最新暑假初二升初三数学衔接班预习教材(完整版)优秀名师资料
暑假初二升初三数学衔接班预习教材(完整版)
第一讲 一元二次方程的解法（一）【基础知识精讲】1．一元二次方程的定义：只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为ax 2＋bx+c=0 (a 、b 、c 为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
注意： 满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。
（三个条件缺一不可）2．一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般式是ax 2＋bx+c=0 (a 、b 、c 为常数，a≠0）。
其中ax 2是二次项， a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。
3．一元二次方程的解法：⑴ 直接开平方法：如果方程 (x+m ）2= n (n≥0)，那么就可以用两边开平方来求出方程的解。
(2) 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0 (a ≠0）的一般步骤是： ① 化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；② 移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； ③ 配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方； ④ 化原方程为(x+m ）2=n 的形式；⑤ 如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n ＜0，则原方程无解． 注意：①方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2=3（x ＋4）中，不能随便约去（x ＋4）.②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．【例题巧解点拨】（一）一元二次方程的定义：例1：1、方程①13122=-xx ②05222=+-y xy x ③0172=+x ④022=y 中一元二次方程是 .A. ①和②；B.②和③ ；C. ③和④；D. ①和③2、要使方程（a-3）x 2+（b+1）x+c=0是关于x 的一元二次方程，则__________. A ．a ≠0 B ．a ≠3C ．a ≠1且b ≠-1D ．a ≠3且b ≠-1且c ≠03、若（m+1）(2)1m m x +-+2mx-1=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是________． （二）一元二次方程的一般形式：例2：一元二次方程)1(2)2)(1(2-=+-x x x 的一般形式是 ；二次项系数是 ；一次项系数是；常数项是 。
暑假初二升初三数学衔接班精品教材北师大版
第一讲一元二次方程的解法---直接开平方法、配方法第二讲一元二次方程的解法-----公式法第三讲一元二次方程根的判别式第四讲一元二次方程根与系数的关系第五讲列一元二次方程解应用题第六讲正弦与余弦（1）第七讲正弦与余弦（2）第八讲正切与余切（1）第九讲正切和余切(2)第十讲解直角三角形第十一讲解直角三角形的运用第十二讲反比例函数第十三讲反比例函数的图像和性质（1）第十四讲反比例函数的图像和性质（2）第十五讲反比例函数综合运用第十六讲综合练习训练第一讲一元二次方程的解法---直接开平方法、配方法【基础知识精讲】1．一元二次方程的定义：只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为ax2＋bx+c=0 (a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。
（三个条件缺一不可）2．一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般式是ax2＋bx+c=0 (a、b、c为常数，a≠0）。
其中ax2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
3．一元二次方程的解法：⑴直接开平方法：如果方程 (x+m）2= n (n≥0)，那么就可以用两边开平方来求出方程的解(2) 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；④化原方程为(x+m）2=n的形式；⑤如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解．注意：①方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）.②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．【例题巧解点拨】（一）一元二次方程的定义：例1：1、方程①②③④中一元二次方程是 .A. ①和②；B.②和③；C. ③和④；D. ①和③2、要使方程（a-3）x2+（b+1）x+c=0是关于x的一元二次方程，则__________.A．a≠0 B．a≠3C．a≠1且b≠-1 D．a≠3且b≠-1且c≠03、若（m+1）+2mx-1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是________．（二）一元二次方程的一般形式：例2：一元二次方程的一般形式是；二次项系数是；一次项系数是；常数项是。
