易拉罐设计数学模型
2006-全国数学建模C题易拉罐形状和尺寸的最优设计.
2006-全国数学建模C题易拉罐形状和尺寸的最优设计.易拉罐形状和尺寸的最优设计摘要本题在建立数学模型的基础上，用LINGO实证分析了各种标准下易拉罐的优化设计问题，并将实测数据和模型摸拟结果进行了对比分析。
结论表明，易拉罐的设计不但要考虑材料成本（造价），还要满足结构稳定、美观、方便使用等方面的要求。
在第二个问题中，易拉罐被假定为圆柱体，针对材料最省的标准，得到了不同顶部、底部与侧面材料厚度比时的最优设计方案。
针对材料厚度的不同，建立两个模型：模型一，设易拉罐各个部分厚度和材料单价完全相同，最优设计方案为半径与高的比:1:2R H=（H为圆柱的高，R为圆柱的半径）；模型二，设易拉罐顶盖、底部厚度是罐身的3倍，通过计算得到半径与高:1:6R H=时，表面积最小。
一般情况下，当顶盖、底部厚度是罐身的b倍时，最优设计方案为:2=。
R H b 在第三问中，针对圆柱加圆台的罐体，本文也建立了两个模型：模型三，设易拉罐整体厚度相同，利用LINGO软件对模型进行分析，得出当24+==(h为H h R r圆台的高，r为圆台上盖的半径）时，设计最优；模型四，假设罐顶盖、底部的厚度是罐身的3倍，同样利用软件LINGO对其进行分析，得出 4.5r→时H h R+≈，0材料最省,即顶部为圆锥时材料最省，模型的结果在理论上成立，但与实际数据不符。
原因是厂商在制作易拉罐时，不仅要考虑材料最省，还要考虑开盖时所受到的压力、制造工艺、外形美观、坚固耐用等因素。
在第四问中，本文根据第三问中模型最优设计结果与实测数据的误差，调整了的设计标准，在材料最省的基础上，加入了方便使用，物理结构更稳定等标准。
通过比较发现，前面四个模型中，模型二和模型四体现了硬度方面的要求。
进一步对模型二、四进行比较，发现模型四的结论更优。
为此，将模型四结论中的底部也设计为圆锥。
此时，材料最省。
但是，两端都设计为圆锥时，无法使用。
因此，将项部和底部设计为圆台，并考虑拉环长度和手指厚度（易于拉动拉环）时，得到圆台顶端和底部半径都为2.7。
易拉罐形状和尺寸的最优设计模型综述
易拉罐形状和尺寸的最优设计模型查建飞郑娴雅金兰贞(2006年获全国二等奖)摘要：目前，易拉罐饮料在市场上的销量很大，易拉罐的需求也是难以估计的。
而资源是有限的，因此易拉罐的最优设计是非常有必要的。
本文着重从形状和尺寸的角度分析碳酸饮料的铝质易拉罐，在容积确定的条件下以材料最省为目标建立优化模型。
首先对雪碧、可口可乐、蓝带啤酒等易拉罐容器进行测量，获取实测值。
针对易拉罐现有形状和尺寸等数据，进行综合分析，建立了逐渐改进的三个数学模型。
模型I :把易拉罐近似地看成一个正圆柱体，在易拉罐的容积一定时，以材料最省为目标，用求极值的方法求得易拉罐高度h与底面半径r之间的关系为h - ：^：：.2 r，用实测值进行验证发现比较吻合，但还是有一定误差存在，因此进一步建立模型U进行分析。
模型U :进一步考虑易拉罐的形状，即罐体上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体时，利用线性规划方法求得此时易拉罐的最优设计。
通过对模型I中的圆柱型易拉罐的对比，所得模型与实测值更加吻合。
模型川：以材料最省为主要目的，兼顾易拉罐的舒适度进行设计，建立模型，并给出具体的设计方案。
最后结合本模型的建立过程写对数学建模的认识与数学建模过程的难点。
关键词：最优设计形状与尺寸合适度一、问题重述生活中我们发现饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等销量很大的饮料易拉罐的形状和尺寸几乎都是一样的。
这应该是某种意义下的最优设计。
当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。
请通过数学建模来分析上述情况并回答如下问题：(1)取一个饮料量为355毫升的易拉罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，请注明出处。
(2)设易拉罐是一个正圆柱体。
什么是它的最优设计？其结果是否可以合理说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。
