几何探究题

－128－（一）几何探究题1．（07绍兴）课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，己知四边形ABCD中，AC平分∠DAB,∠DAB＝60°, ∠B与∠D互补，求证：AB＋AD＝ 3AC．小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题．（1）特殊情况入手添加条件：“∠B＝∠D”, 如图2，可证AB＋AD＝ 3 AC．（请你完成此证明）（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过Ｃ点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F．（请你补全证明）2．（07盐城）操作：如图①，点O为线段MN的中点，直线PQ与MN相交于点O，请利用图①画出一对以点O为对称中心的全等三角形．根据上述操作得到的经验完成下列探究活动．探究一：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F．试探究线段AB与AF、CF之间的等量关系，并证明你的结论；探究二：如图③，DE、BC相交于点E，BA交DE于点A，且BE：EC＝1：2，∠BAE＝∠EDF，CF∥AB．若AB＝5，CF＝1，求DF的长度．－129－3．（07潍坊）已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC 交BC 于D 点，在线段AD 上任取一点P （A 点除外），过P 点作EF ∥AB ，分别交AC 、BC 于E 、F 点，作PM ∥AC ，交AB 于M 点，连结ME ． （1）求证：四边形AEPM 为菱形；（2）当P 点在何处时，菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半？ 4．（07武汉）填空或解答：点B 、C 、E 在同一直线上，点A 、D 在直线CE 的同侧，AB ＝AC ， EC ＝ED ，∠BAC ＝∠CED ，直线AE 、BD 交于点F ．如图1，若∠BAC ＝60°，则∠AFB ＝_______； 如图2，若∠BAC ＝90°，则∠AFB ＝_______； 如图3，若∠BAC ＝α，则∠AFB ＝_______（用含α的式子表示）；将图3中的△ABC 绕点C 旋转（点F 不与点A 、B 重合），得图4或图5．在图4中，∠AFB 与∠α的数量关系是_______；在图5中，∠AFB 与∠α的数量关系是_______．请你任选其中一个结论证明．ABCPD FE M－130－5．（06毕节）如图，四边形OABC 与ODEF 均为正方形，CF 交OA 于P ，交DA 于Q ．（1）求证：AD ＝CF ．（2）AD 与CF 垂直吗？说说你的理由．（3）当正方形ODEF 绕O 点在平面内旋转时，（1），（2）的结论是否有变化？（不需说明理由）．6．（05苏州）（1）如图一，等边△ABC 中，D 是AB 边上的动点，以CD 为一边，向上作等边△EDC ，连结AE ．求证：AE ∥BC ；（2）如图二，将(1)中等边△ABC 的形状改成以BC 为底边的等腰三角形，所作的△EDC 改成相似于△ABC ．请问：是否仍有AE ∥BC ？证明你的结论．－131－图2FAB(E ) D（2b ＝a ） 图3FAB CDE（a ＜2b ＜2a ）图4FAB CDE F 图5 ABCED（b ＞a ）（二）操作探究题7．（07孝感）在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：第一步：对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展开（如图1）；第二步：再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，同时得到线段BN （如图2）．请解答以下问题：（1）如图2，若延长MN 交BC 于P ，△BMP 是什么三角形？请证明你的结论．（2）在图2中，若AB=a ，BC=b ，a 、b 满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD 上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP ？（3）设矩形ABCD 的边AB=2，BC=4，并建立如图3所示的直角坐标系. 设直线BM '为y kx =，当M BC '∠=60°时，求k 的值.此时，将△ABM ′沿BM′折叠，点A 是否落在EF 上（E 、F 分别为AB 、CD 中点）？为什么？8．（07河北）在图1—5中，正方形ABCD的边长为a ，等腰直角三角形FAE 的斜边AE ＝2b ，且边AD 和AE 在同一直线上．操作示例当2b ＜a 时，如图1，在BA上选取点G ，使BG ＝b ，连结FG 和CG ，裁掉△FAG 和△CGB 并分别拼接到△FEH 和△CHD 的位置构成四边形FGCH ．思考发现小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将△FAG 绕点F 逆时针旋转90°到△FEH 的位置，易知EH与AD 在同一直线上．