八升九数学衔接课程(培优)
八升九衔接暑期课程数学（培优教材）目录第一讲一元二次方程 (1)第二讲一元二次方程（配方法） (5)第三讲一元二次方程（公式法） (9)第四讲一元二次方程（分解因式法） (13)第五讲判别式和根与系数的关系 (17)第六讲列方程解应用题 (21)第七讲一元二次方程（综合） (25)第八讲一元二次方程检测 (30)第九讲直角三角形与勾股定理 (33)第十讲垂直平分线 (38)第十一讲角平分线定理 (43)第十二讲等腰、等边三角形 (48)第十三讲综合运用 (53)第十四讲二元一次方程（组） (58)第十五讲函数与坐标系 (63)第十六讲一次函数及其图象和性质 (67)第十七讲反比例函数 (71)第一讲 一元二次方程【学习目标】1、学会根据具体问题列出一元二次方程，培养把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。
2、了解一元二次方程的解或近似解。
3、增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。
【知识要点】1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为02=++c bx ax （a 、b 、c 、为常数，0a ≠）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
（1）定义解释：①一元二次方程是一个整式方程；②只含有一个未知数；③并且未知数的最高次数是2。
这三个条件必须同时满足，缺一不可。
（2）02=++c bx ax （a 、b 、c 、为常数，0a ≠）叫一元二次方程的一般形式，也叫标准形式。
（3）在02=++c bx ax （0a ≠）中，a ，b ，c 通常表示已知数。
2、一元二次方程的解：当某一x 的取值使得这个方程中的c bx ax ++2的值为0，x 的值即是一元二次方程02=++c bx ax 的解。
3、一元二次方程解的估算：当某一x 的取值使得这个方程中的c bx ax ++2的值无限接近0时，x 的值即可看做一元二次方程02=++c bx ax 的解。
【经典例题】例1、下列方程中，是一元二次方程的是 ①042=-y y ； ②0322=--x x ； ③312=x； ④bx ax =2；⑤x x 322+=； ⑥043=+-x x ； ⑦22=t ； ⑧0332=-+xx x ；⑨22=-x x ；⑩)0(2≠=a bx ax 例2、（1）关于x 的方程(m －4)x 2+(m+4)x+2m+3=0，当m__________时，是一元二次方程，当m__________时，是一元一次方程.（2）如果方程ax 2+5=(x+2)(x －1)是关于x 的一元二次方程，则a__________.（3）关于x 的方程135)32(12=+-++x x m m m 是一元二次方程吗?为什么？例3、把下列方程先化为一般式，再指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。
八升九暑期数学衔接资料
说明本套资料是结合现今最新版中学生数学教材为主线编纂的一套课外数学暑假衔接教材。
共分12讲，主要编排思路是按照“4、7、1模式”进行安排，即4次复习，7次预习和1次检测。
除检测之外，其它每一讲内容都由知识结构、例题解析和变式练习三部分组成，每一讲并配有十几道相应的同步习题。
暑假时间较长，学生对上期所学知识容易遗忘，本套学习资料能够使每一位初中生将所学旧知识点和新学期要学的新知识点起到有效的衔接作用。
希望拥有此书的学子，在漫长的暑假期间，快乐的过暑假的同时，不要忘记做到有效的复习和预习。
此书将是你的好帮手。
精诚培优初中组目录复习部分1 全等三角形和轴对称 (1)2 整式乘除和因式分解及分式 (15)3 二次根式和勾股定理 (25)4 平行四边形和一次函数 (37)预习部分5 一元二次方程及其解法 (54)6 根的判别式和根与系数的关系及应用 (74)7 二次函数的图像与性质一 (88)8 二次函数的图像与性质二 (98)9 待定系数法求二次函数的解析式 (115)10 用函数观点看一元二次方程 (121)11 实际问题与二次函数 (132)检测部分12 一元二次方程和二次函数知识检测 (141)复习部分第一讲 全等三角形和轴对称【知识网络】【要点梳理】要点一、全等三角形的判定与性质要点二、全等三角形的证明思路SAS HL SSS AAS SAS ASA AAS ASA AAS⎧→⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎪→⎩⎪⎪→→⎧⎪⎪→⎧⎪⎪⎨⎨⎪→⎨⎪⎪⎪⎪⎪→⎩⎩⎪⎪→⎧⎪⎨→⎪⎩⎪⎩找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边 一般三角形直角三角形 判定边角边（SAS ）角边角（ASA ）角角边（AAS ）边边边（SSS ）两直角边对应相等一边一锐角对应相等 斜边、直角边定理（HL ）性质 对应边相等，对应角相等（其他对应元素也相等，如对应边上的高相等） 备注 判定三角形全等必须有一组对应边相等要点三、角平分线的性质1.角的平分线的性质定理角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.2.角的平分线的判定定理角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.3.三角形的角平分线三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等.4.