()f x 的周期4T =，因为295551()(12)()(2)()22222f f f f f =+==--=-，2117()1()228f =-=， 所以297()28f =-．31．【辽宁省大连市2019届高三第二次模拟】已知函数 是定义域为 的偶函数，且 在 ， 上单调递增，则不等式 的解集为______________．【答案】 ， ，【分析】利用偶函数关于 轴对称， 在 ， 上单调递增，将不等式 转化为 ，即可解得 的解集． 【解析】 函数 是定义域为 的偶函数，可转化为 ， 又 在 ， 上单调递增，，两边平方解得 ， ， ， 故 的解集为 ， ， ．32．【辽宁省大连市2019届高三下学期第一次双基测试】已知定义在R 上的函数()f x ，若函数(1)f x +为偶函数，函数(2)f x +为奇函数，则20191()i f i ==∑______________．【答案】0【分析】根据函数(1)f x +为偶函数，函数(2)f x +为奇函数可得()(2)f x f x -=+和()(4)f x f x --=+，可得(4)()f x f x +=，则函数()f x 是周期为4的周期函数，结合函数的对称性可得(1)(3)0f f +=且(2)(0)(4)0f f f ===，从而可得结果．【解析】根据题意，(1)f x +为偶函数，则函数()f x 的图象关于直线1x =对称， 则有()(2)f x f x -=+，若函数(2)f x +为奇函数，则函数()f x 的图象关于点(2,0)对称， 则有()(4)f x f x --=+，则有(4)(2)f x f x +=-+， 设2t x =+，则(2)()f t f t +=-， 变形可得(4)(2)()f t f t f t +=-+=， 则函数()f x 是周期为4的周期函数， 又由函数()f x 的图象关于点(2,0)对称， 则(1)(3)0f f +=且(2)0f =， 则有(2)(0)0f f =-=，可得(4)0f=，则20191(1)(2)(019) )(2if i f f f ==+++∑[12(3)4][(2013)(2014()()(2015)(2016]))()f f f f f f f f=+++++++++[(2017)(2018)(201()9)]12((0)3)f f f f f f++=++=，故答案为0．33．【内蒙古呼和浩特市2019届高三上学期期中调研】已知函数与都是定义在上的奇函数，当时，，则的值为______________．【答案】2【分析】根据题意，由是定义在R上的奇函数可得，结合函数为奇函数，分析可得，则函数是周期为2的周期函数，据此可得，结合函数的解析式可得的值，结合函数的奇偶性与周期性可得的值，相加即可得答案．【解析】根据题意是定义在R上的奇函数，则的图象关于点（﹣1，0）对称，则有，又由是R上的奇函数，则，且，则有，即，则函数是周期为2的周期函数，则，又由＝log2＝﹣2，则＝2，，故＝2+0＝2．。
《高考真题》专题14 函数的奇偶性的应用-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅱ专版)(解析版)
专题14 函数的奇偶性的应用【母题来源一】【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-．若(l n2)8f =，则a =______________． 【答案】3-【解析】由题意知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-，又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =， 所以ln 2e 8a --=-，两边取以e 为底数的对数，得ln 23ln 2a -=， 所以3a -=，即3a =-．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性，对数的计算．【母题来源二】【2018年高考全国Ⅱ卷理数】已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++= A ．50-B ．0C ．2D ．50【答案】C【解析】因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+， 所以(1)(1),(3)(1)(1),4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=， 因此[](1)(2)(3)(50)12(1)()(2)(3)4(1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++，因为(3)(1),(4)(2)f f f f =-=-，所以(1)(2)0())(34f f f f +++=， 因为(2)(0)0f f ==，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==．故选C ．【名师点睛】先根据奇函数的性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果．函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．【命题意图】1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．以抽象函数的奇偶性、对称性、周期性为载体考查分析问题、解决问题的能力和抽象转化的数学思想． 【命题规律】高考对该部分内容考查一般以选择题或填空题形式出现，难度中等或中等上，热点是奇偶性、对称性、周期性之间的内在联系，这种联系成为命题者的钟爱，一般情况下可“知二断一”． 【答题模板】1．判断函数奇偶性的常用方法及思路 （1）定义法（2）图象法（3）性质法利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断．注意：①分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x 的范围相应地化简解析式，判断()f x 与()f x 的关系，得出结论，也可以利用图象作判断． ②性质法中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．③性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程．2．与函数奇偶性有关的问题及解决方法 （1）已知函数的奇偶性，求函数的值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． （2）已知函数的奇偶性求解析式已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式,求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可． （3）已知带有参数的函数的表达式及奇偶性求参数在定义域关于原点对称的前提下，利用()f x 为奇函数⇔()()f x f x -=-，()f x 为偶函数⇔()f x -()f x =，列式求解，也可以利用特殊值法求解．对于在0x =处有定义的奇函数()f x ，可考虑列式(0)0f =求解．（4）已知函数的奇偶性画图象判断单调性或求解不等式．利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象及判断另一区间上函数的单调性． 【方法总结】1．函数奇偶性的定义及图象特点判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论：如果()0()f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数；如果()0()f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数．注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x ，x -也在定义域内（即定义域关于原点对称）． 2．函数奇偶性的几个重要结论（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． （2）()f x ，()g x 在它们的公共定义域上有下面的结论：（3）若奇函数的定义域包括0，则(0)0f =．（4）若函数()f x 是偶函数，则()()(||)f x f x f x -==．（5）定义在(,)-∞+∞上的任意函数()f x 都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．（6）若函数()y f x =的定义域关于原点对称，则()()f x f x +-为偶函数，()()f x f x --为奇函数，()()f x f x ⋅-为偶函数．（7）一些重要类型的奇偶函数 ①函数()xxf x a a-=+为偶函数，函数()x xf x a a-=-为奇函数．②函数221()1x x x x x x a a a f x a a a ----==++（0a >且1a ≠）为奇函数． ③函数1()log 1axf x x-=+（0a >且1a ≠）为奇函数．④函数()log (a f x x =（0a >且1a ≠）为奇函数． 3．若()()f a x f a x +=-，则函数()f x 的图象关于x a =对称． 4．若()()f a x f a x +=--，则函数()f x 的图象关于(,0)a 对称．5．若函数()f x 关于直线x a =和()x b b a =>对称，则函数()f x 的周期为2()b a -． 6．若函数()f x 关于直线x a =和点(,0)()b b a >对称，则函数()f x 的周期为4()b a -． 7．若函数()f x 关于点(,0)a 和点(,0)()b b a >对称，则函数()f x 的周期为2()b a -． 8．若函数()f x 是奇函数，且关于x a =(0)a >对称，则函数()f x 的周期为4a ． 9．若函数()f x 是偶函数，且关于x a =(0)a >对称，则函数()f x 的周期为2a ． 10．若函数()f x 是奇函数，且关于(,0)a (0)a >对称，则函数()f x 的周期为2a ． 11．若函数()f x 是偶函数，且关于(,0)a (0)a >对称，则函数()f x 的周期为4a ． 12．若函数()()f x x R ∈满足()()f a x f x +=-，1()()f a x f x +=-，1()()f a x f x +=均可以推出函数()f x 的周期为2a ．1．【重庆市第一中学2019届高三上学期期中考试】下列函数为奇函数的是 A ． B ． C ．D ．【答案】D【分析】根据奇函数的定义逐项检验即可．【解析】A 选项中 ，故不是奇函数，B 选项中 ，故不是奇函数，C 选项中 ，故不是奇函数，D 选项中，是奇函数，故选D ．2．【黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第一次模拟】若函数2()22x a xx f x -=-是奇函数，则(1)f a -= A ．1- B ．23- C ．23D ．1【答案】B【分析】首先根据奇函数的定义，求得参数0a =，从而得到2(1)(1)3f a f -=-=-，求得结果． 【解析】由()()f x f x -=-可得22(2)22a x x x x--+=+，∴0a =，∴2(1)(1)3f a f -=-=-， 故选B ．【名师点睛】该题考查函数的奇偶性及函数求值等基础知识，属于基础题目，考查考生的运算求解能力． 3．【甘肃省静宁县第一中学2019届高三上学期第一次模拟】已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当 时3()x m f x =+(m 为常数)，则3(log 5)f -的值为A ．4B ．4-C ．6D ．6-【答案】B【分析】根据奇函数的性质 求出 ，再根据奇函数的定义求出3(log 5)f -．【解析】当 时3()x m f x =+(m 为常数)，则03(0)0m f =+=，则 ， ， 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴335log 35((log 5)()log )314f f -=-=--=-．故选B ．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，解题的突破口是利用奇函数性质：如果函数是奇函数，且0在其定义域内，一定有 ．4．【甘青宁2019届高三3月联考】若函数3()1f x x =+，则1(lg 2)(lg )2f f +=A ．2B ．4C ．2-D ．4-【答案】A【分析】3()1f x x =+，可得()()2f x f x -+=，结合1lglg22=-，从而求得结果． 【解析】∵3()1f x x =+，∴()()2f x f x -+=，∵1lglg22=-，∴1(lg 2)(lg )22f f +=， 故选A ．【名师点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有奇函数的性质，属于简单题目，注意整体思维的运用．5．【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第二次模拟】已知函数2()e e 21xxxxf x -=-++，若(lg )3f m =，则1(lg )f m = A ．4- B ．3- C ．2-D ．1-【答案】C【分析】先由2()e e 21xxxx f x -=-++得到()()1f x f x -+=，进而可求出结果．