机械优化设计实例(人字架优化)
机械优化设计实例(人字架优化)
机械优化设计实例(人字架优化)第1页共5页人字架的优化设计一、问题描述如图1所示的人字架由两个钢管组成，其顶点受外力2F=3×105N 。
已知人字架跨度2B=152 cm,钢管壁厚T=0.25cm,钢管材料的弹性模量E=2.1510? MPa ，材料密度p=7．8×103 kg ／m ，许用压应力δy =420 MPa 。
求钢管压应力δ不超过许用压应力δy 和失稳临界应力δc 的条件下，人字架的高h 和钢管平均直径D 使钢管总质量m 为最小。
二、分析设计变量：平均直径D 、高度h三、数学建模所设计的空心传动轴应满足以下条件：（1）强度约束条件即δ≤??????y δ 经整理得()[]y hTDhB F δπ≤+2122（2）稳定性约束条件：[]c δδ≤()()()***-*****28h B D T E hTDhB F ++≤+ππ （3）取值范围：第2页共5页*****≤≤D ***-*****≤≤h则目标函数为：()2*****__.122min x x xf +?=-约束条件为：***-*****00106)(212241≤-+?=x Tx x X g π()***-*****5.*****.***-********-*****)(2 221212242≤++-+?=X x x x Tx x g π010)(13≤-=x X g0120)(14≤-=x X g 0200)(25≤-=x X g01000)(26≤-=x X g四、优化方法、编程及结果分析1优化方法综合上述分析可得优化数学模型为：()Tx x X 21,=；)(min x f ；()0..≤x g t s i 。
考察该模型，它是一个具有2个设计变量，6个约束条件的有约束非线性的单目标最优化问题，属于小型优化设计，故采用SUMT 惩罚函数内点法求解。
2方法原理内点惩罚函数法简称内点法，这种方法将新目标函数定义于可行域内，序列迭代点在可行域内逐步逼近约束边界上的最优点。
机械优化设计案例
機械優化設計案例11. 題目對一對單級圓柱齒輪減速器，以體積最小為目標進行優化設計。
2.已知條件已知數輸入功p=58kw ，輸入轉速n 1=1000r/min ，齒數比u=5，齒輪的許用應力[δ]H =550Mpa ，許用彎曲應力[δ]F =400Mpa 。
3.建立優化模型3.1問題分析及設計變數的確定由已知條件得求在滿足零件剛度和強度條件下，使減速器體積最小的各項設計參數。
由於齒輪和軸的尺寸（即殼體內的零件）是決定減速器體積的依據，故可按它們的體積之和最小的原則建立目標函數。
單機圓柱齒輪減速器的齒輪和軸的體積可近似的表示為：]3228)6.110(05.005.2)10(8.0[25.087)(25.0))((25.0)(25.0)(25.0222122212221222212212122221222120222222222121z z z z z z z z z z z g g z z d d l d d m u m z b bd m u m z b b d b u z m b d b z m d d d d l c d d D c b d d b d d b v +++---+---+-=++++-----+-=πππππππ 式中符號意義由結構圖給出，其計算公式為b c d m u m z d d d mu m z D m z d m z d z z g g 2.0)6.110(25.0,6.110,21022122211=--==-===由上式知，齒數比給定之後，體積取決於b 、z 1 、m 、l 、d z1 和d z2 六個參數，則設計變數可取為T z z T d d l m z b x x x x x x x ][][211654321== 3.2目標函數為min )32286.18.092.0858575.4(785398.0)(2625262425246316321251261231232123221→++++-+-+-+=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f3.3約束條件的建立1）為避免發生根切，應有min z z ≥17=，得017)(21≤-=x x g2 )齒寬應滿足max min ϕϕ≤≤d b ，min ϕ和max ϕ為齒寬係數d ϕ的最大值和最小值，一般取min ϕ=0.9，max ϕ=1.4，得 04.1)()(0)(9.0)(32133212≤-=≤-=x x x x g x x x x g3）動力傳遞的齒輪模數應大於2mm ，得02)(34≤-=x x g4）為了限制大齒輪的直徑不至過大，小齒輪的直徑不能大於max 1d ，得0300)(325≤-=x x x g 5）齒輪軸直徑的範圍：max min z z z d d d ≤≤得0200)(0130)(0150)(0100)(69685756≤-=≤-=≤-=≤-=x x g x x g x x g x x g 6）軸的支撐距離l 按結構關係，應滿足條件：l 2min 5.02z d b +∆+≥（可取min ∆=20），得0405.0)(46110≤--+=x x x x g7）齒輪的接觸應力和彎曲應力應不大於許用值，得400)10394.010177.02824.0(7098)(0400)10854.0106666.0169.0(7098)(0550)(1468250)(224222321132242223211213211≤-⨯-⨯+=≤-⨯-⨯+=≤-=---x x x x x x g x x x x x x g x x x x g8）齒輪軸的最大撓度max δ不大於許用值][δ，得0003.0)04.117)(445324414≤-=x x x x x x g 9）齒輪軸的彎曲應力w δ不大於許用值w ][δ，得05.5106)1085.2(1)(05.5104.2)1085.2(1)(1223246361612232463515≤-⨯+⨯=≤-⨯+⨯=x x x x x g x x x x x g4.優化方法的選擇由於該問題有6個設計變數，16個約束條件的優化設計問題，採用傳統的優化設計方法比較繁瑣，比較複雜，所以選用Matlab 優化工具箱中的fmincon 函數來求解此非線性優化問題，避免了較為繁重的計算過程。
机械优化设计范例(共9张PPT)
设计变量
现设 甲矿运往东站x万吨
乙矿运往东站y万吨
则甲矿运往西站200-x万吨
乙矿运往西站260-y万吨 令x=x1,y=x2
所以：X43;1.5(200-x1)+0.8x2+1.6(260-x2) =716-0.5x1-0.8x2（万元）
所以：Min f(X)= 716-0.5x1-0.8x2
约束条件
- x1 ≤0 X1-200 ≤0 -x2 ≤0 x2 - 260 ≤ 0
x1+x2-280≤ 0 100-x1-x2≤0
求解结果
x2 280 260
100
Z
(20,260)
x1=20 x2=260
Minf（X）= 498万元
100
200 280
x1
所以： 乙矿运往西站260-y万吨
Mx2in-f（26X0）≤ =0 498万元 则令甲x=矿x1运,y=往x2西站200-x万吨
最少的运费为498万元 x令1x+=xx21-2,y8=0x≤20
己 x1知+x甲2-、28乙0≤两0煤矿每年的产量分别为200万吨和260万吨，需经过东、西两个车站运外地。 M甲i煤nf（矿X运）往=东49站8和万西元车站的运费价格分别为1元／吨和1．5元／吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0．8元／吨和1．6元／吨 所。以：Min f(X)= 716-0. 煤乙矿应 运怎往样东编站制y万调吨运方案才能使总运费最少？ 己x1知+x甲2-、28乙0≤两0煤矿每年的产量分别为200万吨和260万吨，需经过东、西两个车站运外地。 xM1i+nfx（2-X2）80=≤ 4098万元 现甲设煤矿甲运矿往运东往站东和站西x万车吨站的运费价格分别为1元／吨和1．5元／吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0．8元／吨和1．6元／吨 所 。以：X = [ x1, x2 ]T
第十章-结构优化例子-机械
( D , h ) y ——为起作用约束
D * 6 .43 cm
h* 76 cm
m*=8.47kg
五. 讨论
若将许用应力
（虚线—强度曲线） * * T T 解析法得到: x1 [ D , h ] [3 .84 cm ,76 cm ]
y由420提高到703Mpa，可行域变化
——等值线与强度曲 线的交点，但不是最 优解 （不满足稳定约 束条件） 实际最优点 x1* [ D * , h * ]T
[ 4.75cm,513cm ] （两约束交点处） * m1 5.45 kg
（过x1点的等值线）
T
最优点的三种情况
1. 最优点的等值线在可行域内中心点 ——约束不起作用（无约束问题） 2．最优点在可行域边界与等值线切点处 ——一个起作用约束 3．多个约束交点处 ——多个起作用约束
x2 1
x3 1
x2 x3 6
x2 x3 4
最终得到最优方案: x 4.1286
* 2 * x3 2.3325
f * 0.0156
二. 薄板包装箱的优化设计
设计一个体积为5m3的薄板包装箱，如图所示，其中 一边的长度不小于 4m,要求使薄板材料消耗最少，试确 定包装箱的尺寸参数，即确定包装箱的长、宽和高。
曲柄摇杆机构的优化数学模型
x x2
minT
x3 R 2
f ( x) f ( x2 , x3 ) ( i ji ) 2
i 0
s
i 0,1, 2......s
s.t.