与角平分线有关的辅助线在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.要点四、全等三角形证明方法全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法.1．证明线段相等的方法：(1) 证明两条线段所在的两个三角形全等.(2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.(3) 等式性质.2．证明角相等的方法：(1) 利用平行线的性质进行证明.(2) 证明两个角所在的两个三角形全等.(3) 利用角平分线的判定进行证明.(4) 同角（等角）的余角（补角）相等.(5) 对顶角相等.3．证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法：可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明. 4．辅助线的添加:(1)作公共边可构造全等三角形；(2)倍长中线法；(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.5. 证明三角形全等的思维方法:（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.（2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.（3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.【巩固练习】一.选择题1. 下列命题中, 错误的命题是( )A.两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等B.两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C.两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等D.两边和其夹角对应相等的两个三角形全等2. 如图, 在∠AOB的两边上截取AO ＝ BO, CO ＝ DO, 连结AD、BC交于点P. 则下列结论正确的是( )①△AOD≌△BOC；②△APC≌△BPD；③点P在∠AOB的平分线上A. 只有①B. 只有②C. 只有①②D. ①②③3. 如图, AB∥CD, AC∥BD, AD与BC交于O, AE⊥BC于E, DF⊥BC于F, 那么图中全等的三角形有( )A. 5对B. 6对C. 7对D. 8对4．如图，AB⊥BC于B，BE⊥AC于E，∠1＝∠2，D为AC上一点，AD＝AB，则（）．A．∠1＝∠EFD B． FD∥BC C．BF＝DF＝CD D．BE＝EC5. 如图，△ABC≌△FDE，∠C＝40°，∠F＝110°，则∠B等于（）A.20°B.30°C.40°D.150°6. 根据下列条件能画出唯一确定的△ABC的是（）A.AB＝3，BC＝4，AC＝8B.AB＝4，BC＝3，∠A＝30°C.∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4D.∠C＝90°，AB＝AC＝67. 如图，已知AB＝AC，PB＝PC，且点A、P、D、E在同一条直线上.下面的结论：①EB＝EC；②AD⊥BC；③EA平分∠BEC；④∠PBC＝∠PCB.其中正确的有（）A.1个B. 2个C.3个D. 4个8. 如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（）A．50 B．62 C．65 D．68二.填空题9. 在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（5，5），C（5，2），存在点E，使△ACE和△ACB全等，写出所有满足条件的E点的坐标．10. 如图，△ABC中，H是高AD、BE的交点，且BH＝AC，则∠ABC＝________.11. 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E.若AB＝20cm，则△DBE的周长为_________.12. 如图，△ABC中，∠C＝90°，ED∥AB，∠1＝∠2，若CD＝1.3cm，则点D到AB边的距离是_______.13. 如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，若点O到三角形三边的距离相等，则∠AOC＝_________.14. 如图，BA⊥AC，CD∥AB，BC＝DE，且BC⊥DE.若AB＝2，CD＝6，则AE＝_______.15. △ABC中，∠C＝90°，BC＝40，AD是∠BAC平分线，交BC于点D，且DC：DB＝3:5，则点D 到BA的距离是_______.16. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE是过A点的一条直线，AE⊥CE于E，BD⊥AE于D，DE＝4cm，CE＝2cm，则BD＝_______.三.解答题17．如图所示，已知在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，求证：AE＋CD＝AC．18. 在四边形ABCP中，BP平分∠ABC，PD⊥BC于D，且AB＋BC＝2BD.求证：∠BAP＋∠BCP＝180°.19. 如图：已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4,求证：BE＋CF＞EF.20．已知：△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠ADC＝60°．