高考数学《向量》专题复习(专题训练)

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高考数学专题复习题：平面向量

高考数学专题复习题：平面向量一、单项选择题（共8小题）1.已知向量(1,)x =a ，(1,3)=−b .若向量2+a b 与向量b 垂直，则x 的值为（） 33||||4AC CB =.若AB BC λ=，则λ34 C.74 3.已知向量a ，b 不共线，设k =+u a b ，2=−v a b ，若//u v ，则实数k 的值为（）A.4.如图所示，等腰梯形ABCD 中，3AB BC CD AD ===，点E 为线段CD 上靠近点C 的三等分点，点F 为线段BC 的中点，则FE =（）A.1151818AB AC −+B.1111189AB AC −+C.114189AB AC −+D.1526AB AC −+第4题图第5题图第6题图5.如图，在等边三角形ABC 中，如果3BD DC =，那么向量AB 在向量AD 上的投影向量为（）AD AD AD AD 6.如图，在ABC △中，D 是线段BC 上的一点，且4BC BD =，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于点M ，N ，如果AM AB λ=，(0,0)AN AC μλμ=>>，那么μ值是（）7−7.单位向量a ，b ，c 满足22−+=0a b c ，则cos ,2〈−〉=a b c （）8.若AB AC ⊥，||AB t =，1||AC =，ABC 平面内一点，2||||AB AC AP AB AC =+，则的最大值为（）A.13B.二、多项选择题（共2小题）9.已知向量，，其中，则下列说法中正确的是（）A.若，则B.若a 与b 的夹角为锐角，则C.若1x =，则a 在b 上的投影向量为bD.若，则10.在ABC △中，90A ∠=︒，3AB =，4AC =，点D 为线段AB 上靠近A 点的三等分点，E 为CD 的中点，则下列结论正确的是（）A.16AE AB AC = AE 与EB 的夹角的余弦值为 C.AE CD ⋅=三、填空题（共5小题）11.图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图，其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，如果A ，B ，C ，D 是其中四个圆的圆心，那么AB CD ⋅=________.12.已知向量(2,5)=a ，(,4)λ=b ，若//a b ，则λ=________.13.平面向量(1,2)=a ，(4,2)=b ，()m m =+∈R c a b ，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹PB PC ⋅5−−+(1,3)=a (2,2)x x =−b x ∈R ⊥a b 6x =6x <||||||+=+a b a b 27x =角，则m =________.14.在ABC △中，2AB =，3AC =，A =3255AD AB AC =+，则AB 与AD 夹角的大小为________.15.如图，在平行四边形ABCD 中，已知M 是BC 中点，DE AM ⊥于E ，2AB AD =，cos DAB ∠=AB =a ，，以，为基底表示EC ，则EC =________.AD =b a b。

高三数学向量专题复习(高考题型汇总及讲解)(1)

向量专题复习向量是高考的一个亮点，因为向量知识，向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视。

一、平面向量加、减、实数与向量积（一）基本知识点提示1、重点要理解向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量、反向量、相等向量、两向量的夹角等概念。

2、了解平面向量基本定理和空间向量基本定理。

3、向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。

4、向量形式的三角形不等式：｜｜a ｜-｜b ｜｜≤｜a ±b ｜≤｜a ｜+｜b ｜(试问：取等号的条件是什么?)；向量形式的平行四边形定理：2（｜a ｜2+｜b ｜2）=｜a －b ｜2+｜a +b ｜25、实数与向量的乘法（即数乘的意义）实数λ与向量的积是一个向量，记λ，它的长度与方向规定如下：(1)｜λa ｜=｜λ｜²｜a ｜;(2)当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ=0时，λ=,方向是任意的.6、共线向量定理的应用：若≠，则∥⇔存在唯一实数对λ使得=λ⇔x 1y 2-x 2y 1=0(其中=（x 1，y 1），=（x 2，y 2）) （二）典型例题例1、O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足).,0[||||+∞∈++=λλAC AB 则P 的轨迹一定通过△ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心+是在∠BAC 的平分线上，∴选B例2、对于任意非零向量与，求证：｜｜｜-｜｜｜≤｜±｜≤｜｜+｜｜证明：(1)两个非零向量与不共线时，+的方向与，的方向都不同，并且｜｜-｜｜＜｜±｜＜｜｜+｜｜(3)两个非零向量a 与b 共线时，①a 与b 同向，则a +b 的方向与a 、b 相同且｜a +b ｜=｜a ｜＋｜b ｜.②a 与b 异向时，则a +b 的方向与模较大的向量方向相同，设|a |＞||，则|+|=||-||.同理可证另一种情况也成立。

高三向量专题复习(含知识点)有答案

状元堂测试试卷，则把向量AB 按向量a ＝（－1,3的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||AB AB )； 4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5．平行向量（也叫共线向量）、b 叫做平行向量，记作：a ∥b 提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；但两条直线平行不包含两条直线重合；（因为有0)；AB AC 、共线；：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

）若a b =，则a b =。

（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。

（）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。

（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。

（5,a b b c ==，则a c =。

（6）若//,//a b b c ，则//a c 。

其中正确的是日期： 2012- 时间：．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量(),a xi y j x y =+=，称的坐标表示。

如果向量的起点在原点是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1、2λ，使a =1λe 1＋2λ(1,1),a b ==(1,1),(1,2)c -=-c =______1322a b -）；）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是12(0,0),(1,2)e e ==- B. 12(1,2),(5,7)e e =-= 12(3,5),(6,10)e e == D. 1213(2,3),(,24e e =-=-（答：B ）；四．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作如下：()()1,2a a λλ=当λ>0时，λa 的方向与的方向相反，当λ＝0a λ=，注意：五．平面向量的数量积：两个向量的夹角：对于非零向量，b ，作,OA a OB b ==，AOB ∠称为向量a ，b 的夹角，当0时，a ，b 同向，当θ＝π2．平面向量的数量积，b ，它们的夹角为，我们把数量||||cos a b θ叫做，记作：a •b ，即a cos a b θ。

