东北大学数学分析2007答案
2007年试卷及参考答案 数值分析
2007年试卷参考答案一、 实际问题---数学模型---数值方法---计算结果；误差：a.建立数学模型过程：模型误差，参数误差；、b.选择数值方法过程：截断误差；c.计算过程：舍入误差，传播误差；二、Newton 插值多项式：001001201001012()()[,]()[,,]()()()01(,)25(,,)6n N x f x f x x x x f x x x x x x x f x f x x f x x x =+-+--===-代入牛顿插值公式N n(x)=由上可知，两种方法得到的插值多项式是一样的，那么他们的余项也相同。
012'''()()()()()6f R x x x x x x x ξ=--- 三、（不考）四、五、A=104441044410⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,D=diag(10,10,10),L=000400440⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭,U=044004000--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭;Jacobi 迭代方法 0][11)()1(≥-=∑≠=+k x a b a x n ij j k j ij i ii k i , . 1123121313121[134()]101[254()]101[114()]10k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++⎧=-+⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=-+⎪⎩收敛性由|()|0D L U λ-+=给出 Gauss —Seidle 迭代方法 ][11)(11)1()1(∑∑+=-=++--=n i j k j ij i j k j ij i ii k i x a x a b a x ,n i ,,2,1 =. ， 1123112131113121[134()]101[254()]101[114()]10k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=-+⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=-+⎪⎩收敛性由|()|0D L U λ--=给出六、不考七、八、euler 法 1(,)m m m m y y h f x y +=+ 那么有1 1.5m m y y +=，0(0)1y y ==2 2.25y =改进erler 法 111[(,)(,)]2m m m m m m h y y f x y f x y +++=++ 那么有135m m y y +=，0(0)1y y == 225 2.789y == 精确解为e ，由上可知，改进法更接近，收敛速度更快。
2007年高考数学辽宁理科(详细解答)
2007年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供理科考生使用）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 共60分）参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(012)k k n kn n P k C p p n n -=-= ，，，， 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{12345}U =，，，，，{13}A =，，{234}B =，，，则()()U UA B =痧（ ）A ．{1}B ．{5}C ．{24}，D ．{1234}，，， 2．若函数()y f x =的反函数图象过点(15)，，则函数()y f x =的图象必过点（ ） A ．(11)， B ．(15)，C ．(51)，D ．(55)，3．若向量a 与b 不共线，0≠a b ，且⎛⎫⎪⎝⎭a a c =a -b a b ，则向量a 与c 的夹角为（ ） A ．0B ．π6C ．π3D ．π24．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ） A ．63B ．45C ．36D ．275．若35ππ44θ⎛⎫∈⎪⎝⎭，，则复数(cos sin )(sincos )i θθθθ++-在复平面内所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =+-的图象，则向量a =（ ） A ．(12)--，B ．(12)-，C ．(12)-，D ．(12)，7．若m n ，是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）A ．若m βαβ⊂⊥，，则m α⊥B ．若m αγ= n βγ= ，m n ∥，则αβ∥C ．若m β⊥，m α∥，则αβ⊥D ．若αγ⊥，αβ⊥，则βγ⊥8．已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+⎧⎪⎨⎪+-⎩≤，≥，≤，则y x 的取值范围是（ ）A ．965⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．[)965⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦，， C ．(][)36-∞+∞ ，，D ．[36]，9．一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（ ） A ．122B ．111C ．322D ．21110．设p q ，是两个命题：21251:log (||3)0:066p x q x x ->-+>，，则p 是q 的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11．设P 为双曲线22112y x -=上的一点，12F F ，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PF PF =，则12PF F △的面积为（ ）A ．63B ．12C ．123D ．2412．已知()f x 与()g x 是定义在R 上的连续函数，如果()f x 与()g x 仅当0x =时的函数值为0，且()()f x g x ≥，那么下列情形不可能．．．出现的是（ ） A ．