中考数学专题复习 直角三角形课件
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(沪科版)中考数学总复习课件【第18讲】直角三角形
7．[ 2013·湘西州] 如图 18－6，在 Rt△ABC 中，∠C ＝90°， AD 平分∠CAB，DE⊥AB 于点 E ，若 AC＝6， BC＝8，CD ＝3. (1) 求 DE 的长； (2) 求△ADB 的面积．
图 18 －6
第18讲┃直角三角形
解： (1)∵AD 平分∠CAB，DE ⊥AB，∠C＝ 90°， ∴CD ＝DE. ∵CD ＝3，∴DE＝ 3. (2) 在 Rt△ABC 中， 由勾股定理得： AB＝ AC ＋ BC ＝ 6 ＋8 ＝10， 1 1 ∴△ADB 的面积为 S △ADB＝ AB·DE＝ ×10×3＝ 15. 2 2
A．4 ，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2 ，3，4 D．1， 2，3
5 ．若一直角三角形的两边长分别为 5 和 12 ，则第三边的长为 ( D )
A．13 B. 119 C. 13 D．13 或 119
第18讲┃直角三角形
[解析 ] 有两种情况： 当两已知边都为直角边时，则第三边长为 5 ＋12 ＝13； 当已知边为直角边和斜边时，则第三边长为 12 － 5 ＝ 119. 故答案为 D.
第18讲┃直角三角形
[解析] 设BN＝x，则DN＝AN＝9－x.
∵BC＝6，D是BC的中点，∴BD＝3.
∵∠B＝90°，∴32＋x2＝(9－x)2， 解得x＝4.
第5讲┃分式
【知识归纳】
运用勾股定理解决的问题主要有：(1)已知直角三角形的任意
两边长求第三边长； (2) 已知一边长及其他两边之间的关系 ， 根据 勾股定理建立只含有一个未知数的方程求解； (3) 证明线段之间的
第18讲┃直角三角形
直角 的三角形是直角三角形． 1.有一个角是________
(沪科版)中考数学总复习课件【第20讲】解直角三角形
tanB)2＝0，则∠C 的度数是( C ) A．45° B．60° C．75° D．105°
第20讲┃解直角三角形
[ 解析]
1 2 由于 cos A － ≥ 0 ， (1 － tan B) ≥0 ，根据非负数的 2
1 性质，得 cosA＝ ，tanB ＝1，依据特殊角三角函数值求得∠A＝ 2 60°，∠B ＝45°，最后利用三角形内角和定理可求得∠C ＝180 °－60°－45°＝ 75°，故选 C .
点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由 45 °减至 30°， 已知原台阶坡面 AB 的长为 5 m(BC 所在地面为水平面)． (1) 改善后的台阶坡面会加长多少？ (2) 改善后的台阶多占多长一段水平面？ (本大题结果精确到 0.1 m，参考数据： 2 ≈1.41， 3 ≈1.73， 6 ≈2.45)
第20讲┃解直角三角形
核心练习
10． [2014·新疆 ] 如图 20－ 7，在 Rt△ ABC 中，∠C ＝90°，
Hale Waihona Puke 24 ∠B＝ 37°，BC＝ 32，则 AC＝________( 精确到整数) ．
图 20 －7
第20讲┃解直角三角形
11． [2014·宜宾 ] 菱形的周长为 20 cm，两个相邻的内角的度 5 3 数之比为 1∶2，则较长的对角线长度是________cm . 12． [2013·常德] 如图 20 －8， 在△ABC 中， AD 是 BC 边上的高， 1 AE 是 BC 边上的中线，∠C＝45°，sinB＝ ，AD＝1. 3 (1) 求 BC 的长； (2) 求 tan∠DAE 的值．
时到达．已知缆车匀速直线运动速度为 180 m /min ，山路 AC 长为 2430 m， 且测得∠CAB＝45 °，∠CBA＝105°. (参考数据： 2 ≈1.4 ， 3 ≈1.7) (1) 求索道 AB 的长； (2) 求乙的步行速度．
中考数学总复习19直角三角形复习课件
特 别 常见的勾股数有3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24， 提 25及9，40，41等 醒
【例2】如图，P是等边三角形ABC内 的一点，连结PA，PB，PC，以BP为 边作∠PBQ=60°，且BQ=BP， 连结CQ. (1)观察并猜想AP与CQ之间的大小 关系，并证明你的结论； (2)若PA∶PB∶PC=3∶4∶5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由. 【思路点拨】(1) (2)由勾股定理的逆定理判别即可.
