东北三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019高三第一次联合考试数学理

2019年哈师大附中第一次高考模拟考试理 科 数 学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合2{|20}A x x x =-≤，{|40}B x x =-≤≤，则R A C B = A ．RB ．{|0}x R x ∈≠C ．{|02}x x <≤D ．∅ 2．若复数z 满足iz = 2 + 4i ，则复数z =A ．2 + 4iB ．2 - 4iC ．4 - 2iD ．4 + 2i3．在251()x x-的二项展开式中，第二项的系数为A ．10B ．-10C ．5D ．-54．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①()sin f x x =，②()cos f x x =，③1()f x x=，④2()f x x =， 则输出的函数是 A ．()sin f x x = B ．()cos f x x = C ．1()f x x=D ．2()f x x =5．直线m ，n 均不在平面α，β内，给出下列命题：① 若m ∥n ，n ∥α，则m ∥α； ② 若m ∥β，α∥β，则m ∥α； ③ 若m ⊥n ，n ⊥α，则m ∥α； ④ 若m ⊥β，α⊥β，则m ∥α。

其中正确命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．46．等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 2 + a 4 + a 6 = 12，则S 7的值是A ．21B ．24C ．28D ．7 7．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为A ．23πB ．3πC ．29π D ．169π8．220sin 2xdx π=⎰ A ．0 B ．142π-C ．144π- D ．12π-9．变量x ，y 满足约束条件1,2,314,y x y x y ≥-⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩若使z = ax + y 取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a 的取值集合是A ．{3,0}-B ．{3,1}-C ．{0,1}D ．{3,0,1}-10．一个五位自然数12345a a a a a ，{0,1,2,3,4,5}i a ∈，1,2,3,4,5i =，当且仅当a 1 > a 2 > a 3，a 3 < a 4 < a 5时称为“凹数”（如32019，53134等），则满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为A ．110B ．137C ．145D ．14611．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为(,0)F c ，以原点为圆心，c 为半径的圆与双曲线在第二象限的交点为A ，若此圆在A 点处切线的斜率为33，则双曲线C 的离心率为 A ．31+B ．6C ．23D ．212．已知函数23log (1)1,1()32, x x kf x x x k x a -+-≤<⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩，若存在k 使得函数()f x 的值域是[0,2]，则实数a 的取值范围是A ．[3,)+∞B ．1[,3]2C ．(0,3]D ．{2}第II 卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若向量a ，b 满足||1=a ，||2=b ，且a 与b 的夹角为3π，则|2|+=a b __________。

14．若33cos()sin 65παα+-=，则5sin()6πα+=__________。

15．正四面体ABCD 的棱长为4，E 为棱BC 的中点，过E 作其外接球的截面，则截面面积的最小值为__________。

16．已知数列{}n a 的通项公式为11n a n =+，前n 项和为S n 。

若对于任意正整数n ，不等式216n n mS S ->恒成立，则常数m 所能取得的最大整数为__________。

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）三角形ABC 中，内角A ，B ，C 所对边a ，b ，c 成公比小于1的等比数列，且sin sin()2sin 2B A C C +-=。

（1）求内角B 的余弦值； （2）若3b =，求ΔABC 的面积．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD 垂直于AB 和DC ，侧棱SA ⊥底面ABCD ，且SA = 2，AD = DC = 1。

（1）若点E 在SD 上，且AE ⊥SD ，证明：AE ⊥平面SDC ； （2）若三棱锥S —ABC 的体积16S ABC V -=，求面SAD 与面SBC 所成二面角的正弦值大小。

19．（本小题满分12分）某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API 的监测数据，结果统计如下：API[0,50] (50,100] (100,150] (150,200] (200,250] (250,300] 300> 空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污染 重度污染天数413183091115（1）若某企业每天由空气污染造成的经济损失S （单位：元）与空气质量指数API （记为ω）的关系式为：0, 0100,4400, 100300,2000, 300.S ωωωω≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于200元且不超过600元的概率； （2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？附：P (K 2 ≥ k 0)0.250.150.100.050.025 0.010 0.0050.001k 01.3232.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.82822()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 非重度污染重度污染合计 供暖季 非供暖季 合计10020．（本小题满分12分）椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为22，且经过点2(1,)2P 。

直线111:l y k x m =+与椭圆M交于A ，C 两点，直线122:l y k x m =+与椭圆M 交于B ，D 两点，四边形ABCD 是平行四边形。

（1）求椭圆M 的方程；（2）求证：平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于原点D ； （3）若平行四边形ABCD 为菱形，求菱形ABCD 面积的最小值。

21．（本小题满分12分）已知函数()(1)x f x x e -=+（e 为自然对数的底数）。

（1）求函数()f x 的单调区间；（2）设函数()()()x x xf x tf'x e ϕ-=++，存在函数12,[0,1]x x ∈，使得成立122()()x x ϕϕ<成立，求实数t 的取值范围。

