运筹学教材编写组《运筹学》课后习题-运输问题(圣才出品)
运筹学教材编写组《运筹学》课后习题-运输问题(圣才出品)
计算所有非基变量的检验数，如表 4-18 所示：
表 4-18
由 24 = 0 可得 c24 =17 ，所以当 c24 变为 17 时，此问题有无穷多最优调运方案。以 (A2, B4 ) 为调入格，作一闭回路，取不同的调入量对其进行调整可得到其它两个最优调运方
如表 4-5 所示：
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表 4-5
第一步：用伏格尔法求得初始可行解如表 4-6 所示： 表 4-6
第二步：用位势法进行最优解的检验。在对应于表 4-6 的数字格处填入单位运价，并增
加一行一列，在行中填入 vj ，在列中填入 ui 。令 u1 = 0 ，按照 ui + vj = cij （ i,j B ）求出所 有的 ui 和 vj ，并依据 ij = cij − (ui + vj ) （ i,j N ）计算所有空格处的检验数，计算结果如表 4-7 所示：
表 4-2 中，有 10 个基格，而理论上只应有 m+n-l=9 个，所以表 4-2 给出的调运方案 不能作为表上作业法的初始解。
4.2 判断下列说法是否正确。 （1）在运输问题中，只要任意给出一组含（m+n+1）个非零的{xij}，且满足
，就可以作为一个初始基可行解； （2）表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法； （3）如果运输问题单位运价表的某一行（或某一列）元素分别加上一个常数 k，最优 调运方案将不发生变化； （4）运输问题单位运价表的全部元素乘上一个常数 k（k>0），最优调运方案将不发生
如表 4-8 所示： 表 4-8
第一步：用伏格尔法求得初始可行解如表 4-9 所示： 表 4-9
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运筹学 04 运输问题
x23
2,12 2 a2’’=0 b3’=10 第2行
x13
16,10 10 a1’=6 b3’’=0 第3列
产量 16 10 22
新产量 新销量 划去
14
销量
8
14
12
14
西北角法步骤 运价表中找出西北角(左上角)运价cij 在该处确定运量xij=min(ai,bj) 计算剩余产量ai’=ai-xij和剩余销量bj’=bj-xij，则出现 (1)ai’=0，bj’≠0——划去第i行运价； (2)ai’≠0，bj’=0——划去第j列运价； (3)ai’=0，bj’=0——划去第i行或第j列运价 重复上述，直到获得(m+n-1)个运输数量
例2：某部门三个工厂生产同一产品的产量、四个销售点的 销量及单位运价如下表。求最低运输费的运输方案。
产地 A1 A2 A3 销量
B1 4 2 8 4
B2 12 10 5 3
B3 4 3 11 5
B4 11 9 6 6
产量 8 5 9
解答
由于总产量=8+5+9=22，总销量=4+3+5+6=18，总产量>总销 量，属于产大于销的产销不平衡运输问题。增加一个销地， 销量b5=22-18=4；运价为0。得到产销平衡表如左表。表上作 业法结果见右表。 产地 B1 B2 B3 A1 4 12 4 A2 2 10 3 A3 8 5 11 销量 4 3 5 B4 11 9 6 6 B5 产量 0 8 0 5 0 9 4 产地 B1 A1 1 A2 4 A3 10 销量 4 B2 3 3 B3 4 1 9 5 B4 0 6 6 B5 产量 4 8 1 5 5 9 4
设xij为从Ai运输到Bj的产品数量，若Σai=Σbj，则称为产销平衡 的运输规划问题，数学模型为 min f=c11x11+…+c1nx1n+c21x21+…+cmnxmn xi1+xi2+…+xin=ai (i=1,2,…,m) x1j+x2j+…+xmj=bj (j=1,2,…,n) xij≥0 (i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)
运筹学教材编写组《运筹学》课后习题(第1章 线性规划与单纯形法——第3章 运输问题)【圣才出品】
②因为 P1 、 P3 线性无关，故有
2xx11
x3 8 6x3
3x2 3 2x2
4
x4 7 x4
令非基变量
x2
x4
0 ，解得
x1
45 13 , x3
14 13
，故
X (2)
45 13
,
0,
14 13
,
0
T
不是可
行解。
③因为 P1 、x2 3 2x2
x3 6x3
令非基变量
x2
x3
0 ，解得
x1
34 5 , x4
7 5
，故有基可行解
X
(3)
34 5
, 0, 0,
7
T
5
，
z3
117 5
。
④因为 P2 、 P3 线性无关，故有
32xx22
x3 8 6x3
2 3
x1 x1
4x4 7 x4
令非基变量
x1
x4
0 ，解得
4x1 x2 2x3 x4 2
s.t.