【解题导引】设出未知数，分别表示出C′D和AD，然后在 Rt△ADC′中利用勾股定理列方程求解. 【规范解答】根据勾股定理得AB=10 cm，设CD=x，则 C′D=x，AD=8-x，根据折叠可知BC′=BC=6 cm，因此 AC′=4 cm，在Rt△ADC′中，根据勾股定理得(8-x)2=42+x2， 解得x=3，因此C′D=3 cm，因此求得△ADC′的面积为6 cm2. 答案：6 cm2
启 示
所需要的量时，可以考虑通过设出未知数，然后列方程 (组)求解.
1.(2012·黄石中考)如图所示，矩
形纸片ABCD中，AB＝6 cm，
BC＝8 cm，现将其沿EF对折，
【名师点评】通过对方程思想在勾股定理中的应用的分析和总结，我们可以得到以下该类型 题目的创新点拨和解题启示：
创 利用方程思想解题时，首先通过分析题意，设出适当的 新 未知数，然后利用所设未知数表示出其他的边，并把它 点 们集中到一个直角三角形中，最后利用勾股定理等关系 拨 列方程求解.
解
题 在直角三角形中，根据题目所给的条件，无法直接求出
勾股定理 ◆中考指数：★★★☆☆ 知 勾股定理的三个应用 识 1．已知直角三角形的两边求第三条边； 点 2．已知直角三角形的一边及另两边关系求另两边，一般设 睛 未知数；
【例2】如图，P是等边三角形ABC内 的一点，连结PA，PB，PC，以BP为 边作∠PBQ=60°，且BQ=BP， 连结CQ. (1)观察并猜想AP与CQ之间的大小 关系，并证明你的结论； (2)若PA∶PB∶PC=3∶4∶5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由. 【思路点拨】(1) (2)由勾股定理的逆定理判别即可.
【解题导引】设出未知数，分别表示出C′D和AD，然后在 Rt△ADC′中利用勾股定理列方程求解. 【规范解答】根据勾股定理得AB=10 cm，设CD=x，则 C′D=x，AD=8-x，根据折叠可知BC′=BC=6 cm，因此 AC′=4 cm，在Rt△ADC′中，根据勾股定理得(8-x)2=42+x2， 解得x=3，因此C′D=3 cm，因此求得△ADC′的面积为6 cm2. 答案：6 cm2
启 示
所需要的量时，可以考虑通过设出未知数，然后列方程 (组)求解.
1.(2012·黄石中考)如图所示，矩
形纸片ABCD中，AB＝6 cm，
BC＝8 cm，现将其沿EF对折，
【名师点评】通过对方程思想在勾股定理中的应用的分析和总结，我们可以得到以下该类型 题目的创新点拨和解题启示：
创 利用方程思想解题时，首先通过分析题意，设出适当的 新 未知数，然后利用所设未知数表示出其他的边，并把它 点 们集中到一个直角三角形中，最后利用勾股定理等关系 拨 列方程求解.
解
题 在直角三角形中，根据题目所给的条件，无法直接求出
勾股定理 ◆中考指数：★★★☆☆ 知 勾股定理的三个应用 识 1．已知直角三角形的两边求第三条边； 点 2．已知直角三角形的一边及另两边关系求另两边，一般设 睛 未知数；
中考数学总复习 第5章 第20讲 直角三角形课件
解：设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝9－x， ∵D是BC的中点，∴BD＝3，在Rt△NBD中，
x2＋32＝(9－x)2，解得x＝4，故线段BN的长为4
第十七页，共30页。
直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c. 1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜 边的平方，即有________． 2．勾股定理的逆定理：如果三角形一条(yī tiáo)边的 平方等于另外两条边的________(即满足式子 ________)，那么这个三角形是直角三角形．
【解析】(1)过点C作AB的垂线，交AB的延长线于E点，利用勾股定理求 得AC的长即可；(2)分别求得乘车时间，然后比较(bǐjiào)即可得到答案．
解：(1)过点 C 作 AB 的垂线，交 AB 的延长线于 E 点， ∵∠ABC＝120°，BC＝20，∴BE＝10，CE＝10 3，在△ACE 中，∵AC2＝8100＋300，∴AC＝20 21＝20×4.6＝92(km) (2)乘客车需时间 t1＝8600＝131(小时)；乘列车需时间 t2＝19820＋ 2400＝1910(小时)，∴选择城际列车
因此，当知道直角三角形的两边时，可以求出第 三边；当只知道直角三角形的一边时，列出关系式， 转化(zhuǎnhuà)为方程解决. 求解时应注意辨别哪一 边是斜边．
第二十一页，共30页。
勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)及其逆定理的实际
1．(2014·黄石)小明听说“武黄城际列车”已经开通， 便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到 武昌客运站B，现在(xiànzài)可以在A坐城际列车到 武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌 客运站B.设AB＝80 km，BC＝20 km，∠ABC＝ 120°.请你帮助小明解决以下问题：
x2＋32＝(9－x)2，解得x＝4，故线段BN的长为4
第十七页，共30页。
