_实际问题与一元二次方程(利润问题)
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人教版九年级上册实际问题与一元二次方程利润问题优秀ppt
练习1、 某种服装,平均每天可销售20件,每件盈 利44元.若每件降价1元,则每天可多售5件.如 果每天盈利1600元,应降价多少元?
等量关系是:每件服装的利润 每天售出的数量=1600 分析:若设每件服装降价x元,每件盈利(_4_4___x_) 元,每天 能售出(_2_0__5_x_)件.
解: 设每件服装应降价 x元,根据题意,得 (44 x)(20 5x) 1600.
均每天销售这种衬衫的盈利要达到1200元，每件衬衫
解应：降⑴价设多每少件元衬？ 衫（ 2应）降每价天x衬元衫 降⑵价设多 商少 元场时平，均商每场天平盈利
根据均题每意天得盈：利最多？
为y元
（40-x）（20+2x）=1200 则：y= （40-x）（20+2x）
∴ x2-30x+200=0 解之得：x1=10, x2=20 而商场为了尽快减少库存
解: 设每件衬衫应降价 x元,根据题意,得
(40 x)(20 2x) 1200.
整理得 : x2 30 x 200 0. 解这个方程 ,得
x1 20, x2 10. 20 2x 60,或20 2x 40.
答 :为了尽快减少库存 ,应降价20元.
3.某个体经营户以2元/千克的价格购进一批西瓜，以3元 /千克的价格出售，每天可卖出200千克，为了促销，该 经营户决定降价销售。经调查发现这种西瓜每降价0.1 元/千克 ,每天可多售出40千克（每天房租等费用共计 24元），该经营户要想赢利200元，应将每千克的西瓜 的售价降低多少元？
例1: 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,
平均每月能售出600个.市场调研表明:当销售价
为每上涨1元时,其销售量就将减少10个.商场要
《实际问题与一元二次方程2-销售利润问题》
一元二次方程标准形式及解法
一元二次方程的标准形式
01
$ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a neq 0$。
解法
02
一元二次方程的解法包括因式分解法、完全平方公式法和公式
法（韦达定理）。
公式法中的求根公式
03
$x = frac{-b pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
判别式与根个数关系
结果展示
将求解得到的最优产品价格和销售量组合进行展示，并计算出对应的最大销售利润。
结果解释
对求解结果进行详细解释，说明最优组合是如何实现销售利润最大化的。
讨论与局限性
讨论模型的适用性和局限性，以及在实际应用中可能遇到的问题和解决方案。例如，市场 需求变化、竞争对手策略调整等因素可能对最优组合产生影响，需要企业根据实际情况进 行调整和优化。
04 建立销售利润问题数学模 型
确定未知数和参数
未知数设定
通常将我们需要求解的量设为未知数 ，如销售量、销售单价、成本等。
参数设定
除了未知数外，问题中还会给出一些 已知条件或参数，如固定成本、单位 变动成本、销售价格等。
根据实际问题建立方程
利润公式
利润 = （销售单价 - 单位成本） × 销售量 - 固定成本。
求解过程
按照所选解法逐步求解方程，得出未知数的值。在求解过程中，需要注意计算准 确性和步骤规范性。
05 案例分析：某企业销售利 润最大化问题
案例背景介绍
企业基本情况
目标市场与消费者需求
某企业是一家生产并销售家居用品的 公司，近年来面临市知名度等方面有较 高要求。
06 总结与展望
本文主要工作及成果总结
学会列一元二次方程解决有关销售利润问题教学设计
学会列一元二次方程解决有关销售利润问题教学设计
一复习回顾
1我们学过的有关销售利润问题中常见的量有哪些？它们之间有怎样的数量关系？
常见的几个量有：进价，售价，销售量、利润，利润率.
数量关系：单件利润 =单件售价-单件进价
商品总利润=总收入-总成本
※=单件利润*销售量
利润率= 售价−进价
*100%
进价
2根据题意填空
（1）某种电器，每件进价a元，售价b元，则销售这种电器每件的利润为元 .
（2）某种月饼，每盒进价a元，原售价b元，如果每盒降价c元销售，则降价后这种月饼每盒的利润为元.