易拉罐形状和尺寸的最优设计
； 体积一定的柱体中，正圆柱体的表面积最小。
2. 符号说明： h：易拉罐的高； r：易拉罐的上下底半径； d：易拉罐金属板的厚度； V：易拉罐的体积； D：易拉罐上下底直径。
3．问题分析与模型
20grhrhv????2vhr??221vsrhrbrr???????????32210bsrvr??????????3242100vsbrr????????????????????????????31vr????31vr????又由于则由对问题二的前一解的结论得结论
易拉罐形状和尺寸的最优设计
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报告人：刘璐 201931208
s.t
r 0
h0
4.模型求解
由约束条件 g(r,h)r2hv0
，得
h
v
r2
，代入目标函数
s(r,
h(r))
b
2v r
(1
)r
2
令
s'
2b r2
(1 ) r 3
v
0
得
v r3
(1 )
又因为 s'' 4 b 2(1 )2 rv 3 0 (r0 )
2．易拉罐的形状和尺寸假设为“正圆柱体”或“正圆台与正圆 柱体的结合”等等。
3．易拉罐的基本构造为“两片罐”。 4．实际测量允许有一定的误差。
(对不同问题的研究再作补充假设)。 5. 不考虑压强
三．模型的假设与求解
问题一 ： 我们实际测量355ml易拉罐的各种数据如下表：
数学建模易拉罐的设计问题
数学建模易拉罐的设计问题(共5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--易拉罐的形状和尺寸的最优设计一旅五队赵久国（40）摘要现实生活中，我们会发现销售量很大的易拉罐饮料（例如：体积为355毫升的可乐，啤酒，雪碧，七喜等）的形状和尺寸几乎都一样，联系利润问题，我们可能会猜想同样是355毫升的容量，设计成那样的形状可能会节约易拉罐的制造成本。
带着这样的猜想，我通过数学建模的方法去寻找原因。
本文就是通过建立简化的数学模型，找到在易拉罐体积一定（355毫升）的条件下，使得易拉罐材料最省（通过计算易拉罐的表面积来表示用料）的外形及尺寸。
我第一步是实际调查研究（发现：实际生活中没有把易拉罐设计成长方体的形状的，都是接近圆柱体的，可以断定长方体没有圆柱体节省材料，于是对于后面的模型只考虑圆柱体的情况）；第二步是通过简化建模所需的条件（假定易拉罐的侧面和底面用的材料都一样且厚度都一样（注：现实生活中肯定不一样，这需要前面模型的优化））；第三步是建立的简单模型，并且进行求解；第四步是对模型所得的数据进行分析，和与实际生活中所测的易拉罐的数据进行对比；第五步是得出基本的结论和对模型进行改进，粗略确定易拉罐外形和尺寸的最佳设计方案。
关键词： 355毫升易拉罐简化条件模型设计导数求极值对比分析优化设计第一步：对于体积恒定的355毫升的易拉罐，在保证体积不变的情况下设计他的形状，尺寸，要求是表面积最小。
第二步：假设：1.易拉罐设计的形状为圆柱体，侧面和底面用的材料都一样且厚度都一样.2.易拉罐的体积一定.3.确定变量和参数：设易拉罐内半径为r,高度为h ，厚度为a ，体积为v ，表面积为s 。
其中r 和h 是自变量，易拉罐面积s 是因变量，而体积v 是固定参数，则s 和v 分别为： 2222233222()()2422,s r a a r a h r har a r a hra hav v r h h rππππππππππ=+⨯++⨯-=++++==第三步：根据前两步建立模型：2g(,)min (,)0,0,(,)0r h r h v s r h r h g r h π=-=>>=设目标函数其中且V 是已知的，g(r,h)是约束条件，目标函数s 就是要求在体积V 一定的条件下求S 的最小值，此时r 和s 的比值。
数模题目易拉罐的设计 ppt课件
约束条件： 原料约束：每周可以使用的规格1的镀锡板为2 万张，规格2 的镀锡板为5万张，即
x1 20000
（2）
x2 x3 x4 50000
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配套约束：罐盖厚度为罐底厚度的三倍，所 以设罐盖为3个罐底重合而成。则一个罐身与 四个罐底配套，即
