数学建模 灰色预测方法

g. 检验 根据经验，对给定 , 0 , C0 ,
p0
的一组取值，就确定
了检验模型模拟精度的等级划分如下表。
通过以上检验，如果相对误差、关联度、均方差比值、
小误差概率都在允许范围之内时，则可用所建模进行预 测，否则应进行残差修正。
X 1 , 2 ,1.5 , 3
0
一次累加生成列为
X 1 , 3 , 4.5 , 7.5
1
X 的曲线是摆动的，起伏变化幅度较大， 1 X 而 已呈现明显的增长规律性。
0
（2） 累减生成 将原始序列前后两个数据相减得到累减生成 序列 • 累减是累加的逆运算，累减可将累加生成 列
(3) 后验差检验
n 1 (0) (0) x x (i) a. 计算原始数列的均值 n i 1 n 1 2 (0) (0) 2 S [ x ( i ) x ] b. 计算原始数列的方差 1 n i 1
c. 计算残差序列 ( 0 ) 的均值 d. 求残差的方差
2 2
1 n (0) S [ ( i ) (0) ]2 n i 1
• 灰色预测法用等时距观测到的反映预测对
象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，
预测未来某一时刻的特征量，或达到某一
特征量的时间。
（3）灰色预测数据的特点：
1）序列性：原始数据以时间序列的形式出现。
2）少数据性：原始数据序列可以少到只有4个 数据。
（4）灰色预测的四种常见类型
• 灰色时间序列预测
（2）关联度检验 第一步计算原始数列 X (0) 的模型计算值 第二步计算 X (0) 与 X ˆ 的绝对误差
ˆ X
。