问题1：如图1，若∠ACB＝90°，AC＝m AB，BD＝n DC，则m的值为_________，n的值为__________．问题2：如图2，若∠ACB为钝角，且AB＞AC，BD＞DC．（1）求证：BD－DC＜AB－AC；（2）若点E在AD上，且DE＝DB，延长CE交AB于点F，求∠BFC的度数．【知识网络】【要点梳理】要点一、轴对称1.轴对称图形和轴对称（1）轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.（2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.要点二、作轴对称图形1.作轴对称图形（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.2.用坐标表示轴对称点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,－y）；点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（－x,y）；点（x,y）关于原点对称的点的坐标为（－x,－y）.要点三、等腰三角形1.等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.2.等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.3.直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【巩固练习】一.选择题1. 如图所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右．．对折，接着对折后的纸片沿虚线CD向下．．对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（）2. 如图，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为( )A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°3．在下列说法中，正确的是（）A．如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称的图形；B．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形；C．等腰三角形是关于底边中线成轴对称的图形；D．一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形 .4. 小明从镜中看到电子钟示数是，则此时时间是（）A.12：01B.10：51C.11：59D.10：215. 已知A（4，3）和B是坐标平面内的两个点，且它们关于直线x＝－3轴对称，则平面内点B的坐标是（）A.（1，3）B.（－10，3）C.（4，3）D.（4，1）6．如图，已知△ABC中，AC＋BC＝24，AO、BO分别是角平分线，且MN∥BA，分别交AC于N、BC于M，则△CMN的周长为（）A．12 B．24 C．36 D．不确定∠=︒，7. 如图，将△ABC沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处.若1129∠的度数为（）则2A. 49°B. 50°C. 51°D. 52°8. 如图, △ABC中, ∠ACB＝90°, ∠ABC＝60°, AB的中垂线交BC的延长线于D,交AC于E, 已知DE＝2.AC的长为（）A.2B.3C. 4D.5二.填空题9. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2cm，点E在BC上，且AE＝CE．若将纸片沿AE折叠，B重合，则AC＝cm．点B恰好与AC上的点110. 在同一直角坐标系中，A（a＋1，8）与B（－5，b－3）关于x轴对称，则a＝___________，b＝___________.11．如图所示，△ABC中，已知∠B和∠C的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB 于点D，交AC于点E，若BD＋CE＝9，线段DE＝_______．12. 如图所示，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，PD的长为________．13．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，点O在△ABC内，•且∠OBC＝•∠OCA，∠BOC＝110°，求∠A的度数为________．14. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C.若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为 .15. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60º，若BE＝6cm，DE＝2cm，则BC＝______________．16. 如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等．若AB＝1，BC＝CD＝3，DE＝2，则这个六边形的周长等于_________。
暑假八年级升九年级数学衔接班第一讲一元二次方程的解法(教案)
然而，我也发现了一些问题。在讲解重点难点时，可能由于时间安排不够合理，导致部分学生对因式分解法和求根公式的掌握不够熟练。为此，我计划在接下来的课程中，针对这些重点难点进行更加深入的讲解和练习，确保学生们能够扎实掌握。