( 3 x 1 x 2 2 x 3 ) * 4 2 x 1 1 0 x 2 4 x 3 1 6 x 4
1 0 x 1 6 x 2 4 x 3 1 6 x 4 0（3）
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模型求解：
将模型（1）~（3）输入LINDO， 程序如下：
Max 735x1+509x2+565.6x3+452.8x4 ST
x1<=20000 x2+x3+x4<=50000 10x1-6x2+4x3-16x4<=0 end gin 4
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 20000.000000 -1.000000
X2 0.000000 -1.000000
X3 30000.000000 -1.000000
X4 20000.000000 -1.000000 结果分析： 即模式5使用2万次，模式6不使用，模式7使用3万次 ，模式8使用2万次。与前面的结果一致，则该模型可 行。
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精品资料
• 你怎么称呼老师？ • 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
数学建模论文
易拉罐形状与尺寸得最优设计摘要易拉罐饮料就是平时常喝得饮料。
单个易拉罐得形状无关大局,但就是成千上万易拉罐得形状就直接影响生产销售得成本利益。
因此,对易拉罐得形状、尺寸进行优化设计具有重要得现实意义。
对于容量一定得易拉罐得形状与尺寸得最优化设计问题,本文采用多元函数求极值得方法以及利用求条件极值得方法算出了易拉罐得规格尺寸,通过与实际测量得规格尺寸得对照比较知道所建立模型就是合理得、根据所建得模型,本文设计出了正椭圆形得易拉罐。
有关结果如下:对于一个3５5毫升得可口可乐易拉罐来说,它从盖顶到盖底得高度约为,中间胖得部分得高度约为,顶盖得直径约为,中间胖得部分直径约为,罐壁得厚度约为,顶盖得厚度约为,易拉罐上部分圆台得高度约为,(以上数据均为本组亲手测量)。
对于问题二,本文建立了表面用料得体积得函数表达式与易拉罐容量体积约束条件,由条件极值计算得,实际测量值,得出理论计算值与实际测量数据相吻合,由此说明本文建立得模型比较合理。
对于问题三,本文结合问题二,进一步建立表面用料体积函数式,仍由条件极值算得＝与实际测量数据也基本相吻合,进一步说明所建立得模型得合理性、对于问题四,本文设计得易拉罐得形状就是正椭圆柱形状。
当它得容积一定,若长轴就是短轴得倍,即,则短轴与高得比例为。
这就就是本文所设计得正椭圆柱形得易拉罐得尺寸与比例对于问题五,我们根据以前得学习经验与现在参加数学建模得体验,谈了自己对数学建模得认识。
我们认为建模得难点就是模型得假设,关键步骤就是模型得建立。
建模得实质就就是将实际问题转化翻译成数学语言,然后归结为某一种方法来求解,再由实际中得数据检验这种方法求解问题得精确性,精确度高得可将这种方法,也就就是数学模型推广到实际中去应用、关键词: 易拉罐最优设计条件极值一、问题重述销量很大得饮料(例如饮料量为355毫升得可口可乐、青岛啤酒等) 得饮料罐(即易拉罐)得形状与尺寸几乎都就是一样得。
瞧来,这并非偶然,这应该就是某种意义下得最优设计。
易拉罐形状和尺寸的最优设计 数学建模比赛论文
摘要本文针对常见的易拉罐(355毫升可口可乐)进行测量,在合理的假设下通过不断的优化建立最优易拉罐尺寸和外形的设计模型,并进行了相当程度的创新设计。
针对问题一，我们分别通过合理的方法测量计算得易拉罐的顶部，中间，和底部的直径，高度，顶部高度，以及罐侧，罐底，罐顶的厚度，并提供相应的测量方法。
针对问题二，我们本着由简单到复杂的演绎过程，逐步放宽条件和假设，依次得到相应的最优化模型。
首先考虑了最简单情况下的最优化问题（即假设易拉罐为正圆柱，罐顶罐底侧面材料相同且厚度一致，制作过程中没有材料的浪费）其次我们考虑了制作易拉罐铁皮切料过程中的问题，并在两种切料方法进行讨论。
再次，我们加入了制作费用，即各部分接缝的损失。
最后我们加入了罐底，罐顶，侧面，厚度不一致的考虑，得到了较为接近现实情况的优化模型。