【解析】因为2()e e 21x xxx f x -=-++，所以21()e e e e 2121x x xx x x xf x -----=-+=-+++， 因此()()1f x f x -+=； 又(lg )3f m =，所以(lg )1(lg 1(lg )132)f mf m f m =-=-=-=-． 故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数奇偶性的性质，熟记函数奇偶性即可，属于常考题型． 6．【山东省济宁市2019届高三二模】已知 是定义在 上的周期为4的奇函数，当 时， ，则 A ． B ．0 C ．1D ．2【答案】A【解析】由题意可得： ． 故选A ．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．7．【云南省玉溪市第一中学2019届高三第二次调研】下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数是 A ．3x y =B ．1ln||y x =C ．||2x y =D ．cos y x =【答案】B【解析】易知1ln||y x =，||2x y =，cos y x =为偶函数， 在区间(0,)+∞上，1ln ||y x =单调递减，||2x y =单调递增，cos y x =有增有减． 故选B ．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题．8．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试】若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，1()14f =，当0x <时，2()log ()f x x m =-+，则实数m = A ．1- B ．0 C ．1D ．2【答案】C【解析】∵()f x 是定义在R 上的奇函数，1()14f =， 且0x <时，2()log ()f x x m =-+， ∴211()log 2144f m m -=+=-+=-， ∴1m =． 故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及已知函数值求参数的方法，熟记函数奇偶性的定义即可，属于常考题型．9．【宁夏银川市2019年高三下学期质量检测】已知()f x 是定义在R 上奇函数，当0x ≥时，2()log (1)f x x =+，则3()f -= A ．2- B ．1- C ．2D ．1【答案】A【分析】利用函数()f x 是奇函数，得到(3)(3)f f -=-，再根据对数的运算性质，即可求解．【解析】由题意，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()log (1)f x x =+，则22(3)(3)log (31)log 42f f -=-=-+=-=-，故选A ．【名师点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及对数的运算的性质的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性，以及熟练应用对数的性质运算是解答的关键，着重考查了转化思想，以及运算与求解能力，属于基础题．10．【甘肃省甘谷县第一中学2019届高三上学期第一次检测】已知定义在 上的函数 ，若 是奇函数，是偶函数，当 时， ，则 A ． B ． C ．0D ．【答案】A【分析】根据题意和函数的奇偶性的性质通过化简、变形，求出函数的周期，利用函数的周期性和已知的解析式求出 的值．【解析】因为 是奇函数， 是偶函数，所以 ，则 ，即 ， 所以 ， 则奇函数 是以4为周期的周期函数， 又当 时， ，所以 ， 故选A ．【名师点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有函数的周期性，函数的奇偶性的定义，正确转化题的条件是解题的关键．11．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三上学期期中考试】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x ∈R 都有33())22(f x f x +=-，当3(,0)2x ∈-时，()f x =12log (1)x -，则(2017)f +(2019)f =A ．1B ．2C ．1-D ．2-【答案】A【分析】根据题意，对33())22(f x f x +=-变形可得()(3)f x f x =-，则函数()f x 是周期为3的周期函数，据此可得(2017)(1)f f =，(2019)(0)f f =，结合函数的解析式以及奇偶性求出(0)f 与(1)f 的值，相加即可得答案．【解析】根据题意，函数()f x 满足任意的x ∈R 都有33())22(f x f x +=-， 则()(3)f x f x =-，则函数()f x 是周期为3的周期函数，所以(2017)(16723)(1)f f f =+⨯=，(2019)(6733)(0)f f f =⨯=， 又由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)0f =， 当3(,0)2x ∈-时，()f x =12log (1)x -，则12(1)log [1(1)]1f -=--=-，则(1)(1)1f f =--=，故(2017)(2019)(0)(1)1f f f f +=+=， 故选A ．12．【甘肃省兰州市第一中学2019届高三9月月考】奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为 A ．2B ．1C ．－1D ．－2【答案】A【分析】根据函数的奇偶性的特征，首先得到 ，进而根据奇函数可得 ，根据 可得 ，即可得到结论．【解析】∵ 为偶函数， 是奇函数，∴设 ， 则 ，即 ，∵ 是奇函数，∴ ，即 ， ， 则 ， ，∴ ， 故选A ．【名师点睛】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴以及周期性是解决本题的关键，属于中档题．13．【陕西省彬州市2019届高三上学期第一次教学质量监测】已知函数()y f x =是奇函数，当0x >时，2()log (1)f x x =-，则(1)0f x -<的解集是A ．(,1)(2,3)-∞-B ．(1,0)(2,3)-C ．(2,3)D ．(,3)(0,1)-∞-【分析】根题设条件，分别求得，当0x >和0x <时，()0f x <的解集，由此可求解不等式(1)0f x -<的解集，得到答案．【解析】由题意，当0x >时，令()0f x >，即2log (1)0x -<，解得12x <<， 又由函数()y f x =是奇函数，函数()f x 的图象关于原点对称， 则当0x <时，令()0f x >，可得2x <-，又由不等式(1)0f x -<，可得112x <-<或12x -<-，解得23x <<或1x <-， 即不等式(1)0f x -<的解集为(,1)(2,3)-∞-，故选A ．【名师点睛】本题主要考查了函数的基本性质的综合应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，以及数列应用函数的奇偶性的转化是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．14．【陕西省榆林市2019届高三第四次普通高等学校招生模拟考试】已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(5)(3)f x f x +=-，如果当[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+，则(766)f =A ．3B ．3-C ．2D ．2-【答案】C【分析】根据(5)(3)f x f x +=-，可得(8)()f x f x +=，即()f x 的周期为8，再根据[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+及()f x 为R 上的偶函数即可求出(766)(2)2f f ==．【解析】由(5)(3)f x f x +=-，可得(8)()f x f x +=，所以()f x 是周期为8的周期函数， 当[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+，所以(96(7682)6)(2)2f f f ⨯-===， 又()f x 是定义在R 上的偶函数，所以2(2)(2)log 42f f -===． 故选C ．15．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期期中考试】已知定义域为R 的奇函数 ，当时， ，当 时， ，则 A ．B ．C ．D ．【分析】由当 时， ，可得，根据奇偶性求出 即可． 【解析】定义域为R 的奇函数 ，当 时， ，则， 则 ．．．， 又当 时， ， — ， 故． 故选B ．16．【重庆市2018-2019学年3月联考】定义在[7,7]-上的奇函数()f x ，当07x <≤时，()26xf x x =+-，则不等式()0f x >的解集为 A ．(2,7]B ．(2,0)(2,7]-C ．(2,0)(2,)-+∞D ．[7,2)(2,7]--【答案】B【分析】当07x <≤时，()f x 为单调增函数，且(2)0f =，则()0f x >的解集为(2,7]，再结合()f x 为奇函数，所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-．【解析】当07x <≤时，()26xf x x =+-，所以()f x 在(0,7]上单调递增，因为2(2)2260f =+-=，所以当07x <≤时，()0f x >等价于()(2)f x f >，即27x <≤，因为()f x 是定义在[7,7]-上的奇函数，所以70x -≤<时，()f x 在[7,0)-上单调递增， 且(2)(2)0f f -=-=，所以()0f x >等价于()(2)f x f >-，即20x -<<， 所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-．故选B ．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性及不等式的解法，属基础题．应注意奇函数在其对称的区间上单调性相同，偶函数在其对称的区间上单调性相反．17．【宁夏平罗中学2019届高三上学期期中考试】已知定义在 上的函数 是奇函数，且当 时，，则 ______________． 【答案】18-【分析】先求(4)f ，再利用函数的奇偶性求4()f -．【解析】由题得22(4)log 4418f =+=，所以(4)(4)18f f -=-=-．18．【重庆南开中学2019届高三第四次教学检测】已知偶函数()f x 的图象关于直线2x =对称，(3)f =则(1)f =______________．【分析】由对称性及奇偶性求得函数的周期求解即可【解析】由题()()(4)f x f x f x =-=-，则函数的周期4T =，则()1f =(1)(1)(3)f f f =-==19．【辽宁省抚顺市2019届高三第一次模拟】已知函数()f x 是奇函数，且当0x <时1()()2xf x =，则(3)f 的值是______________． 【答案】8-【分析】先求(3)f -，再根据奇函数性质得(3)f ． 【解析】因为31(3)()82f --==，函数()f x 是奇函数，所以(3)(3)8f f =--=-．20．【辽宁省朝阳市重点高中2019届高三第四次模拟】已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，且周期为2，若当[0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-，则( 2.5)f -=______________． 【答案】0.25-【分析】根据函数的奇偶性和周期性，求出( 2.5)(0.5)f f -=-，求出函数值即可． 【解析】已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，且周期为2，∴( 2.5)( 2.52)(0.5)(0.5)f f f f -=-+=-=-，∵当[0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-，∴(0.5)0.5(10.5)0.25f =⨯-=，∴( 2.5)0.25f -=-． 21．【陕西省咸阳市2019届高三模拟检测三】已知定义在R 上的奇函数()f x 的图像关于点(2，0)对称，且(3)3f =，则(1)f -=______________．【答案】3【分析】先由函数关于(2，0)对称，求出(1)f ，然后由奇函数可求出(1)f -． 【解析】函数()f x 的图像关于点(2，0)对称，所以(1)(3)3f f =-=-， 又函数()f x 为奇函数，所以(1)(1)3f f =-=-．22．【宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模】若函数2,0()3(),0x x f x g x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩是奇函数，则1()2f -=______________．【答案】 【分析】利用解析式求出1()2f ，根据奇函数定义可求得结果．【解析】由题意知1212()233f ===， ()f x为奇函数，11()()22f f ∴-=-=．23．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟】已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，()lg f x x =，则1(())100f f 的值为______________． 