0是()f x 的极大值，也是()g x 的极大值B ．0是()f x 的极小值，也是()g x 的极小值C ．0是()f x 的极大值，但不是()g x 的极值D ．0是()f x 的极小值，但不是()g x 的极值第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．已知函数2cos (0)()1(0)a x x f x x x ⎧=⎨-<⎩≥，在点0x =处连续，则a = ．14．设椭圆2212516x y +=上一点P 到左准线的距离为10，F 是该椭圆的左焦点，若点M 满足1()2OM OP OF =+ ，则||OM= ．15．若一个底面边长为32，棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为 ．16．将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i 个数为i (i 126)a = ，，，，若11a ≠，33a ≠，55a ≠，135a a a <<，则不同的排列方法有 种（用数字作答）． 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知函数2ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=++--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，（其中0ω>） （I ）求函数()f x 的值域；（II ）若对任意的a ∈R ，函数()y f x =，(π]x a a ∈+，的图象与直线1y =-有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值（不必证明），并求函数()y f x x =∈R ，的单调增区间． 18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，AC BC a ==，D E ，分别为棱AB BC ，的中点，M 为棱1AA 上的点，二面角M DE A --为30 ．（I ）证明：111A B C D ⊥；（II ）求MA 的长，并求点C 到平面MDE 的距离．19．（本小题满分12分）某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本C 与产量q 的函数关系式为3232010(0)3q C q q q =-++>该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格p 与产量q 的函数关系式如下表所示：市场情形 概率 价格p 与产量q 的函数关系式好 0.4 1643p q =- 中 0.4 1013p q =- 差0.2704p q =-设123L L L ，，分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量k ξ，表示当产量为q ，而市场前景无法确定的利润．（I ）分别求利润123L L L ，，与产量q 的函数关系式； （II ）当产量q 确定时，求期望k E ξ；（III ）试问产量q 取何值时，k E ξ取得最大值． 20．（本小题满分14分）已知正三角形OAB 的三个顶点都在抛物线22y x =上，其中O 为坐标原点，设圆C 是OAB 的内接圆（点C 为圆心） （I ）求圆C 的方程；（II ）设圆M 的方程为22(47cos )(7cos )1x y θθ--+-=，过圆M 上任意一点P 分别作圆C 的两条切线PE PF ，，切点为E F ，，求CE CF，的最大值和最小值． 1A 1C1BCBAMDE21．（本小题满分12分）已知数列{}n a ，{}n b 与函数()f x ，()g x ，x ∈R 满足条件：n n a b =，1()()()n n f b g b n +=∈N*.（I ）若()102f x tx t t +≠≠≥，，，()2g x x =，()()f b g b ≠，lim n n a →∞存在，求x 的取值范围；（II ）若函数()y f x =为R 上的增函数，1()()g x f x -=，1b =，(1)1f <，证明对任意n ∈N *，lim n n a →∞（用t 表示）．22．（本小题满分12分）已知函数2222()2()21tf x x t x x x t =-++++，1()()2g x f x =． （I ）证明：当22t <时，()g x 在R 上是增函数；（II ）对于给定的闭区间[]a b ，，试说明存在实数 k ，当t k >时，()g x 在闭区间[]a b ，上是减函数；（III ）证明：3()2f x ≥．2007年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供理科考生使用）参考答案一．选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C DBBA CADAB C 1．设集合{12345}U =，，，，，{13}A =，，{234}B =，，，则()()UUA B = 痧{2,4,5= ，选B 。
07数分B第二学期期末试题解答（A卷）
¶u ¶y
-
2z
¶z ¶y
+
4y
=
0
…………
8
ï ïî
¶¶yz
=
2xy
+
ln
y
分 将 x = 2, y = 1, u = 1, z = 1代入得 ¶u = 2, ¶z = 4 ………… 10 ¶y ¶y
1
三、
ò ò I = 2 1dy 3-2y2 ( y2 - x)dx
0
y2
2
4
ò= 1(18y - 9y - 9)dy 0
24
=5
………… 3 分 ………… 6 分 ………… 8 分
四、设所求点为
(
x 0
,
y 0
,
z 0
)
，曲面在此点的法向量为
n
=
{y 0
,
x 0
,-1}
………… 3 分
由题设 n //{1,3,1}，故
y 0
=
x 0
=
-1
131
得
x
0
=
-3 ，
y
0
………… 2 分 ………… 3 分 ………… 4 分
………… 5 分
选择折线路径：(0,0) ® (t,0) ® (t,-t),则有
ò
()
I=
t , -t
(0 , 0)
(x2 y3
+
2x5
+ ky)dx + [xf
(xy) + 2y]dy
ò= (t , -t) (x2 y3 + 2x5 + ky)dx + [x(x2 y2 + k) + 2y]dy (0 , 0)
2007年辽宁省高考数学试卷(理科)及解析