针对问题三，即易拉罐是一个圆台加圆柱的组合情况，这与我们测得的实际情况较为相似,我进行了罐体抗压力, 罐内气体压强, 人体嘴形舒适度等方面考虑，肯定了圆台存在的意义.在体积不变的约束下建立了规划模型. 并通过MATLAB求解.针对问题四,我们综合了前面的优化过程,并在传统易拉罐模型的基础上对新型模型进行了进一步的优化创新, 虽然在体积一样的情况下圆柱是表面积最小的(证明见附录1),但从外形美观,原材料的节省,运输成本的节约方面看平面的柱体占有一定的优势,结合了以上两面的综合考虑,我们设计出了带弧度的底部上凸的正三棱体，并分别从形状和尺寸的确立、设计过程依据、总体成本估算、特殊形状成因、广告效应、材质选择以及运输成方面分别阐述了该模型超越传统模型的优势，以及新型模型本身的合理性与科学性。
通过运用弧形设计、弯曲表面效应、线性规划等的原理，对模型进行了的优化。
同时，针对新型模型本身我们不仅仅立足于科学的规划，而且着重考虑了人们的偏好以及舒适度，以使得易拉罐的新型更具有现实意义。
最后我们提出的一种有待进一步验证的蛋状易拉罐的方案，将易拉罐的设计意义和目的赋予了更加鲜明的民族色彩和文化内涵。
易拉罐形状及尺寸的最优模型
易拉罐形状及尺寸的最优模型『摘要』本文研究的是易拉罐外形和尺寸的最优化问题，通过建立数学模型找到在易拉罐体积一定的条件下，使得易拉罐表面积最小，材料最省的外形及尺寸。
我们首先动手测量易拉罐的各项尺寸，然后通过一个由简单到复杂的分析过程，逐步建立模型与实测数据比较确定易拉罐外形和尺寸的设计方案，并且通过进一步优化得到最优的设计方案。
第一题需要我们亲自动手用各种工具测量易拉罐上底面及下底面直径、易拉罐各部分高度以及厚度。
第二题假设易拉罐为一个正圆柱体，问题简化为已知圆柱体的体积求其高度和底面半径为多少时表面积最小。
进一步分析问题建立目标函数，用微分地方法求解。
最后于我们实际测量的数据比较发现这种模型不是最优模型，还需要进一步研究。
第三题假设易拉罐的上部是一个正圆台，这样问题就变为上不圆台和下部圆柱体体积和一定的条件下，求其表面积和最小，与第二步相同建立目标函数，并考虑到各种约束条件，例如美观要符合黄金比例、人体机能等关键词：最优化 LINGO 黄金分割率 3dmax cad1问题重述我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料(例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。
看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。
当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。
现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。
具体说，请你们完成以下的任务：1．取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。
2．设易拉罐是一个正圆柱体。
什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。
易拉罐最优设计数学建模感悟
易拉罐最优设计数学建模感悟
易拉罐的设计可以涉及多个方面的数学建模，例如易拉罐的形状和容量、承受压力的最优设计等。
在易拉罐的形状和容量设计方面，可以通过数学建模来求解最佳的几何形状。
使用几何学和微积分的知识，可以分析不同形状对易拉罐的容量和强度的影响，从而找到最优的设计方案。
另外，易拉罐还需要承受外部压力，在设计中需要考虑最佳的材料使用和结构设计，以确保易拉罐在不同环境下具有足够的强度和稳定性。
可以使用力学和材料科学的知识进行建模分析，找到能够承受最大压力的最优设计方案。
数学建模在易拉罐设计中的应用可以帮助设计师更科学地优化设计方案，提高易拉罐的使用效能和安全性。
通过数学建模，可以在不同的约束条件下找到最佳设计方案，提高易拉罐的性能和竞争力。
数学建模易拉罐的设计问题.doc
易拉罐的形状和尺寸的最优设计一旅五队赵久国（ 40）摘要现实生活中，我们会发现销售量很大的易拉罐饮料（例如：体积为355 毫升的可乐，啤酒，雪碧，七喜等）的形状和尺寸几乎都一样，联系利润问题，我们可能会猜想同样是355 毫升的容量，设计成那样的形状可能会节约易拉罐的制造成本。
