四川省成都市2019-2020学年高一下学期期中考试数学试卷【含答案及解析】
，则其通项公式为
；
对于一切实数 恒成立，又存在
，
使
成立，则
的最小值为 ；
③若正实数 满足
，且不等式
恒成立，则实
数 的取值范围是
.
2
其中正确的个数为 A. B. C. D.
二、填空题
13. 在
中，
________ ；
分别是角
的对边，，且
，
，则 的值为
14. 数列 中，
，则其通项公式 = ________ ；
，塔顶 的仰
A.
B.
C.
D.
8. 已知
A.
B.
，且满足 C.
，那么 D.
的最小值为（ ）
9. 已知 是等比数列，且
，则
A.
B. C. D. 2
10. 已知 A. B.
，则 C. D.
11. 在
中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 边上的高为 ，
则 最大值为（ ）
A. 2 B.
C.
D. 4
12. 给出以下三个结论： ①若数列 的前 项和为 ②已知 ，一元二次不等式
． ，不等式
18. 已知
为
的三个内角，且其对边分别为
（1）求 ；
（2）若
，
. ，求
的面积.பைடு நூலகம்
的解集为 ，且 ，若
3
19. 已知等差数列 的前 项和为 ，且满足
．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若
，求数列 的前 项和 ．
20. 已知向量
，若
（1）求 递增区间；
（2）
中，角
的对边分别是 ,且
, ，求
21. 设数列 （1）求数列 （2）设
第 4 题【答案】 5
第 5 题【答案】 第 6 题【答案】 第 7 题【答案】
6
第 8 题【答案】 第 9 题【答案】
第 10 题【答案】 7
第 11 题【答案】 第 12 题【答案】
8
9
第 13 题【答案】 第 14 题【答案】
第 15 题【答案】 10
第 16 题【答案】 11
12
15. 已知
,且
，则
_______ ；
16. 函数 是定义在 上的不恒为零的函数，对于任意实数 满足：
,
,
考查下列结论：①
；② 为奇函数；③数列 以上结论正确的是 __________ ．
为等差数列；④数列
为等比数列.
三、解答题
17. 已知不等式
的解集为
（1）求 的值；
（2）若不等式
的解集为
，求实数 的取值范围.
四川省成都市 2019-2020 学年高一下学期期中考试
数学试卷
题号
一
二
三
总分
得分
一、选择题
1. A. B.
的值是 C. D.
2. 不等式
的解集为
A.
B.
C.
D.
3. 已知 为等差数列 A. 30 B. 45 C. 60 D. 120
的前 项和，若
4. 已知
，则
的值为
A. B.
C. D.
，则 等于（ ）
的前 项和为
，且对任意正整数 ，满足
的通项公式;
，求数列 的前 项和 .
的取值范围． ．
22. 已知数列
满足：
，且 是函数
的零点
．
（1）求
；
（2）设
，求证：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
（3）设 范围．
，不等式
恒成立时，求实数 的取值
4
第 1 题【答案】
参考答案及解析
第 2 题【答案】
第 3 题【答案】
5. 若
A.
B.
则一定有（ ）
C.
D.
6. 在
中，
，则这个三角形一定是 （ ）
A. 等腰三角形________ B. 直角三角形________ C. 等腰直角三角形________ D. 等腰或
直角三角形
1
7. 如图，要测出山上石油钻井的井架 的高，从山脚 测得 角 ，塔底 的仰角 ，则井架的高 为
第 17 题【答案】 13
14
第 18 题【答案】
第 19 题【答案】 15
第 20 题【答案】 16
第 21 题【答案】 17
18
第 22 题【答案】 19
20
四川省成都市第七中学2019_2020学年高一数学下学期半期考试试题
四川省成都市第七中学2019-2020学年高一数学下学期半期考试试题考试时间：120 分钟 满分：150 分一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题列出的 四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 的值为︒105sin223.+A 426.+B 221.+C 42-6.D2．已知等差数列{}n a 中，4,774==a a ，则公差d 的值为21.A 1.B 1-C.21-D.3．已知21cos sin =-x x ，则x 2sin 的值为 21.A 41.B 43.C 23.D4．若011<<ba ，则下列结论中不正确的是22.b a A <2.b ab B <2.>+ba ab C ba b a D +>+.5．在ABC ∆中，内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，且︒︒===45,1202C B b ，,则边c 的大小是2.A3.B 2.C 6.D6．等差数列{}n a 中，24010=S ,那么74a a +的值是60.A 24.B 36.C 48.D7. 设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，161216a a =，则36S S 的值为 89.A 9.B 7-9.或C 8789.或D8. 的结果为化简︒︒︒︒-50sin 40sin 5sin 5cos 22 1.A 21.B 2C.1-D.9. 在31tan tan ,120==∆︒B AC ABC 中，，的值为则B A tan tan 334.A 332.B 433C.233D.10. 已知数列{}n a 为各项均为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若482=⋅a a ，且21375=-a a ，则5S 的值为 64.A 62.B 06C. D.5811. 有一块半径为2，圆心角为︒45的扇形钢板，从这个扇形中切割下一个矩形（矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上，且矩形的一边在扇形的半径上），则这个内接矩形的面积最大值为22.+A 2-2.B 2-22C.22D.2+12. 实数c b a 、、满足0122=+-+=b c a a 且012=++b a ，则下列关系成立的是c a b A >>.b a c B >>.a c b >>C.ab D.>>c二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共计20分13. 已知直线l 斜率的取值范围是()1,3-，则l 的倾斜角的取值范围是14. 已知()απαπ-=⎪⎭⎫⎝⎛+cos 22cos ，则=⎪⎭⎫⎝⎛-απ4tan 15. 不等式()0622≥---x x x 的解集是16. 已知正数y x ,满足2=+y x ，若2122+++≤y y x x a 恒成立，则实数a 的取值范围是 三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤． 17. （本小题满分 10 分） 解关于x 的不等式 ()R a ax x ∈>++,022218. （本小题满分 12分）在ABC ∆内，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、且()B a c B c A b cos cos cos -=-（1）求角B 的大小；（2）若ABC ∆的面积为33，13=b ，求c a +的值．19. （本小题满分 12 分）在等差数列{}n a 中，38,269573-=+-=+a a a a . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n n b a +是首项为1，公比为t 的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S20. （本小题满分12分）已知函数()()0cos 2cos sin 322>+=ωωωωx s x x x f 的周期为3π （1）求函数()x f 的单调递增区间和最值;（2）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈6,0πx 时，函数()()12+-=m x f x g 恰有两个不同的零点，求实数m 的取值范围.21. （本小题满分 12 分）已知数列{}n a 满足λ+==+n n a a a 3,111（λ为常数）．（1）试探究数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+λ21n a 是否为等比数列，并求n a ； （2）当2=λ时，求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+λ21n a n 的前n 项和n T ．22. （本小题满分 12 分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()*∈=+N n a S n n ,413（1）求{}n a 的通项公式;（2）求证：15141433221->+++++n S S S S S S S S n n Λ。
四川省成都市第七中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(解析版)
成都七中高2026届高一下期期末考试数学试题一.单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若2i z =-,则z z -=（）A.B.2iC.2D.4【答案】C 【解析】【分析】根据共轭复数写出z ，即可求出模长.【详解】2i z =- ，2i z ∴=+，即(2i)(2i)2i 2z z -=+--==.故选：C.2.若2,a a = 与b 夹角为60，且()b a b ⊥- ，则b = （）.A.32B.1C.D.2【答案】B 【解析】【分析】根据向量垂直，结合数量积的定义即可列方程求解.【详解】由()b a b ⊥- ，得20b a b ⋅-= ，故22cos600b b ⋅-=，故1b = 或0b = ，若0b = ，则,a b共线，不满足题意，故1b = ，故选：B3.已知tan 2α=，α为锐角，则πsin()4α+=（）. A.1010B.1010 C.31010-D.31010【答案】D 【解析】【分析】利用两角和的正弦公式把πsin()4α+展开，然后利用同角三角函数基本关系即可求解.【详解】πππ2sin(sin coscos sin (sin cos )4442ααααα+=+=+ ,，,α为锐角，sin 0,cos 0αα∴>>，sin tan 2cos ααα== ，sin 2cos αα∴=，又22sin cos 1αα+= sin ,cos 55αα∴==，即35sin cos 5αα+=，得0π2sin()31n cos 4201ααα+=+=.故选：D.4.将函数()sin f x x =的图象先向左平移π3个单位长度，再将得到的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，则()g x 的一条对称轴可能为（）.A.5π12B.π12C.5π3D.π3【答案】D 【解析】【分析】根据平移伸缩得到三角函数解析式再求对称轴即可.【详解】将函数()sin f x x =的图象先向左平移π3个单位长度，再将得到的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()1πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则对称轴为πππ,Z 232x k k +=+∈,所以对称轴为π2π,Z 3x k k =+∈，当0k =时对称轴为π3x =.故选：D.5.已知,,αβγ是三个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，且m αβ⋂=，给出下列四个命题:①若//m n ，则//n α或//n β②若m n ⊥，则n α⊥或n β⊥③若,αβγβ⊥⊥，则//αγ④若,//n m n γβ⋂=，则//γα则上述命题中正确的个数为（）.A.0B.1C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】利用直线、平面间的位置关系判断即可.【详解】对于①，若,//m m n αβ⋂=，则如图所示，第一种情况，n 在,αβ外，可得//n α或//n β；第二种情况，n 在β内，可得//n α；第三种情况，n 在α内，可得//n β，综上所述，//n α或//n β，故①正确；对于②，若,m m n αβ⋂=⊥，则n 与α相交或在α内，n 与β相交或在β内，故②错误；对于③，若m αβαβγβ⊥⋂=⊥，，，则,αγ相交或//αγ，故③错误；对于④，若,,//m n m n αβγβ⋂=⋂=，则//γα或γ与α相交，故④错误.故选：B.6.同时抛掷两枚质地均匀的六面骰子，则所得点数之差绝对值小于2的概率为（）.A.23B.59C.49D.13【答案】C 【解析】【分析】|根据古典概型计算即可.【详解】同时抛掷两枚质地均匀的六面骰子，则所得点数分别为,x y ，共有36种情况，点数之差绝对值小于2的情况有()()()()()()()()()()()()()()()()1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,2,1,3,2,4,3,5,4,6,5共16种点数之差绝对值小于2的概率为()1642369P x y -<==.故选：C.7.羌族是中国西部地区的一个古老民族，被称为“云朵上的民族”，其建筑颇具特色.碉楼是羌族人用来御敌、储存粮食柴草的建筑，一般多建于村寨住房旁.现有一碉楼，其主体部分可以抽象成正四棱台1111ABCD A B C D -，如图，已知该棱台的体积为311224m 8m 4m AB A B ==，，，则二面角1A AB C--的正切值为（）.A.3B.2C.D.32【答案】A 【解析】【分析】先求出正四棱台的高，再取正四棱台上下底面的中心为1,O O ，取11,AB A B 的中点,E M ，作1//MN OO 交OE 于点N ，则MEN ∠为二面角1A AB C --的平面角，即可求解．【详解】解：设正四棱台的高为h ，则(221843V h =++，得()12246416323h =++，得6h =，取正四棱台上下底面的中心为1,O O ，如图所示：取11,AB A B 的中点,E M ，作1//MN OO 交OE 于点N ，则MEN ∠为二面角1A AB C --的平面角，则184=6,22MN OO h EN -====，得6tan 32MN MEN EN∠===，故选：A8.在ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知160a A == ，，设O G ，分别是ABC 的外心和重心，则AO AG ⋅的最大值是（）A.12B.13 C.14D.16【答案】B 【解析】【分析】设D 为BC 边中点，连接OD ,作OH AC ⊥于H ，即H 为AC 中点，求得212AO AC AC ⋅= ，212AO AB AB ⋅= ，化解得221166AO AG AB AC +=⋅ ，再通过余弦定理及均值不等式即可求解.【详解】设D 为BC 边中点，连接OD ,作OH AC ⊥于H ，即H 为AC 中点，因为21|||cos |||||2AO AC AO AC OAC AH AC AC ⋅=⋅∠=⋅= ,同理21|||cos 2|AO AB AO AB OAB AB ⋅=⋅∠= ,则()221332AO AG AO AD AO AB AC ⎛⎫⋅=⋅=⋅+ ⎪⎝⎭()()222211113666AO AB AC AB b c =⋅+=+=+，在ABC 中，1,60a A ==︒，由余弦定理得2222cos60a b c bc ︒=+-，即221b c bc +=+，由均值不等式，2212bc b c bc +=+≥，所以1bc ≤（当且仅当1b c ==等号成立），所以()()()2211111116663AO AG c b bc ⋅=+=+≤+= .故选：B．二.多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知()()1,,2,3a b ==+λλr r，则（）.A.“1λ=”是“a ∥b”的必要条件B.“3λ=-”是“a ∥b”的充分条件C.“12λ=-”是“a b ⊥ ”的必要条件D.“12λ=”是“a b ⊥ ”的充分条件【答案】BC 【解析】【分析】对于AB ：根据向量平行的坐标表示结合充分必要条件分析判断；对于CD ：根据向量垂直的坐标表示结合充分必要条件分析判断.【详解】因为()()1,,2,3a b ==+λλr r，对于选项AB ：若a ∥b，则()23+=λλ，解得1λ=或3λ=-，可知a ∥b，等价于1λ=或3λ=-，若a ∥b ，不能推出1λ=，所以“1λ=”不是“a ∥b”的必要条件，故A 错误；若3λ=-，可以推出a ∥b ，所以“3λ=-”是“a ∥b”的充分条件，故B 正确；对于选项CD ：若a b ⊥，则230++=λλ，解得12λ=-，可知a b ⊥ ，等价于12λ=-，若a b ⊥ ，可以推出12λ=-，所以“12λ=-”是“a b ⊥ ”的必要条件，故C 正确；若12λ=，不能推出a b ⊥ ，“12λ=”不是“a b ⊥ ”的充分条件，故D 错误；故选：BC.10.已知一组样本数据()12201220,,,,x x x x x x ≤≤≤ 下列说法正确的是（）.A.该样本数据的第60百分位数为12x B.若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则其平均数大于中位数C.若样本数据的方差2022112520i i s x ==-∑，则这组样本数据的总和为100D.若由()21,2,,20i i y x i == 生成一组新的数据1220,,,y y y ，则这组新数据的平均值是原数据平均值的2倍【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，结合百分位数、数据方差，以及平均数与方差的性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A ，由200.612⨯=，可得第60百分位数为12132x x +，错误；对于B ，数据的频率分布直方图为单峰不对称，向右边“拖尾”，大致如图所示，由于“右拖”时最高峰偏左，中位数靠近高峰处，平均数靠近中点处，此时平均数大于中位数，正确；对于C ，由()11222202011252020i i i i s x x x ===∑-=∑-，则20202221150020i i i i x x x ==-=-∑∑，所以5x =,故这组样本数据的总和等于20100x =，正确；对于D ，若由()21,2,,20i i y x i == 生成一组新的数据1220,,,y y y ，则这组新数据的平均值是原数据平均值的2倍，正确．故选：BCD ．11.如图，在长方体ABCD A B C D -''''中，2,4,AB BC AA '===N 为棱C D ''中点，1,2D M P '=为线段A B '上一动点，下列结论正确的是（）.A.线段DP 长度的最小值为655B.存在点P ,使AP PC +=C.存在点P ，使A C '⊥平面MNP D.以B 为球心，176为半径的球体被平面AB C '所截的截面面积为6π【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，在三角形中，由垂线段最短即可计算得到；对于B ，通过平面翻折，化空间到平面，利用两点之间线段最短计算出AP PC +的最小值，再与C ，依题意作出经过三点,,M N P 的平面，再证明A C '与平面垂直即得；对于D ，利用球的截面圆的性质，先通过等体积求得球心到平面的距离，再由垂径定理求出截面圆半径即得.【详解】对于A ，如图1，因A B A D ''===,BD =,故当DP A B ⊥'时，线段DP 长度最小，此时由等面积，1122DP ⨯⨯，解得655DP ==，故A 正确；对于B ，如图2，将平面A D CB ''旋转至平面11BC D A ',使之与平面A AB '共面，连接1AC 与A B '交于点1P ，此时1111AP PC AC +=为最小值.sinA BA '∠==,190A BC '∠=,故1cos cos(90)sinABC A BA A BA ''∠=∠+=-∠=-由余弦定理，2221122222cos 88(8AC ABC =+-⨯⨯∠=-⨯-=+,故1AC =>因此不存在这样的点P ，使AP PC +=B 错误；对于C ，如图3，取131,,22B E B F A G =='=''，连接FG 交A B '于P ，下证AC MN '⊥.连接D C ',由2D N D DD M DC''=='可得ND M D DC '' ,则得D C MN '⊥,因D A ''⊥平面DCC D '',因MN ⊂平面DCC D '',则D A MN ''⊥,因D C D A D ''''⋂=,,D C D A '''⊂平面A D C ''，故MN ⊥平面A D C ''，又A C '⊂平面A D C '',故A C MN '⊥.同理，A C EN '⊥,因MN EN N ⋂=,,MN EN ⊂平面MEN ,故A C '⊥平面MEN .下证//EF GM .取线段A G '的三等分点,J K ,取A D ''的中点H ，连接,,,EH HJ JF D K ',易证////,EH A B FJ EH A B FJ ''''==,则得EFJH ,得//EF JH ,易得//JH D K ',因//,D M GK D M GK ''=,得D MJK ' ,得//D K GM ',故得//EF GM .同理可得//MN FG ，因此,,,,M N E F G 五点共面．由A C '⊥平面MEN 可得A C '⊥面MNEFG .所以存在这样的点P 使A C '⊥面MNP ，故C正确；对于D ，如图4，以点B 为球心，176为半径的球面被面AB C '所截的截面为圆形，记其半径为r，则r =（*），其中d 为点B 到平面AB C '的距离．由B ABC B AB C V V --''=可得，1133ABC AB C S BB S d ''⨯⨯=⨯⨯ ，则122442132d ⨯⨯⨯==⨯，代入（*），得52r =，所以截面面积225ππ4S r ==，故D 错误．故选：AC.【点睛】关键点点睛：本题主要考查多面体中与动点有关的距离最值，截面性质问题，属于难题.解题关键在于处理距离和的最小值常常需要平面翻折，截面问题，一般应先作出截面，再根据条件分析截面性质，对于球的截面圆，常通过垂径定理求解.三.填空题:本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12.习主席曾提出“绿水青山就是金山银山”的科学论断，为响应国家号召，农学专业毕业的小李回乡创业，在自家的田地上种植了,A B 两种有机生态番茄共5000株，为控制成本，其中A 品种番茄占40%.为估计今年这两种番茄的总产量，小李采摘了10株A 品种番茄与10株B 品种番茄，其中A 品种番茄总重17kg ，B 品种番茄总重23kg ，则小李今年共可收获番茄约_______kg .【答案】10300【解析】【分析】求解两种番茄的种植株数，利用比例即可求解.【详解】由题意，知A 品种番茄共40%5000=2000⨯株，B 品种番茄3000株，故共可收获番茄约172320003000103001010⨯+⨯=kg ，故答案为：1030013.已知三棱锥A BCD,ABC - 是边长为2的等边三角形，BCD △是面积为2的等腰直角三角形，且平面ABC ⊥平面BCD ，则三棱锥A BCD -的外接球表面积为_______.【答案】28π3##28π3【解析】【分析】判断出等腰直角三角形BCD △的直角，根据面面垂直的性质说明四边形1O EGO 为矩形，求出相关线段长，即可求得三棱锥外接圆半径，即可求得答案.【详解】由于ABC 是边长为2的等边三角形，故2BC =，BCD △是面积为2的等腰直角三角形，假设BDC ∠为直角，则BD DC ==112BCD S ==△不合题意；故DBC ∠或DCB ∠为直角，不妨设DBC ∠为直角，则2BD BC ==；设ABC 的中心为G ，E 为BC 的中点，则,,A G E 共线，且AE BC ⊥，由于平面ABC⊥平面BCD ，平面ABC ⋂平面BCD BC =，AE ⊂平面ABC ，故⊥AE 平面BCD ，设O 为三棱锥A BCD -的外接球球心，1O 为DC 中点，即为BCD △的外接圆圆心，连接1OO ，则1OO ⊥平面BCD ，则1OO AE ∥，连接1OG,O E ，则OG ⊥平面ABC ，AE ⊂平面ABC ,则OG AE ⊥，又⊥AE 平面BCD ，1O E ⊂平面BCD ，则1AE O E ⊥，则四边形1O EGO 为矩形，则112122323OG O E DB ,AG ====⨯=,故22273OA OG AG =+=，故三棱锥A BCD -的外接球表面积为228π4π3OA ⨯=，故答案为：28π314.在ABC 中，43AB AC AB AC P ⊥==，，，为斜边BC 上一动点，点Q 满足2PQ =，且AQ mAB nAC =+，则2m n +的最大值为______________.