一元二次方程利润问题
一元二次方程实际应用之利润问题
年卡应降价x元， 则每件平均利润应是（ 0.3-x）元，总
件数应是（ 500+x÷0.1×100）
• 解：设每张贺年卡应降价x元
• 则 (0.3-x)(500+1000x) =120 • 解得： • 答：每张贺年卡应降价0.1元．
营销问题
• 例1 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20件，每件盈利40元，为了扩大销售，尽快减少 库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发 现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售 出2件。（1）若商场平均每天销售这种衬衫的盈 利要达到1200元，每件衬衫应降价多少元？（2） 每天衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
解：设这种服装的成本为x元，依题意，得： 1.4x× 80% －x=15
解得： x =125 答：这种服装的成本为125元。
一件夹克按成本价提高50%后标价，后因季 节关系按标价的8折出售，每件以60元卖出，这种 夹克每件的成本价是多少元？
解：设这种夹克的成本价为x元，依题意，得： （1+50%）x× 80%=60
(a-21)(350-10a)=450
1、某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,若每 件商品售价为x元,则每天可卖出(350-10x)件,但物价局限 定每件商品加价不能超过进价的20%.商店要想每天赚400 元,需要卖出多少件商品?每件商品的售价应为多少元?
解 : 设每件商品的售价应为x元, 根据题意, 得
整理得: x2 40x 7600 0.
解这个方程, 得 x1 20, x2 380.
答 : 应多种桃树20棵或380棵.
例7 （2010南京）某批发商以每件50元的价格 购进800件T恤．第一个月以单价80元销售， 售出了200件；第二个月如果单价不变，预计 仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定 降价销售，根据市场调查，单价每降低1元， 可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格； 第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一性 清仓，清仓时单价为40元．设第二个月单价降 低x元．
11初中数学“一元二次方程商品利润问题”知识点全解析
初中数学“一元二次方程商品利润问题”知识点全解析一、引言商品利润问题是初中数学中一元二次方程应用的一个重要领域。
在现实生活中，商家经常需要计算商品的利润来制定销售策略和价格方案。
通过一元二次方程，我们可以有效地解决这类问题，找出最优的定价和销售策略。
本文将详细解析一元二次方程在商品利润问题中的应用，帮助同学们更好地掌握这一知识点。
二、商品利润问题基本概念1.成本价：商家购进商品时的价格，也称为进价。
2.销售价：商家出售商品时的价格。
3.利润：销售价与成本价之差，即利润=销售价-成本价。
4.利润率：利润与成本价之比，通常以百分数表示，即利润率=(利润/成本价)×100%。
三、一元二次方程在商品利润问题中的应用1.定价策略：商家需要根据市场需求、竞争对手定价等因素来制定合理的定价策略。
一元二次方程可以帮助商家找到使得利润最大的销售价。
2.折扣问题：商家为了促销，往往会提供折扣。
通过一元二次方程，我们可以计算出不同折扣下的实际销售价和利润。
3.销售量与利润关系：销售量与利润之间存在一定的关系。
一元二次方程可以帮助我们分析这种关系，找出使得利润最大的销售量。
四、解题方法与步骤1.审题：仔细阅读题目，明确已知条件和未知量，理解问题的背景和要求。
2.设未知数：根据问题背景，合理设置未知数。
在商品利润问题中，未知数通常是销售价、折扣率或销售量等。
3.建立方程：根据已知条件和未知数的设定，建立一元二次方程。
这个方程应该能够反映问题中各个量之间的关系。
4.解方程：利用一元二次方程的求解方法（如配方法、公式法等）解出未知数。
5.检验解的合理性：将解代入原方程进行检验，确保解符合问题的实际背景和条件。
6.作答：根据解的情况，给出问题的最终答案。
五、应用举例1.例1：某商店购进一种商品，每件成本价为100元，销售价为150元时，每天可售出50件。
为了扩大销售，增加盈利，商店决定降价销售。
经调查发现，每降价1元，每天可多售出2件。
一元二次方程解利润问题
一元二次方程解利润问题举例：某百货大楼服装柜在销售者发现：“某”牌童装平均每天可售出20件，每件利润40元为了迎接国庆节市场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加利润。