【答案】2lg - 【分析】先求出1()100f 的值，设为a ，判断a 是否大于零，如果大于零，直接求出()f a 的值，如果不大于零，那么根据奇函数的性质()()f a f a =--，进行求解． 【解析】10,100>∴1()100f =21lg()lg102100-==-， 20-<∵，函数()f x 是奇函数，(2)(2)lg 2f f ∴-=-=-，所以1(())100f f 的值为lg2-．24．【山东省滨州市2019届高三第二次模拟（5月）】若函数 为偶函数，则______________．【答案】2-【解析】函数 为偶函数，则 ， 即 恒成立， ．则．【名师点睛】本题主要考查偶函数的性质与应用，对数的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．25．【甘肃省张掖市2019届高三上学期第一次联考】已知()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且(0)0g =，当0x ≥时，2()()22xf xg x x x b -=+++（b 为常数），则(1)(1)f g -+-=______________． 【答案】4-【分析】根据函数的奇偶性，先求b 的值，再代入1x =，求得(1)(1)4f g -=，进而求解(1)(1)f g -+-的值．【解析】由()f x 为定义在R 上的奇函数可知(0)0f =，因为(0)0g =，所以0(0)(0)20f g b -=+=，解得1b =-，所以(1)(1)4f g -=，于是(1)(1)(1[(1)(1)](4)1)f g f g f g =-+=---+=--．【名师点睛】本题考查了函数的奇偶性的应用，涉及了函数求值的知识；注意解析式所对应的自变量区间．26．【陕西省安康市安康中学2019届高三第三次月考】若函数2()e 1x f x a =--是奇函数，则常数 等于______________． 【答案】【分析】由奇函数满足 ，代入函数求值即可． 【解析】 对一切 且 恒成立．恒成立，恒成立．， ．27．【吉林省长春市实验中学2019届高三期末考试】已知函数 是定义在 上的周期为 的奇函数，当时， ，则______________． 【答案】【分析】根据 是周期为4的奇函数即可得到 ＝f (﹣8 )＝f ( )＝﹣f ()，利用当0＜x ＜2时，＝4x，求出，再求出 ，即可求得答案．【解析】∵ 是定义在R 上周期为4的奇函数，∴＝f(﹣8)＝f()＝﹣f()，∵当x∈（0，2）时，，∴＝﹣2，∵是定义在R上周期为4的奇函数，∴＝＝，同时＝﹣，∴＝0，∴﹣2．【名师点睛】考查周期函数的定义，奇函数的定义，关键是将自变量的值转化到函数解析式所在区间上，属于中档题．28．【新疆昌吉市教育共同体2019届高三上学期第二次月考】下列函数：①；②，，；③；④．其中是偶函数的有______________．（填序号）【答案】①【分析】先判断函数的定义域是否关于原点对称可知②，，为非奇非偶函数；再利用偶函数的定义，分别检验①③④是否符合，从而得到结果．【解析】①，为偶函数；②定义域，关于原点不对称，为非奇非偶函数；③，为奇函数；④，为非奇非偶函数；故答案为①．【名师点睛】该题考查的是有关偶函数的选择问题，涉及到的知识点有函数奇偶性的定义，注意判断函数奇偶性的步骤，首先确定函数的定义域是否关于原点对称，再者就是判断与的关系．29．【吉林省长春市吉林省实验中学2019届高三上学期第三次月考】已知，．若偶函数满足（其中，为常数），且最小值为1，则______________．【答案】【分析】利用函数是偶函数，确定，利用基本不等式求最值，确定的值，即可得到结论．【解析】由题意，，，为偶函数，，，，，， ，．30．【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟】已知函数()f x 是定义域为(,)-∞+∞的偶函数，且(1)f x -为奇函数，当[0,1]x ∈时，3()1f x x =-，则29()2f =______________． 【答案】78-【分析】先由题意，()f x 是定义域为(,)-∞+∞的偶函数，且(1)f x -为奇函数，利用函数的奇偶性推出()f x 的周期4T =，可得291()()22f f =-，然后带入求得结果． 【解析】因为(1)f x -为奇函数，所以(1)(1),(2)()f x f x f x f x --=--∴--=-， 又()f x 是定义域为(,)-∞+∞的偶函数，所以()()f x f x -=，即(2)(),(2)()f x f x f x f x --=--∴-=-，所以()f x 的周期4T =，因为295551()(12)()(2)()22222f f f f f =+==--=-，2117()1()228f =-=， 所以297()28f =-．31．【辽宁省大连市2019届高三第二次模拟】已知函数 是定义域为 的偶函数，且 在 ， 上单调递增，则不等式 的解集为______________． 【答案】 ， ，【分析】利用偶函数关于 轴对称， 在 ， 上单调递增，将不等式 转化为 ，即可解得 的解集． 【解析】 函数 是定义域为 的偶函数，可转化为 ， 又 在 ， 上单调递增，，两边平方解得 ， ， ， 故 的解集为 ， ， ．32．【辽宁省大连市2019届高三下学期第一次双基测试】已知定义在R 上的函数()f x ，若函数(1)f x +为偶函数，函数(2)f x +为奇函数，则20191()i f i ==∑______________．【答案】0【分析】根据函数(1)f x +为偶函数，函数(2)f x +为奇函数可得()(2)f x f x -=+和()(4)f x f x --=+，可得(4)()f x f x +=，则函数()f x 是周期为4的周期函数，结合函数的对称性可得(1)(3)0f f +=且(2)(0)(4)0f f f ===，从而可得结果．【解析】根据题意，(1)f x +为偶函数，则函数()f x 的图象关于直线1x =对称， 则有()(2)f x f x -=+，若函数(2)f x +为奇函数，则函数()f x 的图象关于点(2,0)对称， 则有()(4)f x f x --=+，则有(4)(2)f x f x +=-+， 设2t x =+，则(2)()f t f t +=-， 变形可得(4)(2)()f t f t f t +=-+=， 则函数()f x 是周期为4的周期函数， 又由函数()f x 的图象关于点(2,0)对称， 则(1)(3)0f f +=且(2)0f =， 则有(2)(0)0f f =-=， 可得(4)0f =，则20191(1)(2)(019))(2i f i f f f ==+++∑[12(3)4][(2013)(2014()()(2015)(2016]))()f f f f f f f f =+++++++++[(2017)(2018)(201()9)]12((0)3)f f f f f f ++=++=，故答案为0．33．【内蒙古呼和浩特市2019届高三上学期期中调研】已知函数 与 都是定义在 上的奇函数，当 时， ，则的值为______________． 【答案】2【分析】根据题意，由 是定义在R 上的奇函数可得 ，结合函数为奇函数，分析可得 ，则函数是周期为2的周期函数，据此可得，结合函数的解析式可得的值，结合函数的奇偶性与周期性可得 的值，相加即可得答案． 【解析】根据题意 是定义在R 上的奇函数，则 的图象关于点（﹣1，0）对称， 则有 ，又由 是R 上的奇函数，则 ，且 ，则有，即，则函数是周期为2的周期函数，则，又由＝log2＝﹣2，则＝2，，故＝2+0＝2．。
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期开学考试数学(理)试题(精编含解析)
哈师大附中高三上学期第一次月考数学试卷（理）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若全集，集合，，则等于（）A. B. 或C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题意得，或，，∴或，故选B．考点：集合的运算．2.若复数z满足,i为虚数单位,则z的虚部为（）A. -2iB. -2C. 2D. 2i【答案】B【解析】【分析】设复数z=a+bi，代入等式，利用复数相等，求得a，b，得到答案．【详解】设复数z=a+bi，则（1+2i）（a+bi）=5，即a﹣2b+（2a+b）i=5，所以解得，所以z=1﹣2i，所以复数z 的虚部为﹣2；故答案为：B．【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.3.与函数相同的函数是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：A中对应关系不同；B中定义域不同；C中定义域不同；D中对应关系，定义域均相同，是同一函数考点：函数是同一函数的标准4.幂函数在上单调递增，则的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 2或4【答案】C【解析】【分析】根据幂函数的定义与性质，列出不等式与方程，即可求出m的值．【详解】由题意得：解得,∴m=4．故选：C．【点睛】这个题目考查的是幂函数的单调性问题，幂函数在第一象限的单调性和p有关系，当时函数单调递增，当时函数单调递减，至于其它象限的单调性，需要结合函数的奇偶性和图像来分析. 5.函数的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出函数的定义域，根据函数在1两侧的极限可排除选项，也可以再取特殊值判断．【详解】f（x）=的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），当自变量从左侧趋向于1时，函数值趋向于﹣∞，排除CD，当自变量从右侧趋向于1时，函数值仍然趋向于﹣∞，排除A，或者取特殊值，当x=时，f（x）=-2ln2＜0，也可以排除A项，故选：B.【点睛】这个题目考查了已知函数的解析式求函数的图像，常见的方法是，通过解析式得到函数的值域和定义域，进行排除，由解析式得到函数的奇偶性和轴对称性，或者中心对称性，进行排除，还可以代入特殊点，或者取极限.6.下列关于命题的说法错误的是（）A. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；B. “”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件；C. 若命题，则；D. 命题“”是假命题.【答案】C【解析】对于，命题“若，则”的逆否命题为“若，则”正确；对于，只要时，函数在区间上为增函数，故正确；对于，若命题，则故错误；对于，根据幂函数图象得“时，”，故正确，故选C.7.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由指数函数的性质可得，结合对数函数的性质有，综上可得，.本题选择A 选项.8.已知定义在上的奇函数满足，当时，则（ ）A. B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】函数满足可知周期，，，，故可比较大小.【详解】因为满足，所以，所以周期，所以，，,故选B.【点睛】本题主要考查了函数的周期性及函数的奇偶性，属于中档题.9.若函数在其定义域上为增函数，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】函数为定义域上的增函数，则都为增函数，且满足即可求出.【详解】因为分段函数为增函数，所以需满足，解得，故选B.【点睛】本题主要考查了分段函数的增减性，属于中档题.解决此问题需要每段都是增函数且在分界点左侧的函数值要小于等于右侧的函数值.10.已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】函数h（x）=f（x）﹣mx+2有三个不同的零点，即为f（x）﹣mx+2=0有三个不同的实根，可令y=f（x），y=g（x）=mx﹣2，分别画出y=f（x）和y=g（x）的图象，通过图象观察，结合斜率公式，即可得到m的范围．【详解】函数h（x）=f（x）﹣mx+2有三个不同的零点，即为f（x）﹣mx+2=0有三个不同的实根，可令y=f（x），y=g（x）=mx﹣2，分别画出y=f（x）和y=g（x）的图象，A（0，﹣2），B（3，1），C（4，0），则g（x）的图象介于直线AB和AC之间，介于k AB＜m＜k AC，可得＜m＜1．故选：A．【点睛】本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.11.已知函数，给出以下四个命题：①，有；②且，有；③，有；④，.其中所有真命题的序号是（）A. ①②B. ③④C. ①②③D. ①②③④【答案】D【解析】对于①，，正确；对于②，因为和都是上的增函数，所以是上的增函数，故正确；对于③在上是增函数，所以函数是上凸的，故正确；对于④设，则当时，，在上是增函数，所以时，，即，由奇函数性质知，，都有.故正确的命题①②③④，选D.12.已知函数，若有且只有两个整数使得，且，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.当时，，则在上单调递增，且，所以有无数整数解，不符合题意；当时，即,由，得.则在上单调递增，在上单调递减，,根据题意有：即可，解得综上：.故选B.点睛：研究大于0的整数解，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13.设函数，则=_________．【答案】0【解析】【分析】根据解析式得到2>1,故f(2)代第二段解析式得到数值0，f(0)=0，代第一段解析式得到0.【详解】根据分段函数的解析式得到：2>1,故f(2)代第二段解析式,.