北师大版九年级数学下册期末检测试卷
期末检测卷时间：120分钟 满分：120分 题号 一 二 三 总分 得分一、选择题(每小题3分，共30分) 1．下面的函数是二次函数的是( )A ．y ＝3x ＋1B ．y ＝x 2＋2xC ．y ＝x 2D ．y ＝2x2．如图，已知经过原点的⊙P 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点C 是劣弧OB 上一点，则∠ACB 的度数为( )A ．80°B ．90°C ．100°D ．无法确定第2题图 第4题图 第6题图 第7题图3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，AC ＝2，则sin A 的值为( ) A.13 B.23 C.223 D.234．如图，A ，D 是⊙O 上的两个点，BC 是直径．若∠D ＝32°，则∠OAC 的度数为( ) A ．64° B ．58° C ．72° D ．55° 5．对于二次函数y ＝－14x 2＋x －4，下列说法正确的是( )A ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大B ．当x ＝2时，y 有最大值－3C ．图象的顶点坐标为(－2，－7)D ．图象与x 轴有两个交点6．如图，AB 为⊙O 的直径，AB ＝6，AB ⊥弦CD ，垂足为G ，EF 切⊙O 于点B ，∠A ＝30°，连接AD ，OC ，BC ，下列结论不正确的是( )A ．EF ∥CDB ．△COB 是等边三角形C ．CG ＝DG D.BC ︵的长为3π27．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，tan C ＝34，AB ＝6cm.动点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动．若P ，Q 两点分别从A ，B 两点同时出发，在运动过程中，△PBQ 的最大面积是( )A ．18cm 2B ．12cm 2C ．9cm 2D ．3cm 28．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝ax ＋b 与y ＝ax 2－bx 的图象可能是( )9．数学活动课中老师和同学一起去测量校内某处的大树AB 的高度，如图，老师测得大树前斜坡DE 的坡度i ＝1∶4，一学生站在离斜坡顶端E 的水平距离DF 为8m 处的D 点，测得大树顶端A 的仰角为α.已知sin α＝35，BE ＝1.6m ，此学生身高CD ＝1.6m ，则大树高度AB 为( )A ．7.4mB ．7.2mC ．7mD ．6.8m第9题图 第10题图10．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为直线x ＝1，与x 轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac ＜b 2；②方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1＝－1，x 2＝3；③3a ＋c ＞0；④当y ＞0时，x 的取值范围是－1≤x ＜3；⑤当x ＜0时，y 随x 增大而增大．其中结论正确的个数是( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 二、填空题(每小题3分，共24分) 11．计算：tan45°－2cos60°＝________．12．将抛物线y ＝2(x －1)2＋2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，那么得到的抛物线的表达式为________________．13．如图，在半径为3的⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC ，BD ，BC ，若AC ＝2，则cos D ＝________．第13题图 第15题图 第16题图14．二次函数y ＝x 2－bx ＋c 的图象上有两点A (3，－8)，B (－5，－8)，则此抛物线的对称轴是直线x ＝________．15．如图，⊙O 的直径CD ＝20cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为点M ，若OM ＝6cm ，则AB 的长为________cm.16．某圆形喷水池的水柱如图①所示，如果曲线APB 表示落点B 离点O 最远的一条水流，如图②所示，其上的水珠的高度y (米)关于水平距离x (米)的函数解析式为y ＝－x 2＋4x ＋94，那么圆形水池的半径至少为________米时，才能使喷出的水流不落在水池外． 17．⊙A 、⊙B 、⊙C 两两不相交，且半径都是0.5cm ，则图中的三个扇形(即阴影部分)的面积之和为________．第17题图 第18题图18．如图，已知等腰△ABC ，AB ＝BC ，以AB 为直径的圆交AC 于点D ，过点D 的⊙O 的切线交BC 于点E ，若CD ＝5，CE ＝4，则⊙O 的半径是________．三、解答题(共66分)19．(6分)如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，∠A ＝30°，D 是边AB 上一点，∠BDC ＝45°，AD ＝4，求BC 的长(结果保留根号)．20．(8分)如图，已知四边形ABCD 内接于圆O ，连接BD ，∠BAD ＝105°，∠DBC ＝75°. (1)求证：BD ＝CD ；(2)若圆O 的半径为3，求BC ︵的长．21．(10分)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2过B (－2，6)，C (2，2)两点．(1)试求抛物线的解析式；(2)记抛物线与y 轴的交点为D ，求△BCD 的面积．22．(10分)网上销售已成为产品销售的一种重要方式，很多大学生也在网上开起了网店，某手机销售网店正在代理销售一种新型智能手机，手机每部进价为1000元，经过试销发现：售价x (元/部)与每天交易量y (部)之间满足如图所示关系．(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)写出每天的利润W与销售价x之间的函数关系式，若你是网店老板，会将价格定为多少，使每天获得的利润最大，最大利润是多少？23．(10分)如图，已知抛物线y＝x2－(m＋3)x＋9的顶点C在x轴正半轴上，一次函数y＝x＋3与抛物线交于A、B两点，与x、y轴分别交于D、E两点．(1)求m的值；(2)求A、B两点的坐标．24．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交线段BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为F，线段FD，AB的延长线相交于点G.(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若CF＝1，DF＝3，求图中阴影部分的面积．25．(12分)为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度，一天，两艘海监船刚好在某岛东西海岸线上的A，B两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在C处海域．如图所示，AB＝60(6＋2)海里，在B处测得C在北偏东45°的方向上，A处测得C在北偏西30°的方向上，在海岸线AB上有一灯塔D，测得AD＝120(6－2)海里．(1)分别求出A与C及B与C的距离AC，BC(结果保留根号)；(2)已知在灯塔D周围100海里范围内有暗礁群，在A处海监船沿AC前往C处盘查，有无触礁的危险(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)?参考答案与解析1．B 2.B 3.C 4.B 5.B 6.D7.C8.C9.D10．B解析：∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2－4ac＞0，∴b2＞4ac，故①正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，而点(－1，0)关于直线x＝1的对称点的坐标为(3，0)，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1＝－1，x 2＝3，故②正确；∵x ＝－b2a ＝1，∴b ＝－2a .当x ＝－1时，y ＝0，即a －b ＋c ＝0，∴a ＋2a ＋c ＝0，∴3a ＋c ＝0，故③错误；∵抛物线开口向下，与x 轴的两个交点的坐标为(－1，0)，(3，0)，∴当－1＜x ＜3时，y ＞0，故④错误；∵抛物线的开口向下，对称轴为直线x ＝1，∴当x ＜0时，y 随x 增大而增大，故⑤正确．故选B.11．0 12.y ＝2(x ＋2)2－213.13 14.－1 15.16 16.92 17.π8cm 2 18.258 解析：连接OD ，BD .由AB ＝BC ，AB 为⊙O 的直径，可知BD 垂直平分AC ，所以OD ∥BC .又因为DE 是⊙O 的切线，所以DE ⊥OD ，所以DE ⊥BC .由△CDE ∽△CBD ，得CD 2＝BC ·CE ，求出BC ＝254.又因为OD ∥BC ，由三角形的中位线定理求出OD ＝12BC ＝258. 19．解：∵∠B ＝90°，∠BDC ＝45°，∴△BCD 为等腰直角三角形，∴BD ＝BC .(2分)在Rt △ABC 中，tan A ＝tan30°＝BC AB ，即BC BC ＋4＝33，解得BC ＝2(3＋1)．(6分) 20．(1)证明：∵四边形ABCD 内接于圆O ，∴∠DCB ＋∠BAD ＝180°.∵∠BAD ＝105°，∴∠DCB ＝180°－105°＝75°.∵∠DBC ＝75°，∴∠DCB ＝∠DBC ＝75°，∴BD ＝CD .(4分)(2)解：由(1)可知∠DCB ＝∠DBC ＝75°，∴∠BDC ＝30°.由圆周角定理，得BC ︵的度数为60°，故BC ︵的长＝n πR 180＝60π×3180＝π.(8分)21．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋2＝6，4a ＋2b ＋2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1.∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－x ＋2.(4分)(2)当x ＝0时，y ＝2，故点D 的坐标为(0，2)．(6分)连接BD ，CD ，BC .∵C ，D 两点的纵坐标相同，∴CD ∥x 轴，∴点B 到CD 的距离为6－2＝4，(8分)∴S △BCD ＝12×2×4＝4.(10分)22．解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，由所给函数图象可知⎩⎪⎨⎪⎧1300k ＋b ＝50，1500k ＋b ＝30，(3分)解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－0.1，b ＝180.故y 与x 的函数关系式为y ＝－0.1x ＋180.(5分) (2)∵W ＝(x －1000)y ＝(x －1000)(－0.1x ＋180)＝－0.1x 2＋280x －180000＝－0.1(x －1400)2＋16000，(8分)当x ＝1400时，W 最大＝16000，∴售价定为1400元/部时，每天最大利润W ＝16000元．(10分)23．解：(1)∵抛物线y ＝x 2－(m ＋3)x ＋9的顶点C 在x 轴正半轴上，∴抛物线与x 轴只有一个交点，∴(m ＋3)2－4×9＝0，解得m ＝3或m ＝－9.(3分)∵－－（m ＋3）2>0，∴m ＞－3，∴m ＝3.(5分)(2)由(1)可得m ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－6x ＋9，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－6x ＋9，y ＝x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝9，(8分)根据图示，可得A 点的横坐标小于B 点的横坐标，∴A 点的坐标是(1，4)，B 点的坐标是(6，9)．(10分)24．(1)证明：连接AD ，OD .(1分)∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴AD ⊥BC .∵AC ＝AB ，∴点D 为线段BC 的中点．∵点O 为AB 的中点，∴OD 为△BAC 的中位线，∴OD ∥AC .∵DF ⊥AC ，∴OD ⊥DF ，∴DF 是⊙O 的切线．(5分)(2)解：在Rt △CFD 中，CF ＝1，DF ＝3，∴CD ＝2，tan C ＝DFCF ＝3，∴∠C ＝60°.∵AC＝AB ，∴△ABC 为等边三角形．又∵AD ⊥BC ，∴BC ＝2CD ＝4，∴AB ＝4，∴⊙O 的半径为2.(7分)∵OD ∥AC ，∴∠DOG ＝∠BAC ＝60°，∴DG ＝OD ·tan ∠DOG ＝2×3＝23，∴S阴影＝S △ODG －S 扇形OBD ＝12DG ·OD －60360πOB 2＝12×23×2－16π×22＝23－2π3.(10分)25．解：(1)过点C 作CE ⊥AB 于点E ，由题意可得∠CBD ＝45°，∠CAD ＝60°.(2分)设CE ＝x 海里．在Rt △CBE 中，BE ＝CE ＝x 海里，BC ＝2x 海里．在Rt △CAE 中，AE ＝33x 海里，AC ＝233x 海里．(4分)∵AB ＝60(6＋2)海里，∴x ＋3x3＝60(6＋2)，解得x ＝60 6.则AC ＝233×606＝1202(海里)，BC ＝2×606＝1203(海里)．(6分)答：A 与C 的距离AC 为1202海里，B 与C 的距离BC 为1203海里．(7分) (2)过点D 作DF ⊥AC 于点F .在△ADF 中，∵AD ＝120(6－2)，∠CAD ＝60°，∴DF ＝AD ·sin60°＝120(6－2)×32＝1802－606≈106.8(海里)．(10分)∵106.8＞100，∴海监船沿AC 前往C 处盘查，无触礁的危险．(12分)。
北师大版九年级数学下册期末考试卷【及参考答案】
北师大版九年级数学下册期末考试卷【及参考答案】班级： 姓名：一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1．2-的相反数是（ ）A ．2-B ．2C ．12D ．12-2是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等1的值（ ）A ．在1.1和1.2之间B ．在1.2和1.3之间C ．在1.3和1.4之间D ．在1.4和1.5之间3．若数a 使关于x 的不等式组232x a x a ->⎧⎨-<-⎩无解，且使关于x 的分式方程5355ax x x-=---有正整数解，则满足条件的整数a 的值之积为（ ） A ．28 B ．﹣4 C ．4 D ．﹣24．将抛物线y=x 2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为（ ）A ．y=（x+2）2﹣5B ．y=（x+2）2+5C ．y=（x ﹣2）2﹣5D ．y=（x ﹣2）2+55．下列说法正确的是（ ）A ．负数没有倒数B ．﹣1的倒数是﹣1C ．任何有理数都有倒数D ．正数的倒数比自身小6．对于①3(13)x xy x y -=-，②2(3)(1)23x x x x +-=+-，从左到右的变形，表述正确的是（ ）A ．都是因式分解B ．都是乘法运算C ．①是因式分解，②是乘法运算D ．①是乘法运算，②是因式分解7．在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b 的图象如图所示，则k 和b 的取值范围是（）A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0 8．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．9．如图，已知在△ABC，AB＝AC．若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC 于点E，则下列结论一定正确的是（）A．AE＝EC B．AE＝BE C．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE 10．如图，能判定EB∥AC的条件是（）A．∠C=∠1 B．∠A=∠2C．∠C=∠3 D．∠A=∠1二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1364的平方根为__________．2．因式分解：a3－ab2＝____________．3．已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，则m=_____．4．如图，在矩形ABCD 中，AD=3，将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转，得到矩形AEFG ，点B 的对应点E 落在CD 上，且DE=EF ，则AB 的长为__________．5．如图，已知正方形DEFG 的顶点D 、E 在△ABC 的边BC 上，顶点G 、F 分别在边AB 、AC 上．如果BC=4，△ABC 的面积是6，那么这个正方形的边长是__________．6．如图，在ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点．若ADE 的面积为12．则四边形DBCE 的面积为__________．三、解答题（本大题共6小题，共72分）1．解方程（1）2250x x --= （2）1421x x =-+2．计算：()011342604sin π-----+（）.3．在□ABCD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，点F 在边CD 上，DF ＝BE ，连接AF ，BF.（1）求证：四边形BFDE 是矩形；（2）若CF ＝3，BF ＝4，DF ＝5，求证：AF 平分∠DAB ．4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数1y ax b =+的图象与反比例函数2k y x=的图象交于点()A 1,2和()B 2,m -． （1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）请直接写出12y y >时，x 的取值范围；（3）过点B 作BE //x 轴，AD BE ⊥于点D ，点C 是直线BE 上一点，若AC 2CD =，求点C 的坐标．5．目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利，初二数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了m 人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种）并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．（1）根据图中信息求出m= ，n= ；（2）请你帮助他们将这两个统计图补全；（3）根据抽样调查的结果，请估算全校2000名学生中，大约有多少人最认可“微信”这一新生事物？（4）已知A、B两位同学都最认可“微信”，C同学最认可“支付宝”D同学最认可“网购”从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学最认可的新生事物不一样的概率．6．东营市某学校2015年在商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元．（1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；（2）2016年为响应习总书记“足球进校园”的号召，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个，恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%，如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2900元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1、B2、B3、B4、A5、B6、C7、C8、D9、C10、D二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1、±22、a （a+b ）（a ﹣b ）3、24、5、1276、32三、解答题（本大题共6小题，共72分）1、（1）1211x x ==（2）3x =是方程的解.2、33、（1）略（2）略4、（1）反比例函数的解析式为22y x =，一次函数解析式为：1y x 1=+；（2）当2x 0-<<或x 1>时，12y y >；（3）当点C 的坐标为()11-或)1,1-时，AC 2CD =．5、（1）100、35；（2）补图见解析；（3）800人；（4）5 66、（1）购买一个甲种足球需50元，购买一个乙种足球需70元；（2）这所学校最多可购买18个乙种足球．。
2021-2022学年北师大版数学九年级下册期末测试题及答案(共2套)
北师大版数学九年级下册期末测试题（一）一、选择题（共12小题）1．轮船航行到A处时，观察到小岛B的方向是北偏西32°，那么同时从B处观测到轮船A的方向是（）。