高三数学平面向量多选题复习题附解析

高三数学平面向量多选题复习题附解析一、平面向量多选题1．已知集合()(){}=,M x y y f x =,若对于()11,x y M ∀∈,()22,x y M ∃∈,使得12120x x y y +=成立,则称集合M 是“互垂点集”.给出下列四个集合:(){}21,1M x y y x ==+;(){2,M x y y ==;(){}3,xM x y y e ==;(){}4,sin 1M x y y x ==+.其中是“互垂点集”集合的为( )A ．1MB ．2MC ．3MD ．4M 【答案】BD【分析】根据题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥，结合函数图象即可判断．【详解】由题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥．在21y x =+的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '，所以1M 不是“互垂点集”集合；对y = 所以在2M 中的任意点()11,P x y ，在2M 中存在另一个P '，使得OP OP '⊥，所以2M 是“互垂点集”集合；在xy e =的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '，所以3M 不是“互垂点集”集合；对sin 1y x =+的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点，所以所以4M 是“互垂点集”集合，故选：BD ．【点睛】本题主要考查命题的真假的判断，以及对新定义的理解与应用，意在考查学生的数学建模能力和数学抽象能力，属于较难题．2．设点A ，B 的坐标分别为()0,1，()1,0，P ，Q 分别是曲线x y e =和ln y x =上的动点，记12,I AQ AB I BP BA =⋅=⋅，则下列命题不正确的是（）A ．若12I I =，则()PQ AB R λλ=∈ B ．若12I I =，则AP BQ =C ．若()PQ AB R λλ=∈，则12I I =D ．若AP BQ =，则12I I =【答案】ABD【分析】作出两个函数的图象，利用图象结合平面向量共线知识和平面向量数量积的几何意义分析可得答案.【详解】根据题意，在直线AB 上取点,P Q ''，且满足||||AP BQ ''=，过,P Q ''分别作直线AB 的垂线，交曲线x y e =于1P ，2P ，交曲线ln y x =于12,Q Q ，在曲线xy e =上取点3P ，使13||||AP AP =，如图所示：1||||cos I AQ AB AQ AB QAB =⋅=⋅∠，令||cos ||AQ QAB AQ '∠=，则1||||I AQ AB '=⋅，2||||cos I BP BA BP BA PBA =⋅=⋅∠，令||cos ||BP PBA BP '∠=，则2||||I BP BA '=⋅，若||||AP BQ ''=，则||||AQ BP ''=，若12I I =，则||||AQ BP ''=即可，此时P 可以与1P 重合，Q 与2Q 重合，满足题意，但是()PQ AB R λλ=∈不成立，且||||AP BQ ≠，所以A 、B 不正确；对于选项C ，若PQ AB =λ，此时P 与1P 重合，且Q 与1Q 重合，或P 与2P 重合，且Q 与2Q 重合，所以满足12I I =，所以C 正确；对于D ，当P 与3P 重合时，满足13||||AP AP =，但此时3P 在直线AB 上的投影不在P '处，因而不满足||||AQ BP ''=，即12I I ≠，所以D 不正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：利用图象结合平面向量共线知识和平面向量数量积的几何意义求解是解题关键.3．下列命题中真命题的是（）A ．向量a 与向量b 共线，则存在实数λ使a =λb （λ∈R ）B ．a ，b 为单位向量，其夹角为θ，若|a b -|＞1，则3π＜θ≤πC ．A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，若AB •AC =0，AC •AD =0，AB •AD =0则△BCD 一定是锐角三角形D ．向量AB ，AC ，BC 满足AB AC BC =+，则AC 与BC 同向【答案】BC【分析】对于A ：利用共线定理判断对于B ：利用平面向量的数量积判断对于C ：利用数量积的应用判断对于D ：利用向量的四则运算进行判断【详解】对于A ：由向量共线定理可知，当0b =时，不成立.所以A 错误.对于B ：若|a b -|＞1，则平方得2221a a b b -⋅+＞，即12a b ⋅＜，又1||2a b a b cos cos θθ⋅=⋅=＜，所以3π＜θ≤π，即B 正确. 对于C ：()()220BC BD AC AB AD AB AC AD AC AB AB AD AB AB ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+=＞，0||BC BDcosB BC BD ⋅=⋅＞，即B 为锐角，同理A ，C 也为锐角，故△BCD 是锐角三角形，所以C 正确.对于D ：若AB AC BC =+，则AB AC BC CB -==，所以0CB =，所以则AC 与BC 共线，但不一定方向相同，所以D 错误.故选：BC.【点睛】（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证；（2）要判断一个命题错误，只需举一个反例就可以；要证明一个命题正确，需要进行证明.4．下列说法中错误的为（）A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||aD ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60°【答案】ACD【分析】由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解.【详解】对于A ，∵(1,2)a =，(1,1)b =，a 与a b λ+的夹角为锐角，∴()(1,2)(1,2)a a b λλλ⋅+=⋅++142350λλλ=+++=+>，且0λ≠(0λ=时a 与a b λ+的夹角为0)，所以53λ>-且0λ≠，故A 错误；对于B ，向量12(2,3)4e e =-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误；对于D ，因为|||a a b =-∣，两边平方得||2b a b =⋅，则223()||||2a a b a a b a ⋅+=+⋅=， 222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+⋅+=，故23||()32cos ,||||3||a a a b a a b a a b a a ⋅+<+>===+⋅∣，而向量的夹角范围为[]0,180︒︒，得a 与a b λ+的夹角为30°，故D 项错误.故错误的选项为ACD故选：ACD【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.5．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（） A ．//PB CQB ．2133BP BA BC =+ C ．0PA PC ⋅<D ．2S =【答案】BCD【分析】本题先确定B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，判断选项A 错误，选项C 正确；再通过向量的线性运算判断选项B 正确；最后求出2APQ S =△，故选项D 正确.【详解】解：因为20PA PC +=，2QA QB =，所以B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，如图：故选项A 错误，选项C 正确；因为()121333BP BA AP BA BC BA BA BC =+=+-=+，故选项B 正确；因为112223132APQ ABC AB h S S AB h ⨯⨯==⋅△△，所以，2APQ S =△，故选项D 正确. 故选：BCD【点睛】本题考查平面向量的线性运算、向量的数量积、三角形的面积公式，是基础题.6．设O ，A ，B 是平面内不共线的三点，若()1,2,3n OC OA nOB n =+=，则下列选项正确的是（）A ．点1C ，2C ，3C 在同一直线上B ．123OC OC OC == C ．123OC OB OC OB OC OB ⋅<⋅<⋅D ．123OC OA OC OA OC OA ⋅<⋅<⋅【答案】AC【分析】利用共线向量定理和向量的数量积运算，即可得答案；【详解】()12212()C C OC OC OA OB OA OB OB =-=+-+=，()()233232C C OC OC OA OB OA OB OB =-=+-+=，所以1223C C C C =，A 正确. 由向量加法的平行四边形法则可知B 不正确. 21OC OA OC OA OA OB ⋅-⋅=⋅，无法判断与0的大小关系，而()21OC OB OA OB OB OA OB OB ⋅=+⋅=⋅+，()2222OC OB OA OB OB OA OB OB⋅=+⋅=⋅+，同理233OC OB OA OB OB ⋅=⋅+，所以C 正确，D 不正确.故选：AC .【点睛】本题考查向量共线定理和向量的数量积，考查逻辑推理能力、运算求解能力.7．下列说法中错误的为（）A ．已知()1,2a =，()1,1b =，且a 与a λb +的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．向量()12,3e =-，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭不能作为平面内所有向量的一组基底C ．若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为aD ．三个不共线的向量OA ，OB ，OC ，满足AB CA BA CB OA OB AB CA BA CB ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⋅+=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0CA BC OC CA BC ⎛⎫ ⎪=⋅+= ⎪⎝⎭，则O 是ABC 的内心【答案】AC【分析】对于A ，由向量的交角为锐角的等价条件为数量积大于0，且两向量不共线，计算即可；对于B ，由124e e =，可知1e ，2e 不能作为平面内所有向量的一组基底；对于C ，利用向量投影的定义即可判断；对于D ，由0AB CA OA AB CA ⎛⎫ ⎪⋅+= ⎪⎝⎭，点O 在角A 的平分线上，同理，点O 在角B 的平分线上，点O 在角C 的平分线上，进而得出点O 是ABC 的内心.【详解】对于A ，已知()1,2a =，()1,1b =，且a 与a λb +的夹角为锐角，可得()0a a b λ+>⋅，且a 与a λb +不共线，()1,2a λb λλ+=++，即有()1220λλ++⨯+>，且()212λλ⨯+≠+，解得53λ>-且0λ≠，则实数λ的取值范围是53λ>-且0λ≠，故A 不正确；对于B ，向量，，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 124e e =，∴向量1e ，2e 不能作为平面内所有向量的一组基底，故B 正确；对于C ，若a b ，则a 在b 上的投影为a ±，故C 错误；对于D ，AB CAAB CA +表示与ABC 中角A 的外角平分线共线的向量，由0AB CA OA AB CA ⎛⎫ ⎪⋅+= ⎪⎝⎭，可知OA 垂直于角A 的外角平分线，所以，点O 在角A 的平分线上，同理，点O 在角B 的平分线上，点O 在角C 的平分线上，故点O 是ABC 的内心，D 正确.故选：AC.【点睛】本题考查了平面向量的运算和有关概念，具体包括向量数量积的夹角公式、向量共线的坐标表示和向量投影的定义等知识，属于中档题.8．若平面向量,,a b c 两两夹角相等，,a b 为单位向量，2c =，则a b c ++=（） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】AD【分析】由平面向量,,a b c 两两夹角相等可知，夹角为0︒或120︒.分两种情况对三个向量的和的模长进行讨论，算出结果.【详解】平面向量,,a b c 两两夹角相等， ∴两两向量所成的角是0︒或120︒.当夹角为0︒时，,,a b c 同向共线，则4a b c ++=；当夹角为120︒时，,a b 为单位向量，1a b ∴+= ，且a b +与c 反向共线，又2c =，1a b c ∴++=.故选：AD.【点睛】本题考查了平面向量共线的性质，平面向量的模的求法，考查了分类讨论的思想，属于中档题.9．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是(3,7),(4,6),(1,2)A B C -．则第四个顶点的坐标为（）A ．(0,1)-B ．(6,15)C ．(2,3)-D ．(2,3) 【答案】ABC【分析】设平行四边形的四个顶点分别是(3,7),(4,6),(1,2),(,)A B C D x y -，分类讨论D 点在平行四边形的位置有：AD BC =，AD CB =，AB CD =，将向量用坐标表示，即可求解.【详解】第四个顶点为(,)D x y ，当AD BC =时，(3,7)(3,8)x y --=--，解得0,1x y ==-，此时第四个顶点的坐标为(0,1)-；当AD CB =时，(3,7)(3,8)x y --=，解得6,15x y ==，此时第四个顶点的坐标为(6,15)；当AB CD =时，(1,1)(1,2)x y -=-+，解得2,3x y ==-，此时第四个项点的坐标为(2,3)-．∴第四个顶点的坐标为(0,1)-或(6,15)或(2,3)-．故选:ABC .【点睛】本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标，考查分类讨论思想，属于中档题.10．对于菱形ABCD ，给出下列各式，其中结论正确的为（）A ．AB BC =B ．AB BC = C ．AB CD AD BC -=+D ．AD CD CD CB +=-【答案】BCD 【分析】由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解. 【详解】菱形中向量AB 与BC 的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以B 结论正确，A 结论错误；因为2AB CD AB DC AB -=+=，2AD BC BC +=，且AB BC =，所以AB CD AD BC -=+，即C 结论正确；因为AD CD BC CD BD +=+=， ||||CD CB CD BC BD -=+=，所以D 结论正确.故选：BCD【点睛】本题主要考查了向量加法、减法的运算，菱形的性质，属于中档题.。

