数学建模灰色预测法
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（2）灰色预测法
灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定信息的 系统进行预则，就是对在一定范围内变化的、与时间 有关的灰色过程进行预测。
灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异 程度，即进行关联分析，并对 原始数据进行生成处 理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数 据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测 事物未来发展趋势的状况。
(k)
Xˆ 0 k X 0 k max max Xˆ 0 k X 0 k
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式中：
Xˆ 0k X 0k 为第k个点 X 0和 Xˆ 0 的绝对误差； min min Xˆ 0k X 0k 为两级最小差； max max Xˆ 0k X 0k 为两级最大差；
1 2
(
X
(1)
(n)
X
(1)
(n
1)),
1
Y=(X(0)(2),X(0)(3),……，X(0)(n))’
设 ˆ
为待估参数向量，ˆ
a
，则微分方程
可表示为
Y Bˆ
利用最小二乘法可得：
ˆ BT B 1 BTY
求解微分方程，即可得预测模型(时间相应式)：
Xˆ
1 k
1
X
0 1
a
e ak
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d. 计算小误差概率：
P P 0 i 0 0.6745S1
令: 则：
ei 0i 0 ， S0 0.6745S1 P Pei S0
P >0.95 >0.80 >0.70 ≤0.70
C <0.35 <0.50 <0.65 ≥0.65
好 合格 勉强合格 不合格
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X3 1, 0.97, 1.0294, 1.0294 X4 1, 1.0149, 0.805, 0.7
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第二步：求序列差 2 0, 0.1155, 0.1992, 0.2335
X’2-X’1
3 0, 0.0225, 0.1059, 0.1146 X’3-X’1
4 0, 0.0674, 0.1185, 0.2148
参考序列分别为 X1, X 2 ，被比较序列为 X 3, X 4
试求关联度。
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解答：
以 X1为参考序列求关联度。
第一步：初始化，即将该序列所有数据分别 除以第一个数据。得到：
X1 1, 0.9475, 0.9235, 0.9138 X2 1, 1.063, 1.1227, 1.1483
100%
i 1,2,..., n
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在建立模型后,还必须对模型进行精度检验,其 检验标准见表1。
表1 精度检验等级参照表
精度等级 一级(优) 二级(良) 三级(合格) 四级(不适用)
相对误差 Δ 0.01 0.05 0.1 0.2
（2）关联度检验
根据前面所述关联度的计算方法算出 Xˆ 0i
509.705
a
从而得到白化方程：
dX (1) 0.0532 X (1) 27.1038 dt
从而得到预测公式(时间响应式)为：
Xˆ (1) (k 1) X (1) (1) eak
a
a
535.705e0.0532k 509.75
为了得到原始数列的预测值，需要将生成数列的预测值 作累减还原为原始值，
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（3）灰色系统的应用范畴
• 灰色系统的应用范畴大致分为以下几方面： • （1）灰色关联分析。 • （2）灰色预测：人口预测；初霜预测；灾变预
测….等等。 • （3）灰色决策。 • （4）灰色预测控制。
（4）灰色预测的四种常见类型
• 灰色时间序列预测 即用观察到的反映预测对象特征的时
其中:
①当- a < 0.3 时, GM(1 ,1) 模型可用于中长期预测;
②当0.3 < - a < 0.5 时, GM(1 ,1) 模型可用于短期预测, 中长期预测慎用;
③当0.5< - a < 1 时, 应采用GM(1 ,1) 改进模型,包括 GM(1 ,1) 残差修正模型;
④当- a > 1 时,不宜采用GM(1 ,1) 模型,可考虑其他预 测方法。
第三步：求两极差
X’4-X’1
M max max i k 0.2335
m min min i k 0
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第四步：计算关联系数
取ρ=0.5，有：
1i
k
i
0.11675
k 0.11675
,
i 2,3,4
从而：
12 1 1 12 2 0.503 123 0.3695 124 0.3333
关联度分析是分析系统中各因素关联程度 的方法，在计算关联度之前需先计算关联系数。
（1）关联系数
设 Xˆ 0 k Xˆ 0 1, Xˆ 0 2,..., Xˆ 0 n
X 0 k X 0 1, X 0 2,..., X 0 n
则关联系数定义为：
min min Xˆ 0 k X 0 k max max Xˆ 0 k X 0 k
• 一般随机序列的多次累加序列，大多可用 指数曲线逼近。
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➢累减 将原始序列前后两个数据相减得到累减生成列
• 累减是累加的逆运算，累减可将累加生成 列 还原为非生成列，在建模中获得增量信息。 一次累减的公式为：
X 1k X 0k X 0k 1
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三、关联度
131 1 132 0.8384 133 0.5244 134 0.504