A．南偏西32°B．东偏南32°C．南偏东58°D．南偏东32°2．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠B=60°，则∠A等于（）。
A．80°B．50°C．40°D．30°3．已知下列函数：(1)y=3﹣2x2；(2)y=；(3)y=3x（2x﹣1）；(4)y=﹣2x2；(5)y=x2﹣（3+x）2；(6)y=mx2+nx+p（其中m、n、p为常数）．其中一定是二次函数的有（）。
A．2个B．3个C．4个D．5个4．抛物线y=﹣（x+1）2+3的顶点坐标（）。
A．（1，3）B．（1，﹣3）C．（﹣1，﹣3）D．（﹣1，3）5．二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（）。
A． B．C． D．6．如图，点A为∠α边上任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示sinα的值，错误的是（）。
A． B． C． D．7．在△ABC中，若tanA=1，sinB=，你认为最确切的判断是（）。
A．△ABC是等腰三角形B．△ABC是等腰直角三角形C．△ABC是直角三角形D．△ABC是一般锐角三角形8．已知二次函数的图象经过点（1，10），顶点坐标为（﹣1，﹣2），则此二次函数的解析式为（）。
A．y=3x2+6x+1 B．y=3x2+6x﹣1 C．y=3x2﹣6x+1 D．y=﹣3x2﹣6x+19．若二次函数y=ax2+1的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程a（x﹣2）2+1=0的实数根为（）。
A．x1=0，x2=4 B．x1=﹣2，x2=6 C．x1=，x2=D．x1=﹣4，x2=010．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD=20°，则下列说法中正确的是（）。
北师大版九年级下册数学期末试卷
北师大版九年级下册数学期末试卷一．选择题（共10小题）1．下列式子错误的是（）A．cos40°=sin50°B．tan15°•tan75°=1C．sin225°+cos225°=1 D．sin60°=2sin30°2．一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（）A．斜坡AB的坡度是10°B．斜坡AB的坡度是tan10°B．C．AC=1.2tan10°米D．AB=米3．已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=，AC=1，那么∠A的正切tanA等于（）A．B．2 C． D．4．函数y=k（x﹣k）与y=kx2，y=（k≠0），在同一坐标系上的图象正确的是（）A．B．C．D．5．若抛物线y=x2﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（）A．y=（x﹣2）2+3 B．y=（x﹣2）2+5 C．y=x2﹣1 D．y=x2+46．若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c=0的解为（）A．x1=﹣3，x2=﹣1 B．x1=1，x2=3 C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣3，x2=17．如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON=（）A．5 B．7 C．9 D．118．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB=40°，则∠ABD与∠AOD分别等于（）A．40°，80° B．50°，100°C．50°，80° D．40°，100°9．已知⊙O的半径OD垂直于弦AB，交AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，若AB=8，CD=2，则△BCE的面积为（）A．12 B．15 C．16 D．1810．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＜0；②c＞0；③a+c ＜b；④b2﹣4ac＞0，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题（共10小题）11．在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则sinA的值是．12．在将Rt△ABC中，∠A=90°，∠C：∠B=1：2，则sinB= ．13．已知cosα=，则的值等于．14．已知抛物线y=ax2﹣3x+c（a≠0）经过点（﹣2，4），则4a+c﹣1= ．15．若二次函数y=2x2﹣4x﹣1的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，则+的值为．16．已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y=﹣x+3上，设点M坐标为（a，b），则y=﹣abx2+（a+b）x的顶点坐标为．17．若⊙O的直径为2，OP=2，则点P与⊙O的位置关系是：点P在⊙O ．18．如图，⊙O的直径CD=20cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，若OM=6cm，则AB 的长为cm．19．已知AB、BC是⊙O的两条弦，AB=AC，∠AOB=120°，则∠CAB的度数是．20．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，且P=|2a+b|+|3b﹣2c|，Q=|2a﹣b|﹣|3b+2c|，则P，Q的大小关系是．三．解答题（共10小题）21．计算：．22．如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．（1）求线段CD的长；（2）求cos∠ABE的值．23．已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．（1）求证：AB=AC；（2）若AB=4，BC=2，求CD的长．24．如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，C为的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC、BC．（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD=2，AC=，求AB的长．25．如图，AB是⊙O的弦，点C为半径OA的中点，过点C作CD⊥OA交弦AB于点E，连接BD，且DE=DB．（1）判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若CD=15，BE=10，tanA=，求⊙O的直径．26．某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？27．为了增强学生体质，学校鼓励学生多参加体育锻炼，小胖同学马上行动，每天围绕小区进行晨跑锻炼．该小区外围道路近似为如图所示四边形ABCD，已知四边形ABED是正方形，∠DCE=45°，AB=100米．小胖同学某天绕该道路晨跑5圈，时间约为20分钟，求小胖同学该天晨跑的平均速度约为多少米/分？（结果保留整数，≈1.41）28．据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过15m/s，在一条笔直公路BD的上方A处有一探测仪，如平面几何图，AD=24m，∠D=90°，第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得∠ABD=31°，2秒后到达C 点，测得∠ACD=50°（tan31°≈0.6，tan50°≈1.2，结果精确到1m）（1）求B，C的距离．（2）通过计算，判断此轿车是否超速．29．如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D．（1）求此抛物线的解析式．（2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴．（3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．30．在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．（1）请直接写出点A，C，D的坐标；（2）如图（1），在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；（3）如图（2），F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．北师大版九年级下册数学期末试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2016•永州）下列式子错误的是（）A．cos40°=sin50°B．tan15°•tan75°=1C．sin225°+cos225°=1 D．sin60°=2sin30°【分析】根据正弦和余弦的性质以及正切、余切的性质即可作出判断．【解答】解：A、sin40°=sin（90°﹣50°）=cos50°，式子正确；B、tan15°•tan75°=tan15°•cot15°=1，式子正确；C、sin225°+cos225°=1正确；D、sin60°=，sin30°=，则sin60°=2sin30°错误．故选D．【点评】本题考查了互余两个角的正弦和余弦之间的关系，以及同角之间的正切和余切之间的关系，理解性质是关键．2．（2016•巴中）一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（）A．斜坡AB的坡度是10°B．斜坡AB的坡度是tan10°C．AC=1.2tan10°米D．AB=米【分析】根据坡度是坡角的正切值，可得答案．【解答】解：斜坡AB的坡度是tan10°=，故B正确；故选：B．【点评】本题考查了坡度坡角，利用坡度是坡角的正切值是解题关键．3．（2016•钦州校级自主招生）已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=，AC=1，那么∠A的正切tanA等于（）A．B．2 C． D．【分析】根据勾股定理求出BC，根据正切的定义计算即可．【解答】解：∵∠C=90°，AB=，AC=1，∴BC==2，则tanA==2，故选：B．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A 的正切是解题的关键．4．（2016•赤峰）函数y=k（x﹣k）与y=kx2，y=（k≠0），在同一坐标系上的图象正确的是（）A．B．C．D．【分析】将一次函数解析式展开，可得出该函数图象与y轴交于负半轴，分析四个选项可知，只有C选项符合，由此即可得出结论．【解答】解：一次函数y=k（x﹣k）=kx﹣k2，∵k≠0，∴﹣k2＜0，∴一次函数与y轴的交点在y轴负半轴．A、一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴，A不正确；B、一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴，B不正确；C、一次函数图象与y轴交点在y轴负半轴，C可以；D、一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴，D不正确．故选C．【点评】本题考查了一次函数的图象，解题的关键是分析一次函数图象与y轴的交点．本题属于基础题，难度不大，解决该题时，由一次函数与y轴的交点即可排除了A、B、D 三个选项，因此只需分析一次函数图象即可得出结论．5．（2016•眉山）若抛物线y=x2﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（）A．y=（x﹣2）2+3 B．y=（x﹣2）2+5 C．y=x2﹣1 D．y=x2+4【分析】思想判定出抛物线的平移规律，根据左加右减，上加下减的规律即可解决问题．【解答】解：将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，这个相当于把抛物线向左平移有关单位，再向下平移3个单位，∵y=（x﹣1）2+2，∴原抛物线图象的解析式应变为y=（x﹣1+1）2+2﹣3=x2﹣1，故答案为C．【点评】本题考查二次函数图象的平移，解题的关键是理解坐标系的平移和抛物线的平移是反方向的，记住左加右减，上加下减的规律，属于中考常考题型．6．（2016•宿迁）若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c=0的解为（）A．x1=﹣3，x2=﹣1 B．x1=1，x2=3 C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣3，x2=1【分析】直接利用抛物线与x轴交点求法以及结合二次函数对称性得出答案．【解答】解：∵二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），∴方程ax2﹣2ax+c=0一定有一个解为：x=﹣1，∵抛物线的对称轴为：直线x=1，∴二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象与x轴的另一个交点为：（3，0），∴方程ax2﹣2ax+c=0的解为：x1=﹣1，x2=3．故选：C．【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确应用二次函数对称性是解题关键．7．（2016•黄石）如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON=（）A．5 B．7 C．9 D．11【分析】根据⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，可以求得AN的长，从而可以求得ON的长．【解答】解：由题意可得，OA=13，∠ONA=90°，AB=24，∴AN=12，∴ON=，故选A．【点评】本题考查垂径定理，解题的关键是明确垂径定理的内容，利用垂径定理解答问题．8．（2016•巴彦淖尔）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB=40°，则∠ABD 与∠AOD分别等于（）A．40°，80° B．50°，100°C．50°，80° D．40°，100°【分析】求出∠AEC=90°，根据三角形内角和定理求出∠C=50°，根据圆周角定理即可求出∠ABD，根据OB=OD得出∠ABD=∠ODB=50°，根据三角形外角性质求出即可．【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠AEC=90°，∵∠CAB=40°，∴∠C=50°，∴∠ABD=∠C=50°，∵OB=OD，∴∠ABD=∠ODB=50°，∴∠AOD=∠ABD+∠ODB=100°，故选B．【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理的应用，能熟记圆周角定理的内容是解此题的关键．9．（2016•丹阳市校级一模）已知⊙O的半径OD垂直于弦AB，交AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，若AB=8，CD=2，则△BCE的面积为（）A．12 B．15 C．16 D．18【分析】设OC=x，根据垂径定理可得出AC=4，利用勾股定理可得出关于x的一元二次方程，解方程求出x的值，进而得出OC的长度，再根据三角形的中位线的性质以及三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：依照题意画出图形，如图所示．设OC=x，则OA=OD=x+2，∵OD⊥AB于C，∴在Rt△OAC中，OC2+AC2=OA2，即x2+42=（x+2）2，解得x=3，即OC=3，∵OC为△ABE的中位线，∴BE=2OC=6．∵AE是⊙O的直径，∴∠B=90°，∴．故选A．【点评】本题考查了垂径定理、三角形的中位线以及三角形的面积，解题的关键是求出BE的长度．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据勾股定理找出方程是关键．10．（2016•常德）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＜0；②c＞0；③a+c＜b；④b2﹣4ac＞0，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由二次函数的开口方向，对称轴0＜x＜1，以及二次函数与y的交点在x轴的上方，与x轴有两个交点等条件来判断各结论的正误即可．【解答】解：∵二次函数的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴，∴a＜0，c＞0，故②正确；∵0＜﹣＜1，∴b＞0，故①错误；当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，故③正确；∵二次函数与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，故④正确正确的有3个，故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．二．填空题（共10小题）11．（2016•永春县模拟）在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则sinA的值是．【分析】利用锐角三角函数的定义求解，sinA为∠A的对边比斜边，求出即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，∴sinA==．故答案为．【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．12．（2016•株洲模拟）在将Rt△ABC中，∠A=90°，∠C：∠B=1：2，则sinB= ．【分析】根据题意和三角形内角和定理求出∠B的度数，根据正弦的定义解答即可．【解答】解：∵∠A=90°，∴∠C+∠B=90°，又∠C：∠B=1：2，∴∠B=60°，∴sinB=，故答案为：．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义、三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．13．（2016•雅安校级模拟）已知cosα=，则的值等于0 ．【分析】先利用tanα=得到原式==，然后把cosα=代入计算即可．【解答】解：∵tanα=，∴==，∵cosα=，∴==0．故答案为0．【点评】本题考查了同角三角函数的关系：平方关系：sin2A+cos2A=1；正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=或sinA=tanA•cosA．14．（2016•牡丹江）已知抛物线y=ax2﹣3x+c（a≠0）经过点（﹣2，4），则4a+c﹣1= ﹣3 ．【分析】将点（﹣2，4）代入y=ax2﹣3x+c（a≠0），即可求得4a+c的值，进一步求得4a+c ﹣1的值．【解答】解：把点（﹣2，4）代入y=ax2﹣3x+c，得4a+6+c=4，∴4a+c=﹣2，∴4a+c﹣1=﹣3，故答案为﹣3．【点评】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，点在函数上，将点代入解析式即可．15．（2016•泸州）若二次函数y=2x2﹣4x﹣1的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，则+的值为﹣4 ．【分析】设y=0，则对应一元二次方程的解分别是点A和点B的横坐标，利用根与系数的关系即可求出+的值．【解答】解：设y=0，则2x2﹣4x﹣1=0，∴一元二次方程的解分别是点A和点B的横坐标，即x1，x2，∴x1+x2=﹣=2，x1，•x2=﹣，∴+==﹣4，故答案为：﹣4．【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数与x轴的交点的横坐标就是对应的一元二次方程的根是解题关键．16．（2016•邯郸校级自主招生）已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y=﹣x+3上，设点M坐标为（a，b），则y=﹣abx2+（a+b）x的顶点坐标为（±，）．【分析】根据反比例函数和一次函数的性质解题．【解答】解：∵M、N两点关于y轴对称，∴M坐标为（a，b），N为（﹣a，b），分别代入相应的函数中得，b=①，a+3=b②，∴ab=，（a+b）2=（a﹣b）2+4ab=11，a+b=±，∴y=﹣x2±x，∴顶点坐标为（=±，=），即（±，）．故答案为：（±，）．【点评】主要考查了函数的性质和求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法．解题关键是先求出ab，a+b的值，整体代入求出函数的解析式．17．（2016秋•南京期中）若⊙O的直径为2，OP=2，则点P与⊙O的位置关系是：点P 在⊙O 外．【分析】由条件可求得圆的半径为1，由条件可知点P到圆心的距离大于半径，可判定点P在圆外．【解答】解：∵⊙O的直径为2，∴⊙O的半径为1，∵OP=2＞1，∴点P在⊙O外，故答案为：外．【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，利用点到圆心的距离d与半径r的大小关系判定点与圆的位置关系是解题的关键．