锐角三角函数_余弦 -正切课件-课件ppt
锐角三角函数(正弦、余弦和正切)
2．同一锐角三角函数的关系：
如图， 在 Rt△ ABC中，∠ C=90°， sin A
a ，cos A
b
，
c
c
则 sin2 A cos2 A
2
a
c
2
b
c
a2 b2 c2
c2 c2
1，即同一锐角的
正弦、余弦的平方和等于
1，或者说若
α
为锐角， 则
sinห้องสมุดไป่ตู้
2
2
α+cos α =1．
规律 学习锐角三角函数时，应明确三角函数值的两个变化规律： 1．特殊角的三角函数值的记忆规律：
Rt△ ABC中，∠ A+∠ B=90°，由
三角函数定义得
sin A
a ，cos(90
a
b
A) cosB ，cos A
sin B sin(90
A) ，
c
c
c
所以 sin A=cos（90° - A），cos A= sin （90° - A）．即任意锐角的余弦值等于它的余角的正
弦值，任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值．
锐角三角函数教案
概念
1．在直角三角形中，斜边大于直角边且各边均为正数，正弦、余弦都是直角边与斜边
的比值，正切是两直角边的比值，因此正弦值、余弦值都是小于
1 的正数，正切值是大于零
的数，并且都没有单位，即 0<sin A<1，0<cos A<1， tan A>0（∠ A为锐角）．
2．每一个三角函数都是一个完整的符号， 如 sin A不能理解为 sin · A，sin A 中的“ A”
2．锐角三角函数值的增减性：锐角 α 的正弦 sin α 值随着∠ α 的增大而增大；锐角
第24讲 锐角三角函数
考点三
三角函数之间的关系
1．同角三角函数之间的关系
sin2α＋cos2α＝
1
；tan
α＝csions
α α.
2．互余两角的三角函数之间的关系
若∠A＋∠B＝90°，则 sin A＝cos B，
sin B＝cos A，
tan A·tan B＝1．
3．锐角三角函数的增减性 当 α 为锐角时，0＜sin α＜1，0＜cos α＜1，且 sin α，tan α 的值都随 α 的增大而 增大 ；cos α 的值随 α 的增大而 减小 ． 温馨提示： 这些关系式都是恒等式，正反均可运用，同时还 要注意它们的变形公式．
Rt△ABD 中，cos A＝AD＝2 2＝2 5.故选 D．
【答案】D
AB 10 5
3．把△ABC 三边的长度都扩大到原来的 3 倍，则
锐角 A 的正弦值( A )
A．不变
B．缩小为原来的13
C．扩大到原来的 3 倍 D．不能确定
4．在锐角三角形 ABC 中，若sin A－ 23＋(1－
tan B)2＝0，则∠C 的度数是( C )
＝ 5
5＋1.故选 C． 4
【答案】C
5．(2016·福州)如图，以 O 为圆心，半径为 1 的弧 交坐标轴于 A，B 两点，P 是 AB 上一点(不与 A，B 重合)，连接 OP，设∠POB＝α，则点 P 的坐标是( )
A．(sin α，sin α) B．(cos α，cos α) C．(cos α，sin α) D．(sin α，cos α)
考点三
三 角函数的增减性
例 3 如图，若锐角
△ABC 内接于⊙O，点 D 在
⊙O 外(与点 C 在 AB 同侧)，
锐角三角函数讲义
锐角三角函数讲义【知识点拨】知识点一：锐角三角函数的概念：锐角三角函数包括正弦函数，余弦函数，和正切函数，如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b ，c ． ∠A 的正弦=A asin A=c∠的对边，即斜边；∠A 的余弦=A b cos A=c∠的邻边，即斜边,∠A 的正切=A a tan=A b∠的对边，即∠的邻边注意：我们说锐角三角函数都是在直角三角形中讨论的！若没有直角，要想方设法构造直角。
课堂练习：1. 把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ＇B ＇C ＇，那么锐角A.A ＇的余弦值的关系为（ ）．A.cosA ＝cosA ＇B.cosA ＝3cosA ＇C.3cosA ＝cosA ＇D.不能确定 2. 已知中，AC =4，BC =3，AB =5，则（ ）A ．B ．C ．D ．3. 三角形在正方形网格纸中的位置如图1所示，则sin α的值是（ ）Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．45α图14.在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则sin B＝（）A． B． C． D．5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝3，则cos A＝，sin B＝，tan B＝，6.