高中数学人教版必修直线的一般式方程教案(系列四)
3.2.3 直线的一般式方程
一、教材分析
直线是最基本、最简单的几何图形，它是研究各种运动方向和位置关系的基本工具，它既能为进一步学习作好知识上的必要准备，又能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础.直线方程是这一章的重点内容，在学习了直线方程的几种特殊形式的基础上，归纳总结出直线方程的一般形式.掌握直线方程的一般形式为用代数方法研究两条直线的位置关系和学习圆锥曲线方程打下基础.根据教材分析直线方程的一般式是本节课的重点，但由于学生刚接触直线和直线方程的概念，教学中要求不能太高，因此对直角坐标系中直线与关于x和y的一次方程的对应关系确定为“了解”层次.两点可以确定一条直线，给出一点和直线的方向也可以确定一条直线，由两个独立条件选用恰当形式求出直线方程后，均应统一到一般式.直线的一般式方程中系数A、B、C的几何意义不很鲜明，常常要化为斜截式和截距式，所以各种形式应会互化.引导学生观察直线方程的特殊形式，归纳出它们的方程的类型都是二元一次方程，推导直线方程的一般式时渗透分类讨论的数学思想，通过直线方程各种形式的互化,渗透化归的数学思想，进一步研究一般式系数A、B、C的几何意义时,渗透数形结合的数学思想.
二、教学目标
1．知识与技能
（1）明确直线方程一般式的形式特征；
（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；
（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式.
2．过程与方法
学会用分类讨论的思想方法解决问题.
3．情态与价值观
（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；
（2）用联系的观点看问题.
三、教学重点与难点
教学重点:直线方程的一般式及各种形式的互化.
教学难点:在直角坐标系中直线方程与关于x和y的一次方程的对应关系，关键是直线方程各种形式的互化.
四、安排
1
五、教学设计
（一）导入新课
思路1.前面所学的直线方程的几种形式，有必要寻求一种更好的形式，那么怎样的形式才能表示一切直线方程呢?这节课我们就来研究这个问题.
思路2.由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形.
(1)斜率是1，经过点A （1，8）；(2)在x 轴和y 轴上的截距分别是7，7；(3)经过两点P 1（－1，6）、P 2（2，9）；(4)y 轴上的截距是7，倾斜角是45°.
由两个独立条件请学生写出直线方程的特殊形式分别为y8=x1、
77y x +-=1、1
21
696++=
--x y 、y=x7，教师利用计算机动态显示，发现上述4条直线在同一坐标系中重合.原来它们的方程化简后均可统一写成：xy7=0.这样前几种直线方程有了统一的形式，这就是我们今天要讲的新课直线方程的一般式.
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①坐标平面内所有的直线方程是否均可以写成关于x,y 的二元一次方程?
②关于x,y 的一次方程的一般形式AxByC=0（其中A 、B 不同时为零）是否都表示一条直线? ③我们学习了直线方程的一般式，它与另四种形式关系怎样，是否可互相转化? ④特殊形式如何化一般式?一般式如何化特殊形式?特殊形式之间如何互化?
⑤我们学习了直线方程的一般式AxByC=0，系数A 、B 、C 有什么几何意义?什么场合下需要化成其他形式?各种形式有何局限性?
讨论结果:①分析：在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α.
1°当α≠90°时，它们都有斜率，且均与y 轴相交，方程可用斜截式表示：y=kxb.
2°当α=90°时，它的方程可以写成x=x 1的形式，由于在坐标平面上讨论问题，所以这个方程应认为是关于x 、y 的二元一次方程，其中y 的系数是零.
结论1°：直线的方程都可以写成关于x 、y 的一次方程.
②分析：a 当B≠0时，方程可化为y=B A x B C ，这就是直线的斜截式方程，它表示斜率为B
A
，在y 轴上的截距为B C 的直线.b 当B=0时，由于A 、B 不同时为零必有A≠0，方程化为x=A
C
，表示一条与y 轴平
行或重合的直线.
结论2°：关于x,y 的一次方程都表示一条直线.
综上得：这样我们就建立了直线与关于x,y 的二元一次方程之间的对应关系.我们把AxByC=0（其中A,B 不同时为0）叫做直线方程的一般式.
注意：一般地，需将所求的直线方程化为一般式.
在这里采用学生最熟悉的直线方程的斜截式（初中时学过的一次函数）把新旧知识联系起来.
③引导学生自己找到答案，最后得出能进行互化.
④待学生通过练习后师生小结：特殊形式必能化成一般式；一般式不一定可以化为其他形式（如特殊位置的直线由于取点的任意性，一般式化成点斜式、两点式的形式各异，故一般式化斜截式和截距式较常见；特殊形式的互化常以一般式为桥梁，但点斜式、两点式、截距式均能直接化成一般式.各种形式互化的实质是方程的同解变形（如图1）.
图1
⑤列表说明如下：
形式方程局限各常数的几何意义
点斜式yy1=k(xx1) 除x=x0外
(x1,y1)是直线上一个定点,k
是斜率
斜截式y=kxb 除x=x0外k是斜率,b是y轴上的截距
两点式
1
2
1
1
2
1
x
x
x
x
y
y
y
y
-
-
=
-
-
除x=x0和y=y0外
(x1,y1)、(x2,y2)是直线上两个
定点
截距式
b
y
a
x
+=1
除x=x0、y=y0及y=kx
外
a是x轴上的非零截距,b是y
轴上的非零截距
一般式AxByC=0 无
当B≠0时,
B
A
是斜率,
B
C
是y
轴上的截距
（三）应用示例
例1 已知直线经过点A(6,4)，斜率为
3
4
，求直线的点斜式和一般式方程.
解：经过点A(6,4)且斜率为
3
4
的直线方程的点斜式方程为y4=
3
4
(x6).
化成一般式，得4x3y12=0.
变式训练
1.已知直线AxByC=0，
（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线?
（2）系数满足什么关系时,与坐标轴都相交?
（3）系数满足什么条件时,只与x 轴相交? （4）系数满足什么条件时,是x 轴? （5）设P(x 0,y 0)为直线AxByC=0上一点, 证明这条直线的方程可以写成A(xx 0)B(yy 0)=0. 答案：（1）C=0； （2）A≠0且B≠0； （3）B=0且C≠0； （4）A=C=0且B≠0
（5）证明：∵P(x 0,y 0)在直线AxByC=0上, ∴Ax 0By 0C0,C=Ax 0By 0. ∴A(xx 0)B(yy 0)=0.
2.(2007上海高考,理2)若直线l 1:2xmy1=0与l 2:y=3x1平行,则m=____________.
答案：3
2
例2 把直线l 的方程x2y6=0化成斜截式，求出直线l 的斜率和它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形.
解：由方程一般式x －2y ＋6=0， ① 移项，去系数得斜截式y=
2
x
＋3. ② 由②知l 在y 轴上的截距是3，又在方程①或②中，令y=0，可得x=－6. 即直线在x 轴上的截距是－6.
因为两点确定一条直线，所以通常只要作出直线与两个坐标轴的交点(即在x 轴，y 轴上的截距点)，过这两点作出直线l （图2）.
图2
点评：要根据题目条件，掌握直线方程间的“互化”. 变式训练
直线l 过点P(6,3)，且它在x 轴上的截距是它在y 轴上的截距的3倍，求直线l 的方程.
答案：x3y3=0或x2y=0. （四）知能训练
课本本节练习1、２、３.