条件：如果每件降价4元，那么平均每天多售出8件。
求：要想平均每天销售这种童装盈利1200元那么每件童装应降价多少？解：设每件童装应降价x元，则每件的利润为(40-x)元，平均每天多售出8×x/4=2x件，实际平均每天售出(2x+20)件，平均每天利润为(40-x)(2x+20)元；根据题意，可列方程：(40-x)(2x+20)=1200(40-x)(x+10)=60040x+400-x²-10x=600x²-30x+200=0(x-10)(x-20)=0x-10=0 或x-20=0x1=10 , x2=20答：要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价10元或降价20元。
一元二次方程的应用：一、百分率变化问题增长率的问题在实际生活普遍存在，有一定的模式，若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)=b。
在解题过程需要注意总量和增长后达到的量的区别，需要注意“增长了”和“增长到”的区别。
二、传播问题“传播问题”的基本特征是：以相同速度逐轮传播。
解决此类问题的关键步骤是明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数。
需要注意的是疾病传播问题和某种植物分支的区别和联系，疾病传播问题中传染源将参与下一轮传播，而树分支则是树干不参与下一次分支。
三、互送礼物和单循环比赛问题n(n≥2) 个人之间互送礼物，礼物总数=n(n-1)；n(n≥2)支球队进行单循环比赛，共需要进行1/2n(n-1)场比赛。
四、商品销售利润与定价问题用一元二次方程解决的营销问题中，常用的关系式有：利润=售价-进价，单件利润×销售量=总利润。
一元二次方程与利润问题
一元二次方程的应用（利润问题)一、知识储备一、知识储备(1)利润＝实际售价－成本；(2)总利润＝单件利润×销售量.二、新授1. (1)某商品的进价是100元，售价是150元，则该商品的单件利润为50元.(2)某件商品的利润为5元/件，销售量为100件，则该商品总利润为500元.知识点1：直接给出单件(每斤)利润1、例：老板发现：如果每斤高档苹果盈利10元，每天可售出500斤；若每斤涨价1元，日销售量将减少20斤.若每天盈利6 000元，则每斤应涨价多少元？分析：设每斤涨价x元涨价后的单件利润涨价后的销售量涨价后的总利润列式：2、某商店热卖“好孩子”童装，平均每天可售20件，每件盈利40元.市场反馈每件童装每降价1元，平均每天就可多售出2件，要想每天在销售这种童装上盈利1 200元，同时又要使顾客得到实惠，那么每件童装应降价多少元？知识点2：间接给出单件利润或变化关系3、某商店经销一种商品，若按每件盈利2元销售，每天可售出200件，如果每件商品的售价涨价0.5元，则销售量就减少10件，问应将每件涨价多少元时，才能使每天利润为640元？4.某商店将进价为2 000元的冰箱以2 400元售出，平均每天能售出8台，这种冰箱的售价每降低25元，平均每天就能多售出2台，商场要想在这种冰箱的销售中每天盈利4 800元，设每台冰箱降价x元，由题意列方程得课堂总结：(1)关系式：(售价－成本)×销售量＝总利润；(2)一般都是设涨价(或降价)x元，然后间接求定价或进货量.三、过关检测A组1、某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个.调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就减少10个，要实现每月10 000元的销售利润目标，且售价不能低于60元/个.(1)求这种台灯的定价；(2)商场应进货多少个？B组2、某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3 360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？C组3.某单位组织职工到“万绿湖”观光旅游，下面是领队与旅行社就收费标准的一段对话：领队：“组团去‘万绿湖’旅行每人收费是多少？”旅行社：“如果人数不超过25人，人均费用为100元.”领队：“超过25人呢？”旅行社：“如果超过25人，每增加1人，人均费用降低2元，但人均旅行费用不得低于70元.”该单位组团旅游结束后，共支付2 700元，求该单位参加旅游的人数。
一元二次方程利润问题
一元二次方程利润问题1、商场每天要赚1200元利润，每件衬衫降价x元，每天能多售出2x件衬衫。
设降价后每件衬衫的售价为y元，则有：20(y-x) = 120020(y-x+2x) = 1200解得：x=2，每件衬衫应降价2元。
2、商场每天要赚2100元利润，每件衬衫降价x元，每天能多售出2x件衬衫。
设降价后每件衬衫的售价为y元，则有：30(y-x) = 210030(y-x+2x) = 2100解得：x=3，每件衬衫应降价3元。