【答案】1323+【解析】【分析】取AB 中点D ，连接CD 交AQ 于点E ，由平面向量的线性运算得2AQ m n AE+=，过Q 作QF CD ∥交直线AB 于点,AQ AF F AEAD=，如图，当P 与B 重合，FQ 与P 相切时，AF AD取得最大值，即可求解．【详解】AB 中点D ，由题可知点Q 点在以P 为圆心，以2为半径的圆上，则2AQ mAB n AC mAD n AC =+=+；连接CD 交AQ 于点E ，()1AE AD AC λλ=+-，则()()1AQ AQ AQ AE AD AC AE AEλλ=⋅=⋅+- ，故2AQ m n AE+=．过Q 作QF CD ∥交直线AB 于点,AQ AF F AEAD=．如图，当P 与B 重合，FQ 与P 相切时，AF AD取得最大值．则3tan tan 2∠=∠=BFQ ADC，得sin ∠=BFQ ，得2,223sin 33BQ AB BF BF m n BFQAD +===+==∠．故答案为：1323+四.解答题:本大题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是AC 的中点，E 是1AA 的中点，点F 在AB上.（1）当F 是AB 的中点时，证明:平面//EFO 平面11A D C ;（2）当F 是靠近B 的三等分点时，求异面直线FO 与1AC 所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）3015．【解析】【分析】（1）利用OF OE ，分别为11,BC A C A D 的中位线，得到//OF 平面11A D C ，//OE 平面11A D C ，借助面面平行的判定定理证明即可;（2）由1//OE A C 可知EOF ∠或其补角为异面直线FO 与1AC 所成角，借助余弦定理求出即可.【小问1详解】由正方体1111ABCD A B C D -可知，,O E 是1,AC AA 中点，所以1//,OE A C 因为11A D ⊂平面11,A D C OE ⊄平面11A D C ，所以//OE 平面11A D C .因为F 是AB 中点，O 是AC 中点，所以OF 为ABC 的中位线，故11////OF BC A D ．又由于1AC ⊂平面11,A D C OF ⊄平面11A D C ，所以//OF 平面11A D C ．又,,OE OF O OE OF =⊂ 平面EFO ，故平面//EFO 平面11A D C ．【小问2详解】由1//OE A C 知，异面直线FO 与1AC 所成角即为EOF ∠或其补角．由于1AA ⊥平面,,ABCD AB AO ⊂平面ABCD ，则1AA 与,AB AO 都垂直，所以90EAF EAO ∠=∠=︒，由题意得4AF =，在Rt EAF △中，由勾股定理可得5EF =．易得3AO AE ==，在Rt EAO △中，由勾股定理可得EO =在OAF △中，45CAB ∠=︒，由余弦定理得FO ==，在EOF 中，由余弦定理可得2222cos EF EO FO EO FO EOF =+-⋅⋅∠，代入解得cos 015EOF ∠==>．所以异面直线FO 与1AC 所成角的余弦值为3015．16.2024年4月26日，主题为“公园城市、美好人居”的世界园艺博览会在四川成都正式开幕，共建成113个室外展园，涵盖了英式、法式、日式、意式、中东、东南亚等全球主要园林风格，吸引了全球各地游客前来参观游玩.现从展园之一的天府人居馆中随机抽取了50名游客，统计他们的参观时间(从进入至离开该展园的时长，单位:分钟，取整数)，将时间分成[)[)[]455555658595 ，，，，，，五组，并绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求图中a 的值;（2）由频率分布直方图，试估计该展园游客参观时间的第75百分位数(保留一位小数);（3）由频率分布直方图，估计样本的平均数¯(每组数据以区间的中点值为代表).【答案】（1）0.015a =；（2）78.3（3）69x =．【解析】【分析】（1）应用频率和为1求参数；（2）应用频率分布直方图求百分位数步骤求解；（3）应用频率分布直方图求平均数步骤求解.【小问1详解】由样本频率分布直方图可知()0.0120.0250.035101a +++⨯=，解得0.015a =；【小问2详解】样本频率直方图前三组频率之和为()0.0100.0250.035100.70.75++⨯=<，前四组频率之和为()0.0100.0250.0350.015100.850.75+++⨯=>，所以样本数据的第七十五百分位数在第四组内，设其为x ，则()750.0150.700.75x -⨯+=，解得78.3=x ，所以样本数据的第七十五百分位数为78.3．由样本估计总体，估计该展园游客参观时间的第七十五百分位数也为78.3；【小问3详解】0.0110500.03510600.02510700.01510800.0151090x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯，计算可得，样本的平均数69x =．17.甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，并约定规则如下:在每个回合中，若发球方赢球，则得1分，并且下一回合继续由其发球;若发球方输球，则双方均不得分，且下一回合交换发球权;比赛持续三回合后结束，若最终甲乙得分相同，则为平局.已知在每回合中，甲获胜的概率均为23，各回合比赛结果相互独立，第一回合由甲发球.（1）求甲至少赢1个回合的概率;（2）求第二回合中有选手得分的概率;（3）求甲乙两人在比赛中平局的概率.【答案】（1）2627（2）59（3）427．【解析】【分析】（1）根据对立事件概率求法及乘法公式结合条件即得；（2）结合对立事件和独立事件，应用和事件求概率；（3【小问1详解】设事件=i A “第i 回合甲胜”，事件M =“甲至少赢一回合”，故M =“甲每回合都输”．i A 为i A 对立事件，()23i P A =，故()13i P A =．()()()()()()31231231261111327P M P M P A A A P A P A P A ⎛⎫=-=-=-=-=⎪⎝⎭，故甲至少赢1个回合的概率为2627．【小问2详解】设事件N =“第二回合有人得分”，由题可知1212N A A A A =⋃，且12A A 和12A A 互斥，则()()()()()()()1212121259P N P A A P A A P A P A P A P A =+=⋅+⋅=，故第二回合有人得分的概率为59．【小问3详解】设事件Q =“甲乙两人平局”，由题可知，只有0:0与1:1两种情况，因此123123Q A A A A A A =⋃，故()()()()()()()()()123123123123427P Q P A A A P A A A P A P A P A P A P A P A =+=+=，故甲乙两人平局的概率为427．18.记ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知4,2,sin sin 2sin a c a A c C b B ==+=，D 是线段AC 上的一点，满足13AD AC =，过D 作一条直线分别交射线BA 、射线BC 于M N 、两点.（1）求b ，并判断ABC 的形状;（2）求BD 的长;（3）求BM BN ⋅的最小值.【答案】（1）b =，钝角三角形（2）2133（3）409【解析】【分析】（1）由正弦定理得b =cos 0A <，得到π2A >，ABC 是钝角三角形；（2）,BA BC 可作为一组基底，求出5cos ,cos 8BA BC B 〈〉== ，根据题目条件得到2133BD BA BC =+ ，平方后2BD，从而求出答案；（3）设,BM xBA BN yBC ==，根据向量共线得到()()1,0,1BD t BM tBN t =-+∈ ，由向量基本定理得到()21,313x y t t ==-，表达出()291BM BN BA BC t t⋅=⋅-⋅ ，其中50BA BC ⋅=>，由基本不等式求出最小值.【小问1详解】由正弦定理得，222sin sin 2s n 2i a a c A c C b B b ⇒+=+=，又4,2a c ==，解得b =．又因为22220b c a +-=-<，故222cos 02+-=<b c a A bc，因为0πA <<，故π2A >，所以ABC 是钝角三角形．【小问2详解】由平面向量基本定理，,BA BC可作为一组基底向量，且有2,4BA BC == ，2225cos ,cos 28a cb BA BC B ac+-〈〉===．由于13AD AC = ，所以()13BD BA BC BA -=- ，故2133BD BA BC =+ ．BD ==3===；【小问3详解】由题意可设,BM xBA BN yBC == ．由于,,M D N 三点共线，设MD tMN =，01t <<，故()BD BM t BN BM -=- ，故()()1,0,1BD t BM tBN t =-+∈．所以()21133BD t x BA ty BC BA BC =-⋅+⋅=+ ，由平面向量基本定理，解得()21,313x y t t ==-，所以()21,313BM BA BN BC t t ==-．因此()()21231391BM BN BA BC BA BC t t t t ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=⋅ ⎪ ⎪ ⎪--⋅⎝⎭⎝⎭，而||||cos 50BA BC BA BC B ⋅=⋅⋅=>，其中()11122t t t t -+-≤=，当且仅当1t t -=，即12t =时，等号成立，因此当12t =时，409BM BN ⋅= 为最小值．【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.19.如图，斜三棱柱111A B C ABC -中，90ABC ∠= ，四边形11ABB A 是菱形，D 为AB 中点，1A D ⊥平面ABC ，点1A 到平面11BCC B 1AA 与1CC 的距离为2.（1）求证:CB ⊥平面11ABB A ;（2）求1AC 与平面11BCC B 所成角的正弦值;（3）若E F ，分别为1AA AC ，的中点，求此斜三棱柱被平面1B EF 所截的截面面积.【答案】（1）证明见解析（2）155（3）53412．【解析】【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明即可；（2）先根据线面垂直判定定理证明线面垂直，几何法得出线面角，再计算得出正弦值；（3）先找到截面，再计算截面即可.【小问1详解】因为1A D ⊥平面,ABC BC ⊂平面ABC ，故1A D BC ⊥．又由90ABC ∠=︒，即1,,AB BC AB A D D AB ⊥⋂=⊂平面11ABB A ,1A D ⊂平面11ABB A ，因此BC ⊥平面11ABB A ．【小问2详解】由于菱形11ABB A ，且1A D 为AB 的垂直平分线，因此可知1A AB △和11B A B 均为等边三角形．由BC ⊥平面11,ABB A BB ⊂平面1ABB A ，可得1BC BB ⊥，斜三棱柱进一步可得11B BCC 是矩形．此时作1111,A P BB AQ CC ⊥⊥，连接1,,PQ PC AC ．由题知，112,AQ A P =⊂平面11ABB A ，可得111,BC A P BC BB B BB ⊥⋂=⊂，平面11,BCC B BC ⊂平面11BCC B ，因此1AP ⊥平面11BCC B ，因此由题知，1,A P PQ PC =⊂平面11BCC B ，所以也有11,A P PQ A P PC ⊥⊥．因此，1ACP ∠为1AC 与平面11BB C C 所成角．在1Rt A PQ △中，1PQ ==，由矩形可知1BC PQ ==．由于1A P =1B AB △中，可以解得12,BB P =为1BB 中点，1BP =．所以，在Rt BCP △中，PC =1Rt ACP △中，1AC =．因此，111115sin ,5A P ACP AC AC ∠===与平面11BB C C所成角的正弦值为5．【小问3详解】延长1,EF C C 交于点M ，连接1MB ，交BC 于N ，连接FN ，如图，故四边形1B EFN 即为所得截面．上一问可知，菱形11ABB A 的边长为2，矩形11B BCC 中1BC =，平行四边形11ACC A中111112,AA CC AC AC AC =====．要计算截面1B EFN 的面积，首先研究1B EM △．在11A B E △中，由于11120EA B ∠=︒，由余弦定理可得1B E =,E F 为中点，因此12EM EF AC ===，此时有1MC AE ==，在直角11MB C中1MB N =为BC 的三等分点．因此1B EM △中，由余弦定理可得2221111cos 25EM MB EB EMB EM MB +-∠==⋅⋅，第21页/共21页所以可以计算得117sin 5EMB ∠=．设截面面积为S ，由于111,23MF ME MN MB ==，有11111115534sin sin 22612B EM NFM B EM S S S ME MB EMB MF MN EMB S =-=⋅⋅∠-⋅⋅∠==△△△因此，此斜三棱柱被平面1B EF 所截的截面面积为53412．。
四川省成都市2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题含答案
武侯高中高2023级2023——2024下期第一次月考试题数学（答案在最后）学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________一、单选题1.如图，四边形ABCD 中，AB DC =，则必有（）A.AD CB= B.DO OB= C.AC DB= D.OA OC= 【答案】B 【解析】【分析】根据AB DC =，得出四边形ABCD 是平行四边形，由此判断四个选项是否正确即可．【详解】四边形ABCD 中，AB DC =，则//AB DC 且AB DC =，所以四边形ABCD 是平行四边形；则有AD CB =-，故A 错误；由四边形ABCD 是平行四边形，可知O 是DB 中点，则DO OB =，B 正确；由图可知AC DB≠，C 错误；由四边形ABCD 是平行四边形，可知O 是AC 中点，OA OC =-，D 错误．故选：B ．2.下列说法正确的是（）A.若a b ∥ ，b c ∥，则a c∥ B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C.两个单位向量的长度相等D.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等【答案】C 【解析】【分析】A.由0b =判断；B.由平面向量的定义判断；C.由单位向量的定义判断； D.由共线向量判断.【详解】A.当0b = 时，满足a b ∥ ，b c ∥，而,a c 不一定平行，故错误；B.两个有共同起点，且长度相等的向量，方向不一定相同，所以它们的终点不一定相同，故错误；C.由单位向量的定义知，两个单位向量的长度相等，故正确；D.若两个单位向量平行，则方向相同或相反，但大小不一定相同，则这两个单位向量不一定相等，故错误；故选：C3.若a b ，是平面内的一组基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（）A.,a b b a --B.21,2a b a b++ C.23,64b a a b-- D.,a b a b+- 【答案】D 【解析】【分析】根据基底的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，()b a a b -=-- ，所以a b b a -- ，共线，不能作为基底.B 选项，1222a b a b ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ ，所以12,2a b a b ++ 共线，不能作为基底.C 选项，()64223a b b a -=-- ，所以64,23a b b a --共线，不能作为基底.D 选项，易知a b a b +-，不共线，可以作为基底.故选：D4.将函数2cos 413y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移3π个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A.12x π=B.6x π=-C.3x π=-D.12x π=-【答案】B 【解析】【分析】根据图像的伸缩和平移变换得到2cos(2)13y x π=++，再整体代入即可求得对称轴方程.【详解】将函数2cos 413y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到2cos 213y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再向左平移3π个单位，得到2cos[2()]12cos(2)1333y x x πππ=+-+=++，令23x k π+=π，Z k ∈，则26k x ππ=-，Z k ∈.显然，=0k 时，对称轴方程为6x π=-，其他选项不符合.故选：B5.设a ，b 是非零向量，“a a bb =”是“a b =”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案.【详解】由a a b b =表示单位向量相等，则,a b 同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出a b =，由a b =表示,a b 同向且模相等，则a a b b = ，所以“a a bb =”是“a b =”的必要而不充分条件.故选：B6.已知向量,a b ，且2,52,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=+，则下列一定共线的三点是（）A.,,A B CB.,,B C DC.,,A B DD.,,A C D【答案】C 【解析】【分析】利用向量的共线来证明三点共线的．【详解】2,52,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=+，则不存在任何R λ∈，使得AB BC λ=，所以,,A B C 不共线，A 选项错误；则不存在任何R μ∈，使得BC CD μ=，所以,,B C D 不共线，B 选项错误；由向量的加法原理知242BD BC CD a b AB =+=+=．则有//BD AB ，又BD 与AB有公共点B ，所以,,A B D 三点共线，C 选项正确；44AB BC a b AC ==-++，则不存在任何R t ∈，使得AC tCD = ，所以,,A C D 不共线，D 选项错误．故选：C ．7.已知sin α＝5，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则角α＋β的值为（）A.4π B.34π C.3π D.23π【答案】B 【解析】【分析】先求出tan α12=，再利用两角和的正切公式求出tan(α＋β)＝－1，判断出角α＋β的范围，即可求出α＋β的值.【详解】sin α，且α为锐角，则cos α5=，tan αsin 1cos 2αα==.所以tan(α＋β)＝tan tan 1tan tan αβαβ+-＝13211(3)2--⨯-＝－1.又α＋β∈3(,22ππ，故α＋β＝34π.故选：B8.筒车亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具，唐陈廷章《水轮赋》：“水能利物，轮乃曲成.升降满农夫之用，低徊随匠氏之程.始崩腾以电散，俄宛转以风生.虽破浪于川湄，善行无迹；既斡流于波面，终夜有声.”如图，一个半径为4m 的筒车按逆时针方向每分钟转一圈，筒车的轴心O 距离水面的高度为2m .在筒车转动的一圈内，盛水筒P 距离水面的高度不低于4m 的时间为（）A.9秒B.12秒C.15秒D.20秒【答案】D 【解析】【分析】画出示意图，结合题意和三角函数值可解出答案.【详解】假设,,A O B 所在直线垂直于水面，且4AB =米，如下示意图，由已知可得12,4OA OB OP OP ====，所以1111cos 602OB POB POB OP ∠==⇒∠=︒，处在劣弧 11PP 时高度不低于4米，转动的角速度为360660︒=︒/每秒，所以水筒P 距离水面的高度不低于4m 的时间为120206=秒，故选：D.二、多选题9.已知函数()cos f x x x =+，则下列判断正确的是（）A.()f x 的图象关于直线π6x =对称 B.()f x 的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C.()f x 在区间2π,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.当π2π,33x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()1,1f x ∈-【答案】BC 【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数()f x 的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断AB 选项；利用正弦型函数的单调性可判断C 选项；利用正弦型函数的值域可判断D 选项.【详解】因为()πcos 2sin 6f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，对于A选项，ππ2sin 63f ⎛⎫==⎪⎝⎭，故函数()f x 的图象不关于直线π6x =对称，A 错；对于B 选项，π2sin 006f ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，故函数()f x 的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，B 对；对于C 选项，当2π03x -≤≤时，πππ266x -≤+≤，则函数()f x 在区间2π,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，C 对；对于D 选项，当π2π33x -<<时，ππ5π666x -<+<，则1πsin 126x ⎛⎫-<+≤ ⎪⎝⎭，所以，()(]π2sin 1,26f x x ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，D 错.故选：BC.10.下图是函数()sin()(0π)f x A x ωϕϕ=+<<的部分图像，则（）A.2πT =B.π3ϕ=C.π,06⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 D.()f x 的单调递增区间为5πππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（Z k ∈）【答案】BCD 【解析】【分析】由图象可得πT =，由2πT ω=可求出ω，再将π12⎛⎝代入可求出ϕ可判断A ，B ；由三角函数的性质可判断C ，D .【详解】根据图像象得35ππ3ππ246124T T =-=⇒=⇒=ω，故A 错误；π12x =时，πππ22π2π1223k k ⨯+=+⇒=+ϕϕ，0πϕ<< ，π3ϕ∴=，故()π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故B 正确；因为πππ20663f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⋅-+= ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，C 正确；令πππ2π22π232k x k -+≤+≤+，解得5ππππ1212k x k -+≤≤+，Z k ∈．故D 正确．故选：BCD .11.潮汐现象是地球上的海水受月球和太阳的万有引力作用而引起的周期性涨落现象.某观测站通过长时间观察，发现某港口的潮汐涨落规律为πcos 63y A x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（其中0A >，0ω>），其中y （单位：m ）为港口水深，x （单位：h ）为时间()024x ≤≤，该观测站观察到水位最高点和最低点的时间间隔最少为6h ，且中午12点的水深为8m ，为保证安全，当水深超过8m 时，应限制船只出入，则下列说法正确的是（）A.π6ω=B.最高水位为12mC.该港口从上午8点开始首次限制船只出入D.一天内限制船只出入的时长为4h 【答案】AC 【解析】【分析】根据题意可求得6π=ω，可知A 正确；由12点时的水位为8m 代入计算可得4A =，即最高水位为10m ，B 选项错误；易知ππ4cos 663y x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，解不等式利用三角函数单调性可得从上午8点开始首次开放船只出入，一天内开放出入时长为8h ，即可判断C 正确，D 错误.【详解】对于A ，依题意π62T ω==，所以6π=ω，故A 正确；对于B ，当12x =时，ππcos 126863y A ⎛⎫=⨯++=⎪⎝⎭，解得4A =，所以最高水位为10m ，故B 错误；对于CD ，由上可知ππ4cos 663y x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，令8y ≥，解得812x ≤≤或者2024x ≤≤，所以从上午8点开始首次开放船只出入，一天内开放出入时长为8h ，故C 正确，D 错误.