高中高考数学专题复习平面向量含试题与详细解答

高中高考数学专题复习平面向量含试题与详细解答1．平面上有一个△ABC 和一点O ，设OA a =，OB b =,OC c =，又OA 、BC 的中点分别为D 、E ，则向量DE 等于（）A.()12a b c ++ B. ()12a b c -++ C. ()12a b c -+ D. ()12a b c +-2．在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是CD 和BC 的中点，若AF AE AC μλ+=，其中R ∈μλ,，则μλ+的值是 A ．34 B ．1 C ． 32 D. 31 3．若四边形ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，且AB a =，AD b =，则BE = A.12b a +B.12a b + Ｃ.12b a - Ｄ.12a b -4．在平面内，已知31==，0=⋅OB OA ，30=∠AOC ，设n m +=，（,R m n ∈），则nm等于A ．B ．3±C ．13±D ．3±5．在等腰Rt ABC △中，90A ∠=，(1,2),(,)(0)AB AC m n n ==>，则BC = ( ） A ．（-3，-1）B ．（-3,1）C ．(3,1)-D ．（3,1）6．已知,,A B C 三点共线，且(3,6)A -，(5,2)B -，若C 点横坐标为6，则C 点的纵坐标为（）．A ．13-B ．9C ．9-D ．137．设a 、b 、c 是非零向量，则下列说法中正确．．是 A ．()()a b c c b a ⋅⋅=⋅⋅ B. a b a b -≤+C ．若a b a c ⋅=⋅，则b c =D ．若//,//a b a c ，则//b c 8．设四边形ABCD 中，有DC =21，且||=|BC |，则这个四边形是 A.平行四边形B.等腰梯形C. 矩形D.菱形9．已知()()0,1,2,3-=-=，向量+λ与2-垂直，则实数λ的值为( ). A.17-B.17C.16- D.1610．若点M 为ABC ∆的重心，则下列各向量中与共线的是（） A ．++ B ．++ C ．AC AM +3 D ．CM BM AM ++11．若|a |=|b |=|a －b|,则b 与a +b 的夹角为（）A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°12．已知()23,a =,47(,)b =-,则b 在a 上的投影为（）（A）(B)13．R t t ∈+===,),20cos ,20(sin ,)25sin ,25(cos 0000，则||的最小值是 A. 2 B.22C. 1D. 2114．矩阵A 1002⎛⎫=⎪⎝⎭，向量12α⎛⎫= ⎪⎝⎭，则A 10α= （） A ．1012⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1112⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．2060⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1122⎛⎫⎪⎝⎭15．如图，A 、B 分别是射线OM ON ，上的两点，给出下列向量：①OA OB +；②1123OA OB +；③3143OA OB +； ④3145OA OB +；⑤3145OA OB -.这些向量中以O 为起点，终点在阴影区域内的是( )A ．①②B ．①④C ．①③D ．⑤16．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于( ) A. B. C. D.17．已知O 为空间内任意一点，P 为ABC ∆所在平面内任意一点，且2OP OA OB mCO =++ 则m 的值为( )A 、 2B 、2-C 、3D 、 3-18．设向量(cos25,sin 25),(sin 20,cos20)a b =︒︒=︒︒，若c a t b =+（t ∈R ），则()2c 的最小值为（）A.2B.1C.22 D.2119．已知20()OA x OB x OC x R ⋅+⋅-=∈，其中,,A B C 三点共线，O 是线外一点，则满足条件的x （）A ．不存在B ．有一个C ．有两个D ．以上情况均有可能 20．平面直向坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1） B （－1，3）若点C 满足OC OA OB αβ=+，其中α β∈R 且α+β=1，则点C 的轨迹方程为。

高考数学复习典型题型专题讲解与练习54 空间向量及其线性运算

高考数学复习典型题型专题讲解与练习专题54 空间向量及其线性运算题型一空间向量共线的判定1．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP mOA nOB =+，其中m ＋n ＝1，则（） A ．P ∈AB B ．P ∉ABC ．点P 可能在直线AB 上D ．以上都不对【答案】A【解析】因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ，所以(1)OP n OA nOB =-+，即()OP OA n OB OA -=-，即AP nAB =，所以AP 与AB 共线．又AP ，AB 有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上，即P ∈AB . 故选：A.2．满足下列条件，能说明空间不重合的A 、B 、C 三点共线的是( ) A ．AB BC AC +=B ．AB BC AC -= C ．AB BC =D ．AB BC = 【答案】C【解析】对于空间中的任意向量，都有 AB BC AC +=，说法A 错误；若AB BC AC -=，则AC BC AB +=，而AC CB AB +=，据此可知BC CB =，即,B C 两点重合，选项B错误；AB BC=，则A、B、C三点共线，选项C正确；AB BC=，则线段AB的长度与线段BC的长度相等，不一定有A、B、C三点共线，选项D错误；本题选择C选项.3．AB与CD共线是直线AB∥CD的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据向量共线的定义，可知若AB与CD共线，则它们所在的直线可能平行，也可能重合；若AB∥CD，则AB与CD共线；根据充分条件和必要条件的概念，可知AB与CD共线是直线AB∥CD的必要不充分条件，故选B4．在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，请判断EF与AD BC+是否共线.【答案】证明见解析.【解析】解：连接AC，取AC的中点G，连接EG、FG，∵E、F分别为AB、CD的中点.∴11,22GF AD EG BC ==.又∵E、F、G三点共面，∴1()2EF GF EG AD BC=+=+，即EF与AD BC+共线.5．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且112A E ED =，F 在对角线A 1C 上，且123A F FC =，求证：E ，F ，B 三点共线.【答案】证明见解析.【解析】设1,,AB a AD b AA c ===， ∵112A E ED =，123A F FC =，∴11123A E A D =，1125A F AC =，而11A D AD b == ∴123A E b =，111222()()()555A F AC AA AB AD AA a b c =-=+-=+-. ∴1122()53EF A F A E a b c =-=--,又1123EB EA A A AB a b c =++=--, ∴25EF EB =，即E ，F ，B 三点共线. 题型二由空间向量共线求参数值6．已知非零向量324a m n p =--，(1)82b x m n y p =+++，且m 、n 、p 不共面．若//a b ，则x y +=（）．A ．13-B ．5-C ．8D ．13 【答案】 B【解析】//a b 且0a ≠，∴b a λ=，即(1)82324x m n y p m n p λλλ+++=--，又m 、n 、p 不共面，∴138224x y λλλ+=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，解得13x =-，8y =，5x y +=-.故选：B .7．在四面体ABCD 中,E,F 分别是棱BC,AD 的中点,设AB =a,AC =b,AD =c,且EF =xa+yb+zc,则x,y,z 的值分别为( ) A ．-12,-11,22B ．-11,22,-12C ．11,22,-12D ．12,-11,22【答案】A【解析】根据题意，画出图形如下图所示：由图可知1122EF EC CD DFBC CD AD =++=+- ()1122111222AC AB AD AC AD AB AC AD =-+--=-+111222a b c =--+ 所以111,,222x y z =-=-= 所以选A8．设1e ,2e 是两个不共线的空间向量，若122AB e ke =-，1233CB e e =+，12CD ke e =+，且,,A B D 三点共线，则实数k 的值为_______．【答案】4或-1【解析】因为,,A B D 三点共线，所以存在实数λ使得12 2AB BD AB e ke λ==-，()1232BD CD CB k e e =-=--，()232k k λλ⎧=-⎨-=-⎩所以2340k k --=，解得1k =-或4. 题型三空间向量共面的判定9．A ，B ，C 不共线，对空间内任意一点O ，若311488OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点（）A ．不共面B ．共面C ．不一定共面D ．无法判断是否共面【答案】B【解析】因为311488OP OA OB OC =++，所以()()()6OP OA OB OP OC OP -=-+-，86OP OA OB OC =++， 6AP PB PC=+，即1166AP PB PC =+，故P ，A ，B ，C 四点共面，故选：B10．已知空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，下列能得到P 、A 、B 、C 四点共面的是（）A ．OP OA OB OC =++B ．111333OP OA OB OC =++ C ．1122OP OA OB OC =-++D ．以上都不对【答案】B【解析】设OP xOA yOB zOC =++且1x y z ++=，则()1OP xOA yOB x y OC =++--，()()OP OC x OA OC y OB OC ∴-=-+-，则CP xCA yCB =+，所以，CP 、CA 、CB 为共面向量，则P 、A 、B 、C 四点共面. 对于A 选项，OP OA OB OC =++，11131++=≠，P 、A 、B 、C 四点不共面；对于B 选项，111333OP OA OB OC =++，1111333++=，P 、A 、B 、C 四点共面；对于C 选项，1122OP OA OB OC =-++，1110122-++=≠，P 、A 、B 、C 四点不共面. 故选：B.11．,,,A B C D 是空间四点，有以下条件： ①11OD OA OB OC 23=++； ②111234OD OA OB OC =++；③111OD OA OB OC 235=++； ④111OD OA OB 236OC =++，能使,,,A B C D 四点一定共面的条件是______ 【答案】④【解析】对于④111OD OA OB 236OC =++，1111236++=，由空间向量共面定理可知,,,A B C D 四点一定共面，①②③不满足共面定理的条件. 故答案为：④12．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足111333OM OA OB OC =++.（1）判断MA ，MB ，MC 三个向量是否共面；（2）判断点M 是否在平面ABC 内.【答案】（1）,,MA MB MC 共面；（2）点M 在平面ABC 内. 【解析】（1）由题意，知：3OM OA OB OC =++，∴()()OA OM OM OB OM OC -=-+-，即MA BM CM MB MC =+=--，故,,MA MB MC 共面得证.（2）由（1）知：,,MA MB MC 共面且过同一点M . 所以,,,M A B C 四点共面，从而点M 在平面ABC 内.13．如图所示，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM=13BD ，AN=13AE.求证:向量MN CD DE ，，共面.【答案】证明见解析【解析】因为M 在BD 上，且13BM BD =，所以111333MB DB DA AB ==+. 同理1133AN AD DE =+. 所以MN MB BA AN =++ =1133DA AB ++BA +1133AD DE +=21213333BA DE CD DE +=+.又CD 与DE 不共线，根据向量共面的充要条件可知MN CD DE ，，共面. 题型四由空间向量共面求参数值14．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，都有1133OM xOA OB OC =++，则x 的值是A ．1B ．0C ．3D ．13【答案】D【解析】因为1133OM xOA OB OC =++，且,,,M A B C 四点共面，所以必有11133x ++=，解得13x =，故选D ． 15．O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且3148OP OA OB tOC =++，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t ＝______．【答案】18【解析】P ，A ，B ，C 四点共面，且3148OP OA OB OC t =++，31148t ++=，解得18t =. 故答案为: 1816．已知P 为空间中任意一点，A 、B 、C 、D 四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且4136PA x P DB PB C →→→=-+，则实数x 的值为_________.【答案】13【解析】414131()363626PA PC PC P PB x DB PB x PB PD P P C B x D →→→→→→→→→→→=-+=-+-=--，又∵P 是空间任意一点，A 、B 、C 、D 四点满足任三点均不共线，但四点共面， ∴31126x --=，解得 x =13，故答案为：13题型五空间共线向量定理的推论及应用17．(多选)若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP =m OA +n OB ，其中m+n=1，则结论正确的有（）A ．P ∈直线AB B ．P ∉直线ABC ．O ，A ，B ，P 四点共面D ．P ，A ，B 三点共线【答案】ACD【解析】解:因为1m n +=，所以1m n =-，所以OP =()1OA B n n O -⋅+⋅，即OP OA -=n (OB OA -)，即AP =n AB ，所以AP AB 与共线.又AP AB ，有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上，即P ∈直线AB. 因为OP =m OA +n OB ，故O ，A ，B ，P 四点共面. 故答案为：ACD18．已知M ，N 分别是四面体OABC 的校OA ，BC 的中点，点P 在线段MN 上，且2MP PN =，设向量OA a =，OB b =，OC c =，则OP =______(用{},,a b c 表示)【答案】111633OP a b c =++【解析】OP ON NP =+，1()2ON OB OC =+，13NP NM =，NM OM ON =-，12OM OA =．∴OP ON NP =+13ON NM =+1()3ON OM ON =+-2133ON OM =+2111()3232OB OC OA =⨯++⨯111633OA OB OC =++111633a b c =++．故答案为：111633OP a b c =++19．已知P 和不共线三点A,B,C,四点共面且对于空间任意一点O ，都有OP =2OA OB OC λ++，则λ＝________.【答案】－2【解析】由四点共面的充分必要条件可得：211λ++=，解得：2λ=-.故答案为2-．20．已知324,(1)82a m n p b x m n yp =--=+++，0a ≠，若//a b ，求实数,x y 的值.【答案】13,8x y =-=【解析】∵//a b ∴()324182m n p x m n yp λ⎡⎤--=+++⎣⎦，∴()13,82,24x y λλλ+==-=-，∴13,8x y =-=.题型六空间共面向量定理的推论及应用21．已知O 为空间任意一点，若311488OP OA OB OC =++，则,,,A B C P 四点（）A ．一定不共面B ．一定共面C ．不一定共面D ．无法判断【答案】B【解析】由空间向量共面定理的推论若aOA bOB cOC OP =++，满足1a b c ++=，则,,,A B C P 四点共面，311488OP OA OB OC =++，而3111488++=，故,,,A B C P 四点共面.故选：B.22．如图，正四面体ABCD 的棱长为1，BCD △的中心为O ，过点O 的平面a 与棱AB ，AC ，AD ，BD ，CD 所在的直线分别交于P ，Q ，R ，S ，T ，则111AP AQ AR ++=（）A ．52B ．3C ．133D ．4 【答案】B 【解析】因为O 为BCD △的中心，所以()13AO AB AC AD =++，设AP x =，AQ y =，AR z =，所以111333AO AP AQ AR x y z=++．因为O ，P ，Q ，R 四点共面，所以1111333x y z ++=，即1113x y z++=，1113AP AQ AR ++=. 故选：B.23．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M ，A ，B ，C 共面的是（）A ．OM OA OB OC =++B ．2OM OA OB OC =--C ．1123OM OA OB OC =++D ．111333OM OA OB OC =++【答案】D【解析】设OM xOA yOB zOC =++，若点M 与点,,A B C 共面，则1x y z ++=，只有选项D 满足.故选：D.24．空间A B C D 、、、四点共面，但任意三点不共线，若P 为该平面外一点且5133PA PB xPC PD =--，则实数x 的值为（） A ．13B ．13-C ．23D ．23-【答案】A【解析】因为空间A B C D 、、、四点共面，但任意三点不共线，对于该平面外一点P 都有5133PA PB xPC PD =--，所以51133x --=，解得13x =. 故选A。