直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c. 1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜 边的平方，即有________． 2．勾股定理的逆定理：如果三角形一条(yī tiáo)边的 平方等于另外两条边的________(即满足式子 ________)，那么这个三角形是直角三角形．
【解析】(1)过点C作AB的垂线，交AB的延长线于E点，利用勾股定理求 得AC的长即可；(2)分别求得乘车时间，然后比较(bǐjiào)即可得到答案．
解：(1)过点 C 作 AB 的垂线，交 AB 的延长线于 E 点， ∵∠ABC＝120°，BC＝20，∴BE＝10，CE＝10 3，在△ACE 中，∵AC2＝8100＋300，∴AC＝20 21＝20×4.6＝92(km) (2)乘客车需时间 t1＝8600＝131(小时)；乘列车需时间 t2＝19820＋ 2400＝1910(小时)，∴选择城际列车
因此，当知道直角三角形的两边时，可以求出第 三边；当只知道直角三角形的一边时，列出关系式， 转化(zhuǎnhuà)为方程解决. 求解时应注意辨别哪一 边是斜边．
第二十一页，共30页。
勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)及其逆定理的实际
1．(2014·黄石)小明听说“武黄城际列车”已经开通， 便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到 武昌客运站B，现在(xiànzài)可以在A坐城际列车到 武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌 客运站B.设AB＝80 km，BC＝20 km，∠ABC＝ 120°.请你帮助小明解决以下问题：
2023年河北省中考数学复习全方位第18讲 等腰三角形直角三角形 课件
AB于D,交AC于E,BC=6cm.求:
(1)∠EBC的度数;
(2)△BEC的周长.
解:(1)∵AB=AC,∠A=50°,∴∠C=∠ABC=65°.
∵DE是AB的垂直平分线,∴AE=BE,∴∠ABE=∠A=50°,
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=15°.
(2)∵AE=BE,AB=AC=8cm,BC=6cm,∴ △ BEC 的 周 长
D. 北偏西35°
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3. (2013·河北,8)如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处,它
以每小时40海里的速度向正北方向航行,2小时后到达位于灯塔P的北偏东
40°的N处,则N处与灯塔P的距离为(
A. 40海里
B. 60海里
D
)
C. 70海里
D. 80海里
返回子目录
命题点3
等边三角形角的性质与判定
上一点,且AB=BD,AD=DC,则∠C=
36
°.
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5. (2021 · 河 北 预 测 ) 如 图 , 在 等 腰 △ ABC 中 ,AB=AC, ∠ A=36°, 将
△ABC中的∠A沿DE向下翻折,使点A落在点C处.若AE= ,则BC的长
是
.
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6. 如图,在△ABC中,AB=AC=8cm,∠A=50°,AB的垂直3)勾股定理:如果直角三角形两直
+
=
角边分别为a,b,斜边为c,那么⑩
;
(4)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜
边的一半;在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直
30°
(1)∠EBC的度数;
(2)△BEC的周长.
解:(1)∵AB=AC,∠A=50°,∴∠C=∠ABC=65°.
∵DE是AB的垂直平分线,∴AE=BE,∴∠ABE=∠A=50°,
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=15°.
(2)∵AE=BE,AB=AC=8cm,BC=6cm,∴ △ BEC 的 周 长
D. 北偏西35°
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3. (2013·河北,8)如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处,它
以每小时40海里的速度向正北方向航行,2小时后到达位于灯塔P的北偏东
40°的N处,则N处与灯塔P的距离为(
A. 40海里
B. 60海里
D
)
C. 70海里
D. 80海里
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命题点3
等边三角形角的性质与判定
上一点,且AB=BD,AD=DC,则∠C=
36
°.
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5. (2021 · 河 北 预 测 ) 如 图 , 在 等 腰 △ ABC 中 ,AB=AC, ∠ A=36°, 将
△ABC中的∠A沿DE向下翻折,使点A落在点C处.若AE= ,则BC的长
是
.
