华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)-第十八章至第二十章(圣才出品)
(NEW)华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)笔记和课后习题(含考研真题)详解
目 录第12章 数项级数12.1 复习笔记12.2 课后习题详解12.3 名校考研真题详解第13章 函数列与函数项级数13.1 复习笔记13.2 课后习题详解13.3 名校考研真题详解第14章 幂级数14.1 复习笔记14.2 课后习题详解14.3 名校考研真题详解第15章 傅里叶级数15.1 复习笔记15.2 课后习题详解15.3 名校考研真题详解第16章 多元函数的极限与连续16.1 复习笔记16.2 课后习题详解16.3 名校考研真题详解第17章 多元函数微分学17.1 复习笔记17.2 课后习题详解17.3 名校考研真题详解第18章 隐函数定理及其应用18.1 复习笔记18.2 课后习题详解18.3 名校考研真题详解第19章 含参量积分19.1 复习笔记19.2 课后习题详解19.3 名校考研真题详解第20章 曲线积分20.1 复习笔记20.2 课后习题详解20.3 名校考研真题详解第21章 重积分21.1 复习笔记21.2 课后习题详解21.3 名校考研真题详解第22章 曲面积分22.1 复习笔记22.2 课后习题详解22.3 名校考研真题详解第23章 向量函数微分学23.1 复习笔记23.2 课后习题详解23.3 名校考研真题详解第12章 数项级数12.1 复习笔记一、级数的收敛性1．相关定义（1）给定一个数列{u n}，对它的各项依次用“＋”号连接起来的表达式u1＋u2＋…u n＋… （12-1）称为常数项无穷级数或数项级数（也常简称级数），其中u n称为数项级数（12-1）的通项或一般项．数项级数（12-1）也常写作或简单写作∑u n．（2）数项级数（12-1）的前n项之和，记为 （12-2）称它为数项级数（12-1）的第n个部分和，也简称部分和．（3）若数项级数（12-1）的部分和数列{S}收敛于S（即），则称数项级数（12-1）收敛，称S为数项级数（12-1）的和，记作或S＝∑u n．若{S n}是发散数列，则称数项级数（12-1）发散．2．重要定理。
华东师范大学数学系数学分析第4版下册知识点总结笔记课后答案
第12章数项级数12.1复习笔记一、级数的收敛性II级数的走义若S=f如存在极限值s r即HmS r = .S r则级数收敛，S为级数的和。
若｛S“｝发散,则级数发散。
创重要走理(1)级数收敛的柯西准则工叫收敛mN(NWN+ ),当m>N时以及又寸0p(pWN+ )，都有(2 )如果级数Zu n^£v n都收敛r则对任意常数c , d r级数工(cu n + dv n )也收敛r且》(* +叽)=c》冷加工耳(3)改变级数的有限个项不改变级数的敛散性。
(4 )在收敛级数的项中任意加括号r不改变其收敛性与和。
二、正项级数Q正项级数收敛性的一般判别原则(1)正项级数工％收敛O冥部分和数列｛S,J有界。
(2)比较原则设工*和工□是两个正项级数r 3N (NGN* ) r使得对％> N都有u n<v n r则①若8n收敛，则工g也收敛。
②若»1…发散,则工口也发散。
(3 )设& =工*和S"=工V"是两个正项级数.如果则①若0 v 1 v +1级数si S"同敛散。
②若1 = 0且级数S"收敛,级数S，也收敛。
③若1 = + 0C且级数S"发散，级数S也发散。
Q比式判别法和根式判别法(1)比式判别法设工*为正项级数，且存在正整数N()及常数q (0<q<l )，则①若对任意n > N o , SPWu n+1/u n<q ,则工％收敛。
②若对任意n > N o ,都有5+ ]/11診1 ,则》i.发散。
(2 )比式判别法的极限形式若Xw为正项级数,且,则①若q V 1 ,则工Un收敛。
②若q > 1或q =+oo,则工片发散。
③若q = 1 ,则无法判断工叫的发散性。
(3)根式判别法设工g为正项级数,且存在正整数N()及正常数1 ,①若对任意n > N(”都有阪5*1 ,则工％收敛。
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)章节题库-含参量积分(圣才出品)
