数学建模-灰色预测方法
灰色理论关联度与预测,数学建模必备知识,很实用哦
X m {xm ( jm )} | jm 1, 2,..., nm} 比较序列
灰色关联分析3
设x0(k)为X0（为参考序列）的第k个数；xi(k) 为Xi（比较序列）的第k个数；
则比较序列Xi对参考序列X0的灰色关联度为：
(X0 ,
Xi )
1 n
n k 1
r(x0 (k),
度，根据经验，当ρ=0.5时，关联度大于0.6便 满意了。
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（3）后验差检验 a.计算原始序列标准差:
X 0 i X 0 2
S1
n 1
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b. 计算绝对误差序列的标准差：
0 i 0 2
S2
X 0 t ,
3
X 0 t ,...,
n
X 0 t
t1
t 1
t 1
t 1
目录
基本概念 灰色关联分析 灰色预测模型
灰色关联分析1
基本特征
建立的模型属于非函数形式的序列模型 计算方便易行 对样本数量多寡没有严格要求 不要求序列数据必须符合正态分布 不会产生与定性分析大相径庭的结论
n 1
c. 计算方差比：
C S2 S1
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d. 计算小误差概率：
P P 0i 0 0.6745S1
令: 则：
ei 0i 0 ， S0 0.6745S1 P Pei S0
P >0.95 >0.80 >0.70 ≤0.70
灰色关联分析3
灰色关联度的数学模型
X 0 {x0 ( j0 )} | j0 1, 2,..., n0} X1 {x1( j1)} | j1 1, 2,..., n1} X 2 {x2 ( j2 )} | j2 1, 2,..., n2}
灰色预测模型
灰色系统模型（Grey Model,GM）一：解决的关键问题 （所谓灰色系统是指部分信息已知而部分信息未知的系统，灰色系统所要考察和研究的是对信息不完备的系统，通过已知信息来研究和预测未知领域从而达到了解整个系统的目的）灰色系统模型作为一种预测方法广泛应用于工程控制，经济管理，社会系统等众多领域。
二：ＧＭ（１，１）模型（一）：对原始序列累加处理一次累加生产序列②(即1－AGO序列)，表示为其中，一次累加序列(1)X 的第k 项由原序列的前k 项和产生，即： 由(1)X 的相邻项平均得到(1)X 的紧邻均值生成序列(1)z ，表示为:根据上述序列，有灰色系统模型GM(1，1)的基本形式:(二)构造GM(1，1)模型方程组的矩阵形式，并求解参数 GM(1，1)模型的微分方程基本形式:(三)求的时间响应序列，累减得到原序列的预测值(四)模型检验残差的均值、方差分别为:21S C S 称为均方差比值，对于给定的00C ，当0C C 时，称模型为均方差比合格模型;1(()0.6745)p p k S 称为小误差概率，对于给定的00P ，当0P P 时，称模型为小误差概率合格模型。
一般均方差比值C 越小越好(因为C 小说明S 小，1S 大，即残差方差小，原始数据方差大，说明残差比较集中，摆动幅度小，原始数据比较分散，摆动幅度大，所以模拟效果好，要求2S 与1S 相比尽可能小)，以及小误差概率p 越大越好，给定000,,,C p 的一组取值，就确定了检验模型模拟精度的一个等级，常用的精度等级见表1。
软件DPS 的分析结果也提供了C 、p 的检验结果。
(五)残差修正模型(六)建立新陈代谢GM(1，1)进行动态预测在实际建模过程中，原始数据序列的数据不一定全部用来建模。
我们在原始数据序列中取出一部分数据，就可以建立一个模型。
一般说来，取不同的数据，建立的模型也不一样，即使都建立同类的GM(1，1)模型，选择不同的数据，参数a，b的值也不一样。
(整理)灰色预测法-
第7章 灰色预测方法 预测就是借助于对过去的探讨去推测、了解未来。
灰色预测通过原始数据的处理和灰色模型的建立，发现、掌握系统发展规律，对系统的未来状态做出科学的定量预测。
对于一个具体的问题，究竟选择什么样的预测模型应以充分的定性分析结论为依据。
模型的选择不是一成不变的。