举例：在解决行程问题时，学生需要根据问题情境，正确列出速度、时间和路程之间的关系式。
在教学过程中，教师应针对以上重点和难点进行详细讲解和示范，通过典型例题和练习题，帮助学生巩固知识，突破难点，确保学生能够熟练掌握一元二次方程的解法及其应用。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《一元二次方程的解法》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要解决两个未知数的问题？”（如分配问题、面积问题等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一元二次方程的解法。
举例：行程问题、面积问题等。
2.教学难点
（1）因式分解法的应用：学生需要熟练掌握各种因式分解方法，如提公因式法、平方差公式、完全平方公式等，并能灵活运用。
举例：求解方程x²+5x+6=0，需要运用平方差公式或完全平方公式进行因式分解。
（2）求根公式的理解和应用：学生需要理解求根公式的推导过程，并能够熟练运用求根公式解决一元二次方程问题。
2.分析与解决问题能力：培养学生将一元二次方程应用于解决实际问题的能力，提高学生分析问题和解决问题的素养。
人教版初二升初三暑假预习复习教材
人教版初二升初三暑假预习复习教材(课外辅导机构专用版)(总89页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除2第2讲 一元二次方程月 日 姓名：【学习目标】1、学会根据具体问题列出一元二次方程，培养把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。
2、了解一元二次方程的解或近似解。
3、增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。
【知识要点】1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为02=++c bx ax （a 、b 、c 、为常数，0a ≠）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
（1）定义解释：①一元二次方程是一个整式方程；②只含有一个未知数；③并且未知数的最高次数是2。
这三个条件必须同时满足，缺一不可。
（2）02=++c bx ax （a 、b 、c 、为常数，0a ≠）叫一元二次方程的一般形式，也叫标准形式。
（3）在02=++c bx ax （0a ≠）中，a ，b ，c 通常表示已知数。
2、一元二次方程的解：当某一x 的取值使得这个方程中的c bx ax ++2的值为0，x 的值即是一元二次方程02=++c bx ax 的解。
3、一元二次方程解的估算：当某一x 的取值使得这个方程中的c bx ax ++2的值无限接近0时，x 的值即可看做一元二次方程02=++c bx ax 的解。
【经典例题】例1、下列方程中，是一元二次方程的是 ①042=-y y ； ②0322=--x x ； ③312=x； ④bx ax =2； ⑤x x 322+=； ⑥043=+-x x ； ⑦22=t ； ⑧0332=-+xx x ； ⑨22=-x x ； ⑩)0(2≠=a bx ax3 例2、（1）关于x 的方程(m －4)x 2+(m +4)x +2m +3=0，当m __________时，是一元二次方程，当m __________时，是一元一次方程.（2）如果方程ax 2+5=(x +2)(x －1)是关于x 的一元二次方程，则a __________.（3）关于x 的方程135)32(12=+-++x x m m m 是一元二次方程吗为什么例3、把下列方程先化为一般式，再指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。
初二升初三暑假衔接 版本
目录第一讲一元一次方程的概念、根的意义、直接开平方法第二讲配方法、判别式第三讲公式法、分解因式法第四讲一元二次方程应用题第五讲根与系数的关系第六讲与方程有关的综合问题（一）第七讲与方程有关的综合问题（二）第八讲阶段性复习与测试（一）第九讲成比例线段第十讲平行线分线段成比例第十一讲探索三角形相似的条件第十二讲相似三角形的性质与应用（一）第十三讲相似三角形的性质与应用（二）第十四讲相似三角形综合复习第十五讲阶段性复习与测试（二）第一讲一元二次方程的概念、根的意义、直接开平方法知识点1：例1、下列方程中，哪些是一元二次方程？哪些不是？__________________2222(1) x =3; (2) x -5x=12+x ; (3) x +2xy-3=0变式练习：1、下列关于x 的方程中，是关于x 的一元二次方程的是_________（填写序号）①2k +5k+6=0;②23310;3412x x --=③22(3)320;m x x ++-=④2(1)(1)1;k x k x k ---=-例2、将一元二次方程化成一般形式，并指出它的二次项系数，一次项系数和常数项。
（1）2345;x x -=-（2）2(1)24x mx --=变式练习：1、将下列一元二次方程化成一般形式，并指出它的二次项系数，一次项系数和常数项。