数学高考复习空间向量及其运算专题训练(含答案)

数学2021届高考复习空间向量及其运算专题训练（含答案）空间中具有大小和方向的量叫做空间向量，下面是空间向量及其运算专题训练，请考生及时练习。

一、选择题1.以下四个命题中正确的是().A.空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B.若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{a+b，b+c，c+a}构成空间向量的另一组基底C.ABC为直角三角形的充要条件是=0D.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底解析若a+b、b+c、c+a为共面向量，则a+b=(b+c)+(c+a)，(1)a=(1)b+(+)c，，不可能同时为1，设1，则a=b+c，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量基底矛盾.答案 B2.若向量a=(1,1，x)，b=(1,2,1)，c=(1,1,1)，满足条件(ca)(2b)=2，则x= ().A.4B.2C.4D.2解析 a=(1,1，x)，b=(1,2,1)，c=(1,1,1)，ca=(0,0,1x)，2b=(2,4,2).(ca)(2b)=2(1x)=2，x=2.答案 D3.若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是().A.{a，a+b，ab}B.{b，a+b，ab}C.{c，a+b，ab}D.{a+b，ab，a+2b}解析若c、a+b、ab共面，则c=(a+b)+m(ab)=(+m)a+(m)b，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a+b，ab可构成空间向量的一组基底.答案 C4.如图所示，已知空间四边形OABC，OB=OC，且AOB=AOC=，则cos〈，〉的值为().A.0B.C. D.解析设=a，=b，=c，由已知条件〈a，b〉=〈a，c〉=，且|b|=|c|，=a(cb)=acab=|a||c||a||b|=0，cos〈，〉=0.答案 A5.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若=a，=b，=c，则下列向量中与相等的向量是().A.a+b+cB.a+b+cC.ab+cD.ab+c解析 =+=+()=c+(ba)=a+b+c.答案 A.如图，在大小为45的二面角AEFD中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是()A.B.C.1D.解析 =++，||2=||2+||2+||2+2+2+2=1+1+1=3，故||=.答案 D 二、填空题R，向量，且，则解析 .答案8. 在空间四边形ABCD中，++=________.解析如图，设=a，=b，=c，++=a(cb)+b(ac)+c(ba)=0.答案 0.已知ABCDA1B1C1D1为正方体，(++)2=32;()=0;向量与向量的夹角是60正方体ABCDA1B1C1D1的体积为||.其中正确命题的序号是________.解析由，，，得(++)2=3()2，故正确;中=，由于AB1A1C，故正确;中A1B与AD1两异面直线所成角为60，但与的夹角为120，故不正确;中||=0.故也不正确.答案10.如图，空间四边形OABC中，OA=8，AB=6，AC=4，BC=5，OAC=45，OAB=60，则OA与BC所成角的余弦值等于________. 解析设=a，=b，=c.OA与BC所成的角为，=a(cb)=acab=a(a+)a(a+)=a2+aa2a=2416.cos ===.答案三、解答题.已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足=(++).(1)判断、、三个向量是否共面;(2)判断点M是否在平面ABC内.解 (1)由已知++=3 ，即=+=，，，共面.(2)由(1)知，，，共面且基线过同一点M，四点M，A，B，C共面，从而点M在平面ABC内..把边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，点O是原正方形的中心，求：(1)EF的长;(2)折起后EOF的大小.如图，以O点为原点建立空间直角坐标系Oxyz，则A(0，a,0)，B(a,0,0)，C0，a,0)，D0,0，a)，E0，a，a)，F(a，a,0).(1)||2=2+2+2=a2，|EF|=a.(2)=，=，=0a++a0=，||=，||=，cos〈，〉==，EOF=120..如图，已知M、N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，且G为AM上一点，且GMGA=13.求证：B、G、N三点共线.证明设=a，=b，=c，则=a+(a+b+c)=a+b+c，=a+b+c=.∥，即B、G、N三点共线..如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB、AD、CD的中点，计算：(1)(2)(3)EG的长;(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值.解设=a，=b，=c.则|a|=|b|=|c|=1，〈a，b〉=〈b，c〉=〈c，a〉=60，(1)==ca，=a，=bc，=(a)=a2ac=，(2)=(ca)(bc)=(bcabc2+ac)=;(3)=++=a+ba+cb=a+b+c，||2=a2+b2+c2ab+bcca=，则||=.(4)=b+c，=+=b+a，cos〈，〉==，由于异面直线所成角的范围是(0，90]，所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.空间向量及其运算专题训练及答案的全部内容就是这些，查字典数学网预祝考生可以取得优异的成绩。