一个模型要经过多种检验才能判定其是否合适，是否合格。
只有通过检验的模型才能用来进行预测。
本章将简要介绍灰数、灰色预测的概念，灰色预测模型的构造、检验、应用，最后对灾变预测的原理作了介绍。
7.1 灰数简介7.1.1 灰数一棵生长着的大树，其重量便是有下界的灰数，因为大树的重量必大于零，但不可能用一般手段知道其准确的重量，若用⊗表示大树的重量，便有[)∞∈⊗,0。
是一个确定的数。
海豹的重量在20~25公斤之间，某人的身高在1.8~1.9米之间，可分别记为 []25,201∈⊗，[]9.1,8.12∈⊗ 4． 连续灰数与离散灰数在某一区间内取有限个值或可数个值的灰数称为离散灰数，取值连续地充满某一区间的灰数称为连续灰数。
某人的年龄在30到35之间，此人的年龄可能是30，31，32，33，34，35这几个数，因此年龄是离散灰数。
人的身高、体重等是连续灰数。
5． 黑数与白数当()∞∞-∈⊗,或()21,⊗⊗∈⊗，即当⊗的上、下界皆为无穷或上、下界都为讨论方便，我们将黑数与白数看成特殊的灰数。
6． 本征灰数与非本征灰数本征灰数是指不能或暂时还不能找到一个白数作为其“代表”的灰数，比如一般的事前预测值、宇宙的总能量、准确到秒或微妙的“年龄”等都是本征灰数。
非本征灰数是指凭先验信息或某种手段，可以找到一个白数作为其“代表”的灰数。
我们称此白数为相应灰数的白化值，记为⊗~，并用()a ⊗表示以a 为白化值的灰数。
如托人代买一件价格100元左右的衣服，可将100作为预购衣服价格()100⊗的白化数，记为()100100~=⊗。
从本质上来看，灰数又可分为信息型、概念型、层次型三类。
灰色预测模型建模流程
灰色预测模型建模流程灰色预测模型是一种基于灰色理论的预测方法，主要用于处理样本数据有限、信息不完整或不确定的情况下的预测问题。
灰色预测模型的建模流程包括以下几个步骤：问题描述、数据序列预处理、建立灰色预测模型、模型检验与优化、预测与评价。
在进行灰色预测之前，需要明确问题的描述和目标。
例如，我们要预测某个产品的销售量，目标是根据历史数据推测未来一段时间内的销售趋势。
明确问题描述和目标有助于确定预测模型的输入和输出。
第二步是数据序列的预处理。
预处理的目的是对原始数据进行平滑、去噪和规范化，以提高模型的精度和可靠性。
常用的预处理方法有累加生成序列、均值生成序列和一次累加生成序列等。
预处理后的数据更符合灰色预测模型的要求。
第三步是建立灰色预测模型。
灰色预测模型有多种，常用的有灰色关联度模型、灰色马尔可夫模型和灰色GM(1,1)模型等。
根据问题的特点和数据的特征选择适合的模型进行建模。
以灰色GM(1,1)模型为例，该模型假设数据序列满足一阶线性累加规律，通过建立累加生成序列和非累加生成序列的微分方程，利用最小二乘法进行参数估计，得到模型的参数。
第四步是模型检验与优化。
在建立模型之后，需要对模型进行检验和优化，以保证模型的准确性和可靠性。
常用的检验方法有残差检验、后验差检验和累计误差检验等。
如果模型检验结果不理想，则需要对模型进行调整和优化，提高模型的拟合度和预测精度。
最后一步是预测与评价。
在模型检验通过后，可以使用建立好的灰色预测模型对未来的数据进行预测。
预测结果可以通过计算相对误差、平均相对误差和均方根误差等指标进行评价，以评估模型的预测效果。
总结来说，灰色预测模型的建模流程包括问题描述、数据序列预处理、建立灰色预测模型、模型检验与优化、预测与评价等步骤。
通过合理选择模型、优化模型参数和评价预测结果，可以提高灰色预测模型的准确性和可靠性，为决策提供科学依据。
数学建模-灰色预测方法
一、 GM（1，1）模型概述
设有数列 X (0) 共有 n个观察值
x(0) (1), x（0（） 2）, x(0) (n)
数据的生成方式有多种，常用的方法有累加生成、累 减生成和加权累加生成等。
（1） 累加生成
设原始数列为 x(0) x(0) (1), x(0) (2),, x(0) (n) ，令
k
x (1) (k ) x (0) (i) (k 1,2,, n) i 1
则称 x(1) (k) 为数列 x (0) 的１- 次累加生成，数列
x(1) x(1) (1), x(1) (2),, x(1) (n) 称为数列 x (0)
的１- 次累加生成数列。类似地有