故选：AC.三、填空题12.设e为单位向量，2a =r ，当,a e 的夹角为π3时，a 在e 上的投影向量为______.【答案】e【解析】【分析】利用投影向量的定义计算可得结果.【详解】根据题意可得向量a 在e 上的投影向量为22π21cos 31a e e a e e e e ee e⨯⨯⋅⋅⋅=== .故答案为：e13.已知向量a 、b 满足5a = ，4b = ，a 与b 的夹角为120，若()()2ka b a b -⊥+ ，则k =________.【答案】45##0.8【解析】【分析】运用平面向量数量积公式计算即可.【详解】因为5a = ，4b = ，a 与b的夹角为120 ，所以1cos12054102a b a b ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.因为()2ka b -⊥()a b +r r ，所以()()()()222222521610215120ka b a b kab k a b k k k -⋅+=-+-⋅=-⨯--=-=，解得45k =.故答案为：45.14.已知1tan 3x =，则1sin 2cos 2x x +=______【答案】2【解析】【分析】根据二倍角公式以及齐次式即可求解.【详解】2222222211121sin 2cos sin 2sin cos 1tan 2tan 332cos 2cos sin 1tan 113x x x x x x x x x x x ⎛⎫++⨯ ⎪+++++⎝⎭====--⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：2四、解答题15.已知1a b a == ，与b 的夹角为45︒．（1）求()a b a +⋅的值；（2）求2a b -的值【答案】（1）2（2【解析】【分析】（1）先求2,a a b ⋅ ，再根据运算法则展开计算即可；（2）先计算2b，再平方，进而开方即可.【小问1详解】因为22||1,||||cos 451122a a a b a b ==⋅=︒=⨯=所以2()112a b a a a b ++⋅=⋅=+=【小问2详解】因为22||2b b ==，所以2222|2|(2)444242a b a b a b a b -=-=+⋅=+--=所以|2|a b -=16.已知函数()222cos 1f x x x =+-.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若3π,π4θ⎛⎫∈⎪⎝⎭且()85f θ=-，求cos 2θ的值.【答案】（1）π（2）410-【解析】【分析】（1）利用辅助角公式化简，求出最小正周期；（2）将θ代入可求出πsin 26θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，结合π26+θ的范围，求出πcos 26θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为ππ2266θθ=+-，由两角差的余弦公式求出结果.【小问1详解】()2π22cos 12cos 22sin 26f x x x x x x ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==【小问2详解】()π82sin 265f θθ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，所以π4sin 265θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，因为3π,π4θ⎛⎫∈⎪⎝⎭，1π25π3663π,θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭+，所以π3cos 265θ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以ππππππcos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666θθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3414525210-⎛⎫=⨯+-⨯=⎪⎝⎭.17.如图，在ABC 中，6AB =，60ABC ∠=︒，D ，E 分别在边AB ，AC 上，且满足2AD DB = ，3CE EA =，F 为BC 中点.（1）若DE AB AC λμ=+，求实数λ，μ的值；（2）若8AF DE ⋅=-，求边BC 的长.【答案】（1）23λ=-，14μ=.（2）8【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算以及平面向量的基本定理求得正确答案.（2）利用转化法化简8AF DE ⋅=-，从而求得BC 的长.【小问1详解】∵2AD DB = ，3CE EA= ，∴23AD AB = ，14AE AC = ∴1243DE AE AD AC AB =-=- ，∴23λ=-，14μ=.【小问2详解】12AF BF BA BC BA =-=- ，()1212154343412DE AC AB BC BA BA BC BA =-=-+=+ ，22115115241282412AF DE BC BA BC BA BC BC BA BA ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设BC a = ，∵6AB = ，60ABC ∠=︒，221115668824212AF DE a a ⋅=-⨯⨯-⨯=- ，即2560a a --=，解得7a =-（舍）或8a =，∴BC 长为8.18.设(,)P x y 是角θ的终边上任意一点，其中0x ≠，0y ≠，并记r =cot x y θ=，sec r xθ=，csc r y θ=．（Ⅰ）求证222222sin cos tan cot sec +csc θθθθθθ+--+是一个定值，并求出这个定值；（Ⅱ）求函数()sin cos tan cot sec +csc f θθθθθθθ=++++的最小值．【答案】（Ⅰ）定值为3；（Ⅱ）min ()1f θ=-；【解析】【分析】（Ⅰ）由题可知，分别将6个三角函数分别代入，进行简单的化简，即可得到定值3；(Ⅱ)将()f x 中的未知量均用sin ,cos θθ来表示，得到1sin cos ()sin cos sin cos sin cos g θθθθθθθθθ+=+++，运用换元法设sin cos t θθ+=，化简成2()111g t t θ=-++-，再利用对勾函数的性质即可得到最值．【详解】解：（Ⅰ）222222222222222222sin cos tan cot sec +csc =y x y x r r r x y r y xθθθθθθ+--++--++2222222221113x y r y r x r x y+--⇒++=++=；（Ⅱ）由条件，1cot tan x y θθ==，1sec cos x θ=，1csc sin θθ=令()sin cos tan cot sec +csc g θθθθθθθ=++++sin cos 11sin cos +cos sin cos sin θθθθθθθθ=++++1sin cos sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ+=+++，令sin cos t θθ+=，则sin cos =2sin()4t πθθθ=++[2,2]∈-，1t ≠±，且21sin cos 2t θθ-=，从而2222()11t g y t t t θ==++--22(1)1t t t +=+-221111t t t t =+=-++--，令1u t =-，则21y u u =++，[21,21]u ∈---，且0u ≠，2u ≠-．所以，(,122][322,)y ∈-∞-⋃++∞．从而()221f y θ=≥-，即min ()221f θ=-．19.已知函数()2000ππ2sin sin 2sin 266f x x x x C ωωω⎛⎫⎛⎫=+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（R C ∈）有最大值为2，且相邻的两条对称轴的距离为π2（1）求函数()f x 的解析式，并求其对称轴方程；（2）将()f t 向右平移π6个单位，再将横坐标伸长为原来的24π倍，再将纵坐标扩大为原来的25倍，再将其向上平移60个单位，得到()g t ，则可以用函数()sin()H g t A t B ωϕ==++模型来模拟某摩天轮的座舱距离地面高度H 随时间t （单位：分钟）变化的情况．已知该摩天轮有24个座舱，游客在座舱转到离地面最近的位置进仓，若甲、乙已经坐在a ，b 两个座舱里，且a ，b 中间隔了3个座舱，如图所示，在运行一周的过程中，求两人距离地面高度差h 关于时间t 的函数解析式，并求最大值．【答案】（1）()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππ32k x =+，Z k ∈（2）ππ()50sin 126f x t ⎛⎫=-⎪⎝⎭，50【解析】【分析】（1）由二倍角公式与两角和与差的正弦公式化简得()0π2sin 216f x x C ω⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，再结合最值及周期即可得解析式；（2）由正弦型函数的平移变换与伸缩变换得变换后的解析式为ππ50sin 60122y t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则ππ50sin 126h H H ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭甲乙，再求最值即可.【小问1详解】()00001cos 2π22sin 2cos 2cos 2126x f x x C x x C ωωωω-=⨯++=-++0π2sin 216x C ω⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，所以2121C C ++=⇒=-，因为相邻两条对称轴的距离为π2，所以半周期为ππ22T T =⇒=，故002ππ12=⇒=ωω，()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭令ππππ2π6232k x k x -=+⇒=+，Z k ∈【小问2详解】()f t 向右平移π6得到π2sin 22y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将横坐标伸长为原来的24π倍，得到ππ2sin 122y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将纵坐标扩大为原来的25倍，得到ππ50sin 122y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将其向上平移60个单位，得到ππ50sin 60122y t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭游客甲与游客乙中间隔了3个座舱，则相隔了2ππ4243⨯=，令ππ50sin 60122H t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭甲，则π5π50sin 60126H t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭乙，则πππ5π50sin sin 122126h H H t t ⎛⎫⎛⎫=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭甲乙π1πcos 12212t t =-ππ50sin 126t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π12ω=，24T =，024t ≤≤，故πππ11π61266t -≤-≤，当πππ1262t -=或3π82t ⇒=或20时，max 50h =。
四川省成都市2023-2024学年高一下学期三月月考数学试题含答案
成都高2023级高一（下期）学科素养检测数学试题（答案在最后）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.下列各式中，值为12的是（）A.22cos 151︒- B.2sin75cos75︒︒C.cos18cos42sin18sin42︒︒+︒︒ D.tan30tan151tan30tan15︒+︒-︒︒【答案】B 【解析】【分析】利用二倍角公式和两角和与差的三角函数公式，结合特殊角三角函数值逐项判断即可.【详解】22cos 151cos302︒-=︒=，故A 错误；12sin75cos75sin150sin302︒︒=︒=︒=，故B 正确；()()1cos18cos42sin18sin42cos 1842cos 242︒︒+︒︒=︒-︒=-︒≠，故C 错误；()tan30tan15tan 301511tan30tan15︒+︒=︒+︒=-︒︒，故D 错误，故选:B.2.已知向量(2,1)a =- ，(,3)b m = ，且//a b，那么a b - 等于（）A.(8,2)--B.7,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭C.(4,2)- D.1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】由向量平行的坐标表示求参数，再应用向量线性运算的坐标表示求a b -的坐标.【详解】由题设321m =-，故6m =-，则(2,1)(6,3)(4,2)a b -=---=-.故选：C3.函数sin y x x =+，x ∈R 的最大值为（）A.1 B.C.12D.2【答案】D【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数为π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据正弦型函数的最值可求得结果.【详解】πsin 2sin 3y x x x ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭ ，当ππ2π,Z 32x k k +=+∈，即π2π,Z 6x k k =+∈时，sin y x x =+取得最大值2.故选：D.4.已知函数()()πsin R,0,02f x A x x ωϕωϕ⎛⎫=+∈><<⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则正数A 值为（）A.B.2C.D.32【答案】B 【解析】【分析】根据图像可得函数的周期，从而可求ω，再根据对称轴可求ϕ，结合图像过()0,1可求A .【详解】由图像可得11π5π2π1212T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，故2π2πω==，而16π2π1223x ==时，函数取最小值，故2π3π22π,Z 32k k ϕ⨯+=+∈，故π2π,Z 6k k ϕ=+∈，而π02ϕ<<，故6πϕ=，因为图像过()0,1，故16πsin A =，故2A =，故选：B.5.函数cos |tan |y x x =⋅（3π02x ≤<且π2x ≠）的大致图象是（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据题意可将函数化简为πsin ,02πsin ,π23πsin ,π2x x y x x x x ⎧≤<⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≤<⎪⎩，从而可求解.【详解】由题意cos ·tan y x x =，3π02x ≤<，化简得πsin ,02πsin ,π23πsin ,π2x x y x x x x ⎧≤<⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≤<⎪⎩，根据函数sin y x =的图象和性质，可得cos ·tan y x x =在π02x ≤<内为增函数且y 为正值，在ππ2x <<内为增函数且y 为负值，在3ππ2x ≤<内为减函数且y 为负值，故C 正确.故选：C.6.在ABC 中，π1,4,3AB AC BAC ==∠=，点D 为边BC 上靠近B 的三等分点，则AD BC ⋅ 的值为（）A.163-B.163C.4- D.4【答案】B 【解析】【分析】利用AB 、AC表示向量AD 、BC ，利用平面向量数量积的运算性质可求得AD BC ⋅ 的值.【详解】如下图所示：()11213333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，由平面向量数量积的定义可得π1cos 14232AB AC AB AC ⋅=⋅=⨯⨯=，因此，()()()22112233AD BC AB AC AC AB AC AB AC AB ⋅=+⋅-=+⋅- ()22116422133=⨯+-⨯=.故选：B.7.已知,a b 是夹角为120︒的两个单位向量，若向量a b λ+ 在向量a上的投影向量为2a，则λ=（）A.2-B.2C.3-D.3【答案】A 【解析】【分析】由投影向量计算公式可得答案.【详解】a b λ+ 在向量a 上的投影向量为()22a b a a a a λ+⋅=⇒()22a b a aλ+⋅= .⇒()2o 1cos1201222a b a a a b λλλλ+⋅=+⋅=-=⇒=-.故选：A8.已知0ω>，函数()πsin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭满足()π2f x f x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，且在区间ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰好存在两条对称轴，则ω的最大值为（）A.443 B.563C.463D.203【答案】A 【解析】【分析】由已知条件得出周期的范围，即得ω的范围，由()()2πf x f x -=-得函数图象的一个对称中心是π(,0)4，则44,Z 3k k ω=-∈，结合ω的范围可得答案.【详解】函数的最小正周期为2πT ω=，则2πT ω=，在区间ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰好存在两条对称轴，π3ππ66-=，所以262π3T T ≤<，即ππ3π6ωω≤<，解得618ω≤<，因为()()2πf x f x -=-，所以)πππ()[()]π2(444f x f x f x +=--=--，所以点π(,0)4是函数图象的一个对称中心，则π()sin()0ππ443f ω=+=，得ππ,Z π43k k ω+=∈，即44,Z 3k k ω=-∈，因0ω>，则*N k ∈，且ω随k 的增大而增大，当4k =时，44183ω=<，当5k =时，18563ω=>，则ω的最大值为443.故选：A.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知向量a =，(cos ,sin )b αα= ，则下列结论正确的是（）A.若//a b，则tan α=B.若a b ⊥ ，则3tan 3α=-C.若a与b的夹角为π3，则||3a b -= D.若a与b 方向相反，则b在a上的投影向量的坐标是13(,)22--【答案】ABD 【解析】【分析】利用向量共线的坐标表示判断A ；利用垂直的坐标表示判断B ；利用数量积的运算律求解判断C ；求出投影向量的坐标判断D.【详解】向量a =，(cos ,sin )b αα= ，对于A ，由//a b，得sin αα=，因此tan α=，A 正确；对于B ，由a b ⊥cos 0αα+=，因此tan 3α=-，B 正确；对于C ，a 与b的夹角为π3，||2,||1a b == ，12112a b ⋅=⨯⨯= ，因此||a b -== ，C 错误；对于D ，a 与b 方向相反，则b 在a上的投影向量为211,||222a b a a a ⎛⎫⋅=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭，D 正确.故选：ABD10.设函数()()cos f x x ωϕ=+，其中0ω>，若对任意的,64ππϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()f x 在[]0,2π上有且仅有4个零点，则下列ω的值中不满足条件的是（）A.136ω=B.116ω=C.54ω=D.34ω=【答案】ACD 【解析】【分析】利用换元思想转化为cos y t =在[ϕ，2]πωϕ+上有4个零点，则需满足79222ππωϕπ+< ，进而根据ϕ的取值范围得到ω的取值范围即可．【详解】解：设t x ωϕ=+，则2ϕπωϕ+ ，所以cos y t =在[ϕ，2]πωϕ+上有4个零点，可知79222ππωϕπ+< ，所以974242ϕϕωππ-<- ，又[,]64ππϕ∈，所以97644224ππωππ-<- ，即53817ω< ，满足的只有B ，故选：ACD ．11.下列结论正确的是（）A.2(sin2cos2)14sin4ααα-=-B.1sin347cos148sin77cos582+=C.1sin2cos2tan 1sin2cos2θθθθθ+-=++D.若3cos25θ=，则4417sin cos 25θθ+=【答案】CD 【解析】【分析】根据同角函数的基本关系、和差公式、倍角公式逐一判断即可.【详解】222s (sin c 2cos2)1s sin 2co 2s in 2in 2os 24ααααααα==+---，故A 错误；()sin347cos148sin77cos58sin13cos32cos13sin 32sin 13322+=︒︒+︒︒=︒+︒= ，故B 错误；221sin2cos22sin 2sin cos tan 1sin2cos22cos 2sin cos θθθθθθθθθθθ+-+==+++，故C 正确；若3cos25θ=，则()()2442222221117sin cos sin cos 2sin cos 1sin 211cos 22225θθθθθθθθ+=+-=-=--=，故D 正确；故选：CD12.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O 是ABC 内一点，BOC ，AOC ，AOB 的面积分别为A S ，B S ，C S ，且0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.以下命题正确的有（）A.若230OA OB OC ++=，则::1:2:3A B C S S S =B.若2OA OB == ，56AOB π∠=，2340OA OB OC ++= ，则92ABC S =C.若O 为ABC 的内心，3450OA OB OC ++= ，则π2C ∠=D.若ABC 的垂心O 在ABC 内，AD ，BE ，CF 是ABC 的三条高，则0OD OE OF OA OB OC AD BE CF⋅+⋅+⋅= 【答案】ACD 【解析】【分析】运用奔驰定理，结合三角形内心、垂心的性质可判断个选项的对错.【详解】对A ：由奔驰定理得，A 对；对B ：因为15π22sin 126C AOB S S ==⨯⨯⨯= ，且::2:3:4A B C S S S =，所以2391444A B C S S S ++=++=即94ABC S = ，故B 错误；对C ：设ABC 内切圆半径为r ，3450OA OB OC ++=⇒::3:4:5A B C S S S =，所以111·:·:·3:4:5222BC r AC r AB r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即::3:4:5a b c =，所以ABC 为直角三角形，且π2C ∠=，故C 对；对D ：因为O 为ABC 的垂心，且AD 为BC 边上的高，所以OBC A ABC ABC S S OD AD S S == ，同理B ABCS OEBE S = ，C ABCS OFCF S = ，所以OD OE OF OA OB OC AD BE CF ⋅+⋅+⋅= 0A B C ABCS OA S OB S OC S ⋅+⋅+⋅=，故D 对.故选：ACD【点睛】关键点点睛：正确运用给出的奔驰定理，是解决该问题的关键.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.设向量(),4a x =- ，()1,b x =- ，向量a 与b 的夹角为锐角，则x 的范围为______.【答案】0x >且2x ≠【解析】【分析】根据已知可得0a b ⋅>，且,a b 不共线，求解即可.【详解】向量(),4a x =- ，()1,b x =- ，由a b∥得，()1(4)0x x ⨯--⨯-=，所以2x =±.由已知得，π0,2a b << ，所以cos ,0a b a b a b ⋅=>，即0a b ⋅> ，且,a b 不共线.则()()1450a b x x x ⋅=⨯+-⋅-=>，所以0x >.