（1）24535;x x -=--（2）222456112;x x x x --=-+（3）2.ax bx c +=3,+=-22例、m为何值时，方程mx nx 5x 4是关于x的一元二次方程，m n满足什么条件时，方程式关于x的一元一次方程？变式练习：1、m 1若方程（m-1）x 2x 3是关于x的一元二次方程，则m的值是________.+-=知识点2：例4、2(1)已知1是方程3x 3x (2m)0的根，则m=_______.-+--=（2）22若a是方程2x -x-3=0的一个解，则6a -3a=_______.变式练习：x 012221、关于的一元二次方程(a-1)x +x+a -1=0的一个根是，则a的值为（ ）A、-1B、1C、-1或1D、-+=22222、若a,b,c是非零实数，且a b c 0,则有一个根是1的方程是（ ）A、ax +bx+c=0B、ax -bx+c=0C、ax +bx-c=0D、ax -bx-c=0知识点3：例5、用直接开平方法解方程：()x ;()x ;()(x ).=-=--=22214236035110变式练习：1、解方程：()x ;()x ;()(x ).==+=2221823723313知识点4：例6、-++--=2m 1已知关于x的方程(m 3)x 2(m 1)x 10.（1）m 为何值时，原方程是一元二次方程？（2）m 为何值时，原方程是一元一次方程？例7、解方程：（1）();x +=223417（2）(x )(x ).+=-222332变式练习：解方程：（1）(x );+=232116（2）(x )(x ).-=+222552补充试题：()++21221、关于x的方程a x m b=0的解是x =-2,x =1(a,m,b均为常数，a≠0)，则方程a(x+m+2)+b的解是____________.222、证明关于x的方程(a -8a+20)x +2ax+1=0，不论a为何实数，该方程总是一元二次方程.2m 13、试分析关于x的方程(2m +m-3)x +5x=13能是一元二次方程吗？为什么？+达标训练：1、把方程（x－1）2＋2＝2x（x－3）化为一般形式是，其中二次项是，一次项系数是．2、某药品经过两次降价，每瓶零售价由162元降为128元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，则根据题意可得方程．3、方程2x-4=0的解也是关于方程220++=的解，则m的值为.x mx若x+mx-15=(x+3)(x+n),则m-n的值是________.5、222第二讲配方法、判别式知识点1：例1、用配方法解下列方程：2(2)2x4x30.+-= (1)x4x30;++=2变式练习：用配方法解下列方程：2+-=(2)2x8x30.(1)x6x30;++=2-+=例2、用配方法解关于x的方程：2x2x m0变式练习：用配方法解关于x 的方程：(0)++=ax bx c a ≠20知识点2：例3、不解方程，判断下列方程的根的情况：+=2(1)5x -7x 50；2(2)5x -5=7x ;-2(3)x =6x 9.变式练习：不解方程，判断下列方程的根的情况：-=2(1)4x -3x 20;2(2)4x +1=-3x ;2(3)4x +1=-4x .例4、-+=2已知关于x的方程x mx 20有两个相等的实数根，求m的值.变式练习：-+-=2271、已知关于x的方程x （2k-1）x k 0有两个相等的实数根，求k的值.4+=22、当t取什么值时，关于x的一元二次方程2x +tx 20有两个相等的实数根.-+=22例5、(1)关于x的方程x （2m-2）x m 0有两个不相等的实数根，求m的取值范围.++=2(2)若关于x的方程ax （2a+2）x a 0有实数解，求a的取值范围.变式练习：--=21、关于x的一元二次方程(1-k)x 2x 10有两个不相等的实数根，求k的取值范围.+=22、关于x的方程x +2kx 10有两个不相等的实数根，求k的取值范围。
人教版初二升初三暑假预习复习教材(课外辅导机构专用版)
第 2 讲 一元二次方程月日姓名：【学习目标】1、学会根据具体问题列出一元二次方程，培养把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。
2、了解一元二次方程的解或近似解。
3、增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。
【知识要点】1、一元二次方程的定义： 只含有一个未知数的整式方程， 并且都可以化为 ax 2bx c 0（ a 、b 、c 、为常数， a 0 ）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
（ 1）定义解释：①一元二次方程是一个整式方程；②只含有一个未知数；③并且未知数的最高次数是 2。
这三个条件必须同时满足，缺一不可。
（ 2） ax2bx c 0 （ a 、 b 、 c 、为常数， a 0 ）叫一元二次方程的一般形式，也叫标准形式。
（ 3）在 ax2bx c 0 （ a 0 ）中， a ， b ， c 通常表示已知数。
2、一元二次方程的解：当某一x 的取值使得这个方程中的ax 2bx c 的值为 0， x 的值即是一元二次方程 ax 2bx c 0 的解。
3、一元二次方程解的估算：当某一x 的取值使得这个方程中的ax 2bx c 的值无限接近 0时， x 的值即可看做一元二次方程ax 2bx c 0 的解。
【经典例题】例 1、下列方程中，是一元二次方程的是① y2y0；② 2x2x 3 0；③13 ；④ ax2bx ；4x2⑤ x22 3x ；⑥ x3x 4 0 ；⑦ t22 ；⑧ x23x3 0 ；x⑨ x2x 2 ； ⑩ ax2bx(a 0)例 2、（ 1）关于 x 的方程 ( m － 4) x 2+( m +4) x +2m +3=0，当 m __________ 时，是一元二次方程，当m__________时，是一元一次方程.（ 2）如果方程ax2+5=( x+2)( x－ 1) 是关于x的一元二次方程，则a__________.（ 3）关于 x 的方程(2m2m 3) x m 15x 13 是一元二次方程吗?为什么？例 3、把下列方程先化为一般式，再指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。
