第八章多元函数微分法及其应用
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1第八章 多元函数微分法及其应用(A)1．填空题．填空题(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ∂∂∂2，xy z ∂∂∂2，则在D 上，上， x y zy x z ∂∂∂=∂∂∂22。
(2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。
偏导数存在。
(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的处连续的 条件。
条件。
2．求下列函数的定义域．求下列函数的定义域(1)y x z -=；(2)22arccos yx zu +=3．求下列各极限．求下列各极限(1)x xyy x sin lim 00→→； (2)11lim 00-+→→xy xy y x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 4．设()xy x z ln =，求y x z ∂∂∂23及23yx z ∂∂∂。
5．求下列函数的偏导数．求下列函数的偏导数(1)x y arctg z =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。
6．设u t uv z cos 2+=，te u =，t v ln =，求全导数dt dz。
7．设()z y e u x-=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dtdu 。
8．曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y yx z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？轴的倾角是多少？ 9．求方程1222222=++c z b y a x 所确定的函数z 的偏导数。
的偏导数。
10．设y x ye z x2sin 2+=，求所有二阶偏导数。
，求所有二阶偏导数。
11．设()y x f z ,=是由方程y zz x ln =确定的隐函数，求x z∂∂，yz ∂∂。
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第八章 多元函数微分法及其应用Chapter8 Differentiation of Functions of Several Variables and Its Application 8.1多元函数的基本概念（The Basic Concepts of Functions of Several Variables ）定义1 设D 是2R 的一个非空子集，称映射:f D R →为定义在D 上的二元函数，通常记为()(),,,z f x y x y D =∈或(),z f P P D =∈。
其中点集D 称为该函数的定义域，x 、y 称为自变量，z 称为因变量。
Definition 1 Let D be a nonempty subset of 2R ,we call the mapping :f D R → the function of two variables defined on ,usually denoted by ()(),,,z f x y x y D =∈,or (),z f P P D =∈.The set D is called the domain of the function .We call x and y the independent variables and z the dependent variable.定义2 设二元函数()(),f P f x y =的定义域为D ，()000,P x y 是D 的聚点。
如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当点()()00,,P x y D U P δ∈⋂，都有 ()(),f P A f x y A ε-=-<成立，那么就称常数A 为函数(),f x y 当()()00,,x y x y →时的极限，记作()()()00,,lim,x y x y f x y A →=或()()()()00,,,f x y A x y x y →→，也记作()0lim P P f P A →=或()()0f P A P P →→。
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第八章 多元函数微分法及其应用(A)1．填空题(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ∂∂∂2，xy z∂∂∂2 ，则在D 上，xy zy x z ∂∂∂=∂∂∂22。
(2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。
(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的 条件。
2．求下列函数的定义域(1)y x z -=；(2)22arccos yx z u +=3．求下列各极限(1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 00-+→→xy xyy x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→4．设()xy x z ln =，求y x z ∂∂∂23及23y x z∂∂∂。
5．求下列函数的偏导数 (1)xyarctgz =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。
6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数dt dz 。
7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dtdu。
8．曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？9．求方程1222222=++cz b y a x 所确定的函数z 的偏导数。
10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。
11．设()y x f z ,=是由方程y z z x ln =确定的隐函数，求xz∂∂，y z ∂∂。
12．设x y e e xy =+，求dxdy 。
13．设()y x f z ,=是由方程03=+-xy z e z确定的隐函数，求xz∂∂，y z ∂∂，y x z ∂∂∂2。
第8章 多元函数微分法及其应用 习题 8- (9)
1 1 1 , y = , z = − , 代入式(8)解得 λ λ 2λ
λ=
当λ =
3 3 或λ = − , 2 2
3 1 2 2 时, 可得 x = − , y = , z = − , 2 3 3 3
3 1 2 2 当 λ = − 时, 可得 x = , y = − , z = . 2 3 3 3
第九节
多元函数的极值与最优化问题
习题 8-9
1. (1) 解
求下列函数的极值: f ( x, y ) = (6 x − x 2 )(4 y − y 2 ) ; (1) 先求函数的驻点. (2) f ( x, y ) = e 2 x ( x + y 2 + 2 y ) .