河北师范大学附属中学高考数学平面向量及其应用专题复习(专题训练) 百度文库

一、多选题1．在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 2sin c A =，且02C <<π，4b =，则以下说法正确的是（）A ．3C π=B ．若72c =，则1cos 7B =C ．若sin 2cos sin A B C =，则ABC 是等边三角形D ．若ABC 的面积是4 2．在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，已知A ＝3π，a ＝7，则以下判断正确的是（）A ．△ABC 的外接圆面积是493π； B ．b cos C ＋c cos B ＝7；C ．b ＋c 可能等于16；D ．作A 关于BC 的对称点A ′，则|AA ′|的最大值是3．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，下列说法正确的有（） A ．::sin :sin :sin a b c A B C = B ．若sin 2sin 2A B =，则a b = C ．若sin sin A B >，则A B >D ．sin sin sin +=+a b cA B C4．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（）A ．1AB CE ⋅=- B ．0OE OC +=C ．3OA OB OC ++=D ．ED 在BC 方向上的投影为765．ABC 中，2AB =，30ACB ∠=︒，则下列叙述正确的是（） A ．ABC 的外接圆的直径为4.B ．若4AC =，则满足条件的ABC 有且只有1个 C ．若满足条件的ABC 有且只有1个，则4AC =D ．若满足条件的ABC 有两个，则24AC <<6．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，不解三角形，确定下列判断错误的是（）A ．B ＝60°，c ＝4，b ＝5，有两解 B ．B ＝60°，c ＝4，b ＝3.9，有一解C ．B ＝60°，c ＝4，b ＝3，有一解D ．B ＝60°，c ＝4，b ＝2，无解7．在RtABC 中，BD 为斜边AC 上的高，下列结论中正确的是（）A ．2AB AB AC B ．2BC CB AC C ．2ACAB BDD ．2BDBA BDBC BD8．ABC 中，4a =，5b =，面积53S =c =（） A 21B 61C 41D ．259．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()()()::9:10:11a b a c b c +++=，则下列结论正确的是（）A ．sin :sin :sin 4:5:6ABC = B ．ABC ∆是钝角三角形C ．ABC ∆的最大内角是最小内角的2倍D ．若6c =，则ABC ∆外接圆半径为87710．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列结论中正确的是（）A ．若a b >，则sin sin AB >B ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 是等腰三角形 C ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 是直角三角形D ．若2220a b c +->，则ABC 是锐角三角形 11．设a 为非零向量，下列有关向量||aa 的描述正确的是（） A ．||1||a a =B ．//||a a aC ．||a a a =D ．||||a a a a ⋅=12．已知实数m ，n 和向量a ，b ，下列说法中正确的是（） A ．()m a b ma mb -=- B ．()m n a ma na -=-C ．若ma mb =，则a b =D ．若()0ma na a =≠，则m n =13．设,a b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（） A ．若||||||a b a b +=-，则存在实数λ使得a b λ= B ．若a b ⊥，则||||a b a b +=-C ．若||||||a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影为||bD ．若存在实数λ使得a b λ=，则||||||a b a b +=-14．如图，46⨯的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量OA （以图中的格点O 为起点，格点A 为终点），则（）A ．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有11个B ．满足10OA OB -=B 共有3个C ．存在格点B ，C ，使得OA OB OC =+D ．满足1OA OB ⋅=的格点B 共有4个15．如果12,e e 是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中正确的是( ) A ．12(,),e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的所有向量B ．对于平面α内任一向量a ,使12,a e e λμ=+的实数对(,)λμ有无穷多个C ．若向量1112e e λμ+与2122e e λμ+共线,则有且只有一个实数λ,使得()11122122e e e e λμλλμ+=+D ．若存在实数,λμ使得120e e λμ+=,则0λμ==二、平面向量及其应用选择题16．已知圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=，点P 在直线3y x上，线段AB 为圆C的直径，则PA PB ⋅的最小值为（） A ．2B ．52C ．3D ．7217．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设S 为ABC ∆的面积，满足cos cos b A a B =，且角B 是角A 和角C 的等差中项，则ABC ∆的形状为（） A ．不确定 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形18．已知非零向量AB ，AC 满足0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，且1||||2AB AC AB AC =，则ABC ∆的形状是( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰（非等边）三角形D ．等边三角形19．a ，b 为单位向量，且27a b +=，则向量a ，b 夹角为（）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒20．已知点O 是ABC 内部一点，并且满足2350OA OB OC ++=，OAC 的面积为1S ，ABC 的面积为2S ，则12S S = A ．310 B ．38C ．25D ．42121．在△ABC 中，AB ＝a ，BC ＝b ，且a b ⋅>0，则△ABC 是（） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形22．在△ABC 中，M 是BC 的中点．若AB ＝a ，BC ＝b ，则AM ＝( ) A ．1()2a b + B ．1()2a b - C ．12a b + D ．12a b +23．在ABC ∆中||||AB AC AB AC +=-,3,4,AB AC ==则BC 在CA 方向上的投影为（）． A ．4B ．3C ．-4D ．524．已知向量OA 与OB 的夹角为θ，2OA =，1OB =，=OP tOA ，()1OQ t OB =-，PQ 在t t =0时取得最小值，则当0105t <<时，夹角θ的取值范围为（）A ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 25．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若1c =，45B =︒，3cos 5A =，则b 等于（） A ．35 B ．107C ．57D ．1426．题目文件丢失！27．如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10m 到位置D ，测得45BDC ∠=︒，则塔AB 的高是（单位：m ）（）A ．2B ．106C ．103D ．1028．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()()(23)a b c a c b ac +++-=+，则cos sin A C +的取值范围为A ．33)2B ．3(3) C ．3(3]2D ．3(3)229．已知向量(22cos 3m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是( )A ．关于直线12x π=对称B ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．周期为2πD ．()y f x =在,03π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 30．在ABC ∆中，下列命题正确的个数是（）①AB AC BC -=；②0AB BC CA ++=；③点O 为ABC ∆的内心，且()()20OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆为等腰三角形；④0AC AB ⋅>，则ABC ∆为锐角三角形．A ．1B ．2C ．3D ．431．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 满足()()1sin 2sin sin 2A ABC C A B +-+=--+，面积S 满足12S ≤≤，记a 、b 、c 分别为A 、B 、C 所对的边，则下列不等式一定成立的是（） A ．()8bc b c +> B ．()162ab a b +>C ．612abc ≤≤D ．1224abc ≤≤32．在ABC 中，AB AC BA BC CA CB →→→→→→⋅=⋅=⋅，则ABC 的形状为（）． A ．钝角三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．不确定33．ABC 中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ，C ∠的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，30B ∠=︒，ABC 的面积为32，那么b 等于（）A．12B．1C．22+ D．234．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,.a b c ，若cos 2aB c=，则ABC ∆一定是（） A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形35．ABC 中，5AB AC ==，6BC =，则此三角形的外接圆半径是（） A ．4B ．72C ．258D ．259【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题 1．AC 【分析】对于，利用正弦定理可将条件转化得到，即可求出；对于，利用正弦定理可求得，进而可得；对于，利用正弦定理条件可转化为，结合原题干条件可得，进而求得；对于，根据三角形面积公式求得，利解析：AC 【分析】对于A2sin sin A C A =，即可求出C ；对于B ，利用正弦定理可求得sin B ，进而可得cos B ；对于C ，利用正弦定理条件可转化为2cos a c B =，结合原题干条件可得B ，进而求得A B C ==；对于D ，根据三角形面积公式求得a ，利用余弦定理求得c ，进而由正弦定理求得R ．【详解】2sin c A =2sin sin A C A =，因为sin 0A ≠，故sin C =，因为(0,)2C π∈，则3C π=，故A 正确；若72c =，则由正弦定理可知sin sin c b C B =，则4sin sin 72b B Cc == 因为(0,)B π∈，则1cos 7B =±，故B 错误；若sin 2cos sin A B C =，根据正弦定理可得2cos a c B =，2sin c A =，即sin a A =sin 2cos A c B =，所以sin A B =，因为23A B C ππ+=-=，则23A B π=-，故2sin()3B B π-=，1sin 2B B B +=，即1sin 2B B =，解得tan B =3B π=，则3A π=，即3A B C π===，所以ABC 是等边三角形，故C 正确；若ABC的面积是1sin 2ab C =2a =，由余弦定理可得22212cos 416224122c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，即c = 设三角形的外接圆半径是R ，由正弦定理可得24sin c R C ===，则该三角形外接圆半径为2，故D 错误，故选：AC ．【点睛】本题考查正余弦定理的应用及同角三角函数的基本关系和两角和与差的三角公式，转化思想，计算能力，属于中档题．2．ABD 【分析】根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误．【详解】对于A ，设的外接圆半径为，根据正弦定理，可得，所以的外接圆面积是，故A 正确；对于B ，根据正弦定解析：ABD 【分析】根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误．【详解】对于A ，设ABC 的外接圆半径为R ，根据正弦定理2sin a R A =，可得3R =，所以ABC 的外接圆面积是2493S R ππ==，故A 正确；对于B ，根据正弦定理，利用边化角的方法，结合A B C π++=，可将原式化为2sin cos 2sin cos 2sin()2sin R B C R C B R B C R A a +=+==，故B 正确．对于C ，22(sin sin )2[sin sin()]3b c R B C R B B π+=+=+-114(cos )14sin()23B B B π=+=+14b c ∴+≤，故C 错误．对于D ，设A 到直线BC 的距离为d ，根据面积公式可得11sin 22ad bc A =，即sin bc Ad a=，再根据①中的结论，可得d =D 正确．故选：ABD. 【点睛】本题是考查三角恒等变换与解三角形结合的综合题，解题时应熟练掌握运用三角函数的性质、诱导公式以及正余弦定理、面积公式等．3．