南京大学2007年数学分析考研试题及解答
2007年考研数学一真题与解析
2007年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1) 当0x +→(A) 1-. (B) ln. (C)1. (D) 1-.[ B ]【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.【详解】 当0x +→时，有1(1)~-=--1~2111~.22x -= 利用排除法知应选(B).(2) 曲线1ln(1)x y e x=++，渐近线的条数为(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. [ D ]【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。
【详解】 因为01lim[ln(1)]x x e x→++=∞，所以0x =为垂直渐近线；又 1lim [ln(1)]0x x e x→-∞++=，所以y=0为水平渐近线；进一步，21ln(1)ln(1)lim lim[]lim x x x x x y e e x x x x →+∞→+∞→+∞++=+==lim11xx x e e →+∞=+， 1l i m [1]l i m [l n (1)]x x x y xe x x→+∞→+∞-⋅=++-=lim[ln(1)]x x e x →+∞+-=lim[ln (1)]lim ln(1)0x x x x x e e x e --→+∞→+∞+-=+=，于是有斜渐近线：y = x . 故应选(D).(3) 如图，连续函数y =f (x )在区间[−3，−2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[−2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()().xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是(A) 3(3)(2)4F F =--. (B) 5(3)(2)4F F =.(C) )2(43)3(F F =-. (D))2(45)3(--=-F F .[ C ]【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意f (x )在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。
2007年考研数一真题及解析
2007年考研数学一真题及参考答案一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）（1） 当0x +→时，与x 等价的无穷小量是 (B) A. 1xe- B.1ln1xx+- C. 11x +- D.1cos x -(2) 曲线y=1ln(1x e x++), 渐近线的条数为 (D) A.0 B.1 C.2 D.3(3)如图，连续函数y=f(x)在区间[-3，-2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[-2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)=0()xf t dt ⎰.则下列结论正确的是 (C) A. F(3)=3(2)4F -- B. F(3)=5(2)4F C. F(3)=3(2)4F + D. F(3)= 5(2)4F --(4)设函数f （x ）在x=0处连续，下列命题错误的是 (C)A. 若0()limx f x x →存在，则f （0）=0 B. 若0()()lim x f x f x x→+- 存在，则f （0）=0C. 若0()lim x f x x → 存在，则'(0)f =0D. 若0()()lim x f x f x x→-- 存在，则'(0)f =0(5)设函数f （x ）在（0, +∞）上具有二阶导数，且"()f x o >, 令n u =f(n)=1,2,…..n, 则下列结论正确的是(D)A.若12u u >，则{n u }必收敛B. 若12u u >，则{n u }必发散C. 若12u u <，则{n u }必收敛D. 若12u u <，则{n u }必发散(6)设曲线L ：f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点N,T 为L 上从点M 到N 的一段弧，则下列小于零的是 (B) A.(,)rx y dx ⎰ B. (,)rf x y dy ⎰C.(,)rf x y ds ⎰D.'(,)'(,)x y rf x y dx f x y dy +⎰（7）设向量组1α，2α，3α线形无关，则下列向量组线形相关的是： (A) （A ） ,,122331αααααα--- （B ） ,,122331αααααα+++（C ）1223312,2,2αααααα--- （D ）1223312,2,2αααααα+++（8）设矩阵A=211121112--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，B=100010000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,则A 于B ， (B)(A) 合同，且相似(B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似(D)既不合同，也不相似（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p ()01p <<，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为： (C) （A ）23(1)p p - (B)26(1)p p - (C) 223(1)p p -(D) 226(1)p p -(10) 设随即变量（X ，Y ）服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，()X f x ，()Y f y 分别表示X ，Y 的概率密度，则在Y ＝y 的条件下，X 的条件概率密度|(|)XYf x y 为 (A)（A ）()X f x(B) ()Y f y(C) ()X f x ()Y f y(D)()()X Y f x f y 二．填空题：11－16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。
2007年考研数学一真题及参考答案
2007年考研数学一真题一、选择题（110小题，每小题4分，共40分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）(1)当时，与等价的无穷小量是(A)(B)(C)(D)【答案】B。
【解析】时几个不同阶的无穷小量的代数和，其阶数由其中阶数最低的项来决定。