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6. 如图,在△ABC中,AB=AC=8cm,∠A=50°,AB的垂直3)勾股定理:如果直角三角形两直
+
=
角边分别为a,b,斜边为c,那么⑩
;
(4)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜
边的一半;在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直
30°
2024河南中考数学专题复习 微专题12 构造直角三角形解决根号2、根号3倍的线段数量关系 课件
在△FEG和△EDB中，
∠FGE＝∠B
∠FEG＝∠EDB ,
EF＝DE
∴△FEG≌△EDB(AAS)，
∴FG＝BE，∴BE＝
3 CF
.
2
G 变式题图
∟
解法二：解：BE＝ 3 CF .
2
理由如下：如图，以点B为直角顶点，BE为直角边向下作含30°的
Rt△BEG，
令∠G＝60°，
∵∠A＝30°，∠DEF＝∠ABC＝90°，
∠DGE＝∠EHF ∠EDG＝∠FEH,
G DE＝EF
∴△DEG≌△EFH(AAS)， ∴EG＝FH，∴CF＝EG＝ 2BE .
H
第1题图
变式题
一题多解法 将等腰直角三角形变为含30°的直角三角形
如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D，E，F分别在AB，BC，AC边
上，且DE＝EF，∠DEF＝90°，若∠A＝30°，试猜想CF与BE之间的
在AB，BC，AC边上，且DE＝EF，∠DEF＝∠B，若∠A＝45°，试猜
想CF与BE之间的数量关系，并说明理由． 解法一：解：CF＝ 2BE .
∟
理由如下：如图，过点F作FG⊥BC于点G， ∵AB＝BC，∠A＝45°， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠DEF＝∠B＝90°，∠C＝∠A＝45°，
G
3
(2)作图如图，过点B作AB的垂线，交射线AM于点D， 此时BD＝ 3 AB .
3
D
第2题图②
∟
满分技法
辅助线作法：
① 1 在谁那里，谁就是斜边，要找的点就是直角顶点；
2
② 3 在谁那里，谁就是长直角边，等号两边相同的字母就是直角顶点．
3
二阶 方法拓展
中考一轮复习《第19讲直角三角形》课件
3
ABCD的面积为
.
【解析】连接BE.设AB=3x，则BC=5x，
所以BE= BC=5x，由勾股定理得，AE=4x.
所以ED=x，又AE·ED=4 ，
3
即4x·x= 4 ，x2= 4，
3
3
所以矩形ABCD的面积为3x·5x=15x2=5.
答案：5
【变式训练】
(2014·南充中考)如图，有一矩形纸片ABCD，AB=8，AD=17，将
【规律方法】运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三 角形的三个步骤 1.确定三角形的最长边. 2.计算最长边的平方以及其他两边的平方和. 3.判断最长边的平方是否与其他两边的平方和相等，若相等， 则此三角形为直角三角形，否则不是直角三角形.
【真题专练】
1.(2014·滨州中考)下列四组线段中，可以构成直角三角形的
此矩形纸片折叠，使顶点A落在BC边的A′处，折痕所在直线同
时 经 过 边 AB ， AD( 包 括 端 点 ) ， 设 BA′=x ， 则 x 的 取 值 范 围
是
.
【解析】当折痕经过点B时，x取得最大值，此时BA′=BA=8； 当折痕经过点D时，x取得最小值，此时在Rt△DC A′中，由勾 股定理可得BA′=15，∴BA′=2. 答案：2≤x≤8
命题新视角 用勾股定理解展开与折叠问题
【 例 】(2013· 山 西 中 考 ) 如 图 ， 在 矩 形 纸 片 ABCD 中 ， AB=12 ，
BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上
的点A′处，则AE的长为
.
【审题视点】
【真题专练】
1.(2013·资阳中考)如图，点E在正方形
ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，
ABCD的面积为
.
【解析】连接BE.设AB=3x，则BC=5x，
所以BE= BC=5x，由勾股定理得，AE=4x.
所以ED=x，又AE·ED=4 ，
3
即4x·x= 4 ，x2= 4，
3
3
所以矩形ABCD的面积为3x·5x=15x2=5.
答案：5
【变式训练】
(2014·南充中考)如图，有一矩形纸片ABCD，AB=8，AD=17，将
【规律方法】运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三 角形的三个步骤 1.确定三角形的最长边. 2.计算最长边的平方以及其他两边的平方和. 3.判断最长边的平方是否与其他两边的平方和相等，若相等， 则此三角形为直角三角形，否则不是直角三角形.
【真题专练】
1.(2014·滨州中考)下列四组线段中，可以构成直角三角形的
此矩形纸片折叠，使顶点A落在BC边的A′处，折痕所在直线同
时 经 过 边 AB ， AD( 包 括 端 点 ) ， 设 BA′=x ， 则 x 的 取 值 范 围
是
.