x x 2x2 x3 cos135 36 0
2 2 2 3
2 2 x2 x3 2x2 x3 cos 45 16 0
机械优化设计方法-
约束优化: 在可行域内对设计变量求目标函数 的极小点。 其极小点在可行域内或在可行域边界上。
第四节优化设计问题的基本解法
求解优化问题的方法:
解析法
数学模型复杂时不便求解
数值法
可以处理复杂函数及没有数学表达式 的优化设计问题
图1-11 寻求极值点的搜索过程
A TDh
钢管的临界应力 e
Fe A
2E T 2 D2
8 B2 h2
强度约束条件 x y 可以写成 1 F B2 h2 2 TDh y
稳定约束条件 x e 可以写成
1
F B2 h2 2 2E T 2 D2
TDh
,
,...
x1
x2
xn
沿d方向的方向向量
cos1
d
cos
2
...
cos
n
即
f d
x0
f
x 0 T
d
f x 0 T
cosf ,d
图2-5 梯度方向与等值面的关系
第二节 多元函数的泰勒展开
若目标函数f(x)处处存在一阶导数, 则极值点 的必要条件一阶偏导数等于零, 即
第二章 优化设计的数学基础
机械设计问题一般是非线性规划问题。
实质上是多元非线性函数的极小化问题, 因此, 机械优化设计是建立在多元函数的极值理论 基础上的。
机械优化设计问题分为:
无约束优化 无条件极值问题
约束优化
条件极值问题
第一节 多元函数的方向导数与梯度
一、方向导数
从多元函数的微分学得知，对于一个连续可
f x* 0
满足此条件仅表明该点为驻点, 不能肯定为极值 点, 即使为极值点, 也不能判断为极大点还是极 小点, 还得给出极值点的充分条件
《机械优化设计》第一章 优化设计概述
f ( x) W1 f1 ( x) W2 f2 ( x) ... Wq f q ( x)
Wq：加权因子，是个非负系数。
第一章 优化设计概述
第三节 优化设计问题的数学模型
求设计变量 x [ x1 x2 xn ]T , xn ) min , l) 使目标函数f ( x) f ( x1 , x2 , 和g j ( x) 0( j 1, 2, , m)
第一章 优化设计概述
第一节 人字架的优化设计
FL F ( B 2 h ) 钢管所受的压力F1 h h 2 EI 压杆失稳的临界压力Fe 2 L 其中，I是钢管截面惯性矩 I
1 2 2
θ
θ
L
A 2 (T D 2 ) 4 8 A是钢管截面面积A ( R 2 r 2 ) TD (R4 r 4 ) r和R分别是钢管的内半径和外半径 D=r+R而T=R-r
第一章 优化设计概述
第三节 优化设计问题的数学模型
优化设计的维数：设计变量的数目称为优化设计的维数，如 有n(n=1，2，…)个设计变量，则称为n维设计问题。
任意一个特定的向量都可以说是一个“设计”。
第一章 优化设计概述
第三节 优化设计问题的数学模型
设计空间：由n个设计向量为坐标所组成的实空间称作设计 空间。 一个“设计”，就是设计空间中的一个点，这个点可以看 成是设计变量向量的端点（始点是坐标原点），称这个点式 设计点。 设计空间的维数（设计的自由度）：设计变量愈多，则设计 的自由度愈大、可供选择的方案愈多，设计愈灵活，但难度 亦愈大、求解亦愈复杂。 • 含有2—10个设计变量的为小型设计问题； • 10—50个为中型设计问题； • 50个以上的为大型设计问题。
机械优化设计经典实例
机械优化设计经典实例机械优化设计是指通过对机械结构和工艺的改进，提高机械产品的性能和技术指标的一种设计方法。
机械优化设计可以在保持原产品功能和形式不变的前提下，提高产品的可靠性、工作效率、耐久性和经济性。
本文将介绍几个经典的机械优化设计实例。
第一个实例是汽车发动机的优化设计。
汽车发动机是汽车的核心部件，其性能的提升对汽车整体性能有着重要影响。
一种常见的汽车发动机优化设计方法是通过提高燃烧效率来提高功率和燃油经济性。
例如，通过优化进气和排气系统设计，改善燃烧室结构，提高燃烧效率和燃油的利用率。
此外，采用新材料和制造工艺，减轻发动机重量，提高动力性能和燃油经济性也是重要的优化方向。
第二个实例是飞机机翼的优化设计。
飞机机翼是飞机气动设计中的关键部件，直接影响飞机的飞行性能、起降性能和燃油经济性。
机翼的优化设计中，常采用的方法是通过减小机翼的阻力和提高升力来提高飞机性能。
例如，优化机翼的气动外形，减小阻力和气动失速的风险；采用新材料和结构设计，降低机翼重量，提高飞机的载重能力和燃油经济性；优化翼尖设计，减小湍流损失，提高升力系数。
