高等数学理论及解题方法的-归纳与总结3-8
高等数学电子教案同济版第三章3-8
练习题
一、填空题： 填空题： 的水平渐近线为_______________. 1、曲线 y = e 的水平渐近线为_______________. 1 2、曲线 y = 的水平渐近线为______________ ， 的水平渐近线为______________， ______________ x −1 铅直渐近线为______________. 铅直渐近线为______________. 描出下列函数的图形： 二、描出下列函数的图形： 1 2 1、 y = x + ； x 2、 y 2 = x ( x − 1) 2 ； 3、 y = ln sin x . 1 三、求曲线 y = x + 的渐近线并画图 . x
补充点 :
A (−1,0), −
B (0,1),
3 5 C ( , ). 2 8
列表确定函数升降区间, 凹凸区间及极值点与拐点: 列表确定函数升降区间 凹凸区间及极值点与拐点
x
f ′( x ) f ′′( x )
f ( x)
1 ( −∞ ,− ) 3
+ −
1 − 3
1 1 (− , ) − 3 3
ϕ′( x ) = −
x e 2π
x2 − 2
.
令 ϕ′( x ) = 0,
令 ϕ′′( x ) = 0,
得驻点 x = 0,
得特殊点 x = −1, x = 1.
x →∞
∵ lim ϕ( x ) = lim
x →∞
1 e 2π
x2 − 2
= 0, 得水平渐近线 y = 0.
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点 列表确定函数升降区间 凹凸区间及极值点与拐点: 凹凸区间及极值点与拐点
高数答题技巧总结
高数答题技巧总结高等数学作为大学本科数学专业的一门重要课程，对于学生来说常常是一道难以逾越的难题。
然而，只要我们掌握一些高数答题的技巧，就能够在考试中取得更好的成绩。
本文将为大家总结一些高数答题的技巧，希望对广大学生有所帮助。
一、了解题型特点掌握高数各种常见题型的特点是解题的关键所在。
在学习高数的过程中，我们常会遇到求导、积分、极值等各种类型的题目。
对于不同的题型，我们需要采取不同的策略进行解答。
例如，对于求导题，我们需要熟悉各种基本导数公式，灵活运用链式法则和求导法则；对于积分题，我们需要掌握不同积分方法的适用范围，善于化简和变形等等。
只有了解了不同题型的特点，才能更好地应对考试中的各种题目。
二、熟悉重要公式和定理高数中有很多重要的公式和定理，熟悉它们对于解题非常有帮助。
例如，指数函数的导数公式、对数函数的积分公式、极限的四则运算法则等等。
掌握这些公式和定理，能够大大提高解题的效率。
在平时的学习过程中，我们应该将这些重要的公式和定理牢记于心，并在习题中不断加以应用，从而达到熟练掌握的程度。
三、注意题目中的关键词和条件解答高数题目时，题目中常常会含有一些关键词和条件，我们需要抓住这些关键信息，选择合适的方法进行解题。
例如，当题目中出现“最大”、“最小”等关键词时，我们可以通过求导和极值判定定理来解答相关的问题；当题目中出现“满足某条件”或“在某区间内”等条件时，我们需要对题目提供的条件进行约束，选择合适的方法进行求解。
因此，要想在高数答题中取得好成绩，我们必须要仔细阅读题目，理解题目中的意思，抓住关键信息。
四、创造性思维和灵活运用高数课程中的许多问题都需要我们进行创造性思维和灵活运用。
有时，我们需要通过变形、代换等方法将题目转化为我们熟悉的题型，再进行解答。
有时，我们需要借助图像、几何意义等方面的知识来理解问题，在解决中运用抽象知识。
因此，在学习高数的过程中，我们要培养自己的创造性思维，提高自己的问题解决能力。
高等数学知识点总结
高等数学是大学理工科学生的一门基础课程，涉及到数学分析、线性代数、概率论和数学物理方法等内容。
本文将对高等数学的知识点进行总结，以供参考。
一、数学分析1.极限与连续极限是数学分析的基础概念，主要研究函数在某一点的邻域内的性质。
极限的性质包括保号性、保序性等。