, n)
（0） ˆ (0) ( i ) x ( i ) | x ( i ) | ( i 1, 2,
代入
ˆ (0) ( i )、 x
x (0) ( i ) 数据得：
ˆ (0) ( i ) x(0) ( i ) | ( i ) | x
令 Z (1) 为
X
(1)
的均值序列Z (1)
( z(1) (2),
, z(1) ( n))
(1) (1) (1) 其中： z ( k ) 0.5( x (k ) x (k 1))
则GM(1,1)的灰微分方程模型为：
x ( k ) az ( k ) b
(0) (1)
灰 导 数
，最好是
i 10%
平均相对精度：p0 (1 ) 100% 1 n 平均相对误差： | i | n 1 i2
一般要求 p 80% ，最好是
0
p0 90%
而对于给定的 ，
当 且 n 成立时，( n为n点的模拟相对误差)
称为残差合格模型。
（1） 累加生成
设原始数列为
，令
则称
为数列
的１- 次累加生成，数列
称为数列
的１- 次累加生成数列。类似地有
称之为
的r- 次累加生成。记
，称之为
的r- 次累加生成数列。
累加的规则:
将原始序列的第一个数据作为生成列的第一 个数据，将原始序列的第二个数据加到原始序列 的第一个数据上，其和作为生成列的第二个数据，
对误差序列。
ˆ 0 i 残差： i x 0 i x
i 1,2,..., n
残差序列
i 相对误差：
(0) ( 1 , 2 , n)
i
x
0
i
100%
i 1,2,..., n
一般要求
i 20%
二、GM（1，1）的建模步骤
三、模型检验
灰色预测检验一般有残差、关联度和后验差检验。
（1）残差检验
ˆ 1 i , 并将 X ˆ 0 i , ˆ 1 i 累减生成 X 按预测模型计算 X ˆ 0 i 的绝对误差序列及相 然后计算原始序列 X 0 i 与 X
联系来加以观测研究。 • 灰色系统内的一部分信息是已知的，另一 部分信息是未知 的，系统内各因素间有不
确定的关系。
（2）灰色预测方法 • 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系 统进行预测的方法。
• 灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定
信息的系统进行预则，就是对在一定范围内
变化的、与时间有关的灰色过程进行预测。
x (0) (2) (0) x (3) Y (0) x ( n)
ˆ 代入 将 a
a ˆ a b
，并解微分方程，有 GM (1,1)
预测模型——白化响应式（解）为：
b a t b (0) ˆ ( t 1) x (1) e x a a ˆ (0) ( t 1) x ˆ (1) ( t 1) x ˆ (1) ( t ) x
第三步计算最小差与最大差
最小差为： 最大差为：
Min{( i )} M ax{ ( i )}
第四步计算关联系数
(i)
(i)
, n)
Min{ ( i )} Max{ ( i )} ( i 1, 2, ( i ) Max{ ( i )}
式中： ( i ) ——第i个数据的关联系数；
1 n (0) (i) n i 1
e. 计算均方差比
S2 C S1
注：对给定的C0 0, 当C C0 称模型为均方差比 合格模型 。 f. 计算小误差概率 p P{| ( i ) | 0.6745 S1 } 注：对给定的 p0 0, 当p p0 称模型为小误差概 率合格模型 。
( k ) (a, b) , b a 0.5
则认为 X (1) 具有准指数规律。
(0) X 当（1）（2）都满足时可对 建GM(1,1)模型。
若原始数据不适合建立GM(1,1)模型，则进行予处理。 注：GM(1，1)模型中发展系数a的取值范围
2 2 a , n 1 n 1
即用观察到的反映预测对象特征的时 间序列来构造灰色预测模型，预测未来某 一时刻的特征量，或达到某一特征量的时 间。 • 灾变预测
即通过灰色模型预测异常值出现的时 刻，预测异常值 什么时候出现在特定时区 内。
• 系统预测
通过对系统行为特征指标建立一组相互 关联的灰色预测模型，预测系统中众多变 量间的相互协调关系的变化。
灰方程也可改写为：
az ( k ) b x (ห้องสมุดไป่ตู้k )
(1) (0)
ˆ 设 a
为待估计参数向量，则
a ˆ a b
按最小二乘法求解，有： 式中：
ˆ (BTB)1 BTY a
z (1) (2) 1 (1) z (3) 1 B (1) z ( n) 1
将原始序列的第三个数据加到生成列的第二个数
据上，其和作为生成列的第三个数据，按此规则
进行下去，便可得到生成列。
• 对非负数据，累加次数越多则随机性弱化
越多，累加次数足够大后，可认为时间序
列已由随机序列变为非随机序列。
• 一般随机序列的多次累加序列，大多可用
指数曲线逼近。
累加举例：设原始时间序列为
X
，其元素
x ( k ) x (0) ( m) k 1, 2,
(1) m 1
k
,n
有：
x (1) (1) x (0) (1) x (1) (2) x (0) (1) x (0) (2) x (1) (1) x (0) (2)
x (1) (3) x (0) (1) x (0) (2) x (0) (3) x (1) (2) x (0) (3) x (1) ( n) x (1) ( n 1) x (0) ( n)
般用序列 性检验来判断满足建模条件 光滑比定义：
(0)
的光滑比 ( k ) 对
(0)
x (0) ( k ) ( k ) (1) x ( k 1)
（1） 若光滑比满足递减且 则称 X (0) 为准光滑序列。
( k ) (0, 0.5)
k3
（2）若级比满足：
(1)
(1) x (k ) 级比定义： (1) ( k ) x (0) ( k 1)
• 拓扑预测（波形预测）
将原始数据做曲线，在曲线上按定值寻 找该定值发生的所有时点，并以该定值为 框架构成时点数列，然后建立模型预测该 定值所发生的时点。
二、灰色生成数列
对灰数的处理主要是利用数据处理方法去寻求数据间
的内在规律，通过对已知数据列中的数据进行处理而产生
新的数据列，以此来研究寻找数据的规律性，这种方法称 为数据的生成。 数据的生成方式有多种，常用的方法有累加生成、累 减生成和加权累加生成等。
设原始数列
则称
与 为后邻值，
为数列
的邻值，
为前邻值. ，则称
对于常数
为由数列
的邻值在生成系数（权）
下
的邻值生成数（或生成值）。
特别地，当生成系数
时，则称
为紧邻均值生成数，即等权邻值生成数。
类似地，可以定义非紧邻值生成数
由
而得的数列
称为紧邻均值生成数列。
2 GM（1，1）模型
灰色模型是利用离散随机数经过生成变为随机性被显 著削弱而且较有规律的生成数，建立起的微分方程形式 的模型，这样便于对其变化过程进行研究和描述。 灰色预测模型称为GM模型，G为grey的第一个字母，
还原为非生成列，在建模中获得增量信息。
一次累减的公式为：
如果数据列为
，令
x(0) ( k ) x(1) ( k ) x(1) (k 1), k 2, 3,
则称 x (0) ( k ) 为数列
,n
x (1) 的1- 次累减生成。
一般地，对于r次累加生成数列
则称
为数列
的累减生成数列。
（3） 均值生成
灰色预测法
1 灰色预测理论 2 GM(1,1)模型 3 GM(1,1) 模型的改进 4 灰色预测实例
1灰色预测理论
一、灰色预测的概念
（1）灰色系统、白色系统和黑色系统 • 白色系统是指一个系统的内部特征是完全 已知的，即系统的信息是完全充分的。
• 黑色系统是指一个系统的内部信息对外界
来说是一无所知的，只能通过它与外界的
发 展 系 数
灰 作 用 量
式中：a , b ——为待估计参数。分别称为发展灰数和内生 控制灰数。 GM(1,1)的白化型：
(1) dx x (0) ( k ) 为灰导数，对应于 dt
(1) z (1) ( k ) 为白化背景值，对应于 x ( t )
则灰微分方程对应的白化方程为：
dx (1) ax (1) ( t ) b dt
——分辨系数，一般取0.5
第五步计算关联度
1 n (i) n i 1
式中：
n ——样本个数。
此外，也可计算 X (0) 与

——数列 X (0) 对
ˆ X
的关联度。
根据经验，当ρ=0.5时，关联度大于0.6便满意了。
【1】，若对 的绝对关联度 ˆ X 于给定的 0 0, 有 0 ，则称为关联度合格模型。
t 2
1 0.5a (0) ˆ (t ) x 1 0.5 a
b a x (0) (1) ; t 1, 2, 1 0.5a
,n
灰色预测的事前检验
给定序列 X (0) 能否建立较高精度的GM(1,1)模型，一
X X 作准光滑性检验； (1) (1) (1) 用累加序列 X 的级比 ( k ) 对 X 作准指数规律
M为model的第一个字母。
GM（1，1）表示一阶的，一个变量的微分方程型预测 模型。GM（1，1）是一阶单序列的线性动态模型，主
要用于时间序列预测。
一、 GM（1，1）模型概述
设有数列 X (0) 共有
n个观察值
(1)
（0） x(0) (1), x （2） , x(0) ( n)
对 X (0) 作累加生成，得到新的数列
(1) a
; t 1, 2,
,n
b a t (0) 1 e x (1) e ; t 1, 2, a
,n
注意：GM(1,1)白化型不是从定义推导出来的，是一种
“借用”或“白化默认”，所以，一切从白化推导出来的结 果，只在不与定义型有矛盾时才成立，否则无效。 也可由GM(1,1)模型推导出另一表达式——内涵型表达式：