中考复习微专题----辅助圆问题及题例(二)
2020年江苏中考数学复习第6章圆微专题 辅助圆问题
微专题 辅助圆问题
微专题 辅助圆问题
(宿迁 2016.25，淮安 2016.28，盐城 2015.28)
模型一 “辅助圆”解点的存在性
模型分析
“定边、定角”圆上找．具体来说：当边长一定，其所对角度也一定时，该角顶点 在两段弧上．
微专题 辅助圆问题
针对训练 1. 如图，已知线段AB. (1)请你在图①中画出使∠APB＝90°的所有满足条件的点P； (2)请你在图②中画出使∠APB＝60°的所有满足条件的点P； (3)请你在图③中画出使∠APB＝45°的所有满足条件的点P.
第3题图
请你总结，满足条件的P点具有的特点：_点__P_为__A__B_的__中__垂__线__与__直__线__b_的__交__点___.
微专题 辅助圆问题
4. 如图，当直线b与球门AB互相垂直时，球员(边锋)沿直线b带球，在直线b上是否存 在一点P，使得球员在P点射门更易进球？若存在这样的点，请找出；若不存在，请 说明理由．
微专题 辅助圆问题
针对训练 5. 如图，已知正方形ABCD的边长为4.点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速 度沿BC、CD方向向终点C和D运动．连接AM和BN，交于点P，则PC长的最小值为 _2___5___2_．(请在图中画出点P的运动路径)
(完整word)九年级数学提升之辅助圆问题
九年级数学尖子生辅导提升辅助圆问题考点一：共顶点等线段问题1. 如图1，在直角梯形ABCD 中90,3,4,6DAB ABC AD AB BC ∠=∠=︒===，点E 是线段AB 上一动点，将EBC ∆沿CE 翻折到EB C '∆，连结,B D B A ''.当点E 在AB 上运动时，分别求,,B D B A B D B A ''''+的最小值.2. 在ABC △中，BA BC BAC =∠=α，，M 是AC 的中点，P 是线段BM 上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ．⑴ 若α=60︒且点P 与点M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出CDB ∠的度数；⑵ 在图2中，点P 不与点B M ，重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ， 猜想CDB ∠的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；3. 已知：AOB △中，2AB OB ==，COD △中，3CD OC ==，ABO DCO =∠∠．连接AD 、BC ，点M 、N 、P 分别为OA 、OD 、BC 的中点．图1NMOPDCBA图2NM OPDCBA⑴ 如图1，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且60ABO =∠°，则PMN △的形状是___________，此时ADBC=________； ⑵ 如图2，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且2ABO α=∠，证明PMN BAO △∽△，并计算ADBC的值（用含α的式子表示）；考点二：定边对定角问题1. 已知90AOB ∠=︒，OM 是AOB ∠的平分线．将一个直角RPS 的直角顶点P 在射线OM 上移动，点P 不与点O 重合．如图，当直角RPS 的两边分别与射线OA 、OB 交于点C 、D 时，请判断PC 与PD 的数量关系，并证明你的结论；RBPCAD OG S M321G N SH ODACMPBR2. 如图，正方形ABCD边长为2，点E是正方形ABCD内一动点，90AEB∠=︒，连结DE，求DE的最小值.3. 如图，四边形ABCD是正方形，M是BC上一点，ME AM⊥交BCD∠的外角平分线于E，求证：AM EM=．AB CDEM4.如图, 45XOY∠=︒，一把直角三角形尺ABC的两个顶点,A B分别在,OX OY 上移动，10AB=，求点O到AB距离的最大值.5. 如图，正三角形ABCAD BC，点E是射线AD上一动点(不∆边长为2，射线//与点A重合)，AEC∆外接圆交EB于点F，求AF的最小值.6. 在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放在点P 处，三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F，连接EF．