第19章含参量积分§1含参量正常积分1．设（这个函数在x＝y时不连续），试证由含参量积分所确定的函数在上连续，并作函数F（y）的图像．解：由于因此当y＜0时时，f（x，y）＝﹣1，当时，所以它在上连续，F（y）的图像见图19-1图19-12．求下列极限：解：（1）在区域上连续．因此（2）在区域上连续，因此3．设求F'（x）．解：存在k＞0，使二元函数与在矩形区域上连续，x与x2均为可微函数．则函数在[﹣k，k]上可微，且4．应用对参量的微分法，求下列积分：解：（1）若，所以同理若，设则又因所以因而（2）设当|a|＜1时因而为连续函数，且具有连续导数，所以故当|a|＜1时，I（a）＝C（常数），又I（0）＝0，从而I（a）＝0．当|a|＞1时，令，则|b|＜1，有I（b）＝0，于是当|a|＝1时，同理可得I（﹣1）＝0．综上所述得5．应用积分号下的积分法，求下列积分：解：（1）记因为故令贝g（x）在[0，1]上连续，于是有记则f（x，y）在上连续，所以作代换x＝e﹣t后得到因此（2）类似于（1）题6．试求累次积分与并指出它们为什么与定理19．6的结果不符．解：由于故有因为在点（0，0）不连续，所以与定理19．6的结果不符．7．研究函数的连续性，其中f（x）在闭区间[0，1]上是正的连续函数．解：由于f（x）在[0，1]上是正的连续函数，故存在正数m，使得，f（x）≥m＞0，x∈［0，1]．当y＞0时，当y＜0时，因此所以F（y）在y＝0处不连续，当时在上连续，所以当y≠0时，函数F（y）连续．8．设函数f（x）在闭区间［a，A]上连续，证明：证明：因为当h→0时．所以9．设其中，f（z）为可微函数，求F xy（x，y）．解：10．设，其中0＜k＜1（这两个积分称为完。
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)课后习题-重积分(圣才出品)
证明：假设 f 在 D 上可积，但在 D 上无界，那么，对 D 的任一分割
，
必在某个小区域 上无界．
当 i≠k 时，任取
令
由于 f 在 上无界，从而存在 从而
使得
另一方面，由 f 在 D 上可积知：存在
对任一 D 的分割
当
时，T 的任一积分和
都满足
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时）．即 f（x，y）在 D 上不可积．
因此
的极
7．证明：若 f（x，y）在有界闭区域 D 上连续，g（x，y）在 D 上可积且不变号，则
存在一点
使得
证明：不妨设
令 M，m 分别是 f 在 D 上的最大、最小值，从而
若
＝0，则由上式
若
则必大于 0，于是
于是任取
即可．
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为D内
证明：设 D 在 x 轴和 y 轴上的投影区间分别为[a，b]和[c，d]．
考虑
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由于
因此
所以
，同理可证
得
到
7．设 D＝[0，1]×[0，1]，
其中 表示有理数 x 化成既约分数后的分母．证明 f（x，y）在 D 上的二重积分存在而两个
同理可证先 y 后 x 的累次积分不存在．
8．设 D＝[0，1]×[0，1]，
其中 意义同第 7 题．证明 f（x，y）在 D 上的二重积分不存在而两个累次积分存在．
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证明：因为在正方形的任何部分内，函数 f 的振幅等于 1．所以二重积分不存在．对固
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)课后习题-曲面积分(圣才出品)
的上半部分并取外侧为正向；
其中 S 是球面
并取外侧
为正向。
解：（1）因
所以原积分 （2）由对称性知只需计算其中之一即可。 由于
因此原积分＝3 × 8＝24。 （3）由对称性知，
（4）作球坐标变换，令
则
故
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（5）由轮换对称知只计算
面所围的立方体表面并取外侧为正向； 其中 S 是以原点为中心，边长为 2 的立方体
表面并取外侧正向； 其中 S 是由平面 x＝y＝z＝0 和 x＋y＋z＝1 所围的四面
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体表面并取外侧为正向；
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其中 S 是球面
解：（1）因
从而
