第二章 第十一节 第二课时 导数与函数的极值、最值
第二章 第十一节 导数与函数的单调性、极值、最值课时提升作业
课时提升作业(十四)一、选择题1.设a∈R,若函数y=e x+ax,x∈R有大于零的极值点,则( )(A)a<-1 (B)a>-1(C)a>- (D)a<-2.(2013·榆林模拟)函数y=(3-x2)e x的递增区间是( )(A)(-∞,0)(B)(0,+∞)(C)(-∞,-3)和(1,+∞)(D)(-3,1)3.(2013·铜川模拟)对任意的x∈R,函数f(x)=x3+ax2+7ax不存在极值点的充要条件是( )(A)0≤a≤21 (B)a=0或a=7(C)a<0或a>21 (D)a=0或a=214.(2013·九江模拟)已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数,且满足以下条件:①f(x)=a x·g(x)(a>0,a≠1);②g(x)≠0;③f(x)·g′(x)>f′(x)·g(x).若+=,则a等于( )(A) (B)2 (C) (D)2或5.设f′(x)是函数f(x)的导函数,将y=f(x)和y=f′(x)的图像画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是( )6.(2013·抚州模拟)函数y=f′(x)是函数y=f(x)的导函数,且函数y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线为l:y=g(x)=f′(x0)·(x-x0)+f(x0),F(x)=f(x)-g(x),如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像如图所示,且a<x0<b,那么( )(A)F′(x0)=0,x=x0是F(x)的极大值点(B)F′(x0)=0,x=x0是F(x)的极小值点(C)F′(x0)≠0,x=x0不是F(x)的极值点(D)F′(x0)≠0,x=x0是F(x)的极值点二、填空题7.函数f(x)=的递增区间是.8.若函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,则常数c的值为.9.对于函数f(x)=-2cosx(x∈[0,π])与函数g(x)=x2+lnx有下列命题:①函数f(x)的图像关于x=对称;②函数g(x)有且只有一个零点;③函数f(x)和函数g(x)图像上存在平行的切线;④若函数f(x)在点P处的切线平行于函数g(x)在点Q处的切线,则直线PQ的斜率为.其中正确的命题是.(将所有正确命题的序号都填上)三、解答题10.(2013·合肥模拟)已知函数f(x)=x3-x2+x+b,其中a,b∈R.(1)若曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程为y=5x-4,求函数f(x)的解析式.(2)当a>0时,讨论函数f(x)的单调性.11.(2013·南昌模拟)已知函数f(x)=ax2-3x+lnx(a>0).(1)若曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线平行于x轴,求函数f(x)在区间[,2]上的最值.(2)若函数f(x)在定义域内是单调函数,求a的取值范围.12.(能力挑战题)已知函数f(x)=xlnx.(1)求函数f(x)的极值点.(2)若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,求直线l的方程.(3)设函数g(x)=f(x)-a(x-1),其中a∈R,求函数g(x)在[1,e]上的最小值(其中e为自然对数的底数).答案解析1.【解析】选A.由y′=(e x+ax)′=e x+a=0,得e x=-a,即x=ln(-a)>0⇒-a>1⇒a<-1.2.【解析】选D.y′=-2xe x+(3-x2)e x=e x(-x2-2x+3)>0⇒x2+2x-3<0⇒-3<x<1,≨函数y=(3-x2)e x的递增区间是(-3,1).3.【解析】选A.f′(x)=3x2+2ax+7a,令f′(x)=0,当Δ=4a2-84a≤0,即0≤a≤21时,f′(x)≥0恒成立,函数不存在极值点.4.【解析】选A.由①②得=a x,又[]′=,由③知[]′<0,故y=a x是减函数,因此0<a<1.由+=,得a+=,解得a=或a=2(舍).5.【解析】选D.对于A来说,抛物线为函数f(x),直线为f′(x);对于B来说,从左到右上升的曲线为函数f(x),从左到右下降的曲线为f′(x);对于C来说,下面的曲线为函数f(x),上面的曲线为f′(x).只有D不符合题设条件.【方法技巧】函数的导数与增减速度及图像的关系(1)导数与增长速度①一个函数的增长速度快,就是说,在自变量的变化相同时,函数值的增长大,即平均变化率大,导数也就大;②一个函数减小的速度快,那么在自变量的变化相同时,函数值的减小大,即平均变化率大,导数的绝对值也就大.(2)导数与图像一般地,如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大,说明函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图像就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图像就较“平缓”.6.【思路点拨】y=g(x)是函数y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线,故g′(x)=f′(x0),据此判断F′(x0)是否为0,再进一步判断在x=x0两侧F′(x)的符号.【解析】选B.F′(x)=f′(x)-g′(x)=f′(x)-f′(x0),≨F′(x0)=f′(x0)-f′(x0)=0,又当x<x0时,从图像上看,f′(x)<f′(x0),即F′(x)<0,此时函数F(x)=f(x)-g(x)是减少的,同理,当x>x0时,函数F(x)是增加的.7.【解析】f′(x)==>0,即cosx>-,结合三角函数图像知,2kπ-<x<2kπ+(k∈Z),即函数f(x)的递增区间是(2kπ-,2kπ+)(k∈Z).答案:(2kπ-,2kπ+)(k∈Z)8.【解析】≧x=2是f(x)的极大值点,f(x)=x(x2-2cx+c2)=x3-2cx2+c2x,≨f′(x)=3x2-4cx+c2,≨f′(2)=3×4-8c+c2=0,解得c=2或c=6,当c=2时,在x=2处不能取极大值,≨c=6.答案:6【误区警示】本题易出现由f′(2)=0求出c后,不验证是否能够取到极大值这一条件,导致产生增根.9.