⑴ 如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长；⑵ 将三角板从⑴中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E与点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：① ∠PEF的大小是否发生变化？请说明理由；② 直接写出从开始到停止，线段EF的中点所经过的路线长．D考点三：四点共圆问题1. 如图，在四边形ABCD 中，AC 是BAD ∠的平分线，若180B D ∠+∠=︒，求证：BC CD =．2. 如图，在正△ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，且AD=31AC ，AE=32AB ，BD ，CE 相交于点F 。
圆中辅助线应用的典型例题
圆中辅助线应用的典型例题圆是数学中非常重要的一个几何图形，在数学教学中也经常涉及到相关内容。
圆中辅助线的应用也是数学教学中的一个重要内容。
在这里，我将为大家介绍一下圆中辅助线应用的典型例题。
例题一：如图，已知圆的半径OA和圆心角α，求BC 的长度。
解题思路：由于圆心角α是已知的，可以根据圆心角公式计算出弧长AC，即AC = αR，其中R为圆的半径。
又因为BC是弦，所以可以根据弦长公式计算出BC的长度：BC = 2√(R² - AC²/4)。
因此，只需把圆心角α和半径OA 代入公式，就可以得出BC的值。
例题二：如图，已知圆的半径OA和圆心角α，DE与BC平行，求DE的长度。
解题思路：由于DE与BC平行，所以可以构造辅助线EF与BC垂直，如图所示。
则BE = EC = Rcos(α/2)，EF = Rsin(α/2)，因此BF = 2Rsin(α/2)。
根据正弦定理，在三角形BDF中，有sin(α/2)/BD = sin(γ)/BF，又因为sin(γ) = DE/BD，所以DE = BDsin(α/2)/sin(γ)，代入BF的值即可求出DE的长度。
例题三：如图，已知圆上两个点A、B和点P到AB的距离为h，求圆心O到AB的距离d。
解题思路：首先，构造辅助线PC，并延长到圆上的交点D，如图所示。
则OP垂直于AB，所以POD是直角三角形。
由于PO = R - h，OD = √(R² - PD²)，所以DP =√(R² - (R - h)²)。
在三角形PBD中，有d/BD = PO/DP，所以d = (R - h)BD/√(R² - (R - h)²)，代入数据即可求出d的值。
以上就是三个典型的圆中辅助线应用例题。
这些例题的重点在于如何灵活应用几何知识，构造合适的辅助线，从而得出正确的解答。
在学习数学的过程中，需要不断地训练自己的思维能力，培养解决问题的能力。
初三春季0元课 第22讲 辅助圆(2)(学生版)
PEF第 22 讲 辅助圆（2）1．共端点，等线段 2．两直角三角形共斜边（1）共斜边的两个直角三角形组成的四边形的四个顶点共圆．（两直角顶点位于斜边同侧）（2）共斜边的两个直角三角形组成的四边形的四个顶点共圆．（两直角顶点位于斜边异侧）【例 1】在等腰直角三角形 ABC 中，∠BAC ＝90°，D 为 BC 边的中点，E 、 F 分别为 AB 、AC 上的点，且满足∠EDF ＝90°．求证：DE ＝DF ．A BD C【例 2】在△ABC 中，∠ABC = 90 ， AB = 6 ，BC = 8 ，O 为 AC 的中点，过O 作OE ⊥ OF ，OE 、OF 分别交射线 AB ， BC 于 E 、F ，则 EF 的最小值为多少？A EBFC 【例 3】如图， R t △ABC 中， AB ⊥ BC ， AB = 6 ， BC = 4 ， P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB = ∠PBC ，则线段CP 长的最小值为（ ）A ．3 A2 B ． 2 C ．8 13 13 D ．12 13 13BCO3 【例 4】如图，E 、F 是正方形 ABCD 的边 AD 上两个动点，满足 AE =DF ． 连接CF 交 BD 于点G ，连接 BE 交 AG 于点 H ．若正方形的边长为2 ，则线段 DH 长度的最小值是多少？A E F DB C【例 5】如图，等边△ABC 中， AB = 6 ， P 为 AB 上一动点 PD ⊥ BC ，PE ⊥ AC ，则 DE 的最小值为多少？ABDC 【练习 1】如图，在 ABCD 中， ∠BCD ＝30︒ ， BC ＝4 ，CD ＝3 ，M 是 AD 边的中点， N 是 AB 边上一动点，将△AMN 沿 MN 所在直线翻折得到 △PMN ，连接 PC ，则 PC 长度的最小值是多少？DCMPANB【练习 2】如图，在矩形 ABCD 中，AB = 2 ，AD = 3 ，点 E ，F 分别为 AD 、DC 边上的点，且 EF = 2 ， G 为 EF 的中点， P 为 BC 边上一动点，则 PA + PG 的最小值为多少？AE D GFEP。