（五）拓展提升
求证：不论m 取何实数，直线(2m －1)x －(m3)y －(m －11)=0恒过一个定点，并求出此定点的坐标.
解：将方程化为(x3y11)m(2xy1)=0，
它表示过两直线x3y11=0与2xy1=0的交点的直线系. 解方程组⎩⎨
⎧=--=-+,012,0113y x y x ,得⎩
⎨⎧==3,
2y x .
∴直线恒过(2,3)点.
（六）课堂小结
通过本节学习，要求大家：
（1）掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于x 和y 的一次方程的对应关系； （2）会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式； （3）通过学习，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意语言表述能力的训练.
（七）作业
习题3.2 A 组11.。
2.2.3直线的一般式方程 ---(教学课件)-高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册
[针对训练](1)过点(1,0),且与直线x-2y-2=0平行的直
线方程是( )
A.x-2y-1=0
B.x-2y+1=0
C.2x+y-2=0
D.x+2y-1=0
解析：(1)所求直线与直线x-2y-2=0 平行，故所求直线的斜 率 又直线过点(1,0),利用点斜式得所求直线方程为
在平面直角坐标系中，任意一个二元一次方程是直角坐标平面上一 条确定的 直线 ;反之，直角坐标平面上的任意一条直线可以用一 个确定的 二 元 一 次 方 程 _表示.
预 习自测
1.过点(-1,3)且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为( A )
A.x-2y+7=0
B.2x+y-1=0
C.x-2y-5=0
D.2x+y-5=0
解析：设与直线x-2y+3=0平行的直线是x-2y+c=0(c≠3), 代入点(-1,3)得-1-6+c=0,得c=7,所以直线方程是x-
2y+7=0.
2.若方程Ax+By+C=0表示直线，则A,B应满足的条件为
( D)
A.A≠0
B.B≠0
C.A·B≠0
D.A2+B2≠0
解析：A,B不能同时为0,则A²+B²≠0.
3x+4y-9=0.
法二 由 I′与 I平行，可设I′的方程为3x+4y+m=0(m≠-12),将点(-1,3) 代入得m=-9.所以直线I′ 的方程为3x+4y-9=0.
[例3] 已知直线1的方程为3x+4y-12=0, 求直线l′ 的方程，使1′
直线的一般式方程(教学设计)2022-2023学年高二数学 (人教A版2019选择性必修第一册)
2.2.3直线的一般式方程教学设计本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A 版（2019）第二章《直线和圆的方程》的第二节《直线的方程》。
以下是本单元的课时安排：第二章直线和圆的方程课时内容 2.1直线的倾斜角与斜率2.2直线的方程2.3 直线的交点坐标与距离公式所在位置 教材第51页教材第59页教材第70页新教材 内容 分析直线的倾斜角与斜率从初中所学“两点确定一条直线”出发，引起学生对平面直角坐标系中的直线的几何要素的确定，是今后学习直线方程的必备知识。
在推导直线方程的点斜式时，根据直线这一结论，先猜想确定一条直线的条件，再根据猜想得到的条件求出直线的方程.充分体现坐标法建立方程的一般思路，为后续学习圆的方程及圆锥曲线的方程奠定基础. 围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线的位置特点.“点到直线的距离”是从初中平面几何的定性作图，过渡到了解析几何的定量计算，为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习奠定了基础，具有承前启后的重要作用．核心素养培养通过直线的倾斜角和斜率的求解，以及在人们的生活、生产、科技中有着广泛的实际应用，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。
通过直线方程的求法，发展学生数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养。
通过直线交点的求法，距离公式的应用，发展学生数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养。
教学主线 直线的方程的应用在学生亲身体验直线的一般式直线方程的求法，通过典型例子的分析和学生的自主探索活动，促使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，从而体会蕴涵在其中的数学思想方法。
1.了解直线的一般式方程的形式特征,理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系，培养数学抽象的核心素养．2.能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化，提升数学运算的核心素养.3.能运用直线的一般式方程解决有关问题，培养逻辑推理的核心素养.重点：了解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线的一般形式难点：能根据所给条件求直线方程，并能在几种形式间相互转化（一）新知导入由下列各条件,写出直线的方程,并画出图形:(1)斜率是1,经过点A(1,8);(2)在x轴和y轴上的截距分别是-7,7;(3)经过两点P1(-1,6),P2(2,9);(4)在y轴上的截距是7,倾斜角是45°.同学们,根据前面我们学习的直线方程形式,分别利用点斜式、截距式、两点式和斜截式,可得到四种情况下的直线方程分别为(1)y-8=x-1;(2)x-7+y7=1;(3)y-69−6=x+12+1;(4)y=x+7.如果我们画出这4条直线的图象,你会惊奇地发现:这4条直线是重合的.事实上,它们的方程都可以化简为x-y+7=0.这样前几种直线方程就有了统一的形式,这就是本节我们要学习的直线的一般式方程.（二）直线的一般式方程知识点1 一般式方程【探究1】观察我们已经学习的直线的四个方程，点斜式y－y0＝k(x－x0)，斜截式y＝kx＋b，两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1，截距式xa＋yb＝1，你能发现它们都是什么样的方程？【提示】都是关于x，y的二元一次方程．◆直线的一般式方程把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．【点睛】直线一般式方程的结构特征①方程是关于x，y的二元一次方程．②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y常数的先后顺序排列．③x的系数一般不为分数和负数．④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．【思考1】平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？为什么？【提示】都可以．原因如下：(1)任意一条直线l，在其上任取一点P0(x0，y0)，当直线l的斜率为k 时(此时直线的倾斜角α≠90°)，其方程为y－y0＝k(x－x0)，这是关于x，y的二元一次方程．(2)当直线l 的斜率不存在，即直线l的倾斜角α＝90°时，直线的方程为x－x0＝0，可以认为是关于x，y的二元一次方程，此时方程中y的系数为0.方程y－y0＝k(x－x0)和x－x0＝0都是二元一次方程，因此平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示．【思考2】任意一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示一条直线吗？为什么？【提示】当B ≠0时，方程Ax ＋By ＋C ＝0可变形为y ＝－A B x －C B ，它表示过点(0，－C B )，斜率为－AB 的直线．当B ＝0时，A ≠0，方程Ax ＋By ＋C ＝0可变形为x ＝－C A ，它表示过点(－CA ，0)，且垂直于x 轴的直线．由上可知，关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)都表示一条直线．【做一做】(教材P66练习1改编)过点A (3,2)，B (4,3)的直线方程是( )A ．x ＋y ＋1＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y －1＝0解析：由两点式可得，过A 、B 的直线方程为y －23－2＝x －34－3，即x －y －1＝0.答案：D【做一做2】 设直线l ：(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y －2m ＋6＝0(m ≠－1)，根据下列条件分别确定m 的值：(1)直线l 在x 轴上的截距为－3； (2)直线l 的斜率为1.【解析】(1)令y ＝0得x ＝2m －6m 2－2m －3(m 2－2m －3≠0)，由题知，2m －6m 2－2m －3＝－3，解得m ＝3(舍)，m ＝－53.(2)∵直线l 的斜率为k ＝－m 2－2m －32m 2＋m －1，∴－m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，解得m ＝43.【做一做3】(教材P65例5改编) 过点A (－1,2)，斜率为2的直线的一般式方程为__________．答案：2x －y ＋4＝0（三）典型例题 1.直线的一般式方程例1.写出满足下列条件的直线的方程：（1）经过点(8,2)A -3 （2）经过点(2,0)B -，且与x 轴垂直； （3）斜率是4-，在y 轴上的截距是7； （4）经过(1,8)A -，(4,2)B -两点； （5）在y 轴上的截距是2，且与x 轴平行； （6）在x 轴、y 轴上的截距分别是4，3-．