2 ⎧ ⎪ f x = (6 − 2 x)(4 y − y ) = 0, 求得五组解 解方程组 ⎨ 2 f = (6 x − x )(4 − 2 y ) = 0, ⎪ y ⎩
f ( x, y ) = 1 − 2 y + 3 y 2 (1 ≤ y ≤ 2) ,
由 f ′( x, y ) = −2 + 6 y = 0 , 得 y =
1 (舍去). 3
f ( x, y ) = 1 − 2 y + 3 y 2 对应于 y = 1, y = 2 处的值分别为 2,9.
因此通过比较可知, f ( x, y ) 在闭区域 D 上的最大值为 11, 最小值为 2. 注意 如果二元函数在有界闭区域 D 上连续, 在 D 内可微分, 且只有有限个驻 点, 那么求二元函数在 D 上的最值的一般方法是, 先求函数在 D 内的所有驻点处的 函数值, 再考虑函数在 D 的边界上的最大值和最小值, 把它们加以比较, 其中最大 的就是最大值, 最小的就是最小值.
第8章 多元函数微分法及其应用 习题 8 (1)
如图 8.3 阴影部分所示.
(4) 或
函数的定义域为
⎧⎪−1 ⎨
≤
z ≤ 1, x2 + y2
⎪ ⎩
x2 + y2 ≠ 0,
即
⎧⎪ ⎨
z
≤
x2 + y2 ,
⎪⎩ x2 + y2 ≠ 0,
{(x, y, z) z ≤ x2 + y2 且 x2 + y2 ≠ 0} .
此定义域的图形如图 8.4 阴影部分所示.
4
(2) f (tx,ty,tz) = (tx)3 + (ty)3 + (tz)3 + (tx)(ty)(tz)
3
= t 2 x3 + y3 + z3 + t3 (xyz) ≠ tk f (x, y, z) ,
所以此函数不是 k 次齐次函数. 8. 求下列极限:
1 − xy
(1) lim
;
(x, y)→(1,0) x2 + y2
arcsin(x2 + y2 )
(2) lim
;
(x, y)→(0,0)
x2 + y2
xy + 1 −1
(3) lim
;
(x, y)→(0,0)
xy
sin(xy)
(4) lim
;
(x, y)→(2,0) y
x3 + y3
(5) lim
;
(x, y)→(0,0) x2 + y2
(6)
lim (x2 + y2 )sin 1 .
分所示.
(2)
函数的定义域为
⎧⎪ x 2 ⎨
+
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第八章 多元函数微分法及其应用一、多元函数的基本概念1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念2、多元函数的极限✧00(,)(,)lim (,)x y x y f x y A →=（或0lim (,)P P f x y A →=）的εδ-定义✧ 掌握判定多元函数极限不存在的方法：（1）令(,)P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ，若极限值与k 有关，则可断言函数极限不存在；（2）找两种不同趋近方式，若00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →存在，但两者不相等，此时也可断言极限不存在。
✧ 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商，等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似：例1．用εδ-定义证明2222(,)(0,0)1lim ()sin0x y x y x y →+=+例2（03年期末考试 三、1，5分）当0,0→→x y 时，函数222222()+++-x y x y x y 的极限是否存在？证明你的结论。
例3 设222222,0(,)0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩ ，讨论(,)(0,0)lim (,)x y f x y →是否存在？例4（07年期末考试 一、2，3分）设2222422,0(,)0,0⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩xy x y x y f x y x y ，讨论(,)(0,0)lim (,)→x y f x y 是否存在？例5．求222(,)(0,0)sin()lim x y x y x y →+3、多元函数的连续性0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →⇔=✧ 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。