中考数学几何最值模型 专题03 辅助圆模型(学生版+解析版)
辅助圆模型模型讲解一、定点定长1、O为定点，OA=OB，且长度固定，那么O、A、B三点可以确定一个圆，动点P在圆弧AB上运动，如图所示，Q为圆外一定点，当P运动到OQ的连线上时，即：P落到P1处，O、P1、Q三点共线时，PQ最小。
二、定弦定角2、线段AB固定，Q为动点，且∠AQB为定值，那么Q、A、B三点可以确定一个圆，动点Q在圆弧AB上运动，如图所示，R为圆外一定点，当Q运动到OQ的连线上时，即：P落到P1处，O、P1、Q三点共线时，RQ最小。
方法点拨一、题型特征：①动点的运动轨迹为圆②圆外一点到圆上一点的距离最短：即圆外一点与圆心连线与圆的交点③常见确定圆的模型：定点定长、定弦定角。
二、模型本质：两点之间，线段最短。
例题演练1．如图，已知AB＝AC＝BD＝6，AB⊥BD，E为BC的中点，则DE的最小值为（）A．3﹣3B．3C．3﹣3D．2【解答】解：取AB的中点O，连接AE，OE，OD．∵AB＝AC，BE＝EC，∴AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∵OA＝OB，∴OE＝AB＝3，∵AB⊥BD，∴∠OBD＝90°，∵OB＝3，BD＝6，∴OD＝＝＝3，∵DE≥OD﹣OE，∴DE≥3﹣3，∴DE的最小值为3﹣3，故选：C．强化训练1．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝8，点P为矩形内一动点，且满足∠PBC ＝∠PCD，则线段PD的最小值为（）A．5B．1C．2D．3 2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE ⊥BE，则线段CE的最小值为．3．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2．若P为△ABC内一动点，且满足∠P AB ＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为．4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是平面内的一个动点，且满足∠AEB＝90°，连接CE，则线段CE长的最大值为．5．如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A，B，则P A是点P 到⊙O上的点的最短距离．（1）探究一：如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是．（2）探究二：如图3，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′C长度的最小值．（3）探究三，在正方形ABCD中，点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，若AD＝4，试求出线段CP的最小值．1．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是．辅助圆模型模型讲解一、定点定长1、O为定点，OA=OB，且长度固定，那么O、A、B三点可以确定一个圆，动点P在圆弧AB上运动，如图所示，Q为圆外一定点，当P运动到OQ的连线上时，即：P落到P1处，O、P1、Q三点共线时，PQ最小。
提分专题十 辅助圆问题
距离最大值
+
2
+
过点 作直线 的垂线，其反向延长线与 ⊙ 的交点
此时点 的位置
即为点
点 到直线 的
距离最小值
−
0
过点 作直线 的垂线，与 ⊙ 的
此时点 的位置
交点即为点
0
直线 与 ⊙ 的
交点即为点
针对训练
重合）；
（3）如图3，当 ∠ > 90∘ 时，点 的运动轨迹为劣弧 （不与点
， 重合）
针对训练
4.如图， △ 为等边三角形， = 3 ．若 为 △ 内一动点，且满足
∠ = ∠ ，则线段 长度的最小值为(
A.1.5
B.
√
3
4 3
C.
4
)
16
D.