又,a b不共线，则2x ≠±.所以x 的取值范围为0x >且2x ≠.故答案为：0x >且2x ≠.14.已知ππ,,42k k Z αβαβπ⎛⎫+=-≠+∈ ⎪⎝⎭，则()()1tan 1tan αβ--=__________.【答案】2【解析】【分析】根据两角和的正切公式，化简得到tan tan tan tan 1αβαβ+=-，代入即可求解.【详解】因为π4αβ+=-，可得tan tan πtan()tan()11tan tan 4αβαβαβ++==-=--，所以tan tan tan tan 1αβαβ+=-，由()()1tan 1tan 1(tan tan )tan tan 2αβαβαβ--=-++=.故答案为：2.15.设函数()()sin 2f x x ϕ=+，其中ϕ∈R .若()π6f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的x ∈R 恒成立，则()f x 的增区间是__________.【答案】πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.【解析】【分析】先根据条件，求出函数的解析式，再求函数的增区间.【详解】由题意：π6f ⎛⎫⎪⎝⎭为函数的最大值，所以π16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以ππ22π62m ϕ⨯+=+，m ∈Z ⇒π2π6m ϕ=+，m ∈Z .由πππ2π22π2π262n x m n -+≤++≤+（,Z m n ∈）⇒()()πππ2π36n m x n m -+-≤≤+-（,Z m n ∈）.可记为πππ2π36k x k -+≤≤+，Z k ∈.故答案为：πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.16.水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点(3,A -出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设点P 的坐标为(,)x y ，其纵坐标满足()sin()y f t R t ωϕ==+（0t ≥，0ω>，π2ϕ<），①π3ϕ=-②当(]0,60t ∈时，函数()y f t =单调递增③当100t =时，6PA =④当(]0,60t ∈时，()f t 的最大值为则上面叙述正确的是________．【答案】①③【解析】【分析】根据题意，结合条件可得,ωϕ的值，从而求得函数()f x 的解析式，然后根据正弦型函数的性质，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】由题意，6R ==，120T =，所以2ππ60T ω==，又点(3,A -代入()f t 可得6sin ϕ-=，解得sin 2ϕ=-，又π2ϕ<，所以π3ϕ=-，故①正确；因为()ππ6sin 603f t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当(]0,60t ∈时，πππ2π,60333t ⎛⎤-=∈- ⎥⎝⎦，所以函数()f t 先增后减，故②错误；当100t =时，ππ4π6033t -=，P 的纵坐标为y =-3x =-，所以336PA =--=，故③正确；当(]0,60t ∈时，点P 到x 轴的距离的最大值为6，故④错误；所以说法正确的是①③故答案为:①③四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，点E 在AB 上，且2,BE EA AD =与CE 交于点O ，设AO AD λ= .（1）求λ的值；（2）当5,3AB AC ==时，求AO BC ⋅ 的值.【答案】（1）12λ=（2）4-【解析】【分析】（1）根据三点共线的知识求得λ.（2）根据向量数量积的运算求得AO BC ⋅.【小问1详解】依题意()1113122222AO AD AB AC AB AC AE AC λλλλλλ==⨯+=+=+ ，由于,,E O C 三点共线，所以31121,222λλλλ+===.【小问2详解】由（1）得12AO AD = ，所以()()111222AO BC AD BC AB AC AC AB ⋅=⋅=⋅⋅+⋅- ()()22221135444AC AB =-=-=- .18.已知在平面直角坐标系xOy 中，向量()3,4a =r ．（1）若向量b 满足10b = ，且b a ⊥r r ，求b 的坐标；（2）若向量c 满足c = ，且a 与c 的夹角为6π，求2a c - 与a 的夹角的余弦值．【答案】（1）()8,6b =- 或()8,6b =-r（2）13-【解析】【分析】(1)先假设b 的坐标，再根据条件列方程即可；(2)先假设c 的坐标列方程求出代数关系，再用数量积的方法求夹角.【小问1详解】设(),b m n = ，则有22100340m n m n ⎧+=⎨+=⎩解得86m n =±⎧⎨=⎩ ，即()8,6b =- 或()8,6b =-r ；【小问2详解】设(),c x y =，则有2212345cos 6x y x y π⎧+=⎪⎨+=⨯⎪⎩，得22123415x y x y ⎧+=⎨+=⎩…①()232,42a c x y -=-- ，设向量2a c - 与a 的夹角为θ，则有：()2cos 2a a c a a c θ--+--+==-将①代入上式得cos 13θ=-；综上，()8,6b =- 或()8,6b =-r ，2a c - 与a 夹角的余弦值为1313-.19.在条件：①()()2sin 2024πcos 2024παα-=+；②sin cos 5αα+=-；③4sin 25α=-中任选一个，补充在下面的题目中，并求解.已知()0,πα∈，且满足条件___________.（1）求3sin 4cos cos sin αααα+-的值；（2）若,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且cos 10β=-，求αβ+的值.【答案】（1）53（2）7π4【解析】【分析】（1）根据条件，先求出tan α，再求齐次式的值.（2）先确定两角和的取值范围，再确定两角和的三角函数值，可得角的大小.【小问1详解】若选①，则原式可化为：2sin cos -=αα⇒1tan 2α=-.若选②，则22sin cos 5sin cos 1αααα⎧+=-⎪⎨⎪+=⎩，且()0,πα∈，所以sin 0α>⇒sin 5cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以1tan 2α=-.若选③，则2242sin cos 5sin cos 1αααα⎧=-⎪⎨⎪+=⎩且()0,πα∈，所以sin 0α>⇒sin 5cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以1tan 2α=-.所以总有1tan 2α=-.所以1343sin 4cos 3tan 4521cos sin 1tan 312αααααα⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭===--+.【小问2详解】由（1）可知，sin α，cos 5α=-，且π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又π,π2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且cos 10β=-，所以10sin 10β=，所以：()π,2παβ+∈，且()cos αβ+cos cos sin sin αβαβ=-25310510510510⎛⎫⎛⎫=-⨯--⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22=.所以7π4αβ+=.20.已知向量(cos ,sin )a x x =，,2cos )b x x x =- ，设函数()f x a b =⋅ .（1）求()f x 的单调递减区间；（2）若函数πππ()626212x x g x f x af af ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在区间[0,]π上的最大值为6，求实数a 的值.【答案】（1）π7π,ππ1212k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()Z k ∈（2）3-或【解析】【分析】（1）根据向量的数量积运算及恒等变换可求()f x 的表达式，再由正弦函数的单调性求解即可；（2）由已知可求()2sin 22(sin cos )g x x a x x =+-，利用换元πsin cos )4t x x x =-=-，把问题转化为二次函数在给定区间的最值问题，通过对称轴与区间的关系分类讨论求解即可．【小问1详解】因为(cos ,sin )a x x = ，,2cos )b x x x =- ，所以22()2sin cos =sin22f x a b x x x x x x =⋅=+ π=2sin(2)3x +由ππ32π2π2π,Z 232k x k k +≤+≤+∈得π7πππ,Z 1212k x k k +≤≤+∈，所以()f x 的单调递减区间为π7π,ππ1212k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()Z k ∈【小问2详解】πππ()626212x x g x f x af af ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2sin 22sin 2sin()2sin 22(sin cos )2x a x a x x a x x =+-+=+-，令πsin cos 4t x x x =-=-，因为[0,]x π∈，所以ππ[,]444x 3π-∈-，[t ∈-且2sin 21x t =-，所以2222(1)22()222a a y t at t =-+=--++，当2a >即a >t =时y 有最大值，此时26-+=，解得a =不合题意；当12a -≤≤即2a -≤≤，当2a t =时y 有最大值，此时2262a +=，解得a =当12a ->即2a <-，当1t =-时y 有最大值，此时26a -=，解得3a =-符合题意；综上，a 的值为3-或21.如图，扇形OPQ 的半径1OP =，圆心角3POQ π∠=，点C 是圆弧PQ 上的动点（不与P Q 、点重合），现在以动点C 为其中一个顶点在扇形中截出一个四边形，下面提供了两种截出方案，如果截出的两个四边形面积的最大值之差的绝对值不大于13，则称这两个四边形为“和谐四边形”.试问提供的两种方案截出的两个四边形是否是“和谐四边形”？请说明理由.【答案】截出的这两个四边形为“和谐四边形”，理由见解析【解析】【分析】方案一：连接OC ，假设,0,3COP πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，用三角函数表示ABCD S AB BC =⋅四边形33sin 2366πθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，由三角函数的性质即可求出ABCD S 四边形的最大值，方案二：连接OC ，假设,0,3COP πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，过点C 作CM OP ⊥，CN OQ ⊥，用三角函数表示出ΔΔ1sin 23OPC OQC OPCQ S S S πθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭四边形，由三角函数的性质即可求出OPCQ S 四边形的最大值，得出13ABCD OPCQ S S -<四边形四边形即可得出结论.【详解】方案一：连接OC ，假设,0,3COP πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，则sin cos AD BC OB θθ===，，又tan 3AD OA π=，所以tan 3AD OA π==，cos AB OB OA θ∴=-=-，211cos2cos sin sin cos sin222ABCD S AB BC θθθθθθ-⎛∴=⋅=⋅=⋅= ⎝四边形33sin 2366πθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，6πθ∴=时，()max 6ABCD S ∴=四边形；方案二：连接OC ，假设,0,3COP πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，过点C 作CM OP ⊥，CN OQ ⊥，则sin CM θ=，sin 3CN πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1sin 23OPC OQC OPCQ S S S πθ⎛⎫∴=+=+ ⎪⎝⎭ 四边形，0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，6πθ∴=时，()max 12OPCQ S ∴=四边形；1326ABCD OPCQ S S --== 四边形四边形，而3110636--=<，即13ABCD OPCQ S S -<四边形四边形，所以截出的这两个四边形为“和谐四边形”.22.已知函数()sin cos f x x x =-．（1）求方程()cos 2f αα=在[]0,2π上的解集；（2）设函数()()3ln 2F x f x x =+；（i ）证明：()y F x =有且只有一个零点；（ii ）记函数()y F x =的零点为0x ，证明：00211ln sin 2333x x -<+<．【答案】（1）π5π3π,π,,442⎧⎫⎨⎬⎩⎭（2）（i ）证明见详解（ii ）证明见详解【解析】【分析】（1）利用余弦二倍角公式化简方程，再结合辅助角公式即可（2）（i ）根据三角函数的性质分区间研究函数的性质，利用零点存在定理可证明；（ii ）然后利用换元法求值域即可证明.【小问1详解】22sin cos cos 2cos sin ααααα-==-所以(cos sin )(sin cos 1)0αααα-++=.所以cos sin 0αα-=或sin cos 1αα+=-当sin cos 0αα-=时,cos 0α≠，则tan 1α=，又[0,2π]x ∈，所以π5π,44x =当sin cos 1αα+=-，则π2sin 42α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，又ππ9π[0,2π],,444x x ⎡⎤∈+∈⎢⎥⎣⎦.所以π5π44x +=或7π4，所以3ππ,2x =所以方程()cos 2f αα=在[0,2π]上的解集为π5π3π,π,,442⎧⎫⎨⎬⎩⎭【小问2详解】（i ）设3π3()sin cos ln ln ,(0,)242F x x x x x x x ⎛⎫=-+=-+∈+∞ ⎪⎝⎭当3π0,4x 纟çÎúçú棼，则πππ,442x ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，此时π4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在3π0,4⎛⎤ ⎥⎝⎦单调递增3ln 2y x =在3π0,4⎛⎤ ⎥⎝⎦也单调递增，所以()F x 在3π0,4⎛⎤ ⎥⎝⎦单调递增π3ππππ3π3πln 0,ln 1ln 04242242222F F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<=-+=+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()F x 在3π0,4x 纟çÎúçú棼时有唯一零点当3π5ππ3,0,ln 04442x x x ⎛⎫⎛⎫∈->> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()0F x >所以()F x 在3π5π,44x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭没有零点当5π,4x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，5π53e 44>⨯>，所以33ln 22x >>()0F x >所以()F x 在5π,4x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭没有零点综上,3()sin cos ln 2F x x x x =-+在(0,)+∞有唯一零点0x （ii ）记函数()y F x =的零点为0x ，所以0003sin cos ln 02x x x -+=，且0ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()0002ln cos sin 3x x x =-所以()()00000000012122ln sin 2cos sin sin 2cos sin sin cos 33333x x x x x x x x x +=-+=-+令000πcos sin 4t x x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，因为0ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以(1,0)t ∈-又20012sin cos t x x =-，则2001sin cos 2t x x -=所以220012211221ln sin 2(1),33323333t x x t t -⎛⎫+=+⋅=--+∈- ⎪⎝⎭【点睛】方法点睛：含有三角函数、指数对数的零点问题，一般要根据三角函数图像特点划分区间，分段研究.。
四川省成都市2023-2024学年高一上学期期中数学试题含解析
高2023级高一上学期半期数学试题（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合{}22,a a 中实数a 的取值范围是()A.{0,a a =或2}a =B.{0,a a =且2}a = C.{0,a a ≠或2}a ≠ D.{0,a a ≠且2}a ≠【答案】D 【解析】【分析】根据已知，结合集合元素的互异性，即可求解.【详解】由集合元素的互异性可知，22a a ≠，解得0a ≠且2a ≠，所以实数a 的取值范围为{0,a a ≠且2}a ≠.故选：D.2.下列四组函数中，表示相同函数的一组是（）A.()f x =()g x = B.()f x =()2g x =C.10()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，，,0()1,0xx x g x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩D.()1f x =，()0g x x=【答案】C 【解析】【分析】根据相等函数满足定义域、对应关系相同，逐一判断即可.【详解】对于A ，函数()f x ={}|1x x ≥，函数()g x =的定义域为{|1x x ≥或}1x ≥-，故两个函数的定义域不一样，所以不是相同函数，故A 错误；对于B ，函数()f x =x ∈R ，函数()2g x =的定义域为{}|0x x ≥，故两个函数的定义域不一样，所以不是相同函数，故B 错误；对于C ，10()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，，,01,0()()1,01,0xx x x g x f x x x ⎧≠≥⎧⎪===⎨⎨-<⎩⎪=⎩，故C 正确；对于D ，函数()1f x =的定义域为x ∈R ，函数()0g x x =的定义域为{}|0x x ≠，故两个函数的定义域不一样，所以不是相同函数，故D 错误.故选：C.3.荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”，这句话是来自先秦时期的名言.此名言中的“积跬步”一定是“至千里”的（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据四种命题的基本关系，利用命题与其逆否命题的真假性可知“积跬步”一定是“至千里”的必要条件；【详解】由已知设“积跬步”为命题p，“至千里”为命题q，“故不积跬步，无以至千里”，即“若p⌝，则q⌝”为真命题，其逆否命题为“若q，则p”为真命题，反之不成立，所以命题p是命题q的必要不充分条件，故“积跬步”一定是“至千里”的必要条件；故选：B.4.杭州亚运会火炬如图（1）所示，小红在数学建模活动时将其抽象为图（2）所示的几何体.假设火炬装满燃料，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，记剩余燃料的高度为h，则h关于时间t的函数的大致图象可能是（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据火炬的形状：中间细、上下粗来分析剩余燃料的高度h 随时间t 变化的下降速度.【详解】由图可知，该火炬中间细，上下粗，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，燃料在燃烧时，燃料的高度一直在下降，刚开始时下降的速度越来越快，燃料液面到达火炬最细处后，燃料的高度下降得越来越慢，结合所得的函数图象，A 选项较为合适.故选：A.5.满足{}1A ⊆⫋{}1,2,3,4的集合A 的个数为（）A.7 B.8C.15D.16【答案】A 【解析】【分析】利用元素与集合的关系、集合与集合的关系分析运算即可得解.【详解】∵{}1A ⊆，∴1A ∈，∵A ⫋{}1,2,3,4，∴满足题意的集合A 有：{}{}{}{}{}{}{}1,1,2,1,3,1,4,1,2,3,1,2,4,1,3,4，共7个.故选：A .6.已知函数321x y x +=-，(],x m n ∈的最小值为8，则实数m 的取值范围是（）A.()0,1 B.()1,2 C.(]1,2 D.[)1,2【答案】D 【解析】【分析】对反比例型函数321x y x +=-分离常数，由(],x m n ∈时的最小值为8得到n ，求出m 范围.【详解】由323(1)553111x x y x x x +-+===+---，因为321x y x +=-在(],x m n ∈上的最小值为8，所以(],x m n ∈时，553851011x x x +≥⇒≥⇒->--，所以1m n ≤<，易知反比例型函数531y x =+-在()1,+∞单调递减.所以531y x =+-在x n =处取到的最小值为8，即53821n n +=⇒=-，所以12m ≤<.故选：D7.定义在R 上函数()y f x =满足以下条件：①函数()1y f x =+是偶函数；②对任意12,(,1]x x ∈-∞，当12x x ≠时都有()()()()12120x x f x f x -->，则()0f ，32f ⎛⎫⎪⎝⎭，()3f -的大小关系为（）A.()()3032f f f ⎛⎫>>-⎪⎝⎭B.()()3302f f f ⎛⎫->>⎪⎝⎭C.()()3302f f f ⎛⎫>->⎪⎝⎭D.()()3302f f f ⎛⎫->>⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】根据条件判断函数的对称性和单调性，利用单调性比较函数值大小即可.【详解】由函数()1y f x =+是偶函数，所以函数()y f x =图象关于直线1x =对称，又对任意12,(,1]x x ∈-∞，当12x x ≠时都有()()()()12120x x f x f x -->，所以函数()y f x =在(,1]-∞上单调递增，又3122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13012-<<<，所以()()1302f f f ⎛⎫->> ⎪⎝⎭，所以()()3302f f f ⎛⎫->> ⎪⎝⎭.故选：B8.已知函数()f x 是定义在()0,∞+上的单调函数，且()0,x ∀∈+∞时，都有2()1f f x x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则(1)f =（）A.-4或-1B.-4C.-1D.0【答案】C 【解析】【分析】根据题意，采用换元法，求出()f x 的解析式，从而得到(1)f .【详解】由题意得，设2()f x xk +=，k 是一个大于0的常数，因为()2()1f f x f k x ⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，所以2()f x k x +=，2()f x k x =-，则有2()1kf k k =-=-，因为()0,k ∈+∞，所以1k =，2()1f x x=-，所以()21111f =-=-，故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列命题中正确的是（）A.若15,23a b -<<-<<，则12a b <-<B.若a b >，则22a b >C.若22ac bc >，则a b >D.若0,0a b m >>>，则b m ba m a+>+【答案】CD 【解析】【分析】根据不等式的性质及其利用特例对各项进行判断，从而求解.