【点睛】这个题目考查了已知分段函数的解析式，求函数值，通常是通过解析式和定义域，判断出自变量属于的区间，再将自变量代入即可.14.若函数的定义域是，则函数的定义域为________．【答案】【解析】试题分析：由题意，得，解得，即函数函数的定义域为．考点：1、函数的定义域；2、对数函数的图象与性质．【方法点睛】已知抽象函数的定义域，求的定义域，其中的关键是，后者的相当于前者的，即转化为求不等式的解集，即为的定义域；而求内函数在区间的值域（的取值范围），即为的定义域．15.已知函数，若存在，当时，，则的最小值为_____________．【答案】【解析】【分析】作出函数图象，根据图象及确定的取值范围，再根据转化为关于的式子，求其范围即可.【详解】作出函数图象如下图：令得，因为存在，当时，，所以由图象知，又，令故当时，，故填.【点睛】本题主要考查分段函数的应用，以及函数零点与方程之间的关系，属于难题.通过图象求出变量的取值范围后，利用二次函数求最值是解决本题的关键.16.设，已知函数是定义域为的偶函数，当时，若关于的方程有且只有个不同实数根，则的取值范围是．【答案】【解析】试题分析：函数的图象如下图所示，由图可知，若关于的方程有且只有个不同实数根，则关于的的一元二次方程的两根，其中一根为1，另一根在开区间内，所以，有所以，所以答案应填：．考点：1、分段函数；2、指数函数与对数函数；3、函数与方程的思想．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.设函数.（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若存在使不等式成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．【解析】试题分析：（1）结合不等式分类讨论即可求得不等式的解集；（2）利用零点分段求得的最小值，结合题意即可求得实数的取值范围．试题解析：（1）当时，显然不成立当时，平方得：综上：（2）若存在使不等式成立，即的最小值小于等于.∴，则18.已知曲线的参数方程是（为参数），曲线的参数方程是（为参数）．（Ⅰ）将曲线，的参数方程化为普通方程；（Ⅱ）求曲线上的点到曲线的距离的最大值和最小值．【答案】（Ⅰ）曲线C1的普通方程是，曲线C2的普通方程是2x+3y﹣10=0．（Ⅱ）最大值为，最小值为．【解析】试题分析：（1）利用平方法将的参数方程消去参数可得到曲线普通方程，利用代入法将的参数方程消去参数可得到的普通方程；（2）根据曲线的参数方程设点为曲线上任意一点，利用点到直线距离公式求出点到直线的距离，利用三角函数的有界性可得曲线上的点到曲线的距离的最大值和最小值.试题解析：（1）曲线的参数方程是 (为参数)，则，∵，可得，∴曲线的普通方程是；曲线的参数方程是（为参数)，消去参数，，代入，即∴曲线的普通方程是.（2）设点为曲线上任意一点，则点到直线的距离为，则∵∴∴19.为选拔选手参加“中国谜语大会”，某中学举行了一次“谜语大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中的的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取3名学生参加“中国谜语大会”，设随机变量表示所抽取的3名学生中得分在内的学生人数，求随机变量的分布列及数学期望.【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）分布列见解析，期望为．【解析】【分析】（Ⅰ）由样本容量与频率频数的关系即可得出答案（Ⅱ）由题意可知分数在内的学生有5人，记这5人分别为，分数在内的学生有2人，记这2人分别为，列举即可得出.【详解】（Ⅰ）由题意得，.（Ⅱ）由题意可得X的可能取值为1,2,3,,X的分布列X123P所以．【点睛】本题主要考查了列举法求古典概型的概率，涉及频率分布直方图、分布列、期望，属于中档题. 20.已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点的动直线与椭圆相交于两点．当△的面积最大时，求直线的方程．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）或．【解析】【分析】（1）通过离心率得到关系，代入A求出，即可写出椭圆方程（2）设出直线方程,代入椭圆方程后得一元二次方程，根据求k的取值范围，利用弦长公式及点到直线的距离公式表示出三角形的面积，换元后求其最值即可.【详解】(1)设F(c,0)，由条件知，＝，得c＝.又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.故E的方程为＋y2＝1.(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．将y＝kx－2代入＋y2＝1消去y整理得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时，|PQ|＝|x1－x2|＝.又点O到直线PQ的距离d＝.所以△OPQ的面积S△OPQ＝d·|PQ|＝.设＝t，则t>0，S△OPQ＝＝.因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ>0.所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为或.【点睛】本题主要考查了椭圆及直线与椭圆的位置关系，属于难题.求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立的方程，求出即可，注意的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．21.设函数（）．（Ⅰ）若在处取得极值，求实数的值，并求此时曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若在上为减函数，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ），切线方程为3x－e y＝0．（Ⅱ）a的取值范围为．【解析】【分析】(Ⅰ)根据可求，根据导数的几何意义可求切线的斜率（Ⅱ）由函数在区间上单调递减，知导函数在区间上小于等于零恒成立，可分类讨论二次函数求a的范围.【详解】(Ⅰ)对f(x)求导得f′(x)＝＝.因为f(x)在x＝0处取得极值，所以f′(0)＝0，即a＝0.当a＝0时，f(x)＝，f′(x)＝，由f′(x)>0得0<x<2；由f′(x)<0得x<0或x>2,故a=0时在处取得极值．此时可得f(1)＝，f′(1)＝，所以曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝ (x－1)，即3x－e y＝0.(Ⅱ)由(Ⅰ)知f′(x)＝，令g(x)＝－3x2＋(6－a)x＋a，由g(x)＝0，解得x1＝，x2＝.当x<x1时，g(x)<0，即f′(x)<0，故f(x)为减函数；当x1<x<x2时，g(x)>0，即f′(x)>0，故f(x)为增函数；当x>x2时，g(x)<0，即f′(x)<0，故f(x)为减函数．由f(x)在[3，＋∞)上为减函数，知x2＝≤3，解得a≥－.故a的取值范围为.【点睛】本题主要考查了导数的运算法则，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想，分离参数的方法，推理能力与计算能力，属于难题.22.已知函数，，,令.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.【答案】（Ⅰ）增区间为，减区间为．（Ⅱ）整数的最小值为2.【解析】【分析】（1）先求出函数定义域，然后求导，通过导数大于零得到增区间，导数小于零得到减区间（2）关于的不等式恒成立，即为恒成立，令，求导数，求得单调区间，讨论m的符号，由最大值小于等于0，通过分析即可得到m的最小值.【详解】（1）由题意得函数的定义域为，∵，∴．①当时恒成立，在上是增函数.②当时，由，解得；由，解得．∴函数的增区间为，减区间为．（2）法一：令.所以.当时，因为，所以所以在上是递增函数，又因为.所以关于的不等式不能恒成立.当时，.令得，所以当时，；当时，，因此函数在是增函数，在是减函数.故函数的最大值为.令，因为，，又因为在上是减函数，所以当时，.所以整数的最小值为2.法二：由恒成立知恒成立，令，则，令，因为，，则为增函数.故存在，使，即，当时，，为增函数，当时，，为减函数.所以，而，所以，所以整数的最小值为2.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的基本思路，不等式恒成立问题转化为函数最值问题来求解的方法，属于难题.。
数学丨黑龙江省哈尔滨市师范大学附属中学2025届高三上学期11月期中考试数学试卷及答案
哈师大附中2024—2025学年度高三上学期期中考试数学试题考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟．1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷(选择题,共58分)一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2|230A x x x =-+≤，(){}2ln 2B x y x==-，则A B = （）A ．()13，B．3⎡-⎣C．⎡⎤⎣⎦D．(⎤⎦2．复数2025z=2025i -在复平面内对应的点所在的象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.函数()2cos f x x x =+在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（）A.2πB .2C.6π+ D.13π+4．已知a 是单位向量，则“||||1a b b +-= 是“a b∥”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.已知函数()()e 1x a xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()1,0-上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．[)0,+∞B ．[)2,-+∞C ．(],0-∞D ．(],2-∞-6.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3614S S =，则1236SS S =+（）A.43B.8C.9D.167.菱形ABCD 边长为2，P 为平面ABCD 内一动点，则()()PA PB PC PD +⋅+的最小值为()A.0B.2- C.2D.4-8.已知函数()f x 为偶函数，且满足(13)(13)f x f x -=+，当(0,1)x ∈，()31xf x =-，则323(log )f 的值为（）A.31B.5932C.4932D.21132二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.函数()2sin(1)3f x x πωω=+≤的图象如图所示，则下列说法中正确的是（）A ．1ω=B ．函数的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．将()y f x =向左平移3π个单位长度，得到函数()2cos(6g x x π=+D ．若方程(2)f x m =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不相等的实数根，则m的取值范围是2⎤⎦10．设正实数,m n 满足1m n +=，则（）A ．1m nm+的最小值为3B+C的最小值为12D ．33m n +的最小值为1411.已知函数1()(0)xf x x x =>,则下列说法中正确的是（）A.方程1()(f x f x=有一个解B.若()()g x f x m =-有两个零点，则10em e<<C.若21()(log ())2a h x x f x =-存在极小值和极大值，则(1,e)a ∈D.若()0f xb -=有两个不同零点，2(())()0f x b x cx d --+≤恒成立，则2ln b c <<第Ⅱ卷(非选择题,共92分)三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上．12.中国冶炼块铁的起始年代虽然迟至公元前6世纪，约比西方晚900年，但是冶炼铸铁的技术却比欧洲早2000年.现将一个轴截面为正方形且侧面积为π36的实心圆柱铁锭冶炼熔化后，浇铸成一个底面积为π81的圆锥，则该圆锥的高度为.13．已知某种科技产品的利润率为P ，预计5年内与时间(t 月)满足函数关系式(t P ab =其中a b 、为非零常数).若经过12个月，利润率为10%，经过24个月，利润率为20%，那么当利润率达到50%以上，至少需要经过________________个月(用整数作答，参考数据：lg 20.3010)≈14.已知b 为单位向量，,a c 满足42a b c b ⋅=-= ，则12a c -的最小值为四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本小题13分）在△ABC 中，a b c 、、分别为角A B C 、、所对的边，且22()b a a c c -=-(1)求角B .(2)若b =△ABC 周长的最大值.16.（本小题15分）已知数列{}n a 满足*3212122,N 22n n a a a n a n -++++=∈ (1)求{}n a 的通项公式；(2)在n a 和1n a +之间插入n 个数，使得这2n +个数依次构成公差为n d 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．