【分析】根据条件，选择恰当的直线方程的形式，最后化成一般式方程．【解析】（1）经过点(8,2)A -3)328y x +=-338360x y --=（2）经过点(2,0)B -，且与x 轴垂直；则直线方程为2x =-（3）斜率是4-，在y 轴上的截距是7；则直线方程为47y x =-+，即470x y +-= （4）经过(1,8)A -，(4,2)B -两点；则斜率()28241k --==---，所以直线方程为()821y x -=-+，即260x y +-=（5）在y 轴上的截距是2，且与x 轴平行；则直线方程为2y = （6）在x 轴、y 轴上的截距分别是4，3-．则直线方程为143x y +=-，即34120x y --=【类题通法】直线的一般式方程的特征求直线方程时,要求将方程化为一般式方程,其形式一般作如下设定:x 的系数为正;系数及常数项一般不出现分数;一般按含x 项、含y 项、常数项的顺序排列.【巩固练习1】已知△ABC 的三个顶点分别为A （﹣3，0），B （2，1），C （﹣2，3），试求： （1）边AC 所在直线的方程；（2）BC 边上的中线AD 所在直线的方程； （3）BC 边上的高AE 所在直线的方程.【解析】（1）∵A （﹣3，0），C （﹣2，3），故边AC 所在直线的方程为3233x y+=-+，即3x ﹣y +9＝0，（2）BC 边上的中点D （0，2），故BC 边上的中线AD 所在直线的方程为132x y+=-， 即2x ﹣3y +6＝0， （3）BC 边斜率k 131222-==-+，故BC 边上的高AE 的斜率k ＝2， 故BC 边上的高AE 所在直线的方程为y ＝2（x +3），即2x ﹣y +6＝0.2.直线的平行与垂直例2. (1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值；(2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？ 【解析】 (1)法一：由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0. l 2：mx ＋3y －2＝0. ①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行．②当m ≠0时，l 1∥l 2，则需2m ＝m ＋13≠4－2.解得m ＝2或m ＝－3.∴m 的值为2或－3.法二：令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2. 当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0， 显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0， l 1与l 2不重合，l 1∥l 2，∴m 的值为2或－3. (2)法一：由题意，直线l 1⊥l 2，①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0，显然垂直． ②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直．③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3，当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1，所以a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 法二：由直线l 1⊥l 2，所以(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，解得a ＝±1.将a ＝±1代入方程，均满足题意．故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.【类题通法】利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0， (1)若l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． (2)若l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.【巩固练习2】已知直线l 1:(m+2)x+(m+3)y -5=0和l 2:6x+(2m -1)y=5.当m 为何值时,有: (1)l 1∥l 2? (2)l 1⊥l 2?【解析】 (1)由(m+2)(2m -1)=6(m+3),得m=4或m=-52. 当m=4时,l 1:6x+7y -5=0,l 2:6x+7y=5,即l 1与l 2重合; 当m=-52时,l 1:-12x+12y -5=0,l 2:6x -6y -5=0,即l 1∥l 2. 故当m=-52时,l 1∥l 2.(2)由6(m+2)+(m+3)(2m -1)=0,得m=-1或m=-92. 故当m=-1或m=-92时,l 1⊥l 2.【例3】已知直线l 的方程为3x+4y-12=0,求直线l'的方程,l'满足 (1)过点(-1,3),且与l 平行; (2)过点(-1,3),且与l 垂直.【解析】(方法1)由题设l 的方程可化为y=-34x+3,∴l 的斜率为-34.(1)∵直线l'与l 平行,∴l'的斜率为-34.又∵直线l'过(-1,3),由点斜式知方程为y-3=-34(x+1),即3x+4y-9=0. (2)由l'与l 垂直,∴l'的斜率为43,又过(-1,3),由点斜式可得方程为y-3=43(x+1),即4x-3y+13=0.(方法2)(1)由l'与l 平行,可设l'方程为3x+4y+m=0. 将点(-1,3)代入上式得m=-9.∴所求直线方程为3x+4y-9=0. (2)由l'与l 垂直,可设其方程为4x-3y+n=0.将(-1,3)代入上式得n=13. ∴所求直线方程为4x-3y+13=0.【类题通法】与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )． (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋m ＝0.【巩固练习3】过点(－1,3)且平行于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( )A ．2x ＋y －1＝0B ．x －2y ＋7＝0C ．x －2y －5＝0D ．2x ＋y －5＝0解析：设直线方程式是x －2y ＋c ＝0，因为直线过点(－1,3)所以-1-6+c=0，解得c=7，故所求直线方程是x －2y ＋7＝0. 答案：B（四）操作演练 素养提升1.（多选）下列说法正确的是（ ）A ．直线32()y ax a a R =-+∈必过定点(3,2)B ．直线32y x =-在y 轴上的截距为2-C 310x y ++=的倾斜角为60°D ．过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为20x y += 【答案】ABD【解析】32()y ax a a R =-+∈可化为()23y a x -=-，则直线32()y ax a a R =-+∈必过定点(3,2)，故A 正确；令0x =，则2y =-，即直线32y x =-在y 轴上的截距为2-，故B 正确；310x y ++=可化为31y x =--，则该直线的斜率为3-120︒，故C 错误；设过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线的斜率为k ，因为直线230x y -+=的斜率为12，所以112k ⋅=-，解得2k =-，则过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线的方程为22(1)y x -=-+，即20x y +=，故D 正确；故选ABD.2.已知00ab bc ＜，＜，则直线0ax by c通过( ) 象限A ．第一、二、三B ．第一、二、四C ．第一、三、四D ．第二、三、四3.直线134x y+=的一般式方程为 . 4.若直线()()22224450-+-+=a a x a y a 的倾斜角是4π，则实数a 是_______________. 答案：1.ABD 2.A 3.43120x y +-= 4.23-【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
人教版高中数学必修23 直线的一般式方程牛老师
2.二元一次方程与直线的关系:二元一次方程的每一组解都可以
看成是平面直角坐标系中一个点的坐标,这个方程的全体解组成的
集合,就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合,这些点的集合
就组成了一条直线.二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一
一对应的.
【做一做1】 若方程Ax+By+C=0表示直线,则A,B应满足的条件
(2)若l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练 3】 已知直线
l1:ax+3y+1=0,l2:x+(a-2)y+a=0.
(1)若 l1⊥l2,求实数 a 的值;
(2)当 l1∥l2 时,求实数 a 的值.
解:方法一:当 a=2 时,显然 l1 与 l2 相交且不垂直,
选用两点式;已知直线在x轴、y轴上的截距(截距都不为0)时,选用
截距式.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般
式方程:
(1)斜率为0,在y轴上的截距为2;
(2)经过A(-2,1),B(1,0)两点.
解:(1)由斜截式得 y=2,即 y-2=0.
1-0
1
(2)方法一:k= -2-1 = − 3 , 代入点斜式得
因为直线 l 与直线 2x+y-10=0 垂直,
1
所以 k·(-2)=-1,所以 k= 2.