14 1 1 14 2 0.634 14 3 0.4963 144 0.352
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第五步：求关联度
12
1 4
4
12 k
k 1
0.551
13
1 4
4
13 k
k 1
0.717
14
• 拓扑预测
将原始数据做曲线，在曲线上按定值寻 找该定值发生的所有时点，并以该定值为 框架构成时点数列，然后建立模型预测该 定值所发生的时点。
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二、生成列 设已知数据变量组成序列X(0)，则我们可得 到数据序列
X 0 X 01, X 02, X 03,...X 0n
为了弱化原始时间序列的随机性，在建立灰 色预测模型之前，需先对原始时间序列进行数据 处理，经过数据处理后的时间序列即称为生成列。
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一个计算关联度的例子
工业、农业、运输业、商业各部门的行为 数据如下：
工业 农业
X1 45.8, 43.4, 42.3, 41.9
X2 (39.1, 41.6, 43.9, 44.9)
运输业 X3 3.4, 3.3, 3.5, 3.5
商业 X4 6.7, 6.8, 5.4, 4.7
Xˆ (0) (k ) Xˆ (1) (k ) Xˆ (1) (k 1)
生成数列的预测值, 原始数列的还原值分别如下表所示
k
X (1) (k )
Xˆ (1) (k )
X (0) (k)
0
26
26
1
55
55.27
2
86
86.14
3
119
118.70
4
153
153.03
带入预测公式算
生成数列的预测值, 原始数列的还原值分别如下表所示
a
k 0,1,2..., n
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对其做累减还原，即可得到原始数列 的 灰色预测模型为:
Xˆ (0) (k) Xˆ (1) (k) Xˆ (1) (k 1)
由灰色预测方法原理, - a 主要控制系统发展态
势的 大小,即反映预测的发展态势,被称为发展系数;
μ 的大小反映了数据变化的关系,被称为灰色作用量,
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（1）数据处理方式 灰色系统常用的数据处理方式有累加
和累减两种。 ➢累加
累加是将原始序列通过累加得到生成列。
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累加的规则: 将原始序列的第一个数据作为生成 列的第一个数据，将原始序列的第二个 数据加到原始序列的第一个数据上，其 和作为生成列的第二个数据，将原始序 列的第三个数据加到生成列的第二个数 据上，其和作为生成列的第三个数据， 按此规则进行下去，便可得到生成列。
与原始序列 X 0i的关联系数，然后计算出关联
度，根据经验，当ρ=0.5时，关联度大于0.6便 满意了。
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（3）后验差检验
a.计算原始序列标准差:
S1
X 0 i X 0 2
n
b. 计算绝对误差序列的标准差：
0 i 0 2
S2
n 1
c. 计算后验差比值：
C S2 S1
Y {x0 (2), x0 (3), x0 (4), x0 (5)} {29,31,33,34}
1 (26 55) 2 1 (55 86)
1 1
B
2 112((18169111593))
1 1
2
aˆ
(BT B)1 BT Y
0.0532 27.1038
所以
a
0.0532,
27.1038,
则GM（1，1）模型相应的微分方程(白化方程)为：
dX 1 aX 1
dt
其中：α称为发展灰数；μ称为内生控制灰数。
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构造矩阵B与向量Y
B
1 ( X (1) (2) X (1) (1)), 2
1 ( X (1) (3) X (1) (2)), 2
1
1
... ...
灰色预测法
王玉雷 河南工业大学理学院
在预测分析中，最基本的预测模型为线性回归方 程，针对一些规律性较强的数据，该模型能作出精 确的预测，但在实际中，我们得到的常是一些离散 的，规律性不强的数据，为解决此类问题，线性的 方法就不适用了，此时，就需要采用灰色预测的方 法。
灰色预测法
1 灰色预测理论 2 GM(1,1)模型 3 GM(1,1)残差模型及GM (n, h)模型
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记原始时间序列为：
X 0 X 01, X 02, X 03,...X 0n
生成列为：
X 1 X 11, X 12, X 13,...X 1n
上标1表示一次累加，同理，可作m次累加：
k
X mk X m1 i i 1
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• 对非负数据，累加次数越多则随机性弱化 越多，累加次数足够大后，可认为时间序 列已由随机序列变为非随机序列。
二、模型检验 灰色预测检验一般有残差检验、关联度检
验和后验差检验。
（1）残差检验
按预测模型计算 Xˆ 1i, 并将Xˆ 1i 累减生成 Xˆ 0i,
然后计算原始序列X 0i 与 Xˆ 0i 的绝对误差序列及相
对误差序列。
0i X 0i Xˆ 0i i 1,2,..., n
i
0 i X 0i
ρ称为分辨率，0<ρ<1, 若越小，关联系数间
差异越大，区分能力越强。一般取ρ=0.5；
对单位不一，初值不同的序列，在计算相关系数 前应首先进行初始化，即将该序列所有数据分别 除以第一个数据。
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（2）关联度
X 0k 和 Xˆ 0k 的关联度为：
r 1 n k
n k 1
例 某矿某年3-7月份的轻伤事故情况如表所示
月份 3
4
5
6
7
轻伤 26
29
31
33
34
人次
试建立GM(1,1)模型的白化方程及时间响应式, 并对M(1,1) 模型进行检验,预测该矿8月份轻伤人数.