✧ 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”例1． 讨论函数33222222,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩ 在（0，0）处的连续性。
第八章多元函数微分法及其应用
第八章 多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念1．填空。
（1）设()y x y x f 23,+=，则()()y x f xy f ,,=________________；(2) 设,),(2y x xyx y f +=+则()y x f , =_________________； (3) 设),1(-+=x f y z若当1=y 时x z =，则函数()x f =________________；(4) 函数)1ln(2)(x y x z -+=的定义域是_________________________；(5) 函数)1ln(4222y x y x z ---=的定义域是，此定义域可用平面图形表示为_____________________________________。
2．求极限。
（1）)()cos(1lim22222200y x y x y x y x ++-→→ （2）yx x a y x x +→+∞→+2)11(lim4．讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,0,0,242424y x y x y x xy z 的连续性。
第二节 偏导数1．填空。
（1）,tan ln y x z=则______________=∂∂xz ，___________=∂∂y z；（2）,)1(y xy z +=则______________=∂∂xz，___________=∂∂y z ； (3) 设222),,(zx yz xy z y x f ++=，则),,(z y x f z =__________,),,(z y x f zz =__________, ),,(z y x f zzx =__________,)3,5,2(zzx f =__ ________；（4）设 ⎰--Φ=at x atx du u t x f )(),(，（Φ为连续函数），则x f ∂∂=__ ________, tf∂∂=__ ________。
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第八章多元函数微分法及其应用一、本章教学目标：1.使学生掌握多元函数的基本概念2.使学生掌握多元函数的微分求解关系3.使学生掌握多元函数各知识点之间的联系二、本章基本要求：1.使学生掌握多元函数连续的计算2.使学生掌握多元函数微分的计算三、本章各节的教学内容：第一节多元函数的基本概念教学内容：①平面点集，n维空间②多元函数的概念③多元函数的极限④多元函数的连续性第二节偏导数教学内容：①偏导数的定义及计算法②高阶偏导数第三节全微分教学内容：①全微分的定义②全微分在近似计算中的应用第四节多元复合函数的求导法则教学内容：①多元复合函数的求导法则第五节隐函数的求导法则教学内容：①一个方程的情形②方程组的情形第六节多元函数微分学的几何应用教学内容：①空间曲线的切线与法平面②曲面的切平面与法线第七节方向导数与梯度教学内容：①方向导数②梯度第八节多元函数的极值及其求法教学内容：①多元函数极值、最大值和最小值②条件极值，拉格朗日乘数法四、本章教学重点：1.使学生掌握多元函数的连续2.使学生掌握多元函数的微分3.使学生掌握多元函数微分学的应用五、本章教学内容的深化和拓宽：使学生深化对多元函数知识点间的联系六、本章教学方式：多媒体七、本章教学过程中应注意的问题：培养学生用发展变化的观点看待问题八、本章主要参考书目：1.同济大学数学教研室主编.1996年.北京：高等教育出版社2.华东师范大学数学系主编.1990年.北京：高等教育出版社3.惠淑荣主编.2002年.北京：中国农业出版社4.李喜霞主编.2003年.北京：中国农业出版社九、本章思考题：1.多元函数极限，连续，可微之间的关系2.多元函数求导的法则及应用3.多元函数微分学及应用§8-1多元函数的基本概念一、区域 1.邻域设0P 是XOY 平面上的一点，δ是一个正数，与点0P 的距离小于δ的点(,)P x y 的全体，称为点0P 的δ邻域。