18．（2016•绥化）如图，⊙O的直径CD=20cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，若OM=6cm，则AB的长为16 cm．【分析】连接OA，根据垂径定理求出AB=2AM，已知OA、OM，根据勾股定理求出AM即可．【解答】解：连接OA，∵⊙O的直径CD=20cm，∴OA=10cm，在Rt△OAM中，由勾股定理得：AM==8cm，∴由垂径定理得：AB=2AM=16cm．故答案为：16．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是构造直角三角形．19．（2016•香坊区模拟）已知AB、BC是⊙O的两条弦，AB=AC，∠AOB=120°，则∠CAB的度数是15°或75°．【分析】①若点C在优弧AB上，根据AB=AC设AC=2x、AB=x，作OD⊥AB、作OE⊥AC，由∠AOB=120°、OA=OB得∠OAD=30°，在Rt△OAD中可得OA=x，在Rt△OAE中由cos∠OAE=可得∠OAE度数，继而根据∠CAB=∠OAB+∠OAE可得∠CAB度数；②当点C在劣弧AB上时，与（1）同理可得∠OAB=30°，∠OAE=45°，根据∠CAB=∠OAE ﹣∠OAD可得此时∠CAB的度数，即可得答案．【解答】解：①如图1，若点C在优弧AB上，∵AB=AC，∴设AC=2x，则AB=x，过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，∴AD=AB=x，AE=AC=x，∵∠AOB=120°，OA=OB，∴∠OAD=30°，在Rt△OAD中，OA===x，在Rt△OAE中，cos∠OAE===，∴∠OAE=45°，∴∠CAB=∠OAB+∠OAE=75°；②如图2，当点C在劣弧AB上时，由①知，∠OAB=30°，∠OAE=45°，∴∠CAB=∠OAE﹣∠OAD=15°，故答案为：15°或75°．【点评】本题主要考查垂径定理及三角函数的应用，熟练掌握垂径定理是解题的关键．20．（2016•内江）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，且P=|2a+b|+|3b﹣2c|，Q=|2a ﹣b|﹣|3b+2c|，则P，Q的大小关系是P＞Q ．【分析】由函数图象可以得出a＜0，b＞0，c＞0，当x=1时，y=a+b+c＞0，x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，由对称轴得出2a+b=0，通过确定绝对值中的数的符号后去掉绝对值再化简就可以求出P、Q的值．【解答】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵﹣＞0，∴b＞0，∴2a﹣b＜0，∵﹣=1，∴b+2a=0，x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0．∴﹣b﹣b+c＜0，∴3b﹣2c＞0，∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0，∴3b+2c＞0，∴p=3b﹣2c，Q=b﹣2a﹣3b﹣2c=﹣2a﹣2b﹣2c，∴Q﹣P=﹣2a﹣2b﹣2c﹣3b+2c=﹣2a﹣5b=﹣4b＜0∴P＞Q，故答案为：P＞Q．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，去绝对值，二次函数的性质．熟记二次函数的性质是解题的关键．三．解答题（共10小题）21．（2016•金华校级模拟）计算：．【分析】先根据二次根式的化简、负整数指数幂、特殊角的三角函数值及0指数幂把原式化简，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．【解答】解：原式=2+2﹣4×﹣1，=2+2﹣2﹣1，=1．故答案为：1．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂及二次根式等考点的运算．22．（2016•江西模拟）如图，△ABC 中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D 是AB 中点，过点B 作直线CD 的垂线，垂足为点E ． （1）求线段CD 的长； （2）求cos ∠ABE 的值．【分析】（1）在△ABC 中根据正弦的定义得到sinA==，则可计算出AB=10，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CD=AB=5；（2）在Rt △ABC 中先利用勾股定理计算出AC=6，在根据三角形面积公式得到S △BDC =S △ADC ，则S △BDC =S △ABC ，即CD •BE=•AC •BC ，于是可计算出BE=，然后在Rt △BDE 中利用余弦的定义求解．【解答】解：（1）在△ABC 中，∵∠ACB=90°， ∴sinA==，而BC=8， ∴AB=10， ∵D 是AB 中点， ∴CD=AB=5；（2）在Rt △ABC 中，∵AB=10，BC=8， ∴AC==6，∵D 是AB 中点， ∴BD=5，S △BDC =S △ADC ， ∴S △BDC =S △ABC ，即CD •BE=•AC •BC ，∴BE==，在Rt △BDE 中，cos ∠DBE===，即cos ∠ABE 的值为．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式． 23．（2016•宁夏）已知△ABC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 于D ，BC 于E ，连接ED ，若ED=EC ．（1）求证：AB=AC ； （2）若AB=4，BC=2，求CD 的长．【分析】（1）由等腰三角形的性质得到∠EDC=∠C ，由圆外接四边形的性质得到∠EDC=∠B ，由此推得∠B=∠C ，由等腰三角形的判定即可证得结论；（2）连接AE ，由AB 为直径，可证得AE ⊥BC ，由（1）知AB=AC ，证明△CDE ∽△CBA 后即可求得CD 的长．【解答】（1）证明：∵ED=EC ， ∴∠EDC=∠C ， ∵∠EDC=∠B ， ∴∠B=∠C ， ∴AB=AC ； （2）方法一： 解：连接AE ， ∵AB 为直径，∴AE⊥BC，由（1）知AB=AC，∴BE=CE=BC=，∵△CDE∽△CBA，∴，∴CE•CB=CD•CA，AC=AB=4，∴•2=4CD，∴CD=．方法二：解：连接BD，∵AB为直径，∴BD⊥AC，设CD=a，由（1）知AC=AB=4，则AD=4﹣a，在Rt△ABD中，由勾股定理可得：BD2=AB2﹣AD2=42﹣（4﹣a）2在Rt△CBD中，由勾股定理可得：BD2=BC2﹣CD2=（2）2﹣a2∴42﹣（4﹣a）2=（2）2﹣a2整理得：a=，即：CD=．【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．24．（2016•漳州）如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，C为的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC、BC．（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD=2，AC=，求AB的长．【分析】（1）连接OC，由C为的中点，得到∠1=∠2，等量代换得到∠2=∠ACO，根据平行线的性质得到OC⊥CD，即可得到结论；（2）连接CE，由勾股定理得到CD==，根据切割线定理得到CD2=AD•DE，根据勾股定理得到CE==，由圆周角定理得到∠ACB=90°，即可得到结论．【解答】解：（1）相切，连接OC，∵C为的中点，∴∠1=∠2，∵OA=OC，∴∠1=∠ACO，∴∠2=∠ACO，∴AD∥OC，∵CD⊥AD，∴OC⊥CD，∴直线CD与⊙O相切；（2）方法1：连接CE，∵AD=2，AC=，∵∠ADC=90°，∴CD==，∵CD是⊙O的切线，∴CD2=AD•DE，∴DE=1，∴CE==，∵C为的中点，∴BC=CE=，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AB==3．方法2：∵∠DCA=∠B，易得△ADC∽△ACB，∴=，∴AB=3．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，平行线的性质，切割线定理，熟练掌握各定理是解题的关键．25．（2016•随州）如图，AB是⊙O的弦，点C为半径OA的中点，过点C作CD⊥OA交弦AB于点E，连接BD，且DE=DB．（1）判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若CD=15，BE=10，tanA=，求⊙O的直径．【分析】（1）连接OB，由圆的半径相等和已知条件证明∠OBD=90°，即可证明BD是⊙O 的切线；（2）过点D作DG⊥BE于G，根据等腰三角形的性质得到EG=BE=5，由两角相等的三角形相似，△ACE∽△DGE，利用相似三角形对应角相等得到sin∠EDG=sinA=，在Rt△EDG中，利用勾股定理求出DG的长，根据三角形相似得到比例式，代入数据即可得到结果．【解答】（1）证明：连接OB，∵OB=OA，DE=DB，∴∠A=∠OBA，∠DEB=∠ABD，又∵CD⊥OA，∴∠A+∠AEC=∠A+∠DEB=90°，∴∠OBA+∠ABD=90°，∴OB⊥BD，∴BD是⊙O的切线；（2）如图，过点D作DG⊥BE于G，∵DE=DB，∴EG=BE=5，∵∠ACE=∠DGE=90°，∠AEC=∠GED，∴∠GDE=∠A，∴△ACE∽△DGE，∴sin∠EDG=sinA==，即DE=13，在Rt△ECG中，∵DG==12，∵CD=15，DE=13，∴CE=2，∵△ACE∽△DGE，∴=，∴AC=•DG=，∴⊙O的直径2OA=4AC=．【点评】此题考查了切线的判定，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．26．（2016•丹东）某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？【分析】（1）函数的表达式为y=kx+b，把点（12，74），（28，66）代入解方程组即可．（2）列出方程解方程组，再根据实际意义确定x的值．（3）构建二次函数，利用二次函数性质解决问题．【解答】解：（1）设函数的表达式为y=kx+b，该一次函数过点（12，74），（28，66），得，解得，∴该函数的表达式为y=﹣0.5x+80，（2）根据题意，得，（﹣0.5x+80）（80+x）=6750，解得，x1=10，x2=70∵投入成本最低．∴x2=70不满足题意，舍去．∴增种果树10棵时，果园可以收获果实6750千克．（3）根据题意，得w=（﹣0.5x+80）（80+x）=﹣0.5 x2+40 x+6400=﹣0.5（x﹣40）2+7200∵a=﹣0.5＜0，则抛物线开口向下，函数有最大值∴当x=40时，w最大值为7200千克．∴当增种果树40棵时果园的最大产量是7200千克．【点评】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建二次函数解决实际问题中的最值问题，属于中考常考题型．27．（2016•湘潭）为了增强学生体质，学校鼓励学生多参加体育锻炼，小胖同学马上行动，每天围绕小区进行晨跑锻炼．该小区外围道路近似为如图所示四边形ABCD，已知四边形ABED是正方形，∠DCE=45°，AB=100米．小胖同学某天绕该道路晨跑5圈，时间约为20分钟，求小胖同学该天晨跑的平均速度约为多少米/分？（结果保留整数，≈1.41）【分析】首先利用勾股定理求出CD的长度，然后求出小胖每天晨跑的路程，进而求出平均速度．【解答】解：∵ABED是正方形，∠DCE=45°，AB=100米，∴DE=CE=100米，在直角三角形DEC中，DC2=DE2+CE2，即DC=100，∴四边形ABCD的周长为100+100+100+100+100=400+100，∵小胖同学某天绕该道路晨跑5圈，时间约为20分钟，∴小胖每天晨跑的路程为（2000+500）米，∴小胖同学该天晨跑的平均速度（2000+500）÷20=100+25≈135.25米/分．【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是利用勾股定理求出DC的长度，此题难度不大．28．（2016•六盘水）据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过15m/s，在一条笔直公路BD的上方A处有一探测仪，如平面几何图，AD=24m，∠D=90°，第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得∠ABD=31°，2秒后到达C点，测得∠ACD=50°（tan31°≈0.6，tan50°≈1.2，结果精确到1m）（1）求B，C的距离．（2）通过计算，判断此轿车是否超速．【分析】（1）在直角三角形ABD与直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出BD与CD的长，由BD﹣CD求出BC的长即可；（2）根据路程除以时间求出该轿车的速度，即可作出判断．【解答】解：（1）在Rt△ABD中，AD=24m，∠B=31°，∴tan31°=，即BD==40m，在Rt△ACD中，AD=24m，∠ACD=50°，∴tan50°=，即CD==20m，∴BC=BD﹣CD=40﹣20=20m，则B，C的距离为20m；（2）根据题意得：20÷2=10m/s＜15m/s，则此轿车没有超速．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．29．（2016•六盘水）如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D．（1）求此抛物线的解析式．（2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴．（3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），可以求得抛物线的解析式；（2）根据（1）中的解析式化为顶点式，即可得到此抛物线顶点D的坐标和对称轴；（3）首先写出存在，然后运用分类讨论的数学思想分别求出各种情况下点P的坐标即可．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），∴，解得，，即此抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3；（2）∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴此抛物线顶点D的坐标是（1，﹣4），对称轴是直线x=1；（3）存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形，设点P的坐标为（1，y），当PA=PD时，=，解得，y=﹣，即点P的坐标为（1，﹣）；当DA=DP时，=，解得，y=﹣4±，即点P的坐标为（1，﹣4﹣2）或（1，﹣4+）；当AD=AP时，=，解得，y=±4，即点P的坐标是（1，4）或（1，﹣4），当点P为（1，﹣4）时与点D重合，故不符合题意，由上可得，以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（1，﹣）或（1，﹣4﹣2）或（1，﹣4+）或（1，4）．【点评】本题考查二次函数综合题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答问题．30．（2016•河池）在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A 在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．（1）请直接写出点A，C，D的坐标；（2）如图（1），在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；（3）如图（2），F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）令抛物线解析式中y=0，解关于x的一元二次方程即可得出点A、B的坐标，再令抛物线解析式中x=0求出y值即可得出点C坐标，利用配方法将抛物线解析式配方即可找出顶点D的坐标；（2）作点C关于x轴对称的点C′，连接C′D交x轴于点E，此时△CDE的周长最小，由点C的坐标可找出点C′的坐标，根据点C′、D的坐标利用待定系数法即可求出直线C′D的解析式，令其y=0求出x值，即可得出点E的坐标；（3）根据点A、C的坐标利用待定系数法求出直线AC的解析式，假设存在，设点F（m，m+3），分∠PAF=90°、∠AFP=90°和∠APF=90°三种情况考虑．根据等腰直角三角形的性质结合点A、F点的坐标找出点P的坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出关于m的一元二次方程，解方程求出m值，再代入点P坐标中即可得出结论．【解答】解：（1）当y=﹣x2﹣2x+3中y=0时，有﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，∵A在B的左侧，∴A（﹣3，0），B（1，0）．当y=﹣x2﹣2x+3中x=0时，则y=3，∴C（0，3）．∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，∴顶点D（﹣1，4）．（2）作点C关于x轴对称的点C′，连接C′D交x轴于点E，此时△CDE的周长最小，如图1所示．∵C（0，3），∴C′（0，﹣3）．设直线C′D的解析式为y=kx+b，则有，解得：，∴直线C′D的解析式为y=﹣7x﹣3，当y=﹣7x﹣3中y=0时，x=﹣，∴当△CDE的周长最小，点E的坐标为（﹣，0）．（3）设直线AC的解析式为y=ax+c，则有，解得：，∴直线AC的解析式为y=x+3．假设存在，设点F（m，m+3），△AFP为等腰直角三角形分三种情况（如图2所示）：①当∠PAF=90°时，P（m，﹣m﹣3），∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上，∴﹣m﹣3=﹣m2﹣2m+3，解得：m1=﹣3（舍去），m2=2，此时点P的坐标为（2，﹣5）；②当∠AFP=90°时，P（2m+3，0）∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上，∴0=﹣（2m+3）2﹣2×（2m+3）+3，解得：m3=﹣3（舍去），m4=﹣1，此时点P的坐标为（1，0）；③当∠APF=90°时，P（m，0），∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上，∴0=﹣m2﹣2m+3，解得：m5=﹣3（舍去），m6=1，此时点P的坐标为（1，0）．综上可知：在抛物线上存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形，点P的坐标为（2，﹣5）或（1，0）．。
(B卷)北师大版九年级下册数学期末测试卷及含答案(典型题)
北师大版九年级下册数学期末测试卷及含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，连接PC，则PC 长的最小值为（）A.2 －2B.2C.3 －1D.22、在中，，，，，，则BC的长为( )A.6B.C.8D.3、如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BAC=45°，OB=2，则图中阴影部分的面积为（）A.π﹣2B.C.π﹣4D.4、下表是小明填写实习报告的部分内容：已知：=0.7313，=0.6820，=1.0724，=0.9325，根据以上的条件，计算出铁塔顶端到山底的高度（）题目在山脚下测量铁塔顶端到山底的高度测量目标图示CD=5m ∠α=45°，∠β=47°A.64.87mB.74.07mC.84.08mD.88.78m5、在中，，，，那么下列各式中正确的是（）A. B. C. D.6、在三角形ABC中，∠C为直角，sinA=，则tanB的值为（）A. B. C. D.7、下列说法错误的是（）A.正多边形每个内角都相等；B.正多边形都是轴对称图形；C.正多边形都是中心对称图形；D.正多边形的中心到各边的距离相等.8、函数的图象经过的象限是（）A.第一、二、三象限B.第一、二象限C.第三、四象限D.第一、二、四象限9、下列函数中，当 x＜0 时，函数值 y 随 x 的增大而增大的有（）①y=x；②y=﹣2x+1；③y=﹣6x2；④y=3x2；A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个10、如图，在中，点C是的中点，，则的大小为（）A. B. C. D.11、如好，菱形ABCD，AB=6，∠A=120°，点E，F，G分别为线段BC，CD，BD 上的任意一点，则EG+FG的最小值为( )A.4B.3C.6D.412、若有二次函数y=ax2+c，当x取x1， x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x=x1+x2时，函数值为（）A.a+cB.a-cC.-cD.c13、如图，在中，AD是直径，，则等于A. B. C. D.14、在同一坐标系中，一次函数y＝ax+1与二次函数y＝x2+a的图象可能是（）A. B. C. D.15、足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：t 0 1 2 3 4 5 6 7 …h 0 8 14 18 20 20 18 14 …下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t= ；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m．其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.4二、填空题(共10题，共计30分)16、计算：（+π）0﹣2|1﹣sin30°|+（）﹣1=________．17、手机上常见的wifi标志如图所示，它由若干条圆心相同的圆弧组成，其圆心角为90°，最小的扇形半径为1，若每两个相邻圆弧的半径之差为1，由里往外的阴影部分的面积依次记为S1、S2、S3…，则S1+S2+S3+…+S20=________．18、如图，过⊙O上一点C作⊙O的切线，交OD的直径AB的延长线于点D．若∠D=40。