（3)某种月饼，每盒进价a元，原售价b元，如果每盒升价c元销售，则升价后这种月饼每盒的利润为元.
(4)某商人将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，则1件利润是
____元 ;若每天可销出100件,则一天的总利润是______元.
二新课讲授
例1：某超市将购进一批单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品要涨价1元，其销售量就要减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少？
解：设每个商品涨价x元
由题意，得 (50+x－40)(500－10x)=8000，
整理得 x2－40x+300=0，
解得x1=10，x2=30。
21.3实际问题与一元二次方程——利润问题
整理，得 x2 30x 200 0 解得 x1 10, x2 20
思考：这两个根都可以取吗？
探究1 ：
某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销量， 增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果 每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件。若商场平均每天销售这种衬衫 的盈利要达到1200元，每件衬衫应降价多少元？
练习：
2、某童装大世界在销售中发现：“宝宝乐”牌童装平均每天可售出20
件，每件盈利40元. 为了迎接”六一”儿童节，尽快减少库存,商场决定
采取适当的降价措施经调查发现,如果每件童装降价0.5元，那么平均每
天就可多售出4件. 要想平均每天盈利1200元,那么每件童装应该降价多
少元?
每件童装降价1元，多售出
润为 500 元。
所用等量关系为 单件利润×数量=总利润 。
探究1 ：
某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销量， 增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果 每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件。若商场平均每天销售这种衬衫 的盈利要达到1200元，每件衬衫应降价多少元？
分析：每件衬衫降价0.5元，多售出5件，销售量为 （20+5）件；
每每件件衬衬衫衫降降价价1x元元，，多多售售出出05.55 =1x0件件，，销销售售量量为为（（2200++
5） 05.5x）
件 件
0.5
0.5
练习：
1、某童装大世界在销售中发现：“宝宝乐”牌童装平均每天可售出20
件，每件盈利40元. 为了迎接”六一”儿童节，尽快减少库存,商场决定
教学重点： 列一元二次方程解利润问题应用题.
思考：这两个根都可以取吗？
探究1 ：
某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销量， 增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果 每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件。若商场平均每天销售这种衬衫 的盈利要达到1200元，每件衬衫应降价多少元？
练习：
2、某童装大世界在销售中发现：“宝宝乐”牌童装平均每天可售出20
件，每件盈利40元. 为了迎接”六一”儿童节，尽快减少库存,商场决定
采取适当的降价措施经调查发现,如果每件童装降价0.5元，那么平均每
天就可多售出4件. 要想平均每天盈利1200元,那么每件童装应该降价多
少元?
每件童装降价1元，多售出
润为 500 元。
所用等量关系为 单件利润×数量=总利润 。
探究1 ：
某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销量， 增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果 每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件。若商场平均每天销售这种衬衫 的盈利要达到1200元，每件衬衫应降价多少元？
分析：每件衬衫降价0.5元，多售出5件，销售量为 （20+5）件；
每每件件衬衬衫衫降降价价1x元元，，多多售售出出05.55 =1x0件件，，销销售售量量为为（（2200++
5） 05.5x）
件 件
0.5
0.5
练习：
1、某童装大世界在销售中发现：“宝宝乐”牌童装平均每天可售出20
件，每件盈利40元. 为了迎接”六一”儿童节，尽快减少库存,商场决定
教学重点： 列一元二次方程解利润问题应用题.
一元二次方程实际应用之利润问题
• 分析：可列方程为：
(a-21)(350-10a)=450
1、某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,若每 件商品售价为x元,则每天可卖出(350-10x)件,但物价局限 定每件商品加价不能超过进价的20%.商店要想每天赚400 元,需要卖出多少件商品?每件商品的售价应为多少元?
例2 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天 可销售出20件，每件盈利40元，经调查发 现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均 每天可多售出2件．若商场平均每天要盈 利1200元，每件衬衫应降价多少元？
等量关系是:每件服装的利润 每天售出的数量=1600
分析:若设每件服装降价x元,每件盈利(_4_4 _ _x)__元,每天
能售出_(_20__5_x_)件.
