【参考借鉴】南京大学数学分析考研试题及解答.doc

南京大学20KK 年数学分析考研试题

一设()f x 为1R 上的周期函数，且lim ()0x f x →+∞

=，证明f 恒为0。 二设定义在2R 上的二元函数(,)f x y 关于x ，y 的偏导数均恒为零，证明f 为常值函数。

三设()n f x (1,2,...)n =为n R 上的一致连续函数，且lim ()()n n f x f x →∞

=，1x R ∀∈， 问：()f x 是否为连续函数？若答案为“是”，请给出证明；若答案为“否”，请给出反例。 四是否存在[0,1]区间上的数列{}n x ，使得该数列的极限点（即聚点）集为[0,1]，把极限点集换成(0,1)，结论如何？请证明你的所有结论。

五设()f x 为[0,)+∞上的非负连续函数，且0()f x dx +∞

<+∞⎰，问()f x 是否在[0,)+∞上有

界?若答案为“是”，请给出证明；若答案为“否”，请给出反例。 六计算由函数211()2f x x =

和22()1f x x =-+的图像在平面2R 上所围成区域的面积。 七计算积分

222(22)x xy y R e dxdy -++⎰⎰。 八计算积分xyzdxdydz Ω

⎰⎰⎰，其中Ω为如下区域：

3{(,,):0,0,0,}x y z R x y z x y z a Ω=∈≥≥≥++≤，

a 为正常数。

九设0n a >(1,2,...)n =，1n n k k S a ==

∑，证明：级数21n n n a S ∞=∑是收敛的。 十方程2232327x y z x y z +++-=在(1,2,1)-附近决定了隐函数(,)z z x y =，求2(1,2)z x y

∂-∂∂的值。 十一求函数333(,,)f x y z x y z =++在约束条件2x y z ++=，22212x y z ++=下的极值，

并判断极值的类型。

十二设1[0,1]f C ∈，且(0)(1)0f f ==，证明：112

200

1[()][()]4f x dx f x dx '≤⎰⎰。 十三设()f x 为[0,]π上的连续函数，且对任意正整数1n ≥，均有 0()cos 0f x nxdx π

=⎰，证明：f 为常值函数。

南京大学20KK 年数学分析考研试题解答

一证明设()f x 的周期为T ，0T >，则有()()f x nT f x +=，由条件知，

()lim ()0n f x f x nT →∞

=+=， 结论得证。 二证明因为0f x

∂=∂，0f y ∂=∂， f x ∂∂，f y

∂∂在2R 上连续，对任意2(,)x y R ∈，有 (,)(0,0)f x y f -(,)(,)f f x y x x y y x y

θθθθ∂∂=⋅+⋅∂∂0=， 所以(,)(0,0)f x y f =，即(,)f x y 为常值函数。

三解()f x 未必为连续函数。

反例：()1n

n n x f x x =+，

()n f x 在1R 上连续，又lim ()1n x f x →∞

=，所以()n f x 在(,)-∞+∞上一致连续， 0,11lim ()(),12

1,1

n x x f x f x x x →∞⎧<⎪⎪===⎨⎪>⎪⎩， 显然()f x 在(,)-∞+∞上不连续。

四解（1）存在。取[0,1]中的有理数形成的点集{}n I r =，则有[0,1]I '=。

（2）不存在。

假若存在{}n I x =，使得(0,1)I '=，由于I '是闭集，而(0,1)为开集，矛盾，所以这样的点列不存在。

五未必有()f x 在[0,)+∞上有界，未必有lim ()0x f x →+∞

=。

六解显然两曲线的交点横坐标为1x =

2x =

2211)]2

S x x dx =-+-

20321)2

x dx =-+

312(2x x =-+

312[2=-+

9

=。 七解显然这个二重广义积分是收敛的。

由2x e dx +∞

--∞=⎰

222

(22)x xy y R e dxdy -++⎰⎰ 22()x y x dx e e dy +∞+∞

--+-∞-∞=⎰⎰ 22

()x y x e dx e dy +∞+∞--+-∞-∞=⎰⎰

2

x dx --∞=⎰

==。

八解xyzdxdydz Ω

⎰⎰⎰

000a a x a x y dx dy xyzdz ---=⎰⎰⎰

十解

22920x x x z z y z ++-=，

24920y y z z x z ++-=，

218920y x xy xy zz z z z z ++-=。

十一解333222

()(2)(12)L x y z x y z x y z λμ=+++++-+++- 2320L x x x

λμ∂=++=∂， 2320L y y y

λμ∂=++=∂， 2320L z z z

λμ∂=++=∂， 2223()32()0x y z x y z λμ++++++=，

3123220λμ⋅++⋅=，

36340λμ++=。

十二证明00()(0)()()x x f x f f t dt f t dt ''=+

=⎰⎰， 11222

00()()(())x x f x f t dt x f t dt ''≤≤⎰⎰， 122200()()()x f x x f t dt x f t dt ''≤≤⎰

⎰， 于是1

12

222

0011()()()22f x dx f x dx '≤⎰⎰， 1

1()(1)()()x x f x f f t dt f t dt ''=-=-⎰

⎰， 111

1222

()()(1)(())x x f x f t dt x f t dt ''≤≤-⎰⎰， 122

0()(1)()f x x f t dt '≤-⎰， 1

12221

211()()()22f x dx f x dx ''≤⎰⎰， 故有11

1122222100021()()()()4

f x dx f x dx f x dx f x dx '≤+≤

⎰⎰⎰⎰。 十三证明作函数()F x ，()F x 是周期为2π的偶函数，

当(0,)x π∈时，()()F x f x =，则()F x 在(,0)(0,)ππ-上连续，在[,]ππ-可积。 012()cos ()cos 0n a F x nxdx F x nxdx πππππ-=

==⎰⎰，(1,2,...)n =

002()a f x dx ππ=⎰

，

1()sin 0n b F x nxdx π

ππ-==⎰， 01

(cos sin )()2n n n a a nx b nx F x ∞=++∑， 001()(cos sin )22

N N n n n a a S x a nx b nx ==++=∑，