【解析】画出函数f(x)=-2cosx,x∈[0,π]的图像可知①错;函数g(x)=x2+lnx的导函数g′(x)=x+≥2,所以函数g(x)在定义域内为增函数,画图知②正确;因为f′(x)=2sinx≤2,又因为g′(x)=x+≥2,所以函数f(x)和函数g(x)图像上存在平行的切线,③正确;同时要使函数f(x)在点P处的切线平行于函数g(x)在点Q处的切线只有f′(x)=g′(x)=2,这时P(,0),Q(1,),所以k PQ=,④也正确.答案:②③④10.【解析】(1)f′(x)=ax2-(a+1)x+1.由导数的几何意义得f′(2)=5,于是a=3.由切点P(2,f(2))在直线y=5x-4上可知2+b=6,解得b=4.所以函数f(x)的解析式为f(x)=x3-2x2+x+4.(2)f′(x)=ax2-(a+1)x+1=a(x-)(x-1).当0<a<1时,>1,函数f(x)在区间(-≦,1)及(,+≦)上是增加的,在区间(1,)上是减少的;当a=1时,=1,函数f(x)在区间(-≦,+≦)上是增加的;当a>1时,<1,函数f(x)在区间(-≦,)及(1,+≦)上是增加的,在区间(,1)上是减少的.11.【解析】(1)≧f(x)=ax2-3x+lnx,≨f′(x)=2ax-3+,又f′(1)=0,≨2a-2=0,≨a=1,≨f(x)=x2-3x+lnx,f′(x)=2x-3+.令f′(x)=0,即2x-3+=0,解得x=或x=1.列表如下:≨当x=1时,f(x)min=-2;≧f(2)-f()=-2+ln2++ln2=ln4->1->0,≨当x=2时,f(x)max=-2+ln2.(2)f(x)的定义域为(0,+≦),f′(x)=2ax-3+=,令Δ=9-8a.当a≥时,Δ≤0,f′(x)≥0,函数f(x)在(0,+≦)上是增加的,当0<a<时,Δ>0,方程2ax2-3x+1=0有两个不相等的正根x1,x2,不妨设x1<x2,则当x∈(0,x1)∪(x2,+≦)时,f′(x)>0,当x∈(x1,x2)时,f′(x)<0,这时,函数f(x)在定义域内不是单调函数.综上,a的取值范围是[,+≦).12.【思路点拨】(1)先判断f(x)的增减性,再求极值点.(2)设出切点,表示出切线方程,利用直线过点(0,-1),求出切点即可得出切线方程.(3)先求出极值点,再根据该点是否在[1,e]上分类讨论.【解析】(1)f′(x)=lnx+1,x>0.而f′(x)>0,即lnx+1>0,得x>.f′(x)<0,即lnx+1<0,得0<x<,所以f(x)在(0,)上是减少的,在(,+≦)上是增加的.所以x=是函数f(x)的极小值点,极大值点不存在.(2)设切点坐标为(x0,y0),则y0=x0lnx0,切线的斜率为lnx0+1,所以切线l的方程为y-x0lnx0=(lnx0+1)(x-x0).又切线l过点(0,-1),所以有-1-x0lnx0=(lnx0+1)(0-x0).解得x0=1,y0=0.所以直线l的方程为y=x-1.(3)g(x)=xlnx-a(x-1),则g′(x)=lnx+1-a.g′(x)<0,即lnx+1-a<0,得0<x<e a-1,g′(x)>0,得x>e a-1,所以g(x)在(0,e a-1)上是减少的,在(e a-1,+≦)上是增加的.①当e a-1≤1即a≤1时,g(x)在[1,e]上是增加的,所以g(x)在[1,e]上的最小值为g(1)=0.②当1<e a-1<e,即1<a<2时,g(x)在[1,e a-1)上是减少的,在(e a-1,e]上是增加的.g(x)在[1,e]上的最小值为g(e a-1)=a-e a-1.③当e≤e a-1,即a≥2时,g(x)在[1,e]上是减少的,所以g(x)在[1,e]上的最小值为g(e)=e+a-ae.综上,x∈[1,e]时,当a≤1时,g(x)的最小值为0;当1<a<2时,g(x)的最小值为a-e a-1;当a≥2时,g(x)的最小值为a+e-ae.【变式备选】设f(x)=-x3+x2+2ax.(1)若f(x)在(,+≦)上存在递增区间,求a的取值范围.(2)当0<a<2时,f(x)在[1,4]上的最小值为-,求f(x)在该区间上的最大值.【解析】(1)f(x)=-x3+x2+2ax,≨f′(x)=-x2+x+2a,当x∈[,+≦)时,f′(x)的最大值为f′()=+2a.函数f(x)在(,+≦)上存在递增区间,即导函数在(,+≦)上存在函数值大于零成立,≨+2a>0⇒a>-.(2)已知0<a<2,f(x)在[1,4]上取到最小值-,而f′(x)=-x2+x+2a的图像开口向下,且对称轴为x=,≨f′(1)=-1+1+2a=2a>0,f′(4)=-16+4+2a=2a-12<0,则必有一点x0∈[1,4]使得f′(x0)=0,此时函数f(x)在[1,x0]上是增加的,在[x0,4]上是减少的,f(1)=-++2a=+2a>0,≨f(4)=-×64+×16+8a=-+8a,≨-+8a=-,得a=1,此时,由f′(x0)=-+x0+2=0得x0=2或-1(舍去),所以函数f(x)max=f(2)=.。
高中数学课件第十一节 第二课时 导数与函数极值、最值
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第十一节
第二课时
导数与函数极值、最值
结束
(2)由(1)知，x＝－3 是 f(x)的极小值点，所以有 b＋c 9a－3 ＝－e3， －3 e g0＝b－c＝0， g－3＝－9a－32a－b＋b－c＝0， 解得 a＝1，b＝5，c＝5， x2＋5x＋5 所以 f(x)＝ . ex
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第十一节
第二课时
导数与函数极值、最值
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[解]
2ax＋bex－ax2＋bx＋cex (1)f′(x)＝ ex2
－ax2＋2a－bx＋b－c ＝ ， ex 令 g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c， 因为 ex>0， 所以 y＝f′(x)的零点就是 g(x)＝－ax2＋(2a－b)x ＋b－c 的零点，且 f′(x)与 g(x)符号相同． 又因为 a>0，所以－3<x<0 时，g(x)>0，即 f′(x)>0， 当 x<－3 或 x>0 时，g(x)<0，即 f′(x)<0，所以 f(x)的单调 增区间是(－3,0)，单调减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)．
3
，(2，＋∞)．
fx ln x (2)g(x)＝ x ＝|x－a|＋ x ，x∈[1，e]． ln x ①若a≤1，则g(x)＝x－a＋ x ， 1－ln x x2＋1－ln x 故g′(x)＝1＋ ＝ . x2 x2 因为x∈[1，e]，所以0≤ln x≤1，所以1－ln x≥0， x2＋1－ln x>0，所以g′(x)>0.