x1
x2
2x1
3x3 3x2
x4 x3
14 2x4
2
x1, x2 , x3 0, x4无约束
解：令 x4 x4 ' x4 ''，且 x4 ', x4 '' 0 ；在第一个约束条件两边同时乘以-1 后引入人工
变量 x5 ，在第二个约束条件右端加上松弛变量 x6 ；在第三个约束条件右端减去剩余变量 x7 ，
令非基变量
x1
x3
0 ，解得
X
(5)
0,
68 , 0, 29
《运筹学》教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解(对策论基础)
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（2）2× 或 ×2 对策的图解法
注意：该方法用在赢得矩阵为 2× 或 ×2 阶的对策上特别方便，也可用在 3× 或
×3 对策上。但对 和 均大于 3 的矩阵对策就丌适用了。
设缩减后的赢得矩阵为二阶无鞍点对策问题，局中人Ⅰ的混合策略为
的最优纯策略。 定理 1 矩阵对策 使得对一切
在纯策略意义下有解的充分必要条件是：存在纯局势
，均有
。
定义 2 设
为一个定义在
及
上的实值函数，如果存在
，使得对一切
和
，有
，则称
为
函数 的一个鞍点。 矩阵对策解的性质：
性质 1 无差别性。即若 性质 2 可交换性。即若
也是解。 定义 3 设有矩阵对策
记
是对策 G 的两个解，则
定理 11 设矩阵对策
的值为 ，则
6．矩阵对策的解法 （1）2×2 对策的公式法 所谓 2×2 对策是指局中人Ⅰ的赢得矩阵为 2×2 阶的，即
如果 A 有鞍点，则很快可求出各局中人的最优纯策略；如果 A 没有鞍点，为求最优混 合策略可求下列等式组：
上面等式组（Ⅰ）和（Ⅱ）一定有严格非负解
和
，其中
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是对策 G 的两个解，则
和
，其中
，
，
则 和 分别称为局中人Ⅰ和Ⅱ的混的混合策略（或策略）；对
，称
为一个混合局势（或局
势），局中人Ⅰ的赢得函数记成
这样得到的一个新的对策记成
，称 为对策 G 的混合扩充。
定义 4 设
是矩阵对策
的混合扩充，如果
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《运筹学》课后习题答案 第3章 运输问题
一、选择题1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.二、判断题1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.三、表上作业法 3. 解：可知，有初始基本可行解1112132122230,10,20,10,35,0x x x x x x ======用闭回路法计算非基变量的检验数：1123(56)(84)10(98)(67)40σσ=+-+=-<=+-+=>因为110σ<，该解并不是最优解。
进行换基迭代，让11x 进基，考虑上述闭回路，调整量min(10,10)10θ==，调整后得到新的调运方案：A2 4 0645945销量10 45 20计算非基变量的检验数得：1223(84)(56)10(95)(47)30σσ=+-+=>=+-+=>故此方案为最优方案，最优解为：11121321222310,0,20,0,45,0x x x x x x ======最优值min 105207456460Z =⨯+⨯+⨯=用电子表格模型求解进行验算：4. 解：用西北角法求得初始基本可行解：1112131421222324313233344,0,0,0;1,2,4,2;0,0,0,4;x x x x x x x x x x x x ============ 用位势法计算检验数：1111212121131322214142233131324323243433333106()210167()861012()9455()12194()731010()47u u v u v v u v u v u u v u v v u v u v v u v u v v u v u v u σσσσσσ=⎧+==-+=⎧⎧⎪=⎪⎪⎪+==-+=⎪⎪⎪=⎪⎪++=-+=⎪⎪⇒=⇒⎨⎨⎨+==-+=-⎪⎪=-⎪⎪+==-+=-=⎪⎪+==-+=⎪⎪⎩=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎩因为3132,σσ小于0，该解不是最优解。
运筹学(胡运权版)第三章运输问题课后习题答案