k
x(r) (k) x(r1) (i) (k 1,2,, n, r 1) i 1
称之为 x (0) 的r- 次累加生成。记
x(r) x(r) (1), x(r) (2),, x(r) (n)
• 对非负数据，累加次数越多则随机性弱化 越多，累加次数足够大后，可认为时间序 列已由随机序列变为非随机序列。
• 一般随机序列的多次累加序列，大多可用 指数曲线逼近。
累加举例：设原始时间序列为 X 0 1 , 2 ,1.5 , 3
一次累加生成列为
X 1 1 , 3 , 4.5 , 7.5
X 0 的曲线是摆动的，起伏变化幅度较大， 而 X 1 已呈现明显的增长规律性。
灰色模型是利用离散随机数经过生成变为随机性被显 著削弱而且较有规律的生成数，建立起的微分方程形式 的模型，这样便于对其变化过程进行研究和描述。
灰色预测模型称为GM模型，G为grey的第一个字母， M为model的第一个字母。
GM（1，1）表示一阶的，一个变量的微分方程型预测 模型。GM（1，1）是一阶单序列的线性动态模型，主 要用于时间序列预测。
灰色预测法
非等间距序列的灰色预测GM （1，1）模型1.1 模型的准备 1.1.1 灰色预测法1、 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。
灰色系统是介于白色系统和黑色系统之间的一种系统。
2、白色系统是指一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是完全充分的。
而黑色系统是指一个系统的内部信息对外界来说是一无所知的，只能通过它与外界的联系来加以观测研究。
灰色系统内的一部分信息是已知的，另一部分信息时未知的，系统内各因素间具有不确定的关系。
3、灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。
其用等时距观测到的反应预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。
1.1.2灰色预测的类型①灰色时间序列预测；即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。
②畸变预测；即通过灰色模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。
③ 系统预测；通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测模型，预测系统中众多变量间的相互协调关系的变化。
④拓扑预测；将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模型预测该定值所发生的时点。
考虑到CD4和HIV 的浓度以时间为序，称为时间序列。
因此在我们考虑建立灰色时间序列预测模型对继续治疗的效果进行预测。
定义1 设序列()()()()()()()(){}000012,,...,i n X t X t X t X t =, 若间距1,2,3,...,i i i t t t i n -∆=-=(1)不为常数, 则称()()0i X t 为非等间距序列。
定义2 设序列()()()()()()()(){}111112,,...,i n X t X t X t X t =, 若其中()()()()10,12,3,...,ii j jj Xt X t t i n ==∆=∑ (2)则称()()1i X t 为非等间距序列()()0i X t 的一次累加生成(1- A GO ) 序列在建立灰色预测模型之前，需先对原始时间序列进行数据处理，经过数据处理后的时间序列即称为生成列。
数学建模之灰色预测基础篇
常用到的灰色预测模型
• GM（1，1）模型——我们最常用 • GM（1，N）模型——是1 阶方程，包含有N 个
变量的灰色模型。
• GM（0，1）模型——是0 阶方程，包含有N 个变 量的灰色模型。表达式上相当于统计回归
• GM（2，1）模型——是2阶方程，包含有1 个变 量的灰色模型。
一、做生成数列 原始数列： x0 (x(0) (1), x(0) (2),, x(0) (n))
1、累加生成 AGO ：