连结CH ，由剪拼方法可得DH=BG ，故△CHD ≌△CGB ，从而又可将△CGB 绕点C 顺时针旋转90°到△CHD 的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH （如图1），过点F 作FM ⊥AE 于点M （图略），利用SAS 公理可判断△HFM ≌△CHD ，易得FH=HC=GC=FG ，∠FHC=90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH 是正方形．实践探究（1）正方形FGCH 的面积是 ；（用含a ，b 的式子表示）（2）类比图1的剪拼方法，请你就图2—图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．联想拓展小明通过探究后发现：当b ≤a 时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G 的位置在BA 方向上随着b 的增大不断上移．当b ＞a 时，如图5的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．F图1 A B CE DHG （2b ＜a ）－132－11．（07烟台）生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状，折叠过程是这样的（阴影部分表示纸条的反面）：如果由信纸折成的长方形纸条（图①）长为26cm，宽为cmx，分别回答下列问题：（1）为了保证能折成图④的形状（即纸条两端均超出点P），试求x的取值范围．（2）如果不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点M与点A的距离（用x表示）．12．（06南京）已知矩形纸片ABCD，AB＝2，AD＝1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合．（1）如果折痕FG分别与AD、AB交于点F、G，如图（1），AF＝23，求DE的长；（2）如果折痕FG分别与CD、AB交于点F、G，如图（2），△AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长．－133－（三）几何动点题13．（07南京）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝AD＝6，∠ABC＝60°，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），且∠BEF＝120°，设AE＝x，DF＝y．（1）求y与x的函数表达式；（2）当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？14．（07济南）已知：如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BC＝CD＝10，sinC＝45．（1）求梯形ABCD的面积；（2）点E、F分别是BC、CD上的动点，点E从点B 出发向点C运动，点F从点C出发向点D运动，若两点均以每秒1个单位的速度同时出发，连接EF．求△EFC面积的最大值，并说明此时E、F的位置．A DCFBEA E DFCB－134－－135－－136－19．（07宁波）用长为l2m的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃．如图，围出的苗圃是五边形ABCDE，AE⊥AB，BC⊥AB，∠C=∠D=∠E．设CD=DE=xm，五边形ABCDE的面积为S m2．问当x取什么值时，S最大?并求出S的最大值．20．（07南宁）如图，在锐角△ABC中，BC＝9，AH⊥BC于点H，且AH＝6，点D为AB边上的任意一点，过点D作DE∥BC，交AC AC于点E E．设△ADE 的高AF为x（0＜x＜6），以DE为折线将△ADE翻折，所得的△A′DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y（点A关于DE的对称点A′落在AH所在的直线上）．（1）分别求出当0＜x≤3与3＜x＜6时，y与x的函数关系式；（2）当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？AEFDAB CHABH C－137－21．（07郴州）如图1，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，将矩形ABCD 沿对角线AC 平移，平移后的矩形为EFGH （A 、E 、C 、G 始终在同一条直线上），当点E 与C 重合时停止移动．平移中EF 与BC 交于点N ，GH 与BC 的延长线交于点M ，EH 与DC 交于点P ，FG 与DC 的延长线交于点Q ．设S 表示矩形PCMH 的面积，S ′表示矩形NFQC 的面积．（1） S 与S ′相等吗？请说明理由．（2）设AE ＝x ，写出S 和x 之间的函数关系式，并求出x 取何值时S 有最大值，最大值是多少？