a2 a2 f′(x)＝6x＋6 ＋b－ ， 6
a 即 y＝f′(x)关于直线 x＝－ 对称． 6
导数与函数的极值、最值 经典课件(最新)
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3．(教材改编)一条长为 2 的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形 的面积之和最小，则两段铁丝的长度分别是________，________．
解析：设两段铁丝的长分别为 x，2－x，0<x<2，则两个正方形的面积之和 S＝1x62 ＋ （2－16x）2＝18x2－41x＋14，故 S′＝4x－14.令 S′＝0，得 x＝1.当 0<x<1 时，S′<0；当 2>x>1 时，S′>0.所以 S 在 x＝1 处取得极小值也是最小值，所以两段铁丝的长都是 1.
(2)由(1)知，当 x＝ 2时，函数取得极小值，故极小值为 2＋ 22＝2 2. (3)由(1)(2)知，函数的极小值恰好是函数的最小值，故 ymin＝2 2.极值是个“局部” 概念，最值是“整体”概念．
答案：(1)x＝ 2 (2)2 2 (3)2 2
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5．(改编题)设 f(x)＝lnx，g(x)＝f(x)＋f′(x)，则 g(x)的最小值为________． 解析：对 f(x)＝lnx 求导，得 f′(x)＝1x， 则 g(x)＝lnx＋1x，且 x>0. 对 g(x)求导，得 g′(x)＝x－x21， 令 g′(x)＝0，解得 x＝1. 当 x∈(0，1)时，g′(x)<0，函数 g(x)＝lnx＋1x在(0，1)上单调递减； 当 x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，函数 g(x)＝lnx＋1x在(1，＋∞)上单调递增． 所以当 x＝1 时，g(x)min＝g(1)＝1.
极小值
在包含 x0 的一个区间(a，b)内，函数 y
在包含 x0 的一个区间(a，b)内， 函数 y＝f(x)在任何一点的函数值
第二节 导数与函数的极值、最值知识点汇总
第二节导数与函数的极值、最值知识点汇总考点一利用导数研究函数的极值考法(一) 已知函数的解析式求函数的极值点个数或极值[例1] 已知函数f(x)＝x－1＋ae x(a∈R，e为自然对数的底数)，求函数f(x)的极值．[解] 由f(x)＝x－1＋ae x，得f′(x)＝1－ae x.①当a≤0时，f′(x)＞0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值．②当a＞0时，令f′(x)＝0，得e x＝a，即x＝ln a，当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)＜0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，故函数f(x)在x＝ln a处取得极小值且极小值为f(ln a)＝ln a，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，函数f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值．[例2] 设函数f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x)，其中a∈R.讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由．[解] f′(x)＝1x＋1＋a(2x－1)＝2ax2＋ax－a＋1x＋1(x＞－1)．令g(x)＝2ax2＋ax－a＋1，x∈(－1，＋∞)．①当a＝0时，g(x)＝1，f′(x)＞0，函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点．②当a＞0时，Δ＝a2－8a(1－a)＝a(9a－8)．当0＜a≤89时，Δ≤0，g(x)≥0，f′(x)≥0，函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点．当a＞89时，Δ＞0，设方程2ax2＋ax－a＋1＝0的两根为x1，x2(x1＜x2)，因为x1＋x2＝－1 2，所以x1＜－14，x2＞－14.由g(－1)＝1＞0，可得－1＜x1＜－1 4 .所以当x∈(－1，x1)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；当x∈(x1，x2)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞0，f′(x)＞0, 函数f(x)单调递增．因此函数f(x)有两个极值点．③当a＜0时，Δ＞0，由g(－1)＝1＞0，可得x1＜－1＜x2.当x∈(－1，x2)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减．所以函数f(x)有一个极值点．综上所述，当a＜0时，函数f(x)有一个极值点；当0≤a≤89时，函数f(x)无极值点；当a＞89时，函数f(x)有两个极值点．考法(二) 已知函数的极值点的个数求参数[例3] 已知函数g(x)＝ln x－mx＋mx存在两个极值点x1，x2，求m的取值范围．[解] 因为g(x)＝ln x－mx＋m x ，所以g′(x)＝1x－m－mx2＝－mx2－x＋mx2(x＞0)，令h(x)＝mx2－x＋m，要使g(x)存在两个极值点x1，x2，则方程mx2－x＋m＝0有两个不相等的正数根x 1，x 2.故只需满足⎩⎪⎨⎪⎧h 0＞0，12m＞0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ＜0，解得0＜m ＜12.所以m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.考法(三) 已知函数的极值求参数[例4] (2018·北京高考)设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x . (1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，求a ； (2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围． [解] (1)因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ， 所以f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x . 所以f ′(1)＝(1－a )e.由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 此时f (1)＝3e ≠0. 所以a 的值为1.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .若a ＞12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2时，f ′(x )＜0;当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0. 所以f (x )在x ＝2处取得极小值．若a ≤12，则当x ∈(0,2)时，x －2＜0，ax －1≤12x －1＜0，所以f ′(x )＞0.所以2不是f (x )的极小值点． 综上可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.考点二 利用导数研究函数的最值[典例精析]已知函数f (x )＝ln xx－1.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设m ＞0，求函数f (x )在区间[m,2m ]上的最大值． [解] (1)因为函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－ln xx 2， 由⎩⎨⎧f ′x ＞0，x ＞0，得 0＜x ＜e ；由⎩⎨⎧f ′x＜0，x ＞0，得x ＞e.所以函数f (x )的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)． (2)①当⎩⎨⎧2m ≤e ，m ＞0，即0＜m ≤e2时，函数f (x )在区间[m,2m ]上单调递增，所以f (x )max ＝f (2m )＝ln2m 2m－1；②当m ＜e ＜2m ，即e2＜m ＜e 时，函数f (x )在区间(m ，e)上单调递增，在(e,2m )上单调递减，所以f (x )max ＝f (e)＝ln e e －1＝1e－1； ③当m ≥e 时，函数f (x )在区间[m,2m ]上单调递减， 所以f (x )max ＝f (m )＝ln mm－1.综上所述，当0＜m ≤e 2时，f (x )max ＝ln 2m2m －1；当e 2＜m ＜e 时，f (x )max ＝1e －1； 当m ≥e 时，f (x )max ＝ln mm－1.