（2）面积 S 由两部分 组成，其中 面上的投影区域都是
由极坐标变换可得
它们在：xOy
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2．求均匀曲面 解：设质心坐标为
x≥0，y≥0，z≥0 的质心。 ，由对称性有：
其中 S 为所求曲面的面积， 而
解：
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由柱面坐标变换
z＝z，0≤0≤2π，0≤r≤h，r≤z≤h
（5）原曲线不封闭，故添加辅助曲面
有
2．应用高斯公式计算三重积分
≤1 与
所确定的空间区域。
解：
其中 V 是由 x≥0，y≥0，0≤z
3．应用斯托克斯公式计算下列曲线积分： 其中 L 为 x＋y＋z＝1 与三坐标面的交线，
则
D 为 S 在 xOy 面投影
所以质心坐标为
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)课后习题-数项级数(圣才出品)
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第二部分 课后习题
第 12 章 数项级数
§1 级数的收敛性
1．证明下列级数的收敛性，并求其和： （1） （2） （3） （4） （5） 证明：（1）
所以原级数收敛，且和数 （2）
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也发散．
证明：假设
收敛．因 c≠0，故级数
矛盾，所以若
发散．
也发散（c≠0）．
收敛，这与题设
发散
3．设级数 与级数 都发散，试问
一定发散吗？又若 un 与 vn（n＝1，
2，…）都是非负数，则能得出什么结论？
解：(1)当 与 都发散时，
不一定发散．如
两级数均发散，但
，即
收敛．
又如，
，两级数均发散，且
所以
从而级数
由比较原则知 收敛．
．又
收敛，
6．设级数 收敛，证明 证明：因为
也收敛．
又及
收敛，故
收敛，所以由比较原则得
收敛．
7．设正项级数 收敛，证明级数
也收敛．
证明：因为
，义由已知碍 及
收敛，所以
收敛，进而由比较原则得
收敛．
8．利用级数收敛的必要条件，证明下列等式：
证明：（1）设
，考察正项级数 的收敛性，因为
发敛．
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（5）因
，而级数
收敛，故级数
收敛．
（6）因
，而级数
发散，故级数
发散．
（7）因
，而级数
发散，故级数
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)课后习题-傅里叶级数(圣才出品)
理 13．14（逐项求导）知
g（x），所以级数
的和函数 S（x）
有连续的导函数 g（x）．
§2 以 2l 为周期的函数的展开式
1．求下列周期函数的傅里叶级数展开式： （周期π）； （周期 1）；
解：（1）将 f（x）进行周期延拓，又因 f（x）在（0，2π）内按段光滑，故由收敛定 理，f（x）可展开为傅里叶级数，
所以在区间（0，2π）内，有
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（2）在[－π，π]上 所以
所以在区间（－π，π）内 在 x＝π或 x＝－π时，上式右端收敛于 所以在闭区间[－π，π]上
（3）
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圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台所以，在（0，2π源自内所以，在（－π，π）内 故
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故 所以，在（－π，π）内
故 从而在区间（－π，π）内
及其周期延拓的图像如图 15-3 所示，
显见 因为
图 15-3 在（－π，π）内按段光滑，由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数，
所以在（－π，π）内， （ii）函数 f（x）及其周期延拓的图像如图 15-4 所示，
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所以
时
当 x＝0 时，上式的右端收敛到 0．
（1）当
时，由于
，因此
（2）因为 所以
（3）
时，因
，故
所以