第三个实例是电机的优化设计。
电机是广泛应用于各种机械设备和电子产品中的核心动力装置。
电机的性能优化设计可以通过提高效率、减小体积、降低噪音等方面来实现。
例如，采用优化电磁设计和轴承设计，减小电机的损耗和噪音，提高效率；通过采用新材料和工艺，减小电机的尺寸和重量，实现体积紧凑和轻量化设计。
总之，机械优化设计在提高机械产品性能和技术指标方面有着重要应用。
通过针对不同机械产品的特点和需求，优化设计可以提高机械产品的可靠性、工作效率、耐久性和经济性。
这些经典实例为我们提供了有效的设计思路和方法，帮助我们在实际设计中充分发挥机械优化设计的优势和潜力。
第八章机械优化设计实例
机械与材料学院
×
2、目标函数： 、目标函数：
考虑主轴最轻， 考虑主轴最轻，所以机床主轴优化设计的 目标函数为
材料的密度
机械与材料学院
×
3、约束条件： 、约束条件：
1）刚度约束条件：由于主轴刚度是一个重要 ）刚度约束条件： 的性能指标，其外伸端的挠度y不得超过规定值 不得超过规定值y 的性能指标，其外伸端的挠度 不得超过规定值 0 所以可依此建立性能约束： 所以可依此建立性能约束：
例子
机械与材料学院
×
尺度变换前的等值线图
尺度变换后的等值线图
机械与材料学院
×
2、设计变量的尺度变换 、 ——对设计变量进行重新标度，使它们称 对设计变量进行重新标度， 对设计变量进行重新标度 为无量纲和规格化的设计变量。 为无量纲和规格化的设计变量。 方法： 方法：
原 设 计 变 量 新 设 计 变 量
机械与材料学院
×
2、目标函数的确定 、
目标函数——一项设计所追求的指标的数学反映 一项设计所追求的指标的数学反映 目标函数 要求： 要求： 能够用来评价设计的优劣 必须是设计变量的可计算函数
机械与材料学院
×
1）、优化目标的选择： ）、优化目标的选择： ）、优化目标的选择
应当对所追求的各项指标进行细致分析， 应当对所追求的各项指标进行细致分析，从 中选择最重要、 中选择最重要、最具代表性的指标作为优化 目标
机械与材料学院
×
•在性能约束中，又有复杂和简单之分 在性能约束中， 在性能约束中 约束函数有的很简单，可以表示成显式形式， 约束函数有的很简单，可以表示成显式形式， 即反映设计变量之间明显的函数关系，这类约束叫 即反映设计变量之间明显的函数关系， 显式约束。 做显式约束。例如设计曲柄连杆机构时的曲柄存在 约束条件 有的只能表示成隐式形式，例如复杂结构的性 有的只能表示成隐式形式， 能约束函数（变形、应力、频率等） 能约束函数（变形、应力、频率等），需要通过有 限元或动力学计算求得，机构的运动误差要用数值 限元或动力学计算求得， 积分来计算，这类约束叫做隐式约束 隐式约束。 积分来计算，这类约束叫做隐式约束。
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人字架的优化设计
一、问题描述
如图1所示的人字架由两个钢管组成，其顶点受外力2F=3×105N 。
已知人字架跨度2B=152 cm,钢管壁厚T=0.25cm,钢管材料的弹性模量E=2.15
10⨯ MPa ，材料密度p=7．8×103 kg ／m ，许用压应力δy =420 MPa 。
求钢管压应力δ不超过许用压应力 δy 和失稳临界应力 δc 的条件下，人字架的高h 和钢管平均直径D 使钢管总质量m 为最小。
二、分析
设计变量：平均直径D 、高度h
三、数学建模
所设计的空心传动轴应满足以下条件： （1） 强度约束条件 即
δ≤⎥⎦
⎤⎢⎣⎡y δ 经整理得
(
)
[]y hTD
h
B F δπ≤+2
122
（2） 稳定性约束条件：
[]c δδ≤
(
)
(
)
(
)
2
22
222
122
8h
B D T E hTD
h B F ++≤+ππ （3）取值范围：
12010≤≤D 1000200≤≤h
则目标函数为：()22
13
57760010
5224.122min x x x f +⨯=- 约束条件为：0420577600106)(2
12
2
41≤-+⨯=x Tx x X g π
()
057760025.63272.259078577600106)(2
2
212
12
2
42≤++-+⨯=
X x x x Tx x g π010)(13≤-=x X g 0120)(14≤-=x X g
0200)(25≤-=x X g 01000)(26≤-=x X g
四、优化方法、编程及结果分析
1优化方法
综合上述分析可得优化数学模型为：()T