带着这样的猜想，我通过数学建模的方法去寻找原因。
本文就是通过建立简化的数学模型，找到在易拉罐体积一定（355 毫升）的条件下，使得易拉罐材料最省（通过计算易拉罐的表面积来表示用料）的外形及尺寸。
我第一步是实际调查研究（发现：实际生活中没有把易拉罐设计成长方体的形状的，都是接近圆柱体的，可以断定长方体没有圆柱体节省材料，于是对于后面的模型只考虑圆柱体的情况）；第二步是通过简化建模所需的条件（假定易拉罐的侧面和底面用的材料都一样且厚度都一样（注：现实生活中肯定不一样，这需要前面模型的优化））；第三步是建立的简单模型，并且进行求解；第四步是对模型所得的数据进行分析，和与实际生活中所测的易拉罐的数据进行对比；第五步是得出基本的结论和对模型进行改进，粗略确定易拉罐外形和尺寸的最佳设计方案。
关键词： 355 毫升易拉罐简化条件模型设计导数求极值对比分析优化设计第一步：对于体积恒定的355 毫升的易拉罐，在保证体积不变的情况下设计他的形状，尺寸，要求是表面积最小。
第二步：假设：1.易拉罐设计的形状为圆柱体，侧面和底面用的材料都一样且厚度都一样 .2.易拉罐的体积一定 .3.确定变量和参数：设易拉罐内半径为 r, 高度为 h，厚度为 a，体积为 v，表面积为 s。
其中 r 和 h 是自变量，易拉罐面积 s 是因变量，而体积 v 是固定参数，则 s 和 v 分别为：s 2 (r a)2 a (r a)2 h r 2h2 ar 2 4 a2r 2 a3 2 hra ha3v r 2h, h vr 2第三步：根据前两步建立模型：设g( r , h) r 2h v目标函数min s(r , h)其中 r 0, h 0, 且 g (r , h) 0g(r,h) 是约束条件，目标函数s 就是要求在体积V 一定V是已知的，的条件下求 S 的最小值，此时r 和 s 的比值。
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2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛山西赛区吕梁高等专科学校第五队参赛队员：1. 张晶晶2. 刘美琴3. 王超鹏指导教师：***2006 年 9 月 18 日承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：吕梁高等专科学校参赛队员(打印并签名) ：1. 张晶晶2. 刘美琴3. 王超鹏指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：王亮亮日期： 2006 年 9 月 18 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：易拉罐形状和尺寸的设计摘要本文研究易拉罐的形状和尺寸的设计问题。
体积给定的圆柱体，其表面积最小的尺寸（半径和高）为多少？从纯数学的观念出发，这个尺寸（半径和高）为1：2。
也就是说，对于易拉罐而言，当高是半径的2倍时，其表面积最小。
即易拉罐设计成等边圆柱时，消耗的材料较少，生产成本较低。
但在实际生活中，我们所看到的易拉罐不是等边圆柱的，有的长些，有的短些，生活中（市场上）的易拉罐为什么会是这样呢？经过我们调查测量，也发现销量很大的饮料的饮料罐（即易拉罐）的形状和尺寸几乎是一样的。
经过测量生活中（市场上）饮料罐胖的部分的直径和高的比为6.4/10.3=0.621，非常接近黄金分割比0.618。
这是巧合，还是这样的比例看起来最舒服，最美？看来，这样并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。
事实上，体积一定的易拉罐的形状和尺寸的设计问题，不仅与表面积的大小有关，而且还与易拉罐的上、下底面和侧面所用材料的价格有关，也与制造过程中焊接口的工作量的多少和焊缝长短有关。
此时，易拉罐就不再是等边圆柱了。
在本文讨论中，我们假设1、不考虑制造过程中焊接口的工作量的多少和焊缝长短问题，只考虑了表面积和所用材料的问题；2、不考虑易拉罐底部上拱问题，模型中模型的底部以平底处理；3、不考虑易拉罐的拉环。
在以上假设的基础之上我们以355ml 的可口可乐饮料罐的形状和尺寸为例进行讨论，应用层次分析法逐步建立了四个模型。