最新北师大版九年级数学下册期末考试卷及答案【完美版】
最新北师大版九年级数学下册期末考试卷及答案【完美版】 班级： 姓名：一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1．－5的相反数是( )A ．15-B ．15C ．5D ．-52．某种衬衫因换季打折出售，如果按原价的六折出售，那么每件赔本40元；按原价的九折出售，那么每件盈利20元，则这种衬衫的原价是（ ）A ．160元B ．180元C ．200元D ．220元3．已知关于x 的分式方程21m x -+=1的解是负数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≤3 B ．m ≤3且m ≠2 C ．m ＜3 D ．m ＜3且m ≠24．若一次函数y kx b =+的图象不经过第二象限，则关于x 的方程20x kx b ++=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定5．如图，数轴上两点A,B 表示的数互为相反数，则点B 表示的（ ）A ．-6B ．6C ．0D ．无法确定6．不等式组26,x x x m -+<-⎧⎨>⎩的解集是4x >，那么m 的取值范围（ ） A ．4m ≤ B ．4m ≥ C ．4m < D ．4m =7．如图，在▱ABCD 中，已知AD=5cm ，AB=3cm ，AE 平分∠BAD 交BC 边于点E ，则EC 等于 （ ）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm8．如图，AB 为O 的直径，,C D 为O 上两点，若40BCD ∠︒＝，则ABD ∠的大小为（ ）．A ．60°B ．50°C ．40°D ．20°9．将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（ ）.A ．45°B ．60°C ．75°D ．85°10．把一副三角板如图放置，其中90ABC DEB ∠=∠=︒，45A ∠=︒，30D ∠=︒，斜边10AC BD ==，若将三角板DEB 绕点B 按逆时针方向旋转45︒得到''D E B △，则点A 在''D E B △的（ ）A ．内部B ．外部C ．边上D ．以上都有可能二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）164__________．2．分解因式：2218x -=______．3．抛物线23(1)8y x =-+的顶点坐标为____________．41．如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径 CA=6，圆心角∠ACB=120°，则此圆锥高 OC 的长度是__________．5．如图，正方形纸片ABCD 的边长为12，E 是边CD 上一点，连接AE ．折叠该纸片，使点A 落在AE 上的G 点，并使折痕经过点B ，得到折痕BF ，点F 在AD 上．若5DE =，则GE 的长为__________．6．如图，小军、小珠之间的距离为2.7 m ，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8 m ，1.5 m ，已知小军、小珠的身高分别为1.8 m ，1.5 m ，则路灯的高为__________m.三、解答题（本大题共6小题，共72分）1．计算：（1）sin30°﹣（π﹣3.14）0+（﹣12）﹣2 （2）解方程；13223x x =--2．在平面直角坐标系中，已知点()()()1,2.2,3.2,1A B C ，直线y x m =+经过点A ．抛物线21y ax bx =++恰好经过,,ABC 三点中的两点．(1)判断点B 是否在直线y x m =+上．并说明理由；(2)求,a b 的值；(3)平移抛物线21y ax bx =++，使其顶点仍在直线y x m =+上，求平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最大值．3．如图所示抛物线2y ax bx c =++过点()1,0A -，点()0,3C ，且OB OC =（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点,D E 在直线1x =上的两个动点，且1DE =，点D 在点E 的上方，求四边形ACDE 的周长的最小值；（3）点P 为抛物线上一点，连接CP ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3∶5两部分，求点P 的坐标.4．由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务.如图，航母由西向东航行，到达A 处时，测得小岛C 位于它的北偏东70︒方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B 处，测得小岛C 位于它的北偏东37︒方向.如果航母继续航行至小岛C 的正南方向的D 处，求还需航行的距离BD 的长.（参考数据：sin 700.94︒≈，cos 700.34︒≈，tan 70 2.75︒≈，sin 370.6︒≈，370.80cos ︒≈，tan 370.75︒≈）5．胜利中学为丰富同学们的校园生活，举行“校园电视台主待人”选拔赛，现将36名参赛选手的成绩(单位：分)统计并绘制成频数分布直方图和扇形统计图，部分信息如下：请根据统计图的信息，解答下列问题：(1)补全频数分布直方图，并求扇形统计图中扇形D对应的圆心角度数；(2)成绩在D区域的选手，男生比女生多一人，从中随机抽取两人临时担任该校艺术节的主持人，求恰好选中一名男生和一名女生的概率．6．在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合作24天可完成．（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1、C2、C3、D4、A5、B6、A7、B8、B9、C10、C二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1、2、2(3)(3)x x +-3、(1，8)4、5、49136、3三、解答题（本大题共6小题，共72分）1、（1）72；（2）x ＝32、（1）点B 在直线y x m =+上，理由见详解；（2）a=-1，b=2；（3）543、（1）2y x 2x 3=-++，对称轴为直线1x =；（2）四边形ACDE 的周长最小1；（3）12(4,5),(8,45)P P --4、还需要航行的距离BD 的长为20.4海里.5、(1)补图见解析；50°；(2)3 5 .6、（1）乙队单独完成需90天；（2）在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱．。
北师大版九年级下册数学期末测试卷(典型题)
北师大版九年级下册数学期末测试卷一、单选题(共15题，共计45分)1、如右图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB的度数为（）A.100°B.50°C.80°D.45°2、已知扇形的半径为3，圆心角为60°，则扇形的面积等于( )A. B.π C. D.3、如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点△ABC 的外部，则下列叙述正确的是( )．A.D是△AEB的外心，O是△AED的外心B.O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心C.D不是△AEB的外心，O是△AED的外心D.O是△AEB的外心，O不是△AED的外心4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，下列式子正确的是（）A.sinA＝B.cosA＝C.tanA＝D.cosB＝5、如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是的中点，则下列结论不成立的是（）A.OC∥AEB.EC=BCC.∠DAE=∠ABED.AC⊥O E6、二次函数的顶点坐标为（）A. B. C. D.7、二次函数y＝－2(x－1)2＋3的图象如何移动就得剑y＝－2x2的图象( )A.向左移动1个单位，向上移动3个单位B.向右移动1个单位，向上移动3个单位C.向左移动1个单位，向下移动3个单位D.向右移动1个单位，向下移动3个单位8、如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是边BC和CD上的动点（不与正方形的顶点重合），不管E、F怎样动，始终保持AE⊥EF ．设BE=x ，DF=y ，则y是x的函数，函数关系式是（）A.y=x+1B.y=x-1C.y=x 2-x+1D.y=x 2-x-19、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点为A（﹣2，0），B（6，0），则该二次函数的对称轴为（）A.x=﹣1B.x=1C.x=2D.y轴10、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切于点M，P、Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最小值是（）A.1B.2C.3D.411、如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O半径为2，则六边形的边心距OM 的长为（）A.2B.2C.4D.12、如图，扇形AOB中，∠AOB=90°，半径OA=6，C是的中点，CD∥OA，交AB于点D，则CD的长为( )A.2 -2B.C.2D.6 -613、如图，AB是⊙O的直径，O是圆心，弦CD⊥AB于E，AB=10，CD=8，则OE 的长为( )A.2B.3C.4D.514、如图，在中，弦AB垂直平分半径OC，OC=2，则弦AB的长为（）A. B.C.D.15、如图，在△ABC中，∠BAC=28°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，DE∥CB，连接BD，若添加一个条件，使BC是⊙O的切线，则下列四个条件中不符合的是（）A.DE⊥ABB.∠EDB=28°C.∠ADE=∠ABDD.OB=BC二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，⊙O的半径为6，如果弦AB是⊙O内接正方形的一边，弦AC是⊙O 内接正十二边形的一边，那么弦BC的长为________．17、把抛物线向右平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线________．18、一个扇形的弧长为，面积为，则这个扇形的半径是________．19、抛物线y＝﹣（x+1）2+3的顶点坐标是________．20、已知矩形ABCD中， AB=4，BC=3，以点B为圆心r为半径作圆，且⊙B与边CD有唯一公共点，则r的取值范围是________．21、对于二次函数y=x2-2mx-3 ，有下列说法：①它的图象与x轴有两个公共点；②如果当x≤1时y随x的增大而减小，则m=1；③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=-1；④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为-3 ．其中正确的说法是________．（把你认为正确说法的序号都填上）22、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，CE=3，则CD的长度是________．23、若A（﹣2，y1），B（﹣1，y2）在抛物线y= （x+ ）2上，则y1________（填“＞”“＜”或“=”号）．24、若关于的方程没有实数根，则二次函数的图象的顶点在第________象限．25、如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B；点Q是以C（0，﹣1）为圆心、1为半径的圆上一动点，过Q点的切线交线段AB于点P，则线段PQ的最小是________．三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：tan45°＋cos30°．27、已知抛物线y=3ax2+2bx+c，（1）若a=3k，b=5k，c=k+1，试说明此类函数图象都具有的性质；（2）若a=， c=2+b且抛物线在﹣2≤x≤2区间上的最小值是﹣3，求b的值；（3）若a+b+c=1，是否存在实数x，使得相应的y的值为1，请说明理由．28、如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B处的求救者后，又发现点B正上方点C处还有一名求救者，在消防车上点A处测得点B和点C的仰角分别为45和65°，点A距地面2.5米，点B距地面10.5米，为救出点C处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC约为多少米？（结果保留整数，参考数据：tan65°≈2.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，≈1.4）29、如图，⊙O是以数轴原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，点P在数轴上运动，过点P且与OB平行的直线与⊙O有公共点，求OP的取值范围.30、⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB和CD之间的距离.参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、A3、D4、A5、D6、B7、C8、C10、A11、D12、D13、B14、A15、D二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)。
北师大版九年级下册数学第三章《圆》章末提升训练(二)
第三章《圆》章末提升训练（二）一．选择题1．在圆内接四边形ABCD中，若∠A＝50°，则∠C＝（）°A．40 B．50 C．130 D．1502．若⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为5cm，那么点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在圆外B．点A在圆上C．点A在圆内D．不能确定3．边长为6的正三角形的外接圆的周长为（）A．πB．2πC．3πD．4π4．如图，A，B，C是⊙O上的三个点，∠AOC＝63°，∠BCA＝25°，则∠BOC的度数为（）A．100°B．110°C．113°D．120°5．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则CD的长是（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm6．如图，AB为半圆O的直径，C是的中点，D是的中点，在上取一点M，上取一点N，使得∠AMN＝110°，则下列说法正确的是（）A．点N在上，且NC＞ND B．点N在上，且NC＜NDC．点N在上，且ND＞NB D．点N在上，且ND＜NB7．如图，点C是以AB为直径的圆上一个动点（不与点A、B重合），且AC+BC＝12．若AB＝m（m为整数），则整数m的值的个数为（）A．0个B．2个C．3个D．4个8．如图，PA，PB分别切⊙O与点A，B，MN切⊙O于点C，分别交PA，PB于点M，N，若PA＝7.5cm，则△PMN的周长是（）A．7.5cm B．10cm C．12.5cm D．15cm9．如图，AB＝AC＝AD，若∠DAC是∠CAB的k倍（k为正数），那么∠DBC是∠BDC 的（）A．k倍B．2k倍C．3k倍D．k倍10．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠AOD+∠BOC＝180°．若AD＝2，BC＝6，则△BOC的面积为（）A．3 B．6 C．9 D．1211．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且∠BDC＝20°，则∠ABC的度数是（）A．20°B．50°C．70°D．80°12．如图，A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知AB＝2，BC＝4，△ACD是等边三角形，则△BCD的面积的最大值为（）A．4+4 B．4 C．4+8 D．6二．填空题13．正四边形的边长为4，则它的边心距是．14．如图，⊙P与y轴相切于点C（0，3），与x轴相交于点A（1，0），B（7，0），直线y＝kx﹣1恰好平分⊙P的面积，那么k的值是．15．如图，BC是⊙O的弦，以BC为边作等边三角形ABC，圆心O在△ABC的内部，若BC＝6，OA＝，则⊙O的半径为．16．把光盘、含60°角的三角板和直尺如图摆放，AB＝2，则光盘的直径是．17．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O恰好过BC的中点D，过点D作DE⊥AC于E，连结OD，则下列结论中：①OD∥AC；②∠B＝∠C；③2OA＝AC；④DE是⊙O 的切线；⑤∠EDA＝∠B，正确的序号是．三．解答题18．如图，四边形ABDC内接于⊙O，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交⊙O于点D，连接OB，OC，BD，CD．（1）求证：四边形OBDC是菱形；（2）若∠ABO＝15°，OB＝2，求弦AC长．19．如图，已知AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O 上，连接OA、DE、BE．（1）若∠AOD＝60°，求∠DEB的度数；（2）若CD＝2，弦AB＝8，求⊙O的半径长．20．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AC平分∠DAB，AC与BD相交于点F，延长AC到点E，使CE＝CF．（1）求证：BE是半圆O所在圆的切线；（2）若BC＝AD＝6，求⊙O的半径．21．如图，△ABC内接于以AB为直径的⊙O中，且点E是△ABC的内心，AE的延长线与BC交于点F，与⊙O交于点D，⊙O的切线PD交AB的延长线于点P．（1）试判断△BDE的形状，并给予证明；（2）若∠APD＝30°，BE＝2，求AE的长．参考答案一．选择题1．解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣50°＝130°，故选：C．2．解：∵⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为5cm，5cm＞4cm，∴点A在圆外．故选：A．3．解：如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，作OD⊥BC于D，连接OB、OC，∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，∴∠BOC＝120°，∴∠OBD＝30°，∵OD⊥BC，∴BD＝CD＝3，在Rt△OBD中，OD＝BD＝，∴OB＝2OD＝2，∴⊙O的周长＝2π×2＝4π．故选：D．4．解：由圆周角定理得，∠AOB＝2∠BCA＝50°，∴∠BOC＝∠AOC+∠BOA＝113°，故选：C．5．解：连接OA，则OA＝10cm，∵OC⊥AB，OC过O，AB＝16cm，∴∠ODA＝90°，AD＝BD＝8cm，在Rt△ODA中，由勾股定理得：OD＝＝＝6（cm），∵OC＝10cm，∴CD＝OC﹣OD＝4cm，故选：C．6．解：连接MD，OD、ON、BD，如图，∵C是的中点，D是的中点，∴∠BOD＝×90°＝45°，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠AMD＝180°﹣∠ABD＝180°﹣67.5°＝112.5°，∵∠AMN＝110°，∴点N在上，∵∠DMN＝∠AMD﹣∠AMN＝2.5°，∴∠DON＝2∠DMN＝2×2.5°＝5°，∴∠BON＝40°，∴＞，∴BN＞DN．故选：D．7．解：设AC＝x，则BC＝12﹣x，∵点C是以AB为直径的半圆上一个动点（不与点A、B重合），∴∠ACB＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，∴m2＝x2+（12﹣x）2，∴m2＝2[（x﹣6）2+36]∵点C是以AB为直径的半圆上一个动点（不与点A、B重合），∴0＜x＜12，∴0≤（x﹣6）2＜36，∴72≤2[（x﹣6）2+36]＜144，又∵m为整数，∴当2[（x﹣6）2+36]＝81或2[（x﹣4）2+16]＝100或2[（x﹣4）2+16]＝121时，m为整数9或10或11，则整数m的值的个数为3个，故选：C．8．