2007年辽宁省高考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={2，3，4}，则（∁U A）∩（∁U B）=（）A．{1}B．{5}C．{2，4}D．{1，2，3，4}2．（5分）若函数y=f（x）的反函数图象过点（1，5），则函数y=f（x）的图象必过点（）A．（1，1） B．（1，5） C．（5，1） D．（5，5）3．（5分）若向量与不共线，≠0，且，则向量与的夹角为（）A．0 B．C．D．4．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=（）A．63 B．45 C．36 D．275．（5分）若，则复数（cosθ+sinθ）+（sinθ﹣cosθ）i在复平面内所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（5分）若函数y=f（x）的图象按向量平移后，得到函数y=f（x+1）﹣2的图象，则向量=（）A．（﹣1，﹣2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（1，2）7．（5分）若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥βC．若α⊥γ，α⊥β，则β∥γ D．若m⊥β，m∥α，则α⊥β8．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围是（）A． B．C．（﹣∞，3]∪[6，+∞）D．[3，6] 9．（5分）一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（）A．B．C．D．10．（5分）设p，q是两个命题：，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件11．（5分）设P为双曲线x2﹣=1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点．若|PF1|：|PF2|=3：2，则△PF1F2的面积为（）A．B．12 C．D．2412．（5分）已知f（x）与g（x）是定义在R上的连续函数，如果f（x）与g（x）仅当x=0时的函数值为0，且f（x）≥g（x），那么下列情形不可能出现的是（）A．0是f（x）的极大值，也是g（x）的极大值B．0是f（x）的极小值，也是g（x）的极小值C．0是f（x）的极大值，但不是g（x）的极值D．0是f（x）的极小值，但不是g（x）的极值二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）已知函数在点x=0处连续，则a=．14．（4分）设椭圆上一点P到左准线的距离为10，F是该椭圆的左焦点，若点M满足=（+），则=．15．（4分）若一个底面边长为，棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为．16．（4分）将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i个数为a i（i=1，2，…，6），若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1＜a3＜a5，则不同的排列方法有种（用数字作答）．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）已知函数（其中ω＞0）（I）求函数f（x）的值域；（II）若对任意的a∈R，函数y=f（x），x∈（a，a+π]的图象与直线y=﹣1有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值（不必证明），并求函数y=f（x），x∈R的单调增区间．18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=a，D，E 分别为棱AB，BC的中点，M为棱AA1上的点，二面角M﹣DE﹣A为30°．（I）证明：A1B1⊥C1D；（II）求MA的长，并求点C到平面MDE的距离．19．（12分）某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本C与产量q的函数关系式为．该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格p与产量q的函数关系式如下表所示：市场情形概率价格p与产量q的函数关系式好0.4p=164﹣3q中0.4p=101﹣3q差0.2p=70﹣3q设L1，L2，L3分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量ξq，表示当产量为q，而市场前景无法确定的利润．（Ⅰ）分别求利润L1，L2，L3与产量q的函数关系式；（Ⅱ）当产量q确定时，求期望Eξq，试问产量q取何值时，Eξq取得最大值．20．（14分）已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y2=2x上，其中O为坐标原点，设圆C是OAB的内接圆（点C为圆心）（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设圆M的方程为（x﹣4﹣7cosθ）2+（y﹣7sinθ）2=1，过圆M上任意一点P分别作圆C的两条切线PE，PF，切点为E，F，求的最大值和最小值．21．（12分）已知数列{a n}，{b n}与函数f（x），g（x），x∈R满足条件：a n=b n，f（b n）=g（b n+1）（n∈N*）．（I）若f（x）≥tx+1，t≠0，t≠2，g（x）=2x，f（b）≠g（b），存在，求x的取值范围；（II）若函数y=f（x）为R上的增函数，g（x）=f﹣1（x），b=1，f（1）＜1，证明＜a n（用t表示）．对任意n∈N*，a n+122．（12分）已知函数f（x）=2t2﹣2（e x+x）t+e2x+x2+1，g（x）=f′（x）．（I）证明：当时，g（x）在R上是增函数；（II）对于给定的闭区间[a，b]，试说明存在实数k，当t＞k时，g（x）在闭区间[a，b]上是减函数；（III）证明：．2007年辽宁省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2007•辽宁）设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={2，3，4}，则（∁U A）∩（∁U B）=（）A．{1}B．{5}C．{2，4}D．{1，2，3，4}【分析】先根据补集的含义求C u A和C u B，再根据交集的含义求（C u A）∩（C u B）．