ACD 【分析】根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】对于A ，在，由正弦定理得，则，故A 正确；对于B ，若，则或，所以和不一定相等，故B 错误；对于C ，若，由正弦定理知，由于三角形中，大边对大角解析：ACD 【分析】根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】对于A ，在ABC ，由正弦定理得2sin sin sin a b cR A B C===，则::2sin :2sin :2sin sin :sin :sin a b c R A R B R C A B C ==，故A 正确；对于B ，若sin 2sin 2A B =，则A B =或2A B π+=，所以a 和b 不一定相等，故B 错误；对于C ，若sin sin A B >，由正弦定理知a b >，由于三角形中，大边对大角，所以A B >，故C 正确；对于D ，由正弦定理得2sin sin sin a b cR A B C===，则2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R CR B C B C ++==++，故D 正确.故选：ACD. 【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于基础题.4．BCD 【分析】以E 为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可. 【详解】由题E 为AB 中点，则，以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：所以，，解析：BCD 【分析】以E 为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可. 【详解】由题E 为AB 中点，则CE AB ⊥，以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：所以，123(0,0),(1,0),(1,0),3),(,)33E A B C D -，设123(0,),3),(1,),(,33O y y BO y DO y ∈==--，BO ∥DO ，所以3133y y -=-，解得：3y =，即O 是CE 中点，0OE OC +=，所以选项B 正确；32OA OB OC OE OC OE ++=+==，所以选项C 正确；因为CE AB ⊥，0AB CE ⋅=，所以选项A 错误；123(,)33ED =，(1,3)BC =，ED 在BC 方向上的投影为127326BC BCED +⋅==，所以选项D 正确.故选：BCD 【点睛】此题考查平面向量基本运算，可以选取一组基底表示出所求向量的关系，对于特殊图形可以考虑在适当位置建立直角坐标系，利于计算.5．ABD 【分析】根据正弦定理，可直接判断的对错，然后，，三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可．【详解】解：由正弦定理得，故正确；对于，，选项：如图解析：ABD 【分析】根据正弦定理，可直接判断A 的对错，然后B ，C ，D 三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可．【详解】解：由正弦定理得224sin sin30AB R ACB ===∠︒，故A 正确；对于B ，C ，D 选项：如图：以A 为圆心，2AB =为半径画圆弧，该圆弧与射线CD 的交点个数，即为解得个数．易知当122x =，或即4AC =时，三角形ABC 为直角三角形，有唯一解；当2AC AB ==时，三角形ABC 是等腰三角形，也是唯一解；当AD AB AC <<，即122x x <<，24x ∴<<时，满足条件的三角形有两个．故B ，D 正确，C 错误．故选：ABD ．【点睛】本题考查已知两边及一边的对角的前提下，三角形解得个数的判断问题．属于中档题．6．ABC 【分析】根据判断三角形解的个数的结论：若为锐角，当时，三角形有唯一解；当时，三角形有两解；当时，三角形无解：当时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解. 【详解】对于，因为为锐角且，所以三角解析：ABC 【分析】根据判断三角形解的个数的结论：若B 为锐角，当c b <时，三角形有唯一解；当sin c B b c <<时，三角形有两解；当sin c B b >时，三角形无解：当sin c B b =时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解. 【详解】对于A ，因为B 为锐角且45c b =<=，所以三角形ABC 有唯一解，故A 错误；对于B ，因为B 为锐角且sin 4 3.9c B b c ===<，所以三角形ABC 有两解，故B 错误；对于C ，因为B 为锐角且 sin 43c B b ==>=，所以三角形ABC 无解，故C 错误；对于D ，因为B 为锐角且sin 422c B b =⨯=>=，所以三角形ABC 无解，故D 正确. 故选：ABC. 【点睛】本题考查了判断三角形解的个数的方法，属于基础题.7．AD 【分析】根据向量的数量积关系判断各个选项的正误. 【详解】对于A ，，故A 正确；对于B ，，故B 错误；对于C ，,故C 错误；对于D ，, ,故D 正确. 故选：AD. 【点睛】本题考查三角形解析：AD 【分析】根据向量的数量积关系判断各个选项的正误. 【详解】对于A ，2cos AB AB AC AB AC A AB ACAB AC，故A 正确；对于B ，2cos cos CB CB AC CB AC C CB AC C CB ACCB AC，故B 错误；对于C ，2cos cos BD AB BD AB BD ABD AB BD ABD AB BDBDAB,故C 错误；对于D ，2cos BD BA BDBA BD ABD BA BDBD BA,2cos BD BC BDBC BD CBD BC BDBD BC,故D 正确.故选：AD. 【点睛】本题考查三角形中的向量的数量积问题，属于基础题.8．AB 【分析】在中，根据，，由，解得或，然后分两种情况利用余弦定理求解. 【详解】中，因为，，面积，所以，所以，解得或，当时，由余弦定理得：，解得，当时，由余弦定理得：，解得所以或解析：AB 【分析】在ABC 中，根据4a =，5b =，由1sin 2ABCSab C ==60C =或120C =，然后分两种情况利用余弦定理求解.【详解】ABC 中，因为4a =，5b =，面积ABCS=所以1sin 2ABCSab C ==所以sin C =60C =或120C =，当60C =时，由余弦定理得：2222cos 21c a b ab C =+-=，解得c =当120C =时，由余弦定理得：2222cos 61c a b ab C =+-=，解得c =所以c =c =故选：AB 【点睛】本题主要考查三角形面积公式和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.9．ACD 【分析】先根据已知条件求得，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可. 【详解】因为所以可设：（其中），解得：所以，所以A 正确；由上可知：边最大，所以三角形中角最大，又，所以角为解析：ACD 【分析】先根据已知条件求得::4:5:6a b c =，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可. 【详解】因为()()()::9:10:11a b a c b c +++=所以可设：91011a b x a c x b c x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩（其中0x >），解得：4,5,6a x b x c x ===所以sin :sin :sin ::4:5:6A B C a b c ==，所以A 正确；由上可知：c 边最大，所以三角形中C 角最大，又222222(4)(5)(6)1cos 022458a b c x x x C ab x x +-+-===>⨯⨯ ，所以C 角为锐角，所以B 错误；由上可知：a 边最小，所以三角形中A 角最小，又222222(6)(5)(4)3cos 22654c b a x x x A cb x x +-+-===⨯⨯，所以21cos22cos 18A A =-=，所以cos2A cosC = 由三角形中C 角最大且C 角为锐角,可得：()20,A π∈，0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以2A C =，所以C 正确；由正弦定理得：2sin c R C =，又sin 8C ==所以2R =，解得：7R =，所以D 正确. 故选:ACD. 【点睛】本题考查了正弦定理和与余弦定理，属于基础题.10．AC 【分析】对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到，从而得到是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判解析：AC 【分析】对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到sin cos sin cos A A B B =，从而得到ABC 是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判断C 正确；对D ，首先根据余弦定理得到A 为锐角，但B ，C 无法判断，故D 错误. 【详解】对选项A ，2sin 2sin sin sin a b r A r B A B >⇒>⇒>，故A 正确；对选项B ，因为sin 2sin 2sin cos sin cos A B A A B B =⇒=所以A B =或2A B π+=，则ABC 是等腰三角形或直角三角形.故B 错误；对选项C ，因为cos cos a B b A c -=，所以()sin cos sin cos sin sin A B B A C A C -==+，sin cos sin cos sin cos cos sin A B B A A B A B -=+，sin cos cos sin B A A B -=，因为sin 0B ≠，所以cos 0A =，2A π=，ABC 是直角三角形，故③正确；对D ，因为2220a b c +->，所以222cos 02a b c A ab+-=>，A 为锐角.但B ，C 无法判断，所以无法判断ABC 是锐角三角形，故D 错误. 故选：AC 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时考查学三角函数恒等变换，属于中档题.11．ABD 【分析】首先理解表示与向量同方向的单位向量，然后分别判断选项. 【详解】表示与向量同方向的单位向量，所以正确，正确，所以AB 正确，当不是单位向量时，不正确，，所以D 正确. 故选：ABD解析：ABD 【分析】首先理解aa表示与向量a 同方向的单位向量，然后分别判断选项.【详解】a a 表示与向量a 同方向的单位向量，所以1aa =正确，//a a a 正确，所以AB 正确，当a 不是单位向量时，aa a=不正确，cos 0a a aa a a a a a a⋅==⨯=，所以D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题重点考查向量a a 的理解，和简单计算，应用，属于基础题型，本题的关键是理解a a表示与向量a 同方向的单位向量.12．ABD 【分析】根据向量数乘运算判断AB 选项的正确性，通过的特殊情况判断C 选项的正确性，根据向量运算判断D 选项的正确性. 【详解】根据向量数乘的运算可知A 和B 正确；C 中，当时，，但与不一定相等，解析：ABD 【分析】根据向量数乘运算判断AB 选项的正确性，通过m 的特殊情况判断C 选项的正确性，根据向量运算判断D 选项的正确性. 【详解】根据向量数乘的运算可知A 和B 正确；C 中，当0m =时，0ma mb ==，但a 与b 不一定相等，故C 不正确；D 中，由ma na =，得()0m n a -=，因为0a ≠，所以m n =，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】本小题主要考查向量数乘运算，属于基础题.13．AB 【分析】若，则反向，从而；若，则，从而可得；若，则同向，在方向上的投影为若存在实数使得，则共线，但是不一定成立. 【详解】对于选项A ，若，则反向，由共线定理可得存在实数使得；对于选解析：AB 【分析】若||||||a b a b +=-，则,a b 反向，从而a b λ=；若a b ⊥，则0a b ⋅=，从而可得||||a b a b +=-；若||||||a b a b +=+，则,a b 同向，a 在b 方向上的投影为||a若存在实数λ使得a b λ=，则,a b 共线，但是||||||a b a b +=-不一定成立. 【详解】对于选项A ，若||||||a b a b +=-，则,a b 反向，由共线定理可得存在实数λ使得a b λ=；对于选项B ，若a b ⊥，则0a b ⋅=，222222||2,||2a b a a b b a b a a b b +=+⋅+-=-⋅+,可得||||a b a b +=-；对于选项C ，若||||||a b a b +=+，则,a b 同向，a 在b 方向上的投影为||a ;对于选项D ，若存在实数λ使得a b λ=，则,a b 共线，但是||||||a b a b +=-不一定成立. 故选：AB. 【点睛】本题主要考查平面向量的性质及运算，明确向量的性质及运算规则是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.14．BCD 【分析】根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果．【详解】解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与是相反向量的共有 18个，故错，以为原点建立平面直角坐标系，，设，若，所以解析：BCD 【分析】根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果．【详解】解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有 18个，故A 错，以O 为原点建立平面直角坐标系，()1,2A ，设(,)B m n ，若10OA OB -=(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈，得(0,1)B -，(2,1)-，(2,1)-共三个，故B 正确．当(1,0)B ，(0,2)C 时，使得OA OB OC =+，故C 正确．若1OA OB ⋅=，则21m n +=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈，得(1,0)B ，(3,1)-，(1,1)-，(3,2)-共4个，故D 正确．故选：BCD ．【点睛】本题考查向量的定义，坐标运算，属于中档题．15．AD 【分析】根据平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的，选项B 不正确；对于选项C ，当两个向量均为时，有无数个,故不正确. 【详解】由平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的. 对于B,由平面向量基本解析：AD 【分析】根据平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的，选项B 不正确；对于选项C ，当两个向量均为0时，λ有无数个,故不正确.【详解】由平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的.