（1）一次累加生成 1 AGO ：
k
x(1) (k ) x(0) (i), k a,, n ia
x(1) (x(1) (1), x(1) (2),, x(1) (n))
(0)
预测数列： x (x(0) (1), x(0) (2),, x(0) (n))
0i
1 | s0 | | si |
1 | s0 | | si | | si s0
|
n 1
| s0 ||
x00 (k ) 0.5x00 (n) |
k 2
n 1
| si ||
xi0 (k ) 0.5xi0 (n) |
三、检验准指数规律
(k ) x(1) (k ) [1,1.5)
x(1) (k 1)
• 数据变换处理的原则是经过处理后的序列级比落 在可容覆盖中，从而对于不合格的序列，可保证 经过选择数据变换处理后能够进行建模，通常的 数据变换有：平移变换、对数变换、方根变换。 如：
y(0) (k) x(0) (k) c, k 1,2,, n
GM（1，1）模型相应的微分方程为：
dX 1 aX 1
【数学建模】灰色预测模型（预测）
【数学建模】灰色预测模型（预测）文章目录•一、算法介绍•o 1.灰色预测模型o 2.灰色系统理论o 3. 针对类型o 4. 灰色系统o 5. 灰色生成o 6. 累加生成o7. GM（1，1）模型o▪推导▪精度检验▪精度检验等级参照表•二、适用问题•三、算法总结•o 1. 步骤•四、应用场景举例•o 1. 累加生成o 2. 建立GM（1，1）模型o 3. 检验预测值•五、MATLAB代码•六、实际案例•七、论文案例片段（待完善）灰色预测模型主要针对数学建模问题中的一些小的子问题进行求解，如果想直接使用请跳转至——四、五另外之前看过一篇比较完整的【数学建模常用算法】之灰色预测模型GM，作者：張張張張视频回顾一、算法介绍1.灰色预测模型灰色预测模型(Gray Forecast Model)是通过少量的、不完全的的信息，建立数学模型并做出预测的一种预测方法.当我们应用运筹学的思想方法解决实际问题，制定发展战略和政策、进行重大问题的决策时，都必须对未来进行科学的预测.预测是根据客观事物的过去和现在的发展规律，借助于科学的方法对其未来的发展趋势和状况进行描述和分析，并形成科学的假设和判断。
2.灰色系统理论灰色系统理论是研究解决灰色系统分析、建模、预测、决策和控制的理论.灰色预测是对灰色系统所做的预测。
目前常用的一些预测方法(如回归分析等)，需要较大的样本，若样本较小，常造成较大误差，使预测目标失效。
灰色预测模型所需建模信息少，运算方便，建模精度高，在各种预测领域都有着广泛的应用，是处理小样本预测问题的有效工具。
3. 针对类型灰色系统理论是由华中理工大学邓聚龙教授于1982年提出并加以发展的。
二十几年来，引起了不少国内外学者的关注，得到了长足的发展。
目前，在我国已经成为社会、经济、科学技术在等诸多领域进行预测、决策、评估、规划控制、系统分析与建模的重要方法之一。
特别是它对时间序列短、统计数据少、信息不完全系统的分析与建模，具有独特的功效，因此得到了广泛的应用.4. 灰色系统灰色系统是黑箱概念的一种推广。
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的１- 次累加生成数列。类似地有
k
x(r) (k) x(r1) (i) (k 1,2, , n, r 1) i 1
称之为 x (0) 的r- 次累加生成。记
x(r) x(r) (1), x(r) (2), , x(r) (n)
，称之为 x (0) 的r- 次累加生成数列。
累加的规则:
将原始序列的第一个数据作为生成列的第一 个数据，将原始序列的第二个数据加到原始序列 的第一个数据上，其和作为生成列的第二个数据， 将原始序列的第三个数据加到生成列的第二个数
据上，其和作为生成列的第三个数据，按此规则 进行下去，便可得到生成列。
第一步计算原始数列 X (0) 的模型计算值 Xˆ 。
第二步计算 X (0) 与 Xˆ 的绝对误差
(i) | xˆ (0) (i) x（0）(i) | (i 1, 2,L , n)
代入 xˆ (0) (i)、 x(0) (i) 数据得：
(i) | xˆ (0) (i) x(0) (i) |
第三步计算最小差与最大差
b.
