扩散理论

将下面的两个公式代入Fick方程式，则有：
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λ dC D d C － = 2 t dλ 2t dλ
2
dC dC 2D 2 + λ =0 dλ dλ
2
方程的解为： C = A∫ e
0
π
− λ2 / 4 D
dλ + B
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27
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C1 + C2 C1 − C2 x C= erf ( + ) 2 2 2 Dt
4
2布朗运动与扩散 无规行走模型（醉步模型） 例：迷失方向的醉汉在走过n步之后可能只会 移动一个z的距离，试求解出现这样距离的概 率。假设醉汉只在一条直线上，每步的方向或 1 z2 +或-，而步长为r • exp(− ) P ( n, z ) = 2
2πnλ
+∞
2
2 nλ
由布朗运动所导致的迁移距离
若已知扩散中的D、t、x等参数，便可求得相应的β值。 不同β值所对应的erf(β) 可查表求出，结合已知的C1、 C2 便可得到C值。由于D是温度的函数，因此该式表 示了扩散的温度、时间、位置和浓度四者之间的关系。
根据已知条件 确定边界条件
由边界条件 求解erf(β)
求解C
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根据不同条件，无限大物体中扩散有不同情况 (1)B金属棒初始浓度c1=0，则
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当C原子从内壁渗入、外壁渗出过程达到平衡时，则 为稳态扩散。这时，圆筒本身不再吸碳，圆柱体内各处的 碳浓度不再随时间而变化，即dC/dt=0。 单位面积中的C流量为：J=q/(At)=q/(2πrLt) q为通过圆筒壁的总碳量，A为圆筒总面积，r为园筒半径， L为筒长。 则 J=q/(At)=q/(2πrLt)=-D(dc/dx) =-D(dc/dr) 即-D=[q/(2πrLt)]×1/(dc/dr) =[q(dlnr)]/[(2πLt)dc] q可通过炉内流出的脱碳气体的增碳求得，L、r均为已知值。 可以通过剥层法测出不同r处的碳含量，作出C-lnr的曲 线，由此就可求得D。
第5章 扩散理论
1
第一节
扩散现象及其基本问题
2
一 引例
1. 固体中原子的运动
墨水（B)
水（A)
加入染料 部分混合 时间 B分子的运动：无规则的布朗运动 B分子集团的运动： B分子存在的区域不断扩大 最终水的全体都变成均匀的蓝墨水颜色。---扩散
3
完全混合
原子所进行的这种短距离或长距离迁移微观过程 以及由于大量原子迁移所引起的物质宏观流动 过程，称之为“扩散”。 扩散 固体中原子迁移的唯一方式是扩散。
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surface diffusion
evaporation & solidification
volume diffusion
8
三.研究扩散的意义 金属的凝固 材料的微观组织与扩散的关系： 相图---地图 偏析 成分均匀化 渗碳、脱碳 烧结 氧化 焊接 高温蠕变 重点：晶体中原子的扩散现象和扩散机制
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二、扩散的推动力
当不存在外场时，晶体中粒子的迁移完全是由于热振动引起的。 只有在外场作用下，这种粒子的迁移才能形成定向的扩散流。也就是 说，形成定向扩散流必需要有推动力，这种推动力通常是由浓度梯度 提供的。 但应指出，在更普遍情况下，扩散推动力应是系统的化学位梯 度；
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一、扩散的宏观规律 ：Fick 定律 扩散第一定律 Fick’s First Law
t > 0时, x = 0, c = c 0 , x = ∞, c = 0
可解得方程的解
⎡ c = c 0 ⎢1 − erf ⎣
⎛ x ⎜ ⎜ ⎝ 2 Dt
⎞⎤ ⎟⎥ ⎟ ⎠⎦
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应用举例：均匀化退火过程
设溶质沿x轴为正弦曲线分布。式中，C0－平均浓 度；Cmax－最大浓度
C = C0 + (Cmax − C0 ) sin
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扩散第二定律示意图
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2. Fick第二定律公式的推导
图中的阴影线部分为从扩散棒中所取 的一微小体积元，其垂直于x轴的横截面 积为A，厚度为dx，箭头表示物质扩散方 向，设J1和J2分别为流入和流出体积元 的物质扩散通量。由物质质量平衡关系 可得： 流入体积元的物质量－流出体积元 的物质量＝体积元中物质的积累量
ϖ j = − D ⋅ ∇C
▽C——掺杂粒子的浓度梯度；D——扩散系数，单位：m2/sec。
扩散第二定律 Fick’s Second Law
z = ( z 2 )1 / 2 = [ ∫ z 2 •P ( n, z )dz ]1 / 2 = n • λ
−∞
5
3 扩散过程的特点
宏观特点： 1) 流体中的物质迁移随机地在任意方向上并具有较大 的速率。固体物质的迁移受质点排列方式限制（各 向异性），每一迁移须克服较高的能垒（速率较 慢）。 2) 大量原子的跃迁具有统计规律性。如存在浓度梯度 时，会出现物质原子的定向迁移。不可逆过程。 微观特点: 原子的热运动和跃迁杂乱无章