（3）如图2，连结BE ，当AE 为何值时，△ABE 是等腰三角形．22．（05泰安）已知，△ABC 是等边三角形．将一块含30°角的直角三角板DEF 如图放置，让三角板在BC 所在的直线L 上向右平移．当点E 与点B 重合时，点A 且恰好落在三角板的斜边DF 上．问：在三角线板平移过程中，图中是否存在与线段EB 始终相等的线段(假定AB 、AC 与三角板斜边的交点为G 、H)?如果存在，请指出这条线段，并证明；如果不存在，请说明理由．(说明：结论中不得含有图中未标识的字母)QPN M HGFED CBAQPN M HGFED CBA23．（05北京）如图所示，一根长2a 的木棍AB ，斜靠在与地面OM 垂直的墙ON 上，设木棍的中点为P ，若木棍A 端沿墙下滑，且B 端沿地面向右滑行.（1）请判断木棍滑动的过程中，点P 到点O 的距离是否变化，并简述理由.（2）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB 的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值.24．（06重庆）如图（1）所示，一张三角形纸片ABC ， ACB ＝90º，AC ＝8，BC ＝6．沿斜边AB 的中线CD 把这张纸片剪成△AC 1D 1和△BC 2D 2两个三角形，如图（2）所示．将纸片△AC 1D 1沿直线D 2B （AB ）方向平移（点A 、D 1、D 2、B 始终在同一条直线上），当点D 1与点B 重合时，停止平移．在平移的过程中，C 1D 1与BC 2交于点E ，AC 1与C 2D 2、BC 2分别交于点F 、P ．（1）当△AC 1D 1平移到如图（3）所示的位置时，猜想图中D 1E 与D 2F 的数量关系，并证明你的猜想；（2）设平移距离D 2D 1为x ，△AC 1D 1和△BC 2D 2重叠部分的面积为y ，请写出y 与x 的函数关系式，以及自变量x 的取值范围；（3）对于（2）中的结论是否存在这样的x ，使得重叠部分的面积等于原△ABC 纸片面积的14 ？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由．ABPMN O（四）函数综合题25．（07济宁）如图，A 、B 分别为x 轴和y 轴正半轴上的点，OA 、OB 的长分别是方程214480x x -+=的两根（OA>OB ），直线BC 平分∠ABO 交x 轴于C 点，P 为BC 上一动点，P 点以每秒1个单位的速度从B 点开始沿BC 方向移动．（1）设△APB 和△OPB 的面积分别为S 1、S 2，求S 1：S 2的值；（2）求直线BC 的解析式；（3）设PA －PO ＝m ，P 点的移动时间为t ． ①当0<t ≤4 5 时，试求出m 的取值范围；②当t>4 5 时，你认为m 的取值范围如何（只要求写出结论）？26．（07常州）已知A （－1，m ）与B （2，m ＋3 3 ）是反比例函数y ＝kx图象上的两个点．（1）求k 的值；（2）若点C （－1，0），则在反比例函数y ＝kx 图象上是否存在点D ，使得以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．29．（07十堰——已知矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，以AB 的垂直平分线为x 轴，AB 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图)．(1)写出A 、B 、C 、D 及AD 的中点E 的坐标； (2)求以E 为顶点、对称轴平行于y 轴，并且经过点B 、C 的抛物线的解析式；(3)求对角线BD 与上述抛物线除点B 以外的另一交点P 的坐标；(4)△PEB 的面积S △PEB 与△PBC 的面积S △PBC 具有怎样的关系？证明你的结论．30．（06湖州）已知：如图，矩形OABC 的长OA ＝3 ，宽OC ＝1，将△AOC 沿AC 翻折得△APC ． （1） PCB ＝＿＿＿＿度，P 点坐标为＿＿＿＿； （2）若P 、A 两点在抛物线y ＝－43 x 2＋bx ＋c 上，求b ，c 的值，并说明点C 在此抛物线上；（3）在（2）中的抛物线CP 段（不包括C 、P 点）上，是否存在一点M ，使得四边形MCAP 的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M 点的坐标；若不存在，请说明理由．A BCD O Exy31．（06广东）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA＝7，AB＝4，∠COA＝60º，点P为x轴上的一个动点，点P不与点O、点A重合．连结CP，过点P作PD交AB于点D．（1）求点B的坐标；（2）当点P运动到什么位置时，△O CP为等腰三角形，求这时点P的坐标；（3）当点P运动到什么位置时，使得∠CPD＝∠OAB，且BDAB＝58，求这时点P的坐标．32．