请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。

22．（本小题满分10分）选修4 – 1：几何证明选讲如图，P A ，PB 是圆O 的两条切线，A ，B 是切点，C 是劣弧AB （不包括端点）上一点，直线PC 交圆O 于另一点D ，Q 在弦CD 上，且∠DAQ = ∠PBC 。

求证： （1）BD BCAD AC=； （2）ΔADQ ∽ ΔDBQ 。

23．（本小题满分10分）选修4 – 4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为14cos 24sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线l 经过定点(3,5)P ，倾斜角为3π（1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求||||PA PB ⋅的值。

22．（本小题满分10分）选修4 – 5：不等式选讲设函数()|21||2|f x x x =--+。

（1）求不等式()3f x ≥的解集；（2）若关于x 的不等式2()3f x t t ≥-在[0,1]上无解，求实数t 的取值范围。

2019年东北三省三校第一次高考模拟考试理科数学参考答案13． 14．3515．4π5三、解答题17．解：(Ⅰ) sin sin()2sin 2B AC C +-=sin()sin()4sin cos sin 2sinA C A C C C A C ⇒++-=⇒=……………………….2分2ac ⇒=………………………4分又因为222b ac c ==所以2223cos 24a c b B ac +-==……………………….6分 (Ⅱ)b a c =⇒== (8)分 又因为sin B ==……………………….10分 所以1sin 2ABCSac B ==……………………….12分 18．(Ⅰ)证明： 侧棱⊥SA 底面ABCD ，⊂CD 底面ABCD CD SA ⊥∴. ……………………….1分 又 底面ABCD 是直角梯形，AD 垂直于AB 和DC CD AD ⊥∴,又A SA AD =⊥∴CD 侧面SAD ,……………………….3分 ⊂AE 侧面SAD∴D SD CD SD AE CD AE =⊥⊥ ,,∴⊥AE 平面SDC ……………………….5分(Ⅱ) 连结AC , 底面ABCD 是直角梯形，AD 垂直于AB 和DC ,.1,2===DC AD SA ∴2=AC ,4π=∠CAB ,设t AB =，则t t AC S ABC 2142=⋅=∆， 三棱锥t V ABC S 213261⋅==-,∴21==AB t .……………………….7分 如图建系，则)0,1,1(),0,0,21(),0,1,0(),2,0,0(),0,0,0(C B D S A ,由题意平面SAD 的一个法向量为)0,0,1(=m ，不妨设平面SBC 的一个法向量为),,(z y x n =，)2,0,21(-=SB)2,1,1(-=SC ,则0,0=⋅=⋅SC n SB n ,得⎩⎨⎧=-+=-0204z y x z x ，不妨令1=z ，则)1,2,4(-=n ……………………….10分 214,cos ==〉〈n m n m ,……………………….11分设面SAD 与面SBC 所成二面角为θ，则21105sin =θ……………………….12分 19．解：（Ⅰ）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于200元且不超过600元”为事件A ……1分 由600200≤<S ，得250150≤<w ，频数为39，……3分分……………………….8分K 2的观测值()2100638227 4.575 3.84185153070k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯……………………….10分所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关. ……………………….12分 20．解：（Ⅰ）依题意有22,9141a a b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，又因为222a b c =+，所以得222,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故椭圆C 的方程为2212x y +=. ……3分（Ⅱ）依题意，点,A C 满足22111,2,x y y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩所以,A C x x 是方程2221111(21)4220k x k m x m +++-=的两个根.得221111218(21)0,4.21A C k m k m x x k ⎧∆=⋅+->⎪⎨+=-⎪+⎩ 所以线段AC 的中点为11122112(,)2121k m m k k -++.同理，所以线段BD 的中点为22222222(,)2121k m m k k -++.……………………….5分 因为四边形ABCD 是平行四边形，所以1122221212221222,2121.2121k m k m k k m m k k ⎧-=-⎪++⎪⎨⎪=⎪++⎩解得，021==m m 或21k k =(舍).即平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于原点O . ……7分（Ⅲ）点,A C 满足2211,2,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩所以,A C x x 是方程221(21)20k x +-=的两个根，即2221221A C x x k ==+ 故1221||||2121+⋅+==k k OC OA .同理，1221||||2222+⋅+==k k OD OB . ……………………….9分又因为BD AC ⊥，所以1)1(22)1(1||||2121+⋅+==k k OD OB ，其中01≠k .从而菱形ABCD 的面积S 为||||2OB OA S ⋅=122122121+⋅+=k k 1)1(22)1(12121+⋅+⋅k k ， 整理得211)1(1214k k S ++=，其中01≠k .……………………….10分故，当11=k 或1-时，菱形ABCD 的面积最小，该最小值为38. ……12分 21． 解：（Ⅰ）∵函数的定义域为R ，()x xf x e'=-……………………….2分 ∴当0x <时，()0f x '>，当0x >时，()0f x '<。