17．（本小题15分）行列式在数学中是一个函数，无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用．将形如11122122a a a a 的符号称二阶行列式，并规定二阶的行列式计算如下：1112112212212122a a a a a a a a =-，设函数22sin sin ()()π26cos()x xf x x x =∈+R ．(1)求()f x 的对称轴方程及在[0,]π上的单调递增区间；(2)在锐角ABC ∆中，已知()32f A =-,2133AD AB AC =+，cos B =，求tan BAD ∠18.（本小题17分）已知数列}{n a 满足111,,333,n n na n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩为奇数为偶数（*∈N n ）.(1)记232-=n n a b （*∈N n ），证明：数列}{n b 为等比数列，并求}{n b 的通项公式；(2)求数列}{n a 的前n 2项和n S 2；(3)设12121--=+n n n b b c （*∈N n ），且数列}{n c 的前n 项和为n T ，求证：1133ln --<-n n n n T （*∈N n ）.19.（本小题17分）已知函数ln ()sin ,(0,)x a f x e x x -=-∈+∞.(1)当a e =时，求()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程；(2)若32(())(())ln(1())0f x f x f x -++≥恒成立，求a 的范围；(3)若()f x 在(0,)π内有两个不同零点12,x x ，求证：122x x ππ<+<2024—2025学年度上学期高三学年期中考试数学答案一、单选题1.D 2.D 3.A 4.A 5.D 6.B7.D8.C二、多选题9.AC 10.ABD 11.ACD 三、填空题12.213.4014.1四、解答题15.（1）22()b a a c c -=-即222b a c ac =+-∵2222cos b a c ac B =+-∴1cos 2B =，又(0,)B π∈∴3B π=（2）由sin sin a c AC =可得，2sin a A =，2sin c C=2sin 2sin l a b c A C =++=+∵2+3A C π=∴23C Ap =-∴22sin 2sin()3l a b c A A π=++=+-3sin A A =)6A π=+∵203A π<<∴l的最大值为16.(1)321212222nn na a a a -++++= 当2n ≥时，312122)2222(1n n a a a n a --++++=- 两式相减，得122nn a -=，即2n n a =.又当1n =时，12a =符合题意，所以2n n a =.(2)由（1）得2n n a =，所以11222111n n nn n n b b d n n n ++--===+++，则112nn n d +=，所以()123111123412222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()12341111112341222222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得：()()112111111111113342211112222222212n n n nn n n T n n ++++⎛⎫- ⎪+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=⋅++⋅⋅⋅+-+=+-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-，所以332n nn T +=-．17.（1）221()2sin cos()2sin 2sin (cos sin )2sin 226f x x x x x x x xπ=+-=--23323sin sin 2(1cos 2)sin(2)22232x x x x x π=---+-，由22,32x k k πππ+=+∈Z ，得,12x k k ππ=+∈Z ，所以()f x 的对称轴为ππ()122kx k =+∈Z .由222,232k x k k πππππ-+<+<+∈Z ，[]0,x π∈，所以单调递增区间为701212πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，（2）由（1）知，33())322f A A π=+-=-，则πsin(2)03A +=，由02A π<<，得ππ4π2333A <+<，则π23A π+=，解得π3A =，因为ABC V中，cos B =，则B 为锐角，所以sin 3B ===，因为π3A =，πA B C ++=，所以2π3C B =-，所以2π2π2π11sin sin sin cos cos sin 333232326C B B B ⎛⎫=-=-=⨯+⨯=+⎪⎝⎭，设BADθ∠=，则π3 CADθ∠=-，在ABD△和ACD中，由正弦定理得sin sinBD ADBθ==πsinsin3CD ADCθ=⎛⎫-⎪⎝⎭因为2CD BD=(π3sin3θθ⎛⎫-=+⎪⎝⎭，(1cos sin3sin22θθθ⎫-=+⎪⎪⎭(2sinθθ=+，所以tan tanBADθ∠==18.（1）证明：2123123)1231(231212221-+=-++=-=++++nanaabnnnnnnnnbaanna31)23(312131212)6(31222=-=-=-+-=，又212313123121=-+=-=aab，所以，数列}{nb为以21为首项，31为公比的等比数列.（2）由（1）可知13121-⎪⎭⎫⎝⎛=nnb，又232-=nnab，23312112+⎪⎭⎫⎝⎛=∴-nna.设nnaaaP242++=，则nnPnnn233143432331131121+⎪⎭⎫⎝⎛-=+-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=，设1231-++=nnaaaQ ，1231122-+=-naann，2312)121(31nQnnQPnnn+=-+⋅+=∴，233nPQnn-=∴，故21223631334nnnPQPSnnnnn-+⎪⎭⎫⎝⎛-=-=+=-.（3）nnnnnnnc321132113331311311-<--=--=-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛=-，n n n n n n n T 311311()313131(22+-=--=+++-<∴ ，所以欲证1133ln --<-n n n n T ，只需证)311ln(313ln 133ln 31n n n n n n --=--=-<，即证n n 31311ln(-<-.设)0,1(),1ln()(-∈+-=x x x x f ，01)(<+='∴x xx f ，故)(x f 在)0,1(-上单调递减，0)0()(=>f x f ，)0,1(-∈∴x 时，)1ln(x x +>.)0,31[31-∈-n ，n n 31311ln(-<-∴得证.19.1) =s =K1−sins 0=−1,n =K1−coss n 0=−1−1∴−−1=−1−12）3−2+ln 1+≥0.令=s 3−2+ln 1+≥0(1)t >-令=3−2+ln 1+,n =32−2+1r1=33+2−2r1r1，当≥0,'≥0∴在0,+∞单调递增，当()32322(0,1),ln 1(1)0t t t t t t t t t t ∈+++<++=++<∴≥0解集为≥0∴≥0>0,sins1≥sin=ℎ. ℎ' = cosKsin =, ∴ 在 单调递增, (4,54)单调递减,当>54时,ℎ<154∴ℎ=224∴1≥224,0<≤243）ℎ=sin ∴sin=1有两个根1,2。
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期期中考试数学(文)试题
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期期中考试数学（文）试题注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|x2+x-2＜0}，集合＞，则A∩B=（）A. B.C. D.2.已知2sinθ+cosθ=0，则sinθcosθ-cos2θ的值（）A. B. C. D.3.已知向量=（1，），向量，的夹角是，•=2，则||等于（）A. B. 4 C. 2 D.4.若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列说法中正确的是（）A. ，，B. ，C. ，，D. ，，5.已知角α的终边经过点P（2，1），则sin（α+）的值为（）A. B. C. D.6.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为（）A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺7.函数f（x）=A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度8.直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB AC，AB=AC=AA1，则直线A1B与AC1所成角的大小为（）A. B. C. D.9.若函数在区间（a-1，a+1）上单调递减，且b=1g0.3，c=20.3，则（）A. B. C. D.10.已知等比数列{a n}中，a3=2，a4a6=16，则=（）A. 16B. 8C. 4D. 211.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D. 212.已知定义域为R的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=2f（x+3），当-3＜x≤0时，f（x）=log3（1-x），则f（2018）=（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若函数f（x）=，则f（f（-2））=______．＜14.已知sin（）=，则sinθ=______．15.已知向量=（1，2），=（-3，2），若（k+）∥（-3），则实数k的取值为______．16.已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3cos A cos C（tan A tan C-1）=1．（Ⅰ）求sin B的值；（Ⅱ）若a+c=3，b=，求△ABC的面积．18.若数列{a n}的前n项和S n满足2S n=3a n-1（n∈N*），等差数列{b n}满足b1=3a1，b3=S2+3．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设c n=，求数列{c n}的前n项和为T n．19.如图，在四棱锥S-ABCD中，侧棱SA底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB AD，且SA=AB=BC=2，AD=1，M是棱SB的中点．（Ⅰ）求证：AM∥平面SCD；（Ⅱ）求三棱锥B-MAC的体积．20.已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，其离心率e=，焦距为4．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若直线A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，AC与BD相交于点F1，且=0，当||+||=时，求直线AC的方程．21.已知函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若g（x）=f（x）+a ln x在（0，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）证明：＜（n∈N*，n≥2）．22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x+y=1与曲线C2：（φ为参数，φ∈[0，2π））．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（I）写出曲线C1，C2的极坐标方程；（II）在极坐标系中，已知点A是射线l：θ=α（ρ≥0）与C1的公共点，点B是l 与C2的公共点，当α在区间[0，]上变化时，求的最大值．23.已知函数f（x）=|2x-|+|2x+|．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值a；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设m，n∈R+，且m+n=1，求证：．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A={x|x2+x-2＜0}={x|（x+2）（x-1）＜0}={x|-2＜x＜1}，={x|-1＜x＜1且x≠0}，则A∩B=（-1，0）（0，1），故选：D．分别求出关于A、B的不等式，求出A、B的交集即可．本题考查了集合的交集的运算，考查不等式问题，是一道基础题．2.【答案】A【解析】解：∵2sinθ+cosθ=0，∴tanθ=-，∴sinθcosθ-cos2θ====-．故选：A．根据一个角的正弦和余弦之间的关系，得到角的正切值，把所给的三角函数式加上一个分母1，变成同角的正弦与余弦的平方和，变成正切，得到结果．