【详解】对于A 项：因为：15a -<<，23b -<<，所以得：32b -<-<，又因为：15a -<<，所以得：47a b -<-<，故A 项错误；对于B 项：令1a =，2b =-，所以得：a b >，但2214a b =<=，故B 项错误；对于C 项：由22ac bc >，得：20c >，所以得：a b >，故C 项正确；对于D 项：由0a b >>，0m >，得：0a b ->，所以得：()()()0a b mb m b ab am ab bm a m a a a m a a m -++---==>+++，故D 项正确；故选：CD.10.下列说法不正确．．．的是（）A.()A A ∅⊆为任意集合B.定义在R 上的奇函数()f x 在()0+∞，上是增函数，则()f x 在R 上为增函数C.函数()2f x =的最小值为2D.一元二次方程220x mx -+=的两根都在(1,)+∞内的充要条件是m ≥【答案】BCD 【解析】【分析】根据集合包含关系，函数单调性与奇偶性关系，函数值域求法，一元二次方程根的分布，依次判断即可.【详解】对于A ，根据规定空集是任何集合的子集，所以A 正确；对于B ，比如函数1,0()0,0x f x x x ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩，()f x 在()0+∞，，(),0∞-上分别递增，但()f x 在R 上不单调，所以B 不正确；对于C ，()22f x ==2≥，当且仅当=1=1=不成立，故“=”取不到，所以C 错误；对于D ，一元二次方程220x mx -+=的两根都在(1,)+∞，则22808m m ∆=-≥⇒≥，设2()2f x x mx =-+，则()f x 对称轴122mx m =>⇒>，且(1)1203f m m =-+>⇒<，综上可知3m ≤<，所以D 错误；故选：BCD11.不等式(1)(3)20a x x --+>的解集为12(,)(,)x x -∞+∞ ，其中12x x <，则下列结论中正确的是（）A.124x x +=B.122x x ->C.1234x x << D.不等式2(32)40a x ax a +-+<解集为2111,x x ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】ACD 【解析】【分析】由题意得方程(1)(3)20a x x --+=的两个根分别为12,x x ，然后利用根与系数的关系，结合0∆>，可得12,,x x a 的关系，再逐个分析判断.【详解】因为不等式(1)(3)20a x x --+>的解集为12(,)(,)x x -∞+∞ ，其中12x x <，所以方程(1)(3)20a x x --+=，即24320ax ax a -++=的两个根分别为12,x x ，且0a >，所以12122432Δ164(32)0x x a x x aa a a a +=⎧⎪+⎪=⎪⎨⎪=-+>⎪>⎪⎩，即12124232x x x x a a +=⎧⎪⎪=+⎨⎪>⎪⎩，对于A ，124x x +=，所以A 正确，对于B，12x x -=因为2a >，所以1102a <<，所以804a <<，所以8044a<-<，所以02<<，所以1202x x <-<，所以B 错误，对于C ，因为2a >，所以1102a <<，所以2334a<+<，所以1234x x <<，所以C 正确，对于D ，因为12124322x x a x x a a +=⎧⎪+⎪=⎨⎪>⎪⎩，所以12121243220,0x x a ax x a x x =+⎧⎪+=⎪⎨>⎪⎪>>⎩，所以由2(32)40a x ax a +-+<，得21212()0ax x x a x x x a -++<，所以21212()10x x x x x x -++<，得()()x x x x --<12110，因为120x x <<，所以21110x x <<，所以不等式()()x x x x --<12110的解集为2111,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即不等式2(32)40a x ax a +-+<解集为2111,x x ⎛⎫⎪⎝⎭，所以D 正确，故选：ACD12.根据已学函数()0c y x c x =+≠的图象与性质来研究函数()()0bf x ax ab x=+≠的图象与性质，则下列结论中正确的是（）A.若0ab >，()f x在⎫+∞⎪⎪⎭为增函数B.若0ab <，0m ∀>，方程()f x m =一定有4个不同实根C.设函数()()()2322131x x g x f x x +++=++在区间[)(]2,00,2-U 上的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=8D.若2,2a b ==-，对任意[)1,x ∞∈+，()()0f mx mf x +<恒成立，则实数m 的取值范围是1m <-【答案】BCD 【解析】【分析】由题意，类比()0cy x c x=+≠，通过单调性，奇偶性，恒成立问题逐选项判断即可.【详解】解：()b b a f x ax a x x x ⎛⎫ ⎪=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，当0,0a b <<，则0b a >，易知b a y x x =+在⎫+∞⎪⎪⎭为增函数，则()b a f x a x x ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪⎝⎭在⎫+∞⎪⎪⎭为减函数，故A 错误．设()()F x f x =，又()()0bf x ax ab x=+≠为奇函数，则()()()()()F x f x f x f x F x -=-=-==，即()y f x =是偶函数，当0ab <时，()y f x =的图象如图，所以0m ∀>，方程()f x m =一定有4个不同实根，故B 正确;()()()()()2332322221344444111x x x x x x xg x f x f x f x x x x +++++++=+=+=+++++易知()()3241x xh x f x x +=++在[)(]2,00,2-U 为奇函数，则()()max min 0h x h x +=，又()()max min 44M h x N h x ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，所以()()max min 88M N h x h x +=++=．故C 正确．由2,2a b ==-，()()0f mx mf x +<得22220m mx mx mx x-+-<，整理得：112⎛⎫<+ ⎪⎝⎭mx m m x ，即212mx m m<+恒成立．①当0m >时，22121x m<+，因为22y x =在[)1,x ∞∈+上无最大值，因此此时不合题意；②当0m <时，22121x m>+，因为22y x =在[)1,x ∞∈+上的最小值为2，所以2112m +<，即21m >，解得1m <-或1(m >舍去)．综合可得：1m <-．故D 正确．故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13.已知)1fx x x -=-，则()f x ＝________.【答案】21,1x x -≥-【解析】【分析】根据配凑法求解，注意定义域的求解.【详解】因为)211x x x =-，所以)2211x x x -=--，所以))22111f x x x x =-=--11x ≥-.∴()21,1f x x x =-≥-.故答案为：21,1x x -≥-14.函数[]()f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如[]3.54-=-，[]2.12=，则函数[]()11y x x x =--<<的值域为____________．【答案】[)0,1【解析】【分析】分()1,0x ∈-、[)0,1x ∈讨论，结合新函数定义可得答案.【详解】当()1,0x ∈-时，[]1x =-，所以()10,1=+∈y x ，当[)0,1x ∈时，[]0x =，所以[)0,1=∈y x ，综上所述，[]()11y x x x =--<<的值域为[)0,1.故答案为：[)0,1.15.树德中学对高一强基班的学科培优进行了调查．调查结果显示：参加物理培优的有60人，参加数学培优的有80人，参加化学培优的有50人，三科培优都参加的有24人，只选择两科培优参加的有22人，不参加其中任何一科培优的有15人，则接受调查的高一强基班学生共有_____________人．【答案】135【解析】【详解】利用文恩图的辅助求解即可.【分析】由文恩图可得；参加培优的人数为()60+80+5022224120--⨯=，又不参加其中任何一科培优的有15人，所以接受调查的高一强基班学生共有12015135+=故答案为：135.16.已知,,a b c 是正实数，且b c +=，则22162ac a bc a +++最小值为___________．【答案】4-【解析】【分析】根据题意，化简得到2216216()22ac a c a bc a b bc a ++=++++，结合题意，利用基本不等式求得22c b bc+≥，再由2161616(22(2)4222c a a a b bc a a a ++≥+=++-+++，结合基本不等式，即可求解.【详解】因为,,a b c是正实数，且b c +=，可得2216216216()222ac a ac a c a bc a b bc a b bc a ++=++=+++++，又因为()222422233333b c c c c c b b bc b b bc b c ++=++=+≥，当且仅当433c b b c =，即26633b c ==时，等号成立，所以2161616()22(2)444222c a a a b bc a a a ++≥+=++-≥-=+++，当且仅当162(2)2a a +=+时，即2a =-时，等号成立，所以22162ac a bc a +++的最小值为4-.故答案为：4-.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设全集U =R ，集合{}23100A x x x =+-≤，9|14B x x ⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭．（1）求图中阴影部分表示的集合；（2）已知集合{}|1021C x a x a =-<<+，是否存在实数a 使得()U A C ⋂=∅ð，若存在，求a 的取值范围．若不存在，说明理由．【答案】（1）{}|54x x -≤≤-；（2）存在，a 的取值范围为3a ≤.【解析】【分析】（1）解不等式化简集合A ，B ，利用补集、交集的定义结合韦恩图求解即得.（2）利用给定的结果，结合集合的包含关系列式求解即得.【小问1详解】{}{}(5)(2)052A x x x x x =+-≤=-≤≤，5{|0}{|45}4x B x x x x -=≤=-<≤+，则{|4}U B x x =≤-ð，所以图中阴影部分表示的集合为(){|54}U A B x x ⋂=-≤≤-ð.【小问2详解】由（1）知{|52}A x x =-≤≤，由()U A C =∅ ð，得C A ⊆，当C =∅时，1021a a -≥+，解得3a ≤；当C ≠∅时，1021105212a a a a -<+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，无解，所以存在实数a 使得()U A C =∅ ð，a 的取值范围为3a ≤.18.设函数()()211f x ax a x =+--．（1）命题:R p x ∃∈，使得()3f x x <-成立．若p 为假命题，求实数a 的取值范围；（2）求不等式()()00f x a <<的解集.【答案】（1）08a ≤≤（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）由题意可得不等式220ax ax -+≥在R 上恒成立，讨论a 是否为0，结合判别式解不等式，即可求得答案；（2）不等式()()00f x a <<等价于()()110ax x +-<，分类讨论a 的取值范围，确定1a-与1的大小关系，即可求得答案.【小问1详解】p 为假命题，:R p x ∴⌝∀∈，()3f x x ≥-恒成立为真命题，即不等式220ax ax -+≥在R 上恒成立，当0a =时，20≥恒成立，则0a =满足题意．当0a ≠时，需满足()2Δ80a a a >⎧⎪⎨=--≤⎪⎩，解得08a <≤，综上，08a ≤≤．【小问2详解】不等式()()00f x a <<等价于()()110ax x +-<．当1a =-时，则11a-=，原不等式即为()210x --<，解得1x ≠；当10a -<<时，则11a ->，解得1x <或1x a >-；当1a <-时，则11a -<，解得1x a<-或1x >；综上所述，当1a <-时，原不等式的解集为1{|1}x x x a<->或；当1a =-时，原不等式的解集为{}1x x ≠；当10a -<<时，原不等式的解集为1{1}x x x a<>-或．19.已知()xf x x a=-．（1）若0a >且()f x 在()1,+∞内单调递减，求a 的取值范围；（2）函数()y g x =的图象关于点(,)P m n 成中心对称图形的充要条件是函数()y g x m n =+-为奇函数．当1a =时，求()()323h x f x x x =+-的对称中心．【答案】（1）(0,1]（2）(1,1)-【解析】【分析】（1）设121x x <<，作差得到()()()()()211212a x x f x f x x a x a --=--，只需()()120x a x a -->，分1a >和01a <≤两种情况，得到答案；（2）利用()()0h x m n h x m n -+-++-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦得到等式，对照系数得到方程组，求出11m n =⎧⎨=-⎩，得到对称中心.【小问1详解】设121x x <<，则()()()()()2112121212a x x x xf x f x x a x a x a x a --=-=----．∵0a >，121x x <<，∴()210a x x ->，∴要使()()120f x f x ->，只需()()120x a x a -->恒成立若1a >，则当121x a x <<<时，()()120x a x a --<不合题意；若01a <≤时，()()120x a x a -->恒成立．综上所述，a 的取值范围为(0,1]．【小问2详解】当1a =时，则()3232131131h x x x x x x x x +-=+=+---，要想()y h x m n =+-为奇函数，则要()()0h x m n h x m n -+-++-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即()()()()3232111313011x m x m n x m x m n x m x m ++-+--+-++++-+-=-+-+-，即()()()23222662622011m m x m m n x m x m -+-+-+-=-+-+-，所以3222066026220m m m m n -=⎧⎪-=⎨⎪-+-=⎩，解得11m n =⎧⎨=-⎩，即()()323h x f x x x =+-的对称中心为(1,1)-．20.依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数．应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额＝综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除－专项附加扣除－依法确定的其它扣除．其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元，税率与速算扣除数见下表：级数全年应纳税所得额所在区间税率（%）速算扣除数1[]0,36000302(]36000,1440001025203(]144000,3000002016920…………已知小王缴纳的专项扣除：基本养老金、基本医疗保险费、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是36000元，依法确定的其它扣除是4000元．（1）设小王全年应纳税所得额为t （不超过300000元）元，应缴纳个税税额为y 元，求()y f t =；（2）如果小王全年综合所得收入额为150000元，那么他全年应缴纳多少个税？（3）设小王全年综合所得收入额为x (不超过500000)元，全年应缴纳个税税额为y 元，求y 关于x 的函数解析式．【答案】（1）()[](](]0.03,0,360000.12520,36000,1440000.216920,144000,300000t t y f t t t t t ⎧∈⎪==-∈⎨⎪-∈⎩（2）600元（3）[](](](]0,0,1250000.0243000,125000,1700000.0812520,170000,3050000.1636920305000,500000x x x y x x x x ⎧∈⎪-∈⎪=⎨-∈⎪⎪-∈⎩，【解析】【分析】（1）根据税率与速算扣除数表得到函数解析式；（2）首先求出小王全年应纳税所得额，再代入（1）中解析式即可；（3）首先求出小王全年应纳税所得额为0.8100000t x =-，再分四种情况讨论，分别求出所对应的函数解析式.【小问1详解】根据税率与速算扣除数表，可得()[](](]0.03,0,360000.12520,36000,1440000.216920,144000,300000t t y f t t t t t ⎧∈⎪==-∈⎨⎪-∈⎩．【小问2详解】小王全年应纳税所得额为15000060000150000(8%2%1%9%)36000400020000t =--⨯+++--=元．则小王全年应缴纳个税为()200000.0320000600f =⨯=元．【小问3详解】小王全年应纳税所得额为60000(8%2%1%9%)3600040000.8100000t x x x =--+++--=-，当0.81000000t x =-≤，即0125000x ≤≤时0y =；0.8100000(0,36000](125000,170000]t x x =-∈⇒∈当，则0.030.0243000y t x ==-；0.8100000(36000,144000](170000,305000]t x x =-∈⇒∈当，则0.125200.0812520y t x =-=-；0.8100000(144000,300000](305000,500000]t x x =-∈⇒∈当，则0.2169200.1636920y t x =-=-；故y 关于x 的函数解析式为[](](](]0,0,1250000.0243000,125000,1700000.0812520,170000,3050000.1636920305000,500000x x x y x x x x ⎧∈⎪-∈⎪=⎨-∈⎪⎪-∈⎩，.21.定义在{}0x x ≠上的函数()f x ，对任意x ，y ，都有()()()3f xy f x f y =+-，且(2)1f =，当01x <<时，()3f x >．（1）证明：()f x 在()0,∞+上单调递减；（2）解不等式(35)5f x ->-．【答案】（1）证明见解析（2）1173x x ⎧-<<⎨⎩且53x ⎫≠⎬⎭【解析】【分析】（1）令1xy x =，2x x =，设120x x <<，则由已知可得()()11223x f x f x f x ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，再结合当01x <<时，()3f x >可证得结论；（2）令1x y ==，可求得()13f =，令1x y ==-，可求得()13f -=，令1y =-，可证得()f x 为偶函数，利用赋值法可得(16)5f =-，则原不等式转化为(35)(16)f x f ->，再利用函数的单调性可求得结果.【小问1详解】证明：令1xy x =，2x x =，设120x x <<，则12x y x =，且01y <<，所以()()11223x f x f x f x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，即()()11223x f x f x f x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．又当01x <<时，()3f x >，则123x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()()12f x f x >所以()y f x =在()0,∞+上单调递减．【小问2详解】令1x y ==，则()13f =．令1x y ==-，则()13f -=．令1y =-，则()()()()13f x f x f f x -=+--=，所以()f x 为偶函数．令2x y ==，则(4)1f =-；令44x y ==，，则(16)5f =-，由(35)5(16)f x f ->-=，则(35)(16)f x f ->，又()f x 在()0,∞+上单调递减，则03516x <-<，即1173x -<<且53x ≠，所以不等式的解集为1173x x ⎧-<<⎨⎩且53x ⎫≠⎬⎭.22.函数2()2||(R)f x x x a a a =+-+∈，2221()(R)x ax g x a x -+=∈．（1）若函数()f x 为偶函数，求实数a 的值并指出此时函数()f x 的单调区间；（2）若0a <时，[]1211,,2,2,3x x ⎡⎤∀∈--∃∈-⎢⎥⎣⎦都有12()()g x f x =，求实数a 的取值范围．【答案】（1）0a =，f (x )单调递减区间为(),0∞-，单调递增区间为()0,∞+（2）217a -≤≤-【解析】【分析】（1）利用函数奇偶性求得参数0a =，再利用二次函数的性质即可得解；（2）先将问题转化为()g x 的值域是()f x 的值域的子集；法一：分类讨论a 的取值范围，结合二次函数的性质即可得解；法二：分类讨论a 的取值范围，结合二次函数的性质与基本不等式即可得解.【小问1详解】因为函数f (x )为偶函数，则()()f x f x -=恒成立，则x a x a x a --=+=-恒成立，由x 的任意性，得0a =，当0a =时，则2()2f x x x =+，易得()f x 是偶函数，当0x >时，2()2f x x x =+，开口向上，对称轴为=1x -，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，结合其奇偶性，可知()f x 在(),0∞-上单调递减，则函数f (x )单调递减区间为(),0∞-，单调递增区间为()0,∞+.【小问2详解】因为[]1211,,2,2,3x x ⎡⎤∀∈--∃∈-⎢⎣⎦都有12()()g x f x =，所以()g x 的值域是()f x 的值域的子集，因为22221211()11,3x ax a g x x x x x -+⎡⎤==-+∈--⎢⎣⎦，令21,()21t h t t at x==-+，则[]min min max max 3,1,()(),()()t g x h t g x h t ∈--==，又2222,()223,x x a x af x x x a a x x a x a⎧+-≥=+-+=⎨-+<⎩，法一：①当10a -≤<时，易知()f x 在[]2,a -上单调递减，在[],2a 上单调递增，且()2f a a a =+，又(2)83f a -=+，()28f a =-，故()()max 28f x f a ==-，()()2min f x f a a a ==+，则()2,8f x a a a ⎡⎤∈+-⎣⎦又[]2()21,3,1h t t at t =-+∈--在为减函数，则()[][](1),(3)22,106h x h h a a ∈--=++，所以210221068a a a a a a-≤<⎧⎪+≤+⎨⎪+≤-⎩，解得217a -≤≤-；②当21a -<<-时，()f x 在[][]2,,,1a a --上单调递减，在[]1,2-上单调递增，又(1)1f a -=--，(2)83f a -=+，()28f a =-，故()()max 28f x f a ==-，()()min 11f x f a =-=--，即()[]1,8f x a a ∈---，又2()21h t t at =-+在[]3,a -为减函数，在[],1a -为增函数，则[]2()(),(3)1,106h x h a h a a ⎡⎤∈-=-++⎣⎦，所以221111068a a a a a -<<-⎧⎪--≤-+⎨⎪+≤-⎩，则a ∈∅；③当32a -<≤-时，()f x 在[]2,1--上单调递减，在[]1,2-上单调递增，故()()max 28f x f a ==-，()()min 11f x f a =-=--，即()[]1,8f x a a ∈---，又2()21h t t at =-+在[]3,a -为减函数，在[],1a -为增函数，则[]2()(),(1)1,22h x h a h a a ⎡⎤∈-=-++⎣⎦，所以23211228a a a a a -<≤-⎧⎪--≤-+⎨⎪+≤-⎩，则a ∈∅；④当3a ≤-时，()f x 在[]2,1--上单调递减，在[]1,2-上单调递增，故()()max 28f x f a ==-，()()min 11f x f a =-=--，即()[]1,8f x a a ∈---，又2()21h t t at =-+在[]3,1--为增函数，则[][]()(3),(1)106,22h x h h a a ∈--=++，所以31106228a a a a a ≤-⎧⎪--≤+⎨⎪+≤-⎩，则a ∈∅；综上，217a -≤≤-．法二：当10a -≤<时，易知()f x 在[]2,a -上单调递减，在[],2a 上单调递增，且()2f a a a =+，又(2)83f a -=+，()28f a =-，故()()max 28f x f a ==-，()()2min f x f a a a ==+，则()2,8f x a a a ⎡⎤∈+-⎣⎦又[]2()21,3,1h t t at t =-+∈--在为减函数，则()[][](1),(3)22,106h x h h a a ∈--=++，所以210221068a a a a a a-≤<⎧⎪+≤+⎨⎪+≤-⎩，解得217a -≤≤-；当1a <-时，()[]1,8f x a a ∈---，所以对任意[]23,1,1218t a t at a ∈----≤-+≤-恒成立，则22272121t t a t t +-≤≤--恒成立，对于2221t y t +=-，令21m t =-，则[]7,3m ∈--，12m t +=，所以221221991221424442m t m m y t m m m+⎛⎫+ ⎪+-⎛⎫⎝⎭===++=-+ ⎪--⎝⎭112≤-=-，当且仅当944m m -=-，即3m =-时，等号成立，则2max 1221t t ⎛⎫+ ⎪-⎭=-⎝，对于2721t y t -=-，令21m t =-，则[]7,3m ∈--，12m t +=，所以22177127221424m t m y t m m +⎛⎫- ⎪-⎝⎭===+--，易得其[]7,3m ∈--上单调递增，则()2min 7712722142477t t =⎛⎫--+-=- ⎪-⨯-⎝⎭，所以22max min272121217t t a t t ⎛⎫⎛⎫+--=≤≤=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，又1a <-，故此时a ∈∅；综上：217a -≤≤-.。