对于B ,由平面向量基本定理可知,如果一个平面的基底确定, 那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，所以不正确；对于C ,当两向量的系数均为零,即12120λλμμ====时, 这样的λ有无数个，所以不正确. 故选:AD . 【点睛】本题考查平面向量基本定理的辨析，熟记并理解定理内容是关键，解题中要注意特殊值的应用，属于基础题.二、平面向量及其应用选择题16．B 【分析】将PA PB ⋅转化为2||2PC -，利用圆心到直线的距离求得||PC 的取值范围求得PA PB⋅的最小值. 【详解】()()()()PA PB PC CA PC CB PC CA PC CA ⋅=+⋅+=+⋅-2222||||||22PC CA PC =-=-≥-52=.故选B. 【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 17．D 【分析】先根据cos cos b A a B =得到,A B 之间的关系，再根据B 是,A C 的等差中项计算出B 的大小，由此再判断ABC 的形状. 【详解】因为cos cos b A a B =，所以sin cos sin cos =B A A B ，所以()sin 0B A -=，所以A B =，又因为2B A C B π=+=-，所以3B π=，所以3A B π==，所以ABC 是等边三角形.故选：D. 【点睛】本题考查等差中项以及利用正弦定理判断三角形形状，难度一般.（1）已知b 是,a c 的等差中项，则有2b a c =+；（2）利用正弦定理进行边角互化时，注意对于“齐次”的要求. 18．D 【分析】先根据0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，判断出A ∠的角平分线与BC 垂直，进而推断三角形为等腰三角形进而根据向量的数量积公式求得C ，判断出三角形的形状．【详解】解：0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，||AB AB ，||AC AC 分别为单位向量， A ∴∠的角平分线与BC 垂直， AB AC ∴=，1cos ||||2AB AC A AB AC ==，3A π∴∠=，3B C A π∴∠=∠=∠=，∴三角形为等边三角形．故选：D ．【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，三角形形状的判断．考查了学生综合分析能力，属于中档题． 19．C 【分析】首先根据题的条件27a b +=，得到2()7a b +=，根据a ，b 为单位向量，求得12a b ⋅=，进而求得向量夹角. 【详解】因为27a b +=，所以2()7a b +=，即22447a a b b +⋅+=，因为221a b ==，所以12a b ⋅=，所以1cos ,2a b <>=，因为向量a ，b 夹角的范围为[0,180]︒︒，所以向量a ，b 夹角的范围为60︒，故选：C. 【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的平方与向量模的平方是相等的，已知向量数量积求向量夹角，属于简单题目. 20．A 【解析】∵2350OA OB OC ++=，∴()()23OA OC OB OC +=-+．设AC 中点为M ，BC 中点为N ，则23OM ON =-, ∵MN 为ABC 的中位线，且32OM ON=， ∴36132255410OACOMCCMNABC ABC SSSS S ⎛⎫==⨯=⨯= ⎪⎝⎭，即12310S S =．选A ． 21．D 【分析】由数量积的定义判断B 角的大小，得三角形形状．【详解】由题意cos()0a b a b B π⋅=->，∴cos()0B π->，cos 0B ->，cos 0B <，又B 是三角形内角，∴2B ππ<<．∴ABC 是钝角三角形．故选：D ．【点睛】本题考查考查三角形形状的判断，解题关键是掌握数量积的定义．向量夹角的概念． 22．D 【分析】根据向量的加法的几何意义即可求得结果. 【详解】在ABC ∆中，M 是BC 的中点，又,AB a BC b ==，所以1122AM AB BM AB BC a b =+=+=+，故选D. 【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加法运算，属于简单题目. 23．C 【分析】先对等式AB AC AB AC +=-两边平方得出AB AC ⊥，并计算出BC CA ⋅，然后利用投影的定义求出BC 在CA 方向上的投影．【详解】对等式AB AC AB AC +=-两边平方得，222222AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅=+-⋅，整理得，0AB AC ⋅=，则AB AC ⊥，()216BC CA AC AB CA AC CA AB CA AC ∴⋅=-⋅=⋅-⋅=-=-，设向量BC 与CA 的夹角为θ，所以，BC 在CA 方向上的投影为16cos 44BC CA BC CA BC BC BC CACAθ⋅⋅-⋅=⋅===-⋅，故选C ．【点睛】本题考查平面向量投影的概念，解本题的关键在于将题中有关向量模的等式平方，这也是向量求模的常用解法，考查计算能力与定义的理解，属于中等题． 24．C【解析】【分析】根据向量的数量积运算和向量的线性表示可得，()()22254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++，根据二次函数的最值可得出012cos 54cos t θθ+=+，再由0105t <<，可求得夹角θ的取值范围.【详解】因为2cos OA OB θ⋅=，()1PQ OQ OP t OB tOA =-=--，()()22254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++，∵PQ 在t t =0时取得最小值，所以012cos 54cos t θθ+=+，又0105t <<，则12cos 1054cos 5θθ+<<+，得1cos 02θ-<<，∵0θπ≤≤，所以223ππθ<<，故选：C. 【点睛】本题考查向量的数量积运算和向量的线性表示，以及二次函数的最值和分式不等式的求解，关键在于由向量的模的平方等于向量的平方，得到关于角度的三角函数的不等式，属于中档题. 25．C 【分析】利用同角三角函数基本关系式可得sin A ，进而可得cos (cos cos sin sin )C A B A B =--，再利用正弦定理即可得出．【详解】解：3cos 5A =，(0,180)A ∈︒︒．∴4sin 5A =，34cos cos()(cos cos sin sin )(55C A B A B A B =-+=--=--=．sin C ∴= 由正弦定理可得：sin sin b cB C=，∴1sin 5sin 7c B b C ===．故选：C ．【点睛】本题考查了同角三角函数基本关系式、正弦定理、两角和差的余弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．26．无27．B 【分析】设塔高为x 米，根据题意可知在△ABC 中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x ，从而有BC=3x ，在△BCD 中，CD=10，∠BCD=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°，由正弦定理可求 BC ，从而可求x 即塔高．【详解】设塔高为x 米，根据题意可知在△ABC 中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x ，从而有x ，x ，在△BCD 中，CD=10，∠BCD=60°+30°+15°=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30° 由正弦定理可得，sin sin BC CDBDC CBD=可得，BC=10sin 45sin 30x ==.则；所以塔AB 的高是米；故选B ．【点睛】本题主要考查了正弦定理在实际问题中的应用，解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题，即正确建立数学模型，结合已知把题目中的数据转化为三角形中的数据，进而选择合适的公式进行求解． 28．A 【分析】先化简已知()()(2a b c a c b ac +++-=+得6B π=，再化简cos sin A C +)3A π+，利用三角函数的图像和性质求其范围.【详解】由()()(2a b c a c b ac +++-=+可得22()(2a c b ac +-=+，即222a cb +-=，所以222cos 22a cb B ac +-==，所以6B π=，56C A π=-，所以5cos sin cos sin()6A C A A π+=+-553cos sin cos cos sin cos )6623A A A A A A πππ=+-=+=+，又02A π<<，506A π<-2π<，所以32A ππ<<，所以25336A πππ<+<，所以3)62A π<+<，故cos sin A C +的取值范围为3)2．故选A ．【点睛】(1)本题主要考查余弦定理解三角形，考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)利用函数的思想研究数学问题，一定要注意“定义域优先”的原则，所以本题一定要准确计算出A 的范围32A ππ<<，不是02A π<<.29．D【详解】()22cos 2cos 2212sin(2)16f x x x x x x π=+=+=++，当12x π=时,sin(2)sin163x ππ+=≠±,∴f (x )不关于直线12x π=对称；当512x π=时,2sin(2)116x π++= ,∴f (x )关于点5(,1)12π对称； f (x )得周期22T ππ==，当(,0)3x π∈-时,2(,)626x πππ+∈-,∴f (x )在(,0)3π-上是增函数．本题选择D 选项. 30．B 【解析】【分析】利用向量的定义和运算法则逐一考查所给的命题是否正确即可得到正确命题的个数. 【详解】逐一考查所给的命题：①由向量的减法法则可知：AB AC CB -=，题中的说法错误；②由向量加法的三角形法则可得：0AB BC CA ++=，题中的说法正确； ③因为()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，即()0CB AB AC ⋅+=；又因为AB AC CB -=，所以()()0AB AC AB AC -⋅+=，即||||AB AC =，所以△ABC 是等腰三角形.题中的说法正确；④若0AC AB ⋅>，则cos 0AC AB A ⨯⨯>，据此可知A ∠为锐角，无法确定ABC ∆为锐角三角形，题中的说法错误．综上可得，正确的命题个数为2. 故选：B . 【点睛】本题主要考查平面向量的加法法则、减法法则、平面向量数量积的应用，由平面向量确定三角形形状的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 31．A 【分析】由条件()()1sin 2sin sin 2A A B C C A B +-+=--+化简得出1sin sin sin 8A B C =，设ABC ∆的外接圆半径为R ，根据12S ≤≤求得R 的范围，然后利用不等式的性质判断即可.【详解】ABC ∆的内角A 、B 、C 满足()()1sin 2sin sin 2A ABC C A B +-+=--+，即()()1sin 2sin sin 2A A B C A B C +-+++-=，即()()1sin 2sin sin 2A ABC A B C +--++-=⎡⎤⎣⎦，即()12sin cos 2sin cos 2A A ABC +-=，即()()12sin cos 2sin cos 2A B C A B C -++-=，即()()12sin cos cos 4sin sin sin 2A B C B C A B C --+==⎡⎤⎣⎦，1sin sin sin 8A B C ∴=，设ABC ∆的外接圆半径为R ，则2sin sin sin a b cR A B C===，[]2111sin 2sin 2sin sin 1,2224S ab C R A R B C R ==⨯⨯⨯=∈，2R ∴≤≤338sin sin sin abc R A B C R ⎡∴=⨯=∈⎣，C 、D 选项不一定正确；对于A 选项，由于b c a +>，()8bc b c abc ∴+>≥，A 选项正确；对于B 选项，()8ab a b abc +>≥，即()8ab a b +>成立，但()ab a b +>成立. 故选：A. 【点睛】本题考查了利用三角恒等变换思想化简、正弦定理、三角形的面积计算公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 32．B 【分析】根据向量运算可知三角形中中线与垂线重合，可知三角形为等腰三角形，即可确定三角形形状. 【详解】因为AB AC BA BC →→→→⋅=⋅，所以0AB AC BC →→→⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，即0AB CA CB →→→⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，所以在ABC 中，AB 与AB 边上的中线垂直，则CA CB →→=，同理0BC AC AB →→→⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，AC AB →→=，所以AC AB CB →→→==，ABC 是等边三角形．故选：B 【点睛】本题主要考查了向量的数量积，向量垂直，考查了运算能力，属于中档题. 33．B 【分析】由题意可得2b a c =+，平方后整理得22242a c b ac +=-，利用三角形面积可求得ac 的值，代入余弦定理可求得b 的值. 【详解】解：∵a ，b ，c 成等差数列， ∴2b a c =+，平方得22242a c b ac +=-，①又ABC 的面积为32，且30B ∠=︒，由11sin sin 3022ABC S ac B ac ==⋅︒△1342ac ==，解得6ac =，代入①式可得222412a c b +=-，由余弦定理得222cos 2a c b B ac +-=，22241231226122b b b ---===⨯，解得24b =+，∴1b =+ 故选：B . 【点睛】本题考查等差数列的性质和三角形的面积公式，涉及余弦定理的应用，属于中档题. 34．A 【分析】利用余弦定理化角为边，得出c b ABC =，是等腰三角形．【详解】ABC ∆中，c cos 2a B c =，由余弦定理得，2222a c b cosB ac+-=， ∴22222a a c b c ac +-= 220c b ∴-= ，∴c b ABC =，是等腰三角形．【点睛】本题考查余弦定理的应用问题，是基础题． 35．C 【分析】在ABC 中，根据5AB AC ==，6BC =，由余弦定理求得7cos 25A =，再由平方关系得到sin A ，然后由正弦定理2sin BCR A=求解. 【详解】在ABC 中，5AB AC ==，6BC =，由余弦定理得：2222225567cos 225525AB AC BC A AB AC +-+-===⋅⨯⨯，所以24sin 25A ==，。