（06德州）如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（4，0）、（4，3），动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点M作MP⊥OA，交AC于P，连结NP，已知动点运动了x秒．（1）P点的坐标为（＿＿＿，＿＿＿）（用含x的代数式表示）；（2）试求△NPC的面积S的表达式，并求出面积S的最大值及相应的x值；（3）当x为何值时，△NPC是一个等腰三角形？简要说明理由．33．（06辽宁）如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片．点O与坐标原点重合，点A 在x轴上，点C在y轴上，OC＝4，点E为BC的中点，点N的坐标为（3，0），过点N且平行于y轴的直线MN 与EB交于点M．现将纸片折叠，使顶点C落在MN上，并与MN上的点G重合，折痕为EF，点F为折痕与y轴的交点．（1）求点G的坐标；（2）求折痕EF所在直线的解析式；（3）设点P为直线EF上的点，是否存在这样的点P，使得以P、F、G为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．34．（07资阳）如图，已知抛物线P：y=ax2+bx+c （a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：x …-3 -2 1 2 …y …-52-4 -520 …(1) 求A、B、C三点的坐标；(2) 若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；(3) 当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=k·DF，若点M不在抛物线P上，求k 的取值范围．若因为时间不够等方面的原因，经过探索、思考仍无法圆满解答本题，请不要轻易放弃，试试将上述(2)、(3)小题换为下列问题解答(已知条件及第(1)小题与上相同，完全正确解答只能得到5分)：(2) 若点D的坐标为(1，0)，求矩形DEFG的面积.A CO Bxy35．（07济南）已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，点A 、C 的坐标分别为A （－3，0），C （1，0），tan ∠BAC ＝34．（1）求过点A 、B 的直线的函数表达式；（2）在x 轴上找一点D ，连接DB ，使得△ADB 与△ABC 相似（不包括全等），并求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，如P 、Q 分别是AB 和AD 上的动点，连接PQ ，设AP ＝DQ ＝m ，问是否存在这样的m 使得△APQ 与△ADB 相似，如存在，请求出m 的值；如不存在，请说明理由．36．（07苏州）设抛物线y ＝ax 2＋bx －2与x 轴交于两个不同的点A （－1，0）、B （m ，0），与y 轴交于点C ，且∠ACB=90°．（1）求m 的值和抛物线的解析式；（2）已知点D （1，n ）在抛物线上，过点A 的直线y ＝x ＋1交抛物线于另一点E ．若点P 在x 轴上，以点P 、B 、D 为顶点的三角形与△AEB 相似，求点P 的坐标． （3）在（2）的条件下，△BDP 的外接圆半径等于________________．37．（07绍兴）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A、C的坐标分别为（2，0）、（1，3 3 ）．将△OAC绕AC的中点旋转180°，点O落到点B的位置．抛物线y＝ax2－2 3 x经过点A，点D是该抛物线的顶点．(1) 求A的值，点B的坐标；(2) 若点P是线段ABA上一点，且∠APD＝∠OAB，求点P的坐标；(3) 若点P是x轴上一点，以P、A、D为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y轴上．写出点P的坐标(直接写出答案即可)．38．（07北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y ＝mx2＋2 3 x＋n经过P（ 3 ，5），A（0，2）两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为B，将直线AB沿y轴向下平移两个单位得到直线l，直线l与抛物线的对称轴交于C 点，求直线l的解析式；（3）在（2）的条件下，求到直线OB、OC、BC距离相等的点的坐标．41．（06深圳）如图，抛物线y＝ax2－8ax＋12a （a<0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），抛物线上另有一点C在第一象限，满足 ACB为直角，且恰使△OCA∽△OBC．（1）求线段OC的长；（2）求该抛物线的函数关系式；（3）在x轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．42．（06临汾）如图，直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别相交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x＝2．