⑴如图1－1－7①、②锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律；⑵根据你探索到的规律，试比较18○、34○、50○、61○、88○这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．知识点二：特殊角三角函数值的计算知识点三：运用三角函数的关系化简或求值 1．互为余角的三角函数关系．sin （90○－A ）=cosA ， cos （90○－A ）=sin A tan （900－A ）＝ctan A ； ctan （900－A ）＝tan A2．同角的三角函数关系． ①平方关系：sin 2A+cos 2A=l ② 商数关系：sin cos tan ,cot cos sin A AA A A A==sin cos a a += ③倒数关系： tgα·ctgα=1．课堂练习：1. 如α∠是等腰直角三角形的一个锐角，那么cos α的值等于（ ）Ａ．12Ｄ．12. 45cos 45sin +的值等于（ ） A. 1B. 2C. 3D.213+ 3. 下列计算错误的是（ ）A ．sin 60sin 30sin 30︒-︒=︒B ．22sin 45cos 451︒+︒=C ．sin 60cos 60cos 60︒︒=︒D ．cos30cos30sin 30︒︒=︒4. 已知a 为锐角，sina=cos500则a 等于（ ）A 20°B 30°C 40°D 50°5. 若tan(a+10°)=3，则锐角a 的度数是 ( ) A 、20° B 、30° C 、35° D 、50°6. (兰州市)如果sin 2α＋sin 230°＝１那么锐角α的度数是（ ）Ａ．１５° Ｂ．３０° Ｃ．４５° Ｄ．６０° 7. 已知α为锐角，且sin α－cos α=12 ，则sin α·cos α=___________8. cos 2α+sin 242○ =1，则锐角α=______.9. tan30°sin60°＋cos 230°－sin 245°tan45°10. 22sin30cos60tan 60tan30cos 45+-⋅+︒．11. 22sin 45cos30tan 45+-知识点四：锐角三角函数的增减性三角函数的单调性1． 正弦和正切是增函数，三角函数值随角的增大而增大，随角的减小而减小．2． 余弦是减函数，三角函数值随角的增大而减小，随角的减小而增大。
7锐角三角函数
锐角三角函数一、一周知识概述1、锐角的三角函数在直角三角形中，锐角α的正弦(sinα)、余弦(cosα) 、正切(tanα)，都叫做角α的三角函数．正弦：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角α的对边与斜边的比叫做角α的正弦，记作sinα，即.余弦：锐角α的邻边与斜边的比叫做角α的余弦，记作cosα．即正切：锐角α的对边与邻边的比，叫做角α的正切，记作tanα．即．2、特殊角的三角函数值（需要记忆）3、同角三角函数间的关系（1）平方关系：sin2α＋cos2α=1(2)商数关系：4、互余的两角的关系任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值．即若A＋B=90°，则sinA=cosB，cosA=sinB，tanA·tanB=1．5、求已知锐角的三角函数值法求整数度数的锐角三角函数值．在计算器的面板上涉及三角函数的键有键，当我们计算整数度数的某三角函数值时，可先按这三个键之一，然后再从高位向低位按出表示度数的整数，然后按，则屏幕上就会显示出结果．例如：计算sin44°．解：按键，再依次按键．则屏幕上显示结果为0.69465837．求非整数度数的锐角三角函数值．若度数的单位是用度、分、秒表示的，在用计算器计算三角函数值时，同样先按和三个键之一，然后再依次按度键，然后按键，则屏幕上就会显示出结果．有的计算器在计算角的三角函数值时，角的单位用的是度，则必须先把度、分、秒统一为“度”．值得注意的是型号不同的计算器的用法可能不同．二、重难点知识归纳1、对锐角三角函数的理解（1）sinα和cosα都是一个整体符号，不能看成sin·α或cos·α．(2)是一个比值，没有单位，只与角的大小有关，而与三角形的大小无关．(3)sinα＋sinβ≠sin(α＋β)，sinα·sinβ≠sin(αβ)(4)sin2α表示(sinα)2，cos2α=(cosα)2(5)0＜sinα＜1，0＜cosα＜12、同名三角函数值的变化规律当角α在0°～90°间变化时，它的正切和正弦三角函数值随着角度的增大而增大；余弦三角函数值随着角度的增大而减少．3、记忆特殊角的三角函数值的方法有三种：（1）列表法，就是利用课本上的表格记忆。
锐角三角函数
锐角三角函数作为数学中的一个重要概念，锐角三角函数是我们学习三角函数的关键部分之一。
在几何学和三角学中，锐角指的是小于90度的角。