[题组训练]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，则f (x )的最小值是________．解析：f ′(x )＝2cos x ＋2cos 2x ＝2cos x ＋2(2cos 2x －1) ＝2(2cos 2x ＋cos x －1)＝2(2cos x －1)(cos x ＋1)．∵cos x ＋1≥0，∴当cos x ＜12时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当cos x ＞12时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．∴当cos x ＝12，f (x )有最小值．又f (x )＝2sin x ＋sin 2x ＝2sin x (1＋cos x )， ∴当sin x ＝－32时，f (x )有最小值， 即f (x )min ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝－332.答案：－3322．已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋bx (其中a ，b 为常数且a ≠0)在x ＝1处取得极值．(1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0，e]上的最大值为1，求a 的值．解：(1)因为f (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ，所以f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x＋2ax ＋b ，因为函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋bx 在x ＝1处取得极值， 所以f ′(1)＝1＋2a ＋b ＝0， 又a ＝1，所以b ＝－3，则f ′(x )＝2x 2－3x ＋1x，令f ′(x )＝0，得x 1＝12，x 2＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：所以f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，(1，＋∞)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(2)由(1)知f ′(x )＝2ax 2－2a ＋1x ＋1x＝2ax －1x －1x(x ＞0)，令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝12a， 因为f (x )在x ＝1处取得极值，所以x 2＝12a≠x 1＝1. ①当a ＜0，即12a＜0时，f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，e]上单调递减， 所以f (x )在区间(0，e]上的最大值为f (1)，令f (1)＝1，解得a ＝－2. ②当a ＞0，即x 2＝12a＞0时， 若12a ＜1，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，[1，e]上单调递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12a ，1上单调递减，所以最大值可能在x ＝12a 或x ＝e 处取得，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝ln 12a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2－(2a ＋1)·12a ＝ln 12a －14a－1＜0， 令f (e)＝ln e ＋a e 2－(2a ＋1)e ＝1，解得a ＝1e －2. 若1＜12a ＜e ，f (x )在区间(0,1)，⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a ，e 上单调递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，12a 上单调递减，所以最大值可能在x ＝1或x ＝e 处取得， 而f (1)＝ln 1＋a －(2a ＋1)＜0， 令f (e)＝ln e ＋a e 2－(2a ＋1)e ＝1， 解得a ＝1e －2，与1＜x 2＝12a＜e 矛盾． 若x 2＝12a≥e ，f (x )在区间(0,1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，所以最大值可能在x ＝1处取得，而f (1)＝ln 1＋a －(2a ＋1)＜0，矛盾．综上所述，a＝1e－2或a＝－2.考点三利用导数求解函数极值和最值的综合问题[典例精析](2019·贵阳模拟)已知函数f(x)＝ln x＋12x2－ax＋a(a∈R)．(1)若函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)在x＝x1和x＝x2处取得极值，且x2≥e x1(e为自然对数的底数)，求f(x2)－f(x1)的最大值．[解] (1)∵f′(x)＝1x＋x－a(x＞0)，又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴恒有f′(x)≥0，即1x＋x－a≥0恒成立，∴a≤⎝⎛⎭⎪⎫x＋1x min，而x＋1x≥2 x·1x＝2，当且仅当x＝1时取“＝”，∴a≤2.即函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数时，a的取值范围是(－∞，2]．(2)∵f(x)在x＝x1和x＝x2处取得极值，且f′(x)＝1x＋x－a＝x2－ax＋1x(x＞0)，∴x1，x2是方程x2－ax＋1＝0的两个实根，由根与系数的关系得x1＋x2＝a，x1x2＝1，∴f(x2)－f(x1)＝ln x2x1＋12(x22－x21)－a(x2－x1)＝lnx2x1－12(x22－x21)＝lnx2x1－12(x22－x21)1x1x2＝lnx2x1－12⎝⎛⎭⎪⎫x2x1－x1x2，设t＝x2x1(t≥e)，令h(t)＝ln t－12⎝⎛⎭⎪⎫t－1t(t≥e)，则h′(t)＝1t－12⎝⎛⎭⎪⎫1＋1t2＝－t－122t2＜0，∴h(t)在[e，＋∞)上是减函数，∴h(t)≤h(e)＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－e＋ee，故f (x 2)－f (x 1) 的最大值为12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ e ＋e e .[题组训练]已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋ce x(a ＞0)的导函数f ′(x )的两个零点为－3和0.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的极小值为－e 3，求f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值． 解：(1)f ′(x )＝2ax ＋be x －ax 2＋bx ＋ce x e x 2＝－ax 2＋2a －bx ＋b －ce x.令g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c ，因为e x ＞0，所以f ′(x )的零点就是g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c 的零点，且f ′(x )与g (x )符号相同．又因为a ＞0，所以当－3＜x ＜0时，g (x )＞0，即f ′(x )＞0， 当x ＜－3或x ＞0时，g (x )＜0，即f ′(x )＜0，所以f (x )的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)．(2)由(1)知，x ＝－3是f (x )的极小值点，所以有⎩⎪⎨⎪⎧f －3＝9a －3b ＋ce－3＝－e 3，g 0＝b －c ＝0，g－3＝－9a －32a －b＋b －c ＝0，解得a ＝1，b ＝5，c ＝5，所以f (x )＝x 2＋5x ＋5e x.由(1)可知当x ＝0时f (x )取得极大值f (0)＝5，故f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值取f (－5)和f (0)中的最大者． 而f (－5)＝5e－5＝5e 5＞5＝f (0)， 所以函数f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e 5.[课时跟踪检测]A级1．函数f(x)＝x e－x，x∈[0,4]的最小值为( )A．