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较(2)曲线渐近线的条数为(A)0(B)1(C)2(D)3【答案】D。
【解析】由于，则是曲线的垂直渐近线；又所以是曲线的水平渐近线；斜渐近线：由于一侧有水平渐近线，则斜渐近线只可能出现在一侧。
则曲线有斜渐近线，故该曲线有三条渐近线。
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(3)如图，连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间上的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设,则下列结论正确的是(A)(B)(C)(D)【答案】C。
【解析】-3-2-10123【方法一】四个选项中出现的在四个点上的函数值可根据定积分的几何意义确定则【方法二】由定积分几何意义知,排除(B)又由的图形可知的奇函数，则为偶函数，从而显然排除(A)和(D),故选(C)。
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质，定积分的应用(4)设函数在处连续，下列命题错误．．的是(A)若存在，则(B)若存在，则(C)若存在，则存在(D)若存在，则存在【答案】D。
【解析】(A)：若存在，因为,则,又已知函数在处连续，所以,故,(A)正确；(B)：若存在，则,则，故(B)正确。
(C)存在，知，则则存在，故(C)正确(D)存在，不能说明存在例如在处连续，存在，但是不存在，故命题(D)不正确。
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念(5)设函数在内具有二阶导数，且,令,则下列结论正确的是 (A)若,则必收敛(B)若,则必发散 (C)若,则必收敛(D)若,则必发散【答案】D 。
2007年考研数学一真题及答案
2007年考研数学一真题一、选择题（110小题，每小题4分，共40分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）(1)当时，与等价的无穷小量是(A) (B)(C) (D)【答案】B。
【解析】时几个不同阶的无穷小量的代数和，其阶数由其中阶数最低的项来决定。
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较(2)曲线渐近线的条数为(A)0 (B)1(C)2 (D)3【答案】D。
【解析】由于则是曲线的垂直渐近线；又所以是曲线的水平渐近线；斜渐近线：由于一侧有水平渐近线，则斜渐近线只可能出现在一侧。
则曲线有斜渐近线，故该曲线有三条渐近线。
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(3)如图，连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间上的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设,则下列结论正确的是(A)(B)(C)【答案】C。
【解析】【方法一】四个选项中出现的在四个点上的函数值可根据定积分的几何意义确定则【方法二】由定积分几何意义知,排除(B)又由的图形可知的奇函数，则为偶函数，从而显然排除(A)和(D),故选(C)。
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质，定积分的应用(4)设函数在处连续，下列命题错误的是(A)若存在，则(B)若存在，则(C) 若存在，则存在(D) 若存在，则存在【答案】D。
【解析】(A)：若存在，因为,则,又已知函数在处连续，所以,故,(A)正确；(B)：若存在，则,则，故(B)正确。
(C)存在，知，则则存在，故(C)正确(D)存在，不能说明存在例如在处连续，存在，但是不存在，故命题(D)不正确。
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念(5)设函数在内具有二阶导数，且,令,则下列结论正确的是(A)若,则必收敛(B)若,则必发散(C)若,则必收敛(D)若,则必发散【答案】D。
2007年考研数学一真题及分析
2007年数学一试题分析、详解和评注分析解答所用参考书：1.黄先开、曹显兵教授主编的《2007考研数学经典讲义（理工类）》，简称经典讲义（人大社出版）. 2.黄先开、曹显兵教授主编的《2007考研数学历年真题题型解析》，简称真题（人大社出版）. 3.黄先开、曹显兵教授在2006强化辅导班上的讲稿.一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)当0x +→(A)1-(B) ln(C)1.(D) 1cos -. 【 】【答案】 应选(B). 【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.【详解】当0x +→时，有1(1)~-=--1~；2111cos~.22x -= 利用排除法知应选(B).【评注】本题直接找出ln但由于另三个的等价无穷小很容易得到，因此通过排除法可得到答案。
事实上，2ln(1)ln(1ln(1)ln(1)lim lim lim tx x t x t t t+++→→→+--+--==22200212(1)111lim lim 1.1(1)(1)t t tt t t tt t t ++→→+-+++-==+-(2)曲线1ln(1)xy e x=++，渐近线的条数为(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. 【 】 【答案】 应选(D).【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。
【详解】 因为01lim[ln(1)]xx e x→++=∞，所以0x =为垂直渐近线；又 1lim [ln(1)]0xx e x→-∞++=，所以y=0为水平渐近线；进一步，21ln(1)ln(1)limlim []limxxx x x y e e xxxx→+∞→+∞→+∞++=+==lim11x xx ee→+∞=+，1l i m [1]l i m [l n (1)]xx x y x e x x→+∞→+∞-⋅=++-=lim [ln(1)]xx e x →+∞+-=lim [ln (1)]lim ln(1)0xxxx x e e x e --→+∞→+∞+-=+=，于是有斜渐近线：y = x . 故应选(D).【评注】 一般来说，有水平渐近线(即lim x y c →∞=)就不再考虑斜渐近线，但当lim x y →∞不存在时，就要分别讨论x →-∞和x →+∞两种情况，即左右两侧的渐近线。
2007数一真题大全及答案
【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小
量，再进行比较分析找出正确答案.