x x X 21,=；)(min x f ；()0..≤x g t s i 。
考察该模型，它是一个具有2个设计变量，6个约束条件的有约束非线性的单目标最优化问题，属于小型优化设计，故采用SUMT 惩罚函数内点法求解。
2方法原理
内点惩罚函数法简称内点法，这种方法将新目标函数定义于可行域内，序列迭代点在可行域内逐步逼近约束边界上的最优点。
内点法只能用来求解具有不等式约束的优化问题。
对于只具有不等式约束的优化问题
)(min x f
),,2,1(0)(..m j x j
g t s Λ=≤
转化后的惩罚函数形式为
⎰∑
=-=m
j j x g r x f r x 1
)
(1
)(),(φ 或[]
∑=--=m
j j x g r x f r x 1
)(ln )()
,(φ
式中r ——惩罚因子，它是由大到小且趋近于0的数列，即
0210→>>>Λr r r 。
[]
∑∑==-m
j m
j j j x g x g 11)(ln )(1
—障碍项—或。
由于内点法的迭代过程在可行域内进行，障碍项的作用是阻止迭代点越出可行域。
由障碍项的函数形式可知，当迭代靠近某一约束边界时，其值趋近于0，而障碍项的值陡然增加，并趋近于无穷大，好像在可行域的边界上筑起了一道“围墙”，使迭代点始终不能越出可行域。
显然，只有当惩罚因子0→r 时，才能求得在约束边界上的最优解。
3编程
首先编制两个函数文件，分别保存为目标函数和约束函数。
function f=objfun(x) B=1520;T=2.5;P=7.8e-3;
f=2*pi*P*x(1)*T*sqrt((B/2)^2+x(2)^2); 再编写非线性约束函数文件M 文件confun.m; function [c,ceq]=confun(x)
B=1520;T=2.5;P=300000;E =2.1e5;F1=420; Q=0.5*P*sqrt((B/2)^2+x(2)^2)/x(2); st=Q/(pi*T*x(1)); g(1)=st-F1;
F2=0.125*pi^2*E*(x(1)^2+T^2)/((B/2)^2+x(2)^2);
g(2)=st-F2;
ceq=[];
在MATLAB命令窗口给出搜索值和线性约束，并调用优化程序：x0=[100;700];
a=[-1,0 ;1,0 ;0 ,-1;0,1];
b=[-10;120;-200;1000];
1b=[10;200];
ub=[120;1000];
[x,fval]=fmincon(@objfun,x0,a,b,[],[],1b,ub,@confun)
4结果分析
优化程序经过11次迭代计算收敛，得到结果如下：
x=64.3083 760.0000
fval=8468.5714
圆整后得到X=(65,760)T.
图1
图2
验算：7.253)(1-=X g <0
65.782)(2-=X g <0 )(3X g <0
)(4X g <0 )(5X g <0 )(6X g <0
五、课程实践心得体会
通过《机械优化设计》这门课程的学习，初步了解和熟悉了机械优化设计的基本设计流程。
传统的机械设计往往很保守，这样就造成了材料的浪费，也增加了产品的成本。
优化方法随着计算机的应用而迅速发展起来，采用优化方法，既可以使方案在规定的设计要求下达到某些优化的结果，又不必耗费过多的计算工作量，因而得到广泛的重视，其应用也越来越广。
再本科做课程设计设计轴以及其他零件的时候，往往把尺寸加大，用这种方法来使零件满足强度要求。
这种做法在实际的生产过程中实不可取的。
因此作为一名机械专业的学生，在走向工作岗位之前了解并能够熟练运用这些方法是很有必要的。
在这2个多月的学习中，我学习了一些优化方法的原理及其求解步骤。
在实际应用中，能够对简单的问题进行分析和求解。
在这次的作业中，因为编程的基础比较薄弱，因此我运用了matlab 软件。
只要能够建立起问题的数学模型，运用matlab 很容易就能求得结果。
在做的过程当中，还是遇到了许多的问题。
虽然本题的设计变量，约束方程相对来说比较少，但在编程的时候还是出现了很多的错误。
用了很长的时间来排除这些错误。
因此如果面对的是比较复杂的问题，在编程之前一定要先做好规划。
通过这门课程的学习，开拓了我的视野。
任何的事物都在不断的发展改进，书本上所学到的各种算法也都有其局限性，随着工程问题的日益扩大，优化要面对的问题的规模和复杂程度的逐渐增大，这种局限性也就更加的明显。
因此，算法也在不断的改进，所以需要在以后及时的了解更加先进的算法，使其能够解决实际的问题。