又因为 l 经过点 A(2,1),
1
所以所求直线 l 的方程为 y-1= 2 ( − 2),
即 x-2y=0.
题型一
题型二
新人教版高中数学选择性必修第一册直线的一般式方程
A.平行
B.垂直
C.相交但不垂直
D.不能确定
【解析】选B.直线x+y-2=0的斜率k=-1,直线x-y+3=0的斜率k=1,故两直线的位置
关系是垂直.
9
4.若直线ax+3y-5=0经过点(2,1),则a的值为
.
【解析】由题意,直线ax+3y-5=0经过点(2,1),故2a+3-5=0,所以a=1.
7
5
5
2
故点 B - ,0 ,所以直线 AB 的方程为 y=-
+
7
5
,即 5x+2y+7=0.
23
【思维提升】
关于 x,y 轴的对称问题
(1)根据镜面反射的原理,入射光线上的点关于镜面的对称点在反射光线上,反射光
线上的点关于镜面的对称点在入射光线上;
(2)求出入射光线或反射光线上点关于坐标轴的对称点,写出直线的两点式或点斜
可将一般式化为斜截式.
(3)解分式方程要注意验根.
16
【即学即练】
1.如果 AC<0,且 BC<0,那么直线 Ax+By+C=0 不过 (
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
)
【解析】选 C.由 AC<0 及 BC<0,可知 A≠0,B≠0,又直线 Ax+By+C=0 过点 - ,0 ,
【问题 2】能否统一成?x+?y+?=0 的形式?
【问题 3】二元一次方程 Ax+By+C=0(A≠0,B≠0)表示什么图形?
4
5
直线的一般式方程
Ax+By+C=0
高中数学直线的方程教案
高中数学直线的方程教案高中数学直线的方程教案1教学目标：（1）掌握直线方程的一般形式，掌握直线方程几种形式之间的互化．（2）理解直线与二元一次方程的关系及其证明（3）培养学生抽象概括能力、分类讨论能力、逆向思维的习惯和形成特殊与一般辩证统一的观点．教学重点、难点：直线方程的一般式．直线与二元一次方程（、不同时为0）的对应关系及其证明．教学用具：计算机教学方法：启发引导法，讨论法教学过程：下面给出教学实施过程设计的简要思路：教学设计思路：（一）引入的设计前边学习了如何根据所给条件求出直线方程的方法，看下面问题：问：说出过点（2，1），斜率为2的直线的方程，并观察方程属于哪一类，为什么？答：直线方程是，属于二元一次方程，因为未知数有两个，它们的最高次数为一次．肯定学生回答，并纠正学生中不规范的表述．再看一个问题：问：求出过点，的直线的方程，并观察方程属于哪一类，为什么？答：直线方程是（或其它形式），也属于二元一次方程，因为未知数有两个，它们的最高次数为一次．肯定学生回答后强调“也是二元一次方程，都是因为未知数有两个，它们的最高次数为一次”．启发：你在想什么（或你想到了什么）？谁来谈谈？各小组可以讨论讨论．学生纷纷谈出自己的想法，教师边评价边启发引导，使学生的认识统一到如下问题：【问题1】“任意直线的方程都是二元一次方程吗？”（二）本节主体内容教学的设计这是本节课要解决的第一个问题，如何解决？自己先研究研究，也可以小组研究，确定解决问题的思路．学生或独立研究，或合作研究，教师巡视指导．经过一定时间的研究，教师组织开展集体讨论．首先让学生陈述解决思路或解决方案：思路一：…思路二：………教师组织评价，确定最优方案（其它待课下研究）如下：按斜率是否存在，任意直线的位置有两种可能，即斜率存在或不存在．当存在时，直线的截距也一定存在，直线的方程可表示为，它是二元一次方程．当不存在时，直线的方程可表示为形式的方程，它是二元一次方程吗？学生有的认为是有的认为不是，此时教师引导学生，逐步认识到把它看成二元一次方程的合理性：平面直角坐标系中直线上点的坐标形式，与其它直线上点的坐标形式没有任何区别，根据直线方程的概念，方程解的形式也是二元方程的解的形式，因此把它看成形如的二元一次方程是合理的．综合两种情况，我们得出如下结论：在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一条表示这条直线的关于、的二元一次方程．至此，我们的问题1就解决了．简单点说就是：直线方程都是二元一次方程．而且这个方程一定可以表示成或的形式，准确地说应该是“要么形如这样，要么形如这样的方程”．同学们注意：这样表达起来是不是很啰嗦，能不能有一个更好的表达？学生们不难得出：二者可以概括为统一的形式．这样上边的结论可以表述如下：在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一条表示这条直线的形如（其中、不同时为0）的二元一次方程．启发：任何一条直线都有这种形式的方程．你是否觉得还有什么与之相关的问题呢？【问题2】任何形如（其中、不同时为0）的二元一次方程都表示一条直线吗？不难看出上边的结论只是直线与方程相互关系的一个方面，这个问题是它的另一方面．这是显然的吗？不是，因此也需要像刚才一样认真地研究，得到明确的结论．那么如何研究呢？师生共同讨论，评价不同思路，达成共识：回顾上边解决问题的思路，发现原路返回就是非常好的思路，即方程（其中、不同时为0）系数是否为0恰好对应斜率是否存在，即（1）当时，方程可化为这是表示斜率为、在轴上的截距为的直线．（2）当时，由于、不同时为0，必有，方程可化为这表示一条与轴垂直的直线．因此，得到结论：在平面直角坐标系中，任何形如（其中、不同时为0）的二元一次方程都表示一条直线．为方便，我们把（其中、不同时为0）称作直线方程的一般式是合理的．【动画演示】演示“直线各参数”文件，体会任何二元一次方程都表示一条直线．至此，我们的第二个问题也圆满解决，而且我们还发现上述两个问题其实是一个大问题的两个方面，这个大问题揭示了直线与二元一次方程的对应关系，同时，直线方程的一般形式是对直线特殊形式的'抽象和概括，而且抽象的层次越高越简洁，我们还体会到了特殊与一般的转化关系．（三）练习巩固、总结提高、板书和作业等环节的设计略高中数学直线的方程教案2一、教学目标【知识与技能】进一步掌握直线方程的各种形式，会根据条件求直线的方程。
直线的一般式方程（教案）
直线的一般式方程（教案）教学目标：1、知识与能力：⑴掌握直线方程的一般式Ax+By+C=0的特征（A、B不同时为0）⑵能将直线方程的五种形式进行转化，并明确各种形式中的一些几何量（斜率、截距等）；2、过程与方法：⑴主动参与探究直线和二元一次方程关系的数学活动，通过观察、推理、探究获得直线方程的一般式。
⑵学会分类讨论及掌握讨论的分界点；3、情感、态度与价值观：体验数学发现和探索的历程，发展创新意识教学重点：直线方程一般式Ax+By+C=0（A、B不同时为0）的理解教学难点：⑴直线方程一般式Ax+By+C=0（A、B不同时为0）与二元一次方程关系的深入理解⑵直线方程一般式Ax+By+C=0（A、B不同时为0）的应用。
教学方法：引导探究法、讨论法教学过程：创设情境，引入新课：1、复习：写出前面学过的直线方程的各种不同形式，并指出其局限性：名称几何条件方程局限性点斜式点P(x0,y0)和斜率ky-y0=k(x-x0)斜率存在的直线斜截式斜率k,y轴上的截距b y=kx+b 斜率存在的直线两点式P1(x1,y1),P2(x2,y2)不垂直于x、y轴的直线截距式在x轴上的截距a,在y轴上的截距b不垂直于x、y轴的直线，不过原点的直线过点(x0,y0)与x轴垂直的直线可表示成x=x0，过点(x0,y0)与y轴垂直的直线可表示成 y=y0。
2、问题：上述四种直线方程的表示形式都有其局限性，是否存在一种更为完美的代数形式可以表示平面中的所有直线？提示：上述四种形式的直线方程有何共同特征？能否整理成统一形式？（这些方程都是关于x 、y 的二元一次方程）猜测：直线和二元一次方程有着一定的关系。