4．设函数 f（x）满足条件：f（x＋π）＝－f（x），问此函数在（－π，π）上的傅里叶 级数具有什么特性．
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第14章幂级数§1幂级数1．求下列幂级数的收敛半径与收敛区域：解：（1）因故收敛半径R＝1，收敛区间为（－1，1）．又时，级数与级数均发散，故收敛域为（－1，1）．（2）因为故收敛半径收敛区间为（－2，2）．当时，级数收敛，故收敛域为[－2，2]．（3）记所以，则收敛半径R＝4．当时，级数为，通项为u故，即时级数发散，故收敛域为（－4，4）．（4）因故收敛半径为收敛域为（5）设则故对任取定的x，有＜1，故级数的收敛半径为收敛域为（6）设，则故级数收敛半径故，从而收敛区间为当时，原级数可化为对于级数，因为故级数收敛，又收敛，故时，原级数收敛．当时，原级数可化为因级数收敛，而级数发散，故时原级数发散，从而收敛域为（7）设故收敛半径，故时，原级数是发散的，从而收敛域为（－1，1）．（8）设，则因此级数在时收敛，时发散，从而可得收敛半径R＝1，收敛区域为[－1，1]．2．应用逐项求导或逐项求积方法求下列幂级数的和函数（应同时指出它们的定义域）：解：（1）设时，级数收敛，故原级数的收敛半径R ＝1．又当时，原级数可化为发散，从而得收敛域为（－1，1）．设内逐项求导，得故和函数（2）记因为所以，收敛区域为（－1，1）．因为所以（3）记则收敛区域为（－1，1）．因为所以所以，因此3．证明：设在内收敛，若也收敛，则（注意：这里不管在x＝R是否收敛），应用这个结果证明：证明：因在内收敛，所以有又x＝R时，级数收敛，从而由定理14．6知的和函数在x＝R 处左连续，从而又因为内收敛，且级数收敛，所以4．证明：（1）满足方程（2）满足方程证明：（1）设故，从而幂级数的收敛区间为，且y可在内任意阶可导，所以（2）设，故所以幂级数的收敛区间为且和函数y在具有任意阶导数，由，可得所以又由5．证明：设f为幂级数（2）在（－R，R）上的和函数，若f为奇函数，则级数（2）仅出现奇次幂的项，若f为偶函数，则（2）仅出现偶次幂的项．证明：由可得当f（x）为奇函数时，故此时有当f（x）为偶函数时，，故此时有6．求下列幂级数的收敛域：解：（1）设故收敛半径，又当故原幂级数在|x|＝R时发散，收敛域为（－R，R）．（2）设，则，故收敛半径为时，所以原级数在时发散，故收敛域为7．证明定理14．3并求下列幂级数的收敛半径：证明：对任意的x，据定理12．8推论2可得：。
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（18-2）
则可使上述切平面存在，并满足与 z＝0 相交成直线的要求．
图 18-1
由此可见，条件（18-2）对于隐函数的存在性是很重要的．
3．隐函数定理
（1）隐函数存在惟一性定理
若函数 F（x，y）满足下列条件：
①F 在以
为内点的某一区域
上连续；
②
（通常称为初始条件）；
③F 在 D 内存在连续的偏导数
与之相对应，由此所产生的新映射称为映射 T 的逆映射（逆变换），记作 ，即
或 亦即存在定义在 B′上的一个函数组
把它代入（18-4）而成为恒等式：
这时又称函数组（18-5）是函数组（18-4）的反函数组．
（2）反函数组定理
设函数组（18-4）及其一阶偏导数在某区域
上连续，点
点，且
（18-5） （18-6） 是 D 的内
则在点
的某一邻域
上存在惟一的一组反函数（18-5），使得
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且当
时，有
以及恒等式（18-6）此外，反函数组（18-5）在
上存在连续的一阶偏导数，且
三、几何应用 1．平面曲线的切线与法线 设平面曲线由方程
（18-7）
，在
上，方程组（18-3）
惟一地确定了定义在点
的某一（二维空间）邻域
上的两个二元隐函
数
使得
且当
时，
（2） （3）
在
上连续；
在
上有一阶连续偏导数，且
3．反函数组与坐标变换 （1）设函数组
（18-4）
是定义在 xy 平面点集 平面上惟一的一点
上的两个函数．对每一点
，由方程组（18-4）uv
与之对应．称方程组（18-4）确定了 B 到 R2 的一个映射），
（1）
可以看作曲面
与坐标平面 z＝0 的交线，因此隐函数要
存在，至少该交集不能为空，即存在
，使
，
．
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（2）方程（18-1）能在点