四川省成都市第七中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题
四川省成都市第七中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．22(1i)(1i)+--=（ ） A ．0B ．4C ．4i -D ．4i2．把余弦曲线cos y x =上所有的点向左平移13个单位长度，得到图像对应函数为（ ）A ．πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．πcos 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C ．1cos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．1cos 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭3．若1πsin cos ,π2222θθθ-=<<，则cos θ=（ ）A ．BC ．34-D ．344．在ABC V 中，π,26A a b ==，则B 大小为（ ） A ．π3或2π3B ．π4或3π4C ．π3D ．π45．以下等式错误的是（ ）A ．()()22m n m n m n +⋅-=-r r r r r r B ．222()2m n m m n n +=+⋅+r r r r r r C ．22m n m n m n +-=-r r r r r rD ．222()2m n m m n n -=-⋅+r r r r r r6．若长方体的长、宽、高分别为2,2,4，则长方体外接球的表面积为（ ）A ．24πB ．C ．48πD ．7．已知()()()()0,0,1,2,3,1,2,1O A B C --，则四边形OABC 的面积为（ ）A ．B ．5C ．D ．108．如图，正方形ABCD 的边长为2,,,P M N 分别为边,,AB AD BC 上的点，则以下错误的是（ ）A ．若,PM PN AP PB ⊥=，则以P 为圆心，半径为1的圆与MN 相切B ．若60,MPN AP PB ∠=︒=，则MPN △面积的取值范围是(6522⎤⎥⎥⎣⎦ C ．若点N 与点C 重合，APM △周长为4，则45PNM ∠=︒ D ．MPN ∠不可能小于45︒9．复数()()12i z m m =-+-在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m 的值可能是（ ） A ．2B ．32C ．43D ．1二、多选题10．下列正确的是（ ）A ．在任意四边形ABCD 中，,E F 分别为,AD BC 的中点，则2AB DC EF +=u u u r u u u r u u u rB ．复数1i(i 1iz +=-是虚数单位)，则2320240z z z z ++++=L C ．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体D ．直三棱柱的任意两个侧面的面积之和大于第三个侧面的面积 11．ABC V 内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，下列命题中正确的有（ ）A．若45,3c B b ==︒=，则三角形唯一确定 B ．若π2,2a b C ==∠=，则ABC V 外接圆面积为π C ．若6,4,2a c A C ===，则5b =D ．若cos2cos2cos21A B C +-<，则ABC V 为锐角三角形12．在直三棱柱111ABC A B C -中，12,2,4AA AB BC AC ====，下列说法正确的是（ ）A．直三棱柱体积为B．直三棱柱侧面积为12+C ．ABC V 沿边AC 旋转一周形成的几何体的体积为6πD ．若F 为11AC 的中点，E 为1BB 的中点，过,,A EF 三点作该直三棱柱111ABC A B C -的三、填空题13．已知()()4,,,1a b λλ==r r ，若a b rr P ，则λ的值为. 14．已知π11,0,,sin ,cos 232αβαβ⎛⎫∈== ⎪⎝⎭，则()sin αβ-=.15．已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为4和8，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为π2，则该圆台的体积为.16．ABC V 中，150,C D ∠=︒为线段AB 上一点，1CD =，且0DC AC ⋅=u u u r u u u r，则ABC V 面积的最小值为.四、解答题17．已知函数()2cos cos f x x x x m =++，在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为52.(1)求常数m 的值；(2)求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间.18．如图，正方形ABCD 边长为6,E 是AB 的中点，1,3BF BC AF =与DE 交于点M ，记A F a =u r r ，DE b u u u r r =.(1)求a r 与b r夹角的余弦值；(2)若EC ma nb =+u u u r r r，求m n +的值.19．在复数范围内有关于x 的方程210x x ++=. (1)求该方程的根； (2)求()1x x -的值；(3)有人观察到()()2110x x x -++=，得31x =，试求20242024111x x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭的值.20．如图，一个加盖密封的漏斗的上面部分是一个正方体，下面部分是一个正四棱锥，该几何体所有棱长均为2米.(1)求该漏斗的表面积；(2)若一只蚂蚁沿漏斗表面从点A '爬到点P ，求它爬过的最短路径的长；(3)将图中正方形ABB A ''水平放置，在由斜二测画法得到的水平放置的直观图中，求线段A B '的长.21．成都天府绿道专为骑行而建，以绿道为线，串联上百个生态公园，一路上树木成荫、鸟语花香，目前已然成为成都新的城市名片．成都市政府为升级绿道沿途风景，计划在某段全长200米的直线绿道AB 一侧规划一个三角形区域ABC 做绿化，如图，已知π3CAB ∠=，为提升美观度，设计师拟将绿化区设计为一个锐角三角形．(1)若100AC =米，求BC 的长； (2)求绿化区域ABC V 面积的取值范围；(3)绿化完成后，某游客在绿道AB 的另一侧空地上寻找最佳拍照打卡点，该游客从A 到D ，再从D 到B ，然后从B 到D ，最终返回D 点拍照．已知π3ADB ∠=，求游客所走路程的最大值．22．边长为4的正方形ABCD 的中心为O ，以O 为圆心的单位圆O 上有两动点,P Q 满足0OP OQ ⋅=u u u r u u u r.若点M 为正方形ABCD 边AB 上的一个动点.(1)求DC DB DC AC ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r的值；(2)求MP MQ ⋅u u u r u u u u r的最小值；(3)若()0,,,R aPA bPB cPC a b c ++=∈u u u r u u u r u u u r r ，求b c a +的最大值.。
四川省成都市第七中学20232024学年高一下学期3月月考数学试题
成都七中（高新校区）高2023级高一（下期）学科素养检测数学试题命题人 黄忠 审题人 高峥一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. 下列各式中，值为12的是（ ）A. 22cos 151︒−B. 2sin75cos75︒︒C. cos18cos42sin18sin42︒︒+︒︒D.tan30tan151tan30tan15︒+︒−︒︒ 2. 已知向量(2,1)a =−，(,3)b m =，且//a b ，那么a b −等于（ ）A. (8,2)−−B. 7,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭C. (4,2)−D. 1,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭3.函数sin y x x =，x ∈R 的最大值为（ ）A. 1B. C. 12 D. 24. 已知函数()()πsin R,0,02f x A x x ωϕωϕ⎛⎫=+∈><< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则正数A 值为（ ）A. B. 2C. D. 325. 如图所示，函数cos tan y x x =（3π02x <≤且π2x ≠）的图像是（ ）. A. B. C. D. 6. 在ABC 中，π1,4,3AB AC BAC ==∠=，点D 为边BC 上靠近B 的三等分点，则AD BC ⋅的值为（ ） A. 163− B. 163C. 4−D. 4 7．已知,a b 是夹角为120︒的两个单位向量，若向量a b λ+在向量a 上的投影向量为2a ，则λ=（ ） A ．2−B ．2 C．3− D．3 8. 已知0ω>，函数()πsin 3f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭满足()π2f x f x ⎛⎫−=− ⎪⎝⎭，且在区间ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰好存在两条对称轴，则ω的最大值为（ ）A 443 B. 563 C. 463 D. 203.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知向量(1,3)a =，(cos ,sin )b αα=，则下列结论正确的是（ ）A ．若//a b，则tan α= B ．若a b ⊥，则tan α=C ．若a 与b 的夹角为π3，则||3a b −= D ．若a 与b 方向相反，则b 在a上的投影向量的坐标是1(,2− 10. 设函数()()cos f x x ωϕ=+，其中0ω>，若对任意的,64ππϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()f x 在[]0,2π上有且仅有4个零点，则下列ω的值中不满足条件的是（ ）A. 136ω=B. 116ω=C. 54ω=D. 34ω= 11. 下列结论正确的是（ ）A 2(sin2cos2)14sin4ααα−=− B. 1sin347cos148sin77cos582+=C 1sin2cos2tan 1sin2cos2θθθθθ+−=++ D. 若3cos25θ=，则4417sin cos 25θθ+= 12．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O 是△ABC 内一点，△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积分别为A S ，B S ，C S ，且0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．以下命题正确的有（ ）A ．若230OA OB OC ++=，则::1:2:3A B C S S S =B ．若2OA OB ==，5π6AOB ∠=，2340OA OB OC ++=，则92ABC S = C ．若O 为△ABC 的内心，3450OA OB OC ++=，则π2C ∠= D ．若ABC 的垂心O 在ABC 内，,,AD BE CF 是ABC 的三条高，则0OD OE OF OA OB OC ADBE CF⋅+⋅+⋅= 三．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．设向量(),4a x =−，()1,b x =−，向量a 与b 的夹角为锐角，则x 的范围为 .14. 已知ππ,,42k k Z αβαβπ⎛⎫+=−≠+∈ ⎪⎝⎭，则()()1tan 1tan αβ−−=__________. 15. 设函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ∈R .若π()6f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的x R ∈恒成立，则()f x 的增区间是 .16. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点(3,A −出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设点P 的坐标为(,)x y ，其纵坐标满足()sin()y f t R t ωϕ==+（0t ≥，0ω>，π2ϕ<），①π3ϕ=− ②当(]0,60t ∈时，函数()y f t =单调递增③当100t =时，6PA = ④当(]0,60t ∈时，()f t 的最大值为则上面叙述正确的是________．四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(10分) 如图，在ABC 中，AO AD λ=. (1)求λ的值；(2)当5,3AB AC ==时，求AO BC ⋅的值.已知在平面直角坐标系xOy 中，向量()3,4a =．若向量b 满足10b =，且b a ⊥，求b 的坐标；若向量c 满足23c =，且a 与c 的夹角为6π，求2a c −与a 的夹角的余弦值．19. 在条件：①()()2sin 2024cos 2024παπα−=+；②sin cos αα+=4sin 25α=−中任选一个，补充在下面的题目中，并求解.已知()0,απ∈，且满足条件___________.（1）求3sin 4cos cos sin αααα+−的值；（2）若,2πβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且cos β=αβ+的值.20. 已知向量(cos ,sin )a x x =，(3cos ,2cos )b x x x =−，设函数()f x a b =⋅. （1）求()f x 的单调递减区间；（2）若函数πππ()626212x x g x f x af af ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−+−−+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在区间[0,]π上的最大值为6，求实数a 的值.21. 如图，扇形OPQ 的半径1OP =，圆心角3POQ π∠=，点C 是圆弧PQ 上的动点（不与P Q 、点重合），现在以动点C 为其中一个顶点在扇形中截出一个四边形，下面提供了两种截出方案，如果截出的两个四边形面积的最大值之差的绝对值不大于13，则称这两个四边形为“和谐四边形”. 试问提供的两种方案截出的两个四边形是否是“和谐四边形”？请说明理由.22．已知函数()sin cos f x x x =−．(1)求方程()cos 2f αα=在[]0,2π上的解集；(2)设函数()()3ln 2F x f x x =+； （i ）证明：()y F x =有且只有一个零点；（ii ）记函数()y F x =的零点为0x ，证明：00211ln sin 2333x x −<+<．。
四川省成都市2023-2024学年高一下学期三月月考数学试题含答案
高2023级高一下期数学3月月考（答案在最后）一、单选题（共8题，每题5分）1.75cos 75的值是（）A.2B.12C.34D.【答案】A 【解析】【分析】由已知利用二倍角的正弦公式以及特殊角的三角函数值即可求解．【详解】解：175cos 7522===．故选：A ．2.下列说法错误的是（）A.CD DC=B.1e ，2e 是单位向量，则12e e =C.若AB CD > ，则AB CD>D.任一非零向量都可以平行移动【答案】C 【解析】【分析】利用向量的有关概念即可.【详解】对于A 项，因为CD DC =-，所以||||CD DC = ，故A 项正确；对于B 项，由单位向量的定义知，121e e ==，故B 项正确；对于C 项，两个向量不能比较大小，故C 项错误；对于D 项，因为非零向量是自由向量，可以自由平行移动，故D 项正确．故选：C ．3.函数sin y x x =+，x ∈R 的最大值为（）A.1 B.C.12D.2【答案】D 【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数为π2sin 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据正弦型函数的最值可求得结果.【详解】πsin 2sin 3y x x x ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭ ，当ππ2π,Z 32x k k +=+∈，即π2π,Z 6x k k =+∈时，sin y x x =+取得最大值2.故选：D.4.若函数()()sin f x A x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A.2sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ B.2sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C.2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.2sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】结合三角函数的的图象，分析三角函数的性质。
确定函数的解析式.【详解】如图：易知：2A =，2πππ4362T =-=⇒2πT =，即2π2πω=⇒1ω=.由π2sin 26ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭⇒π2π3k ϕ=+，Z k ∈，0k =时，π3ϕ=.所以：()π2sin 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：C5.已知sin 0αα-=，则cos 2=α（）A.13-B.0C.13D.3【答案】A 【解析】【分析】由弦切互化可得tan α=，进而由余弦的二倍角公式以及齐次式的计算即可求解.【详解】由sin 0αα-=可得tan α=，故222222cos sin 1tan 121cos 2cos sin 1tan 123ααααααα---====-+++，故选：A6.已知α为锐角，且π3cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5πsin 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.35B.45-C.45D.45±【答案】C 【解析】【分析】先利用同角三角函数的基本关系求πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用诱导公式把5πsin 6α⎛⎫- ⎪⎝⎭用πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭来表示即可得到答案.【详解】因为α为锐角，且π3cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以π6α+也是锐角，所以π4sin 65α⎛⎫+== ⎪⎝⎭.5πππ4sin sin πsin 6665ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即5π4sin 65α⎛⎫-= ⎪⎝⎭.故选：C.7.函数()cos 26cos 1f x x x =-+的值域为（）A.9,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ B.9,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C.[4,8]- D.9,82⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】用余弦的二倍角公式化函数为关于cos x 的二次函数，结合二次函数性质可得值域．【详解】2239()2cos 6cos 2(cos 22f x x x x =-=--，因为1cos 1x -≤≤，所以4()8f x -≤≤．即值域为[4,8]-，故选：C ．8.设函数()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为T .若2π3πT <<，且对任意x ∈R ，()π03f x f ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭恒成立，则ω=（）A.23B.34C.45D.56【答案】B 【解析】【分析】由2π3πT <<可得213ω<<，由对任意x ∈R ，()π03f x f ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭恒成立，可得()min π03f x f ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，计算即可得.【详解】由()π03f x f ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，且()[]1,1f x ∈-，故π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即有()πππ2π342k k ω⋅+=+∈Z ，解得()364k k ω=+∈Z ，又2π3πT <<，0ω>，故2π2π3πω<<，即213ω<<，综上，34ω=.故选：B.二、多选题（共3题，每题6分﹔选错0分，若答案有三个.每个选项2分.若答案为两个，每个选项3分）9.下列各式中，值为12的是（）A.5sin6π B.2sin15cos15︒︒ C.22cos 151︒- D.tan2102︒【答案】ABD 【解析】【分析】根据诱导公式sin(-)sin παα=可判断A ；由二倍角的正弦公式sin22sin cos ααα=可计算B ；由二倍角的余弦公式2cos22cos 1αα=-可判断C ；由诱导公式tan()tan παα+=可计算D.【详解】对于A ：51sinsin(-sin 6662ππππ===，所以A 正确;对于B ：12sin15cos15sin302==，所以B 正确;对于C ：22cos 151cos302-==，所以C 不正确;对于D ：1tan210tan(180********))=+=⨯== ，所以D 正确，故选：ABD.10.已知函数()π3cos 262f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则下列选项正确的是（）A.函数()f x 的最小正周期为πB.