20092011下册东北大学高数期末考试试题

2008~2009学年第二学期

试题

一、单项选择题（本题共4小题，每小题4分，共计16分）

1.设函数(,)f x y 在点(0,0)的某邻域内有定义，且(0,0)3x f =，(0,0)1y f =-，则[ ] (A)(0,0)

3dz

dx dy =-；

(B) 曲面(,)z f x y =在点(0,0,(0,0))f 的一个法向量为(3,1,1)-；

(C)曲线(,)

0z f x y y =??=?在点(0,0,(0,0))f 的一个切向量为(1,0,3)；

(D) 曲线(,)

0z f x y y =??=?在点(0,0,(0,0))f 的一个切向量为(3,0,1)

2. 设1

0 (1,2,)n u n n

≤<

=，则下列级数中必收敛的是[ ]

(A)1

n n u ∞

=∑； (B)

1

(1)n

n

n u

∞

=-∑； (C)

1

n ∞

= (D)

21

(1)n

n

n u

∞

=-∑.

3. 如果81

lim

1=+∞→n

n n a a ，则幂级数∑∞

=03n n n x a [ ]

(A) (B)

(C) (D) .

4. 设Ω是由球面2222x y z a ++=所围成的闭区域，则222x y z dv Ω

++???= [ ] .

(A) 545a π； (B) 44a π； (C) 543a π； (D) 52

5

a π.

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共计24分）

1. 曲面2222321x y z ++=在点(1,2,2)-处的法线方程为 .

2. 函数),(y x f 22y xy x +-=在点)1,1(处的全微分为 .

3. 已知曲线L 为连接(1,0)和(0,1)两点的直线段，则曲线积分

()L

x y ds +?= .

4. 由曲面2243()z x y =-+与曲面22z x y =+所围立体的体积为 .

5. 设∑为平面1234

x y z

++=在第一卦限中的部分，则曲面积分

()234x y z dS ∑

++??= . 6. 设()f x 是周期为4的周期函数，它在[2,2)-上的表达式为

0, 20

()3, 022

x f x x -≤

(4)s = .

三、计算下列各题 （本题共5小题，每小题6分，共计30分） 1. 求过点1(1,1,1)M 和2(0,1,1)M -且与平面0x y z ++=垂直的平面方程.

2. 设z = f (e x

sin y , x 2

+ y 2

), 其中f 具有二阶连续偏导数，求2z

x y

???.

3. 设(,,)F x y z 具有连续偏导数，且对任意实数t 有(,,)F tx ty tz (,,)k t F x y z =(k 为自然数)，试证:曲面(,,)0F x y z =上任意一点的切平面相交于一定点(设在任意点处2220x y z F F F ++≠).

4. 计算二重积分D

xydxdy ??，其中D 是由两条抛物线y x =，2y x =所围成的闭区

域.

5. 将函数()arctan f x x =展开成关于x 的幂级数，并求展开式成立的区间. 四、 (8分) 设曲线积分[]

?-+B

A x dy x f ydx x f e )()(与路径无关，且2

1

)0(=

f ，求)(x f ，并求当A ，B 分别为（0，0），（1，1）时的曲线积分值.

五、(8分) 计算积分222(I x dydz y dzdx z dxdy ∑

=++??，其中∑是抛物面22z x y =+被

平面4z =截下的有限部分的下侧.

六、(8分) 3．(10分)平面通过球面x 2 + y 2 +z 2 = 4(x 2y 2z )的中心, 且垂直

于

直线L : 0

0x y z =??+=?, 求平面与球面的交线在xOy 平面上的投影, 并求投影与(1,

4, 1)点的最短和最长距离.

七、(6分) )判断级数11

1ln n n n n ∞

=+??- ??

?∑的敛散性.

解答

一、1. 【解】应选择C

.),(),,(0000y x f y x f y x 存在只是全微分存在的必要条件，故A 是错误的。 曲

面

))

0,0(,0,0(),(f y x f z 在点=的法向量为)

1,1,3()1),0,0(),0,0((--±=-±y x f f 故

B

是

错

误

的

。

))

0,0(,0,0(0),(0),(f x

x y y x f z y y x f z 在点即曲线??????????=====切向量为

)3,0,1(),

1(0

0===x x dx

dz dx

dy

，故C 是正确的，D 是错误的。

2. 【解】应选择D..

.

)1(,,,1,112

121222绝对收敛故收敛由比较法收敛而∑∑∑∞

=∞=∞=-

u u n n u .

3. 【解】应选择B

时即由比值法，2181,81lim lim 33313331<<==+∞→++∞→x x x x a a x

a x a n n n n n n n n 收敛∑∞

=0

3n n n

x a

.

4. 【解】应选择B.

5

420

2

22

225

4sin sin )(a dr r d d d drd r r dv z y x a

π??θθ??π

π=

=?=++??