0 B.1 eC.4e4D.2e2解析：选A f′(x)＝1－x e x，当x∈[0,1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x∈(1,4]时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，因为f(0)＝0，f(4)＝4e4＞0，所以当x＝0时，f(x)有最小值，且最小值为0.2．若函数f(x)＝a e x－sin x在x＝0处有极值，则a的值为( )A．－1 B．0C．1 D．e解析：选C f′(x)＝a e x－cos x，若函数f(x)＝a e x－sin x在x＝0处有极值，则f′(0)＝a－1＝0，解得a＝1，经检验a＝1符合题意，故选C.3．已知x＝2是函数f(x)＝x3－3ax＋2的极小值点，那么函数f(x)的极大值为( )A．15 B．16C．17 D．18解析：选D 因为x＝2是函数f(x)＝x3－3ax＋2的极小值点，所以f′(2)＝12－3a＝0，解得a＝4，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x3－12x＋2，f′(x)＝3x2－12，由f′(x)＝0，得x＝±2，故函数f(x)在(－2,2)上是减函数，在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函数，由此可知当x＝－2时，函数f(x)取得极大值f(－2)＝18.4.(2019·合肥模拟)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的大致图象如图所示，则x21＋x22等于( )A.23B.43C.83D.163解析：选C 由图象可知f (x )的图象过点(1,0)与(2,0)，x 1，x 2是函数f (x )的极值点，因此1＋b ＋c ＝0,8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－3，c ＝2，所以f (x )＝x 3－3x 2＋2x ，所以f ′(x )＝3x 2－6x ＋2，则x 1，x 2是方程f ′(x )＝3x 2－6x ＋2＝0的两个不同的实数根，因此x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝23，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4－43＝83.5．(2019·泉州质检)已知直线y ＝a 分别与函数y ＝e x ＋1和y ＝ x －1交于A ，B 两点，则A ，B 之间的最短距离是( )A.3－ln 22 B.5－ln 22 C.3＋ln 22D.5＋ln 22解析：选D 由y ＝e x ＋1得x ＝ln y －1，由y ＝x －1得x ＝y 2＋1，所以设h (y )＝|AB |＝y 2＋1－(ln y －1)＝y 2－ln y ＋2，h ′(y )＝2y －1y ＝2⎝⎛⎭⎪⎫y －22⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋22y(y ＞0)，当0＜y ＜22时，h ′(y )＜0；当y ＞22时，h ′(y )＞0，即函数h (y )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞上单调递增，所以h (y )min ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222－ln 22＋2＝5＋ln 22.6．若函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a ＞0)的极大值是正数，极小值是负数，则a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a )(x －a )，由f ′(x )＝0得x ＝±a ，当－a ＜x ＜a 时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； 当x ＞a 或x ＜－a 时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增， ∴f (x )的极大值为f (－a )，极小值为f (a )． ∴f (－a )＝－a 3＋3a 3＋a ＞0且f (a )＝a 3－3a 3＋a ＜0， 解得a ＞22. ∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞7．(2019·长沙调研)已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝⎛⎭⎪⎫a ＞12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a ＝________.解析：由题意知，当x ∈(0,2)时，f (x )的最大值为－1. 令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1a，当0＜x ＜1a时，f ′(x )＞0；当x ＞1a时，f ′(x )＜0.∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝－ln a －1＝－1，解得a ＝1.答案：18．(2018·内江一模)已知函数f (x )＝a sin x ＋b cos x (a ，b ∈R)，曲线y ＝f (x )在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3处的切线方程为y ＝x －π3.(1)求a ，b 的值；(2)求函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3x在⎝⎛⎦⎥⎤0，π2上的最小值．解：(1)由切线方程知，当x ＝π3时，y ＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝32a ＋12b ＝0.∵f ′(x )＝a cos x －b sin x ，∴由切线方程知，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝12a －32b ＝1，∴a ＝12，b ＝－32.(2) 由(1)知，f (x )＝12sin x －32cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，∴函数g (x )＝sin x x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ≤π2，g ′(x )＝x cos x －sin xx 2.设u (x )＝x cos x－sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤π2，则u ′(x )＝－x sin x ＜0，故u (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减．∴u (x )＜u (0)＝0，∴g (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2上单调递减．∴函数g (x )在 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2π.9．已知函数f (x )＝a ln x ＋1x(a ＞0)．(1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)是否存在实数a ，使得函数f (x )在[1，e]上的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．解：由题意，知函数的定义域为{x |x ＞0}，f ′(x )＝a x －1x2＝ax －1x2(a ＞0)．(1)由f ′(x )＞0，解得x ＞1a，所以函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞；由f ′(x )＜0，解得0＜x ＜1a，所以函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，1a .所以当x ＝1a 时，函数f (x )有极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝a ln 1a ＋a ＝a －a ln a ，无极大值．(2)不存在，理由如下：由(1)可知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，函数f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，函数f (x )单调递增．①若0＜1a≤1，即a ≥1时，函数f (x )在[1，e]上为增函数，故函数f (x )的最小值为f (1)＝a ln 1＋1＝1，显然1≠0，故不满足条件． ②若1＜1a ≤e ，即1e ≤a ＜1时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，1a 上为减函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，e 上为增函数，故函数f (x )的最小值为f (x )的极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝a ln 1a ＋a ＝a －a ln a ＝0，即lna ＝1，解得a ＝e ，而1e≤a ＜1，故不满足条件．