本题考查同角的三角函数之间的关系，本题解题的关键是熟练应用切与弦之间的互化问题，本题是一个基础题．3.【答案】C【解析】解：∵向量=（1，），∴||==2；又向量的夹角是，•=2，∴||•||•cos=2||•=2，∴||=2．故选：C．根据平面向量数量积运算的定义，即可求出对应的模长．本题考查了平面向量数量积的应用问题，是基础题目．4.【答案】C【解析】解：由m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：在A中，由α∥β，mα，nβ，得m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，由αγ，βγ，得α与β相交或平行，故B错误；在C中，由α∥β，m∥n，mα，利用线面垂直的判定定理得nβ，故C正确；在D中，由α∩β=m，β∩γ=n，m∥n，得α与β相交或平行，故D错误．故选：C．在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，α与β相交或平行；在C中，利用线面垂直的判定定理得nβ；在D中，得α与β相交或平行．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．5.【答案】D【解析】解：角α的终边经过点P（2，1），可得cosα==．则sin（α+）=cosα=．故选：D．利用诱导公式化简所求的三角函数，通过三角函数的定义求解即可．本题考查三角函数的定义，诱导公式的应用，是基本知识的考查．6.【答案】B【解析】解：设此等差数列{a n}的公差为d，则a1+a4+a7=3a1+9d=31.5，9a1+d=85.5，解得：d=-1，a1=13.5．则a12=13.5-11=2.5．故选：B．设此等差数列{a n}的公差为d，则a1+a4+a7=3a1+9d=31.5，9a1+d=85.5，解得：d，a1．利用通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象可得A=1，=-，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=π，求得φ=，故f（x）=2sin（2x+）．故把f（x）=2sin（2x+）的图象向左平移个单位长度，可得y=2sin[2（x+）+]=2sin（2x+）=2cos2x的图象，故选：C．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：如图，不妨设AB=AC=AA1=1，则A（0，0，0），B（1，0，0），A1（0，0，1），C1（0，1，1），，，cos＜＞=，则直线A1B与AC1所成角的大小为60°．故选：B．以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出与的坐标，利用数量积求夹角公式求解．本题考查异面直线所成角，训练了两角空间向量求解空间角，是基础题．9.【答案】D【解析】解：由5+4x-x2＞0，可得-1＜x＜5，函数t=5+4x-x2的增区间为（-1，2），要使在区间（a-1，a+1）上单调递减，则，即0≤a≤1．而b=1g0.3＜0，c=20.3＞1，∴b＜a＜c．故选：D．求出原函数的定义域，再求出内函数二次函数的增区间，由题意列关于a的不等式组，求得a的范围，结合b=1g0.3＜0，c=20.3＞1得答案．本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．10.【答案】C【解析】解：等比数列{a n}中，a3=2，a4a6=16，∴，解得q2=2，a1=1，∴==q4=4，故选：C．由题意可得，解得q2=2，a1=1，则=q4=4，问题得以解决本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题11.【答案】A【解析】解：几何体的直观图，是长方体的一部分，棱锥P-ABCD，所以几何体的体积为：=．故选：A．画出几何体的直观图，是长方体的一部分，棱锥P-ABCD，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．12.【答案】B【解析】解：∵f（x）=2f（x+3），∴f（x-3）=2f（x），即f（x）=f（x-3），∴f（x）=f（x-3）=f（x-2×3）=f（x-3×3）=…=f（x-n×3），∴f（2018）=f（2018-672×3）=f（2）=[-f（-2）]=-log3[1-（-2）]=-．故选：B．∵f（x）=f（x-3）=f（x-2×3）=f（x-3×3）=…=f（x-n×3），∴f（2018）=f（2018-672×3）=f（2）=[-f（-2）]，本题考查了函数奇偶性的性质与判断，属中档题．13.【答案】【解析】解：∵函数f（x）=，∴f（f（-2））=f（）=，故答案为：由函数f（x）=，将x=-2代入计算可得答案．本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题．14.【答案】【解析】解：∵sin（）=，∴sinθ=cos（）=cos2（）=．故答案为：．由已知直接利用诱导公式及倍角公式求解．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及倍角公式的应用，是基础题．15.【答案】-【解析】解：∵=（1，2），=（-3，2），∵k=k（1，2）+（-3，2）=（k-3，2k+2），-3=（10，-4）∵（k+）∥（-3），∴-4（k-3）+10（2k+2）=0，∴k=-，故答案为：首先要表示出向量，再代入向量平行的坐标形式的充要条件，得到关于字母系数的方程，解方程即可．此题是个基础题．考查平面向量共线的坐标表示，同时考查学生的计算能力，要注意与向量垂直的坐标表示的区别16.【答案】【解析】解：设正△ABC的中心为O1，连结O1O、O1C、O1E、OE，∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三点都在球面上，∴O1O平面ABC，结合O1C平面ABC，可得O1O O1C，∵球的半径R=2，球心O到平面ABC的距离为1，得O1O=1，∴Rt△OOC中，O1C==．1又∵E为AB的中点，∴正△ABC中，O1E=O1C=．∴Rt△OO1E中，OE===．∵过E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的半径最小，∴当截面与OE垂直时，截面圆的面积有最小值．此时截面圆的半径r===，可得截面面积为S=πr2=．故答案为：．设正△ABC的中心为O1，连结O1O、O1C、O1E、OE．根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，结合题中数据算出OE．而经过点E的球O的截面，当截面与OE垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值．本题已知球的内接正三角形与球心的距离，求经过正三角形中点的最小截面圆的面积．着重考查了勾股定理、球的截面圆性质与正三角形的性质等知识，属于中档题．17.【答案】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵由3cos A cos C（tan A tan C-1）=1，得：3cos A cos C（-1）=1，∴3（sin A sin C-cos A cos C）=1，∴cos（A+C）=-，∴cos B=，又∵0＜B＜π，∴sin B=．…………（6分）（Ⅱ）由余弦定理得：cos B==，∴=，又a+c=3，b=，ac=9，∴S△ABC=ac sin B=3．…………（12分）【解析】（Ⅰ）由已知利用三角函数恒等变换的应用可求cosB=，结合范围0＜B＜π，可求sinB=．（Ⅱ）由余弦定理结合已知可求ac的值，再根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.【答案】解：（1）当n=1时，2S1=3a1-1，∴a1=1，当n≥2时，2a n=2S n-2S n-1=（3a n-1）-（3a n-1-1），即a n=3a n-1，∵a1=1≠0，∴数列{a n}是以a1=1为首项，3为公比的等比数列，∴ ，设{b n}的公差为d，b1=3a1=3，b3=S2+3=7=2d+3，d=2．∴b n=3+（n-1）×2=2n+1；（2）∵c n==，∴ ①②由①-②得，=．∴．【解析】（1）由数列递推式求出a1，在数列递推式中取n=n-1得另一递推式，作差后得到数列{a n}为等比数列，则数列{a n}的通项公式可求，再由b1=3a1，b3=S2+3求出数列{b n}的首项和公差，则{b n}的通项公式可求；（2）把数列{a n}、{b n}的通项公式代入c n=，直接由错位相减法求数列{c n}的前n项和为T n．本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．19.【答案】（Ⅰ）证明：∵SA底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB AD，∴AD，AB，AS两两互相垂直．以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（1，0，0），S（0，0，2），M（0，1，1）．，，，，，，，，，设平面SCD的一个法向量为，，，则，令z=1，得，，，∴，即．∵AM⊄平面SCD，∴AM∥平面SCD．（Ⅱ）解：∵SA底面ABCD，∴SA BC，又BC AB，SA∩AB=A，∴BC平面SAB．∴△ ．【解析】（Ⅰ）以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出的坐标与平面SCD的一个法向量，由数量积为0证明，从而得到AM∥平面SCD．（Ⅱ）直接利用等体积法求三棱锥B-MAC的体积．本题考查线面垂直的判定，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20.【答案】（Ⅰ）由已知，e==，2c=4，∴c=2，a=4，∴b2=a2-c2=12，故椭圆方程为+=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知F1（-2，0），AC BD，①当直线AC，BD中一条直线斜率不存在时，|AC|+|BD|=14，不合题意；②当直线AC斜率为k，k≠0时，其方程为y=k（x+2），将该方程带入椭圆方程并整理得（3+4k2）x2+16k2x+16k2-48=0，若设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=，∴|AC|=|x1-x2|=•=；直线BD的方程为y=-（x+2），同理可得|BD|=；∴|AC|+|BD|=+=，解得k2=1，即直线AC的方程为y=±（x+2）．【解析】（1）由椭圆的离心率公式和c=2，解方程可得a，b，进而得到所求椭圆方程；（2）讨论直线AC，BD的斜率是否存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用弦长公式，解方程即可得到所求方程．本题考查三角形的面积公式，椭圆离心率的概念，椭圆的标准方程，a，b，c三个系数的几何意义，直线的点斜式方程，以及弦长公式，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=．∴x＞0，，f x=0x=1因此增区间（，），减区间（，），极大值（），无极小值．………（分）（Ⅱ）∵g（x）=f（x）+a ln x=+a ln x在（0，+∞）上为增函数，∴+=≥0对∀x＞0恒成立，∴ax-ln x≥0对∀x＞0恒成立，∴a≥对∀x＞0恒成立，∴a≥（）max，x∈（0，+∞），令h（x）=，x∈（0，+∞），则=，∵ln x＜1，x∈（0，e），∴h （x）＞0，x∈（0，e），从而h（x）在（0，e）递增；另外，ln x＞1，x∈（e，+∞），∴h （x）在（e，+∞）递减．综上，h（x）max=h（e）==，故a．∴实数a的取值范围是[，+∞）．…………（8分）证明：（Ⅲ）由（Ⅰ）可得f（x）=≤f（x）max=f（1）=1，∴，当且仅当x=1时取等号．令x=n2，（n∈N*，n≥2），∴＜1-，∴＜＜=，（n≥2），∴＜（1-）==（n∈N*，n≥2）．…………（12分）【解析】（Ⅰ）推导出x＞0，，由f′（x）=0，得x=1，列表讨论，能求出函数f（x）的单调区间和极值．（Ⅱ）推导出+=≥0对∀x＞0恒成立，从而a≥对∀x＞0恒成立，进而a≥（）max，x∈（0，+∞），令h（x）=，x∈（0，+∞），则=，利用导数性质能求出实数a的取值范围．（Ⅲ）f（x）=≤f（x）max=f（1）=1，，当且仅当x=1时取等号．令x=n2，（n∈N*，n≥2），推导出＜＜=，（n≥2），由此能证明：（n∈N*，n≥2）．本题考查函数的单调区间和极值的求法，考查实数的取值范围的求法，考查不等式的证明，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）∵曲线C1：x+y=1，∴曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=1，即，∵曲线C2：（φ为参数，φ∈[0，2π）），∴曲线C2的普通方程为（x-2）2+y2=4，即x2+y2-4x=0，∴曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知|OA|=ρA=，|OB|=ρB=4cosθ，=4cosα（cosα+sinα）=2（1+cos2α+sin2α）=2+2sin（2），由0≤α≤，知，当2=，∴时，有最大值2+2．【解析】（Ⅰ）由曲线 C1：x+y=1，能求出曲线 C1的极坐标方程；∵曲线 C2的参数方程消去参数φ，得到曲线C2的普通方程，由此能求出曲线C2的极坐标方程．（Ⅱ）|OA|=ρA=，|OB|=ρB=4cosθ，从而=4cosα（cosα+sinα）=2+2sin（2），由此利用0≤α≤，求出当时，有最大值2+2．本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查两线段比值的最大值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23.【答案】解：（Ⅰ）f（x）=|2x-|+|2x+|≥|（2x-）-（2x+）|=2当且仅当（2x-）（2x+）≤0，即-≤x≤时，上式取等号，即f（x）取得最小值2故a=2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，只需证：≤2，∵≤=m+，≤=n+，∴+≤m+n+3=4，∴≤2，故，原不等式成立．【解析】（Ⅰ）根据绝对值三角不等式即可求出a的值，（Ⅰ）根据基本不等式利用分析法即可证明本题考查了绝对值三角不等式，和基本不等式的应用，考查了推理能力，属中档题。