应用初等数学的知识算出了各个模型中的高和半径的比值、表面积和成本，最终讨论计算结果认为当高与半径之比4.68827时，模型基本上与市场上的易拉罐形状和尺寸相同。
然后我们对生活中355ml的可口可乐饮料罐给出了我们自己的关于易拉罐的形状和尺寸的设计。
关键词：等边圆柱易拉罐注：本文中提到的等边圆柱是指：圆柱的高与圆柱的底面直径之比为1：1的圆柱体。
一、问题的提出体积给定的圆柱体，其表面积最小的尺寸（半径和高）为多少？从纯数学的观念出发，这个尺寸（半径和高）为1：2。
也就是说，对于易拉罐而言，高是半径的2倍时，表面积最小。
即易拉罐设计成等边圆柱形时，消耗的材料最少，生产成本最低。
但在实际生活中，我们所看到的易拉罐不是等边圆柱形的，有的长些，有的短些，这是为什么呢？由于在现实生活中，销量广的饮料的饮料罐在形状与尺寸上存在着惊人的相似（如表1），这就不能不引起人们的关注。
既然它能如此大面积、大范围的应用，其内部必定存在着一定的合理性及科学性，能给商家以无尽的利润。
现要我们在体积一定的情况下（355ml），根据一定的理论，建立起数学模型，使其用料最少，赢利最大。
达到一种最优化的效果。
下面是关于355ml可口可乐饮料罐的有关数据（如表2）：（单位：mm）附：此数据是我们组的3位同学用游标卡尺分别测量所得。
二、模型的建立及求解模型Ⅰ：根据等周原理，在所有周长一定的闭合图形中，圆的面积最大。
所以在面积一定的情况下，圆的周长最短。
在实际应用中，由于圆球的制造与应用的局限，所以我们一般选用易拉罐的的形状为圆柱体还是具有一定的合理性。
事实上，由于制造工艺等因素，它不能正好是数学上的圆柱体，但这种化简假设是近似的合理的，材料的厚度以及切割损耗等忽略。
因此在这种前提下假设：1．模型Ⅰ是用同一材料制成的正圆柱体，且其材料的厚度不记。
2．圆柱体的半径为r ，高为h ，表面积为S ，体积为V 。
示意图如下：图1根据图示有： h r V 2π=222r rh S ππ+= 由h r V 2π=，得 ： 2r Vh π=代入222r rh S ππ+=，建立模型有：2222r r V rS πππ+= 化简为 222r r V S π+=为了求的S 的极值，将S 对r 求导，得：r r V r S π42)(2/+-=令0)(/=r S ,解得：32πVr =,d r V V V V r V h ======222284333222πππππ对于装有355ml 的可口可乐易拉罐，当它的半径837863902.323553≈=πr mm ，675727804.72≈=r h mm 时，用材最少，此时的表面积约为277.49811542mm 。
为了验证r 确实是使S 达到极小，计算S 的二阶导数)0(044)(3//>>+=r r V r S π，所以这个r 确实是使S 达到局部极小，因为极小点仅一个，因此这个点也是最小点。
所以当圆柱体易拉罐的高度与底面直径相等时，它所需材料最少。
即当易拉罐采取圆柱体形状在2:1:=r h 时，为它的最优化设计。
但此时的结果与我们所测的易拉罐的尺寸并不相同（比如：我们所计算的结果h:r=1：2，而所测量的结果比为1：3.74），也即不能合理地说明我们所测量的尺寸。
模型Ⅱ：在理论上得出模型Ⅰ的基础上，又考虑到罐内饮料存在气体使罐内压强增大，所以在设计时我们必须为其预留一定空间以缓解罐所受到的压力。
假设：1．1立方厘米的水和饮料的重量都是1克。
则对于355ml （即355克）的可口可乐，我们测得未打开罐时饮料罐的重量为370克，空的饮料罐重量为15克，装满水的饮料罐重量为380克，这说明饮料罐不能装满饮料，而是留有10ml 的空间余量。
于是我们在模型Ⅰ的基础上另加一个体积为10ml 的正圆台，来作为易拉罐的空间余量。
（圆台除了可以节约成本外，还能起到减少压力，使封装结实的作用）。
2．易拉罐材料的厚度不记。
3．圆柱体的半径与高同模型Ⅰ相同，圆柱体的上部是一个上半径为0r ，高为0h 的正圆台。
该模型总高为H 。
4．为了保证模型Ⅰ的圆柱体与我们所加的正圆台之间衔接牢固、耐压。
我们不妨设圆台母线与其底面的斜率为0.3。
