东北大学历年期末高等数学试题

八、高等数学试题 2005/1/10

一、填空题（本题20分，每小题4分）

1．已知==⎪⎭

⎫

⎝⎛-+∞→a a x a x x

x ，则9lim

2．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+=1

1

12)(2x b ax x x x f ，，，当a = ,b = 时，f (x )在x =1处可导。

3．方程017

=-+x x 共有 个正根。

4．当=x 时，曲线c bx ax y ++=2

的曲率最大。

5．

⎰=20sin π

xdx x 。

二、选择题（本大题24分，共有6小题，每小题4分） 1．下列结论中，正确的是（ ）

（A ）若a x n n =∞

→2lim ，a x n n =+∞

→12lim ，则a x n n =∞

→lim ；

（B ）发散数列必然无界；

（C ）若a x n n =-∞

→13lim ，a x n n =+∞

→13lim ，则a x n n =∞

→lim ；

（D ）有界数列必然收敛。

2．函数)(x f 在0x x =处取得极大值，则必有（ ）。 （A ）0)(0='x f ； （B ）0)(0<''x f ；

（C ）0)(0='x f 或)(0x f '不存在； （D ）0)(0='x f 且0)(0<''x f 。 3．函数⎰=

x

a dt t f x F )()(在][

b a ，上可导的充分条件是：)(x f 在][b a ，上（ ）

（A ）有界； （B ）连续； （C ）有定义； （D ）仅有有限个间断点。

4．设⎰-+=2242

cos 1sin π

πxdx x x M ，⎰-+=2243)cos (sin π

πdx x x N ，⎰--=22

432)cos sin (π

πdx x x x P ，则必有关系式（ ）

（A ） M P N <<；（B ）P M N <<；（C ）N P M <<；（D ）N M P <<。

5．设)(x f y =在0x x =的某邻域内具有三阶连续导数，如果0)()(00=''='x f x f ，而0)(0≠'''x f ，则必有（ ）。

（A ）0x 是极值点，))((00x f x ，不是拐点； （B ）0x 是极值点，))((00x f x ，不一定是拐点； （C ）0x 不是极值点，))((00x f x ，是拐点； （D ）0x 不是极值点，))((00x f x ，不是拐点。

6．直线3

7423z

y x L =-+=-+：

与平面3224=--z y x ：

π的位置关系是（ ） （A ）L 与π平行但L 不在π上； （B ）L 与π垂直相交； （C ）L 在π上； （D ）L 与π相交但不垂直。

6．微分方程x

x e xe y y y 3265+=+'-''的特解形式为（ ）

(A)x x cxe e b ax x y 32)(*++=； （B ）x

x e c x b ae y 32)(*++=；

（C ）x x ce e b ax y 32)(*++=； (D) x

x cxe e b ax y 32)(*++=

三、计算下列各题（每小题7分，共28分） 1．计算

⎰++4

.1

22dx x x

2．求

dx x x x

⎰

++5

42

3．设⎩⎨⎧-=+=t

t y t x arctan )1ln(2，求2

2dx y d 。 4．求⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+

-∞→)11ln(lim 2

x x x x 。 四、解答下列各题（每小题7分，共21分）

1．在半径为R 的球内嵌入有最大体积的圆柱体，求此时圆柱体体积的最大值以及底半径与高的值。

2．计算由椭圆122

22=+b

y a x 所围成的图形的面积以及此图形绕x 轴旋转一周而形成的旋转体的体积。

3*．在由平面0232=+-+z y x 和平面03455=+-+z y x 所决定的平面束内求两个相互垂直的平面，其中一个经过点)1,3,4(0-M 。

3．在曲线上每一点),(y x M 处切线在y 轴上的截距为2

2xy ，且曲线过点)2,1(0M 。求此曲线方程。

五、（7分）设函数)(x f 在[]30，

上连续，在（0，3）内可导，且有⎰=1

)3()(31f dx x xf 。试证：必有)3,0(-∈ξ使ξ

ξξ)

()(f f -

='。

答案 一、1.ln3；2.a =-1,b =2；3.1；4.a

b

2-

；5.1. 二、1.A ；2.C ；3.B ；4.D ；5.C ；6.A.

三、1.322；2.C x x x ++-++)2arctan(2)54ln(212

；3.t t 412+；4.2

1.

四、1. R r R H 36

,3

1=

=

，R V 3

34max π=

；2.234ab π； 九、高等数学试题 2006/1/10

一、选择题（本大题24分，共有6小题，每小题4分） 1．下列结论中，正确的是[ ]

（A ）有界数列必收敛； （B ）单调数列必收敛；（C ）收敛数列必有界；（D ）收敛数列必单调。 2.设函数f (x )在U (x 0，)内有定义，对于下面三条性质： ① f (x )在x 0点连续；② f (x )在x 0点可导；③f (x )在x 0点可微. 若用“P Q ”表示由性质P 推出性质Q ，则应有[ ]

(A) ②③①；(B) ②①③；(C)③①②； (D) ①②③。 3.曲线x

x

y -=

3[ ] (A)既有水平渐近线，又有垂直渐近线；(B)仅有水平渐近线；(C)仅有垂直渐近线；(D)无任何渐近线。