【解答】解：C u A={2，4，5}，C u B={1，5}，（C u A）∩（C u B）={5}，故选B2．（5分）（2007•辽宁）若函数y=f（x）的反函数图象过点（1，5），则函数y=f （x）的图象必过点（）A．（1，1） B．（1，5） C．（5，1） D．（5，5）【分析】原函数与反函数的图象关于y=x对称，直接求出（1，5）的对称点，就是函数y=f（x）的图象必过点．【解答】解：根据反函数定义知反函数图象过（1，5），原函数与反函数的图象关于y=x对称，（1，5）的对称点为（5，1），就是说原函数图象过点（5，1），故选C3．（5分）（2007•辽宁）若向量与不共线，≠0，且，则向量与的夹角为（）A．0 B．C．D．【分析】求两个向量的夹角有它本身的公式，条件中表现形式有点繁琐，我们可以试着先求一下要求夹角的向量的数量积，求数量积的过程有点出乎意料，一下就求出结果，数量积为零，两向量垂直，不用再做就得到结果，有些题目同学们看着不敢动手做，实际上，我们试一下，它表现得很有规律．【解答】解：∵==0∴向量a与c垂直，故选D．4．（5分）（2007•辽宁）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=（）A．63 B．45 C．36 D．27【分析】观察下标间的关系，知应用等差数列的性质求得．【解答】解：由等差数列性质知S3、S6﹣S3、S9﹣S6成等差数列，即9，27，S9﹣S6成等差，∴S9﹣S6=45∴a7+a8+a9=45故选B．5．（5分）（2007•辽宁）若，则复数（cosθ+sinθ）+（sinθ﹣cosθ）i在复平面内所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用特殊值代入法即可【解答】解：取θ=π得，（cosθ+sinθ）+（sinθ﹣cosθ）i=﹣1+i，则复数在第二象限，故选B6．（5分）（2007•辽宁）若函数y=f（x）的图象按向量平移后，得到函数y=f（x+1）﹣2的图象，则向量=（）A．（﹣1，﹣2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（1，2）【分析】使用待定系数法，先设出平移向量，再根据其它已知条件列出方程（组），解方程（组）即可求出平移向量．【解答】解：设=（h，k）则由移公式得：函数y=f（x）的图象平移后对应的解析式为：y=f（x﹣h）+k则∴=（﹣1，﹣2），故选A7．（5分）（2007•辽宁）若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥βC．若α⊥γ，α⊥β，则β∥γ D．若m⊥β，m∥α，则α⊥β【分析】对于选项A直线m可能与平面α斜交，对于选项B可根据三棱柱进行判定，对于选项C列举反例，如正方体同一顶点的三个平面，对于D根据面面垂直的判定定理进行判定即可．【解答】解：对于选项D，若m∥α，则过直线m的平面与平面α相交得交线n，由线面平行的性质定理可得m∥n，又m⊥β，故n⊥β，且n⊂α，故由面面垂直的判定定理可得α⊥β．故选D8．（5分）（2007•辽宁）已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围是（）A． B．C．（﹣∞，3]∪[6，+∞）D．[3，6]【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，分析表示的几何意义，结合图象即可给出的取值范围．【解答】解：约束条件对应的平面区域如下图示：三角形顶点坐标分别为（1，3）、（1，6）和（），表示可行域内的点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，当（x，y）=（1，6）时取最大值6，当（x，y）=（）时取最小值，故的取值范围是故选A．9．（5分）（2007•辽宁）一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（）A．B．C．D．【分析】从中任取两个球共有C122=66种取法，其中取到的都是红球有C62种取法，至少有1个球的号码是偶数的取法有C62﹣C32=12种取法，根据古典概型公式得到结果．【解答】解：从中任取两个球共有C122=66种取法，其中取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的取法有C62﹣C32=12种取法，∴概率为，故选D．10．（5分）（2007•辽宁）设p，q是两个命题：，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】首先解两个不等式，再判断不等式解的范围，判断p，q条件关系．【解答】解：p：∵0＜|x|﹣3＜1，∴3＜|x|＜4，∴﹣4＜x＜﹣3或3＜x＜4，q：，结合数轴知p是q的充分而不必要条件，故选A11．（5分）（2007•辽宁）设P为双曲线x2﹣=1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点．若|PF1|：|PF2|=3：2，则△PF1F2的面积为（）A．B．12 C．D．24【分析】根据双曲线定义得|PF1|﹣|PF2|=2a=2，所以，再由△PF 1F2为直角三角形，可以推导出其面积．【解答】解：因为|PF1|：|PF2|=3：2，设|PF1|=3x，|PF2|=2x，根据双曲线定义得|PF1|﹣|PF2|=3x﹣2x=x=2a=2，所以，，△PF1F2为直角三角形，其面积为，故选B．12．（5分）（2007•辽宁）已知f（x）与g（x）是定义在R上的连续函数，如果f（x）与g（x）仅当x=0时的函数值为0，且f（x）≥g（x），那么下列情形不可能出现的是（）A．0是f（x）的极大值，也是g（x）的极大值B．0是f（x）的极小值，也是g（x）的极小值C．0是f（x）的极大值，但不是g（x）的极值D．0是f（x）的极小值，但不是g（x）的极值【分析】结合函数的图象分析：由上述三个图可得答案．【解答】解析：根据题意和图形知结合函数的图象分析：由上述三个图可得A，B，D可能．当0是f（x）的极大值时，不是g（x）的极值是不可能的，选C．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2007•辽宁）已知函数在点x=0处连续，则a=﹣1．【分析】本题中函数是一个分段函数，由于函数在x=0处连续，故可以由其左右两侧函数值的极限相等建立方程求参数，由于函数的表达式在x=0都成立，故由连续性的定义直接建立关于参数的方程即可求得参数值．【解答】解：∵在点x=0处连续，∴，故答案为﹣1．14．