5
第8题图
9.如图，在 △ 中， = 9 ， = 12 ，
= 15 ， 为直线 上方一点，连接 ， ，
且 ∠ = 90∘ ，过点 作直线 的垂线，垂足为
12
，则线段 的最大值为____．
第9题图
类型 四 点圆最值
的半径为1，点 是 边上的动点，过点 作 ⊙ 的一条切
线 （点 为切点），则线段 的最小值为(
A. 2
√
2
B. 4 3
C. 2 3
)
D.4
第14题图
提分专题十
辅助圆问题
类型 一 定点定长
已知平面内一定点 和一动点 ，若 长度固定，则点 的运动轨迹是
以点 为圆心， 长为半径的圆（如图1）（依据：圆的定义）
中考数学一轮培优微专题 辅助圆问题
模型一 定点定长作圆
(绵阳：2019.25)
模型分析
平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹在以点A为圆心，AB长 为半径的圆上(如图①). 依据的是圆的定义：圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合．
拓展：如图②，点E为定点，点F为线段BD上的动 点(不含点B)，将△BEF沿EF折叠得到△B′EF，则 点B′的运动轨迹为以点E为圆心，以线段BE为半径 的一段圆弧．
图③
针对演练 5. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，O为AB的中点，过点O作 OE⊥OF，OE、OF分别交AC、BC于点E、F，则EF的最小值为____5____．
第5题图
模型五 点圆最值 模型分析 平面内一定点D和⊙O上动点E的连线中，当连线过圆心O时，线段DE有最大值和最小 值．具体分以下三种情况讨论(规定：OD＝d，⊙O半径为r)： 1. 当D点在⊙O外时，d>r，如图①、②：当D、E、O三点共线时，线段DE出现最值， DE的最大值为d＋r，DE的最小值为d－r；
图①
分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，(如图②)在线段OB上截取OC使OC＝ k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB＝PC.所以本题求“PA＋k·PB”的最小值转 化为求“PA＋PC”的最小值，即A、P、C三点共线时最小(如图③)，本题得解．
“阿氏圆”一般解题步骤：
第一步：将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接，即连接OP、OB；
2. 如图，⊙O与直线l相离，点P是⊙O上的一个动点，设圆心O到直线l的距离为d，⊙O 的半径为r，则点P到直线l的最小距离是__d_－__r___(如图③)，点P到直线l的最大距离是 ___d_＋__r__(如图④)．
巧作辅助圆解决问题
巧作辅助圆解决问题在近几年中考试卷中，常出现这样一类题目，从表面上看是一个三角形或四边形问题，用三角形或四边形的知识来解决非常困难，甚至根本无法解决，但我们可以从已知条件中发现蛛丝马迹，也就是发现图形中的隐含特征，从而通过构造辅助圆，借助圆的知识来解决问题这样的问题一般具有以下特征一、到定点的距离等于定长例1如图1，在正方形ABCD外侧作直线DE，使45°＜∠CDE＜90°，点C关于直线DE的对称点为M，连接CM，AM，其中AM交直线DE 于点N，若MN＝4，AN＝3，则正方形ABCD的边长为( )。
A. B.5C.5D.解析:如图2，连接DM，由于点C、M关于直线DE对称,故直线DE垂直平分线段CM，因而DC＝DM.四边形ABCD是正方形，故DA＝DC＝DM，即点A、C、M到点D的距离相等，根据这一特征，我们可以想到，以点D为圆心，DA的长为半径画圆，则点C、M必在⊙D上.由∠ADC＝90°，可得∠AMC＝45°.连接CN，则CN＝MN＝4，故∠MCN＝∠AMC＝45°，从而∠ANC＝90°，连接AC，我们不难求出AC＝，选D。
点评:随着直线DE位置的变化，点M的位置也在变化，但它一定在以点D为圆心，DA的长为半径的圆上，这就是运动变化中的不变关系，解决这类问题的关键是抓住“A、C、M三点到点D的距离相等”这一特征，但这个特征比较隐蔽，不容易发现，要综合考虑本题中的所有条件，而且要有一定的洞察力和解题经验.事实上，这类问题中的隐含条件往往都不是一眼就能看出来的。
二、张角为直角例2如图3，在等腰R△ABC中，∠BAC=90º，AB=AC，BC=2，点D 是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为（）。
A、2-2B、C、-1D、-1解析：本题中点D在动，直径AD的大小在变，线段BD在动，点E也在动，运动变化中有不变的量吗?有！如图4，连接AE，由于AD为直径，故∠AED的大小保持不变，为直角，从而∠AEB始终为直角，∠AEB的两边经过线段AB的两个端点，我们不妨称∠AEB为线段AB所对的张角。