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3.Fick扩散第二定律的求解与应用 在一定的边界条件和初始条件下，扩散方程可求 得其解析或数值解。 典型的边界条件： 扩散长度远小于扩散体系的尺寸： 引入无限大获半无限大边界条件而是扩散 方程得到解析解 扩散长度与扩散体系尺寸相当： 方程的解具有级数的形式
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Fick扩散第二定律的应用 (1)在无限长棒中的扩散
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二、Fick第二扩散定律
∂c ∂ 2c = D ∂t ∂x 2
Fick第一定律只适用于浓度梯度∂C/∂x不随时间变 第一定律 化的稳态扩散，即dc/dt=0 。 实际上在扩散过程中，扩散方向上各处的扩散物质 的浓度梯度是随时间而变化的，即为非稳态扩散 dc/dt≠0 ，因此必须在扩散方程中引入时间参数。
⎛ ∂ 2C ∂C 2 ⎞ ∂C = D⎜ ⎜ ∂p 2 + ∂p p ⎟ ⎟ ∂t ⎝ ⎠
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回 顾
扩散分类 Fick第一和第二定律 两种典型情况的解
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一、从不同的角度对扩散进行分类
（1）按浓度均匀程度分： 有浓度差的空间扩散叫互扩散；没有浓度差的扩散叫自扩散 （2） 按扩散方向分： 由高浓度区向低浓度区的扩散叫顺扩散，又称下坡扩散; 由低浓 度区向高浓度区的扩散叫逆扩散，又称上坡扩散。 （3） 按原子的扩散方向分： 在晶粒内部进行的扩散称为体扩散；在表面进行的扩散称为表面 扩散；沿晶界进行的扩散称为晶界扩散。表面扩散和晶界扩散的扩散速 度比体扩散要快得多，一般称前两种情况为短路扩散。此外还有沿位错 线的扩散，沿层错面的扩散等。 （4）按浓度随时间变化情况分： 稳定扩散是指在垂直扩散方向的任一平面上，单位时间内通过该 平面单位面积的粒子数一定，即任一点的浓度不随时间而变化。不稳定 扩散是指扩散物质在扩散介质中浓度随时间发生变化。扩散通量与位置 有关。
9扩Βιβλιοθήκη 系数表---列车时刻表各种扩散型固态相变
扩散的基本规律对材料性 质的认识与开发、 材料的制备、生产和使用 具有重要的意义
第二节 扩散定律
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一 Fick第一扩散定律 (稳态扩散) 1 Fick第一定律：质点扩散定量描述的基本方程 第一定律： 单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积的 扩散物质流量（扩散通量）与该面积处的浓度梯 度成正比， 即： J=-D∂C/∂x1
J1 dx x
J2 x x+dx
在等式两边同除以时间因子，则有：体积元的物质流入率 J1A－体积元的物质流出率J2A＝体积元中物质的积累率
J2A＝J1A＋[∂(JA)/∂x]dx
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J2A＝J1A＋[∂(JA)/∂x]dx ∴ J1A－J2A＝－[∂J/∂x]Adx 体积元中物质的积累率又可以用浓度所表示的 物质量随时间的变化来描述，即； J1A－J2A =(∂C/∂t)Adx, ∴∂C/∂t=-∂J/∂x 在非稳定扩散情况下,在某一特定位置某一瞬间的扩 散通量也可用第一定律表示: ∂C/∂t= ∂(D∂C/∂x)/∂x, 如果D与浓度无关，则： ∂C/∂t＝D∂2C/∂x2
πx
l
exp(
π
l
2 2
Dt )
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讨论：分析球状的第2相长大或溶解时的扩散现象。 引入极坐标系，分析扩散通量 设想一个离极坐标中心p、厚度为 Δp 的球壳。从球 壳内则流入的通量为 J p，流出至外则的为 J p + Δp ，则 球壳中的溶质浓度变化为：
∂C • 4πp 2 • Δp = J p • 4πp 2 − J p + Δp • 4π ( p + Δp ) 2 ∂t ∂J J ≈ −( + 2 ) • 4πp 2 • Δp ∂p p
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对于三维扩散，若各个方向上的扩散系数相 同，则有：
⎛ ∂ 2C ∂ 2C ∂ 2C ⎞ ∂C = D⎜ 2 + 2 + 2 ⎟ = D∇ 2C ⎜ ∂x ∂t ∂y ∂z ⎟ ⎠ ⎝
对于各向异性的介质，设在x、y、z三个方向上 的扩散系数依次为Dx、Dy、Dz，则有：
∂C ∂ 2C ∂ 2C ∂ 2C = Dx 2 + Dy 2 + Dz 2 ∂t ∂x ∂y ∂z
c2 ⎛ x c= [1 − erf ⎜ ⎜ 2 ⎝ 2 Dt ⎞ ⎟] ⎟ ⎠
(2) 扩 散 偶 焊 接 面 处 溶 质 浓 度 c0 ， 根 据 x=0 β 时， = 0, erf ( β ) = 0 ，则c0=(c1+c2)/2，若B棒初始浓度 c1=0，则c0= c2 /2。
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例 求t>0时，x=0处的浓度C。
模型： 两根很长且截面均匀的合金棒A、 B焊在一起，组成了扩散偶，焊合面 垂直于x轴。棒A的溶质浓度为C1，棒 B的浓度为C2 ，并且C2>C1 。将此扩 散偶加热保温，使其中溶质在浓度梯 度作用下进行扩散。图中的虚线表示 不同扩散时间t时焊棒中溶质沿x方向 初始条件：t=0时 若x>0则C=C1 的浓度分布。 求解时．因棒很长而使溶质从焊 若x<0则C=C2 棒自一端扩散到另一端所需时间很 长，所以可以认为焊棒为无限长，即 边界条件： t>0时 x=∞ C=C1 棒两端的溶质浓度不受扩散的影响而 保持恒定。 x=-∞ C=C2