新课探究：问题：（1）．过点(2,1)，斜率为2的直线的方程是y-1=2(x-2),（2）．过点(2,1)，斜率为0的直线方程是y=1,（3）．过点(2,1)，斜率不存在的直线的方程是x=2,思考1 ：以上方程是否都可以用 Ax+By+C=0表示？任意一条直线是否都可以用二元一次方程Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）来表示？答： 2x-y-3=0 y-1=0 x-2=0在平面直角坐标系中，每一条直线有斜率k 存在和k 不存在两种情况下，直线方程可分别写为y kx b =+和1x x =两种形式，它们又都可以变形为Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）的形式，即：直线Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）【结论：】在平面直角坐标系中，任意一条直线都可以用二元一次方程Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）来表示。
直线的一般式方程教案-数学必修2第三章直线方程3.2.2第一课时人教A版
第三章 直线方程 3.2.3 直线的一般式方程1 教学目标[1] 明确理解直线一般式方程的形式特征 [2] 理解直线方程几种形式之间的内在联系[3] 能在总体把握直线方程的基础上，掌握各种形式之间的相互转化[4] 通过直线方程一般式的学习，培养学生全面、系统、周密地分类讨论问题的能力 培养学生数学结合思想和严谨的科学态度2教学重点/难点教学重点：直线方程一般式的理解和掌握教学难点：直线方程的一般式与各种直线方程间的互化3专家建议直线方程的一般式是由前面所学习的四种直线方程的形式概括形成的，它克服以点斜式、斜截式、两点式、截距式四种方程“特殊式”的局限性，由于直线方程的一般式)(0不全为零、其中B A c By Ax =++是关于x 、 y 的二元一次方程，因此平面上的直线与二元一次方程)(0不全为零、其中B A c By Ax =++是一一对应的。
直线的各种方程各有各的特点，分别适用于不同条件下的直线，因此教学时要引导同学熟练掌握各自特性，灵活使用。
4 教学方法讲授式、启发式教学5 教学过程5.1 复习引入【师】到目前为止，我们都学习了直线方程的哪几种形式？它们各适用于具有什么条件的求直线方程问题？适用的X 围是什么？ 【板演/PPT 】引导学生回答各种直线方程点斜式：已知直线上一点P 1（x 1，y 1）的坐标，和直线的斜率k ，则直线的方程是斜截式：已知直线的斜率k ，和直线在y 轴上的截距b 则直线方程是两点式：已知直线上两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）则直线的方程是：截距式：已知直线在X 轴Y 轴上的截距为a ，b ，则直线的方程是【师】他们所适用的X 围是什么？ 【生】点斜式：适用于有斜率的直线问题 斜截式：适合存在斜率且已知纵截距的直线问题 两点式：适合已知两点，且不垂直于x 轴或y 轴直线问题)(11x x k y y -=-bkx y +=121121x x x x y y y y --=--1=+by a x截距式：适合已知截距，且截距不为零的直线问题5.2 探索新知 [1] 直线的一般式方程【师】下面我们看一看屏幕上的问题： 【板书/PPT 】1．过点(2,1)，斜率为2的直线的方程____________ 2．过点(2,1)，斜率为0的直线方程是___________ 3．过点(2,1)，斜率不存在的直线的方程_________【师】你能根据实际条件，写出直线方程吗？并思考：你所列出的直线方程能看作是二元一次方程吗？【生】讨论与计算 【板书/PPT 】(1)中方程可化为2x-y-3=0,故直线方程是二元一次方程。
高中数学课堂有效教学设计初探——以“直线方程的一般式”一课的教学设计为例
Ｚ Ｈ Ｏ Ｎ Ｇ Ｘ Ｕ Ｅ Ｊ Ｉ Ａ Ｏ Ｘ Ｕ Ｅ Ｃ Ａ Ｎ Ｋ Ａ Ｏ
学形 式 和 活 动， 能 驱 动 他 们 学 习 的 内 动 力， 是提高学生 自主学习主动性和能力的非常有效的手段之一 ． 注重教与学方式的转变 ， 践行新课程理念 ２． 在新课程背 景 下 要 求 数 学 教 师 的 教 学 方 式 也 要 相 这种变 化 并 非 明 确 的 前 后 之 间 的 应地发生一定的变化 ． 继承和发展 ， 也不是简单 的 扬 弃 ， 而是一种转变和创新， 既包含对以往教学方式的变 革 与 发 展 ， 也包括在实践中 创造和生成新的教学方式 ． 讲授式本身不可能随着新课 在新课程教学中仍 然 有 自 己 的 重 要 地 位 和 作 程而消亡 ， 用． 但以讲授为主的教学方式 不 能 完 全 适 应 新 课 程 的 需 要， 特 别 是 不 能 集 中 代 表 模 块 课 程 的 教 学 要 求， 必然要 发生 一 定 的 转 变． 根 据 模 块 课 程 强 调 以 问 题 为 核 心， 注 突 出 问 题 单 元， 重视专 重真 实 情 景 和 实 际 问 题 的 解 决， 题教学 ， 以及 周 边 辐 射 、 内 容 整 合． 在 课 堂 教 学 中， 教师 与学 生 应 是 平 等 关 系． 一 起 探 索、 一起思考的合作交流 方式是促进 学 生 大 胆 思 维 、 敢 于 质 疑 的 最 好 方 式 之 一， 它也是改变教师传统的教与学生的学的方式之一 ． 注重数学思想方法渗透 ３． 钱 佩 玲 教 授 认 为： 所谓 对于数学思 想 方 法 的 含 义 ， 数学思想是对数学知识的本 质 认 识 ， 是从某些具体的数 学内容和对数学的认识过程 中 提 炼 上 升 的 数 学 观 点 ， 它 在认 识 活 动 中 被 反 复 利 用， 带 有 普 遍 指 导 意 义， 是用数 在新 课 程 背 景 下 的 数 学 课 堂 教 学解决问题的指导思想 ． 学中 ， 要提高学生在课堂 ４ 要提高教 ５分钟的学习效率， 我们 就 应 该 多 思 考 、 多 准 备， 充 分 做 到 用 教 材、 学质量 ， 备学生 、 备教法 ， 提高自身 的 教 学 机 智 ， 发挥自身的主导 作用 ． 在平时的教学中渗透数 学 思 想 方 法 ， 不仅能使学生 提高数学 能 力 ， 有利于终身学习和发展， 激发学习兴趣 ， 也是新形势下课程改革所提 倡 的 ， 教给学生终身受益的 因此 ， 在教学 设 计 时 ， 除加强技能训练的同 知识与技能 ． 时， 还 应 强 化 数 学 思 想 和 数 学 方 法 的 教 学， 做到二者相 互交融 ， 相得益彰 ． 注重课堂教学效果的评价 ４． 主要看 新课程理念下的数学课 堂 设 计 效 果 的 好 坏 ， 学生的积极 性 有 没 有 调 动 起 来 ； 学 生 有 没 有 活 动 起 来； 学生 有 没 有 讨 论 的 意 识； 有 没 有 问 题 意 识． 有没有跃跃 欲试 的 冲 动； 有 没 有 探 索 的 亲 身 体 验； 会不会自己提出 新的问题 ． 师 生、 生 生、 群 体 间 有 没 有 互 动； 能否学会与 他人交流合作与分享等等 ． 教师要根据学生讨论交流情 况不失时机 、 准确又简练的就 学 生 的 发 言 质 量 进 行 引 导 评价 ． 评价时 ， 应 多 肯 定、 多 鼓 励、 注 重 引 导． 这 样， 学生 对知 识 理 解 就 会 更 深 入， 就 能 成 功 接 纳 新 知 识， 并起到 我们既要关 注 学 生 知 识 与 技 能 的 理 解 内化知识的作用 ． 与掌 握， 更 要 关 注 学 生 情 感 与 态 度 的 形 成 与 发 展． 评价 的手 段 和 形 式 应 多 样 化， 过 程 和 结 果 应 相 结 合， 充分发 挥评价的激励作用 ． （ 责任编辑 黄桂坚 ）
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④待学生通过练习后师生小结：特殊形式必能化成一般式；一般式不一定可以化为其他形式（如特 殊位置的直线） ，由于取点的任意性，一般式化成点斜式、两点式的形式各异，故一般式化斜截式和截
距式较常见；特殊形式的互化常以一般式为桥梁，但点斜式、两点式、截距式均能直接化成一般式
.各种
形式互化的实质是方程的同解变形（如图
x 3 y 11 0, x 2,
解方程组
,得
.