3、商店要赚8000元利润，每卖出一个商品的利润为y-40元，每涨价1元销售量减少10个。
设售价为y元，则有：y-40)×500 = 8000y-40-x)×(500-10x) = 8000解得：x=2，售价为46元。
4、商场每天要赚1600元利润，每件衣服降价x元，每天能多售出5件衣服。
设降价后每件衣服的售价为y元，则有：20(y-x) = 160020(y-x+5x) = 1600解得：x=2，每件衣服应降价2元。
5、商场每天要赚6000元利润，每卖出一个商品的利润为y-10元，每涨价1元销售量减少20千克。
设售价为y元，则有：500(y-10) = 6000500-20x)(y-9+x) = 6000解得：x=1，每千克应涨价1元。
6、商场每月要赚元销售利润，每台灯售价上涨x元，销售量减少10个。
设售价为y元，则有：600(y-30) =600-10x)(y-x) =解得：x=1，售价为35元，应进货600个。
7、商场每天要赚1200元利润，每件童装降价x元，每天能多售出2件童装。
设降价后每件童装的售价为y元，则有：20(y-x) = 120020(y-x+2x) = 1200解得：x=2，每件童装应降价2元。
可多售出50千克。
如果经营户希望每天仍能获利400元，每千克应该降价多少元？8、某种服装每天能够销售20件，每件盈利44元。
如果每件降价1元，每天可以多售出5件。
一元二次方程-利润问题
一元二次方程—销售问题◆营销中的利润问题：利润=售价－；利润率=%100进价利润；总利润=－总进价=（售价－进价）×例1．进价30元的衣服，以50元出售，平均每月能售出300件。
经试销发现每件衣服涨价1元，其月销售量就减少1件，物价部门规定，每件衣服售价不得高于80元，为实现每月利润8700元，应涨价多少元？变式1.某天猫店销售某种规格学生软式排球，成本为每个30元．以往销售大数据分析表明：当每只售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每上涨1元，其月销售量就减少20个，若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．（1）若售价上涨m元，每月能售出个排球（用m的代数式表示）．（2）为迎接“双十一”，该天猫店在10月底备货1300个该规格的排球，并决定整个11月份进行降价促销，问售价定为多少元时，能使11月份这种规格排球获利恰好为8400元．2、某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润．据测算，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件．设每件童装降价x元．（1）每天可销售件，每件盈利元？（用含x的代数式表示）（2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元．（3）平均每天盈利能否达到2000元，请说明理由．3、某店只销售某种进价为40元/kg的特产．已知该店按60元/kg出售时，平均每天可售出100kg，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售量可增加10kg．若该店销售这种特产计划平均每天获利2240元．（1）每千克该特产应降价多少元？（2）为尽可能让利于顾客，则该店应按原售价的几折出售？4、某农户生产经营一种农产品，已知这种农产品的成本价为每千克20元，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）该农户想要每天获得150元的利润，又要让利消费者，销售价应定为每千克多少元？5、“绿化校园，书香开州”，今年三月份，开州区某校计划购买梧桐树苗和杉树苗共100棵，其中梧桐树苗每棵40元，杉树苗每棵35元，经预算，此次购买两种树苗一共至少需要3800元．（1）计划购买梧桐树苗最少是多少棵？（2）在实际购买中，因受树苗积压以及市场影响，为此商家降低了两种树苗的售价，且降价相同，但降价金额不得高于10元/棵，经统计发现，两种树苗的售价每降低1元，梧桐树苗的销售量会增加2棵，杉树苗的销售量会增加3棵．若该校实际购进这两种树苗一共所需费用比计划购买的最低费用多了300元，则两种树苗都降低多少元？。
解一元二次方程的实际应用利润问题(共6张PPT)
现在
40－x
20＋2x
1200
则(40－x)(20＋2x)＝1200
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售，增加盈利，
商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，在一定范围内，衬衫的单价每降 1 元，商场平均每 天可多售出2件.如果商场通过销售这批衬衫每天要盈利1200元，衬衫的单价应降多少元？
解：设降价x元， 则(40－x)(20＋2x)＝1200 解得x1＝10，x2＝20 答：衬衫的单价应降10元或20元.