【详解】 当 x → 0+ 时，有1− e x = −(e x −1) ~ − x ； 1+ x −1 ~ 1 x ； 2
1− cos x ~ 1 ( x)2 = 1 x. 利用排除法知应选(B).
2007 年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析
一、选择题：(本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分. 每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1) 当 x → 0+ 时，与 x 等价的无穷小量是
(A) 1− e x . (B) ln 1+ x . (C) 1+ x −1 . (D) 1− cos x . [ B ] 1− x
求函数 f (x, y) = x2 + 2 y2 − x2 y2 在区域 D = {(x, y) x2 + y2 4, y 0} 上的最大值和
最小值。 【分析】 由于 D 为闭区域，在开区域内按无条件极值分析，而在边界上按条件极值讨
x→+
x x→+
x→+
= lim [ln ex (1+ e−x ) − x] = lim ln(1+ e−x ) = 0 ，
x→+
x→+
于是有斜渐近线：y = x. 故应选(D). (3) 如图，连续函数 y=f(x)在区间[−3，−2]，[2，3]上的图形分别是直径为 1 的上、下半
x
圆周，在区间[−2，0]，[0，2]的图形分别是直径为 2 的上、下半圆周，设 F(x) = f (t)dt. 0
2007年考研数学一真题及解析
2007年考研数学一真题一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内） （1） 当0x +→时，与x 等价的无穷小量是 ( ) A. 1xe- B.1ln1xx+- C. 11x +- D.1cos x -(2) 曲线y=1ln(1x e x++), 渐近线的条数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3(3)如图，连续函数y=f(x)在区间[-3，-2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[-2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)=0()xf t dt ⎰.则下列结论正确的是 ( ) A. F(3)=3(2)4F -- B. F(3)=5(2)4F C. F(3)=3(2)4F + D. F(3)= 5(2)4F --(4)设函数f （x ）在x=0处连续，下列命题错误的是 ( )A. 若0()limx f x x →存在，则f （0）=0 B. 若0()()lim x f x f x x→+- 存在，则f （0）=0C. 若0()lim x f x x → 存在，则'(0)f =0D. 若0()()lim x f x f x x→-- 存在，则'(0)f =0(5)设函数f （x ）在（0, +∞）上具有二阶导数，且"()f x o >, 令n u =f(n)=1,2,…..n, 则下列结论正确的是 ( )A.若12u u >，则{n u }必收敛B. 若12u u >，则{n u }必发散C. 若12u u <，则{n u }必收敛D. 若12u u <，则{n u }必发散(6)设曲线L ：f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点N,T 为L 上从点M 到N 的一段弧，则下列小于零的是 ( ) A.(,)rx y dx ⎰ B. (,)rf x y dy ⎰C.(,)rf x y ds ⎰D.'(,)'(,)x y rf x y dx f x y dy +⎰（7）设向量组1α，2α，3α线形无关，则下列向量组线形相关的是： ( ) （A ）,,122331αααααα--- （B ） ,,122331αααααα+++（C ） 1223312,2,2αααααα--- （D ）1223312,2,2αααααα+++（8）设矩阵A=211121112--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，B=100010000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，则A 于B ( )(A) 合同，且相似(B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似(D)既不合同，也不相似（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p ()01p <<，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为： ( ) （A ）23(1)p p - (B)26(1)p p - (C) 223(1)p p -(D) 226(1)p p -(10) 设随即变量（X ，Y ）服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，()X f x ，()Y f y 分别表示X ，Y 的概率密度，则在Y ＝y 的条件下，X 的条件概率密度|(|)X Yf x y 为 ( )（A ）()X f x(B) ()Y f y(C) ()X f x ()Y f y(D)()()X Y f x f y 二．填空题：11－16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上 （11）31211x e dx x⎰＝_______. （12）设(,)f u v 为二元可微函数，(,)y xz f x y =，则zx∂∂＝______. (13)二阶常系数非齐次线性方程2''4'32x y y y e -+=的通解为y ＝____________. (14)设曲面∑：||||||1x y z ++=，则(||)x y ds ∑+⎰⎰＝_____________.(15)设矩阵A ＝0100001000010000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则3A 的秩为________. （16）在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于12的概率为________. 三．解答题：17~24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.222222(,)2{(,)4,0}f x y x y x y D x y x y y =+-=+≤≥(17)（本题满分11分）求函数在区域上的最大值和最小值。