连续性是极限的一种特殊情况，一个函数在某一点的极限等于该点的函数值，则称该函数在该点连续。
2.导数与微分导数研究函数在某一点的切线斜率，是函数变化率的具体体现。
导数的计算方法包括定义法、导数法则和高阶导数等。
微分是导数的一种应用，主要研究函数在某一点的微小变化。
3.积分与不定积分积分是导数的逆运算，研究函数在某一区间内的累积变化。
积分的计算方法包括牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法和分部积分法等。
不定积分是积分的一种扩展，没有明确的积分界限，主要用于求解原函数。
级数是数学分析中的重要部分，研究函数的和式。
常见的级数包括幂级数、泰勒级数和傅里叶级数等。
级数的收敛性判断是级数研究的关键，常用的判断方法有比较判别法、比值判别法和根值判别法等。
5.多元函数微分学多元函数微分学研究多个变量之间的函数关系。
主要内容包括偏导数、全微分、方向导数和雅可比矩阵等。
重积分是研究函数在空间区域上的累积变化。
重积分的计算方法包括一重积分、二重积分和三重积分等。
7.常微分方程常微分方程是描述自然界和工程技术中具有变化规律的数学模型。
常微分方程的解法包括分离变量法、常数变易法和线性微分方程组等。
二、线性代数矩阵是线性代数的基本工具，用于描述线性方程组和线性变换。
矩阵的运算包括加法、减法、数乘和矩阵乘法等。
矩阵的行列式用于判断线性方程组的解的情况。
2.线性方程组线性方程组是实际问题中常见的数学模型。
线性方程组的解法包括高斯消元法、矩阵求逆法和克莱姆法则等。
3.向量空间与线性变换向量空间是具有加法和数乘运算的向量集合。
线性变换是从一个向量空间到另一个向量空间的线性映射。
4.特征值与特征向量特征值和特征向量是描述矩阵性质的重要概念。
高数解题技巧与解题思路分享
高数解题技巧与解题思路分享面对高等数学的复杂问题，许多学生常常感到困惑和挫败。
然而，理解和掌握一些解题技巧与解题思路，能够显著提高解题的效率和准确性。
高等数学不仅仅是公式和定理的堆砌，更是一门关于逻辑思维和问题解决的艺术。
以下将分享一些高数解题的实用技巧和思路，帮助你更好地攻克难题。
首先，深刻理解基础概念是解决复杂问题的前提。
高等数学中的每一个定理、公式和方法都有其根本的数学背景。
如果你对基础概念不够熟悉，就很难在实际问题中灵活应用这些知识。
因此，在开始任何复杂题目之前，确保你对相关的基础知识有一个扎实的理解。
通过对概念的深入剖析，能够帮助你在解题时形成更清晰的思路。
其次，熟悉常见的解题方法和技巧。
高等数学问题通常可以通过各种方法解决，如代入法、消元法、分步求解等。
掌握这些常见的解题方法，不仅能提高解题的效率，还能帮助你在遇到不同类型的题目时，迅速找到合适的解题路径。
例如，面对积分问题时，熟练掌握分部积分法和换元法，将大大提高你的解题速度和准确性。
对于复杂的题目，分步解决是非常重要的技巧。
将一个复杂问题拆解成若干个较为简单的子问题，这样不仅可以降低每一步的难度，还能更清晰地理清解题思路。
解决每一个子问题时，务必要保持细致和准确，最后再将各个子问题的结果综合起来，形成最终的答案。
这种方法不仅能够帮助你更系统地解决问题，还能够避免因为思路混乱而导致的错误。
另外，解题过程中的逻辑推理同样至关重要。
在高等数学的题目中，很多时候不仅仅依赖于公式和计算，更需要通过严谨的逻辑推理来得出正确的答案。
解题时，务必要遵循逻辑步骤，确保每一步的推导都是准确的，并且每一个结论都有充分的理由支持。
逻辑推理不仅帮助你验证解题过程的正确性，也能够在面对未知问题时，提供一种解决思路。
在解题过程中，合理运用图形和几何直观也是一种有效的技巧。
许多高数问题中，图形能够帮助你更直观地理解问题的结构和性质。
通过绘制图形或几何示意图，可以更清晰地看到问题的本质，从而找到解决问题的关键。
第4章无穷级数3-8(函数项级数 幂级数收敛半径)
x 处绝对收敛; 它在满足不等式 x x 0 的一切
(2) 如果级数 a n x n 在 x x 0 处发散,则它在满
n 0
足不等式 x x 0 的一切x 处发散.
