第八章多元函数微分法及其应用

第一节多元函数的基本概念

教学目的：学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数概念，掌握多元函数的连续性定理，能够判断多元函数的连续性，能够求出连续函数在连续点的极限。教学重点：多元函数概念和极限，多元函数的连续性定理。

教学难点：计算多元函数的极限。

教学内容：

一、区域

1.邻域

设P o（x°,y。）是xoy平面上的一个点，是某一正数。与点P o（X o，y°）距离小于：的

点p（x,y）的全体，称为点p的「?邻域，记为U（P0,、），即

U（P°,、）= ｛P PPo < ｝，

也就是

U （P o,、）= ｛（X, y）丨..（X -X。）2（y - y o）2、｝。

在几何上，U（P o「J就是xoy平面上以点p o（x o,y。）为中心、：-0为半径的圆内部

的点P（x,y）的全体。

2.区域

设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点。如果存在点P的某一邻域U（P） E，

则称P为E的内点。显然，E的内点属于E。

如果E的点都是内点，则称E为开集。例如，集合E, =｛（x, y）1 vx2+ y2￡4｝中每个点都是E,的内点，因此E,为开集。

如果点P的任一邻域内既有属于E的点，也有不属于E的点（点P本身可以属于E，也可以不属于E ），则称P为E的边界点。E的边界点的全体称为E的边界。例如上例中，E ,的边界是圆周x2 y2 = 1和x2 y2=4o

设D是点集。如果对于D内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于

D，则称点集D是连通的。

连通的开集称为区域或开区域。例如，｛(x, y) x + y a 0｝及｛( x, y)d

是区域。

开区域连同它的边界一起所构成的点集，称为闭区域，例如

2 2

｛(x,y) | x y >0｝及｛(x, y) | 1< x y <4｝

都是闭区域。

对于平面点集E ,如果存在某一正数r，使得

E U(0,r),

其中0是原点坐标，则称E为有界点集，否则称为无界点集。例如，｛(x,y) | K x2 y2< 4｝是有界闭区域，｛(x, y) | x y>0｝是无界开区域。

二、多元函数概念

在很多自然现象以及实际问题中，经常遇到多个变量之间的依赖关系，举例如下：

例1圆柱体的体积V和它的底半径r、高h之间具有关系

V =二r2h 。

这里，当r、h在集合｛(r,h) r 0,h 0｝内取定一对值(r,h)时，V的对应值就随之确定。

例2 一定量的理想气体的压强p、体积V和绝对温度T之间具有关系

P =—

其中R为常数。这里，当V、T在集合｛(V,T) V >0,T >T0｝内取定一对值(V,T)时，p的

对应值就随之确定。

定义1设D是平面上的一个点集。称映射 f : D》R为定义在D上的二元函数，通

常记为

z 二f(x, y) , (x, y) D (或z 二f(P) , P D )。

其中点集D称为该函数的定义域，x、y称为自变量，z称为因变量。数集