2007年考研数学一真题(含解析)
2007年考研数学一真题一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）（1） 当0x +→( )A. 1-B.C. 1D.1-(2) 曲线y=1ln(1x e x++), 渐近线的条数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3(3)如图，连续函数y=f(x)在区间[-3，-2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[-2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)=0()xf t dt ⎰.则下列结论正确的是 ( )A. F(3)=3(2)4F -- B. F(3)=5(2)4F C. F(3)=3(2)4F + D. F(3)= 5(2)4F -- (4)设函数f （x ）在x=0处连续，下列命题错误的是 ( )A. 若0()limx f x x →存在，则f （0）=0 B. 若0()()lim x f x f x x→+- 存在，则f （0）=0C. 若0()lim x f x x → 存在，则'(0)f =0D. 若0()()lim x f x f x x→-- 存在，则'(0)f =0(5)设函数f （x ）在（0, +∞）上具有二阶导数，且"()f x o >, 令n u =f(n)=1,2,…..n, 则下列结论正确的是 ( ) A.若12u u >，则{n u }必收敛 B. 若12u u >，则{n u }必发散 C. 若12u u <，则{n u }必收敛 D. 若12u u <，则{n u }必发散(6)设曲线L ：f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点N,T 为L 上从点M 到N 的一段弧，则下列小于零的是 ( ) A.(,)rx y dx ⎰ B. (,)rf x y dy ⎰C.(,)rf x y ds ⎰D.'(,)'(,)x y rf x y dx f x y dy +⎰（7）设向量组1α，2α，3α线形无关，则下列向量组线形相关的是： ( ) （A ）,,122331αααααα--- （B ） ,,122331αααααα+++（C ） 1223312,2,2αααααα--- （D ）1223312,2,2αααααα+++（8）设矩阵A=211121112--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，B=100010000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，则A 于B ( )(A) 合同，且相似(B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似(D)既不合同，也不相似（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p ()01p <<，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为： ( ) （A ）23(1)p p - (B)26(1)p p - (C) 223(1)p p -(D) 226(1)p p -(10) 设随即变量（X ，Y ）服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，()X f x ，()Y f y 分别表示X ，Y 的概率密度，则在Y ＝y 的条件下，X 的条件概率密度|(|)X Yf x y 为 ( )（A ）()X f x(B) ()Y f y(C) ()X f x ()Y f y(D)()()X Y f x f y 二．填空题：11－16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上 （11）31211x e dx x⎰＝_______. （12）设(,)f u v 为二元可微函数，(,)y xz f x y =，则zx∂∂＝______. (13)二阶常系数非齐次线性方程2''4'32x y y y e -+=的通解为y ＝____________. (14)设曲面∑：||||||1x y z ++=，则(||)x y ds ∑+⎰⎰＝_____________.(15)设矩阵A ＝0100001000010000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则3A 的秩为________. （16）在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于12的概率为________. 三．解答题：17~24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.222222(,)2{(,)4,0}f x y x y x y D x y x y y =+-=+≤≥(17)（本题满分11分）求函数在区域上的最大值和最小值。
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二、（10分）假设一元函数一阶连续可导.令，计算. 三、（10分）研究一元函数的极值点、零点，并画出草图. 四、（10分）计算积分. 五、（10分）计算积分，
其中S为四面体的边界曲面. 六、（10分）计算二重积分，其中D为圆域. 七、（10分）设函数在区间二阶连续可微，且，，，.证明，. 八、（10分）设，.证明：级数收敛的充分必要条件是级数收敛. 九、（15分）设是上的非负连续函数.对，级数在上一致收敛到.若有限. 证明： （1）收敛，且； (2)若令，则在上一致收敛到. 十、（10分）设为二元连续函数.证明存在两个不同的点，使得. 十一、（15分）（1）设连续，试证明 ， 其中. （2）利用（1）或直接计算积分，其中S是球面 ，且积分是沿球面外侧而取的. 十二、（10分）设为的向量值函数，且满足条件 ，， 这里是上的标准范数.证明可逆，且其逆映射也是的.