规定 ： 利润 = 售价 - 进价 5.利润率：利润占进价的百分率，即利润率 = 利润÷进价×100﹪ 6.打折：卖货时，按照标价乘以十分之几或百分之几十，则称
将标价进行了几折.或理解为：销售价占标价的百分率. 例如某种服装打 8 折即按标价的百分之八十出售，或 按标价的十分之八出售
• 例1、某商场从厂家以每件21元的价格购进 一批商品，若每件的售价为a元，则可卖出 （350—10a）件，商场计划要赚450元，则 每件商品的售价为多少元？
解：设每件衬衫应降价 x 元，根据题 意，得
（40－x）（20＋2x）＝1200．
整理得：x2－30x＋200＝0． 解得，x1＝10，x2＝20． 答：每件衬衫应降价 10 元或 20 元．
• 引例3某商店经销一种销售成本为每千克40元的 水产品，椐市场分析，若按每千克50元销售，一 个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售 量就减少10千克。针对这种水产品的销售情况， 要使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多
(a-21)(350-10a)=450
1、某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,若每 件商品售价为x元,则每天可卖出(350-10x)件,但物价局限 定每件商品加价不能超过进价的20%.商店要想每天赚400 元,需要卖出多少件商品?每件商品的售价应为多少元?
例2 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天 可销售出20件，每件盈利40元，经调查发 现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均 每天可多售出2件．若商场平均每天要盈 利1200元，每件衬衫应降价多少元？
等量关系是:每件服装的利润 每天售出的数量=1600
分析:若设每件服装降价x元,每件盈利(_4_4 _ _x)__元,每天
能售出_(_20__5_x_)件.
规定 ： 利润 = 售价 - 进价 5.利润率：利润占进价的百分率，即利润率 = 利润÷进价×100﹪ 6.打折：卖货时，按照标价乘以十分之几或百分之几十，则称
将标价进行了几折.或理解为：销售价占标价的百分率. 例如某种服装打 8 折即按标价的百分之八十出售，或 按标价的十分之八出售
• 例1、某商场从厂家以每件21元的价格购进 一批商品，若每件的售价为a元，则可卖出 （350—10a）件，商场计划要赚450元，则 每件商品的售价为多少元？
解：设每件衬衫应降价 x 元，根据题 意，得
（40－x）（20＋2x）＝1200．
整理得：x2－30x＋200＝0． 解得，x1＝10，x2＝20． 答：每件衬衫应降价 10 元或 20 元．
• 引例3某商店经销一种销售成本为每千克40元的 水产品，椐市场分析，若按每千克50元销售，一 个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售 量就减少10千克。针对这种水产品的销售情况， 要使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多
一元二次方程与实际问题--利润问题
总利润为 （41-30）×（60-(41-40）） 元。
Байду номын сангаас
4、当售价为x元时，单利为 x-30 元，销量为 60-(x-40) 件，
总利润为 （x-30）×（60-(x-40））
元。
阿克苏市第四中学
精讲实练 例：某电脑批发店的一款鼠标垫现在的售价为每 个30元，每天可卖出100个．经市场调查反映，每 涨价2元，每天要少卖出20个．已知进价为每个20 元，当鼠标垫的售价为多少元/个时，这天的利润 为960元．
阿克苏市第四中学
归纳小结
知识点 列一元二次方程解应用题的一般步骤 (1)审：审题； (2)设：设未知数，设未知数的方法有直接设
和间接设； (3)列：根据题中的等量关系列方程； (4)解：解所列方程； (5)验：检验方程的根是否符合题意； (6)答：回答题目中要解决的问题．
阿克苏市第四中学
作业布置 练习题1、2、3
阿克苏市第四中学
谢谢！
阿克苏市第四中学
精讲实练 例：某电脑批发店的一款鼠标垫现在的售价为每个 30元，每天可卖出100个．经市场调查反映，每 涨 降 价2元，每天要 多少卖出20个．已知进价为每个20元 ，当鼠标垫的售价为多少元/个时，这天的利润为 960元．
阿克苏市第四中学
变式练习 变式1：某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小 型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千 克．为了减少库存，该经营户决定降价销售．经调 查发现，这种小型西瓜每千克每降价0.1元，每天可 多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24 元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型 西瓜的售价降低多少元． （只列方程）
一元二次方程与实际问题 -----利润问题
实际问题与一元二次方程(利润问题、表格问题和动点问题)2022-2023学年九年级数学上册(人教版)
3）列：列方程；
4）解：解方程；
5）验：根据实际验结果；
6) 答：写出答案。
九年级学生小明在暑假期间进行勤工俭学.