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三上学期期中地理试题
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三上学期期中地理试题下图是经过我国疆域四至点的经线或纬线所围成的四边形，读图完成下面小题。
1．该四边形的四个顶点中，位于我国疆域范围内的有（）A．0个B．1个C．2个D．4个2．该四边形的中心所在区域（）A．主要农作物有水稻、油菜等B．地形以平原和低山丘陵为主C．因降水稀少而造成水资源短缺D．人口密度大，城市化水平高我国地势西高东低，呈阶梯状分布；地形多种多样，山区面积广大。
据此完成下列小题。
3．图中能正确表示我国地形分布的是( )A．B．C．D．4．位于地势第二级阶梯，内有丘陵分布，并且没有绿洲的盆地是( )A．塔里木盆地B．四川盆地C．柴达木盆地D．准噶尔盆地下图是沿我国境内某一经线的气候统计图。
读图完成下面小题。
5．图中①区域地形区的名称是（）A．太行山B．青藏高原C．云贵高原D．秦岭6．图中②区域的区域特征是（）A．地势低平，多数地区海拔在100米以下B．温带大陆性季风气候，冬小麦不能越冬C．河流谷地泥沙沉积，形成“黄土地”D．年降水量在800毫米以上，但冬春季节较干旱下图为我国不同地区河流的年径流量变化示意图。
读图回答下面小题。
7．反映华北地区河流年径流量变化特征的是A．甲B．乙C．丙D．丁8．乙图所示地区河流7月径流量骤减的主要原因是A．冷锋增强B．反气旋增强C．亚洲高压增强D．准静止锋的影响下图为某年内我国地跨10个经度区域的降水量变化图。
读图，完成下面小题。
9．据图可知（）A．清明节之前各地阴雨连绵B．35°N以南地区秋高气爽C．5月起雨带开始向北移动D．35°N以北地区伏旱严重10．该区域（）A．绝大部分属于内流区B．位于地势二、三级阶梯C．东部降水受暖流影响大D．人口密度北部大于南部下图是我国某区域沿 30°N 一线 7 月月均温、7 月月降水量变化示意图，读图完成以下问题。
11．导致图中气温、降水变化的主要因素是（）A．纬度B．地形C．大气环流D．海陆分布12．关于图示区域地理特征的说法，可信的是（）A．①区域海拔较低，交通运输较发达B．②区域水能丰富，经济较发达C．③区域的西部可能有洪积——冲积平原D．图示区域的人口密度与降水量正相关我国是世界上水土流失最严重的国家之一。
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期期中考试数学(文)试题(解析版)
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期期中考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|x2+x-2＜0}，集合＞，则A∩B=（）A. B.C. D.2.已知2sinθ+cosθ=0，则sinθcosθ-cos2θ的值（）A. B. C. D.3.已知向量=（1，），向量，的夹角是，•=2，则||等于（）A. B. 4 C. 2 D.4.若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列说法中正确的是（）A. ，，B. ，C. ，，D. ，，5.已知角α的终边经过点P（2，1），则sin（α+）的值为（）A. B. C. D.6.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为（）A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺7.函数f（x）=A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度8.直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB AC，AB=AC=AA1，则直线A1B与AC1所成角的大小为（）A. B. C. D.第1页，共16页9.若函数在区间（a-1，a+1）上单调递减，且b=1g0.3，c=20.3，则（）A. B. C. D.10.已知等比数列{a n}中，a3=2，a4a6=16，则=（）A. 16B. 8C. 4D. 211.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D. 212.已知定义域为R的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=2f（x+3），当-3＜x≤0时，f（x）=log3（1-x），则f（2018）=（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若函数f（x）=，则f（f（-2））=______．＜14.已知sin（）=，则sinθ=______．15.已知向量=（1，2），=（-3，2），若（k+）∥（-3），则实数k的取值为______．16.已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3cos A cos C（tan A tan C-1）=1．（Ⅰ）求sin B的值；（Ⅱ）若a+c=3，b=，求△ABC的面积．18.若数列{a n}的前n项和S n满足2S n=3a n-1（n∈N*），等差数列{b n}满足b1=3a1，b3=S2+3．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设c n=，求数列{c n}的前n项和为T n．是直角梯形，AD∥BC，AB AD，且SA=AB=BC=2，AD=1，M是棱SB的中点．（Ⅰ）求证：AM∥平面SCD；（Ⅱ）求三棱锥B-MAC的体积．20.已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，其离心率e=，焦距为4．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若直线A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，AC与BD相交于点F1，且=0，当||+||=时，求直线AC的方程．21.已知函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若g（x）=f（x）+a ln x在（0，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）证明：＜（n∈N*，n≥2）．第3页，共16页22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x+y=1与曲线C2：（φ为参数，φ∈[0，2π））．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（I）写出曲线C1，C2的极坐标方程；（II）在极坐标系中，已知点A是射线l：θ=α（ρ≥0）与C1的公共点，点B是l 与C2的公共点，当α在区间[0，]上变化时，求的最大值．23.已知函数f（x）=|2x-|+|2x+|．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值a；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设m，n∈R+，且m+n=1，求证：．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A={x|x2+x-2＜0}={x|（x+2）（x-1）＜0}={x|-2＜x＜1}，={x|-1＜x＜1且x≠0}，则A∩B=（-1，0）（0，1），故选：D．分别求出关于A、B的不等式，求出A、B的交集即可．本题考查了集合的交集的运算，考查不等式问题，是一道基础题．2.【答案】A【解析】解：∵2sinθ+cosθ=0，∴tanθ=-，∴sinθcosθ-cos2θ====-．故选：A．根据一个角的正弦和余弦之间的关系，得到角的正切值，把所给的三角函数式加上一个分母1，变成同角的正弦与余弦的平方和，变成正切，得到结果．本题考查同角的三角函数之间的关系，本题解题的关键是熟练应用切与弦之间的互化问题，本题是一个基础题．3.【答案】C【解析】解：∵向量=（1，），∴||==2；又向量的夹角是，•=2，∴||•||•cos =2||•=2，∴||=2．故选：C．第5页，共16页根据平面向量数量积运算的定义，即可求出对应的模长．本题考查了平面向量数量积的应用问题，是基础题目．4.【答案】C【解析】解：由m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：在A中，由α∥β，mα，nβ，得m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，由αγ，βγ，得α与β相交或平行，故B错误；在C中，由α∥β，m∥n，mα，利用线面垂直的判定定理得nβ，故C正确；在D中，由α∩β=m，β∩γ=n，m∥n，得α与β相交或平行，故D错误．故选：C．在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，α与β相交或平行；在C中，利用线面垂直的判定定理得nβ；在D中，得α与β相交或平行．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．5.【答案】D【解析】解：角α的终边经过点P（2，1），可得cosα==．则sin（α+）=cosα=．故选：D．利用诱导公式化简所求的三角函数，通过三角函数的定义求解即可．本题考查三角函数的定义，诱导公式的应用，是基本知识的考查．6.【答案】B【解析】解：设此等差数列{a n}的公差为d，则a1+a4+a7=3a1+9d=31.5，9a1+d=85.5，解得：d=-1，a1=13.5．则a12=13.5-11=2.5．故选：B．设此等差数列{a n}的公差为d，则a1+a4+a7=3a1+9d=31.5，9a1+d=85.5，解得：d，a1．利用通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象可得A=1，=-，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=π，求得φ=，故f（x）=2sin（2x+）．故把f（x）=2sin（2x+）的图象向左平移个单位长度，可得y=2sin[2（x+）+]=2sin（2x+）=2cos2x的图象，故选：C．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：如图，不妨设AB=AC=AA1=1，则A（0，0，0），B（1，0，0），A1（0，0，1），C1（0，1，1），第7页，共16页，，cos＜＞=，则直线A1B与AC1所成角的大小为60°．故选：B．以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出与的坐标，利用数量积求夹角公式求解．本题考查异面直线所成角，训练了两角空间向量求解空间角，是基础题．9.【答案】D【解析】解：由5+4x-x2＞0，可得-1＜x＜5，函数t=5+4x-x2的增区间为（-1，2），要使在区间（a-1，a+1）上单调递减，则，即0≤a≤1．而b=1g0.3＜0，c=20.3＞1，∴b＜a＜c．故选：D．求出原函数的定义域，再求出内函数二次函数的增区间，由题意列关于a的不等式组，求得a的范围，结合b=1g0.3＜0，c=20.3＞1得答案．本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．10.【答案】C【解析】解：等比数列{a n}中，a3=2，a4a6=16，∴，解得q2=2，a1=1，∴==q4=4，故选：C．由题意可得，解得q2=2，a1=1，则=q4=4，问题得以解决本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题11.【答案】A【解析】解：几何体的直观图，是长方体的一部分，棱锥P-ABCD，所以几何体的体积为：=．故选：A．画出几何体的直观图，是长方体的一部分，棱锥P-ABCD，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．12.【答案】B【解析】解：∵f（x）=2f（x+3），∴f（x-3）=2f（x），即f（x）=f（x-3），∴f（x）=f（x-3）=f（x-2×3）=f（x-3×3）=…=f（x-n×3），∴f（2018）=f（2018-672×3）=f（2）=[-f（-2）]=-log3[1-（-2）]=-．故选：B．∵f（x）=f（x-3）=f（x-2×3）=f（x-3×3）=…=f（x-n×3），∴f（2018）=f（2018-672×3）=f（2）=[-f（-2）]，本题考查了函数奇偶性的性质与判断，属中档题．