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第一讲 一元二次方程的解法（一）【基础知识精讲】1．一元二次方程的定义：只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为ax 2＋bx+c=0 (a 、b 、c 为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
注意： 满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。
（三个条件缺一不可）2．一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般式是ax 2＋bx+c=0 (a 、b 、c 为常数，a≠0）。
其中ax 2是二次项， a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。
3．一元二次方程的解法：⑴ 直接开平方法：如果方程 (x+m ）2= n (n≥0)，那么就可以用两边开平方来求出方程的解。
(2) 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0 (a ≠0）的一般步骤是： ① 化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；② 移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； ③ 配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方； ④ 化原方程为(x+m ）2=n 的形式；⑤ 如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n ＜0，则原方程无解． 注意：①方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2=3（x ＋4）中，不能随便约去（x ＋4）.②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．【例题巧解点拨】（一）一元二次方程的定义：例1：1、方程①13122=-x x ②05222=+-y xy x ③0172=+x ④022=y 中一元二次方程是 .A. ①和②；B.②和③ ；C. ③和④；D. ①和③2、要使方程（a-3）x 2+（b+1）x+c=0是关于x 的一元二次方程，则__________. A ．a ≠0 B ．a ≠3C ．a ≠1且b ≠-1D ．a ≠3且b ≠-1且c ≠03、若（m+1）(2)1m m x +-+2mx-1=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是________． （二）一元二次方程的一般形式：例2：一元二次方程)1(2)2)(1(2-=+-x x x 的一般形式是 ；二次项系数是 ；一次项系数是；常数项是 。
（三）一元二次方程的解法:例3:判断下列括号里的数哪个是方程的解。
（1）)0,2,1(232x x = (2))4,5,5(0252-=-x例4:若1-=x 是关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的一个根，求代数式）（c b a +-2008的值。
例5:解方程：用直接开平方法解一元二次方程：（1）0252=-x （2） 900)12(16002=-x（3）32=y （4）08)12(212=--x ）用配方法解一元二次方程：（1）（2012 荆州）0342=+-x x （2）015122=-+x x（3）161442=++x x （4）1622=+x x例6:（开放题）关于x 的方程1322-=+x bx ax 一定是一元二次方程吗？若是，写出一个符合条件的a 值。
【随堂练习】A 组一、填空题: 1.在4(1)(2)5x x -+=,221x y +=,25100x -=,2280x x +=，0=,213x x=+,22=a ，223213x x x +=-，22)12)(3(x x x =-+中，是一元二次方程有_________个 。
2.关于x 的方程是(m 2–1)x 2+(m –1)x –2=0，那么当m 时，方程为一元二次方程；当m 时，方程为一元一次方程.3.把方程9)2)(2()1(3+-+=-x x x x 化成一般式为____________________.二次项系数是_____、一次项系数是_______、常数项是是_________.4．关于的x 的一元二次方程方程(a-1)x 2+x+a 2-1=0的一个根是0, 则a 的值是___________.5.223____(_____)x x x -+=-; 2226____2(_____)x x x -+=-6. 一元二次方程20a x b x c ++=若有两根1和－1,那么a b c ++=________,a b c -+= 。