记作()0,U P δ，即(){}00,U PP PP δδ=<，也就是 ()({}0,,U P x y δδ=<。
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第八章多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念教学目的：学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数概念，掌握多元函数的连续性定理，能够判断多元函数的连续性，能够求出连续函数在连续点的极限。
教学重点：多元函数概念和极限，多元函数的连续性定理。
教学难点：计算多元函数的极限。
教学内容：一、区域1.邻域设P o（x°,y。
）是xoy平面上的一个点，是某一正数。
与点P o（X o，y°）距离小于：的点p（x,y）的全体，称为点p的「•邻域，记为U（P0,、），即U（P°,、）= ｛P PPo < ｝，也就是U （P o,、）= ｛（X, y）丨..（X -X。
）2（y - y o）2、｝。
在几何上，U（P o「J就是xoy平面上以点p o（x o,y。
）为中心、：-0为半径的圆内部的点P（x,y）的全体。
2.区域设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点。
如果存在点P的某一邻域U（P） E，则称P为E的内点。
显然，E的内点属于E。
如果E的点都是内点，则称E为开集。
例如，集合E, =｛（x, y）1 vx2+ y2£4｝中每个点都是E,的内点，因此E,为开集。
如果点P的任一邻域内既有属于E的点，也有不属于E的点（点P本身可以属于E，也可以不属于E ），则称P为E的边界点。
E的边界点的全体称为E的边界。
例如上例中，E ,的边界是圆周x2 y2 = 1和x2 y2=4o设D是点集。
如果对于D内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于D，则称点集D是连通的。
连通的开集称为区域或开区域。
例如，｛(x, y) x + y a 0｝及｛( x, y)d <x^y^4｝都是区域。
开区域连同它的边界一起所构成的点集，称为闭区域，例如2 2｛(x,y) | x y >0｝及｛(x, y) | 1< x y <4｝都是闭区域。
对于平面点集E ,如果存在某一正数r，使得E U(0,r),其中0是原点坐标，则称E为有界点集，否则称为无界点集。
例如，｛(x,y) | K x2 y2< 4｝是有界闭区域，｛(x, y) | x y>0｝是无界开区域。
二、多元函数概念在很多自然现象以及实际问题中，经常遇到多个变量之间的依赖关系，举例如下：例1圆柱体的体积V和它的底半径r、高h之间具有关系V =二r2h 。
这里，当r、h在集合｛(r,h) r 0,h 0｝内取定一对值(r,h)时，V的对应值就随之确定。
例2 一定量的理想气体的压强p、体积V和绝对温度T之间具有关系RTP =—V其中R为常数。
这里，当V、T在集合｛(V,T) V >0,T >T0｝内取定一对值(V,T)时，p的对应值就随之确定。
定义1设D是平面上的一个点集。
称映射 f : D》R为定义在D上的二元函数，通常记为z 二f(x, y) , (x, y) D (或z 二f(P) , P D )。
其中点集D称为该函数的定义域，x、y称为自变量，z称为因变量。
数集{ZZ 二f (x,y),(x,y) D} 称为该函数的值域。
z是x, y的函数也可记为Z二z(x, y), z二(x, y)等等。
类似地可以定义三元函数U二f (x, y, z)以及三元以上的函数。
一般的，把定义1中的平面点集D换成n维空间内的点集D，则可类似地可以定义n元函数U二f (X i,X2,…，X n)。
n元函数也可简记为U二f(P)，这里点P(X i,X2,…，X n) • D。
当n =1时，n元函数就是一元函数。
当n 一2时，n元函数就统称为多元函数。
关于多元函数定义域，与一元函数类似，我们作如下约定：在一般地讨论用算式表达的多元函数u二f(x)时，就以使这个算式有意义的变元x的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域。