解：∵直线PA、PB、MN分别与⊙O相切于点A、B、C，∴MA＝MC，NC＝NB，∴△PMN的周长＝PM+PN+MC+NC＝PM+MA+PN+NB＝PA+PB＝7.5+7.5＝15（cm）．故选：D．9．解：∵AB＝AC＝AD，∴点B、C、D在以A为圆心的圆上，∴∠BDC＝∠CAB，∠DBC＝∠DAC，∵∠DAC＝k∠CAB，∴∠DBC＝k∠CAB＝k×2∠BDC＝k∠BDC，故选：A．10．解：延长BO交⊙O于E，连接CE，则∠COE+∠BOC＝180°，∠BCE＝90°，即CE⊥BC，∵∠AOD+∠BOC＝180°，∴∠AOD＝∠COE，∴＝，∴AD＝CE＝2，∵BC＝6，∴△BEC的面积为BC•CE＝×6×2＝6，∵OB＝OE，∴△BOC的面积＝△BEC的面积＝×6＝3，故选：A．11．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，又∵∠A＝∠BDC＝20°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝90°﹣20°＝70°，故选：C．12．解：以BC为边作等边△BCM，连接DM．∵∠DCA＝∠MCB＝60°，∴∠DCM＝∠ACB，∵DC＝AC，MC＝BC∴△DCM≌△CAB（SAS），∴DM＝AB＝2为定值，即点D在以M为圆心，半径为2的圆上运动，当点D运动至BC的中垂线与圆的交点时，CB 边上的高取最大值为2+2，此时面积为4+4．故选：A．二．填空题（共5小题）13．解：连接OA，OB，作OE⊥AB于E，如图所示：∵四边形ABCD是正四边形，∴∠AOB＝360°÷4＝90°，∵OA＝OB，∴△AOB是等腰直角三角形，且OE⊥AB，∴OE＝AB＝2，故答案为：2．14．解：连接PC，PA，过点P作PD⊥AB于点D，∵⊙P与y轴相切于点C（0，3），∴PC⊥y轴，∴四边形PDOC是矩形，∴PD＝OC＝3，∵A（1，0），B（7，0），∴AB＝7﹣1＝6，∴AD＝AB＝×6＝3，∴OD＝AD+OA＝3+1＝4，∴P（4，3），∵直线y＝kx﹣1恰好平分⊙P的面积，∴3＝4k﹣1，解得k＝1．故答案为：1．15．解：过O作OD⊥BC于D，连接OB，∵BC是⊙O的一条弦，且BC＝6，∴BD＝CD＝BC＝×6＝3，∴OD垂直平分BC，又AB＝AC，∴点A在BC的垂直平分线上，即A，O及D三点共线，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴AD＝BD＝3，∵OA＝，∴OD＝AD﹣OA＝2在Rt△OBD中，OB＝＝＝；故答案为：．16．解：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，如图所示：由切线长定理知AB＝CB＝2，OA平分∠ABC，∴∠OBA＝60°，在Rt△ABO中，OA＝AB tan∠OBA＝2，∴光盘的直径为4，故答案为：4．17．解：连接AD，∵D为BC中点，点O为AB的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，①正确；∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°＝∠ADC，即AD⊥BC，又BD＝CD，∴△ABC为等腰三角形，∴∠B＝∠C，②正确；∵DE⊥AC，且DO∥AC，∴OD⊥DE，∵OD是半径，∴DE是⊙O的切线，∴④正确；∴∠ODA+∠EDA＝90°，∵∠ADB＝∠ADO+∠ODB＝90°，∴∠EDA＝∠ODB，∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，∴∠EDA＝∠B，∴⑤正确；∵D为BC中点，AD⊥BC，∴AC＝AB，∵OA＝OB＝AB，∴OA＝AC，∴③正确，故答案为：①②③④⑤．三．解答题（共4小题）18．（1）证明：连接OD，由圆周角定理得，∠BOC＝2∠BAC＝120°，∵AD平分∠BAC，∴，∴∠BOD＝∠COD＝60°，∵OB＝OD，OC＝OD，∴△BOD和△COD是等边三角形，∴OB＝BD＝DC＝OC，∴四边形OBDC是菱形；（2）解连接OA，∵OB＝OA，∠ABO＝15°，∴∠AOB＝150°，∴∠AOC＝360°﹣150°﹣120°＝90°，∴AC＝．19．解：（1）∵OD⊥AB，∴＝，∴∠BOD＝∠AOD＝60°，∴∠DEB＝∠BOD＝×60°＝30°；（2）设⊙O的半径为r，则OC＝r﹣2，∵OD⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝×8＝4，在Rt△OAC中，由勾股定理得：（r﹣2）2+42＝r2，解得：r＝5，即⊙O的半径长为5．20．（1）证明：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵CE＝CF，∴BE＝BF，∴∠E＝∠BFE，∵AC平分∠DAB，∴∠DAF＝∠BAF，∵∠DAF+∠AFD＝90°，∴∠BAF+∠E＝90°，∴BE是半圆O所在圆的切线；（2）解：∵∠DAF＝∠BAF，∴＝，∵BC＝AD，∴＝，∴＝＝，∴∠CAB＝30°，∴AB＝2BC＝12，∴⊙O的半径为6．21．解：（1）△BDE为等腰直角三角形，证明如下：如图，∵点E是△ABC的内心，∴BE平分∠ABC，AF平分∠BAC，∵∠1＝∠2，∠3＝∠6，而∠4＝∠6，∴∠2+∠3＝∠1+∠4，而∠5＝∠2+∠3，∴∠5＝∠1+∠4，即∠5＝∠DBE，∴DB＝DE，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴△BDE为等腰直角三角形；（2）连接OD，如图，∵△BDE为等腰直角三角形，∴BD＝DE＝BE＝×2＝，∵⊙O的切线PD交AB的延长线于点P，∴OD⊥PD，∴∠ODP＝90°，∵∠APD＝30°，∴∠POD＝90°﹣∠OPD＝60°，∴∠PAD＝∠POD＝30°，在Rt△ABD中，AD＝BD＝×＝，∴AE＝AD﹣DE＝﹣．。
2022-2023学年北师大数学九年级下册 期末测试卷(解析版)
2022-2023学年北师大数学九年级下册期末测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．抛物线y＝x2﹣4x+3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移方法正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移7个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C．先向右平移2个单位，再向上平移7个单位D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先将抛物线y＝x2﹣4x+3化为y＝（x﹣2）2﹣1的形式，再根据函数图象平移的法则进行解答．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣4x+3化为y＝（x﹣2）2﹣1，∴把抛物线y＝x2先向右平移2个单位，再向下平移1个单位即可得到抛物线y＝（x﹣2）2﹣1．故选：D．2．如图，点A是第二象限内一点，OA＝2，且OA与x轴正半轴的夹角为120°，则点A的坐标为（）A．B．C．D．【考点】解直角三角形；坐标与图形性质．【分析】过点A作AB⊥x轴，垂足为B，利用平角定义可得∠AOB＝60°，然后在Rt△AOB中，利用锐角三角函数的定义求出OB，AB的长，即可解答．【解答】解：过点A作AB⊥x轴，垂足为B，由题意得：∠AOB＝180°﹣120°＝60°，在Rt△AOB中，OA＝2，∴OB＝AO•cos60°＝2×＝1，AB＝AO•sin60°＝2×＝，∴点A的坐标为（﹣1，），故选：D．3．已知，一个小球由地面沿坡度i＝1：的斜坡向上前进了20cm，此时小球距离地面的高度为（）A．B．C．10cm D．5cm【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【分析】根据坡度与坡角的关系求出坡角，根据含30°角的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：设斜坡的坡角为α，∴斜坡的坡度i＝1：，∴tanα＝＝，则α＝30°，∵沿斜坡向上前进了20cm，∴小球距离地面的高度为：20×＝10（cm），故选：C．4．已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（）A．函数有最小值1，有最大值3B．函数有最小值﹣1，有最大值0C．函数有最小值﹣1，有最大值3D．函数有最小值﹣1，无最大值【考点】二次函数的最值；二次函数的图象．【分析】由函数图象可看出其最大值和最小值，可求得答案．【解答】解：由图象可知当x＝1时，y有最小值﹣1，当x＝3时，y有最大值3，∴函数有最小值﹣1，有最大值3，故选：C．5．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案（如图1）．图2是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，……画出来的螺旋曲线，阴影部分内部是边长为1的正方形，黑色曲线就是斐波那契螺旋线，它是依次在以1，2，3，5为边长的正方形中画一个圆心角为90°的扇形，将其圆弧连接起来得到的．那么这一段斐波那契螺旋线的弧长为（）A．πB．5πC．πD．6π【考点】弧长的计算；规律型：数字的变化类；正方形的性质．【分析】利用弧长公式计算，得到答案．【解答】解：这一段斐波那契螺旋线的弧长为：+++＝π，故选：C．6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝9，cos B＝，则AC的长为（）A．6B．2C．3D．9【考点】解直角三角形．【分析】先在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，然后利用勾股定理进行计算即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝9，cos B＝，∴BC＝AB•cos B＝9×＝6，∴AC＝＝＝3，故选：C．7．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形．∠BAD＝60°，BC＝8，CD＝7，则BD的长是（）A．10B．11C．13D．14【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．【分析】过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E，根据圆内接四边形的性质得到∠DCE ＝∠BAD＝60°，根据勾股定理计算即可．【解答】解：过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BAD＝60°，∴∠DCE＝∠BAD＝60°，∴CE＝CD＝，DE＝CD＝，∴BE＝BC+CE＝，∴BD＝＝＝13，故选：C．8．下列三角函数中，值为的是（）A．cos30°B．tan30°C．sin5°D．cos60°【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊锐角三角函数值逐项进行判断即可．【解答】解：A．由于cos30°＝，因此选项A不符合题意；B．由于tan30°＝，因此选项B不符合题意；C．sin5°＜sin30°，即sin5°＜，因此选项C不符合题意；D．由于cos60°＝sin30°＝，因此选项D符合题意；故选：D．9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为（3，0）．给出下列结论：①b2﹣4ac＜0；②4a+2b+c＞0；③图象与x轴的另一个交点为（﹣1，0）；④当x＞0时，y随x的增大而减小；⑤不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣1＜x＜3．其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】二次函数与不等式（组）；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．【分析】由抛物线与x轴的交点个数可判断①，由x＝2时y＞0可判断②，由抛物线经过（3，0）及对称轴为直线x＝1可判断③⑤，由抛物线开口方向及对称轴可判断④．【解答】解：由图象可得抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，①错误．∵抛物线与x轴交点为（3，0），抛物线对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（﹣1，0），③正确．∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜3，⑤错误．有图象可得x＝2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0，②正确．∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，∴x＞1时，y随x增大而减小，④错误．故选：C．10．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连接AC，BC，分别以AC、BC为直径作半圆，其中M，N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是P，Q，若MP+NQ＝7，AC+BC＝24．则AB的长是（）A．17B．18C．19D．20【考点】圆周角定理；线段垂直平分线的性质；圆心角、弧、弦的关系．【分析】设OP交AC于点D，OQ交BC于点E，利用垂径定理及其推论可得点D，E 分别为以AC、BC为直径作半圆的圆心，利用圆心角，弧，弦，弦心距之间的关系定理可得O，D，P，M在一条直线上，O，E，Q，N在一条直线上；利用矩形的判定与性质，垂径定理可求CD+CE＝（AC+BC）＝12，MD+EN＝（AC+BC）＝6，进而得到OD+OE ＝12，利用已知条件求得DP+EQ＝5，则OP+OQ＝（OD+OE）+（DP+EQ）＝12+5＝17，从而利用同圆的半径相等，直径等于半径的2倍，则AB＝OP+OQ＝17．【解答】解：设OP交AC于点D，OQ交BC于点E，如图，∵，的中点分别是P，Q，O为圆心，∴OD⊥AC，AD＝DC＝AC，OE⊥BC，BE＝CE＝，∴D，E分别为以AC、BC为直径作半圆的圆心，∵∠ADP＝∠CDP＝90°，∠CEQ＝∠BEQ＝90°，∴DP，EQ分别平分以AC、BC为直径作半圆，即DP经过点M，EQ经过点N，∴O，D，P，M在一条直线上，O，E，Q，N在一条直线上．∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OD⊥AC，OE⊥BC，∴四边形ODCE为矩形，∴OD＝CE，OE＝CD．∵AC+BC＝24，AC、BC为两个半圆的直径，∴CD+CE＝（AC+BC）＝12，MD+EN＝（AC+BC）＝6，∴OD+OE＝12．∵MP+NQ＝7，∴DP+EQ＝（DM+EN）﹣（MP+NQ）＝12﹣7＝5，∴OP+OQ＝（OD+OE）+（DP+EQ）＝12+5＝17，∴AB＝OP+OQ＝17．故选：A．二．填空题（共6小题）11．将抛物线y＝2（x﹣1）2+3向右移1单位，上移2单位所得到的新抛物线解析式为y ＝2（x﹣2）2+5．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据函数图象平移的法则进行解答即可．【解答】解：根据“左加右减，上加下减”的法则可知，将抛物线y＝2（x﹣1）2+3向右移1个单位，再向上移2个单位，那么所得到抛物线的函数关系式是y＝2（x﹣2）2+5．故答案为：y＝2（x﹣2）2+5．12．如图所示，长方形ABCD，半圆O与直角△EOF分别是学生常用的直尺，量角器与三角板的示意图．已知图中的点M处的读数是135°，则∠FND的度数为45°．【考点】圆周角定理．【分析】求出∠FOC，利用平行线的性质即可解决问题．【解答】解：由题意：∠COM＝135°，∠EOF＝90°，∴∠FOC＝45°，∵AD∥BC，∴∠FND＝∠FOC＝45°，故答案为：45°．13．如图，扇形AOB的圆心角为直角，边长为3的正方形OCDE的顶点C、E、D分别在OA、OB及上，过点A作AF⊥ED，交ED的延长线于点F，则图中阴影部分的面积等于9﹣9．【考点】扇形面积的计算；正方形的性质．【分析】根据题意可得出两个矩形全等，则阴影部分的面积等于等于矩形ACDF的面积．【解答】解：连接OD，∵正方形的边长为3，即OC＝CD＝3，∴OD＝＝＝3，∴AC＝OA﹣OC＝3﹣3，∵DE＝DC，BE＝AC，弧BD＝弧AD，∴S阴＝长方形ACDF的面积＝AC•CD＝（3﹣3）×3＝9﹣9．故答案为：9﹣9．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，连接CD，过点B作CD的垂线，交CD延长线于点E．已知AC＝30，．则sin∠DBE的值为．【考点】解直角三角形；直角三角形斜边上的中线．【分析】过点C作CF⊥AB，垂足为F，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AB＝50，从而利用勾股定理求出BC＝40，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得CD＝AB＝25，再利用面积法求出CF＝24，从而在在Rt△CDF中，利用勾股定理求出DF＝7，进而利用锐角三角函数的定义求出sin∠DCF的值，最后利用等角的余角相等可得∠EBD＝∠DCF，即可解答．【解答】解：过点C作CF⊥AB，垂足为F，在Rt△ABC中，AC＝30，，∴AB＝＝＝50，∴BC＝＝＝40，∵D是AB的中点，∴CD＝AB＝25，∵△ABC的面积＝AB•CF＝AC•CB，∴AB•CF＝AC•CB，∴50CF＝30×40，∴CF＝24，在Rt△CDF中，DF＝＝＝7，∴sin∠DCF＝＝，∵BE⊥CD，∴∠E＝90°，∴∠EDB+∠EBD＝90°，∵∠FCD+∠CDF＝90°，∠CDF＝∠BDE，∴∠EBD＝∠DCF，∴sin∠DBE＝sin∠DCF＝，故答案为：．15．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞﹣3b；③7a﹣3b+2c＞0；④若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有①②④．【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；根的判别式；根与系数的关系．【分析】由对称轴可得﹣＝2，即可判断①正确；a＜0，函数与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（5，0），当x＝3时，y＞0，即可判断②正确；由①和函数经过点（﹣1，0）可得b＝﹣4a，a﹣b+c＝0，从而得到c＝﹣5a，将b、c代入③即可判断；函数与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（5，0），当y＝﹣3时，x1＜﹣1＜5＜x2，可判断④正确．【解答】解：∵函数图象过点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∵对称轴为直线x＝2，∴函数与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（5，0），∴25a+5b+c＝0，∵对称轴为直线x＝2，∴﹣＝2，∴b＝﹣4a，∴4a+b＝0，故①符合题意；∵a＜0，函数与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（5，0），∴当x＝3时，y＞0，∴9a+c＞﹣3b；故②符合题意；∵b＝﹣4a，a﹣b+c＝0，∴c＝﹣5a，∴7a﹣3b+2c＝7a+12a﹣10a＝9a＜0，故③不符合题意；∵函数与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（5，0），∴当y＝﹣3时，x1＜﹣1＜5＜x2，故④符合题意；故①②④正确；故答案为：①②④．16．某兴趣小组为测量一峡谷的宽度，并将实际地形抽象绘制成如图所示的图形，AB，MN 分别表示峡谷正对面的两座山的垂直高度，从N处测得B处的俯角为45°，沿着N向下53米到达P处，在P处测得B处的俯角为33°，则峡谷的宽度AM约为151米．（结果精确到1米，sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65．）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】延长AB交PF于点G，交NE于点H，根据题意可得∠PGB＝∠NHB＝90°，AM＝PG＝NH，NP＝HG＝53米，设AM＝NH＝PG＝x米，然后分别在Rt△PGB和Rt △NHB中，利用锐角三角函数的定义求出BH和BG的长，从而列出方程x﹣0.65x＝53，进行计算即可解答．【解答】解：如图：延长AB交PF于点G，交NE于点H，则∠PGB＝∠NHB＝90°，AM＝PG＝NH，NP＝HG＝53米，设AM＝NH＝PG＝x米，在Rt△PGB中，∠FPB＝33°，∴GB＝PG•tan33°≈0.65x（米），在Rt△NHB中，∠ENB＝45°，∴HB＝NH•tan45°＝x（米），∵HB﹣GB＝HG，∴x﹣0.65x＝53，∴x≈151，∴AM≈151米，故答案为：151．三．解答题（共8小题）17．如图，AB为⊙O的切线，B为切点，过点B作BC⊥OA，垂足为点E，交⊙O于点C，延长CO与AB的延长线交于点D．（1）求证：AC为⊙O的切线；（2）若OC＝2，OD＝5，求线段AD的长．【考点】切线的判定与性质；勾股定理；垂径定理．【分析】（1）连接OB，证明△CAO≌△BAO（SSS），由全等三角形的性质得出∠OCA＝∠OBA．