求解过程
原始数据列：
X 0 (i) {26,29,31,33,34}
累加生成数列： X 1 (i) {26,55,86,119,153}
间序列来构造灰色预测模型，预测未来某 一时刻的特征量，或达到某一特征量的时 间。
• 畸变预测 即通过灰色模型预测异常值出现的时
刻，预测异常值 什么时候出现在特定时区 内。
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• 系统预测
通过对系统行为特征指标建立一组相互 关联的灰色预测模型，预测系统中众多变 量间的相互协调关系的变化。
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1. 灰 色 预 测 理 论
一、灰色预测的概念 （1）灰色系统、白色系统和黑色系统 • 白色系统是指一个系统的内部特征是完全
已知的，即系统的信息是完全明确的。
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• 黑色系统是指一个系统的内部信息对外界 来说是一无所知的，只能通过它与外界的 联系来加以观测研究。
• 灰色系统内的一部分信息是已知的，另一 部分信息是未知 的，系统内各因素间有不 确定的关系。
1 4
4
14 k
k 1
来自百度文库
0.621
计算结果表明，运输业和工业的关联程度
大于农业、商业和工业的关联程度。 X 2 为参考序列时，计算类似，这里略去。
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2 GM(1,1)模型
一、GM（1，1）模型的建立
设时间序列 X 0 X 01, X 02,..., X 0n 有n个观
察值，通过累加生成新序列X 1 X 11, X 12,..., X 1n
（2）灰色预测法
灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定信息的 系统进行预则，就是对在一定范围内变化的、与时间 有关的灰色过程进行预测。
灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异 程度，即进行关联分析，并对 原始数据进行生成处 理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数 据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测 事物未来发展趋势的状况。
(k)
Xˆ 0 k X 0 k max max Xˆ 0 k X 0 k
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式中：
Xˆ 0k X 0k 为第k个点 X 0和 Xˆ 0 的绝对误差； min min Xˆ 0k X 0k 为两级最小差； max max Xˆ 0k X 0k 为两级最大差；
1 2
(
X
(1)
(n)
X
(1)
(n
1)),
1
Y=(X(0)(2),X(0)(3),……，X(0)(n))’
设 ˆ
为待估参数向量，ˆ
a
，则微分方程
可表示为
Y Bˆ
利用最小二乘法可得：
ˆ BT B 1 BTY
求解微分方程，即可得预测模型(时间相应式)：
Xˆ
1 k
1
X
0 1
a
e ak
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d. 计算小误差概率：
P P 0 i 0 0.6745S1
令: 则：
ei 0i 0 ， S0 0.6745S1 P Pei S0
P >0.95 >0.80 >0.70 ≤0.70
C <0.35 <0.50 <0.65 ≥0.65
好 合格 勉强合格 不合格
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X3 1, 0.97, 1.0294, 1.0294 X4 1, 1.0149, 0.805, 0.7
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第二步：求序列差 2 0, 0.1155, 0.1992, 0.2335
X’2-X’1
3 0, 0.0225, 0.1059, 0.1146 X’3-X’1
4 0, 0.0674, 0.1185, 0.2148
参考序列分别为 X1, X 2 ，被比较序列为 X 3, X 4
试求关联度。
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解答：
以 X1为参考序列求关联度。
第一步：初始化，即将该序列所有数据分别 除以第一个数据。得到：
X1 1, 0.9475, 0.9235, 0.9138 X2 1, 1.063, 1.1227, 1.1483
100%
i 1,2,..., n
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在建立模型后,还必须对模型进行精度检验,其 检验标准见表1。
表1 精度检验等级参照表
精度等级 一级(优) 二级(良) 三级(合格) 四级(不适用)
相对误差 Δ 0.01 0.05 0.1 0.2
（2）关联度检验
根据前面所述关联度的计算方法算出 Xˆ 0i
509.705
a
从而得到白化方程：
dX (1) 0.0532 X (1) 27.1038 dt
从而得到预测公式(时间响应式)为：
Xˆ (1) (k 1) X (1) (1) eak
a
a
535.705e0.0532k 509.75
为了得到原始数列的预测值，需要将生成数列的预测值 作累减还原为原始值，
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（3）灰色系统的应用范畴
• 灰色系统的应用范畴大致分为以下几方面： • （1）灰色关联分析。 • （2）灰色预测：人口预测；初霜预测；灾变预
测….等等。 • （3）灰色决策。 • （4）灰色预测控制。
（4）灰色预测的四种常见类型
• 灰色时间序列预测 即用观察到的反映预测对象特征的时
其中:
①当- a < 0.3 时, GM(1 ,1) 模型可用于中长期预测;
②当0.3 < - a < 0.5 时, GM(1 ,1) 模型可用于短期预测, 中长期预测慎用;
③当0.5< - a < 1 时, 应采用GM(1 ,1) 改进模型,包括 GM(1 ,1) 残差修正模型;
④当- a > 1 时,不宜采用GM(1 ,1) 模型,可考虑其他预 测方法。
第三步：求两极差
X’4-X’1
M max max i k 0.2335
m min min i k 0
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第四步：计算关联系数
取ρ=0.5，有：
1i
k
i
0.11675
k 0.11675
,
i 2,3,4
从而：
12 1 1 12 2 0.503 123 0.3695 124 0.3333
关联度分析是分析系统中各因素关联程度 的方法，在计算关联度之前需先计算关联系数。
（1）关联系数
设 Xˆ 0 k Xˆ 0 1, Xˆ 0 2,..., Xˆ 0 n
X 0 k X 0 1, X 0 2,..., X 0 n
则关联系数定义为：
min min Xˆ 0 k X 0 k max max Xˆ 0 k X 0 k
• 一般随机序列的多次累加序列，大多可用 指数曲线逼近。
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➢累减 将原始序列前后两个数据相减得到累减生成列
• 累减是累加的逆运算，累减可将累加生成 列 还原为非生成列，在建模中获得增量信息。 一次累减的公式为：
X 1k X 0k X 0k 1
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三、关联度
131 1 132 0.8384 133 0.5244 134 0.504
14 1 1 14 2 0.634 14 3 0.4963 144 0.352
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第五步：求关联度
12
1 4
4
12 k
k 1
0.551
13
1 4
4
13 k
k 1
0.717
14
• 拓扑预测
将原始数据做曲线，在曲线上按定值寻 找该定值发生的所有时点，并以该定值为 框架构成时点数列，然后建立模型预测该 定值所发生的时点。
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二、生成列 设已知数据变量组成序列X(0)，则我们可得 到数据序列
X 0 X 01, X 02, X 03,...X 0n
为了弱化原始时间序列的随机性，在建立灰 色预测模型之前，需先对原始时间序列进行数据 处理，经过数据处理后的时间序列即称为生成列。
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一个计算关联度的例子
工业、农业、运输业、商业各部门的行为 数据如下：
工业 农业
X1 45.8, 43.4, 42.3, 41.9
X2 (39.1, 41.6, 43.9, 44.9)
运输业 X3 3.4, 3.3, 3.5, 3.5
商业 X4 6.7, 6.8, 5.4, 4.7
Xˆ (0) (k ) Xˆ (1) (k ) Xˆ (1) (k 1)
生成数列的预测值, 原始数列的还原值分别如下表所示
k
X (1) (k )
Xˆ (1) (k )
X (0) (k)
0
26
26
1
55
55.27
2
86
86.14
3
119
118.70
4
153
153.03
带入预测公式算
生成数列的预测值, 原始数列的还原值分别如下表所示
a
k 0,1,2..., n
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对其做累减还原，即可得到原始数列 的 灰色预测模型为:
Xˆ (0) (k) Xˆ (1) (k) Xˆ (1) (k 1)
由灰色预测方法原理, - a 主要控制系统发展态
势的 大小,即反映预测的发展态势,被称为发展系数;
μ 的大小反映了数据变化的关系,被称为灰色作用量,
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（1）数据处理方式 灰色系统常用的数据处理方式有累加
和累减两种。 ➢累加
累加是将原始序列通过累加得到生成列。
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累加的规则: 将原始序列的第一个数据作为生成 列的第一个数据，将原始序列的第二个 数据加到原始序列的第一个数据上，其 和作为生成列的第二个数据，将原始序 列的第三个数据加到生成列的第二个数 据上，其和作为生成列的第三个数据， 按此规则进行下去，便可得到生成列。
与原始序列 X 0i的关联系数，然后计算出关联
度，根据经验，当ρ=0.5时，关联度大于0.6便 满意了。
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（3）后验差检验
a.计算原始序列标准差:
S1
X 0 i X 0 2
n
b. 计算绝对误差序列的标准差：
0 i 0 2
S2
n 1
c. 计算后验差比值：
C S2 S1
Y {x0 (2), x0 (3), x0 (4), x0 (5)} {29,31,33,34}
1 (26 55) 2 1 (55 86)
1 1
B
2 112((18169111593))
1 1
2
aˆ
(BT B)1 BT Y
0.0532 27.1038
所以
a
0.0532,
27.1038,
则GM（1，1）模型相应的微分方程(白化方程)为：
dX 1 aX 1
dt
其中：α称为发展灰数；μ称为内生控制灰数。
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构造矩阵B与向量Y
B
1 ( X (1) (2) X (1) (1)), 2
1 ( X (1) (3) X (1) (2)), 2
1
1
... ...