（1）求A点的坐标；（2）求该抛物线的函数表达式；（3）连结AC．请问在x轴上是否存在点Q，使得以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．43．（06舟山）如图，已知抛物线y＝ax2＋4ax＋t(a>0)交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为（－1，0）．（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）过点C作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点P，你能判断四边形ABCP是什么四边形吗？并证明你的结论；（3）连结CA与抛物线的对称轴交于点D，当∠APD＝∠ACP时，求抛物线的解析式．44．（06湖南）如图，已知二次函数图像的顶点坐标为C（1，0），直线y＝x＋m与该二次函数的图像交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上．（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图像交于E 点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）D为直线AB与这个二次函数图像对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．（五）与圆有关的综合题45．（06烟台）如图，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C，且⊙O直径BD＝6，连结CD、AO．（1）求证：CD∥AO；（2）设CD＝x，AO＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）若AO＋CD＝11，求AB的长．46．（07南宁）如图，在平面直角坐标系中，A、B 两点的坐标分别为A（－2，0），B（8，0）以AB直径的半圆P与y轴交于点M，以AB一边作正方形ABCD （1）求C\点的坐标；（2）连接CM试判断直线CM否与⊙P相切？说明你的理由；（3）在x轴上是否存在一点Q，使得△QMC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．AEBD C8xyMPO2xy654321------123456------ 123 321O 47．（07江西）在同一平面直角坐标系中有6个点：A （1，1），B （－3，－1），C （－3，1），D （－2，－2），E （－2，－3），F （0，－4）．（1）画出△ABC 的外接圆⊙P ，并指出点D 与⊙P 的位置关系；（2）若将直线EF 沿y 轴向上平移，当它经过点D 时，设此时的直线为l 1．①判断直线l 1与⊙P 的位置关系，并说明理由； ②再将直线l 1绕点D 按顺时针方向旋转，当它经过点C 时，设此时的直线为l 2．求直线l 2与⊙P 的劣弧．．CD ．．围成的图形的面积（结果保留π）．48．（07盐城）如图，已知抛物线y ＝a （x －1）2－253与x 轴交于A 、B 两点（A 在左边），且过点D （5，－3），顶点为M ，直线MD 交x x 轴于点F ．（1）求a 的值；（2）以AB 为直径画⊙P ，问：点D 在⊙P 上吗，为什么？（3）直线MD 与⊙P 存在怎样的位置关系？请说明理由．（六）定义新图形49．（07北京）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，设CD、BE相交于点O，若∠A＝60°，∠DCB＝∠EBC＝12∠A．请你写出图中一个与∠A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；（3）在△ABC中，如果∠A是不等于60°的锐角，点D、E分别在AB、AC上，且∠DCB＝∠EBC＝12∠A．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．50．（06资阳）阅读以下短文，然后解决下列问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”．如图①所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”．显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个．（1）仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；（2）如图②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；（3）若△ABC是锐角三角形，且BC>AC > AB，在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明．BOADEC51．