计算原始数列的方差
S12
1 n
n
[x(0)(i)
i 1
Байду номын сангаас
x (0) ]2
c. 计算残差序列 (0) 的均值
1
n
(0)(i)
n i1
d. 求残差的方差
S22
1 n
n
[ (0) (i)
i 1
] (0) 2
e. 计算均方差比
C S2 S1
注合： 格对模给型定。的C0 0,当C C0 称模型为均方差比
灰色模型是利用离散随机数经过生成变为随机性被显 著削弱而且较有规律的生成数，建立起的微分方程形式 的模型，这样便于对其变化过程进行研究和描述。
灰色预测模型称为GM模型，G为grey的第一个字母， M为model的第一个字母。
GM（1，1）表示一阶的，一个变量的微分方程型预测 模型。GM（1，1）是一阶单序列的线性动态模型，主 要用于时间序列预测。
f. 计算小误差概率 p P{| (i) | 0.6745 S1}
注：对给定的 p0 0,当p p0 称模型为小误差概
率合格模型 。
g. 检验
根据经验，对给定 , 0 , C0 , p0 的一组取值，就确定
（1）残差检验
按预测模型计算 Xˆ 1i, 并将 Xˆ 1i 累减生成 Xˆ 0i,
然后计算原始序列 X 0i 与 Xˆ 0i 的绝对误差序列及相
对误差序列。
残差： i x0 i xˆ0 i i 1,2,..., n
残差序列 (0) ( 1 , 2 ,L n)
i 相对误差：i x0 i 100%
（3）灰色预测数据的特点： 1）序列性：原始数据以时间序列的形式出现。
2）少数据性：原始数据序列可以少到只有4个 数据。
（4）灰色预测的四种常见类型
• 灰色时间序列预测
即用观察到的反映预测对象特征的时 间序列来构造灰色预测模型，预测未来某 一时刻的特征量，或达到某一特征量的时 间。
• 灾变预测
即通过灰色模型预测异常值出现的时 刻，预测异常值 什么时候出现在特定时区 内。
x(1) (1) x(0) (2)
x(1) (3) x(0) (1) x(0) (2) x(0) (3) x(1) (2) x(0) (3)
LL x(1) (n) x(1) (n 1) x(0) (n)
令 Z (1) 为 X (1) 的均值序列Z (1) (z(1) (2),L , z(1) (n))
灰色预测法
1 灰色预测理论 2 GM(1,1)模型 3 GM(1,1) 模型的改进 4 灰色预测实例
1灰色预测理论
一、灰色预测的概念 （1）灰色系统、白色系统和黑色系统 • 白色系统是指一个系统的内部特征是完全
已知的，即系统的信息是完全充分的。
• 黑色系统是指一个系统的内部信息对外界 来说是一无所知的，只能通过它与外界的 联系来加以观测研究。
一、 GM（1，1）模型概述
设有数列 X (0) 共有 n个观察值
x(0) (1), x（0（） 2）, L x(0) (n)
对 X (0) 作累加生成，得到新的数列 X (1，) 其元素
有：
k
x(1) (k) x(0) (m) k 1, 2,L , n
m1
x(1) (1) x(0) (1) x(1) (2) x(0) (1) x(0) (2)
数据的生成方式有多种，常用的方法有累加生成、累 减生成和加权累加生成等。
（1） 累加生成
设原始数列为 x(0) x(0) (1), x(0) (2), , x(0) (n) ，令
k
x (1) (k ) x (0) (i) (k 1,2, , n) i 1
则称 x(1) (k) 为数列 x (0) 的１- 次累加生成，数列
dt z(1) (k) 为白化背景值，对应于 x(1) (t)
则灰微分方程对应的白化方程为： dx(1) ax(1) (t) b dt
灰方程也可改写为： az(1) (k) b x(0) (k)
设 aˆ 为待估计参数向量，则
按最小二乘法求解，有：
aˆ
a b