（4分）（2007•辽宁）设椭圆上一点P到左准线的距离为10，F是该椭圆的左焦点，若点M满足=（+），则=2．【分析】根据a2﹣b2=c2求出左焦点F的坐标，根据椭圆的准线公式x=﹣求出左准线方程，然后设P的坐标（x，y），根据两点间的距离公式求出P到准线方程的距离让其等于10求出x，然后再把x的值代入到椭圆方程中得到P的坐标，由=（+）得到M为PF的中点，根据中点坐标公式求出M的坐标，利用两点间的距离公式求出即可．【解答】解：由椭圆得a=5，b=4，根据勾股定理得c=3，则左准线为，左焦点F（﹣3，0），设P（x，y），因为P到左准线的距离为10，列出=10，解得x=或x=﹣（舍去）；又P在椭圆上，则将x=代入到椭圆方程中求出y=，所以点P（，）；由点M满足=（+），则得M为PF中点，根据中点坐标公式求得M（﹣，±），所以=故答案为2．15．（4分）（2007•辽宁）若一个底面边长为，棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为4π．【分析】正六棱柱的体对角线就是外接球的直径，求出即可求其体积．【解答】解：根据条件正六棱柱的最长的对角线为球的直径，由；得R=，球体积为故答案为：416．（4分）（2007•辽宁）将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i个数为a i （i=1，2，…，6），若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1＜a3＜a5，则不同的排列方法有30种（用数字作答）．【分析】由题意知本题是一个分步计数问题，先排a1，a3，a5，当a1=2，a1=3，a1=4；做出这三种情况下的结果数；第二步再排a2，a4，a6，做出结果数，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题分两步：（1）先排a1，a3，a5，当a1=2，有2种；a1=3有2种；a1=4有1种，共有5种；（2）再排a2，a4，a6，共有A33=6种，∴不同的排列方法种数为5×6=30，故答案为：30三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2007•辽宁）已知函数（其中ω＞0）（I）求函数f（x）的值域；（II）若对任意的a∈R，函数y=f（x），x∈（a，a+π]的图象与直线y=﹣1有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值（不必证明），并求函数y=f（x），x∈R的单调增区间．【分析】（I）化简函数为一个角的一个三角函数的形式，根据正弦函数的有界性求出函数f（x）的值域；（II）对任意的a∈R，函数y=f（x），x∈（a，a+π]的图象与直线y=﹣1有且仅有两个不同的交点，确定函数的周期，再确定ω的值，然后求函数y=f（x），x ∈R的单调增区间．【解答】解：（I）解：==由，得可知函数f（x）的值域为[﹣3，1]．（II）解：由题设条件及三角函数图象和性质可知，y=f（x）的周期为π，又由ω＞0，得，即得ω=2．于是有，再由，解得．B1所以y=f（x）的单调增区间为18．（12分）（2007•辽宁）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=a，D，E分别为棱AB，BC的中点，M为棱AA1上的点，二面角M﹣DE﹣A为30°．（I）证明：A1B1⊥C1D；（II）求MA的长，并求点C到平面MDE的距离．【分析】（I）连接CD，根据三垂线定理可得AB⊥C1D，而A1B1平行AB，从而A1B1⊥C1D；（II）过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连接MF，根据定义可知∠MFA为二面角M﹣DE﹣A的平面角，在Rt△GAF中，∠GFA=30°，求出A到平面MDE的距离，再根据线面平行可知C到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离相等．【解答】解：（I）证明：连接CD，三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，∴CD为C1D在平面ABC内的射影．∵△ABC中，AC=BC，D为AB中点，∴AB⊥CD，∴AB⊥C1D∵A1B1∥AB，∴A1B1⊥C1D（II）解：过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连接MF∵D，E分别为AB，BC的中点，∴DE∥AC又∵AF∥CE，CE⊥AC∴AF⊥DE∵MA⊥平面ABC，∴AF为MF在平面ABC内的射影∴MF⊥DE∴∠MFA为二面角M﹣DE﹣A的平面角，∠MFA=30°在Rt△MAF中，，∠MFA=30°，∴作AG⊥MF，垂足为G，∵MF⊥DE，AF⊥DE，∴DE⊥平面AMF，∵平面MDE⊥平面AMF，∴AG⊥平面MDE在Rt△GAF中，∠GFA=30°，，∴，即A到平面MDE的距离为∵CA ∥DE，∴CA∥平面MDE，∴C到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离相等，为．19．（12分）（2007•辽宁）某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本C与产量q的函数关系式为．该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格p与产量q的函数关系式如下表所示：市场情形概率价格p与产量q的函数关系式好0.4p=164﹣3q中0.4p=101﹣3q差0.2p=70﹣3q设L1，L2，L3分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量ξq，表示当产量为q，而市场前景无法确定的利润．（Ⅰ）分别求利润L1，L2，L3与产量q的函数关系式；（Ⅱ）当产量q确定时，求期望Eξq，试问产量q取何值时，Eξq取得最大值．【分析】（Ⅰ）根据所给的表格中的数据和题意可以写出利润L1，L2，L3与产量q 的函数关系式，整理合并同类项得到关于q的三次函数，写出自变量q的取值范围．（Ⅱ）写出期望的表示式，根据多项式的四则运算，写出最简形式，利用函数的导数求函数的最值，对函数求导，令导数等于0，解出q的值，确定这是函数的最大值．【解答】解：（Ⅰ）根据所给的表格中的数据和题意写出=．同理可得．．（Ⅱ）由期望定义可知Eξq=0.4L1+0.4L2+0.2L3==．可知Eξq是产量q的函数，设，得f′（q）=﹣q2+100．令f′（q）=0解得q=10，q=﹣10（舍去）．