问题一：他每天在村上以每斤2.5元买进黄瓜，到市场以每斤4元卖掉黄瓜，那么
他卖1斤黄瓜的利润是
1.5 元；
问题二：如果他每天买进并卖完300斤黄瓜，则他每天销售利润是
售价-进价=单件利润
解得，x1=40，x2=70
当x=40时， [800-10（x-30）]=800-10 （40-30）=700 >500
当x=70时， [800-10（x-30）]=800-10 （70-30）=400 <500（不符合题意，舍去）
结合题目内容，你觉得这两个结果都符合题意吗？
（利用一元二次方程解决表格问题）
如果设提价x元，你能根据提示信息列出方程吗？
（10+x）（800-20x）=12000
利用一元二次方程解决利润问题
某工厂生产的某种产品按供需要求分为十个档次．若生产第一档次（最低档次）的产品，一
天可生产76件，每件的利润为10元，每提高一个档次，每件的利润增加2元，每天的产量将
减少4件．设产品的档次（每天只生产一个档次的产品）为x，请解答下列问题．
当运动时间为4s时，P，Q两点的距离为多少？
x=2时，由运动知AP＝3×2＝6 cm，CQ＝2×2＝4 cm，
∴四边形ABCD是矩形，
3x
∴QE＝AD＝6，
∴PE＝AB﹣BE﹣AP＝16﹣6﹣4＝6，
根据勾股定理得PQ=
+
= ,
∴当x＝2 s时，P，Q两点的距离为6 cm；
16-5x
Q两点之间的距离是10cm？
4）解：解方程；
5）验：根据实际验结果；
6) 答：写出答案。
九年级学生小明在暑假期间进行勤工俭学.
问题一：他每天在村上以每斤2.5元买进黄瓜，到市场以每斤4元卖掉黄瓜，那么
他卖1斤黄瓜的利润是
1.5 元；
问题二：如果他每天买进并卖完300斤黄瓜，则他每天销售利润是
售价-进价=单件利润
解得，x1=40，x2=70
当x=40时， [800-10（x-30）]=800-10 （40-30）=700 >500
当x=70时， [800-10（x-30）]=800-10 （70-30）=400 <500（不符合题意，舍去）
结合题目内容，你觉得这两个结果都符合题意吗？
（利用一元二次方程解决表格问题）
如果设提价x元，你能根据提示信息列出方程吗？
（10+x）（800-20x）=12000
利用一元二次方程解决利润问题
某工厂生产的某种产品按供需要求分为十个档次．若生产第一档次（最低档次）的产品，一
天可生产76件，每件的利润为10元，每提高一个档次，每件的利润增加2元，每天的产量将
减少4件．设产品的档次（每天只生产一个档次的产品）为x，请解答下列问题．
当运动时间为4s时，P，Q两点的距离为多少？
x=2时，由运动知AP＝3×2＝6 cm，CQ＝2×2＝4 cm，
∴四边形ABCD是矩形，
3x
∴QE＝AD＝6，
∴PE＝AB﹣BE﹣AP＝16﹣6﹣4＝6，
根据勾股定理得PQ=
+
= ,
∴当x＝2 s时，P，Q两点的距离为6 cm；
16-5x
Q两点之间的距离是10cm？
九年级数学 实际问题与一元二次方程--利润问题
（2)在不改变上述关系的情况下，请你帮助商场经理策划每件 商品定价为多少元时，每日盈利可达到1600元？
生活有关一元二次方程的利润问题
例2：百佳超市将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖 500个，已知该商品要涨价1元，其销售量就要减少10个，为 了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？
分析：设商品单价为（50+x)元,则每个商品得利润[（50+x) —40]元， 因为每涨价1元，其销售会减少10，则每个涨价x元，其销售量会减少 10 x个，故销售量为（500 —10 x）个，根据每件商品的利润×件数 =8000，则应用（500 —10 x）·[（50+x) —40]=8000
解：设每个商品涨价x元，则销售价为（50+x)元，销售量为（500 —10 x）个， 则（500 —10 x）·[（50+x) —40]=8000，整理得 x2 40 x 300 0,
解得 x1 10, x2 30都符合题意。
当x=10时,50+ x =60，500 —10 x=400；
当 x=30时，50+ x =80， 500 —10 x=200。
解：(1)100×(100－80)＝2000(元)． 答：原来一天可获利润 2000 元． (2)设每件商品应降价 x 元，由题意，得 (100－80－x)(100＋10x)＝2160， 即 x2－10x＋16＝0. 解得 x1＝2，x2＝8. 答：商店经营商品一天要获利 2160 元，每件商品应降价 2 元或 8 元．
第21章一元二次方程
21.3实际问题与一元二次方程
复习：
1、一支钢笔的进价为5元，售价为9元，
则一支钢笔获利__4____元。 2、如果购买了10支钢笔则获利__4_0__元。
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1、审清题意，找出等量关系式是列方程的关键. 2、销售问题基本关系式有：
分析:每个台灯的销售利润×平均每月台灯的销售量
=10000元
售价应定为x元，则每个台灯的销售利润为__x___3_0__元;
平均每月的销售量为_6__0_0__1_0_(_x___4_0_)_个。