例如，函数z=ln(x y)的定义域为{(x y) x y 0}(图8-1)，就是一个无界开区域。
又如，函数z = arcsin(x2 +y2)的定义域为{(x+y)x2+ y2兰1}设函数z = f (x, y)的定义域为D。
对于任意取定的点P(x, y) • D，对应的函数值为z二f (x, y)。
这样，以x为横坐标、y为纵坐标、z二f (x, y)为竖坐标在空间就确定一点M (x, y, z)。
当(x, y)遍取D上的一切点时，得到一个空间点集{(x,y,z)z 二f(x,y),(x, y) D}，这个点集称为二元函数z二f (x, y)的图形。
通常我们也说二元函数的图形是一张曲面。
三、多元函数的极限显然，当点P(x,y)沿x 轴趋于点(0,0)时,lim(x,y)_；(0,0)y >0f(x,y^Hm 0 f (x,0)= 0；又当点 P(x,y)沿 y 轴趋于点(0,0)时，(J% f (x,y)也 f (0,y)=0。
x —0虽然点P(x, y)以上述两种特殊方式(沿x 轴或沿y 轴)趋于原点时函数的极限存在并且 相等但是 lim f (x, y)并不存在•这是因为当点(x,y)j0,0) ' 丿‘P(x, y)沿着直线y = kx 趋于点(0,0)..xylim 2(x,y)—0,0) x2•二 lim 2x 10x 2kx 2k 2x 2 显然它是随着k 的值的不同而改变的例3求lim 沁刃(x,y)T0,2)x解 这里f(x,y)二的定义域为D *(x,y) x = 0,y • R ，R(0,2)为D 的定义2设二元函数f (x, y)的定义域为D , P o (x 0,y o )是D 的聚点。
如果存在常数A ,C对于任意给定的正数 …总存在正数■/•，使得当点 P(x, y) D- U(P,.)时，都有f (x, y)「A ：：：；成立，则称常数 A 为函数f (x, y)当(x, y)—；(X o ,y 0)时的极限，记作lim f (x, y) = A ，(x,y)_(x o ,y 。
)或 f (x,y)、A ( (x, y)— (X o , y °))。
为了区别于一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限。
我们必须注意，所谓二重极限存在，是指P(x,y)以任何方式趋于 p o (x 0,y 0)时，函数都无限接近于 A 。
因此，如果P(x, y)以某一种特殊方式，例如沿着一条直线或定曲线趋于P )(x o ,y o )时，即使函数无限接近于某一确定值，我们还不能由此断定函数的极限存在。
但是反过来，如果当 P(x,y)以不同方式趋于 p o (x 0,y 0)时，函数趋于不同的值，那么就可以 断定这函数的极限不存在。
下面用例子来说明这种情形。
考察函数xyf (x, y)=」x + yJ 0,x 2 y 2 = 0, x 2 y 2 = 0,聚点。
由极限运算法则得四、多元函数的连续性定义3设函数f(x,y)在开区域(闭区域) D 内有定义，P 0(x 0,y 0)是D 聚点，且则称函数f (x, y)在点P 0 (x o , y o )连续。
如果函数f(x,y)在开区域(或闭区域)D 内的每一点连续，那么就称函数f(x, y)在D 内连续，或者称f(x, y)是D 内的连续函数。
若函数f(x,y)在点P o (x °,y 。
)不连续，则称P O 为函数f(x, y)的间断点。
这里顺便指 出：如果在开区域(或闭区域) D 内某些孤立点，或者沿D 内某些曲线，函数 f(x,y)没有定义，但在D 内其余部分都有定义，那么这些孤立点或这些曲线上的点， 都是函数f (x, y)的不连续点，即间断点。
前面已经讨论过的函数x 2 y 2 = O, x 2 y 2 = O,当(x,y) > (O,O)时的极限不存在，所以点 (O,O)是该函数的一个间断点。
二元函数的间断点 可以形成一条曲线，例如函数1Z=Si n22 ,x y T在圆周x2y 2=1上没有定义，所以该圆周上各点都是间断点。
与闭区域上一元连续函数的性质相类似，在有界闭区域上多元连续函数也有如下性质。
性质1 (最大值和最小值定理)在有界闭区域 D 上的多元连续函数，在 D 上一定有sin (xy) x二 lim sin(xy)xyxy■lim? y = 1 2=2 olim (x,y) j(xj ,yo)f(x, y) = f(x o , y o ),xyf (x, y) = x 2 y 2i o最大值和最小值。
这就是说，在D上至少有一点P及一点F2，使得f(P)为最大值而f(P2)。