“日利润＝单件利某润商×日场销将售进数量价”，为由2于00降0价元或的提价冰，箱造以成销2售40量0随元之售变出化，，根平据均该每数量天关能系售通常出可8以台列，一为元二了次配方程合解国决家有关“利家润电的问下题. 某答商：场 衬将衫乡进的”价单为价政应2策0降00的1元0元实的或冰施2箱0，以元2.商40场0元决售出定，采平取均每合天适能的售出降8台价，措为施了配.调合国查家表“家明电下：乡这”政策种的冰实施箱，的商场售决价定采每取降合适低的5降0价元措，施.
如“日果利商润可场＝通多单过件售销利出售润2这×件日批销衬.如售衫数果每量天商”要，场盈由通利于1过降20价销0或元售提，这价衬，批衫造的衬成单衫销价每售应量降天随多要之少盈变元化？利，12根0据0元该数，量衬关衫系通的常单可价以应列一降元多二少次方元程？解决有关利润的问题.
解得x1＝10，x2＝20
答：衬衫的单价应降10元或20元.
单利润
件数
如果商场通过销售这批衬衫每天要盈利1200元，衬衫的单价应降多少元？
总利润
原来 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.
如果商场通过销售这批衬衫每天要盈利1200元，衬40衫的单价应降多少元？ 20
一元二次方程销售利润问题公式
一元二次方程销售利润问题公式销售利润问题是在商业运营中常见的一个概念，用于计算企业在销售产品或提供服务后所获得的经济利润。
在讨论销售利润时，我们可以使用一元二次方程来建立一个数学模型，方便我们计算和分析销售利润的关系。
一元二次方程是一种形式为ax^2 + bx + c = 0的二次多项式方程，其中a、b和c是实数，并且a不等于零。
在销售利润问题中，我们可以假设x表示销售量，而方程中的a、b和c则代表企业的具体情况。
假设某企业销售一种产品，每个单位的成本是固定的。
我们可以用a来表示每个单位的成本，假设成本为固定值1元。
因此，销售量x的平方乘以成本1元即可表示销售的总成本。
此外，我们还需要考虑销售利润的其他因素，例如销售额和其他费用。
我们可以用b来表示每个单位的售价，即销售单价。
假设售价为2元，那么销售量x乘以售价2元即可表示销售的总收入。
最后，我们还需考虑其他费用对销售利润的影响，例如运营费用、市场费用等。
我们可以用c来表示这些费用。
假设其他费用为3元。
因此，根据上述设定，我们可以建立以下一元二次方程来求解销售利润：x^2 + 2x - 3 = 0通过解这个方程，我们可以求得销售利润的相关信息。
具体来说，我们可以通过求解方程的根来得到销售量的解，从而计算出销售利润的大小。
总结起来，一元二次方程可以作为一个数学模型，帮助我们计算和分析销售利润问题。
通过设定不同的参数，我们可以根据具体情况来求解销售利润的方程，并得出相应的结果。
这样的模型有助于企业在商业运营中做出合理的决策，提高销售利润的效益。
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教学背景：
在《实际问题与一元二次方程》这一单元教学中，师生共同存在一个困惑，这困惑源于九年级数学《教师教学用书》102页测试题第13题：
百货商店服装柜在销售中发现，某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元。
为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存。
经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就多售出2件。
要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么童装应降价多少元？
解：设平均每件童装应降价X元，由题意得：
(40—X)(20+2X)=1200
解之得 X1=10， X2=20
X1=10，X2=20均达到了扩大销售量，增加盈利，减少库存的目的，所以都满足题意。
答：要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价10元或20元。
对于我的解题思路，善于动脑筋的学生提出不同的质疑：（1）降价20元，薄利多销，更能减少库存，应选最优的方案。
所以只选取X=20。
（2）降价10元，每天销售40件，同样能盈利1200元。