（07宁波）四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图l，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD的准等距点．（1）如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点．（2）如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）．（3）如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．求证：点P是四边形ABCD的准等距点．（4）试研究四边形的准等距点个数的情况（说出相应四边形的特征及准等距点的个数，不必证明）．52．（07南京）在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，并且原多边形上的任一点P，它的对应点P′在线段OP或其延长线上；接着将所得多边形以点P为旋转中心，逆时针旋转一个角度θ，这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为O（k，θ），其中点O叫做旋转相似中心，k叫做相似比，θ叫做旋转角．（1）填空：①如图1，将△ABC以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60°，得到△ADE，这个旋转相似变换记为A（，）；②如图2，△ABC是边长为1cm的等边三角形，将它作旋转相似变换A（ 3 ，90°），得到△ADE，则线段BD的长为cm；（2）如图3，分别以锐角三角形ABC的三边AB、BC、CA为边向外作正方形ADEB，BFGC，CHIA，点O1、O2、O3分别是这三个正方形的对角线交点，试分别利用△AO1O2与△ABI，△CIB与△CAO2之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段O1O2与AO2之间的关系．（六）与课题学习有关的综合题53．（06无锡）“口子窖”酒的一个由铁皮制成的包装底盒，它是一个无盖的六棱柱形状的盒子（如图1），侧面是矩形或正方形．经测量，底面六边形有三条边的长是9cm，有三条边的长是3cm，每个内角是120º，该六棱柱的高为3cm．现沿它的侧棱剪开展平，得到如图3的平面展开图．（1）制作这种底盒时，可以按图3中虚线裁剪出如图2的模片．现有一块长为17.5cm、宽为16.5cm的长方形铁皮，请问能否按图3的裁剪方法制作这样的无盖底盒？并请你说明理由．（2）如果用一块正三角形铁皮按图4中虚线裁剪出如图2的模片，那么这个正三角形的边长至少应为＿＿＿＿cm．（说明：以上裁剪均不计接缝处损耗．）54．（05河北）操作示例：对于边长均为a的两个正方形ABCD和EFGH，按图-1所示的方式摆放，再沿虚线BD，EG剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为图-l中的四边形BNED．从拼接的过程容易得到结论：①四边形BNED是正方形；②②S正方形ABCD＋S正方形EFGH＝S正方形BNED.实践与探究.(1)对于边长分别为a,b（a＞b）的两个正方形ABCD和EFGH，按图-2的方式摆放，连结DE，过点D作DM⊥DE，交AB于点M，过点A作MN⊥DM，过点E作EN⊥DE，MN与EN相交于点N．①证明四边形MNED是正方形，并用含a,b的代数式表示正方形MNED的面积；②在图-2中，将正方形ABCD和正方形EFGH沿虚线剪开后，能够拼接为正方形MNED．请简略说明你的拼接方法(类比图-1，用数字表示对应的图形)．(2)对于n(n是大于2的自然数)个任意的正方形，能否通过若干次拼接，将其拼接为一个正方形?请简要说明理由．55．（05江西）有一个测量弹跳力的体育器材，如图所示，竖杆AC、BD的长度分别为200厘米和300厘米，CD＝300厘米.现有一人站在斜杆AB下方地面上的点E 处，直立、单手上举时中指指尖（点F）到地面的高度为EF，屈膝尽力跳起时，中指指尖刚好接触到斜杆AB的点G处，那么GF的值就可作为该同学的弹跳成绩y（厘米）.设CE＝x（厘米），EF＝a（厘米）.⑴求出由x和a算出y的计算公式.⑵现有甲、乙两组同学，每组三人，每人各选择一个适当的位置尽力跳了一次，且均刚好触到斜杆，由所得公式算得两组同学弹跳成绩如表所示，由于某种原因，甲组一同学C的弹跳成绩看不清楚，但知他的位置为x＝150厘米，a＝205厘米,请你计算同学C此次的弹跳成绩，并从两组同学弹跳成绩的稳定性角度比较甲、乙两组同学的弹跳成绩．甲组乙组A 同学B同学C同学a同学b同学c同学弹跳成绩（厘米）36 39 42 44 3456．（05江西）某课外学习小组在设计一个长方形时钟钟面时，欲使长方形的宽为20厘米，时钟的中心在长方形对角线的交点上，数字2在长方形的顶点上，数字3、6、9、12标在所在边的中点上，如图所示．（1）当时针指向数字2时，时针与分针的夹角是多少度?（2）请你在长方形框上标出数字1的位置，并说明确定该位置的方法；（3）请你在长方形框上标出钟面上其余数字的位置，并写出相应的数字（说明:要画出必要的、反映解题思路的辅助线).（4）问长方形的长应为多少?。