而锐角三角函数是以锐角作为自变量的三角函数。
一、正弦函数（sine function）在锐角三角函数中，正弦函数是最常见也是最重要的一个函数。
正弦函数可以表示为：sin(θ) = 对边/斜边其中，θ代表锐角的度数，对边代表锐角的对边长度，斜边代表锐角的斜边长度。
二、余弦函数（cosine function）余弦函数是锐角三角函数中的另一个核心函数，表示为：cos(θ) = 临边/斜边同样，θ代表锐角的度数，临边代表锐角的临边长度，斜边代表锐角的斜边长度。
三、正切函数（tangent function）正切函数是另一个重要的锐角三角函数，表达式为：tan(θ) = 对边/临边在这个公式中，θ代表锐角的度数，对边代表锐角的对边长度，临边代表锐角的临边长度。
四、余切函数（cotangent function）余切函数是正切函数的倒数，可以表示为：cot(θ) = 临边/对边θ代表锐角的度数，临边代表锐角的临边长度，对边代表锐角的对边长度。
五、正割函数（secant function）正割函数是余弦函数的倒数，可以表示为：sec(θ) = 斜边/临边θ代表锐角的度数，斜边代表锐角的斜边长度，临边代表锐角的临边长度。
六、余割函数（cosecant function）余割函数是正弦函数的倒数，可以表示为：csc(θ) = 斜边/对边在这个公式中，θ代表锐角的度数，斜边代表锐角的斜边长度，对边代表锐角的对边长度。
锐角三角函数在数学和实际应用中具有广泛的重要性。
无论是在几何学、物理学还是工程学中，锐角三角函数都扮演着重要的角色。
它们可以帮助我们计算和解决各种三角形和锐角相关问题。
在实际应用中，锐角三角函数还广泛应用于测量和建模等领域。
总结起来，锐角三角函数是数学中不可或缺的一部分。
通过掌握和理解正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数，我们可以更好地理解和解决与锐角有关的各种数学和实际问题。
锐角三角函数
锐角三角函数一、知识体系1、定义：（1）正弦：（2）余弦：（3）正切：2、特殊角的三角函数值：3、同角三角函数之间的关系：（1）平方关系：1cos sin 22=+αα（2）商的关系：αααcos sin tan =4、直角三角形的边角关系：5、仰角、俯角：6、坡度、坡角：（1）坡度：坡面的铅直高度h 和水平距离l 的比叫做坡度，lh i ==αtan 。
（2）坡角：坡面与水平面的夹角α叫坡角。
7、方向角：指南或指北方向线与目标方向线所成的小于90°的角。
二、知识巩固 1、【2015·广州中考】如图所示，△ABC 中，DE 是BC 的垂直平分线，DE 交AC于点E ，连接BE ，若BE=9，BC=12，则cosC= 。
2、【重庆中考】计算6tan45°-2cos60°的结果是（ ） A.34 B.4 C.35 D.53、已知α为锐角，且cos α=32，求sin α，tan α的值。
4、【2014·成都中考】如图，在一次数学课外实践活动中，小文在点C 处测得树的顶端A 的仰角为37°，BC=20m ，求树的高度AB.（参考数据：，，）5、【2007·莆田中考】如图所示，有一飞行中的热气球，在A 处时热气球的探测器显示：从热气球看正前方一栋高楼顶部的仰角为45°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球离地面的高度为150米，为了安全，避免热气球撞上高楼，请问热气球此时至少应再上升多少米？（注：3≈1.732，结果精确到1米）6、【2010·攀枝花中考】如图所示，已知AD 为等腰△ABC 底边上的高，且tan ∠B=43，AC 上有一点E ，满足AE ：CE=2：3，则tan ∠ADE 的值是（ ）31.21.32.53.D C B A 7、【武汉中考】如图所示，PA ，PB 切⊙O 于点A ，B 两点，CD 切⊙O 于点E ，交PA ，PB 于C 、D ，若⊙O 的半径为r ，△PCD 的周长等于3r ，则tan ∠APB 的值是（ ）A ．B ．C ．D ．8、求下列各式的值．（1）sin30°+cos45° (2)sin 260°+cos 260°-tan45°（3）cos 45sin 45︒︒-tan45° （4）sin60°-tan45°（5）cos60°+tan60° （6）130sin 560cos 300-（7）22sin45°+sin60°-2cos45° （8）︒︒-︒30cos 30sin 260sin（9）0045cos 360sin 2+A B C图（1） 图（2）9、【2010·新疆中考】如图（1）是一张Rt ABC △纸片，如果用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个正三角形，如图（2），那么在Rt ABC △中，sin B ∠的值是( ) A 、12 B 、32B 、C 、1D 、3210、在ABC ∆中，︒=∠90C ，若A B ∠=∠2，则tanA 等于（ ）． A 、3 B 、33 C 、23 D 、21 11、【2010·怀化中考】在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=12，则∠A= _________. 12、【2010·达州中考】如图，一水库迎水坡AB 的坡度1i =︰3，则该坡的坡角α= 。