点π,32⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心C.将函数()f x 图象向左平移π6个单位长度，所得到的函数为偶函数D.函数()f x 在区间π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增【答案】AB 【解析】【分析】利用余弦型函数的周期公式即得A 项，运用代入检验法将π22x +看成整体角，结合余弦函数图象对称性易得B 项，运用平移变换得到函数后，利用偶函数定义即可判C 项，将π26x +看成整体角，结合余弦函数图象单调性即可判断D 项，【详解】对于A 项，函数()f x 的最小正周期为2π2ππ||2Tω===，故A 项正确；对于B 项，当π3x =-时，ππ262x +=-，而πcos 02⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故点π,32⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心，即B 项正确；对于C 项，函数()f x 图象向左平移π6个单位长度，得到()πππcos 2cos 2sin 2662222g x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由于()()()33sin 2sin 22sin 222g x g x x x x ⎡⎛--=--+--+= ⎢⎥ ⎣⎦⎝⎭不恒为零，故该函数不是偶函数，即C 项错误；对于D 项，当π,06x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，πππ2,666z x ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，函数cos y z =在区间ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭上没有单调性，故D 项错误.故选：AB .11.函数π()sin()(0,0,||2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则（）A.π()3sin(26f x x =+B.()f x 的图象向右平移2π3个单位长度后得到的新函数是奇函数C.()f x 的图象关于点4π(,0)3-对称D.若方程3()2f x =在()0,m 上有且只有6个根，则10π(3π,3m ∈【答案】AD【解析】【分析】根据给定的函数图象，利用函数()f x 的解析式，再利用正弦函数的图象性质逐项判断即得.【详解】由图象得，3A =，3(0)3sin 2f ϕ==，而π||2ϕ<，则π6ϕ=，π()3sin()6f x x ω=+，由()f x 的图象过点5π(,0)12，得()5πππ2πZ 126k k ω+=+∈，解得()242Z 5k k ω=+∈，而()f x 的周期T 有5212T π>，即25212ππω>，解得1205ω<<，因此2ω=，π()3sin(2)6f x x =+，A 正确；函数()f x 的图象向右平移23π个单位长度后得到的新函数是2π(3y f x =-4ππ7π3sin(2)3sin(2)366x x =-+=-，非奇非偶函数，B 错误；4π5π()3sin()332f -=-=-，C 错误；显然π4π7π10π3(0)()(π)((2π)()(3π)()33332f f f f f f f f ========，若方程3()2f x =在(0,)m 上有且只有6个根，则10π(3π,]3m ∈，D 正确.故选：AD三、填空题（共3题，每题5分）12.若,αβ为锐角，且83sin ,cos 175αβ==，则cos()αβ+=_____．【答案】1385【解析】【分析】通过平方关系求出cos α和sin β的值，再根据两角和的余弦公式即可得解.【详解】因为,αβ为锐角，且83sin ,cos 175αβ==，所以154cos ,sin 175αβ==，所以1538413cos()cos cos sin sin 17517585αβαβαβ+=-=⨯-⨯=．故答案为：1385.13.sin47sin17cos30cos17︒︒︒︒-=______．【答案】12##0.5【解析】【分析】注意所求式中角的关系，对47 进行拆角为3017+ ，利用和角公式化简即得.【详解】由sin 47sin17cos30cos17- sin(3017)sin17cos30cos17+-=sin 30cos17cos30sin17sin17cos30cos17+-= sin 30cos171sin 30.cos172===故答案为：1.214.关于函数()cos 2sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎝⎭⎝⎭有下列三个结论，①2π是函数()f x 的周期；②函数()f x 在[0,]x π∈的所有零点和为1312π；③函数()f x 的值域[1,1]-；其中所有正确结论的编号是___________．【答案】①③【解析】【分析】根据三角函数的性质，函数零点的定义，以及值域的求法即可判断各结论的真假．【详解】对①，因为函数cos 2sin 222323f x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+--+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∣cos 2sin 2()33x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=---= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以2π是函数()f x 的周期，①正确;对②，令()0f x =，则tan 213x π⎛⎫-=± ⎪⎝⎭，解得234x k πππ-=±+，即1242x k ππ=+或71242x k ππ=+，Z k ∈，而[0,]x π∈，所以24x π=，724π，1324π，1924π，故函数()f x 在[0,]x π∈的所有零点和为53π，②错误；对③，设cos 2sin 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2212cos 2sin 21|sin 41333y x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=--≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∣，所以11y -≤≤，③正确．故答案为：①③【点睛】本题主要考查三角函数的性质的应用，函数零点的理解，以及值域的求法应用，属于中档题．四、解答题（15题13分，16和17题15分，18和19题17分）15.已知1 tan42πα⎛⎫+=⎪⎝⎭.（1）求tanα的值；（2）求2sin2cos1cos2ααα-+的值.【答案】（1）1 3-（2）5 6-【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换的正切和角公式求解即可.（2）结合二倍角公式进行化简，再结合弦切互化即可求值.【小问1详解】因为1tan42πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以1tan1tan41tan2πααα+⎛⎫+==⎪-⎝⎭，解得1tan3α=-.【小问2详解】因为222sin2cos2sin cos cos2sin cos15tan1cos22cos2cos26ααααααααααα---===-=-+所以2sin2cos1cos2ααα-+的值为56-.16.化简求值（1）已知π1πcos,0,232x x⎛⎫⎛⎫+=-∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求tan2x的值（2）已知ππ0,,,022αβ⎛⎫⎛⎫∈∈-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且3cos(),sin510αββ-==-．求α【答案】（1）7；（2）π4.【解析】【分析】（1）先求得tan x =，再由倍角公式求tan 2x 的值；（2）先求得sin(),cos αββ-的值，再求得()sin sin ααββ=-+的值，从而可求得α的值.【小问1详解】由π1cos 23x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭得1sin 3x =，因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 3x =，tan x =，故22tan tan 211tan 718x x x ===--.【小问2详解】因为ππ0,,22αβ⎛⎫⎛⎫∈∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()0,παβ-∈，所以472sin()510αββ-==所以()()()sin sin sin cos cos sin ααββαββαββ=-+=-+-43(5105102=+-=因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π4α=.17.一个大风车的半径为8米，风车按逆时针方向匀速旋转，并且12分钟旋转一周，它的最低点离地面2米，设风车开始旋转时其翼片的一个端点P 在风车的最低点，求：（1）点P 离地面距离h （米)与时间t （分钟）之间的函数关系式；（2）在第一圈的什么时间段点P 离地面的高度超过14米？【答案】（1）()8sin()1062h t t ππ=-+，0t ；（2）48t <<．【解析】【分析】（1）设()sin()h t A t b ωϕ=++，由题意求得各参数值，得解析式；（2）解不等式()14h t >可得．【详解】（1）设()sin()h t A t b ωϕ=++，由题意得：8A =，12T =，10b =；则26T ππω==，当0=t 时，2h =，即sin 1ϕ=-；因此，2πϕ=-；因此，()8sin()1062h t t ππ=-+，0t ；（2）由题意：()14h t >，即：8sin(101462t ππ-+>；则：1cos 62t π<-；又因为012t ，所以48t <<．18.已知数2()2sin 1(0)6212x f x x πωπωω⎛⎫⎛⎫=+++-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的相邻两对称轴间的距离为2π.（1）求()f x 的解析式；（2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，当,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的值域；（3）对于第（2）问中的函数()g x ，记方程4()3g x =在4,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的根从小到大依次为12,,n x x x ，若m =1231222n n x x x x x -+++++ ，试求n 与m 的值.【答案】（1）()2sin 2f x x=（2）[-（3）205,3n m π==【解析】【分析】（1）先整理化简得()2sin f x x ω=，利用周期求得2ω=，即可得到()2sin 2f x x =；（2）利用图像变换得到()sin()243g x x π=-，用换元法求出函数()g x 的值域；（3）由方程4()3g x =，得到2sin(433x π-=，借助于正弦函数sin y x =的图象，求出n 与m 的值.【小问1详解】由题意，函数21())2sin ()1626f x x x ππωω⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦)cos()2sin()2sin 6666x x x x ππππωωωω=+-+=+-=因为函数()f x 图象的相邻两对称轴间的距离为2π，所以T π=，可得2ω=.故()2sin 2f x x=【小问2详解】将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，可得2sin(2)3y x π=-的图象.再把横坐标缩小为原来的12，得到函数()2sin(43y g x x π==-的图象.当,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，24,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当432x ππ-=-时，函数()g x 取得最小值，最小值为2-，当433x ππ-=时，函数()g x ，故函数()g x 的值域⎡-⎣.【小问3详解】由方程4()3g x =，即42sin(4)33x π-=，即2sin(433x π-=，因为4,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得4,533x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，设43x πθ=-，其中,53πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即2sin 3θ=，结合正弦函数sin y x =的图象，可得方程2sin 3θ=在区间,53ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有5个解，即5n =，其中122334453,5,7,9θθπθθπθθπθθπ+=+=+=+=，即12233445443,445,447,44933333333x x x x x x x x ππππππππππππ-+-=-+-=-+-=-+-=解得1223344511172329,,,12121212x x x x x x x x ππππ+=+=+=+=所以m =()()()()1212345233445223220x x x x x x x x x x x x x π=++++++++++++= .综上，2053n m π==，【点睛】（1）三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或cos y x =的性质解题；（2）求y =A sin(ωx +φ)+B 的值域通常用换元法；19.已知函数ππ()4sin cos 11212f x x x ωω⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0ω>．（1）若()()1212min π(),2f x f x f x x x ≤≤-=，求()f x 的对称中心；（2）若24ω<<，函数()f x 图象向右平移π6个单位，得到函数()g x 的图象，π3x =是()g x 的一个零点，若函数()g x 在[,]m n （,R m n ∈且m n <）上恰好有8个零点，求n m -的最小值；（3）已知函数π()cos 22(0)6h x a x a a ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，在第（2）问条件下，若对任意1π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在2π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12h x g x =成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()ππ1Z 122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭,（2）10π9（3）[)2,0-【解析】【分析】（1）利用倍角公式化简函数解析式，由已知确定最小正周期，可得ω，整体代入法求()f x 的对称中心；（2）由图象平移变换得到函数()g x ，结合π03g ⎛⎫= ⎪⎝⎭和24ω<<，得3ω=，根据()g x 的零点个数可得35T n m T <-<，要使n m -最小，则,m n 恰好为()g x 的零点，由此求n m -的最小值；（3）根据已知，在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，()h x 的值域是()g x 值域的子集，求出这两个值域，由包含关系构造不等式示结果.【小问1详解】函数πππ()4sin cos 12sin 2112126f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若()()1212min π(),2f x f x f x x x ≤≤-=，则1x 与2x 是相邻的最小值点和最大值点，()f x 的最小正周期为2ππ2⨯=，由2ππ2ω=，解得1ω=，得π()2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令()π2πZ 6x k k +=∈，解得()ππZ 122k x k =-+∈，此时()1f x =，所以()f x 的对称中心为()ππ1Z 122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭,.【小问2详解】()πππ122sin 212sin 2π16666g x f x x x ωωω⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，π2π12ππ2sin π12sin 1033636g ωωω-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，ππ1sin 362ω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以()ππ7π2πZ 366k k ω+=+∈或()ππ11π2πZ 366k k ω+=+∈解得()36Z k k ω=+∈或()56Z k k ω=+∈，又24ω<<，得3ω=，所以()52sin 6π16g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，函数最小正周期3π2π6T ==，令()0g x =，即51sin 6π62x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得()11ππZ 93k x k =+∈或()22πZ 3k x k =∈，若()g x 在[,]m n 上恰好有8个零点，则35T n m T <-<，要使n m -最小，则,m n 恰好为()g x 的零点，n m -的最小值为ππ10π3399⨯+=.【小问3详解】由（2）知，()52sin 6π16g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，设()h x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为A ，()g x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为B ，若对任意1π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在2π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12h x g x =成立，则A B ⊆，当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，5π5π2π6,663x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，[]5πsin 61,16x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则[]1,3B =-，当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，πππ2,663x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，π1cos 2,162x ⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则3,2A a a ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦，由A B ⊆可得1332a a -≥-⎧⎪⎨-≤⎪⎩，又a<0，解得20a -≤<，所以实数a 的取值范围为[)2,0-.【点睛】方法点睛：1.若()g x 在[,]m n 上恰好有8个零点，要使n m -最小，则需要,m n 恰好为()g x 的零点；2.1π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在2π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12h x g x =，则在定义区间内()h x 的值域是()g x 值域的子集.。
四川省成都市第七中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题(解析版)
A ．√3 √213．已知s i n xc o s x = 2，则 sin2x 的值为（）b ＞2 7．设 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和，a 12＝16a 16，则 6的值为（）B ．．在△9 ABC 中，∠C ＝120°，t a nAt a nB = 3 √3，则 tan A tan B 的值为（ ）10．已知数列{a n }为各项均为正数的等比数列，S n 是它的前 n 项和，若 a 2•a 8＝4，且a 53a 7 = ，则 S 5四川省成都市第七中学 2019-2020 学年高一下期期中数学试卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．sin105°的值为（）√6 √2 1 √2√6 √2 2B ．4C ．2D ．42．已知等差数列{a n }中，a 4＝7，a 7＝4，则公差 d 的值为（）1 A ．2B ．1C ．﹣1D ． 21A ．121 B ．43 C ．4D ．√3211 4．已知 ＜ ＜0，则下列结论不正确的是（）abA ．a 2＜b 2B ．ab ＜b 2b aC ．aD ．|a |+|b |＞|a +b |△5．在 ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 b ＝2，B ＝45°，C ＝120°，则边 c ＝（）A ．√2B ．√3C ．2D ．√66．等差数列{a n }中，S 10＝240，那么 a 4+a 7 的值是（）A ．60B ．24C ．36D ．48SS 39A ．8B ．99 7C ．9 或﹣7D ． 或8 88．化简c o s25°si n25°的结果为（）si n 40°si n 50°1 A ．1C ．22D ．﹣121 A ．41 B ．31 C ．25 D ．31 2的值为（）A ．64B ．62C ．60D ．5811．有一块半径为 2，圆心角为 45°的扇形钢板，从这个扇形中切割下一个矩形（矩形的各个顶点都在扇14．已知c o s (2 + α) = 2cos(π − α)，则t a n(4 − α) =．16．已知正数 x ，y 满足 x +y ＝2，若a ≤ x+1 + y+2恒成立，则实数 a 的取值范围是．形的半径或弧上，且矩形的一边在扇形的半径上） 则这个内接矩形的面积最大值为（）A ．2 + √2B ．2 − √2C ．2√2 − 2D ．2√2 + 212．实数 a ，b ，c 满足 a 2＝2a +c ﹣b ﹣1 且 a +b 2+1＝0，则下列关系式成立的是（）A ．c ≥b ＞aB ．c ≥a ＞bC ．a ＞c ≥bD ．c ＞a ≥b二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共计 20 分13．已知直线 l 斜率的取值范围是(−√3， 1)，则 l 的倾斜角的取值范围是．π π15．不等式（x ﹣2）√x 2 − x − 6 ≥0 的解集为．x 2 y 2三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解关于 x 的不等式：2x 2+ax +2＞0（a ∈R ）．18．在△ABC ，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且 b cos A ﹣c cos B ＝（c ﹣a ）cos B ．（1）求角 B 的值；（△2）若ABC 的面积为 3√3，b = √13，求 a +c 的值．19．在等差数列{a n }中，a 3+a 7＝﹣26，a 5+a 9＝﹣38．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列{a n +b n }是首项为 1，公比为 t 的等比数列，求{b n }的前 n 项和 S n ．20．已知函数f（x）＝2√3si nωxcosωx+2cos2ωx(ω＞0)的周期为．