③若1a ＞e ，即0＜a ＜1e 时，函数f (x )在[1，e]上为减函数，故函数f (x )的最小值为f (e)＝a ln e ＋1e ＝a ＋1e ＝0，即a ＝－1e ，而0＜a ＜1e，故不满足条件．综上所述，不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在[1，e]上的最小值为0.B 级1．(2019·郑州质检)若函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1时有极值10，则a ，b 的值为( )A ．a ＝3，b ＝－3或a ＝－4，b ＝11B ．a ＝－4，b ＝－3或a ＝－4，b ＝11C ．a ＝－4，b ＝11D ．以上都不对解析：选C 由题意，f ′(x )＝3x 2－2ax －b ， 则f ′(1)＝0，即2a ＋b ＝3.①f (1)＝1－a －b ＋a 2＝10，即a 2－a －b ＝9.② 联立①②，解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝11或⎩⎨⎧a ＝3，b ＝－3.经检验⎩⎨⎧a ＝3，b ＝－3不符合题意，舍去．故选C.2．(2019·唐山联考)若函数f (x )＝x 2－12ln x ＋1在其定义域内的一个子区间(a －1，a ＋1)内存在极值，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意，得函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －12x ＝4x 2－12x ，令f ′(x )＝0，得x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝－12舍去，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥0，a －1＜12，a ＋1＞12，解得1≤a ＜32.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，323．(2019·德州质检)已知函数f (x )＝－13x 3＋x 在(a,10－a 2)上有最大值，则实数a 的取值范围是________．解析：由f ′(x )＝－x 2＋1，知f (x )在(－∞，－1)上单调递减，在[－1,1]上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，故函数f (x )在(a,10－a 2)上存在最大值的条件为⎩⎨⎧a ＜1，10－a 2＞1，f 1≥f a，其中f (1)≥f (a )，即为－13＋1≥－13a 3＋a ，整理得a 3－3a ＋2≥0，即a 3－1－3a ＋3≥0， 即(a －1)(a 2＋a ＋1)－3(a －1)≥0，即(a －1)(a 2＋a －2)≥0，即(a －1)2(a ＋2)≥0，即⎩⎨⎧a ＜1，10－a 2＞1，a －12a ＋2≥0，解得－2≤a ＜1.答案：[－2,1)4.已知函数f (x )是R 上的可导函数，f (x )的导函数f ′(x )的图象如图，则下列结论正确的是( )A ．a ，c 分别是极大值点和极小值点B ．b ，c 分别是极大值点和极小值点C ．f (x )在区间(a ，c )上是增函数D ．f (x )在区间(b ，c )上是减函数解析：选C 由极值点的定义可知，a 是极小值点，无极大值点；由导函数的图象可知，函数f (x )在区间(a ，＋∞)上是增函数，故选C.5.如图，在半径为103的半圆形(O 为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中A ，B 在直径上，C ，D 在圆周上，将所截得的矩形铁皮ABCD 卷成一个以AD 为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁与拼接损耗)，记圆柱形罐子的体积为V ，设AD ＝x ，则V max ＝________.解析：设圆柱形罐子的底面半径为r ， 由题意得AB ＝21032－x 2＝2πr ，所以r ＝300－x 2π，所以V ＝πr 2x ＝π⎝⎛⎭⎪⎫300－x 2π2x ＝1π(－x 3＋300x )(0＜x ＜103)，故V ′＝－3π(x 2－100)＝－3π(x ＋10)(x －10)(0＜x ＜103)． 令V ′＝0，得x ＝10(负值舍去)， 则V ′，V 随x 的变化情况如下表：x (0,10) 10 (10,103)V ′ ＋0 －V极大值所以当x ＝所以V max ＝2 000π. 答案：2 000π6．已知函数f (x )＝ln(x ＋1)－ax 2＋xx ＋12，其中a 为常数．(1)当1＜a ≤2时，讨论f (x )的单调性；(2)当x ＞0时，求g (x )＝x ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1x ln(1＋x )的最大值．解：(1)函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝x x －2a ＋3x ＋13，①当－1＜2a －3＜0，即1＜a ＜32时，当－1＜x ＜2a －3或x ＞0时，f ′(x )＞0，则f (x )在(－1，2a －3)，(0，＋∞)上单调递增，当2a －3＜x ＜0时，f ′(x )＜0，则f (x )在(2a －3,0)上单调递减． ②当2a －3＝0，即a ＝32时，f ′(x )≥0，则f (x )在(－1，＋∞)上单调递增．③当2a －3＞0，即a ＞32时，当－1＜x ＜0或x ＞2a －3时，f ′(x )＞0， 则f (x )在(－1,0)，(2a －3，＋∞)上单调递增，当0＜x ＜2a －3时，f ′(x )＜0，则f (x )在(0,2a －3)上单调递减． 综上，当1＜a ＜32时，f (x )在(－1,2a －3)，(0，＋∞)上单调递增，在(2a－3,0)上单调递减；当a ＝32时，f (x )在(－1，＋∞)上单调递增；当32＜a ≤2时，f (x )在(－1,0)，(2a －3，＋∞)上单调递增，在(0,2a －3)上单调递减．(2)∵g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ln(1＋x )－x ln x ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，∴g (x )在(0，＋∞)上的最大值等价于g (x )在(0,1]上的最大值． 令h (x )＝g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 2ln(1＋x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ·11＋x －(ln x ＋1)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1x 2ln(1＋x)－ln x＋1x－21＋x，则h′(x)＝2x3⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln1＋x－2x2＋xx＋12.由(1)可知当a＝2时，f(x)在(0,1]上单调递减，∴f(x)＜f(0)＝0，∴h′(x)＜0，从而h(x)在(0,1]上单调递减，∴h(x)≥h(1)＝0，∴g(x)在(0,1]上单调递增，∴g(x)≤g(1)＝2ln 2，∴g(x)的最大值为2ln 2.。
第二章 第十一节 导数与函数的单调性、极值、最值
【思路点拨】(1)由y′＜0的解集为 ( 3 , 3 )， 确定a的取值
3 3
范围.(2)先求出导函数，再利用导数与单调性的关系或转化为 恒成立问题求解．
【规范解答】(1)选A.
≧ y 3a(x 2 1 ) 3a(x 3 )(x 3 ),
3 当 3 ＜ x＜ 3 3 3 3 3 3 3 因为函数y=a(x3-x)在 ( 3 , 3 ) 上是减少的， 3 3
考向 2
已知函数的单调性求参数的范围
3 3
【典例2】（1）若函数y=a(x3-x)的递减区间为 ( 3 , 3 )， 则a
的取值范围是( )
（A）a＞0
（C）a＞1
（B）-1＜a＜0
（D）0＜a＜1
(2)（2013·厦门模拟）若函数f(x)=x3-ax2+1在［1,2］上是 减少的，求实数a的取值范围．
(i)当a＞1时，1-2a＜-1,
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表： x
f′(x) f(x)
(-≦,1-2a)
+ 增加
(1-2a,-1)
减少
(-1,+≦)
+ 增加
由此得，函数f(x)的递增区间为(-≦,1-2a)和(-1,+≦)，递减 区间为(1-2a,-1).