二、按要求解下列方程:1.223)52(=-a （直接开平方法）2.0362=+-x x (配方法)B 组一、填空题:1.当_____m =时, 关于x 的方程2(80m m x mx -+=是一元二次方程. 2.如果关于x 的方程（k 2－1）x 2+2kx+1=0中，当k=±1时方程为____________方程． 3.已知256y x x =-+,当x=_______时,y=0; 当y=_______时,x=0.4.220b c ++=时,则20ax bx c ++=的解为____________________.5. 方程2230x x --=的解是_______________________二、用配方法解下列方程:1.(1)(3)12x x -+= 2．01)32(2)32(2=++-+x x3．01442=--x x 4.04)12()12(22=+++-a x a x三、解答题。
1．（2012 昆明）已知a 是方程0120042=+-x x 的一个根，试求12004200322++-a a a 的值。
2．（学科内综合题）一元二次方程02=++c bx ax 的一个根是1，且a,b 满足等式122--+-=a a b ，求此一元二次方程。
家庭作业校区： 姓名：_________ 科目： 数学 第 1 次课 作业等级：______第一部分：1．（2012教材1+1）下列方程，是一元二次方程的是（ ）A. 08692=--x x B. 065=+a C. 01742=+-y x D. 0862=--x x2.（2007，广州）方程8652-=a a 化为一元二次方程一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）A. 5,6,-8B. 5，-6，-8C. 5，-6,8D. 6,5，-8第二部分：3.（2012，哈尔滨）若关于x 的方程012122=-++-k x x k ）（的一个根是0，则 k= 。
4.(2011，山西)请你写出一个有一根为1的一元二次方程： 。
5.（2009，丽水）用配方法解方程542=-x x 时，方程的两边同加上 ，使得方程左边配成一个完全平方式。
第三部分：6.解下列方程： （1）22)6()2(x x -=-(直接开平方法) （2）（2012，义乌）2220x x --=（用配方法）（3）（2011，兰州）用配方法解次方程：x x 3122=+7.（2012，潮州）当a 为何值时，关于x 的方程036132=-++ax x a ）（是一元一次方程？当a 为何值时，原方程是一元二次方程？第二讲 一元二次方程的解法（二）【基础知识精讲】一元二次方程的解法： ⑴ 直接开平方法： (2) 配方法： ⑶ 公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是a acb b x 242-±-= (b 2－4ac≥0) 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①化方程为一元二次方程的一般形式； ②确定a 、b 、c 的值； ③求出b 2－4ac 的值；④若b 2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x 1 ,x 2．若b 2－4a ＜0，则方程无解．(4) 因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．它的理论根据是两个因式中至少要有一个等于0，因式分解法的步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．注意：①方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2=3（x ＋4）中，不能随便约去（x ＋4）②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．(5)换元法：【例题巧解点拨】（一）知识回顾例1：对于关于x 的方程,)(2n m x =+它的解的正确表达式是（ ） A.用直接开平方法，解得n x ±= B.当0≥n 时，n m x ±= C ．当0≥n 时，m n x -±= D.当0≥n 时，m n x -±= 例2 ：用配方法解方程：)0(02≠=++a c bx ax （探索求根公式）（二）用公式法解一元二次方程 例3：用公式法解方程：（1）0232=--x x （2）52)2)(1(+=++x x x练习：（1）0822=--x x （2）02722=+-x x（三）用因式分解法解一元二次方程 例4：利用因式分解解方程：（1）0232=+-x x (2) 01762=+-x x练习：(1) x x 32= (2) 0822=--x x例5：用适当的方法解下列方程：（1）0442=++y y （2）)5(2)5(32x x -=-（310)1)(2(=-+x x ） （4）0222=--x x【同步达纲练习】A 组一、按要求解下列方程:1.816435-2=）（x （直接开平方法） 2. 0672=+-x x (因式分解法)3. 0362=+-x x (配方法)4. 2230x x +-= (求根公式法)二、用适当的方法解下列各题:5．(1)(3)12x x -+= 6．x x -=-6)2(27．2(23)3(23)40x x +-+-= 8.0825702=+-x x三、填空题:1. 方程:①230x -=, ②291210x x --=, ③2121225xx += ,④22(51)3(51)x x -=-,较简便的解法_________。
A .依次为直接开平方法,配方法,公式法和因式分解法B.①用直接开平方法,②用公式法,③④用因式分解法C. 依次为因式分解法,公式法,配方法和直接开平方法D. ①用直接开平方法,②③用公式法,④用因式分解法2.(2009 云南) 一元二次方程0252=-x x 的解是_____________________。
3．（2012东营）设b a ,是一个直角三角形两条直角边的长，且12)1)((2222=+++b a b a ，则这个直角三角形的斜边长为 。