（1）求函数f（x）的单调递增区间和最值；（2）当x∈[0，6]时，函数g（x）＝f（x）﹣2m+1恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围．21．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝3a n+λ（λ为常数）．（1）试探究数列{a n+2λ}是否为等比数列，并求a n；（2）当λ＝2时，求数列{n(a n+2λ)}的前n项和T n．22．设数列{a n}的前n项和为S n，且3(S n+1)=4a n，n∈N∗（1）求{a n}的通项公式；2）求证：1+S2S3+S n+1＞π3π11S（S2S3 S4+⋯+S n n4−115．A ．√3 √2sin105°＝sin （60°+45°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45°= √2 × √2 2 × √ = √ 4 ． B ．1 C ．﹣1D ． 23．已知s i n xc o s x = 2，则 sin2x 的值为（）∵s i n xc o s x = 2，∴两边平方，可得：1﹣2sin x cos x ＝1﹣sin2x = 4，∴解得：sin2x = 4．七中高一下期期中参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．sin105°的值为（）√6 √2 1 √2 √6 √2 2B ．4C ．2D ．4易知 sin105°＝sin （60°+45°），展开计算即可得解．3 2 1 2故选：B ．本题主要考查和差角公式的运用，考查运算求解能力，属于基础题．2．已知等差数列{a n }中，a 4＝7，a 7＝4，则公差 d 的值为（）26 √ 21 A ．21利用等差数列的通项公式即可得出．∵a 4＝7，a 7＝4，∴7+3d ＝4，d ＝﹣1．故选：C ．本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11 A ．21 B ．43 √3C ．D ．4 2将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式即可求解．113故选：C ．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．1 14．已知 ＜ ＜0，则下列结论不正确的是（）abb ＞2b ≥2 且当 a ＝b 时取等号，又因 b ＜a ，b ＞2，故 C 对； s i n B=∵等差数列{a n }中，S 10= 2 （a 4+a 7）＝240，baA ．a 2＜b 2B ．ab ＜b 2C ． + aD ．|a |+|b |＞|a +b |由题意先求出 b ＜a ＜0，根据它们的关系分别用作差法判断 A 和 B 选项，利用基本不等式判断 C 选项，由几何意义判断 D 选项．1 1∵ ＜ ＜0，∴b ＜a ＜0，abA 、∵b ＜a ＜0，∴a 2﹣b 2＝（a ﹣b ）（a +b ）＜0，则 a 2＜b 2，故 A 对；B 、ab ﹣b 2＝b （a ﹣b ）＜0，则 ab ＜b 2，故 B 对；b a baC 、∵b ＜a ＜0，∴ ＞0， ＞0，则 + a b a ba∴ + aD 、∵b ＜a ＜0，∴|a |+|b |＝|a +b |成立，故 D 不对．故选：D ．本题考查了比较大小的方法，作差法和基本不等式，用基本不等式时应验证三个条件，即一正二定三相等是否成立．△5．在 ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 b ＝2，B ＝45°，C ＝120°，则边 c ＝（）A ．√2B ．√3C ．2D ．√6由已知利用正弦定理即可求解．∵b ＝2，B ＝45°，C ＝120°，∴由正弦定理bc s i n C，可得2√2= c√3，22∴解得 c = √6．故选：D ．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．6．等差数列{a n }中，S 10＝240，那么 a 4+a 7 的值是（）A ．60B ．24C ．36D ．48利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式求解．10∴a 4+a 7＝48．故选：D ．本题考查等差数列中的两项和的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的性质的合理运用．7．设 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和，a 12＝16a 16，则 6的值为（）设等比数列{a n }的公比为 q ≠1，由 a 12＝16a 16，1＝16q 4，解得 q ，再利用求和公式化简 6，代入即可得设等比数列{a n }的公比为 q ≠1，∵a 12＝16a 16，1＝16q 4，解得 q ＝± ．S 61q1 9 1 7 8 = ． 则 = =1+q 3＝1+= 或 1 a1(1q 3)S 3 8．化简c o s 25°si n25°原式=si n 40°cos40°= si n 40°cos40°= si n 40°cos40° = 2．．在△9 ABC 中，∠C ＝120°，t a nA+ tanB= 3 √3，则tan A tan B 的值为（ ）B ．1t a nAt a nB = 1t a nAt a nB ，故1 t a nAt a nB= 3，即t a nAt a nB= 3．10．已知数列{a n }为各项均为正数的等比数列，S n 是它的前 n 项和，若 a 2•a 8＝4，且a 53a 7 = ，则 S 5SS 39A ．89 7B ．9C ．9 或﹣7D ． 或8 8SS 3出．1 2a1(1q 6)8 8 81q故选：D ． 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．si n 40°si n 50°的结果为（）1 A ．1C ．2D ．﹣12利用诱导公式及二倍角公式直接化简得解．cos10° si n 80° 2si n 40°cos40°故选：C ．本题主要考查二倍角公式的运用，考查化简求解能力，属于基础题．21 A ．41 B ．31 C ．25 D ．3根据 A +B ＝180°﹣C ＝60°，先求出 tan （A +B ）的值，再求 tan A tan B ．tan(A+ B) = tan(180°120°) = √3 = t a nA+t a nB2√ 3 32 1故选：B ．本题主要考查两角和与差的正切公式．属基础题．1 2的值为（）A ．64B ．62C ．60D ．58结合已知可先求出公比 q 及首项 a 1，然后根据等比数列的求和公式可求．∵a5−3a7=2，∴a7=2，∴q2=a7=4，∴q=2，q4∴S5==62，sin(45°−θ)=a2•a8＝4，可得a52＝4，∵数列{a n}为各项均为正数的等比数列，∴a5＝2，11a151∴a1=a5=32，32(1−1)251−12故选：B．本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．11．有一块半径为2，圆心角为45°的扇形钢板，从这个扇形中切割下一个矩形（矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上，且矩形的一边在扇形的半径上）则这个内接矩形的面积最大值为（）A．2+√2B．2−√2C．2√2−2D．2√2+2直接利用正弦定理的应用整理出矩形的两边长，进一步利用矩形的面积公式把面积用三角函数的关系表达式整理出来，最后利用三角函数关系式的变换和正弦型函数性质的应用求出结果．根据题意得到图形：如图所示：设∠COB＝θ．所以BC＝2sinθ，在△ODC中，∠ODC＝180°﹣45°＝135°，利用正弦定理：DC OCsi n135°，整理得CD=2√2sin(45°−θ)，所以 S 矩形＝BC •CD = 2s i n θ ⋅ 2√2sin(45° − θ) =4√2sin （45°﹣θ）sin θ＝2√2si n (2θ + 4) − 2．当θ = 8时，S 矩形的最大值为 2√2 − 2． 3 ，π） ．3 ，π）． 3 ，π）．14．已知c o s (2 + α) = 2cos(π − α)，则t a n(4 − α) =−∵c o s(2 +α) = 2cos(π − α)，ππ故选：C ．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12．实数 a ，b ，c 满足 a 2＝2a +c ﹣b ﹣1 且 a +b 2+1＝0，则下列关系式成立的是（）A ．c ≥b ＞aB ．c ≥a ＞bC ．a ＞c ≥bD ．c ＞a ≥b利用已知条件，推出 a 的范围，b 与 c 的关系，利用特殊值判断即可．实数 a ，b ，c 满足 a 2＝2a +c ﹣b ﹣1，可得（a ﹣1）2＝c ﹣b ≥0，可得 c ≥b ，排除 B ，D ，a +b 2+1＝0，可得 a ≤﹣1，当 a ＝﹣1 时，b ＝0，排除 B ，C所以 A 正确．故选：A ．本题考查函数与方程的应用，考查推理与判断能力．二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共计 20 分π2π13．已知直线 l 斜率的取值范围是(−√3，1)，则 l 的倾斜角的取值范围是[0， ）∪（ 4根据直线 l 斜率的取值范围得出倾斜角正切值取值范围，由此求出倾斜角 θ 的取值范围．直线 l 斜率的取值范围是(−√3，1)，则 l 的倾斜角 θ 满足−√3＜tan θ＜1，其中 θ∈[0，π），π2π所以 θ 的取值范围是[0， ）∪（ 4π 2π故答案为：[0， ）∪（ 4本题考查了直线方程的倾斜角与斜率问题，是基础题．π π1 3．先利用诱导公式可得 sin α＝2cos α，进而可得 tan α＝2，再利用正切的差角公式得解．π∴﹣sin α＝﹣2cos α，∴t a n(4−α)=1+2=−．=故答案为：−3．x2−x−6＞0或x﹣x﹣6＝016．已知正数x，y满足x+y＝2，若a≤x+1+y+2恒成立，则实数a的取值范围是（−∞，5]．t a nπ−t a nα+(y+2−2)25+x+1++(y+2−2)2(x+1)2−2(x+1)+1(y+2)2−4(y+2)+4=+，x+1+y+2−4+y+2，x+1+y+2−1，+y+25+5(y+2)+5(x+1)+−15(y+2)5(x+1)=，4(x+1)⋅∴tanα＝2，π1−2141+tanπt a nα341本题考查诱导公式，同角三角函数的基本关系，和差角公式的运用，考查化简求解能力，属于基础题．15．不等式（x﹣2）√x2−x−6≥0的解集为[3，+∞）∪{﹣2}．根据不等式中根式的讨论：分大于0，等于0两类，将无理不等式转化为二次不等式组或二次方程解．原不等式同解于x−2≥02解得x＞3或x＝﹣2或x＝3故答案为：[3，+∞）∪{﹣2}．求分式不等式、无理不等式一般先将它们同解变形为整数不等式来解，注意：一定要使原不等式的各部分有意义．x2y24首先对关系式进行恒等变换，进一步整理得(x+1−1)2x+1y+2=(x+1)2−2(x+1)+1x+1+(y+2)2−4(y+2)+4y+2，最后利用基本不等式的应用求出结果．已知正数x，y满足x+y＝2，所以（x+1）+（y+2）＝5，x+1所以：y+25=1则：x2y2y+2=(x+1−1)2x+1y+2，x+1y+2=x+1−2+14 =14x+1＝（515）（x+1+4y+2）﹣1，=14(x+1)y+245≥1−1+2√y+245要使a ≤ x+1 + y+2恒成立，只需满足a ≤ (x+1 + y+2)mi n 即可，故a ≤ 5．故答案为：（−∞，5]．对应的一元二次方程有两个实数根 x = 和 x = ，4 ＜ ∴不等式的解集为{x |x ＜ 或 x ＞ }；对应的一元二次方程有两个相等的实数根 x = − 4，∴不等式的解集为{x |x ≠ − 4}；综上，a ＞4 或 a ＜﹣4 时，不等式的解集为{x |x ＜ 或 x ＞ }；a ＝±4 时，不等式的解集为{x |x ≠ − 4}；x 2 y 2 x 2 y 244本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解关于 x 的不等式：2x 2+ax +2＞0（a ∈R ）．讨论 ＞△0， ＝0 以及 ＜△0 时对应不等式的解集即可．关于 x 的不等式：2x 2+ax +2＞0（a ∈R ）中，△＝a 2﹣4×2×2＝a 2﹣16，当 a ＞4 或 a ＜﹣4 时， ＞△0，−a−√a 2−16 −a+√a 2−164 4且 −a−√a 2 −16 −a+√a 2 −164 ，−a−√a 2−16 −a+√a 2−164 4当 a ＝±4 时， ＝△0，aa当﹣4 ＜a ＜4 时， ＜△0，∴不等式的解集为 R ；−a−√a 2−16 −a+√a 2−164 4a﹣ 4＜a ＜4 时，不等式的解集为 R ．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是基础题目．18．在△ABC ，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且 b cos A ﹣c cos B ＝（c ﹣a ）cos B ．（1）求角 B 的值；（△2）若 ABC 的面积为 3√3，b = √13，求 a +c 的值．∴cos B=．2∴B=3．（2）据（1）求解知B=3，又S=2ac sin B＝3√3，（1）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知得sin C＝2sin C cos B，由0＜C＜π，可求cos B，结合范围B∈（0，π），可求B的值．（2）根据余弦定理，三角形面积公式即可解得a+c的值．（1）∵b cos A﹣c cos B＝（c﹣a）cos B．∴由正弦定理，得：sin B cos A﹣sin C cos B＝（sin C﹣sin A）cos B．∴sin A cos B+cos A sin B＝2sin C cos B．∴sin（A+B）＝2sin C cos B．又A+B+C＝π，∴sin（A+B）＝sin C．又∵0＜C＜π，1又B∈（0，π），ππ∴b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝a2+c2﹣ac．①1∴ac＝12，②又∵b=√13，∴据①②解，得a+c＝7．本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．19．在等差数列{a n}中，a3+a7＝﹣26，a5+a9＝﹣38．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{a n+b n}是首项为1，公比为t的等比数列，求{b n}的前n项和S n．（1）数列{a n}是公差为d的等差数列，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程即可得到所求通项公式；（2）a n+b n＝t n﹣1，可得b n＝t n﹣1+3n﹣2，运用数列的分组求和，计算可得所求和．（1）设等差数列{a n}的公差为d，当t≠1时，S n=+21−t，当t＝1时，S n=3n2−n+n=．20．已知函数f（x）＝2√3si nωxcosωx+2cos2ωx(ω＞0)的周期为．（2）当x∈[0，6]时，函数g（x）＝f（x）﹣2m+1恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围．（1）化简函数f（x），结合题意可得f(x)=2si n(6x+6)+1，进而求得单调增区间及最值；（1）f(x)=√3si n2ωx+cos2ωx+1=2si n(2ωx+6)+1，3，解得ω＝3，∴f(x)=2si n(6x+6)+1，令−2+2kπ≤6x+6≤2+2kπ，k∈Z，解得πππkππkππ∴其单调递增区间为[3−9，3+18](k∈Z)；当x=3+18(k∈Z)时，f（x）max＝3，当x=3−9(k∈Z)时，f（x）min＝﹣1；（2）∵x∈[0，6]，6≤由a3+a7＝﹣26，a5+a9＝﹣38，可，得a5+a9﹣（a3+a7）＝4d＝﹣12，即d＝﹣3，∴a3+a7＝2a1+8d＝﹣26，解得a1＝﹣1，∴数列{a n}的通项公式为a n＝﹣3n+2；（2）由数列{a n+b n}是首项为a1，公比为t的等比数列，∴a n+b n＝t n﹣1，∴b n＝t n﹣1+3n﹣2，∴S n＝[1+4+7+…+（3n﹣2）]+（1+t+t2+…+t n﹣1）=3n2−n2+（1+t+t2+…+t n﹣1），3n2−n1−t n3n2+n22本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，考查化简运算能力，属于中档题．π3（1）求函数f（x）的单调递增区间和最值；ππ（2）问题等价于函数y＝f（x）的图象与直线y＝2m﹣1恰有两个不同的交点，作出图象，结合图象可得2≤2m﹣1＜3，进而得解．ππ2π又周期为，故32ω=ππ−≤x≤+39318，k∈Z，kππkππkππkπππ∴π6≤6x+π7π6，结合图象可知，2≤2m ﹣1＜3，解得 ≤ m ＜2．综上，实数 m 的取值范围为[2 ，2)． （1）试探究数列{a n + 2 λ}是否为等比数列，并求 a n ；（2）当 λ＝2 时，求数列{n(a n + 2 λ)}的前 n 项和 T n ．本题第（1）题将题干中的递推公式 进行转化可得 a n +1+ 2λ＝3（a n + 2λ），然后根据 a 1＝1，可得 a 1 + 2λ＝0 和 a 1+ 2λ≠0 两种情况，当 a 1+ 2λ＝0 时，数列{a n + 2 λ}是常数列，不是等比数列；当 a 1+ 2λ≠0 时， 数列{a n + 2 λ}是等比数列，且首项为 a 1+ 2λ＝1+ 2λ，公比为 3，此时通过计算出数列{a n + 2 λ}的通项第（2）题将 λ＝2 代入数列{a n + 2 λ}的通项公式，并进一步计算出数列{n(a n + 2 λ)}的通项公式，然后a n +1+ 2λ＝3a n +λ+ 2λ＝3（a n + 2λ），∴当 λ＝﹣2，即 a 1+ 2λ＝0 时，数列{a n + 2 λ}不是等比数列， 此时 a n + 2λ＝a 1+ 2λ＝a 1﹣1＝0，a n ＝a 1＝1，n ∈N *．当 λ≠﹣2，即 a 1+ 2λ≠0时，a n + 2λ≠0，由函数 g （x ）＝f （x ）﹣2m +1 恰有两个不同的零点，得函数 y ＝f （x ）的图象与直线 y ＝2m ﹣1 恰有两个不同的交点，323本题考查三角恒等变换以及三角函数的图象及性质，考查运算求解能力及数形结合思想，属于基础题．21．已知数列{a n }满足 a 1＝1，a n +1＝3a n +λ（λ 为常数）．111 1 11 1 1 11 1 1 1公式即可进一步计算出数列{a n }的通项公式．1 1运用错位相减法计算前 n 项和 T n ．（1）依题意，由 a n +1＝3a n +λ，可得1 1 1∵a 1＝1，1 11 11 1数列{a n + 2 λ}是等比数列，且首项为 a 1+ 2λ＝1+ 2λ，公比为 3，此时 a n + 2λ＝（a 1+ 2λ）•3n ﹣1＝（1+ 2λ）•3n ﹣1， ∴a n ＝（1+ 2λ）•3n ﹣1− 2λ，n ∈N *．则 n （a n + 2λ）＝2n •3n ﹣1， 1−3 −n •3n ）＝2[（ −n ）•3n − ]， ﹣2T n ＝2（1+31+32+…+3n ﹣1﹣n •3n ）＝2•（ 2∴T n ＝（n − 2）•3n + 2S 3 + S 3S 4 +⋯+ S nS n+1 ＞ S n+1 的表达式并进行转化得到 S n第（2）题先根据第（1）题的结果计算出 S n 的表达式，进一步可计算出S n+1 = ﹣1）≥15•4n ，则有 ≤ 1 5⋅4 n ，再代入S 1 S 2 + S 2 S 3 + ⋯+ S n1 1 11 1 11 1（2）由（1）知，当 λ＝2 时，a n ＝2•3n ﹣1﹣1，1T n ＝2[1•1+2•31+3•32+…+（n ﹣1）•3n ﹣2+n •3n ﹣1]，①3T n ＝2[1•31+2•32+…+（n ﹣1）•3n ﹣1+n •3n ]，② ①﹣②，可得1−3n1 1 21 1本题主要考查等比数列的判定，以及求数列的通项公式和运用错位相减法计算前 n 项和问题．考查了转化与化归思想，整体思想，分类讨论思想，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．22．设数列{a n }的前 n 项和为 S n ，且3(S n + 1) = 4a n ，n ∈ N ∗（1）求{a n }的通项公式；（2）求证：S 1S 2+S 2n 4 − 1 15．本题第（1）题先将 n ＝1 代入表达式，根据 S 1＝a 1 可解出 a 1 的值，当 n ≥2 时，由 3（S n +1）＝4a n ，可得 3（S n ﹣1+1）＝4a n ﹣1，两式相减并进行计算可得 a n ＝4a n ﹣1（n ≥2），即可得数列{a n }是以 3 为首项，4为公比的等比数列，即可求出数列{a n }的通项公式；S n 14 − 3 4(4 n+1 −1)，然后根据当 n ∈N *时，4n ﹣4≥0 对 4（4n +1﹣1）进行转化计算并应用放缩法可得 4（4n +13 4(4 n+1 −1) S n+1 进行放缩后依据等比数列的求和公式进行求和，再次运用放缩法可证明不等式成立．（1）解：由题意，当 n ＝1 时，3（a 1+1）＝4a 1，解得 a 1＝3，当 n ≥2 时，由 3（S n +1）＝4a n ，可得 3（S n ﹣1+1）＝4a n ﹣1，两式相减，可得 3a n ＝4a n ﹣4a n ﹣1，1−4=4n﹣1，Sn1=5⋅4 n ）4 − （ 1 4(1−4n ) − • 1−14 − 15（1− n ）4 n 1 1 14 15 15 4n 4 − 15，整理，得 a n ＝4a n ﹣1（n ≥2）， ∴数列{a n }是以 3 为首项，4 为公比的等比数列， ∴a n ＝3•4n ﹣1，n ∈N *．（2）证明：由（1）知，S n = 3(1−4n )则 S n4n −1 4n1 −1=4(4 n −1) 4(4 n1 −1) = 4n1 −4 4(4 n1 −1) = 4n1 −1−3 4(4 n1 −1) = 1 4 − 34(4 n1 −1) ，∵当 n ∈N *时，4n ﹣4≥0，∴4（4n +1﹣1）＝16•4n ﹣4＝15•4n +4n ﹣4≥15•4n ，∴ 34(4 n1−1) ≤ 3 15⋅4 n = 1 5⋅4 n，则 S 1 S 2 S 2 S 3 ⋯ S n S n1 1 ≥（ − 4 1 1 1 1 1 ）+（ − ）+…+（ −5⋅41 4 5⋅4 2 4= n 1 5 1 41 142 ⋯ 1 4n）= n4 5 1 14= =＞ n 1 1−• n 1故得证．本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和与不等式的综合问题．考查了转化与化归思想，放缩法，分组求和法，等比数列的基本量计算，以及逻辑推理能力和数学运算能力，本题多次应用放缩法，属较难题．。
四川省成都市第七中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题
四川省成都市第七中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________三、填空题13．在菱形ABCD 中，()2,3AC =-uuu r ，()1,2BD x =-uuu r ，则x =______.14．已知定义域为R 的函数()f x 同时满足以下三个条件：（1）函数的图象不过原点；（2）对任意x ÎR ，都有()()=f x f x -；（3）对任意x ÎR ，都有()()2f x f x +=.则符合上述条件的函数表达式可以为()f x =______.（答案不唯一，写出一个即可）15．已知等边三角形ABC 的边长为2，BC a =r uuu r ，CA b =uuu r r ，AB c =uuu r r ，那么a b b c c a ×+×+×=r r r r r r______.则AB uuu r 在AC uuu r 上的投影向量为【分析】由菱形的对角线互相垂直得AC BD ^uuu r uuu r，再利用向量垂直的坐标运算计算即可.【详解】在菱形ABCD 中对角线互相垂直，所以AC BD ^uuu r uuu r , 所以()()2132280AC BD x x ×=-+-´=-=uuu r uuu r ，所以4x =.故答案为：4.14．1（答案不唯一，符合题意即可）【分析】取特列，根据题意分析判断.【详解】取()1f x =，则()010f =¹，符合（1）；对任意x ÎR ，都有()()=1f x f x -=，符合（2）；对任意x ÎR ，都有()()21f x f x +==，符合（3）；综上所述：()1f x =符合题意.故答案为：1.15．6-【分析】确定向量之间的夹角，根据数量积的定义计算，即可得答案.【详解】由题意可知等边三角形ABC 的边长为2，则,a b r r 的夹角为120o ，,b c r r 以及,c a r r 的夹角也为120o ，则22cos1202a b ×=´´=-o r r ，同理2,2b c c a ×=-×=-r r r r ，故6a b b c c a ×+×+×=-r r r r r r ，。