由切线的性质得出∠ABO＝90°，则∠OCA＝90°，可得出结论；（2）由勾股定理求出BD的长，设AC＝x，则AC＝AB＝x，得出方程，解方程可得出答案．【解答】（1）证明：连接OB，则OA＝OB，如图，∵OA⊥BC，∴EC＝BE，∴OA是CB的垂直平分线，∴AC＝AB．在△CAO和△BAO中，，∴△CAO≌△BAO（SSS），∴∠OCA＝∠OBA．∵AB为⊙O的切线，B为切点，∴∠ABO＝90°，∴∠OCA＝90°，即AC⊥半径OC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵OC＝2，OD＝5，∴OB＝2，CD＝OC+OD＝7，∵∠OBD＝90°，∴BD＝＝＝，设AC＝x，则AC＝AB＝x，∵CD2+AC2＝AD2，∴，解得x＝，∴AC＝，∴AD＝AB+BD＝AC+BD＝+＝．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O 分别交AC、BC于点M、N，过点N作NE⊥AB，垂足为点E．（1）若⊙O的半径为，AC＝5，求BN的长；（2）求证：NE是⊙O的切线．【考点】切线的判定；直角三角形斜边上的中线；圆周角定理．【分析】（1）由直角三角形的性质可求AB，由勾股定理可求BC，由等腰三角形的性质可得BN＝6；（2）欲证明NE为⊙O的切线，只要证明ON⊥NE．【解答】解：（1）连接DN，ON，∵⊙O的半径为，∴CD＝，∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴BD＝CD＝AD＝．∴AB＝13，∴BC＝＝12，∵CD为直径，∴∠CND＝90°，且BD＝CD．∴BN＝NC＝6．（2）∵∠ACB＝90°，D为斜边的中点，∴CD＝DA＝DB＝AB．∴∠BCD＝∠B，∵OC＝ON，∴∠BCD＝∠ONC．∴∠ONC＝∠B．∴ON∥AB，∵NE⊥AB，∴ON⊥NE．∴NE为⊙O的切线．19．图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测得BC ＝12cm，AB＝25cm，∠BAD＝60°，∠ABC＝50°．（1）在图2中，过点B作BE⊥AD，垂足为E．填空：∠CBE＝20°；（2）求点C到AD的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：≈1.73，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）【考点】解直角三角形的应用．【分析】（1）根据垂直定义可得∠AEB＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠ABE＝30°，然后利用角的和差关系进行计算即可解答；（2）过点C作CF⊥AD，垂足为F，过点C作CG⊥BE，垂足为G，则GE＝CF，∠BGC ＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠BCG＝70°，然后在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长，再在Rt△BGC中，利用锐角三角函数的定义求出BG的长，进行计算即可解答．【解答】解：（1）如图：∵BE⊥AD，∴∠AEB＝90°，∵∠BAD＝60°，∴∠ABE＝90°﹣∠BAD＝30°，∵∠ABC＝50°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝20°，故答案为：20；（2）过点C作CF⊥AD，垂足为F，过点C作CG⊥BE，垂足为G，则GE＝CF，∠BGC＝90°，∵∠CBE＝20°，∴∠BCG＝90°﹣∠CBE＝70°，在Rt△ABE中，∠BAE＝60°，AB＝25m，∴BE＝AB•sin60°＝25×＝（m），在Rt△BGC中，BC＝12m，∴BG＝BC•sin70°≈12×0.94＝11.28（m），∴CF＝GE＝BE﹣BG＝﹣11.28≈10.3（m），∴点C到AD的距离约为10.3m．20．如图，在以AB为直径的半圆中，M是半圆的中点，C是弧BM上的点，AM，BC的延长线相交于点D，连结AC、MC．（1）若AM＝1，求AB的长；（2）求证：∠ACM＝∠DCM．【考点】圆周角定理．【分析】（1）连接MB，利用直径所对的圆周角是直角可得∠AMB＝90°，再根据已知可得＝，从而可得AM＝BM，然后利用等腰直角三角形的性质进行计算即可解答；（2）利用等腰直角三角形的性质可得∠MAB＝∠MBA＝45°，从而利用同弧所对的圆周角相等可得∠MCA＝∠MBA＝45°，然后根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，从而利用平角定义可得∠ACD＝90°，进而利用角的和差关系求出∠DCM＝45°，即可解答．【解答】（1）解：连接MB，∵AB是半圆的直径，∴∠AMB＝90°，∵M是半圆的中点，∴＝，∴AM＝BM，∴AB＝AM＝，∴AB的长为；（2）证明：∵∠AMB＝90°，AM＝BM，∴∠MAB＝∠MBA＝45°，∴∠MCA＝∠MBA＝45°，∵AB是半圆的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝90°，∴∠DCM＝∠ACD﹣∠MCA＝45°，∴∠ACM＝∠DCM．21．某风景管理区，为提高旅游安全性，决定将到达景点步行台阶的倾角由45°改为30°，已知原台阶坡面AB长为5m（BC所在地面为水平面），调整后的台阶坡面为AD．求：（1）调整后的台阶坡面会加长多少？（2）调整后的台阶多占多长一段水平地面？（结果精确到0.1m，参考数据：，）【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【分析】（1）先解直角△ABC求出AC的长，再解直角△ADC求出AD的长即可得到答案；（2）分别解直角三角形求出CD，BC的长即可得到答案．【解答】解：（1）由题意得，∠ABC＝45°，∠ACB＝90°，∠ADC＝30°，∴在Rt△ABC中，．∴在Rt△ADC中，．∴AD﹣AB＝5≈2.1（m）答：调整后的台阶坡面会加长2.1m；（2）在Rt△ADC中，CD＝＝（m）在Rt△ABC中，BC＝AB•cos∠ABC＝（m）∴BD＝CD﹣BC＝＝2.6（m）．答：调整后的台阶多占水平地面2.6m．22．某次台风来袭时，一棵笔直且垂直于地面的大树AB被刮倾斜后在C处折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D处，测得∠ACD＝60°，∠ADC＝45°，AD＝5米，求这棵大树AB的高．（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用；勾股定理的应用．【分析】解Rt△AED，求出DE及AE的长度，再解Rt△AEC，得出CE及AC的长，进而可得出结论．【解答】解：∵AE⊥CD于点E，则∠AEC＝∠AED＝90°．在Rt△AED中，∵∠ADC＝45°，∴cos45°＝＝＝，∴DE＝5（米），∴AE＝DE＝5（米），在Rt△AEC中，∵∠CAE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣60°＝30°，∴CE＝AE＝（米），∴AC＝2CE＝（米），∴AB＝AC+CE+ED＝++5＝5+5（米）．答：这棵大树AB原来的高度约是5+5米．23．已知抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线及直线BC的解析式；（2）如图1，D点是直线BC上方抛物线上的一动点，连接AD交线段BC于点E，当的值最大时，求D点的坐标及最大值；（3）如图2，将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与直线AC交于点H，与抛物线交于第四象限内一点F，求点F的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由待定系数法即得抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）过A作AF∥y轴交BC于F，过D作DG∥y轴交BC于G，在y＝﹣x2+x+2中，得C（0，2），设直线BC解析式为y＝kx+2，把B（4，0）代入得直线BC解析式为y＝﹣x+2，即得F（﹣1，），AF＝，设D（m，﹣m2+m+2），则G（m，﹣m+2），DG＝﹣m2+2m，根据△F AE∽△GDE，即得＝＝﹣m2+m＝﹣（m ﹣2）2+，由二次函数性质即可得到答案；（3）设直线AC交BF于H，过H作HM⊥x轴于M，由AO＝1，OC＝2，OB＝4，AB ＝5可得△ABC为直角三角形，即BC⊥AC，又∠HBC＝45°，∠CHB＝45°，知CH＝BC＝2．AH＝3，根据△AOC∽△AMH，可得＝＝＝，即得AM ＝3AO＝3，MH＝3OC＝6，从而点H（2，6）．设直线BH的解析式为y＝kx+m（k≠0），用待定系数法可得直线BH的解析式为y＝﹣3x+12．联立直线BH和抛物线解析式即可得点F的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；在y＝﹣x2+x+2中，令x＝0得y＝2，∴C（0，2），设直线BC解析式为y＝kx+2，把B（4，0）代入得：4k+2＝0，解得k＝﹣，∴直线BC解析式为y＝﹣x+2；（2）过A作AF∥y轴交BC于F，过D作DG∥y轴交BC于G，如图：在y＝﹣x+2中，令x＝﹣1得y＝，∴F（﹣1，），AF＝，设D（m，﹣m2+m+2），则G（m，﹣m+2），∴DG＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，∵AF∥y轴，DG∥y轴，∴AF∥DG，∴∠AFE＝∠DGE，∠F AE＝∠EDG，∴△F AE∽△GDE，∴＝，∴＝＝﹣m2+m＝﹣（m﹣2）2+，∵﹣＜0，∴当m＝2时，最大值为；此时﹣m2+m+2＝﹣×22+×2+2＝3，∴D（2，3），答：D坐标是（2，3），最大值为；（3）设直线AC交BF于H，过H作HM⊥x轴于M，如图：∵AO＝1，OC＝2，OB＝4，AB＝5，∴AC＝＝，BC＝＝2，∴AC2+BC2＝25＝AB2，∴△ABC为直角三角形，即BC⊥AC，由题意可知∠HBC＝45°，∴∠CHB＝45°，∴CH＝BC＝2，∴AH＝3，∵OC∥MH，∴△AOC∽△AMH，∴＝＝＝，∴AM＝3AO＝3，MH＝3OC＝6，∴点H（2，6）．设直线BH的解析式为y＝kx+m（k≠0），则，解得，∴直线BH的解析式为y＝﹣3x+12．联立直线BH和抛物线解析式得：，解得：或，∴点F（5，﹣3）．24．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（4，0），B两点，与y轴正半轴交于点C （0，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P为直线AC上方抛物线上一点，PQ⊥AC，垂足为Q，若AQ＝3PQ，求点P的坐标．（3）点M为射线AC上一点，将△OMA绕点M旋转得到△O'MA'，若直线A'O'恰好经过D（，0），且tan∠AMA′＝，请直接写出此时直线OM与抛物线交点的横坐标.【考点】二次函数综合题．【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）过点P作PH⊥x轴交于H点，交AC于点G，由OA＝OC，得到∠OCB＝∠OAC ＝45°，再由等腰直角三角形的性质得到G点是PH的中点，设P（t，﹣t2+t+4），则G（t，﹣t2+t+2），将G点代入直线AC的解析式即可求t的值；（3）过点M作PM⊥OA交于P点，过M作MQ⊥O'A'交于Q点，由旋转可知MP＝MQ，∠PMQ＝∠AMA'，连接MD，则Rt△MPD≌Rt△MQD（HL），∠PMD＝∠QMD，再由tan∠AMA′＝，求出tan∠PMD＝，设M（n，﹣n+4），利用＝，求出M点坐标，再求直线OM与抛物线的交点横坐标即可．【解答】解：（1）将点A（4，0），C（0，4）代入y＝﹣x2+bx+c，∴，解得，∴y＝﹣x2+x+4；（2）过点P作PH⊥x轴交于H点，交AC于点G，∵OC＝OA＝4，∴∠OCB＝∠OAC＝45°，∵PQ⊥AC，∴GQ＝PQ，GH＝AH，∴PG＝PQ，∵AQ＝3PQ，∴AG＝2PQ，∴GH＝PQ，∴GH＝PG，∴G点是PH的中点，设P（t，﹣t2+t+4），则G（t，﹣t2+t+2），设直线AC的解析式为y＝kx+m，∴，解得，∴y＝﹣x+4，∴﹣t2+t+2＝﹣t+4，解得t＝2或t＝4（舍），∴P（2，4）；（3）如图1，过点M作PM⊥OA交于P点，过M作MQ⊥O'A'交于Q点，由旋转可知MP＝MQ，∠PMQ＝∠AMA'，连接MD，∵直线O'A'经过点D，点D在OA上，∴D点是直线OA与直线O'A'的交点，∴Rt△MPD≌Rt△MQD（HL），∴∠PMD＝∠QMD，如图2，在△ABC中，AD平分∠BAC，过D点作DE⊥AC交于E点，tan∠BAC＝，设BC＝7a，则AB＝24a，AC＝25a，∴DE＝BD，AE＝AB＝24a，∴EC＝a，在Rt△CDE中，CD2＝DE2+EC2，∴（7a﹣BD）2＝BD2+a2，解得BD＝a，∴tan∠BAD＝，∴tan∠PMD＝，设M（n，﹣n+4），∴＝，解得n＝或n＝，∴M（，）或（，），当点M（，）时，直线OM的解析式为y＝x，∴﹣x2+x+4＝x，解得x＝或x＝（舍）；当点M（，）时，直线OM的解析式为y＝x，∴﹣x2+x+4＝x，解得x＝或x＝（舍）；综上所述：直线OM与抛物线交点的横坐标是或．。
北师版九年级下册数学期末测试题及答案(2)
北师版九年级下册数学期末测试题及答案（2）(考试时间：120分钟 满分：120分)分数：____________一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项)1．下列函数中是二次函数的为 ( B )A ．y ＝3x －1B ．y ＝3x 2－1C ．y ＝(x ＋1)2－x 2D ．y ＝x 3＋2x －32．如图，在⊙O 中，AB ＝AC ，∠AOB ＝40°，则∠ADC 的度数是 ( C )A ．40°B ．30°C ．20°D ．15°第2题图3．已知二次函数y ＝2(x －3)2＋1.有下列说法：①其图象开口向下；②其图象的对称轴为直线x ＝－3；③其图象的顶点坐标为(3，－1)；④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小．其中正确的有 ( A )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，cos A ＝35 ，BE ＝2，则tan ∠DBE 的值为 ( B )A ．0.5B ．2C ．3D ．5第4题图5．在同一坐标系内，一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋8x ＋b 的图象可能是 ( C )A B C D6．如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于点A(－1，0)，与y 轴的交点B 在(0，－2)和(0，－1)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x ＝1.下列结论：①abc>0；②4a ＋2b ＋c>0；③4ac －b 2<－4a ；④13 <a<23 ；⑤b>c.其中正确的有 ( D )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第6题图二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．将二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 向左平移3个单位，向下平移1个单位，正好得到抛物线y ＝x 2，则b ＋c ＝__4__．8．如图所示，△ABC 的内切圆⊙O 与AB ，BC ，AC 分别相切于点D ，E ，F ，若∠DEF ＝52°，则∠A 的度数是__76°__．第8题图9．《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺(1尺＝10寸)，则该圆材的直径为__26__寸．第9题图10．(绵阳中考)如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m，水面下降2 m，水面宽度增加_m.第10题图11．如图，山脚下有一棵树AB，小强从点B沿山坡向上走50 m到达点D，用高为1.5 m仪器CD测得树顶的仰角为10°，已知山坡的坡角为15°，则树AB的高约为__23.2_m__(精确到0.1 m，参考数据：sin 10°≈0.17，cos 10°≈0.98，tan 10°≈0.18，sin 15°≈0.26，cos 15°≈0.97，tan 15°≈0.27).12．★如图，在菱形ABCD 中，sin D ＝45 ，E ，F 分别是AB 和CD上的点，BC ＝5，AE ＝CF ＝2，点P 是线段EF 上一点，则当△BPC是直角三角形时，CP 的长为11．选择、填空题答题卡一、选择题(每小题3分，共18分)二、填空题(每小题3分，共18分)得分：________7．__4__ 8.__76°__ 9.__26__10． 11.__23.2_m __ 12．11三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．计算：－22＋|12 －4|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13 －1 ＋2tan 60°. 解：原式＝－4＋4－2 3 ＋3＋2 3＝3.14．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，∠A ＝30°，D 是边AB 上一点，∠BDC ＝45°，AD ＝4，求BC 的长(结果保留根号).解：∵∠B ＝90°，∠BDC ＝45°，∴△BCD 为等腰直角三角形，∴BD ＝BC.在Rt △ABC 中，tan A ＝tan 30°＝BC AB ，即BCBC ＋4 ＝33 ，解得BC ＝2( 3 ＋1).5．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠B ＝50°，∠ACD ＝25°，∠BAD ＝65°，求证：(1)AD ＝CD ；(2)AB 是⊙O 的直径．证明：(1)∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠ADC ＝180°－∠B ＝130°.∵∠ACD ＝25°，∴∠DAC ＝180°－∠ACD －∠D ＝25°， ∴∠DAC ＝∠ACD ，∴AD ＝CD.(2)∵∠BAC ＝∠BAD －∠DAC ＝40°，∠B ＝50°，∴∠ACB ＝180°－∠B －∠BAC ＝90°.∴AB 为⊙O 的直径．16．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，D 是AC 弧的中点，在下列图中使用无刻度的直尺按要求画图．(1)在图①中，画出△ABC 中AC 边上的中线；(2)在图②中，画出△ABC 中AB 边上的中线．解：(1)如图①所示，BE 即为所求；(2)如图②所示，CF 即为所求．17．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2，以B 为圆心，BC 长为半径画弧交AD 于点F ，若CF 的长为2π3 .(1)求圆心角∠CBF 的度数；(2)求图中阴影部分的面积．(结果保留根号及π的形式)解：(1)由弧长公式得n π·2180 ＝2π3， 解得n ＝60，即∠CBF ＝60°.(2)∠ABF ＝90°－∠CBF＝90°－60°＝30°，∴AF ＝12BF ＝1，∴DF ＝1，AB ＝ 3 ， S 阴影＝S 梯形BCDF －S 扇形BCF＝12 ×(1＋2)× 3 －60π·22360＝332 －2π3. 四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．(2020·北京)如图，AB 为⊙O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 是⊙O 的切线，D 为切点，OF ⊥AD 于点E ，交CD 于点F.(1)求证：∠ADC ＝∠AOF ； (2)★若sin C ＝13 ，BD ＝8，则EF 的长为__2__．(1)证明：连接OD ，∵CD 是⊙O 的切线，∴CD ⊥OD ，∴∠ODA ＋∠ADC ＝90°.∵OF ⊥AD ，∴∠DOF ＋∠ODA ＝90°，∴∠ADC ＝∠DOF ，∵OD ＝OA ，OE ⊥AD ，∴OF 平分∠AOD ，∴∠AOF ＝∠DOF ，∴∠ADC ＝∠AOF.19．黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需60元；购进2件甲商品和3件乙商品，需65元．(1)甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？(2)设甲商品的销售单价为x(单位：元/件)，在销售过程中发现：当11≤x ≤19时，甲商品的日销售量y(单位：件)与销售单价x 之间存在一次函数关系，x ，y 之间的部分数值对应关系如下表：请写出当11≤x ≤19时，y 与x 之间的函数关系式；解：(1)设甲、乙两种商品的进货单价分别是a ，b 元/件， 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝60，2a ＋3b ＝65， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10，b ＝15. ∴甲、乙两种商品的进货单价分别是10，15元/件．(2)由题易得y 与x 之间的函数关系式为y ＝－2x ＋40(11≤x ≤19).