则收敛； （2） 如果无界，
则发散。 证明 因为是单调递增的正数列，所 以； ，，是正项级数； （1）如果有界，根据单调有界原 理，存在有限（法一 ，
对任意大的，然后取充分大，就可 使上式成立，于是不是基本列，故 发散。 方法二
因为 ， ， 从而发散。
南京大学2007年数学分析考研试题
一、（30分）举例 1、举一个极限点（凝聚点）在区间上稠密的可数集. 2、举一个有振动间断点的函数. 3、举一个连续但不是一致连续的函数. 4、举一个可逆的可微函数，其逆函数不可微. 5、举一个非零的可微函数，它在某一点的任意阶导数均为零. 6、举一个Riemann不可积的函数. 7、举一个非负函数，它在上积分收敛，但极限不存在. 8、举一个在上定义的二元函数，它分别对于变量，连续，
证明 因为是单调递增的正数列，所 以； ，，是正项级数； （1）如果有界，根据单调有界原 理，存在有限（）， 从而收敛， 由， 得收敛； 或者 由，得 ，有界， 所以收敛。
（2） 如果无界，则有， 方法一 ，
对任意大的，然后取充分大，就可 使上式成立，于是不是基本列，故 发散。
方法二 因为 ， ，从而发散， 若不收敛于1，则发散， 若收敛于1， 则有，（充分大），， 于是发散。 八、2、 设是单调递增的正数列， 证明：（1）如果有界，
九、证明 （1）设，在上连续。 对每一，则有单调递增， 由于对，级数在上一致收敛到，于是在连续，
从而在上收敛于，在连续， 对，有，令，则有，收敛， 但未必有。
反例 级数的每一项都在区间上非负且 连续，
，，
对，数在上一致收敛到，且有， 尽管收敛，但 。
和函数仅在上连续， 在处不连续。
级数在上不一致收敛。
此题条件应改为：设是上的非负连续函数.对，
级数在上一致收敛到，且有限，若。 证明 在上一致收敛到. （2）显然在连续，单调递增，在上收敛于， 根据狄尼定理，知在上一致收敛于。 十、证明 设为连续函数，则对任意，是连续的周期为函数。 令，则有， ， 若，则结论得证； 若，则，由连续函数的零点定理，存在，使得，由此结论的证。 十一、（1）、证明 取新坐标系，其中原点不变，平面即为，轴垂直于 该面，点到平面的距离为； 点在中的坐标为，
南京大学2007年数学分析考研试题解答
二、解 ，， 。
四、解 ，
由, ;
得, ,
, 五、，其中是四面体的边界；
解曲面由四部分组成， ；；
；； ；
； ； 对曲面，， ， ， 故 . 六、解 ， 七、 证明 当时，显然成立； 对任何，有 ，于是。 结果得证。
八、1、设是单调递增的正数列，
证明：（1）如果有界，则收敛； （2） 如果无界，则发散。
选取正交变换 ， ， ，
球域，变换为， 在变量替换下，公式左端的积分可写为
； （2）解 利用高斯公式，知
。
十二、证明 显然，对于任意，，有， 是单射，所以存在， 由，知连续，
由，得 对任意实数向量,有， 在中令，取极限，则有 得，任何,从而必有，可逆， 由隐函数组存在定理，所以存在，且是连续可微的。