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（ 4）设 a ( x1, y1 ) ， b (x2, y2 ) ，向量平行 a// b x1y2 x2 y1 ；
（ 5）设两个非零向量 a (x1, y1) ， b ( x2, y 2) ，则 a b x1x2 y1 y2 ，
所以 a b a b 0 x1x2 y1 y2 0 ；
（ 6）若 a ( x, y) ，则 a
?????????
?????????
???|? ?????+??| ???|? ?????）??（λ＞0 ），
则
ABC 的外心一定在满足条件
的 P 点集合中；
7. 已知 O 是锐角三角形 △ ABC 的外接圆的圆心
，
且 ∠A= ，
6
若 ???????????????????????+??????????????????????????=?
变式训练： 1.已知向量 ????= （ -1 ， -2 ）， ????= （ 1 ， λ），若 ????， ????的夹角为钝角，则 λ的取值范围是 _____________ 2.在 △ ABC 中， |AB|=5 ， |AC|=6 ，若 B=2 C，则向量 ??????在?????????上???的投影是 _________
存在 OP OM x MA y MB mOM n OA OB ，其中 m n ＝ _____________
例 1 .下列命题：
① 若????与 ???共线，则存在唯一的实数 λ，使????=λ????；
② 若向量 ???、 ????所在的直线为异面直线，则向量 ????、 ???一定不共面；
x2 y2 ；
（ 7）定比分点：设点 P 是直线 p1 , p2 上异于 p1, p2 的任意一点，若存在一个实数，使
P1P PP2 ，则叫做点 P 分有向线段 P1P2 所成的比， P 点叫做有向线段 P1P2 的以定比
为的定比分点；当 P 分有向线段 P1P2 所成的比为 1
② 动点
P
满足
??????=?????????+??λ? （|?????????|???+?
?????????
|???|?）（λ＞0），
则
ABC 的内心一定在满足条件的
P 点集合
中；
③ 动点 P 满足 ??????=????????+??λ? （|?????|??????????????+??|?????|??????????????）??（λ＞0），则 ABC 的重心一定在满足条件的
其中正确的命题有 ________________（__填序号）
.
.
..
.
.
..
例 2.已知向量 ????，
???夹角为
??
3，
|????|=2 ，
对任意
x∈R，
有|????+ x???| ≥??｜?- ???|，
则|t ???-????|+| t ????- ???|（ t
2
∈ R）的最小值是 ______________
并根据这些点确定对应的定比
，应明确 ( x, y) ， ( x1, y1) 、 ( x2 , y2 ) 的意义，即分别为分点，
在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，
x x1 x2 2
.当
1 时，就得到线段 P1P2 的中点公式 y y1 y2 .
2
② 的符号与分点 P 的位置之间的关系：
（ 1）平面向量分解定理：如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面
内的任意向量 a ，有且只有一对实数 1、 2 ，使 a 1e1 2 e2 成立，我们把不共线的向量 e1 、 e2 叫做这一平面内所有向量的一组基底。
（ 2） O 为平面任意一点， A、B、C 为平面另外三点，则 A、 B、C 三点共线
（ 5）向量数量积的应用：设两个非零向量 a 、 b ，其夹角为，则 cos
ab
，
ab
当 a b a b 0 时，为直角；当 a b 0 时，为锐角或 a, b 同向；注意： a b 0 是为锐角的 ____________条_件；当 a b 0 时，为钝角或 a, b 反向；注意： a b 0 是为钝角的 ____________条_件；（ 6）向量三角不等式： a b a b a b
3.如图，在
ABC 中，
已知
∠BAC=
??
，
|??????|?=??2 ，
|??????|??=?3 ，
点
D 为边
BC 上一点，
满足
3
??????+??2? ??????=??3???????，??? 点 E 是 AD 上一点，满足 ??????=??2???????，??? 则 |??????|?=??______________
当 P 点在线段 P1P2 上时
0；
当 P 点在线段 P1P2 的延长线上时
当 P 点在线段 P1P2 的反向延长线上时
1；
1
0；
3.平面向量的数量积：
（ 1 ）两个向量的夹角：对于非零向量 a 、 b ，作 OA a ， OB b ，
0
称为向量 a 、 b 的夹角。
AOB
（ 2 ）平面向量的数量积：如果两个非零向量 a 、 b ，它们的夹角为
③ 向量 ????、????、 ???共面，则它们所在直线也共面；
④ 若 A、 B、 C 三点不共线
，
O 是平面
ABC 外一点，
若
???????=??
1 3
???????+?? 1
3
???????+??
1 3
??????，???
则点
M一
定在平面 ABC 上，且在 ABC 内部；
⑤ 若 a// b ，且 b// c ，则 a// c ； ⑥ 若 a b 0 ，则它们的夹角为锐角；
△ ABC 可绕圆心旋转， M 、 N 分别是边 AC 、 AB 的中点， OM ON 的取值范围是
_____________
.
.
..
.
.
..
11. 如图，已知点 P（ 2， 0），且正方形 ABCD 内接于 ⊙O ：x2+ y2=1 ， M 、 N 分别为边 AB、 BC 的中点．当正方形 ABCD 绕圆心 O 旋转时， ??????????????的???取值范围为 _________
.
，则点 P 分有向线段 P1P2 所成的比为
注意： ① 设 P1 (x1, y1 ) 、 P2( x2 , y2 ) ， P( x, y) 分有向线段 P1P2 所成的比为，则
.
.
..
.
.
..
x x1
x2
1
，
y y1
y2
1
在使用定比分点的坐标公式时
起点，终点的坐标。
OA λ1OB λ2OC 且λ1 λ2 1.
5. 空间向量
空间向量是由平面向量拓展而来的，它是三维空间里具有大小和方向的量，它的坐标表示有
x， y， z.空间向量的性质与平面向量的性质相同或相似
，故在学习空间向量时，可进行类
比学习。
如，若 M→P、 M→A 、 M→B 三个向量共面，则 MP x MA y MB .同时，对于空间任意一点 O，
的中点分别为 M 、 N，则 ??????的???最小值为 _____________
例
4. 已知平面向量
??? ?，
??? ?，
????满足 |???|= √2，
|????|=1 ，
?????????=-1 ，
且????- ????与 ????- ????的夹角为
??
4，
则
|???|的最大值为 ______________
.
.
..
.
.
..
例 3.如图，在等腰三角形 ABC 中，已知 |AB|=| AC|=1 ， ∠A=120 °，E、 F分别是 AB、 AC 上的点，且 ???????=?? ????????，??? ????????=? ????????，??? 且 λ， μ∈（0， 1 ），且 λ +4 μ =1 ，若线段 EF、 BC
当 a, b 同向 a b a b ， a b a b ；
当 a, b 反向 a b a b ， a b a b ；
.
.
..
.
.
..
当 a, b 不共线
a b a b a b；
（ 4） a b 的几何意义：数量积 a b 等于 a 与 b 在 a 上的投影的乘积。
.
.
..
.
.
..
4. 平面向量的分解定理
AB
.
AB
（ 4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量。
（ 5）平行向量又叫共线向量，记作： a ∥b .
① 向量 a (a 0) 与 b 共线，则有且仅有唯一一个实数
，使b a；
② 规定：零向量和任何向量平行；
③ 两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；
..
.
.
..
高考《向量》专题复习
1.向量的有关概念：