(3)在(2)的条件下，设甲商品的日销售利润为w 元，当甲商品的销售单价x(元/件)定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？解：由题意，得w＝(－2x＋40)(x－10)＝－2x2＋60x－400＝－2(x－15)2＋50(11≤x≤19).∴当x＝15时，w取得最大值为50.∴当甲商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大，最大利润是50元．20．图①是一个演讲台的侧面示意图，支架是线段AD和弧BC，AB 为台面，CD在水平地面上，BD⊥CD.线段AB＝30 cm，∠ADC＝75°，∠DAB＝60°.(1)求台面上点B处的高度(结果精确到1 cm)(参考数据：cos 75°≈0.26， 3 ≈1.73)；(2)★如图②，若弧BC所在圆的圆心为点O在CD的延长线上，且OD＝CD，则支架BC的长度为9__cm(结果保留根号).解：(1)过点B作BE⊥AD于点E，在Rt△ABE中，AB＝30 cm，∠DAB＝60°，∴BE＝AB·sin ∠DAB＝30×32＝15 3 (cm).∵BD⊥DC，∠ADC＝75°，∴∠ADB＝15°，∴∠EBD＝75°.在Rt△DBE中，BD＝BEcos ∠EBD≈1530.26≈98(cm).五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．如图，已知△ABC的面积为2 400 cm2，底边BC长为80 cm，若点D在BC边上，点E在AC边上，点F在AB边上，且四边形BDEF 为平行四边形，设BD＝x cm，S▱BDEF＝y cm2，求：(1)y与x之间的函数关系式；(2)自变量x的取值范围；(3)当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？解：(1)过点A作AH⊥BC，垂足为点H，交EF于点G.∵△ABC的面积为2 400 cm2，BC＝80 cm，∴AH＝2 400×2÷80＝60 cm，∵四边形BDEF为平行四边形，∴EF∥BC，EF＝BD＝x，△AEF∽△ACB，∴AGAH＝EFBC，即AG＝34x，∴GH＝60－34x.∴y＝x⎝⎛⎭⎪⎫60－34x＝－34x2＋60x.(2)自变量x的取值范围是0<x<80.(3)∵y ＝－34 x 2＋60x ＝－34(x －40)2＋1 200， ∴当x ＝40时，y 有最大值，最大值是1 200.22．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，D 是BC 的中点，过点D 作直线AC 的垂线，垂足为F ，交AB 的延长线于点E.(1)求证：EF 是⊙O 的切线；(2)★若tan A ＝43 ，AF ＝6，则⊙O 的半径为__154 __.(1)证明：连接OD.∵D 是BC 的中点，∴BD ＝DC .∴∠1＝∠2＝12∠BOC. ∵∠A ＝12∠BOC ，∴∠A ＝∠1，∴OD ∥AF. ∵EF ⊥AF ，∴EF ⊥OD.∴EF 是⊙O 的切线．六、(本大题共12分)23．两条抛物线C 1∶y 1＝3x 2－6x －1与C 2∶y 2＝x 2－mx ＋n 的顶点相同．(1)求抛物线C 2的表达式；(2)★如图，若点A 是抛物线C 2在第四象限内图象上的一动点，过A点作AP ⊥x 轴，P 为垂足，则AP ＋OP 的最大值为__214__； (3)设抛物线C 2的顶点为点C ，点B 的坐标为(－1，－4)，问在C 2的对称轴上l 是否存在点Q ，使线段QB 绕点Q 顺时针旋转90°得到线段QB ′，且点B′恰好落在抛物线C 2上？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．题图答图解：(1)由题易得抛物线C2的表达式为y2＝x2－2x－3.(3)假设C2的对称轴上存在点Q，过点B′作B′D⊥l于点D，如答图．∴∠B′DQ＝90°，①当点Q在顶点C的下方时，∵B(－1，－4)，C(1，－4)，抛物线的对称轴为x＝1，∴BC⊥l，BC＝2，∠BCQ＝90°，∴△BCQ≌△QDB′(AAS)∴B′D＝CQ，QD＝BC，设点Q(1，b)，∴B′D＝CQ＝－4－b，QD＝BC＝2，可知B′(－3－b，2＋b)，∴(－3－b)2－2(－3－b)－3＝2＋b，整理得b2＋7b＋10＝0，解得b＝－2或b＝－5，∵b<－4，∴Q(1，－5)，②当点Q在顶点C的上方时，同理可得Q(1，－2)；综上所述：Q(1，－5)或Q(1，－2).。
北师大版九年级下册数学期末试卷含答案解析
北师大版九年级下册数学期末试卷含答案解析一．选择题（共10小题）1．下列式子错误的是（）A．cos40°=sin50°B．tan15°•tan75°=1C．sin225°+cos225°=1 D．sin60°=2sin30°2．一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（）A．斜坡AB的坡度是10°B．斜坡AB的坡度是tan10°B．C．AC=1.2tan10°米D．AB=米3．已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=，AC=1，那么∠A的正切tanA等于（）A．B．2 C．D．4．函数y=k（x﹣k）与y=kx2，y=（k≠0），在同一坐标系上的图象正确的是（）A． B．C．D．5．若抛物线y=x2﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（）A．y=（x﹣2）2+3 B．y=（x﹣2）2+5 C．y=x2﹣1 D．y=x2+46．若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c=0的解为（）A．x1=﹣3，x2=﹣1 B．x1=1，x2=3 C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣3，x2=17．如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON=（）A．5 B．7 C．9 D．118．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB=40°，则∠ABD与∠AOD分别等于（）A．40°，80°B．50°，100°C．50°，80°D．40°，100°9．已知⊙O的半径OD垂直于弦AB，交AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，若AB=8，CD=2，则△BCE 的面积为（）A．12 B．15 C．16 D．1810．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＜0；②c＞0；③a+c＜b；④b2﹣4ac＞0，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题（共10小题）11．在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则sinA的值是．12．在将Rt△ABC中，∠A=90°，∠C：∠B=1：2，则sinB=．13．已知cosα=，则的值等于．14．已知抛物线y=ax2﹣3x+c（a≠0）经过点（﹣2，4），则4a+c﹣1=．15．若二次函数y=2x2﹣4x﹣1的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，则+的值为．16．已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y=﹣x+3上，设点M坐标为（a，b），则y=﹣abx2+（a+b）x的顶点坐标为．17．若⊙O的直径为2，OP=2，则点P与⊙O的位置关系是：点P在⊙O．18．如图，⊙O的直径CD=20cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，若OM=6cm，则AB的长为cm．19．已知AB、BC是⊙O的两条弦，AB=AC，∠AOB=120°，则∠CAB的度数是．20．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，且P=|2a+b|+|3b﹣2c|，Q=|2a﹣b|﹣|3b+2c|，则P，Q的大小关系是．三．解答题（共10小题）21．计算：．22．如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．（1）求线段CD的长；（2）求cos∠ABE的值．23．已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．（1）求证：AB=AC；（2）若AB=4，BC=2，求CD的长．24．如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，C为的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC、BC．（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD=2，AC=，求AB的长．25．如图，AB是⊙O的弦，点C为半径OA的中点，过点C作CD⊥OA交弦AB于点E，连接BD，且DE=DB．（1）判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若CD=15，BE=10，tanA=，求⊙O的直径．26．某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？27．为了增强学生体质，学校鼓励学生多参加体育锻炼，小胖同学马上行动，每天围绕小区进行晨跑锻炼．该小区外围道路近似为如图所示四边形ABCD，已知四边形ABED是正方形，∠DCE=45°，AB=100米．小胖同学某天绕该道路晨跑5圈，时间约为20分钟，求小胖同学该天晨跑的平均速度约为多少米/分？（结果保留整数，≈1.41）28．据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过15m/s，在一条笔直公路BD的上方A处有一探测仪，如平面几何图，AD=24m，∠D=90°，第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得∠ABD=31°，2秒后到达C点，测得∠ACD=50°（tan31°≈0.6，tan50°≈1.2，结果精确到1m）（1）求B，C的距离．（2）通过计算，判断此轿车是否超速．29．如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D．（1）求此抛物线的解析式．（2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴．（3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．30．在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．（1）请直接写出点A，C，D的坐标；（2）如图（1），在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；（3）如图（2），F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．北师大版九年级下册数学期末试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2016•永州）下列式子错误的是（）A．cos40°=sin50°B．tan15°•tan75°=1C．sin225°+cos225°=1 D．sin60°=2sin30°【分析】根据正弦和余弦的性质以及正切、余切的性质即可作出判断．【解答】解：A、sin40°=sin（90°﹣50°）=cos50°，式子正确；B、tan15°•tan75°=tan15°•cot15°=1，式子正确；C、sin225°+cos225°=1正确；D、sin60°=，sin30°=，则sin60°=2sin30°错误．故选D．【点评】本题考查了互余两个角的正弦和余弦之间的关系，以及同角之间的正切和余切之间的关系，理解性质是关键．2．（2016•巴中）一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（）A．斜坡AB的坡度是10°B．斜坡AB的坡度是tan10°C．AC=1.2tan10°米D．AB=米【分析】根据坡度是坡角的正切值，可得答案．【解答】解：斜坡AB的坡度是tan10°=，故B正确；故选：B．【点评】本题考查了坡度坡角，利用坡度是坡角的正切值是解题关键．3．（2016•钦州校级自主招生）已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=，AC=1，那么∠A的正切tanA等于（）A．B．2 C．D．【分析】根据勾股定理求出BC，根据正切的定义计算即可．【解答】解：∵∠C=90°，AB=，AC=1，∴BC==2，则tanA==2，故选：B．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切是解题的关键．4．（2016•赤峰）函数y=k（x﹣k）与y=kx2，y=（k≠0），在同一坐标系上的图象正确的是（）A． B．C．D．【分析】将一次函数解析式展开，可得出该函数图象与y轴交于负半轴，分析四个选项可知，只有C选项符合，由此即可得出结论．【解答】解：一次函数y=k（x﹣k）=kx﹣k2，∵k≠0，∴﹣k2＜0，∴一次函数与y轴的交点在y轴负半轴．A、一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴，A不正确；B、一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴，B不正确；C、一次函数图象与y轴交点在y轴负半轴，C可以；D、一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴，D不正确．故选C．【点评】本题考查了一次函数的图象，解题的关键是分析一次函数图象与y轴的交点．本题属于基础题，难度不大，解决该题时，由一次函数与y轴的交点即可排除了A、B、D三个选项，因此只需分析一次函数图象即可得出结论．5．（2016•眉山）若抛物线y=x2﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（）A．y=（x﹣2）2+3 B．y=（x﹣2）2+5 C．y=x2﹣1 D．y=x2+4【分析】思想判定出抛物线的平移规律，根据左加右减，上加下减的规律即可解决问题．【解答】解：将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，这个相当于把抛物线向左平移有关单位，再向下平移3个单位，∵y=（x﹣1）2+2，∴原抛物线图象的解析式应变为y=（x﹣1+1）2+2﹣3=x2﹣1，故答案为C．【点评】本题考查二次函数图象的平移，解题的关键是理解坐标系的平移和抛物线的平移是反方向的，记住左加右减，上加下减的规律，属于中考常考题型．6．（2016•宿迁）若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c=0的解为（）A．x1=﹣3，x2=﹣1 B．x1=1，x2=3 C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣3，x2=1【分析】直接利用抛物线与x轴交点求法以及结合二次函数对称性得出答案．【解答】解：∵二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），∴方程ax2﹣2ax+c=0一定有一个解为：x=﹣1，∵抛物线的对称轴为：直线x=1，∴二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象与x轴的另一个交点为：（3，0），∴方程ax2﹣2ax+c=0的解为：x1=﹣1，x2=3．故选：C．【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确应用二次函数对称性是解题关键．7．（2016•黄石）如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON=（）A．5 B．7 C．9 D．11【分析】根据⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，可以求得AN的长，从而可以求得ON的长．【解答】解：由题意可得，OA=13，∠ONA=90°，AB=24，∴AN=12，∴ON=，故选A．【点评】本题考查垂径定理，解题的关键是明确垂径定理的内容，利用垂径定理解答问题．8．（2016•巴彦淖尔）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB=40°，则∠ABD与∠AOD分别等于（）A．40°，80°B．50°，100°C．50°，80°D．40°，100°【分析】求出∠AEC=90°，根据三角形内角和定理求出∠C=50°，根据圆周角定理即可求出∠ABD，根据OB=OD 得出∠ABD=∠ODB=50°，根据三角形外角性质求出即可．【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠AEC=90°，∵∠CAB=40°，∴∠C=50°，∴∠ABD=∠C=50°，∵OB=OD，∴∠ABD=∠ODB=50°，∴∠AOD=∠ABD+∠ODB=100°，故选B．【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理的应用，能熟记圆周角定理的内容是解此题的关键．9．（2016•丹阳市校级一模）已知⊙O的半径OD垂直于弦AB，交AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，若AB=8，CD=2，则△BCE的面积为（）A．12 B．15 C．16 D．18【分析】设OC=x，根据垂径定理可得出AC=4，利用勾股定理可得出关于x的一元二次方程，解方程求出x的值，进而得出OC的长度，再根据三角形的中位线的性质以及三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：依照题意画出图形，如图所示．设OC=x，则OA=OD=x+2，∵OD⊥AB于C，∴在Rt△OAC中，OC2+AC2=OA2，即x2+42=（x+2）2，解得x=3，即OC=3，∵OC为△ABE的中位线，∴BE=2OC=6．∵AE是⊙O的直径，∴∠B=90°，∴．故选A．【点评】本题考查了垂径定理、三角形的中位线以及三角形的面积，解题的关键是求出BE的长度．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据勾股定理找出方程是关键．10．（2016•常德）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＜0；②c＞0；③a+c＜b；④b2﹣4ac＞0，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由二次函数的开口方向，对称轴0＜x＜1，以及二次函数与y的交点在x轴的上方，与x轴有两个交点等条件来判断各结论的正误即可．【解答】解：∵二次函数的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴，∴a＜0，c＞0，故②正确；∵0＜﹣＜1，∴b＞0，故①错误；当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，故③正确；∵二次函数与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，故④正确正确的有3个，故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．二．填空题（共10小题）11．（2016•永春县模拟）在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则sinA的值是．【分析】利用锐角三角函数的定义求解，sinA为∠A的对边比斜边，求出即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，∴sinA==．故答案为．【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．12．（2016•株洲模拟）在将Rt△ABC中，∠A=90°，∠C：∠B=1：2，则sinB=．【分析】根据题意和三角形内角和定理求出∠B的度数，根据正弦的定义解答即可．【解答】解：∵∠A=90°，∴∠C+∠B=90°，又∠C：∠B=1：2，∴∠B=60°，∴sinB=，故答案为：．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义、三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．13．（2016•雅安校级模拟）已知cosα=，则的值等于0．【分析】先利用tanα=得到原式==，然后把cosα=代入计算即可．【解答】解：∵tanα=，∴==，∵cosα=，∴==0．故答案为0．【点评】本题考查了同角三角函数的关系：平方关系：sin2A+cos2A=1；正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=或sinA=tanA•cosA．14．（2016•牡丹江）已知抛物线y=ax2﹣3x+c（a≠0）经过点（﹣2，4），则4a+c﹣1=﹣3．