灰色预测法
王玉雷 河南工业大学理学院
在预测分析中，最基本的预测模型为线性回归方 程，针对一些规律性较强的数据，该模型能作出精 确的预测，但在实际中，我们得到的常是一些离散 的，规律性不强的数据，为解决此类问题，线性的 方法就不适用了，此时，就需要采用灰色预测的方 法。
灰色预测法
1 灰色预测理论 2 GM(1,1)模型 3 GM(1,1)残差模型及GM (n, h)模型
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记原始时间序列为：
X 0 X 01, X 02, X 03,...X 0n
生成列为：
X 1 X 11, X 12, X 13,...X 1n
上标1表示一次累加，同理，可作m次累加：
k
X mk X m1 i i 1
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• 对非负数据，累加次数越多则随机性弱化 越多，累加次数足够大后，可认为时间序 列已由随机序列变为非随机序列。
二、模型检验 灰色预测检验一般有残差检验、关联度检
验和后验差检验。
（1）残差检验
按预测模型计算 Xˆ 1i, 并将Xˆ 1i 累减生成 Xˆ 0i,
然后计算原始序列X 0i 与 Xˆ 0i 的绝对误差序列及相
对误差序列。
0i X 0i Xˆ 0i i 1,2,..., n
i
0 i X 0i
ρ称为分辨率，0<ρ<1, 若越小，关联系数间
差异越大，区分能力越强。一般取ρ=0.5；
对单位不一，初值不同的序列，在计算相关系数 前应首先进行初始化，即将该序列所有数据分别 除以第一个数据。
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（2）关联度
X 0k 和 Xˆ 0k 的关联度为：
r 1 n k
n k 1
例 某矿某年3-7月份的轻伤事故情况如表所示
月份 3
4
5
6
7
轻伤 26
29
31
33
34
人次
试建立GM(1,1)模型的白化方程及时间响应式, 并对M(1,1) 模型进行检验,预测该矿8月份轻伤人数.
求解过程
原始数据列：
X 0 (i) {26,29,31,33,34}
累加生成数列： X 1 (i) {26,55,86,119,153}
间序列来构造灰色预测模型，预测未来某 一时刻的特征量，或达到某一特征量的时 间。
• 畸变预测 即通过灰色模型预测异常值出现的时
刻，预测异常值 什么时候出现在特定时区 内。
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• 系统预测
通过对系统行为特征指标建立一组相互 关联的灰色预测模型，预测系统中众多变 量间的相互协调关系的变化。
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1. 灰 色 预 测 理 论
一、灰色预测的概念 （1）灰色系统、白色系统和黑色系统 • 白色系统是指一个系统的内部特征是完全
已知的，即系统的信息是完全明确的。
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• 黑色系统是指一个系统的内部信息对外界 来说是一无所知的，只能通过它与外界的 联系来加以观测研究。
• 灰色系统内的一部分信息是已知的，另一 部分信息是未知 的，系统内各因素间有不 确定的关系。
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0.621
计算结果表明，运输业和工业的关联程度
大于农业、商业和工业的关联程度。 X 2 为参考序列时，计算类似，这里略去。
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2 GM(1,1)模型
一、GM（1，1）模型的建立
设时间序列 X 0 X 01, X 02,..., X 0n 有n个观
察值，通过累加生成新序列X 1 X 11, X 12,..., X 1n