2 x y 1 0,
y3
∴直线恒过 (2,3) 点 .
（六）课堂小结
通过本节学习，要求大家：
（1）掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于
x 和 y 的一次方程的对应关系；
（2）会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式；
（3）通过学习，培养相互合作意识 ,培养学生思维的严谨性，注意语言表述能力的训练
§3.2.3 直线的一般式方程
一、教材分析
直线是最基本、最简单的几何图形，它是研究各种运动方向和位置关系的基本工具，它既能为进一 步学习作好知识上的必要准备， 又能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础 方程是这一章的重点内容，在学习了直线方程的几种特殊形式的基础上，归纳总结出直线方程的一般形 式 .掌握直线方程的一般形式为用代数方法研究两条直线的位置关系和学习圆锥曲线方程打下基础
2
答案： -
3
例 2 把直线 l 的方程 x-2y+6=0 化成斜截式，求出直线 l 的斜率和它在 x 轴与 y 轴上的截距，并画出图
形.
解： 由方程一般式 x－ 2y＋ 6=0 ，
①
移项，去系数得斜截式 y= x ＋ 3.
②
22人教版高中数学新教材选择性必修第一册--2.2.3 直线的一般式方程
2.2.3 直线的一般式方程课标解读 课标要求素养要求1.了解直线的一般式方程的形式特征，理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系.2.能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化.3.能用直线的一般式方程解决有关问题.1.数学抽象——根据一般式方程与二元一次方程抽象出两者的关系.2.逻辑推理——能够通过推理，进行直线的一般式方程与特殊形式的转化.自主学习·必备知识教材研习教材原句定义：关于x,y 的二元一次方程都表示一条直线，我们把关于x,y 的二元一次方程 Ax +By +C =0 （其中A,B 不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称 一般式 . 自主思考当A =0 或B =0 或C =0 时，方程Ax +By +C =0 分别表示什么样的直线？提示 若A =0 ，则y =−CB，表示与y 轴垂直的一条直线；若B =0 ，则x =−CA，表示与x 轴垂直的一条直线；若C =0 ，则Ax +By =0 ，表示过原点的一条直线.名师点睛1.直线的一般式方程的结构特征 （1）方程是关于x,y 的二元一次方程.（2）方程中等号的左侧自左向右一般按x,y ，常数的顺序排列. （3）x 的系数一般不为分数和负数.（4）虽然直线的一般式方程有三个参数，但是只需两个独立的条件即可求得直线的方程.2.直线的一般式方程与特殊形式的互化3.利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略直线l 1 ：A 1x +B 1y +C 1=0 （A 1,B 1 不同时为0），直线l 2 ：A 2x +B 2y +C 2=0 （A 2,B 2 不同时为0）.（1）若l1∥l2⇔A1B2−A2B1=0且B1C2−B2C1≠0（或A1C2−A2C1≠0）.（2）若l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.4.与已知直线平行和垂直的直线方程的求法（1）与直线Ax+By+C=0（A，B不同时为0）平行的直线的方程可设为Ax+By+m= 0(m≠C).（2）与直线Ax+By+C=0（A，B不同时为0）垂直的直线的方程可设为Bx−Ay+n= 0.互动探究·关键能力探究点一求简单的一般式方程精讲精练例根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式.（1）斜率是√3，且经过点A(5,3)；（2）斜率为4，在y轴上的截距为-2；（3）在y轴上的截距为3，且平行于x轴；（4）经过A(−1,5)、B(2,−1)两点；（5）在x、y轴上的截距分别是-3、-1.思路分析根据已知条件，选择恰当的直线方程的形式，最后化成一般式方程.答案：（1）由点斜式方程得y−3=√3(x−5)，即√3x−y+3−5√3=0.（2）由斜截式方程得y=4x−2，即4x−y−2=0.（3）由题意得y=3，即y−3=0.（4）由两点式方程得y−5−1−5=x−(−1)2−(−1)，即2x+y−3=0.（5）由截距式方程得x−3+y−1=1，即x+3y+3=0.解题感悟在求直线方程时，直接求一般式方程有时并不简单，常用的还是先根据给定条件选用特殊形式求方程，然后转化为一般式.提醒：在利用直线方程的特殊形式时，一定要注意其适用的前提条件.迁移应用分别写出符合下列条件的直线方程，并且化成一般式.（1）经过点(2,-4)，且与直线3x−4y+5=0平行；（2）经过点(3,2)，且与直线6x−8y+3=0垂直.答案：（1）设与直线3x−4y+5=0平行的直线的方程为3x−4y+c=0(c≠5)，将点(2,-4)代入得6+16+c=0，所以c=−22.故所求直线的一般式为3x−4y−22=0. （2）设与直线6x−8y+3=0垂直的直线的方程为8x+6y+m=0，将点(3,2)代入得24+12+m=0，解得m=−36.故所求直线的一般式为4x+3y−18=0.探究点二 含参数的一般式方程精讲精练例设直线l 的方程为(a +1)x +y +2−a =0(a ∈R) . （1）若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； （2）若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围.答案：（1）当直线l 过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距都为零，显然相等， 则(a +1)×0+0+2−a =0 ， ∴a =2 ，即l 的方程为3x +y =0 ；当直线l 不过原点，即a ≠2 时，其方程可化为x a−2a+1+ya−2=1 ，由l 在两坐标轴上的截距相等得a−2a+1=a −2 ，即a +1=1 ，∴a =0 ，即l 的方程为x +y +2=0 . 综上，l 的方程为3x +y =0 或x +y +2=0 . （2）将l 的方程化为y =−(a +1)x +a −2 ，∴ 欲使l 不经过第二象限，当且仅当{−(a +1)＞0,a −2≤0 或{−(a +1)=0,a −2≤0,∴a ≤−1 .综上可知，a 的取值范围是a ≤−1 .变式 本例条件不变，试问：直线l 恒过哪个定点？答案：由(a +1)x +y +2−a =0 整理得a(x −1)+x +y +2=0 ，因为∀a ∈R,a(x −1)+x +y +2=0 恒成立，所以{x −1=0, x +y +2=0, 解得{x =1,y =−3,所以直线l 恒过定点(1,-3). 