(ii)由a=1时，1-2a=-1，此时，f′(x)≥0恒成立，且仅在x=
(1) f′(x)＞0是f(x)为增函数的充要条件.( )
(2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.(
(3)函数的极大值不一定比极小值大.( )
)
(4)对可导函数f(x),f′(x0)=0是x0点为极值点的充要条 件.( )
(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是 极小值.( )
高考数学总复习第十一节 第二课时 导数与函数的极值、最值
当 x∈(－∞，ln a)时，f′(x)＜0；
当 x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)＞0，
所以函数 f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单
调递增，故函数 f(x)在 x＝ln a 处取得极小值且极小值为 f(ln a)
＝ln a，无极大值．
综上，当 a≤0 时，函数 f(x)无极值；
第 二 课时 导数与函数的极值、最值
课堂·考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
课后·三维演练
基础练、题型练、能力练、全练力保全能
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课 堂 考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
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考点一 运用导数解决函数的极值问题
题点多变型考点——多角探明 [锁定考向] 函数的极值是每年高考的必考内容，题型既有选择题、 填空题，也有解答题，难度适中，为中高档题． 常见的命题角度有： (1)知图判断函数极值； (2)已知函数求极值或极值点； (3)已知函数极值情况求参数值(范围)．
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[由题悟法] 求函数 f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的 3 步骤 (1)求函数在(a，b)内的极值； (2)求函数在区间端点的函数值 f(a)，f(b)； (3)将函数 f(x)的极值与 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个 为最大值，最小的一个为最小值．
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[即时应用] 已知函数 f(x)＝lnxx－1. (1)求函数 f(x)的单调区间； 解：因为函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，且 f′(x)＝1－xl2n x， 由fx′＞0x，＞0， 得 0＜x＜e；由fx′＞0x，＜0， 得 x＞e. 所以函数 f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为 (e，＋∞)．
导数与函数的极值最值
2．函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值 与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则___f(_a_)_为函数的最小 值，__f_(b_)__为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减， 则___f(_a_)__为函数的最大值， __f_(b_)__为函数的最小值．
a＝1，
∴f1＝－b＝－12，
解得b＝12.
(2)由(1)得 f(x)＝ln x－12x2， 则 f′(x)＝1x－x＝1－x x2， ∵当1e≤x≤e 时，令 f′(x)＞0 得1e≤x＜1； 令 f′(x)＜0，得 1＜x≤e，∴f(x)在1e，1上单调递增，在[1， e]上单调递减，∴f(x)max＝f(1)＝－12.
)
A.137
B．－137
4
2
C.e4
D.e2
[解析] f′(x)＝x2＋2x－3，f′(x)＝0，x∈[0,2]， 得 x＝1.比较 f(0)＝－4，f(1)＝－137，f(2)＝－130.可知最小 值为－137. [答＞0 是 f(x)为增函数的充要条件． ②函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的． ③函数的极大值不一定比极小值大． ④对可导函数 f(x)，f′(x0)＝0 是 x0 点为极值点的充要条件． ⑤函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定 是极小值． 其中真命题的是________．(写出所有真命题的序号)
[解析] 由题图可知，当 x＜－2 时，f′(x)＞0；当－2＜x ＜1 时，f′(x)＜0；当 1＜x＜2 时，f′(x)＜0；当 x＞2 时，f′(x) ＞0.由此可以得到函数 f(x)在 x＝－2 处取得极大值，在 x＝2 处 取得极小值．
[答案] D
【高中数学】导数与函数的极值、最值
高中数学学科
t1，t2，t3 是公差为 d 的等差数列．
(1)若 t2＝0，d＝1，求曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
所以 f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，f′(0)＝0.
又因为 f(0)＝1，
所以曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为 y＝1.
(2)设 h(x)＝ex(cos x－sin x)－1，
则 h′(x)＝ex(cos x－sin x－sin x－cos x)＝－2exsin x.
N＝－19，M－N＝1－(－19)＝20.
2．(2018·梅州期末)函数 y＝f(x)的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是( )
A．(－1,3)为函数 y＝f(x)的单调递增区间
高中数学学科
B．(3,5)为函数 y＝f(x)的单调递减区间
C．函数 y＝f(x)在 x＝0 处取得极大值
D．函数 y＝f(x)在 x＝5 处取得极小值
高中数学学科
导数与函数的极值、最值
一、基础知识
1．函数的极值 (1)函数的极小值： 函数 y＝f(x)在点 x＝a 的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0； 而且在点 x＝a 附近的左侧 f′(x)＜0，右侧 f′(x)＞0，则点 a 叫做函数 y＝f(x)的极小值点， f(a)叫做函数 y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值： 函数 y＝f(x)在点 x＝b 的函数值 f(b)比它在点 x＝b 附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0； 而且在点 x＝b 附近的左侧 f′(x)＞0，右侧 f′(x)＜0，则点 b 叫做函数 y＝f(x)的极大值点， f(b)叫做函数 y＝f(x)的极大值． 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.