P66： 8.某部门有3个生产同类产品的工厂（产地），生产的产品由4个销售点出售，各工厂A 1， A 2，A 3的生产量、各销售点B 1，B 2，B 3，B 4的销售量（假定单位为t ）以及各工厂到销售点的单位运价（元/t ）示于下表中，问如何调运才能使总运费最小？表解：一、该运输问题的数学模型为：可以证明：约束矩阵的秩为r (A) = 6. 从而基变量的个数为 6.34333231242322213141141312116115893102114124min x x x x x x x x x x x x x c z i j ij ij +++++++++++==∑∑==⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥=++=++=++=++=+++=+++=+++4,3,2,1;3,2,1,01412148221016342414332313322212312111343332312423222114131211j i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ij 111213142122232431323334x x x x x x x x x x x x 712111111111111111111111111⨯⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭二、给出运输问题的初始可行解（初始调运方案）1. 最小元素法思想：优先满足运价（或运距）最小的供销业务。
其余（非基）变量全等于零。
此解满足所有约束条件，且基变量（非零变量）的个数为6（等于m+n-1=3+4-1=6).总运费为（目标函数值） ,1013=x ,821=x ,223=x ,1432=x ,834=x ,614=x ∑∑===3141i j ijij x c Z2. 伏格尔（Vogel)法伏格尔法的基本思想：运输表中各行各列的最小运价与次小运价之差值（罚数）应尽可能地小。
或者说：优先供应罚数最大行（或列）中最小运费的方格，以避免将运量分配到该行（或该列）次小运距的方格中。
(典型例题)《运筹学》运输问题
xj0，yij0，zij0，（i=1,┈,4；j=1,┈,5）
2008/11
--22--
--《Ⅵ 产量
新购 1 第一天 M 第二天 M 第三天 M
第四天 M
1 1 1 1 0 5200
0.2 0.1 0.1 0.1 0 1000
2008/11
--21--
建立模型：
--《运筹学》 运输问题--
设 xj—第j天使用新毛巾的数量；yij—第i天送第j天使用快洗 餐巾的数量；zij—第i天送第j天使用慢洗餐巾的数量；
Min z=∑xj+∑∑0.2yij+∑∑0.1zij
第一天：x1=1000
需 第二天：x2+y12=700
求 约
m1
xij b j (j 1,2,...,n)
i1
x 0 (i 1,...,m,m 1; j 1,...,n) ij
2008/11
--16--
--《运筹学》 运输问题--
销＞产问题单位运价表
产地销地 B1 B2 ┈
A1
C11 C12 ┈
A2
C21 C22 ┈
┊ ┆┊┈
Am Cm1 Cm2 ┈
2008/11
--8--
产销平衡表
--《运筹学》 运输问题--
单位运价表
B1 B2 B3 B4 产量
A1 (1) (2) 4 3 7 A2 3 (1) 1 (-1) 4 A3 (10) 6 (12) 3 9 销量 3 6 5 6
B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
Ⅰ Ⅱ
示。又如果生产出来的柴
Ⅲ
运筹学 第三版 清华大学出版社 第3章运输问题
运输问题应用—建模
1
1.运输问题的数学模型.
问题的提出 一般的运输问题就是要解决把 某种产品从若干个产地调运到若干个 销地，在每个产地的供应量与每个销 地的需求量已知，并知道各地之间的 运输单价的前提下，如何确定一个使 得总的运输费用最小的方案。
2
例3.1:某公司从两个产地A1、A2将物 品运往三个销地B1、B2、B3，各产地的 产量、各销地的销量和各产地运往各销 地每件物品的运费如下表所示，问：应 如何调运可使总运输费用最小？
32
2.运输问题求解 —表上作业法
1、初始基本可行解的确定 （1）西北角法：从西北角（左上 角）格开始，在格内的右下角标上允 许取得的最大数。然后按行（列）标 下一格的数。若某行（列）的产量 （销量）已满足，则把该行（列）的 其他格划去。如此进行下去，直至得 到一个基本可行解。
33
2.运输问题求解 —表上作业法
表3-3 运输问题数据表
销地 产地
B1 c11 c21
B2 … Bn c12 … c1n c22 … c2n
产量
┇
A1 A2
┇
┇
Am
销量
cm1 b1
cm2 b2
┇ ┇ … cmn
┇
a1 a2
am
… bn
设 xij 为从产地 Ai 运往销地 Bj 的运 输量，根据这个运输问题的要求，可以建立 9 运输变量表（表 3-4）。
2.运输问题求解 —表上作业法
一、初始基本可行解的确定
根据上面的讨论，要求得运输 问题的初始基本可行解，必须保证 找到 m + n – 1 个不构成闭回路的 基变量。 一般的方法步骤如下：
26
2.运输问题求解 —表上作业法
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第3章 运输问题
3.1 判断表3-l 和表3-2中给出的调运方案能否作为用表上作业法求解时的初始解?为什么?