证
an x0 0, (1) an x0 收敛, lim n
n
n
n 0
M , 使得 an x0 M
1
时, an ( x x0 ) n绝对收敛;
n 0
时, an ( x x0 ) n发散;
n 0
再讨论x x0 时, an ( x x0 ) n的敛散性可得所求 .
n 0
一般幂级数收敛域的求法---例题
( x 1) n 的收敛域. 例 3 求 n n 1 2 n
3. 收敛半径与收敛域 4. 标准幂级数收敛半径的求法 5. 一般幂级数收敛域的求法
注解
演练例题
例题
内容小结与思考
4.3.1 函数项级数
1.定义
设 u1 ( x ), u2 ( x ), , un ( x ), 是定义在I R 上的 函数,则 un ( x ) u1 ( x ) u2 ( x ) un ( x )
当 x 1时, lim sn ( x )不存在.
n
讨论 x n的敛散性.
n 0
n
( x 1)
1 , 当 x 1时 n 收敛于 x . 1 x n 0 当 x 1时 发散,
4.3.2 幂级数及其收敛性
2. 阿贝尔(Abel)定理
(1) 如果级数 a n x n 在 x x 0 ( x 0 0) 处收敛,则
(完整版)高等数学基础知识点归纳
第一讲函数，极限，连续性1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集，记作N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集，记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集，记作R。
集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说A、B 有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A ⊂B。
⑵、相等：如何集合A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，此时集合A 中的元素与集合B 中的元素完全一样，因此集合A 与集合B 相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A 是集合B 的子集，但存在一个元素属于B 但不属于A，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A 。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。
②、对于集合A、B、C，如果A 是B 的子集，B 是C 的子集，则A 是C 的子集。
③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。
集合的基本运算⑴、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集。
记作A∪B。
（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。
）即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。
⑵、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集。
高数基础知识总结：教你如何快速梳理知识点
高数基础知识总结：教你如何快速梳理知识点在高数学习中，基础知识是至关重要的。
本篇文章将为你梳理高数基础知识，帮助你快速掌握高数学习的核心要点。
让我们一起走进高数的基础世界，探索如何巧妙地梳理知识点，提高学习效率吧！
一、函数与极限
1. 函数的概念与性质
2. 极限的定义与性质
3. 极限的运算
4. 函数的连续性
二、导数与微分
1. 导数的定义与性质
2. 导数的计算方法
3. 微分的概念与性质
4. 微分的计算方法
三、积分与定积分
1. 积分的概念与性质
2. 积分的计算方法
3. 定积分的概念与性质
4. 定积分的计算方法及应用
四、常微分方程
1. 常微分方程的概念与分类
2. 一阶常微分方程
3. 二阶常微分方程
4. 高阶常微分方程
5. 常微分方程的应用
五、向量与空间解析几何
1. 向量的概念与性质
2. 空间直角坐标系与向量表示