【分析】将点（﹣2，4）代入y=ax2﹣3x+c（a≠0），即可求得4a+c的值，进一步求得4a+c﹣1的值．【解答】解：把点（﹣2，4）代入y=ax2﹣3x+c，得4a+6+c=4，∴4a+c=﹣2，∴4a+c﹣1=﹣3，故答案为﹣3．【点评】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，点在函数上，将点代入解析式即可．15．（2016•泸州）若二次函数y=2x2﹣4x﹣1的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，则+的值为﹣4．【分析】设y=0，则对应一元二次方程的解分别是点A和点B的横坐标，利用根与系数的关系即可求出+的值．【解答】解：设y=0，则2x2﹣4x﹣1=0，∴一元二次方程的解分别是点A和点B的横坐标，即x1，x2，∴x1+x2=﹣=2，x1，•x2=﹣，∴+==﹣4，故答案为：﹣4．【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数与x轴的交点的横坐标就是对应的一元二次方程的根是解题关键．16．（2016•邯郸校级自主招生）已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y=﹣x+3上，设点M坐标为（a，b），则y=﹣abx2+（a+b）x的顶点坐标为（±，）．【分析】根据反比例函数和一次函数的性质解题．【解答】解：∵M、N两点关于y轴对称，∴M坐标为（a，b），N为（﹣a，b），分别代入相应的函数中得，b=①，a+3=b②，∴ab=，（a+b）2=（a﹣b）2+4ab=11，a+b=±，∴y=﹣x2±x，∴顶点坐标为（=±，=），即（±，）．故答案为：（±，）．【点评】主要考查了函数的性质和求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法．解题关键是先求出ab，a+b的值，整体代入求出函数的解析式．17．（2016秋•南京期中）若⊙O的直径为2，OP=2，则点P与⊙O的位置关系是：点P在⊙O外．【分析】由条件可求得圆的半径为1，由条件可知点P到圆心的距离大于半径，可判定点P在圆外．【解答】解：∵⊙O的直径为2，∴⊙O的半径为1，∵OP=2＞1，∴点P在⊙O外，故答案为：外．【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，利用点到圆心的距离d与半径r的大小关系判定点与圆的位置关系是解题的关键．18．（2016•绥化）如图，⊙O的直径CD=20cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，若OM=6cm，则AB的长为16cm．【分析】连接OA，根据垂径定理求出AB=2AM，已知OA、OM，根据勾股定理求出AM即可．【解答】解：连接OA，∵⊙O的直径CD=20cm，∴OA=10cm，在Rt△OAM中，由勾股定理得：AM==8cm，∴由垂径定理得：AB=2AM=16cm．故答案为：16．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是构造直角三角形．19．（2016•香坊区模拟）已知AB、BC是⊙O的两条弦，AB=AC，∠AOB=120°，则∠CAB的度数是15°或75°．【分析】①若点C在优弧AB上，根据AB=AC设AC=2x、AB=x，作OD⊥AB、作OE⊥AC，由∠AOB=120°、OA=OB得∠OAD=30°，在Rt△OAD中可得OA=x，在Rt△OAE中由cos∠OAE=可得∠OAE度数，继而根据∠CAB=∠OAB+∠OAE可得∠CAB度数；②当点C在劣弧AB上时，与（1）同理可得∠OAB=30°，∠OAE=45°，根据∠CAB=∠OAE﹣∠OAD可得此时∠CAB的度数，即可得答案．【解答】解：①如图1，若点C在优弧AB上，∵AB=AC，∴设AC=2x，则AB=x，过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，∴AD=AB=x，AE=AC=x，∵∠AOB=120°，OA=OB，∴∠OAD=30°，在Rt△OAD中，OA===x，在Rt△OAE中，cos∠OAE===，∴∠OAE=45°，∴∠CAB=∠OAB+∠OAE=75°；②如图2，当点C在劣弧AB上时，由①知，∠OAB=30°，∠OAE=45°，∴∠CAB=∠OAE﹣∠OAD=15°，故答案为：15°或75°．【点评】本题主要考查垂径定理及三角函数的应用，熟练掌握垂径定理是解题的关键．20．（2016•内江）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，且P=|2a+b|+|3b﹣2c|，Q=|2a﹣b|﹣|3b+2c|，则P，Q 的大小关系是P＞Q．【分析】由函数图象可以得出a＜0，b＞0，c＞0，当x=1时，y=a+b+c＞0，x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，由对称轴得出2a+b=0，通过确定绝对值中的数的符号后去掉绝对值再化简就可以求出P、Q的值．【解答】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵﹣＞0，∴b＞0，∴2a﹣b＜0，∵﹣=1，∴b+2a=0，x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0．∴﹣b﹣b+c＜0，∴3b﹣2c＞0，∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0，∴3b+2c＞0，∴p=3b﹣2c，Q=b﹣2a﹣3b﹣2c=﹣2a﹣2b﹣2c，∴Q﹣P=﹣2a﹣2b﹣2c﹣3b+2c=﹣2a﹣5b=﹣4b＜0∴P＞Q，故答案为：P＞Q．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，去绝对值，二次函数的性质．熟记二次函数的性质是解题的关键．三．解答题（共10小题）21．（2016•金华校级模拟）计算：．【分析】先根据二次根式的化简、负整数指数幂、特殊角的三角函数值及0指数幂把原式化简，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．【解答】解：原式=2+2﹣4×﹣1，=2+2﹣2﹣1，=1．故答案为：1．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂及二次根式等考点的运算．22．（2016•江西模拟）如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．（1）求线段CD的长；（2）求cos∠ABE的值．【分析】（1）在△ABC中根据正弦的定义得到sinA==，则可计算出AB=10，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CD=AB=5；（2）在Rt△ABC中先利用勾股定理计算出AC=6，在根据三角形面积公式得到S△BDC=S△ADC，则S△BDC=S△ABC，即CD•BE=•AC•BC，于是可计算出BE=，然后在Rt△BDE中利用余弦的定义求解．【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠ACB=90°，∴sinA==，而BC=8，∴AB=10，∵D是AB中点，∴CD=AB=5；（2）在Rt△ABC中，∵AB=10，BC=8，∴AC==6，∵D是AB中点，∴BD=5，S△BDC=S△ADC，∴S△BDC=S△ABC，即CD•BE=•AC•BC，∴BE==，在Rt△BDE中，cos∠DBE===，即cos∠ABE的值为．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式．23．（2016•宁夏）已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．（1）求证：AB=AC；（2）若AB=4，BC=2，求CD的长．【分析】（1）由等腰三角形的性质得到∠EDC=∠C，由圆外接四边形的性质得到∠EDC=∠B，由此推得∠B=∠C，由等腰三角形的判定即可证得结论；（2）连接AE，由AB为直径，可证得AE⊥BC，由（1）知AB=AC，证明△CDE∽△CBA后即可求得CD的长．【解答】（1）证明：∵ED=EC，∴∠EDC=∠C，∵∠EDC=∠B，∴∠B=∠C，∴AB=AC；（2）方法一：解：连接AE，∵AB为直径，∴AE⊥BC，由（1）知AB=AC，∴BE=CE=BC=，∵△CDE∽△CBA，∴，∴CE•CB=CD•CA，AC=AB=4，∴•2=4CD，∴CD=．方法二：解：连接BD，∵AB为直径，∴BD⊥AC，设CD=a，由（1）知AC=AB=4，则AD=4﹣a，在Rt△ABD中，由勾股定理可得：BD2=AB2﹣AD2=42﹣（4﹣a）2在Rt△CBD中，由勾股定理可得：BD2=BC2﹣CD2=（2）2﹣a2∴42﹣（4﹣a）2=（2）2﹣a2整理得：a=，即：CD=．【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．24．（2016•漳州）如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，C为的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC、BC．（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD=2，AC=，求AB的长．【分析】（1）连接OC，由C为的中点，得到∠1=∠2，等量代换得到∠2=∠ACO，根据平行线的性质得到OC ⊥CD，即可得到结论；（2）连接CE，由勾股定理得到CD==，根据切割线定理得到CD2=AD•DE，根据勾股定理得到CE==，由圆周角定理得到∠ACB=90°，即可得到结论．【解答】解：（1）相切，连接OC，∵C为的中点，∴∠1=∠2，∵OA=OC，∴∠1=∠ACO，∴∠2=∠ACO，∴AD∥OC，∵CD⊥AD，∴OC⊥CD，∴直线CD与⊙O相切；（2）方法1：连接CE，∵AD=2，AC=，∵∠ADC=90°，∴CD==，∵CD是⊙O的切线，∴CD2=AD•DE，∴DE=1，∴CE==，∵C为的中点，∴BC=CE=，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AB==3．方法2：∵∠DCA=∠B，易得△ADC∽△ACB，∴=，∴AB=3．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，平行线的性质，切割线定理，熟练掌握各定理是解题的关键．25．（2016•随州）如图，AB是⊙O的弦，点C为半径OA的中点，过点C作CD⊥OA交弦AB于点E，连接BD，且DE=DB．（1）判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若CD=15，BE=10，tanA=，求⊙O的直径．【分析】（1）连接OB，由圆的半径相等和已知条件证明∠OBD=90°，即可证明BD是⊙O的切线；（2）过点D作DG⊥BE于G，根据等腰三角形的性质得到EG=BE=5，由两角相等的三角形相似，△ACE∽△DGE，利用相似三角形对应角相等得到sin∠EDG=sinA=，在Rt△EDG中，利用勾股定理求出DG的长，根据三角形相似得到比例式，代入数据即可得到结果．【解答】（1）证明：连接OB，∵OB=OA，DE=DB，∴∠A=∠OBA，∠DEB=∠ABD，又∵CD⊥OA，∴∠A+∠AEC=∠A+∠DEB=90°，∴∠OBA+∠ABD=90°，∴OB⊥BD，∴BD是⊙O的切线；（2）如图，过点D作DG⊥BE于G，∵DE=DB，∴EG=BE=5，∵∠ACE=∠DGE=90°，∠AEC=∠GED，∴∠GDE=∠A，∴△ACE∽△DGE，∴sin∠EDG=sinA==，即DE=13，在Rt△ECG中，∵DG==12，∵CD=15，DE=13，∴CE=2，∵△ACE∽△DGE，∴=，∴AC=•DG=，∴⊙O的直径2OA=4AC=．【点评】此题考查了切线的判定，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．26．（2016•丹东）某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？【分析】（1）函数的表达式为y=kx+b，把点（12，74），（28，66）代入解方程组即可．（2）列出方程解方程组，再根据实际意义确定x的值．（3）构建二次函数，利用二次函数性质解决问题．【解答】解：（1）设函数的表达式为y=kx+b，该一次函数过点（12，74），（28，66），得，解得，∴该函数的表达式为y=﹣0.5x+80，（2）根据题意，得，（﹣0.5x+80）（80+x）=6750，解得，x1=10，x2=70∵投入成本最低．∴x2=70不满足题意，舍去．∴增种果树10棵时，果园可以收获果实6750千克．（3）根据题意，得w=（﹣0.5x+80）（80+x）=﹣0.5 x2+40 x+6400=﹣0.5（x﹣40）2+7200∵a=﹣0.5＜0，则抛物线开口向下，函数有最大值∴当x=40时，w最大值为7200千克．∴当增种果树40棵时果园的最大产量是7200千克．【点评】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建二次函数解决实际问题中的最值问题，属于中考常考题型．27．（2016•湘潭）为了增强学生体质，学校鼓励学生多参加体育锻炼，小胖同学马上行动，每天围绕小区进行晨跑锻炼．该小区外围道路近似为如图所示四边形ABCD，已知四边形ABED是正方形，∠DCE=45°，AB=100米．小胖同学某天绕该道路晨跑5圈，时间约为20分钟，求小胖同学该天晨跑的平均速度约为多少米/分？（结果保留整数，≈1.41）【分析】首先利用勾股定理求出CD的长度，然后求出小胖每天晨跑的路程，进而求出平均速度．【解答】解：∵ABED是正方形，∠DCE=45°，AB=100米，∴DE=CE=100米，在直角三角形DEC中，DC2=DE2+CE2，即DC=100，∴四边形ABCD的周长为100+100+100+100+100=400+100，∵小胖同学某天绕该道路晨跑5圈，时间约为20分钟，∴小胖每天晨跑的路程为（2000+500）米，∴小胖同学该天晨跑的平均速度（2000+500）÷20=100+25≈135.25米/分．【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是利用勾股定理求出DC的长度，此题难度不大．28．（2016•六盘水）据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过15m/s，在一条笔直公路BD的上方A处有一探测仪，如平面几何图，AD=24m，∠D=90°，第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得∠ABD=31°，2秒后到达C点，测得∠ACD=50°（tan31°≈0.6，tan50°≈1.2，结果精确到1m）（1）求B，C的距离．（2）通过计算，判断此轿车是否超速．【分析】（1）在直角三角形ABD与直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出BD与CD的长，由BD﹣CD 求出BC的长即可；（2）根据路程除以时间求出该轿车的速度，即可作出判断．【解答】解：（1）在Rt△ABD中，AD=24m，∠B=31°，∴tan31°=，即BD==40m，在Rt△ACD中，AD=24m，∠ACD=50°，∴tan50°=，即CD==20m，∴BC=BD﹣CD=40﹣20=20m，则B，C的距离为20m；（2）根据题意得：20÷2=10m/s＜15m/s，则此轿车没有超速．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．29．（2016•六盘水）如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D．（1）求此抛物线的解析式．（2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴．（3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），可以求得抛物线的解析式；（2）根据（1）中的解析式化为顶点式，即可得到此抛物线顶点D的坐标和对称轴；（3）首先写出存在，然后运用分类讨论的数学思想分别求出各种情况下点P的坐标即可．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），∴，解得，，即此抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3；（2）∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴此抛物线顶点D的坐标是（1，﹣4），对称轴是直线x=1；（3）存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形，设点P的坐标为（1，y），当PA=PD时，=，解得，y=﹣，即点P的坐标为（1，﹣）；当DA=DP时，=，解得，y=﹣4±，即点P的坐标为（1，﹣4﹣2）或（1，﹣4+）；当AD=AP时，=，解得，y=±4，即点P的坐标是（1，4）或（1，﹣4），当点P为（1，﹣4）时与点D重合，故不符合题意，由上可得，以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（1，﹣）或（1，﹣4﹣2）或（1，﹣4+）或（1，4）．【点评】本题考查二次函数综合题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答问题．30．（2016•河池）在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．（1）请直接写出点A，C，D的坐标；（2）如图（1），在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；（3）如图（2），F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）令抛物线解析式中y=0，解关于x的一元二次方程即可得出点A、B的坐标，再令抛物线解析式中x=0求出y值即可得出点C坐标，利用配方法将抛物线解析式配方即可找出顶点D的坐标；（2）作点C关于x轴对称的点C′，连接C′D交x轴于点E，此时△CDE的周长最小，由点C的坐标可找出点C′的坐标，根据点C′、D的坐标利用待定系数法即可求出直线C′D的解析式，令其y=0求出x值，即可得出点E的坐标；（3）根据点A、C的坐标利用待定系数法求出直线AC的解析式，假设存在，设点F（m，m+3），分∠PAF=90°、∠AFP=90°和∠APF=90°三种情况考虑．根据等腰直角三角形的性质结合点A、F点的坐标找出点P的坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出关于m的一元二次方程，解方程求出m值，再代入点P坐标中即可得出结论．【解答】解：（1）当y=﹣x2﹣2x+3中y=0时，有﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，∵A在B的左侧，∴A（﹣3，0），B（1，0）．当y=﹣x2﹣2x+3中x=0时，则y=3，∴C（0，3）．∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，∴顶点D（﹣1，4）．（2）作点C关于x轴对称的点C′，连接C′D交x轴于点E，此时△CDE的周长最小，如图1所示．∵C（0，3），∴C′（0，﹣3）．设直线C′D的解析式为y=kx+b，则有，解得：，∴直线C′D的解析式为y=﹣7x﹣3，当y=﹣7x﹣3中y=0时，x=﹣，∴当△CDE的周长最小，点E的坐标为（﹣，0）．（3）设直线AC的解析式为y=ax+c，则有，解得：，∴直线AC的解析式为y=x+3．假设存在，设点F（m，m+3），△AFP为等腰直角三角形分三种情况（如图2所示）：①当∠PAF=90°时，P（m，﹣m﹣3），∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上，∴﹣m﹣3=﹣m2﹣2m+3，解得：m1=﹣3（舍去），m2=2，此时点P的坐标为（2，﹣5）；②当∠AFP=90°时，P（2m+3，0）∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上，∴0=﹣（2m+3）2﹣2×（2m+3）+3，解得：m3=﹣3（舍去），m4=﹣1，此时点P的坐标为（1，0）；③当∠APF=90°时，P（m，0），∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上，∴0=﹣m2﹣2m+3，解得：m5=﹣3（舍去），m6=1，此时点P的坐标为（1，0）．综上可知：在抛物线上存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形，点P的坐标为（2，﹣5）或（1，0）．【点评】本题考查了解一元二次方程、待定系数法求函数解析式以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是：（1）根据二次函数图象上点的坐标特征求出点A、B、C的坐标，利用配方法求出顶点坐标；（2）找出点E的位置；（3）分∠PAF=90°、∠AFP=90°和∠APF=90°三种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用一次函数图象上点的坐标特征设出点F的坐标，再根据等腰直角三角形的性质表示出点P的坐标是关键．。