【解析】当折痕经过点B时，x取得最大值，此时BA′=BA=8； 当折痕经过点D时，x取得最小值，此时在Rt△DC A′中，由勾 股定理可得BA′=15，∴BA′=2. 答案：2≤x≤8
命题新视角 用勾股定理解展开与折叠问题
【 例 】(2013· 山 西 中 考 ) 如 图 ， 在 矩 形 纸 片 ABCD 中 ， AB=12 ，
BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上
的点A′处，则AE的长为
.
【审题视点】
【真题专练】
1.(2013·资阳中考)如图，点E在正方形
ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，
中考数学冲刺复习课件：第21课时直角三角形和勾股定理
第21课时 直角三角形和勾股定理课时作业
一、选择题
1.(2014•黄石)如图21-1，一个矩形纸片，剪去部分后得到
一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是( C )
A．30°
B．60° C．90°
D．120°
2.如图21-2，△ABC与△ABD是直角三角形，点F是AB的中点
，若CF=8，则DF的长为( C )
第21课时 直角三角形和勾股定理
4.(2014•西宁)如图21-8，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30° ，AD平分∠CAB交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说 法错误的是( D )
A．∠CAD=30° B．AD=BD C．BD=2CD D．CD=ED
提示：∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， ∴∠CAB=60°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD=30°， ∴∠CAD=∠BAD=∠B， ∴AD=BD，AD=2CD， ∴BD=2CD， 根据已知不能推出CD=DE， 即只有D错误，选项A、B、C的答案都正确．
A．49
B．25
C．13
D．1
提示：由于大正方形的面积25，小正方形的面积是1，
则四个直角三角形的面积和是25－1=24，即4× ab=24，
即2ab=24，a2+b2=25，
则(a+b)2=25+24=49．
5.(2013•济南)如图21-5，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端
，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆
8.在△ABC中，若BC边上的中线AD= BC， 则该三角形的形状为( B )
A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
9.在下列选项中，已知三角形三边长，能
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直线X=-2
y
M
2
A
B1
x -2 -1
12
-1
-2
图2
中考总复习——
自能预习
1.已知Rt△ABC中∠C=90°，∠A=36°，则 ∠B= 54°. （考点： 直角三角形的两个锐角互余 ） 2.已知Rt△ABC中∠C=90°，AC=6,BC=8， 则AB= 10 . （考点：直角三角形两直角边的平方和等于 ）
斜边的平方（勾股定理）
自能预习
3.如图，已知Rt△ABC中∠ACB=90°AB=12, CD是中线，则CD= 6 . （考点：直角三角形斜边上的中线对于斜边 ）
DC
M
A
B
1.等腰三角形三线合一；
2.AB∥CD，EF⊥AB，则EF⊥CD；
3.特殊四边形（矩形、菱形对角线）；
4.圆的直径（直径出直角）；
5.圆的切线性质与判定； 6.垂径定理；
……
第二轮复 习——综合
之垂直
Байду номын сангаас
课后作业
A、B层同学完成学案“课后拓展”； 其他同学完成《中考满分教练》P52.
自能拓展 课后拓展
13.将上题改变条件如下：以B为原点建立平面直角坐标系 如图（1）：去掉条件“M是BC的中点，DM平分∠ADC”, （1）如果AB=8，BM=4，CD=2，∠DMC=90°，求D点 坐标。
y
D
C
A 图1
M
2
B1
x -2 -1
12
-1
-2
压轴分解
9. （2）AB=8，BM=4，点D在直线x=-2上，若△DMA是直 角三角形，求D点坐标。
角形。
自能预习
6. 已知△ABC中，三边长为5、12、13，则 △ABC是 直角 三角形. （考点：勾股定理逆定理：如果一个三角 ）
形两条边的平方和等于第三边的 平方，那么这个三角形是直角三 角形.
自能检测
自能检测 自我挑战
12. 如图所示，已知∠B=∠C=90°,M是BC的 中点，DM平分∠ADC. 试判断DM与AM的位置关系并证明.
的一半
B D
A
C
自能预习
4.如图，已知Rt△ABC中∠C=90°，∠A=30°，
BC=6,则AB= .
12
（考点：在直角三角形中，30°的角所对 ）
的直角边等于斜边的一半。
B
C
A
自能预习
5.已知△ABC中∠A=20°，∠B=70°，则 △ABC是 直角 三角形. （考点：两个锐角互余的三角形是直角三 ）