13.【答案】【解析】第9页，共16页解：∵函数f（x）=，∴f（f（-2））=f（）=，故答案为：由函数f（x）=，将x=-2代入计算可得答案．本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题．14.【答案】【解析】解：∵sin（）=，∴sinθ=cos（）=cos2（）=．故答案为：．由已知直接利用诱导公式及倍角公式求解．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及倍角公式的应用，是基础题．15.【答案】-【解析】解：∵=（1，2），=（-3，2），∵k=k（1，2）+（-3，2）=（k-3，2k+2），-3=（10，-4）∵（k+）∥（-3），∴-4（k-3）+10（2k+2）=0，∴k=-，故答案为：首先要表示出向量，再代入向量平行的坐标形式的充要条件，得到关于字母系数的方程，解方程即可．此题是个基础题．考查平面向量共线的坐标表示，同时考查学生的计算能力，要注意与向量垂直的坐标表示的区别16.【答案】【解析】解：设正△ABC的中心为O1，连结O1O、O1C、O1E、OE，∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三点都在球面上，∴O1O平面ABC，结合O1C平面ABC，可得O1O O1C，∵球的半径R=2，球心O到平面ABC的距离为1，得O1O=1，∴Rt△O1OC中，O1C==．又∵E为AB的中点，∴正△ABC中，O1E=O1C=．∴Rt△OO1E中，OE===．∵过E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的半径最小，∴当截面与OE垂直时，截面圆的面积有最小值．此时截面圆的半径r===，可得截面面积为S=πr2=．故答案为：．设正△ABC的中心为O1，连结O1O、O1C、O1E、OE．根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，结合题中数据算出OE．而经过点E的球O的截面，当截面与OE垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值．本题已知球的内接正三角形与球心的距离，求经过正三角形中点的最小截面圆的面积．着重考查了勾股定理、球的截面圆性质与正三角形的性质等知识，属于中档题．17.【答案】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵由3cos A cos C（tan A tan C-1）=1，得：3cos A cos C（-1）=1，∴3（sin A sin C-cos A cos C）=1，第11页，共16页∴cos（A+C）=-，∴cos B=，又∵0＜B＜π，∴sin B=．…………（6分）（Ⅱ）由余弦定理得：cos B==，∴=，又a+c=3，b=，ac=9，∴S△ABC=ac sin B=3．…………（12分）【解析】（Ⅰ）由已知利用三角函数恒等变换的应用可求cosB=，结合范围0＜B＜π，可求sinB=．（Ⅱ）由余弦定理结合已知可求ac的值，再根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.【答案】解：（1）当n=1时，2S1=3a1-1，∴a1=1，当n≥2时，2a n=2S n-2S n-1=（3a n-1）-（3a n-1-1），即a n=3a n-1，∵a1=1≠0，∴数列{a n}是以a1=1为首项，3为公比的等比数列，∴ ，设{b n}的公差为d，b1=3a1=3，b3=S2+3=7=2d+3，d=2．∴b n=3+（n-1）×2=2n+1；（2）∵c n==，∴ ①②由①-②得，=．∴．【解析】（1）由数列递推式求出a1，在数列递推式中取n=n-1得另一递推式，作差后得到数列{a n}为等比数列，则数列{a n}的通项公式可求，再由b1=3a1，b3=S2+3求出数列{b n}的首项和公差，则{b n}的通项公式可求；（2）把数列{a n}、{b n}的通项公式代入c n =，直接由错位相减法求数列{c n}的前n项和为T n．本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．19.【答案】（Ⅰ）证明：∵SA底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB AD，以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（1，0，0），S（0，0，2），M（0，1，1）．，，，，，，，，，设平面SCD的一个法向量为，，，则，令z=1，得，，，∴，即．∵AM⊄平面SCD，∴AM∥平面SCD．（Ⅱ）解：∵SA底面ABCD，∴SA BC，又BC AB，SA∩AB=A，∴BC平面SAB．∴△ ．【解析】（Ⅰ）以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出的坐标与平面SCD 的一个法向量，由数量积为0证明，从而得到AM∥平面SCD．（Ⅱ）直接利用等体积法求三棱锥B-MAC的体积．本题考查线面垂直的判定，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20.【答案】（Ⅰ）由已知，e==，2c=4，∴c=2，a=4，∴b2=a2-c2=12，故椭圆方程为+=1．第13页，共16页（Ⅱ）由（Ⅰ）知F1（-2，0），AC BD，①当直线AC，BD中一条直线斜率不存在时，|AC|+|BD|=14，不合题意；②当直线AC斜率为k，k≠0时，其方程为y=k（x+2），将该方程带入椭圆方程并整理得（3+4k2）x2+16k2x+16k2-48=0，若设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=，∴|AC|=|x1-x2|=•=；直线BD的方程为y=-（x+2），同理可得|BD|=；∴|AC|+|BD|=+=，解得k2=1，即直线AC的方程为y=±（x+2）．【解析】（1）由椭圆的离心率公式和c=2，解方程可得a，b，进而得到所求椭圆方程；（2）讨论直线AC，BD的斜率是否存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用弦长公式，解方程即可得到所求方程．本题考查三角形的面积公式，椭圆离心率的概念，椭圆的标准方程，a，b，c三个系数的几何意义，直线的点斜式方程，以及弦长公式，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=．∴x＞0，，f′x=0x=1因此增区间（，），减区间（，），极大值（），无极小值．（分）（Ⅱ）∵g（x）=f（x）+a ln x=+a ln x在（0，+∞）上为增函数，∴+=≥0对∀x＞0恒成立，∴ax-ln x≥0对∀x＞0恒成立，∴a≥对∀x＞0恒成立，∴a≥（）max，x∈（0，+∞），令h（x）=，x∈（0，+∞），则=，∵ln x＜1，x∈（0，e），∴h′（x）＞0，x∈（0，e），从而h（x）在（0，e）递增；另外，ln x＞1，x∈（e，+∞），∴h′（x）在（e，+∞）递减．综上，h（x）max=h（e）==，故a．∴实数a的取值范围是[，+∞）．…………（8分）第15页，共16页证明：（Ⅲ）由（Ⅰ）可得f （x ）=≤f （x ）max =f （1）=1，∴，当且仅当x =1时取等号．令x =n 2，（n ∈N *，n ≥2），∴ ＜1-，∴＜＜=，（n ≥2）， ∴＜ （1- ）==（n ∈N *，n ≥2）． …………（12分）【解析】（Ⅰ）推导出x ＞0，，由f′（x ）=0，得x=1，列表讨论，能求出函数f （x ）的单调区间和极值． （Ⅱ）推导出+=≥0对∀x ＞0恒成立，从而a≥对∀x ＞0恒成立，进而a≥（）max ，x ∈（0，+∞），令h （x ）=，x ∈（0，+∞），则=，利用导数性质能求出实数a 的取值范围． （Ⅲ）f （x ）=≤f （x ）max =f （1）=1，，当且仅当x=1时取等号．令x=n 2，（n ∈N *，n≥2），推导出＜＜=，（n≥2），由此能证明：（n ∈N*，n≥2）．本题考查函数的单调区间和极值的求法，考查实数的取值范围的求法，考查不等式的证明，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题． 22.【答案】解：（Ⅰ）∵曲线 C 1：x +y =1，∴曲线 C 1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=1，即，∵曲线 C 2：（φ为参数，φ∈[0，2π） ）， ∴曲线C 2的普通方程为（x -2）2+y 2=4，即x 2+y 2-4x =0， ∴曲线C 2的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知|OA |=ρA =， |OB |=ρB =4cosθ，=4cosα（cosα+sinα）=2（1+cos2α+sin2α）=2+2sin（2），由0≤α≤，知，当2=，∴时，有最大值2+2．【解析】（Ⅰ）由曲线 C1：x+y=1，能求出曲线 C1的极坐标方程；∵曲线 C2的参数方程消去参数φ，得到曲线C2的普通方程，由此能求出曲线C2的极坐标方程．（Ⅱ）|OA|=ρA=，|OB|=ρB=4cosθ，从而=4cosα（cosα+sinα）=2+2sin（2），由此利用0≤α≤，求出当时，有最大值2+2．本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查两线段比值的最大值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23.【答案】解：（Ⅰ）f（x）=|2x-|+|2x+|≥|（2x-）-（2x+）|=2当且仅当（2x-）（2x+）≤0，即-≤x≤时，上式取等号，即f（x）取得最小值2故a=2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，只需证：≤2，∵≤=m+，≤=n+，∴+≤m+n+3=4，∴≤2，故，原不等式成立．【解析】（Ⅰ）根据绝对值三角不等式即可求出a的值，（Ⅰ）根据基本不等式利用分析法即可证明本题考查了绝对值三角不等式，和基本不等式的应用，考查了推理能力，属中档题。
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2021-2022学年高三上学期期末考试理综化学试题 附解析
D．密闭容器中，二氧化硫与氧气的催化反应为可逆反应，可逆反应不可能完全反应，则2mol二氧化硫和1mol氧气催化反应后分子总数大于2NA，故D错误；
故选D。
6.内酯Y可由X通过电解合成，并在一定条件下转化为Z，转化路线如下：
下列说法不正确的是
A.X苯环上的一氯代物有9种B.Y→Z的反应类型是取代反应
C.X、Y、Z中只有Y不能与碳酸钠溶液反应D. 在催化剂作用下Z可与甲醛发生反应
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】A．靠下的苯环存在着对称结构，其上只有三种一氯取代，所以有机物X苯环上一氯代物有7种，描述错误，符合题意；
下列叙述不正确的是
A.X曲线代表草酸，Y曲线代表醋酸，
B. 若b点时 ，则b点消耗了8.60mL的NaOH溶液
C. 对于 而言，滴定过程中始终有
D. 若a点 ，则a点有
【答案】B
【解析】
【详解】A．草酸是二元弱酸，有两次滴定突变，醋酸为一元弱酸，故X曲线代表草酸，Y曲线代表醋酸，而醋酸消耗的氢氧化钠更多，则 ，选项A正确；
C．农作物可以通过光合作用将吸收的二氧化碳转化为淀粉，C正确；
D．该成就既可以减少二氧化碳的排放量，又可以合成淀粉，D正确；
答案选A。
2.NA代表阿伏加德罗常数的值。下列说法正确的是
A. 常温常压下，124gP4中所含P—P键数目为4NA
B.100mL1mol·L-1FeCl3溶液中所含Fe3+的数目为0.1NA
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2021-2022学年高三上学期第一次月考数学(理)试题
当 ， ； ， ；
所以 在 上单调递减， 上单调递增，而要使 有两个零点，要满足 ，
即 ；
因为 ， ，令 ，由 ，
所以 ，即 ，因此 ，
而要证 ，
只需证 ，即证 ，即证 ，
由 ，只需证 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
故 在 上递增， ，
故 在 上递增， ，
所以 ．
关键点点睛：（1）第（Ⅱ）问中隐零点的问题，解题关键在于 的化简要用到 ，即 ；
由 两边平方可求 ，再由平方关系求 .
由题得 ， ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
15.递增的等比数列 的每一项都是正数，设其前 项的和为 ，若 则 _______.
364
由等比数列的性质将 化为 ，再由 可求出 ，然后列出关于 的方程组，求出 ，进而可以求出结果
设等比数列 的公比为 ，
A. B. C. D.
A
通过函数的奇偶性， ， ，可分别排除D，C，B，即得解
因为 ，所以 是奇函数，排除D；
当 时， ， ．
由 ，可排除C； ，排除B故选：A
11.已知数列 的前n项和 ，若 ， 恒成立，则实数 的最大值是（）
A.3B.4C.5D.6
C
先由 求出 ，根据 得到 ，求出 的最小值，即可得出结果.
C. D.
C
根据等比数列与等差数列的求和公式，用分组求和的方法，即可求出结果.
因为 ，
所以数列 的前n项和
.故选C
本题主要考查数列的求和，根据分组求和的方法，结合等差数列与等比数列的求和公式即可求解，属于常考题型.
6.已知菱形ABCD的边长为4，点M是线段CD的中点， ，则 =（）