解题感悟（1）在已知条件中出现“截距相等”“截距互为相反数”或“一截距是另一截距的几倍”等条件时要全面考虑，不要漏掉过原点的情况.（2）由直线的一般式方程Ax +By +C =0 （A 、B 不同时为0）求直线在两坐标轴上的截距时，令x =0 ，得纵截距；令y =0 ，得横截距.由两截距的位置可知直线的位置. 迁移应用设直线l 的方程为2x +(k −3)y −2k +6=0(k ≠3) ，根据下列条件分别确定k 的值. （1）直线l 的斜率为-1；（2）直线l 在x 轴，y 轴上的截距之和等于0.答案：（1）∵ 直线l 的斜率存在，∴ 直线l 的方程可化为y =−2k−3x +2 . 由题意得−2k−3=−1 ，解得k =5 .（2）直线l 的方程可化为xk−3+y2=1 ，由题意得k −3+2=0 ，解得k =1 .探究点三用一般式方程解决两直线平行或垂直问题精讲精练例已知直线l1：(k−3)x+(4−k)y+1=0与l2：2(k−3)x−2y+3=0.（1）若这两条直线垂直，求k的值；（2）若这两条直线平行，求k的值.答案：（1）根据题意得(k−3)×2(k−3)+(4−k)×(−2)=0，解得k=5±√52，∴若这两条直线垂直，则k=5±√52.（2）根据题意得(k−3)×(−2)−(4−k)×2(k−3)=0，解得k=3或k=5.经检验，均符合题意，∴若这两条直线平行，则k=3或k=5.迁移应用1.（2021山东济宁高二期末）已知直线3x−4y+4=0与直线ax+8y+7=0平行，则实数a的值为( )A.−323B.323C.6D.-6答案：D解析：因为直线3x−4y+4=0与直线ax+8y+7=0平行，所以3×8−(−4)a=0，解得a=−6.2.当直线l1：(a+2)x+(1−a)y−1=0与直线l2：(a−1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直时，a= .答案：±1解析：由题意知直线l1⊥l2,∴(a+2)(a−1)+(1−a)(2a+3)=0，解得a=±1，将a=±1代入方程，均满足题意.故当a=1或a=−1时，l1⊥l2.评价检测·素养提升课堂检测1.如果ax+by+c=0表示的直线是y轴，那么系数a，b，c应满足的条件是( )A.bc=0B.a≠0C.bc=0且a≠0D.a≠0且b=c=0答案：D解析：易知y轴用方程表示为x=0，所以a,b,c应满足的条件为b=c=0,a≠0.2.（2021湖北武汉华科附联考体高二期中）直线x−√3y+a=0,a∈R的倾斜角为( )A.π6B.π3C.2 π3D.5 π6答案：A解析：x−√3y+a=0化为斜截式方程为y=√33x+√33a，可知该直线的斜率k=√33，因为k=tanα=√33(α∈[0,π))，所以α=π6.3.直线x−3y+4=0与直线mx+4y−1=0互相垂直，则实数m的值为.答案：12解析：∵两条直线互相垂直，∴1×m−3×4=0，解得m=12.4.（2021山西太原高二期中）已知直线l1经过点M(2,1)，在两坐标轴上的截距相等且不为0.（1）求直线l1的方程（写成一般式）；（2）若直线l2⊥l1，且l2过点M，求直线l2的方程（写成一般式）.答案：（1）设直线l1的方程为xa +ya=1,a≠0，代入点M(2,1)得2a+1a=1，解得a=3，所以直线l1的方程为x3+y3=1，即x+y−3=0.（2）由（1）知直线l1的斜率为-1，由l2⊥l1得直线l2的斜率k=1.又直线l2过点M(2,1)，则直线l2的方程y−1=x−2，即x−y−1=0.素养演练直观想象、数学运算——在直线方程中的应用（2021辽宁抚顺高二期末）已知直线m的方向向量为v=(1,2).（1）求过点A(0,−3)且倾斜角是直线m的倾斜角的2倍的直线l1的斜截式方程；（2）求过点B(2,3)且与直线m垂直的直线l2的一般式方程.答案：（1）因为直线m的方向向量为v=(1,2)，所以直线m的斜率为2.设直线m的倾斜角为α，则tanα=2，设直线l1的斜率为k，则k=tan 2α=2 tanα1−tan2α=−43.因为直线l1过点A(0,−3)，所以直线l1的斜截式方程为y=−43x−3.（2）因为直线l2⊥m，所以直线l2的斜率为−12，因为直线l2过点B(2,3)，所以直线l2的方程为y−3=−12(x−2)，即x+2y−8=0，所以直线l2的一般式方程为x+2y−8=0.素养探究：（1）由直线m的方向向量为v=(1,2)可得直线m的斜率为2，渗透了直观想象的素养；设直线m的倾斜角为α，则tanα=2，然后利用二倍角的正切公式可求出直线l1的斜率，从而可求出直线l1的斜截式方程，渗透了数学运算的素养.（2）由题意可得直线l2的斜率为−12，从而可求出直线l2的方程，渗透了数学运算的素养.迁移应用已知△ABC中，点A的坐标为(1,2).（1）若过点C的中线所在直线的方程为2x−y−2=0，平行于AB边的中位线所在直线的方程为2x+y−9=0，求点C的坐标及过点C且与AB边平行的直线的方程；（2）若平行于BC边的中位线所在直线的方向向量为v=(1,−2)，求过点A且与该中位线垂直的直线l的方程.答案：（1）因为过点C的中线所在直线的方程为2x−y−2=0，所以可设C(m,2m−2)，,m)，又该中点在直线2x+y−9=0上，因为A(1,2)，所以AC的中点的坐标为(m+12所以m+1+m−9=0，解得m=4，即C的坐标为(4,6)，所以过点C且与AB边平行的直线的方程为y−6=−2(x−4)，即2x+y−14=0. （2）由已知得中位线所在直线的斜率为-2，所以直线l的斜率为1，2又该直线过点A，(x−1)，所以直线l的方程为y−2=12即x−2y+3=0.课时评价作业基础达标练1.直线mx−y+2m+1=0恒过一定点，则此定点为( )A.(-2,1)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,1)答案：A2.（2021四川内江资中二中高二月考）已知直线l：ax−y+2−a=0的横截距与纵截距相等，则a的值为( )A.1B.-1C.-1或2D.2答案：C3.（2021山东济南回民中学高二期中）斜率为-3，且在x轴上的截距为2的直线的一般式方程是( )A.3x+y+6=0B.3x−y+2=0C.3x+y−6=0D.3x−y−2=0答案：C4.（多选题）（2021山东临沂高二期中）下列说法正确的是( )A.直线y=ax−2a+1必过定点(2,1)B.直线3x−2y+4=0在y轴上的截距为-2C.直线√3x+y+1=0的倾斜角为120∘D.若将直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后回到原来的位置，则直线l的斜率为23答案：A; C; D5.（2021贵州遵义航天中学高二月考）过点P(1,3)，且垂直于直线x−2y+3=0的直线的方程为( )A.2x+y−1=0B.2x+y−5=0C.x+2y−5=0D.x+2y+7=0答案：B6.（2021北京育英学校高二期末）已知直线x+2y+3=0与直线2x+my+1=0平行，则m=( )A.1B.2C.3D.4答案：D解析：因为直线x+2y+3=0与直线2x+my+1=0平行，所以21=m2，解得m=4，满足题意，故m=4.7.