库存部分还可继续盈利，这样在减少库存的基础上能进一步增加盈利，所以只取X=10。
学生的不同见解，说明学生善于动脑思考，我及时给予了鼓励；要敢于向教材挑战、敢于向老师质疑。
而对于这道题最合理的解法，我们师生共同关注、共同探讨。
课后，我与同行交流、查阅资料，并利用星期天到图书室、书店翻阅教辅资料。
经过一星期的查阅搜集，我筛选了一组同类型题，课前印发给同学们，在课堂上进行专题学习，师生带着困惑共同去探究。
案例描述：
第1题选自九年级数学《教师教学用书》102页测试题第13题（见上）。
第2题：选自九年级数学《学苑新报》第4期第15题。
“某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，市场决定采取适当的降价措施。
经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？”
第3题：选自九年级数学《新课标点拨》270页第27题。
“某商场销售一批儿童玩具，若每天卖20件每件可盈利40元，为了扩大销售，尽快减少存库，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，若每件玩具每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，那么每件玩具应降价多少元?”第4题：选自阶段性教学质量评估检测第4页第七题。
“西瓜经营户以2元/千克的价格出售。
每天可售出200千克，为了促销，该经营户决定降价出售，经调查发现，这种小型西瓜降价0.1元/千克，每天可多售出40千克，另外，每天的房租和固定成本共24元，该经营户要想每天盈利240元，应将小型西瓜每千克售价降低多少元？”
课堂上学生积极参与探究、分析对比得出：第（1）、（4）两题的两个答案都满足题意。
第（2）、（3）两题为尽快减少库存，只选取降价多的那个答案（这与资料中的答案相吻合）。
学生进一步总结、归纳得出：若题中强调尽量减少库存或尽快减少库存，应只选取降价多的那个答案。
若题中没有特殊要求，那么两个答案都满足题意。
可是在后来的学习中、善于发现问题的学生又有了困惑，发现以下两题的解答与探究的结论不一样。
1、九年级数学《新课标创新讲解》一书45页第 8题：合肥百货大楼服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利 40元，为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，提高销售量，增加盈利，减少库存，经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件，要想每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
题中所给答案：
解：设应降价x元，根据题意得：
（ 8x／4+20）(40-x)=1200
整理得：x2－30 x＋200＝0
解之得 X1=10， X2=20
因为要减少库存，所以应降价20元。
2、国标人教版出版的九年级数学《实验班题库》20页第4题。
某专卖店在销售中发现“泰发”牌童装平均每天可售出20套，每套盈利40元，为了迎接“六一”儿童节，该店决定采取适当降价措施，扩大销售量增加盈利，减少库存，经市场调查发现，如果每套童装降价4元，那么平均每天可多售出8套，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每套童装应降价多少元？
解：设每套童装降价x元，则每天多售出8x／4套，每天可售出（20+2x）套，由题意得：
（40—x）(20+2x)=1200
解之得：X1=10， X2=20
因为要减少库，所以x=20
答：每件童装应降价20元。
这两个题的答案与我们师生探究的结果相矛盾，与前面资料中的答案相违背，为了提高学生学习的兴趣，激发学生的探究能力，我把这个问题交给了学生，让他们课后自己探究。
教学反思：
新课改下，要求改变教师的课堂教学行为，发挥学生的主体作用，主张学生个性化学习。
对于九年级数学《教师教学用书》102页测试题第13题，善思善考的学生得到几种不同的解答都有自己的道理，应充分发挥学生的主体作用，只有学生的主体作用得到充分的发挥，我们的教学才能更有效。