附近确定一个连续函数，表现为上述交集是
一条通过点 P0 的连续曲线段（图 18-1）．因此要满足：F 在点 P0 可微，且
所以曲线（18-7）在点 P0 的切线与法线方程为：
切线：
法线：
2．空间曲线的切线与法平面
（1）空间曲线 L 由参数方程
（18-8）
给出，空间曲线 L 上某一点设为
，这里
，
，
，
，并假定（18-8）式中的三个函数在 t0 处可导，且
得曲线 L 在 P0 处的切线方程为：
由此可见，当
不全为零时，它们是该切线的方向数．
数
，则由方程（18-1）所确定的隐函数
在其定义域
上
有连续导函数，且
（3）n 元隐函数的惟一存在与连续可微性定理
若
①函数
在以点
为内点的区域
上连续，
②
③偏导数
，Fy 在 D 上存在且连续；
④
；
则存在点 P0 的某邻域
，在 U（P0）上方程
惟一地确定了一个
定义在
的某邻域
上的 n 元连续函数（隐函数）
，使得当
（2）当空间曲线 L 由方程组
给出时，若它在点 P0 处的切线方程为
（18-9） 的某邻域上满足隐函数组定理的条件，则曲线在
即
曲线在 P0 处的法平面方程为
3．曲面的切平面与法线
过点 P0 可以作无穷多条直线与切线 l 垂直，所有这些直线都在同一平面上，称这平面
为直线 L 在点 P0 的法平面（图 18-2 中的平面 ）．它通过点 P0．且以 L 在 P0 的切线 l 为
它的法线，所以法平面 的方程为：
图 18-2
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时，
且
并且
在
上有连续偏导数
，而且
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二、隐函数组 1．隐函数组的概念 设有方程组
（18-3）
其中
，
为定义在
上的 4 元函数若存在平面区域 D，
，对于 D 中每一点
，有惟一的
，使得
，且
满足方程组（18-3），则称由方程组（18-3）确定了隐函数组
；
④
；
则存在点 P0 的某邻域 义在某区间
，在 U（P0）上方程
上的（隐）函数
，使得当
惟一地决定了一个定 时，
且
；并且 f（x）在
上连续．
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（2）隐函数可微性定理
设
满足隐函数存在惟一性定理中的条件①～④，又设在 D 上还存在连续的偏导
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第 18 章 隐函数定理及其应用
18.1 复习笔记
一、隐函数
1．隐函数的概念
（1）设
，函数
对于方程
（18-1）
如果存在集合
，对任何
，有惟一确定的
，使得
，
且满足方程（18-1），则称方程（18-1）确定了一个定义在 I 上，值域包含于 J 的隐函
记作 T．这时映射（18-4）可写成如下函数形式
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或写成点函数形式：
，并称
为映射 T 下
的象，
而 P 则是 Q 的原象，记 B 在映射 T 下的象集为
．
反过来，若 T 为一一映射，这时每一点
，由方程点
的某邻域上满足隐函数定理条件，于是在点 P0 附近所确定的连
续可微隐函数
（或
）和方程（18-7）在点 P0 附近表示同一曲线，从而该
曲线在点 P0 存在切线和法线，其方程分别为
（或
）
与
（或
）
由于
（或
），
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并在 D 上成立恒等式
2．隐函数组定理
若
（1）
与
在以点
上连续；
（2）
（3）在 V 上 F、G 具有一阶连续偏导数；
（4）
在点 P0 不等于零；
则
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为内点的区域 （初始条件）；
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（1）存在点 P0 的某一（二维空间）邻域
数．若把它记作
则成立恒等式
（2）隐函数必须在指出确定它的方程以及 x，y 的取值范围后才有意义．当然在不产
生误解的情况下，其取值范围也可不必一一指明．此外，还需指出：
①并不是任一方程都能确定出隐函数；
②倘若方程（18-1）能确定隐函数，一般并不能从方程中解出 y,并用自变量 x 的算式
来表示．
2．隐函数存在性条件的分析