（2020浙江6月学业水平适应性考试）过点A(1,−2)，且与直线2x−y+1=0平行的直线的方程为( )A.2x−y−4=0B.2x−y+4=0C.x+2y−3=0D.x+2y+3=0答案：A8.（2021湖北宜昌秭归一中高二期中）已知直线kx−y−k+√3=0过定点A，直线2kx−y−8k=0过定点B，则直线AB的倾斜角为( )A.5 π6B.2 π3C.π3D.π6答案：A9.已知直线(2t−3)x+y+6=0，则该直线过定点；若该直线不经过第一象限，则t的取值范围是.答案：(0,-6); [32,+∞)10.（2021上海金山中学高二期中）设直线l：ax+3y−2=0，其倾斜角为α，若α∈(π6,π2)∪(π2,34π)，则a的取值范围为.答案：a＜−√3或a＞3素养提升练11.已知直线l：(2+m)x+(1−2m)y+4−3m=0与两坐标轴交于A，B两点，且点M(−1,−2)是线段AB的中点，则实数m的值为( )A.−13B.0C.13D.2答案：B解析：设A(x 0,0),B(0,y 0) ，将直线l 的方程(2+m)x +(1−2m)y +4−3m =0 化为2x +y +4+m(x −2y −3)=0 ，由{2x +y +4=0,x −2y −3=0 得{x =−1,y =−2, ∴ 直线l 过定点(-1,-2)，即点M(−1,−2) 在直线l 上，、又M 为线段AB 的中点，∴ 由中点坐标公式可得x 0=−2,y 0=−4 ， 将点A(−2,0) 代入直线l 的方程得−4−2m +4−3m =0 ，∴m =0 .12.设a ∈R ，则“a =3 ”是“直线ax +2y +3a =0 和直线3x +(a −1)y =a −7 平行”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案：C解析：当a =3 时，两条直线的方程分别是3x +2y +9=0 和3x +2y +4=0 ，此时两条直线平行成立，反之，当两条直线平行时，有a2=3a−1 且3a2≠7−aa−1 ，即a =3 或a =−2 （舍去），故a =3 ，所以“a =3 ”是“直线ax +2y +3a =0 和直线3x +(a −1)y =a −7 平行”的充要条件.13.设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|PA|=|PB| ，若直线PA 的方程为x −y +1=0 ，则直线PB 的方程是( ) A.2y −x −4=0 B.2x −y −1=0 C.x +y −5=0 D.2x +y −7=0 答案：C解析：由x −y +1=0 得A(−1,0) ，又P 的横坐标为2，且|PA|=|PB| ，∴P 为线段AB 中垂线上的点，故B(5,0) .又直线PB 的倾斜角与直线PA 的倾斜角互补，∴ 两直线的斜率互为相反数，故直线PB 的斜率k PB =−1 ，∴ 直线PB 的方程为y =−(x −5) ，即x +y −5=0 .14.设直线l 的方程为(m 2−2m −3)x +(2 m 2+m −1)y =2m −6 ，根据下列条件分别求m 的值.（1）直线l 在x 轴上的截距为1； （2）直线l 的斜率为1.答案：（1）易知直线l过点(1,0),∴m2−2m−3=2m−6，解得m=3或m=1. ∵m=3时，直线l的方程为y=0，不符合题意，∴m=1.（2）由斜率为1得{−m2−2m−32m2+m−1=1,2m2+m−1≠0,解得m=43.15.（2021福建厦门一中高二月考）已知△ABC的三个顶点是A(1,1),B(−1,3),C(3,4). （1）求过点A且与BC垂直的直线l1的方程；（2）若直线l2过点C，且点A，B到直线l2的距离相等，求直线l2的方程.答案：（1）因为k BC=4−33+1=14，且直线l1与BC垂直，所以直线l1的斜率k=−1k BC=−4，所以直线l1的方程是y−1=−4(x−1)，即4x+y−5=0.（2）因为直线l2过点C，且点A，B到直线l2的距离相等，所以直线l2与AB平行或过AB的中点M.当直线l2与AB平行时，因为k AB=3−1−1−1=−1，所以直线l2的方程是y−4=−(x−3)，即x+y−7=0.当直线l2过AB的中点M时，因为AB的中点M的坐标为(0,2)，所以k CM=4−23−0=23，所以直线l2的方程是y−4=23(x−3)，即2x−3y+6=0.综上，直线l2的方程是x+y−7=0或2x−3y+6=0 .创新拓展练16.（2021北京教师进修学校附属实验学校高二期中）已知直线l：kx−y+1+2k=0,k∈R，直线l交x轴于点A，交y轴于点B，坐标原点为O.（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l在x轴上的截距小于0，在y轴上的截距大于0.设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程；（3）直接写出△AOB的面积S(S＞0)在不同取值范围下的直线l的条数.命题分析本题考查了直线与两坐标轴围成的三角形的面积问题，第二问主要利用基本不等式求出最值，第三问的关键是将问题转化为两函数图象的交点问题，从而利用数形结合的方式求出.答题要领（1）把l的方程化为k(x+2)+(1−y)=0，根据恒等式的性质建立方程组求定点；（2）分别求出直线l在x轴和y轴上的截距，写出面积，利用基本不等式求出最值；（3）根据S 的表达式，将待求问题转化为直线y =S(S ＞0) 与曲线y =f(k)=|2k +12k+2|的交点个数问题，利用图象求解.详细解析 （1）证明：直线l 的方程可变形为k (x +2)+(1−y )=0 ，由{x +2=0,1−y =0 得{x =−2,y =1,∴ 直线l 过定点(-2,1).（2）当x =0 时，y =1+2k ；当y =0 时，x =−1+2k k，∴A(−1+2k k,0),B(0,1+2k) ，由题意知{−1+2k k＜0,1+2k ＞0,解得k ＞0 ，则S =12×|OA|×|OB|=12×1+2k k ×(1+2k)=12(4k +1k+4)≥12×(2×√4k ⋅1k+4)=4 ，当且仅当4 k =1k ，即k =12 时等号成立，故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x −2y +4=0 . （3）由（2）可知S =12×|OA|×|OB|=12×|1+2k k|×|1+2k|=|2k +12k+2| ，令f(k)=|2k +12k +2| ，则直线l 的条数等价于曲线y =f(k) 与直线y =S(S ＞0) 的交点个数， 画出函数图象，由图可知，当0＜S ＜4 时，直线l 有2条； 当S =4 时，直线l 有3条； 当S ＞4 时，直线l 有4条.解题感悟 （1）直线过定点问题常根据恒等式转化为方程求解，也可以转化为点斜式求解.（2）涉及面积的最值问题，一般先确定目标函数，再利用基本不等式或函数的性质求解.。