3. 向量的数量积与向量积
4. 空间曲面与曲线方程
5. 空间直线方程及其性质
六、多元函数微分学
1. 多元函数的极限与连续性
2. 偏导数的概念与计算方法
3. 全微分的概念与计算方法
4. 方向导数与梯度向量
5. 多元函数的最值及其应用
七、多元函数积分学
1. 二重积分的概念与性质
2. 二重积分的计算方法及应用
3. 三重积分的概念与性质
4. 三重积分的计算方法及应用
5. 曲线积分与曲面积分的概念与性质。
数学解题方法总结与归纳
数学解题方法总结与归纳数学作为一门逻辑严谨、思维训练的学科，对于学生而言常常是一座难以逾越的高山。
面对一个个看似复杂的数学题目，许多学生常常感到无从下手，甚至丧失信心。
然而，只要我们正确掌握一些数学解题方法，就能在数学的道路上行得更远。
本文将对一些常见的数学解题方法进行总结与归纳，希望能给同学们提供一些有益的参考。
一、代数解题方法代数是数学中的一支重要学科，也是许多数学问题的解题利器。
在代数解题中，我们常常将未知数用变量表示，通过方程的运算来求解。
在代数解题中，常见的方法有方程运算、代入法、消元法等。
以方程运算为例，我们可以通过等式的加减乘除运算来逐步推导出未知数的值，从而得出答案。
代入法则是通过将已知条件代入方程中进行验证，从而确认解的正确性。
而消元法则是用代数运算的方法将未知数逐渐消除，得到最终解。
这些代数解题方法在解决方程、不等式等问题上都有很大的应用空间。
二、几何解题方法几何是数学的一支重要分支，它研究空间和形状的属性以及它们之间的关系。
在几何解题中，我们需要通过观察图形的性质来寻找解题线索。
常见的几何解题方法有相似性、勾股定理、角平分线等。
以相似性为例，我们可以通过观察两个相似图形的对应边长比例，从而得出一些未知边长的值。
又如勾股定理，我们可以通过边长关系来判断三角形的形状。
角平分线则可以帮助我们确定角的大小，从而得到解答。
几何解题需要运用空间想象力，善于观察图形特点，灵活运用相关定理和公式。
三、概率与统计解题方法概率与统计是数学中的另一个重要分支，用来描述和分析与随机现象相关的情况，并且进行相关的数据处理。
在概率与统计解题中，我们需要通过已知的数据和假设，来推测事件发生的可能性。
常见的解题方法有频率比、条件概率、抽样调查等。
以频率比为例，我们可以通过计算某个事件发生次数与总次数的比值来得到概率。
条件概率则是在给定某些前提条件下，求解特定事件发生的概率。
抽样调查则是用来获取数据样本，通过对样本数据的分析来推断总体的特征。
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2 2
y2 b2
z2 c2
1的第一卦限内求一点M 0 (x0,
y0, z0 ),
使曲面上过点M
的切平面与三个坐标面所围成的四面体的
0
体积为最小.
u (z) u .
y
x
5、已知点A(1,1,1)及点B(3,2,1),求函数u ln(3xy 2z3) 在点A处沿AB方向的方向导数.
6、证明：曲面f (2x 3z,2y 2z) 0上任意点 的切平面与平面3x 2y 2z 1 0垂直.
若改为：设f (x, y)具有一阶连续偏导数，且 f 2 f 2 0,
(2)求曲线x t, y t2, z t3上的点,使在该点处的切线平行
于平面 x y z 1.
(3)求曲面x2 2y2 3z2 20在点(3,2,1)处的切平面
和法线方程.
x
y
9、设z z(x, y)由方程e z e z 2e所确定,试求zx , zy.
10、在椭球面
x a
x
y
对任意实数t有f (tx,ty) tf (x, y).试证曲面z f (x, y)上任意
一点(
x0
,
y0
,
z0
)处的法线与直线 x x0
y y0
z z0
相垂直.
7、求原点到曲面 (x y)2 z2 1上的点的最短距离 .
8、(1)求曲线x 2cos4t, y t3 4, z et 2在点(2,4,1) 处的切线及法平面方程.
第八章 多元函数微分及其应用
1、z arctan x y ,求dz .
1 xy
(1, 3 )
2、 xf (u, v), u ln cos x, v xsin y ,
其中f可微,求 z . x
3、Z f (3x y, x ),求 2Z ， y xy
其中f具有二阶连续偏导数.
4、设u f (z), z是由z x y(z)所确定的x、 y的隐函数,且f (z)、(z)均可微，求证