锐角三角函数
关系式
李善兰三角函数展开式 tanα·cotα=1 希腊三角函数公式 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 1+(tanα)^2=(secα)^2 1+(cotα)^2=(cscα)^2 锐角三角函数诱导公式 直角三角形中的锐角三角形函数sin（－α）=－sinα cos（－α）=cosα tan（－α）=－tanα
三角函数值
取值范围
特殊角
变化情况
特殊角的三角函数值如下 ： 注：非特殊角的三角函数值，请查三角函数表
θ是锐角： 0 0 tanθ>0 cotθ>0
1.锐角三角函数值都是正值。 2.当角度在0°～90°间变化时， 正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） ； 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； 正割值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余割值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。 3.当角度在0°≤A≤90°间变化时，0≤sinA≤1, 0≤cosA≤1；当角度在0°0。
锐角三角函数
数学函数
01 相关概念
03 关系式
目录
02 三角函数值
锐角三角函数是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。我们把锐角∠A的正弦、余弦、正切和余切都叫做 ∠A的锐角函数。
相关概念
图1直角三角形锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），余割 （csc）都叫做角A的锐角三角函数。初中学习的锐角三角函数值的定义方法是在直角三角形中定义的，所以在初 中阶段求锐角的三角函数值，都是通过构造直角三角形来完成的，即把这个角放到如图1所示的直角三角形中，则 锐角三角函数可表示如下：
锐角三角函数的简单运用
锐角三角函数的计算方法包括直接计算、利用三角恒等式化简、利用同角关系式化简等。 掌握这些计算方法是解决三角函数问题的基本技能。
对未来学习锐角三角函数的建议
01
深入理解概念
在学习锐角三角函数的过程中，要深入理解其概念，掌握其性质和定理，
这样才能更好地运用它们解决实际问题。
02 03
利用三角函数求长度
在直角三角形中，已知角度和一边长度，可以利用正弦、余弦、正切等三角函数 求出另一边的长度。
利用三角函Байду номын сангаас求距离
在平面几何问题中，可以利用三角函数求两点之间的距离，或者点到直线的距离 。
判断三角形形状问题
利用三角函数判断三角形形状
通过比较三角形的三个内角的三角函数值，可以判断三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角 形。
正弦函数的性质
01
02
03
定义域
正弦函数在第一象限和第 二象限有定义，即角度范 围在0到180度之间。
值域
正弦函数的值域为[-1,1]， 表示角度的正弦值永远不 会超过1或小于-1。
单调性
正弦函数在第一象限和第 二象限内是单调递增的， 随着角度的增加，正弦值 也会增加。
余弦函数的性质
定义域
余弦函数在第一象限和第 四象限有定义，即角度范 围在0到180度之间。
锐角三角函数的 简单运用
目录
• 引言 • 锐角三角函数的性质 • 锐角三角函数的计算方法 • 锐角三角函数在几何问题中的应
用 • 锐角三角函数在实际问题中的应
用 • 总结与展望
01
引言
锐角三角函数的定义
锐角三角函数是三角函数中的一种， 主要研究锐角的角度与其边长之间的 关系。常见的锐角三角函数有正弦、 余弦和正切。
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sin ∠ACD=
= AC 5
∴sinB=
4 5
求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以转化
为求和它相等角的正弦值。
2.在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6， 求sinB，cosB，tanB.