式中：
aˆ (BTB)1BTY
z(1) (2) 1
; t 1, 2,L , n
1 ea
x(0) (1)
b a
e
a
t
;t
1, 2,L
,n
注意：GM(1,1)白化型不是从定义推导出来的，是一种
“借用”或“白化默认”，所以，一切从白化推导出来的结
果，只在不与定义型有矛盾时才成立，否则无效。
也可由GM(1,1)模型推导出另一表达式——内涵型表达式：
式中： ——数列 X (0) 对 Xˆ
n ——样本个数。
的关联度。
根据经验，当ρ=0.5时，关联度大于0.6便满意了。
此外，也可计算 X (0) 与 Xˆ 的绝对关联度 【1】，若对 于给定的 0 0, 有 0 ，则称为关联度合格模型。
(3) 后验差检验
a. 计算原始数列的均值
x(0) 1 n x(0)(i) n i1
z (0) (k) x(0) (k 1) (1 )x(0) (k 1)
由 z (0) (k) 0.5x(0) (k 1) 0.5x(0) (k 1)
而得的数列
z (0) (z (0) (1), z (0) (2), , z (0) (n))
称为紧邻均值生成数列。
2 GM（1，1）模型
z (0) (k) x(0) (k) (1 )x(0) (k 1)
为由数列 x (0) 的邻值在生成系数（权）
下
的邻值生成数（或生成值）。
特别地，当生成系数 0.5 时，则称
z (0) (k) 0.5x(0) (k) 0.5x(0) (k 1)
为紧邻均值生成数，即等权邻值生成数。 类似地，可以定义非紧邻值生成数
（3） 均值生成
设原始数列
x(0) x(0) (1), x(0) (2), , x(0) (k 1), x(0) (k), , x(0) (n)
则称 x (0) (k 1)与 x(0) (k) 为数列 x (0)的邻值，
x(0) (k 1) 为后邻值， x (0) (k ) 为前邻值.
对于常数 [0,1] ，则称
最小差为： Min{(i)} 最大差为： M ax{(i)}
第四步计算关联系数 (i)
(i) Min{(i)} Max{(i)} (i 1, 2,L , n) (i) Max{(i)}
式中： (i) ——第i个数据的关联系数；
——分辨系数，一般取0.5
第五步计算关联度
1 n (i) n i1
i 1,2,..., n
一般要求 i 20% ，最好是 i 10%
平均相对精度：p0 (1 ) 100%
平均相对误差：
1 n1
n i2
|
i
|
一般要求 p0 80% ，最好是 p0 90%
而对于给定的 ，
当
且 n
成立时，(
为n点的模拟相对误差)
n
称为残差合格模型。
（2）关联度检验
xˆ (0) (t)
1 0.5a t2 1 0.5a
b a x(0) (1) 1 0.5a
;
t
1, 2,L
,n
灰色预测的事前检验
给定序列 X (0) 能否建立较高精度的GM(1,1)模型，一
般用序列 X (0) 的光滑比 (k) 对 X (0) 作准光滑性检验； 用累加序列 X (1) 的级比 (1) (k) 对 X (1) 作准指数规律
B
z
(1)
(
3)
1
LL
z
(1)
(
n)
1
x(0) (2)
Y
x(0)
(3)
L
x(
0)
(
n)
将 aˆ 代入
aˆ
a b
，并解微分方程，有
GM
(1,1)
预测模型——白化响应式（解）为：
xˆ (1) (t
1)
x(0) (1)
b a
e
a
t
b a
xˆ (0) (t 1) xˆ (1) (t 1) xˆ (1) (t )
（2） 累减生成 将原始序列前后两个数据相减得到累减生成
序列
• 累减是累加的逆运算，累减可将累加生成 列 还原为非生成列，在建模中获得增量信息。
一次累减的公式为：
如果数据列为 x(1) x(1) (1), x(1) (2), , x(1) (n) ，令