示意图如下：图2建立模型，则有：圆台体积 )(3.0)(311000202r r rr r r -++=πππ 将模型Ⅰ中的r 值代入，求得：mm r 43711064.3225530≈=π则圆台的高为：mm r r h 120225978.022*******.0)(3.03300≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=-⨯=ππ 因此模型Ⅱ的总表面积为：()()0020209.122212r r r r r r rh S -++++=πππππ 代入r 、h 、0r 的值，有；9011973.277≈S 2mm 此时，即03132627.20≈+=r h h r H时，为它的最优化设计。
此种结果也不能合理地说明我们所测量的易拉罐的尺寸模型Ⅲ假设：1. 模型Ⅲ的形状与模型Ⅱ保持一致,同时模型Ⅲ各部分的材料也相同。
2．考虑到实际中易拉罐上底的强度必须要大一点，因此顶部的厚度与侧面的厚度不同。
我们假设罐侧面的厚度为b ，顶部的厚度为3b 。
3．模型Ⅲ的底部与侧面的厚度相同。
模型Ⅲ侧面所用材料的体积为：()[]()b h r b r V +-+=221ππ 32222b h b rb rhb ππππ+++= 模型Ⅲ顶盖所用材料的体积为：2023r b V π=模型Ⅲ底部所用材料的体积为：23r b V π=模型Ⅲ圆台侧面所用材料的体积为：()()[]()b r r b r b r V ⨯-+++=00409.12221ππ()[]b r r b r r ⨯-+-=0202209.1π()()0220209.1209.1r r b r r b -+-=ππ ∴模型Ⅲ总体所用材料的体积为： 4321V V V V V +++=()()0220222032209.1209.1322r r b r r b r b r b b h b rb rhb -+-++++++=ππππππππ因为b ＜＜r ，所以带2b ，3b 的项可以忽略，因此：()20222009.132r r b r b r b rhb V -+++≈ππππ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=32323232225509.122553235509.123555πππππb =4.5693085343657ml模型Ⅲ下底的面积为： 21）（b r S +=π 模型Ⅲ柱身的面积为： ))((22b h b r S ++=π模型Ⅲ圆台顶盖的面积为： 203)(b r S +=π模型Ⅲ圆台侧面的面积为： [])(09.1)(2)(221004r r b r b r S -+++=ππ ∴ 模型Ⅲ总的表面积为： 4321S S S S S +++=代入相关数据，有： 48343275417.279≈S此时，模型Ⅲ的高/H ＝模型Ⅱ的高Ｈ＋顶盖厚３b ＋底厚b ，模型Ⅲ的半径Ｒ＝模型Ⅱ的半径r ＋侧面厚b 。
即03949957.2/=R H 时，为它的最优化设计。
模型Ⅳ考虑到现实中材料造价的不同，为了使生产成本降低。
那么当高与半径之比为多少时才能使造价最少，这不能不做为我们思考的一个问题。
假设：1. 模型Ⅳ顶盖的单位造价为p ，其他部分的单位造价为q 。
（盖料价格最贵，通常为LME A199.7原铝锭价格加1500～1800美元/吨。
罐身价格为.A199.7价格加700美元/吨。
）2.我们先不计圆台，把模型Ⅳ看成一个圆柱体，此时圆台的高为h （外高），底面半径为r （外径）。
3.体积v 表示模型Ⅳ的总体积，包括材料体积、饮料体积以及空余量体积。
（数值上大约等于369.5693085343657ml ）圆柱体的体积为：h r V 2π=…………………………………………………………（1） 圆柱体的造价为：rhq p r y ππ222+=……………………………………………（２） 由（1）式得：2r Vh π= (3)将（3）式代入（2）式，得：q r V rp r y 2222πππ+= r Vq p r 222+=π 将y 对r 求导，有：()2/24r Vq pr r y -=π 令()0/=r y ，得：32p Vq r π=将有关数值代入，解得：927594.2≈r mm 72535.13≈h mm此时，模型Ⅳ的表面积为： rh r S ππ22+=代入相关数据，有： 11645444936.306≈S 此时，即68827.4≈r h ，344135.2≈d h 时，为它的最优化设计。