由题意及问题的实际意义可知，当q=10时，f（q）取得最大值，即Eξq最大时的产量为10．20．（14分）（2007•辽宁）已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y2=2x上，其中O为坐标原点，设圆C是OAB的内接圆（点C为圆心）（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设圆M的方程为（x﹣4﹣7cosθ）2+（y﹣7sinθ）2=1，过圆M上任意一点P分别作圆C的两条切线PE，PF，切点为E，F，求的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）设出A、B的坐标（正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y2=2x 上），根据△ABO边长相等，求出A、B点的坐标，再求圆心和半径，进而求可得圆C的方程；（Ⅱ）设出∠ECF=2α，表示出数量积，数量积中有cosα，，确定|PC|的范围，可求出数量积的最值．【解答】解：（Ⅰ）解法一：设A，B两点坐标分别为，，由题设知解得y12=y22=12，所以，或，．设圆心C的坐标为（r，0），则，所以圆C的方程为（x﹣4）2+y2=16．解法二：设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由题设知x12+y12=x22+y22又因为y12=2x1，y22=2x2，可得x12+2x1=x22+2x2．即（x1﹣x2）（x1+x2+2）=0由x1＞0，x2＞0，可知x1=x2，故A，B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上设C点的坐标为（r，0），则A点坐标为，于是有，解得r=4，所以圆C的方程为（x﹣4）2+y2=16．（Ⅱ）解：设∠ECF=2α，则．在Rt△PCE中，，由圆的几何性质得|PC|≤|MC|+1=7+1=8，|PC|≥|MC|﹣1=7﹣1=6，所以，由此可得．则的最大值为，最小值为﹣8．21．（12分）（2007•辽宁）已知数列{a n}，{b n}与函数f（x），g（x），x∈R满足条件：a n=b n，f（b n）=g（b n+1）（n∈N*）．（I）若f（x）≥tx+1，t≠0，t≠2，g（x）=2x，f（b）≠g（b），存在，求x的取值范围；（II）若函数y=f（x）为R上的增函数，g（x）=f﹣1（x），b=1，f（1）＜1，证明＜a n（用t表示）．对任意n∈N*，a n+1【分析】（I）由题设知，所以．由t≠2，知．由t≠0，t≠2，f（b）≠g（b），知，，分析可得答案．=f（a n）．然后用数学归纳法证明a n+1＜a n（n （II）因为g（x）=f﹣1（x），所以b n+1∈N*）．【解答】解：（I）由题设知，得．又已知t≠2，可得．由t≠0，t≠2，f（b）≠g（b），可知，所以是等比数列，其首项为，公比为．于是，即．又存在，可得，所以﹣2＜t＜2且t≠0.．（II）证明：因为g（x）=f﹣1（x），所以a n=g（b n+1）=f﹣1（b n+1），即b n+1=f（a n）．＜a n（n∈N*）．下面用数学归纳法证明a n+1（1）当n=1（2）时，由f（x）（3）为增函数，且f（1）＜1（4），得a1=f（b1）=f（1）＜1（5），b2=f（a1）＜f（1）＜1（6），a2=f（b2）＜f（1）=a1（7），即a2＜a1，结论成立．（8）假设n=k（9）时结论成立，即a k＜a k（10）．由f（x）（11）为增函数，+1）＜f（a k）（12），即b k+2＜b k+1（13），进而得f（b k+2）＜f（b k+1）（14），得f（a k+1＜a k+1（15），这就是说当n=k+1（16）时，结论也成立．根据（1）和（2）即a k+2＜a n（18）．可知，对任意的n∈N*（17），a n+122．（12分）（2007•辽宁）已知函数f（x）=2t2﹣2（e x+x）t+e2x+x2+1，g（x）=f′（x）．（I）证明：当时，g（x）在R上是增函数；（II）对于给定的闭区间[a，b]，试说明存在实数k，当t＞k时，g（x）在闭区间[a，b]上是减函数；（III）证明：．【分析】（1）由已知解出g（x）的值，进而得到g′（x）的值，接下来采用分析证明法来分析，若证g（x）为R上的增函数，只需证2e2x﹣te x+1＞0，即证t＜2e x+e﹣x，又因为2e x+e﹣x≥2，且t＜2，所以即证，再利用综合证明的方法写出来即可．（2）若证明g（x）在[a，b]上的减函数，只需证明g′（x）＜0，即2e2x﹣te x+1＜0，t＞2e x+e﹣x，因为y=2e x+e﹣x在闭区间[a，b]上连续，故有最大值，令这个最大值为实数k即可．（3）已知f（x）含有t，可以把f（x）转换成关于t的一元二次函数F（t））=2t2﹣2（e x+x）t+e2x+x2+1，通过配方，易得F（t）≥（e x﹣x）2+1，再令H（x）=e x﹣x，通过求解H（x）的单调性和最值，可以得到H（x）的最小值为1．就可以得出f（t）≥，即证．【解答】解：（I）证明：由题设易得g（x）=e2x﹣t（e x+1）+x，g'（x）=2e2x﹣te x+1．又由，且得t＜2e x+e﹣x，te x＜2e2x+1，即g'（x）=2e2x﹣te x+1＞0．由此可知，g（x）在R上是增函数．（II）因为g'（x）＜0是g（x）为减函数的充分条件，所以只要找到实数k，使得t＞k时g'（x）=2e2x﹣te x+1＜0，即t＞2e x+e﹣x在闭区间[a，b]上成立即可．因为y=2e x+e﹣x在闭区间[a，b]上连续，故在闭区间[a，b]上有最大值，设其为k，于是在t＞k时，g'（x）＜0在闭区间[a，b]上恒成立，即g（x）在闭区间[a，b]上为减函数．（III）设F（t）=2t2﹣2（e x+x）t+e2x+x2+1，即，易得．令H（x）=e x﹣x，则H'（x）=e x﹣1，易知H'（0）=0．当x＞0时，H'（0）＞0；当x＜0时，H'（0）＜0．故当x=0时，H（x）取最小值，H（0）=1．所以，于是对任意的x，t，都有，即．。
东北大学数值分析考试题解析
数值分析提供了许多实用的算法， 这些算法可以解决各种实际问题， 如线性方程组、微分方程、积分 方程等。这些算法在科学计算、 工程仿真、数据分析等领域都有 广泛的应用。
数值分析在解决实际问题时具有 高效、精确和可靠的特点。通过 数值分析，我们可以快速地得到 问题的近似解，并且可以通过误 差分析来控制解的精度。这使得 数值分析成为解决实际问题的重 要工具。
详细描述