表3-1 表3-2
解：表3-l 中有5个基格，而要作为初始解，应有m+n-l=3+4-1=6个基格，所以表3-l 给出的调运方案不能作为表上作业法的初始解；
表3-2中，有10个数基格，而理论上只应有m+n-l=9个，多出了一个，所以表3-2给出的调运方案不能作为表上作业法的初始解。
3.2 表3-3和表3-4中，分别给出两个运输问题的产销平衡表和单位运价表，试用伏格尔(Vogel)法直接给出近似最优解。
表3-3 表3-4
解：（1）第一步：在表3-3中分别求各行和各列的最小运价和次小运价的差额，并分别填入该表的最右列和最下行，如表3-5所示。
表3-5
第二步：从行差额或列差额中选出最大者，选择它所在行或列中的最小元素。
在表3-5中,第3列是最大差额所在列。
第3列中最小元素为1，可确定产地2的产品优先供应销地3的需要，得表3-6。
同时将运价表中的第3列数字划去，如表3-7所示。
表3-6 表3-7
第三步：对表3-7中未划去的元素再分别计算出各行、各列的最小运价和次小运价的差额，并填入该表的最右列和最下行。
重复第一、二步，直到给出初始解为止，初始解如表3-8所示。
表3-8
（2）第一步：在表3-4中分别计算各行和各列的最小运价和次小运价的差额，并分别填入该表的最右列和最下行，如表3-9所示。
表3-9
第二步：从行或列差额中选出最大者，选择它所在行或列中的最小元素。
在表3-9中第3列是最大差额所在列。
第3列中最小元素为3，可确定产地1的产品优先供应销地3的需要。
同时将运价表中的第1行数字划去，如表3-10所示。
表3-10
第三步：对表3-10中未划去的元素再分别计算出各行、各列的最小运价和次小运价的差额，填入该表的最右列和最下行。
重复第一、二步，直到给出初始解为止，初始解见表3-10的单位运价中格子的右上方方格中的数据。
3.3 用表上作业法求表3-11至表3-14中给出的运输问题的最优解(表中数字M为任意大正数)。
表3-11 表3-12
表3-13 表3-14
解：（1）解表3-11 第一步：用伏格尔法求初始可行解（过程类似于上一题，不再赘述），求得的初始解如表3-15所示。
表3-15
第二步：用位势法进行最优解的判断。
在对应于表3-15的数字格处填入单位运价，并增加一行一列，在行中填入j v ，在列中填入i u 。
令10v =，并按照i j ij u v c +=(,i j B ∈)求出所有的i u 和j v ，如表3-16所示。
对于表3-16中的空格，依据()ij ij i j c u v σ=−+(,i j N ∈)计算其检验数，如表3-17所示。
表3-16 表3-17
由表3-17可知，所有空格处的检验数均为非负。
所以，表3-15中的运输方案，即为此问题的最优调运方案，最小运价为32。
由于非基变量的检验数中34
0σ=，所以该运输问
题有无穷多最优解。
（2）解表3-12
第一步：用伏格尔法求初始可行解，求得的初始解，如表3-18所示。
表3-l8
第二步：用位势法进行最优解的判断。
在对应于表3-18的数字格处填入单位运价，并增加一行一列，在行中填入j v ，在列中填入i u 。
令10u =，按照i j ij u v c +=求出所有的i u 和j v ，并依据()ij ij i j c u v σ=−+计算所有空格处的检验数，计算结果如表3-19所示。
表3-19
由表3-19可知，所有空格处的检验数均为非负。
所以，表3-18中的运输方案即为此。