某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,平均每月
能售出600个.市场调研表明:当销售价每上涨1元时, 其销售量就将减少10个.商场要想销售利润平均每月 达到10000元,每个台灯的定价应为多少元?这时应进 台灯多少个?
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售 利润．
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与 x的关系式．
（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得 月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?
分析：（3）月销售成本不超过10000元，那么销售量就不超过 10000/40=250kg，在这个前提下， 求月销售利润达到8000元， 销售单价应为多少．
某商店经销一种销售成本为每千克40元的产品，据市场分 析， 若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每 涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种情况，请解答以下 问题：
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售 利润．
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与 x的关系式．
1、若将例题中“当销售价每上涨1元时,其销售量就 将减少10个”变为“当销售价每上涨5元时,其销售 量就将减少10个”应如何解答? 2、若将例题中“当销售价每上涨1元时,其销售量就 将减少10个”变为“当销售价每降低5元时,其销售 量就将增加10个”应如何解答?
1. 某种服装,平均每天可销售20件,每件盈利 44元.若每件降价1元,则每天可多售5件.如果 每天盈利1600元,应降价多少元?
x1 36, x2 4. 答 : 每件服装应降价36元或4元.
2、某商店将进价为8元的商品按每件10元售出， 每天可售出200件，现采取提高售价减少销量的办 法增加利润，如果这种商品销售价每提高0.5元， 销量将减少10件.问每商品定价多少元，才能使每 天的利润为640元？
分析:每件商品的销售利润×平均每天商品的销售量
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售 利润．
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与 x的关系式．
（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得 月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?
分析：（1）销售单价定为55元，比原来的销售价50元提高5元， 因此，销售量就减少5×10kg．
1、一种衣服进价为m元，售价为n元，
销售10件衣服可获利 10(n m元) .
2、某玩具售出一件获利x元，现在降价
3元销售，售出m件可获利 m(x 3元) .
某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,平均每月
能售出600个.市场调研表明:当销售价每上涨1元时, 其销售量就将减少10个.商场要想销售利润平均每月 达到10000元,每个台灯的定价应为多少元?这时应进 台灯多少个?
分析:若设每件服装降价x元,每件盈利_(_44__x_)_元,每天 能售出_(2_0__5_x_) 件.
等量关系是:每件服装的利润 每天售出的数量=1600
解 : 设每件服装应降价x元, 根据题意, 得
(44 x)(20 5x) 1600思. 考：
为了尽快减小库存，
整理得: x2 40x 144 服0. 装应降价元？ 解这个方程, 得
=640元
售价应定为x元，则每件商品的销售利润为__x__8___元; 平均每天的销售量为_2__0_0___2_0_(_x__1_0_)_件。
3、某商店经销一种销售成本为每千克40元的产品，据市场 分析， 若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价 每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种情况，请解答以 下问题：
（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得 月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?
分析；（2）销售利润y=（销售单价-销售成本40）×销售量
[500-10(x-50)]
某商店经销一种销售成本为每千克40元的产品，据市场分 析， 若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每 涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种情况，请解答以下 问题：