东南大学往年高数期末考试试题及答案-8篇整合

东 南 大 学 考 试 卷（ A 卷）
)
一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分） 1．22lim sin
1
x x
x x →∞
=+ 2 ； 2．当0x →时
,()x α=与2
()x kx β=是等价无穷小,则
k =
34
; 3．设()1sin x
y x =+，则d x y
π
== d x π- ；
）
4．函数()e x
f x x =在1x =处带有Peano 余项的二阶Taylor 公式为
()223e
e 2e(1)(1)(1)2
x x x ο+-+
-+- ； 5．已知函数3
2e sin ,
0()2(1)9arctan ,0
x
a x x f x
b x x x ⎧+<⎪=⎨-+≥⎪⎩可导，则a =1 ，b = -1 。

二．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分） 6．设函数1
1()1e
x x
f x -=
-，则 [ C ]
（A ）0,1x x ==都是()f x 的第一类间断点（B ）0,1x x ==都是()f x 的第二类间断点（C ）0x =是()f x 的第一类间断点，1x =是()f x 的第二类间断点
、
（D ）0x =是()f x 的第二类间断点，1x =是()f x 的第一类间断点
7．设函数()y y x =由参数方程22ln(1)
x t t
y t ⎧=+⎨=+⎩确定，则曲线()y y x =在3x =处的切线
与x 轴交点的横坐标是 [ C ] （A ）1ln 238+ （B ）1ln 238
-+ （C ）8ln 23-+ （D ）8ln 23+ 8．以下四个命题中，正确的是 [ C ]
（A ）若()f x '在(0,1)内连续，则()f x 在(0,1)内有界
@
（B ）若()f x 在(0,1)内连续，则()f x 在(0,1)内有界 （C ）若()f x '在(0,1)内有界，则()f x 在(0,1)内有界 （D ）若()f x 在(0,1)内有界，则()f x '在(0,1)内有界
9．当a 取下列哪个数值时，函数32
()2912f x x x x a =-+-恰有两个不同的零点[ B ]
（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8
、
三．计算题（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 10．011lim 1e x x x x -→+⎛⎫
-
⎪-⎝
⎭
()
222000111e e 1lim lim lim 1e 1e x x x x x x x x x x x x x x x ----→→→++-++-+⎛⎫
-== ⎪--⎝⎭ 20e 11lim x
x x x -→-+=+22
201()21lim x x x x
ο→+=+32= 11。

()
3lim ln 12ln 1x x x →+∞
⎡⎤⎛⎫++
⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦
】
()()()
33lim ln 12ln 1lim ln 2ln 12ln 1x x x x x x x -→+∞
→+∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦⎣⎦ 3
3lim ln 22x x x x x →+∞⎛⎫=⋅⋅+ ⎪⋅⎝⎭
3ln 2= 12
．1
1lim 1n n n
n →∞⎛+
+
++⎝
1111
n n n ≤++
≤++1n =
由夹逼定理得
11lim 11n n n n →∞
⎛+++
=
++⎝
*
13。

设,)
21(1
)(x x x f -=
求)()(x f n
12()12f x x x =+-()1!()(1)n n n n f x x
+=-112!(12)n n n x ++⋅+- 14．设函数()y y x =由方程2
2
2
sin()e 0x
x y xy ++-=所确定，求
d d y
x。

()222(22)cos e 20x x yy x y y xyy ''+++--=()()
()
222
22
2cos e d d 2cos x x x y y y
x y x x y ++-=-+ 四．（本题共4道题，满分29分）
#
15．（本题满分6分）如果以每秒3
50cm 的匀速给一个气球充气，假设气球内气压保持常值，且形状始终为球形，问当气球的半径为5cm 时，半径增加的速率是多少
324d d d d ,43d d d d V V r r V r t r t t ππ==⋅=d d 1
50100,d d 2r r t t ππ
==
16．（本题满分7分）证明不等式： 12
e 1e (0)x x
x x -≥+≥
设12
()e 1e
x x
F x x -=--11111
2
2222()e e
e e e 1e ()22x x x x x x
x x
F x x φ---+-⎛⎫'=--=--= ⎪⎝
⎭ 其中1
11
222
1()e
1,(0)e 10,()e 10(0)22x x x x x x φφφ++⎛⎫'=--=->=->≥ ⎪⎝⎭
￥
所以当0x ≥时，()x φ单增，又因(0)0φ>，所以()0x φ≥，从而()0F x '≥，所以()F x 单增，又因(0)0F =，所以当0x ≥时，()(0)0F x F ≥=，所要证不等式成立。

17．（本题满分8分）在抛物线214y x =
上求一点21,4P a a ⎛⎫
⎪⎝⎭
，(0)a >，使弦PQ 的长度最短，并求最短长度，其中Q 是过点P 的法线与抛物线的另一个交点。

法线方程2
224
a a
y x =-++，点Q 的坐标()222288,4a a a a ⎛⎫++ ⎪-
⎪⎝⎭
（2分） ()
()2
2
3
2
222
2
22484481()16a a a f a d a a a a a ⎛⎫++⎛⎫+ ⎪==++
-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
@
()()
2
22
5
848()0a
a
f a a
+-'=
=，
得唯一驻点a =
当0a <<()0f a '<，
当a >()0f a '>
，a =()f a 的唯一极小值点，因而是最小值点。

(
)
min ,P d =
18．（本题满分8分）设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，且
(),()f a b f b a ==，证明：
（1） 至少存在一点(),c a b ∈，使得()f c c =；
（2） 至少存在互异的两点(),,a b ξη∈，使得 ()()1f f ξη''⋅= （1）令 ()()F x f x x =-
2()()(())(())()0F a F b f a a f b b b a ⋅=-⋅-=--<，[](),F x C a b ∈，所以
(),,()0,()c a b F c f c c ∃∈∍==即
（2）()()(),,()f c f a c b
a c f c a c a ξξ--'∃∈∍=
=
--， ()()(),,()f b f c a c
c b f b c b c
ηη--'∃∈∍==--，
()()1f f ξη''=。