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课时规范练A 组 基础对点练1．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则( )A ．a ＜－1B ．a ＞－1C ．a ＞－1eD ．a ＜－1e解析：∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋a .∵函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，则方程y ′＝e x ＋a ＝0有大于零的解，∵x ＞0时，－e x ＜－1，∴a ＝－e x ＜－1.选A.答案：A2．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则f (2)等于( )A ．11或18B ．11C ．18D ．17或18 解析：∵函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，∴f (1)＝10，且f ′(1)＝0，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11. 而当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2，x ∈(－∞，1)，f ′(x )＞0，x ∈(1，＋∞)，f ′(x )＞0，故舍去．∴f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16，∴f (2)＝18.选C.答案：C3．(2019·岳阳模拟)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝ln(－x )C．y＝x e－x D．y＝x＋2 x解析：A、B为单调函数，不存在极值，C不是奇函数，故选D.答案：D4．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，若t＝ab，则t的最大值为()A．2 B．3C．6 D．9解析：∵f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2，∴f′(x)＝12x2－2ax－2b，又∵f(x)在x＝1处有极值，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0⇒a＋b＝6，∵a＞0，b＞0，a＋b≥2ab，∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时等号成立．故选D.答案：D5．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是()A．－37 B．－29C．－5 D．以上都不对解析：f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，所以f(x)在[－2,0]上单调递增，在(0,2]上单调递减．所以x＝0为极大值点，也为最大值点．所以f(0)＝m＝3，所以m＝3.所以f(－2)＝－37，f(2)＝－5.所以最小值是－37.答案：A6．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)e x的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)图象的是()解析：因为[f (x )e x ]′＝f ′(x )e x ＋f (x )(e x )′＝[f (x )＋f ′(x )]e x ，且x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，所以f (－1)＋f ′(－1)＝0；选项D 中，f (－1)＞0，f ′(－1)＞0，不满足f ′(－1)＋f (－1)＝0.答案：D7．函数y ＝2x －1x 2的极大值是________．解析：y ′＝2＋2x 3，令y ′＝0，得x ＝－1.当x ＜－1时，y ′＞0；当－1＜x ＜0时，y ′＜0.当x ＞0，y ′＞0， 所以当x ＝－1时，y 取极大值－3.答案：－38．已知函数y ＝f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )的极大值与极小值之差为________． 解析：因为y ′＝3x 2＋6ax ＋3b ，⎩⎪⎨⎪⎧ 3×22＋6a ×2＋3b ＝0，3×12＋6a ＋3b ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0. 所以y ′＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，则x ＝0或x ＝2.所以f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4.答案：49．已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋(m ＋6)x ＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围是________．解析：因为f ′(x )＝3x 2＋2mx ＋(m ＋6)，所以Δ＝4m 2－4×3(m ＋6)＞0，解得m ＞6或m ＜－3，所以实数m 的取值范围是(－∞，－3)∪(6，＋∞)．答案：(－∞，－3)∪(6，＋∞)10．已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．解析：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8.从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ，f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －12. 令f ′(x )＝0，得x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )＞0；当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )＜0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．B 组 能力提升练11．已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x －1)(x －1)k (k ＝1,2)，则( )A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值解析：当k ＝1时，f (x )＝(e x －1)(x －1)，0,1是函数f (x )的零点．当0＜x ＜1时，f (x )＝(e x －1)(x －1)＜0，当x ＞1时，f (x )＝(e x －1)(x －1)＞0,1不会是极值 点．当k ＝2时，f (x )＝(e x －1)(x －1)2，零点还是0,1，但是当0＜x ＜1，x＞1时，f (x )＞0，由极值的概念，知选C.答案：C12．若0＜x 1＜x 2＜1，则( )A ．e x 2－e x 1＞ln x 2－ln x 1B ．e x 1－e x 2＜ln x 2－ln x 1C ．x 2e x 1＞x 1e x 2D ．x 2e x 1＜x 1e x 2解析：令f (x )＝e x x ，则f ′(x )＝x e x －e x x 2＝e x(x －1)x 2.当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，即f (x )在(0,1)上单调递减，∵0＜x 1＜x 2＜1，∴f (x 2)＜f (x 1)，即e x 2x 2＜e x 1x 1，∴x 2e x 1＞x 1e x 2，故选C. 答案：C13．已知奇函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x x－1(x >0)，h (x )(x <0)则函数h (x )的最大值为__________．解析：先求出x >0时，f (x )＝e x x －1的最小值．当x >0时，f ′(x )＝e x(x －1)x 2，∴x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，函数单调递减，x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，函数单调递增，∴x ＝1时，函数取得极小值即最小值，为e －1，∴由已知条件得h (x )的最大值为1－e.答案：1－e14．若函数f (x )＝x 3－3x 在区间(a,6－a 2)上有最小值，则实数a 的取值范围是________．解析：若f ′(x )＝3x 2－3＝0，则x ＝±1，且x ＝1为函数的极小值点，x ＝－1为函数的极大值点．函数f (x )在区间(a,6－a 2)上有最小值，则函数f (x )的极小值点必在区间(a,6－a 2)内，且左端点的函数值不小于f (1)，即实数a 满足a ＜1＜6－a 2且f (a )＝a 3－3a ≥f (1)＝－2.解a ＜1＜6－a 2，得－5＜a ＜1.不等式a3－3a≥f(1)＝－2，即a3－3a＋2≥0，a3－1－3(a－1)≥0，(a－1)(a2＋a －2)≥0，即(a－1)2(a＋2)≥0，即a≥－2，故实数a的取值范围为[－2,1)．答案：[－2,1)15．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．(1)求a和b的值．(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点．解析：(1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，解得a＝0，b＝－3.将a＝0，b＝－3代入检验知符合题意．(2)由(1)知f(x)＝x3－3x.因为f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2，于是函数g(x)的极值点只可能是x＝1或x＝－2.当x＜－2时，g′(x)＜0；当－2＜x＜1时，g′(x)＞0，故x＝－2是g(x)的极小值点．当－2＜x＜1或x＞1时，g′(x)＞0，故x＝1不是g(x)的极值点．所以g(x)的极小值点为x＝－2，无极大值点．16．已知函数f(x)＝a6x3－a4x2－ax－2的图象过点A(4，103)．(1)求函数f(x)的单调区间．(2)若函数g(x)＝f(x)－2m＋3有3个零点，求m的取值范围．解析：(1)因为函数f(x)＝a6x3－a4x2－ax－2的图象过点A(4，103)．所以32a3－4a－4a－2＝103，解得a＝2，即f(x)＝13x3－12x2－2x－2，所以f′(x)＝x2－x－2.由f′(x)＝x2－x－2＜0，解得－1＜x＜2；由f′(x)＞0，得x＜－1或x＞2.所以函数f (x )的递减区间是(－1,2)，递增区间是(－∞，－1)，(2，＋∞)．(2)由(1)知f (x )的极大值＝f (－1)＝－13－12＋2－2＝－56，同理，f (x )的极小值＝f (2)＝83－2－4－2＝－163，由数形结合思想，要使函数g (x )＝f (x )－2m ＋3有三个零点，则－163＜2m －3＜－56，解得－76＜m ＜1312.所以m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－76，1312.。