数值分析是一门应用广泛的学科，它通过数学方法将实际问题转 化为可计算的数学模型，并寻求高效的数值计算方法来求解这些 问题。数值分析在科学计算、工程、经济、金融等领域中发挥着 重要的作用，为实际问题的解决提供了有效的工具。
数值分析的应用领域
总结词
数值分析的应用领域非常广泛，包括科学计算、工程、经济、金融等。
非线性方程组的求解精度和速 度取决于所选择的方法和初值 条件。
非线性方程组的求解在科学计 算、工程技术和计算机图形学 等领域有广泛应用。
最优化方法
最优化方法是寻找使某个 函数达到最小或最大的参 数值的方法。
最优化方法的效率和精度 取决于所选择的算法和初 始参数值。
常用的最优化方法包括梯 度下降法、牛顿法和拟牛 顿法等。
数值分析在人工智能领域的应用
总结词
数值分析在人工智能领域的应用关键，涉及深度学习、神经 网络等领域。
详细描述
数值分析为人工智能提供了理论基础和算法支持，特别是在 深度学习和神经网络方面。通过数值分析的方法，可以优化 神经网络的参数和结构，提高人工智能的性能和准确性。
数值分析在金融领域的应用
总结词
常见的迭代法有雅可比迭代法 、高斯-赛德尔迭代法等。
牛顿法
牛顿法是一种基于泰勒级数 的迭代方法，用于求解非线 性方程的根。
东北大学 数值分析 08数值分析(研)答案
y n1 y n
f 1 h 2 f n hfn ( n fn ) 3 3 x y ( 2
2 2 fn 2 fn 2 fn 2 f f n2 ) O(h 4 ) n xy x 2 y 2
问应取 n 为多少？并求此近似值。 2 2 1．由 A0 A1 A2 , A0 A1 x1 A2 0, A0 A1 x12 A2 , 3 5 1 4 3 A0 A1 x1 A2 0, 可得： A0 A2 , A1 , x1 0 ，具有 3 次代数精度。 5 15 2． n 4
五、 （12 分）已知求解常微分方程初值问题：
y f ( x, y) , x [a, b] y ( a)
的差分公式：
h y n 1 y n 3 (k1 k 2 ) k f (x , y ) n n 1 k 2 f ( x n h, y n hk1 ) y0
( A)
5 33 ， Cond( A)1 21。 2
6．求区间[0，1]上权函数为 ( x) 1 的二次正交多项式 P2 ( x) 。
P0 ( x) 1， P1 ( x) x
9 x 3 3． x 为何值时，矩阵 A x 8 4 可分解为 GG T ，并求 x 6 时的分解式，其中 3 4 3
由 A 正定可得， 0 x 8 ， x 6 时有：
9 6 3 3 3 2 1 A 6 8 4 ＝ 2 2 2 1 3 4 3 1 1 1 1
试求形如 y a bx2 的拟合曲线。 由于 0 ( x) 1,1 ( x) x 2 ，所以 0 (1,1,1,1)T ,1 (1,0,1,4)T , f (2,1,3,2)T
2007考研数一真题答案及详细解析
h(a) =f(a)-g(a) =M-g(a)�O, h(/J) =f依） — g(/J) =f(/J) —M<o,
P 由介们定理，存在介于a与 之间的点刀，使得h(r;) = O.
综上，存在吓E(a,b),使得h(r;)=O. 因此由罗尔定理可知，存在 名ECa,r;),名E(17,b),使得
h I(名） =h'(名） =O,
= O,
故 x-+=时有斜渐近线y =x.
综上，所求曲线的渐近线条数为 3 条，答案为 D.
(3) C
解 如题目中图所示，大小半圆的面积分别为六与 一 14 六．
按定积分的几何意义知，当 x E[0,2]时f(x)�O,当 x E[2,3]时f(x)�O. 则
I I 2(:) ! F(3)=
勹 (t)dt=
(x2 )" n!
=xe立、2
,x、EC�=,
十=).
(21)解 因为方程组也与＠的公共解，即为联立方程组 x1+x2+x3 = 0,
x1 +2x2+a儿、 3 = O, ＠
X 1 +4x2 +a勹3�o, ｀亢 1+2x2 +.:r :, =a — 1
的解
对方程组＠的增广矩阵A施以初等行变换，有
。 。 1 1 1
= J'(0)存在．
工 -o
x-o X
工-o
X
因此A、B、C正确．故应选D.
(5) D 解
、
由广(x)>O (x>O)得J'(x)在(0, 十=)单调上升.j (x)只有以下三种情形：
(1)由存在x。 E (o, 十=), 厂(x。 )=O得
高等数学教材东北大学答案
高等数学教材东北大学答案一、导数与微分1.1 导数的定义和几何意义1.1.1 导数的定义导数是函数在一点上的局部性质，用于刻画函数在该点附近的变化速率。
设函数f(x)在点x0的某个邻域有定义，若极限lim_(Δx→0) [f(x_0+Δx)-f(x_0)]/Δx存在，则称该极限为函数f(x)在点x0处的导数，记作f'(x0)，即f'(x_0)=lim_(Δx→0) [f(x_0+Δx)-f(x_0)]/Δx1.1.2 导数的几何意义导数表示了函数在某一点处的切线斜率，也即函数在该点的变化速率。
若函数f(x)在点x0可导，则函数f(x)在该点处的切线方程为y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)1.2 导数运算法则1.2.1 四则运算法则设函数f(x)和g(x)都在点x0处可导，则(1) (f+g)'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0)(2) (f-g)'(x_0)=f'(x_0)-g'(x_0)(3) (f*g)'(x_0)=f'(x_0)*g(x_0)+f(x_0)*g'(x_0)(4) 若g(x_0)≠0，则(f/g)'(x_0)=[f'(x_0)*g(x_0)-f(x_0)*g'(x_0)]/[g(x_0)]^21.2.2 复合函数的导数若f(x)在点x=g(t)处可导，g(t)在点t处可导，则复合函数F(t)=f(g(t))在点t处可导，并且有F'(t)=f'(g(t))*g'(t)1.2.3 反函数的导数若函数f(x)在点x0处连续且可导，且f'(x0)≠0，则其反函数f^(-1)(x)在点f(x0)处可导，并且有[f^(-1)]'(x_0)=1/[f'(f^(-1)(x_0))]1.3 高阶导数与隐函数求导1.3.1 高阶导数若函数f(x)的导数f'(x)在区间I上有定义，则可以考虑它的导数f''(x)，称之为f(x)的二阶导数。
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x n 1 x n x n x n 1
r 1 ，由正项级数的比值判别法， ( x n x n 1 ) 绝对收敛，必收敛，所
n
以由 x n 3. (20 分)
(x
x n 1 ) x1 ，数列 {xn } 收敛.