A
B
C
D
3.如图平面直角坐标系中，点P的坐标为（4，3）。求OP与x 轴正半轴夹角α的A BC 2，cos A AC 5 ，tan A BC 2 2 5 .
AB 3
AB 3
AC 5 5
sin B AC 5 ，cosB BC 2，tan B AC 5 .
AB 3
AB 3
BC 2
延伸：由上面的计算，你能猜想∠A，∠B的正弦、余弦值 有什么规律吗？
锐角三角函数
——余弦 正切
复习与探究：
在 RtABC 中，C 90
B 1.锐角正弦的定义
c
A
b
a ∠A的正弦： sinA A的对边 BC a
斜边 AB c
C
2、当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之 确定。此时，其他边之间的比是否也随之确定？为 什么？
新知探索: 1、你能将“其他边之比”用比例的
y
P（4，3）
α O
x Q
提示：过P作PQ 轴于Q点，这样来构造一个直角三 角形，再利用定义即可以求出答案。
思考：如果P为（4，-3），问题不变，答案又是多少？
• 求三角函数的几种方法:
1.直接利用定义来求解。 2.知道一边和一个函数值，先求出另一边，再利
用定义求解。 3.利用等角来代换。 4.如果不是直角三角形，要构造成直角三角形。
tan
A
A的对边 A的邻边
a b
同样地， cosA， tanA也是A的函数。
锐角A的正弦、余弦、 正切都叫做∠A的锐角三角 函数.
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=2，
AB=3，求∠A，∠B的正弦、余弦、正切值．
B
解：在RtABC中， AC AB2 BC2 32 22 5,
• cosA，tanA没有单位，它表示一个比值， 即直角三角形中∠A的邻边与斜边的比、对 边与邻边的比，与三角形的大小无关。
• cosA不表示“cos”乘以“A”， tanA不表 示“tan”乘以“A”。
在 RtABC 中，C 90
sin
A
A的对边 斜边
a c
cos
A
A的邻边 斜边
b c
对于锐角A的每一 个确定的值，sinA有 唯一确定的值与它对 应，所以sinA是A的函 数。
cos A AC 4 ，tan B AC 4 .
AB 5
BC 3
C
1、如图, ∠C=90°CD⊥AB.
sinB可以写成哪两条线段之比?
A
若ＡC=5,CD=3,求sinB
解: ∵∠B=∠ACD
┌
D
B
∴sinB=sin∠ACD
在Rt△ACD中，AD= AC2－CD2 = 52－32 =4
AD 4
余弦（cosine），记作cosA， 即
斜边c
cos
A
A的邻边 斜边
b c
A 邻边b
B 对边a C
★我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的
正切（tangent），记作tanA， 即
tan
A
A的对边 A的邻边
a b
注意
• cosA，tanA是一个完整的符号，它表示 ∠A的余弦、正切，记号里习惯省去角的符 号“∠”；如果用三个字母表示角时，符 号“∠”不能省略。
B 式子表示出来吗？这样的比有多少
？
c
a
ba
A
b
C
cb
2、当锐角A确定时，∠A的邻边与斜边的比， ∠A 的对边与邻边的比也随之确定吗？为什么？交流并 说出理由。
方法一：从特殊到一般，仿照正弦的研究过程；
方法二：根据相似三角形的性质来说明。
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
★我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的
结论：一个锐角的正弦等于它余角的余弦，或一个锐角的 余弦等于它余角的正弦。
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
BC=6，sin A 3 ，求cosA和tanB的值． B
5
6
解： sin A BC ， AB
A
C
AB BC 6 5 10. sin A 3
又AC AB2 BC2 102 62 8,
常见的几种情况如下： 一是一些特殊三角形，如等腰三角形； 二是在平面直角坐标系中； 三是由题意直接构造直角三角形。