f ( x 0 h) f ( x 0 h) . 2h
证明：只需证
b a
b
a
f ( x) g ( x)dx f ( ) g ( x)dx .
a
b
f ( x) g ( x)dx
b
a
g ( x)dx
f ( ) 即可，由已知条件，此式满足柯西中值定理的条
件，故由柯西中值定理可得
b
f ( x) g ( x)dx f ( x) g ( x)dx
则 F ( x) 在 [ a, b] 上连续，因而一致连续. 续，因而 f ( x) 在 ( a, b) 上一致连续.
(a, b) [a, b] ，于是 F ( x) 在 (a, b) 上也一致连
只证 lim f ( x) 存在，即 f (a 0) 存在.
xa 0
由已知， 0, 0, x1 , x 2 ( a, b), x1 x 2 时， f ( x1 ) f ( x 2 ) ，于是
a
所以
f (0)
7. (20 分)
1 a f ( x) dx f ( x) dx a 0
f ( x) 0, f ( x) 在[a,b]上连续,
b a
b
a b
f ( x)dx 1 ,证明
( f ( x) cos kxdx) 2 ( f ( x) sin kxdx) 2 1 .
x1 , x 2 (a, a ) 有 f ( x1 ) f ( x 2 ) .
由极限存在的柯西准则， lim f ( x) 存在.同理可证 lim f ( x) 存在.
xa 0 x b 0
5. (20 分)
已知 f ( x) , g ( x) 在[a,b]上连续,且 g ( x) 0 ,证明存在 ( a, b), 使
2007 数学分析
1. (20 分)
lim
nn n 3 n n!
解：令 a n
nn ，因为 3 n n!
lim
a n 1 n a n
( n 1) n 1 1 1 1 3n 1 ( n 1)! lim lim (1 ) n e n n n 3 n 3 n n 3 n!
a
证明：
( f ( x) cos kxdx) 2 ( f ( x) sin kxdx) 2 f ( x) cos 2 kxdx f ( x)dx f ( x) sin 2 kxdx f ( x)dx
a a a a a a
b
b
b
b
b
b
f ( x)(sin 2 x cos 2 x)dx f ( x)dx
b a a
b
b
a a
b
b
( f ( x)dx) 2 1
a
b
8. (10 分)
若 f ( x) 在[a,b]上可积, F ( x) f ( x) ,证明
b
a
f ( x)dx F (b) F (a ) .
证明：由已知，
b
a
f ( x)dx F ( x)dx 1dF ( x) F ( x) a F (b) F (a )
4. (20 分)
f ( x) 在(a,b)连续,证明 f ( x) 在(a,b)一致连续的充要条件是
xa 0
lim f ( x), lim f ( x) 存在.
x b 0
证明： 设
xa f ( a 0) F ( x) f ( x) x ( a, b) f (b 0) xb
已知 f ( x) 在 x 0 可导,求 lim
h 0
解： lim
h 0
f ( x 0 h) f ( x 0 h) f ( x 0 h) f ( x 0 ) f ( x 0 ) f ( x 0 h) lim h 0 2h 2h
f ( x 0 h) f ( x 0 ) f ( x 0 h) f ( x 0 ) lim h 0 h 0 2h 2h 1 1 f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) 2 2 lim
a
b
a
g ( x)dx g ( x)dx
a
a a
f ( ) g ( ) f ( ) . g ( )
6. (20 分)
a 0, f ( x) 在[0,a]上可导连续,证明 f (0)
1 a f ( x) dx f ( x) dx . a 0
证明：由已知条件， (0, a ) ，使
所以
an 收敛，所以 lim
n 1
nn 0. n 3 n n!
2. (20 分) 证明：因为
f ( x) 可微, r 1, f ' ( x) r , x n f ( x n 1 ) ,证明:数列 {xn } 收敛.
x n 1 x n f ( x n ) f ( x n 1 ) f ( ) x n x n 1 r x n x n 1 , ( x n 1 , x n ) ,
f ( x)dx af ( )
0
a
所以
f ( )
又
1 f ( x)dx a 0
a
f (0) f ( x)dx f ( )
0 0
1 f ( x)dx f ( x)dx a0
a
f ( x)dx
0
a
1 f ( x)dx a 0