???????Ω

Ω

二、1. 【解】应填

122

146

x y z --+==-； )6,4,2(),,(z y x F F F n z y x ==→

，)12,8,2()2,2,1(-=→

-n

所求法线为：

122

146

x y z --+==

- 2. 【解】应填dx dy +；

1)1,1(,2),(=-=x x f y x y x f ；1)1,1(,2),(=+-=y y f y x y x f ；dy

dx dz +=)1,1(。

3. 【解

；

曲线L 的方程为：1=+y x ，2)(==+??ds ds y x L

L

。

4.【解】应填2π；

ππθπ

2)44(21

2341

20

2

2

????

???=-==

=

-Ω

dr r r dz rdr d dv V r r

5.【解

613221

361361)432(

=???===++??????∑∑

dxdy dS dS z y x D

6. 【解】应填3

(4)4

s =

. 4

3

2)04()04((4))(4=++-=

=f f s x f x 的间断点，是.

三、1. 【解】 12(1,0,2)M M =-- 平面0x y z ++=的法向量1(1,1,1)n =…

1211022111i j k

M M n i j k ?=--=--

所求平面方程为 20x y z --=. 2. 【解】

12e sin 2x z

yf xf x

?=+? 22111221221e sin cos 2e sin 2e cos 4e cos x x x x z

y yf y yf x yf xyf yf x y

?=++++?? 221112221e sin cos 2e (sin cos )4e cos x x x z

y yf y y x y f xyf yf x y

?=++++??

3. 【证】 F (tx , ty , tz ) = t k F (x , y , z )两边对t 求导得 xF 1 + yF 2 + zF 3 = kt k

1

F (x , y , z )

令t = 1, 有xF x + yF y + zF z = kF (x , y , z )

设(x 0, y 0, z 0)为曲面上任一点, 则过此点的切平面方程为 F x (x

x 0) + F y (y

y 0) + F z (z

z 0) = 0

即 xF x (x 0, y 0, z 0) + yF y (x 0, y 0, z 0) + zF z (x 0, y 0, z 0) = kF (x 0, y 0, z 0) = 0, 则过曲面上任一点(x 0, y 0, z 0)的切平面都经过坐标原点. 4. 【解】21

x

x

D

xydxdy xdx ydy =????

21

2012x

x x y d x =?

12401()2x x x dx =-? 12401()2x x x dx =-? 1

24

=

5. 【解】2422

1

()1(1)1n n f x x x x x

'==-+++-++ (21x <)

两边积分 242200

1(1(1))1x x n n

dx x x x dx x =-+++-++??

3521

11

(1)a r c t a n 35

21

n

n x x x x x n +-=-++

+++ 11x -<≤

四、【解】 (,)

[e ()], (,)x

P x y f x y Q x y f x =+=-,

(), e ()

x

Q P f x f x x y

??'=-=+?? 因曲线积分与路径无关，因此

Q P x y

??=??， 即 ()e ()x

f x f x '-=+ ()()e x f x f x '+=,

解得 1()e e 2

x x

f x -=-+ 所以

(1,1)(0,0)

11[e e ][e e ]22

x x

x x I ydx dy --=++-? 11

1

010[e e ]2d x d

y -=+-??＝1

101e 1[e e ]22e y --=-…

五、【解】 补充∑1: z = 4 (x 2 + y 2 ≤ 4)上侧, 则 1

1

I ∑+∑∑=-????

设∑和1∑所围成的区域为Ω，则由高斯公式可得

1

2222()x dydz y dzdx z dxdy x y z dxdydz ∑+∑Ω

++=++?????

=2zdxdydz Ω

???= 4

128

23

z zdz ππ?=

?, 221

2224

1664x y x dydz y dzdx z dxdy dxdy π∑+≤++==????

,

12864

6433

I πππ=

-=-. 六、【解】 球面(x 2)2 + (y + 4)2 + (z + 4)2 = 36, 中心坐标(2,

4, 4),

平面的法向量为(0, 1, 1), 所求平面方程为

(y + 4) + (z + 4) = 0, 即 y + z = 0. 交线2224(22)0x y z x y z y z ?++=--?-+=?, 在xOy 平面上投影为

22

(2)(4)13618

0x y z ?-++=?

??=?. 设投影上一点(x , y , 0), 所求距离为 d 2 = (x

1)2 + (y + 4)2 + 1

令 22

2

2

(2)(4)(,,)(1)(4)1[

1]3618

x y F x y x y λλ-+=-+++++- (22)

(2)2(1)018

(4)2(4)09(2)(4)13618x

y x F x y F y x y λλ-?

=-+=??

+?

=++=??

?-++=?

?, 解出驻点(0, 0), (0,

8), (8, 4), (4, 4)

min max d d == 七、【解】 2

11ln(1)

lim 1

n n

n n →∞-+

2100

1

1ln(1)

11lim

lim 22

x x n

x x x x x →=→-

-++=== 级数21

1n n ∞

=∑收敛, 由比较审敛法, 级数11

1ln n n n n ∞

=+??- ???∑收敛.

2009~2010学年第二学期

试题

一、单项选择题（本题共4小题，每小题4分，共计16分）

1. 函数222)2(),(x y x y x f -+=在闭区域1)1(22≤+-y x 上的最小值为 [ ] .

(A) 0； (B) 1； (C) 2； (D) 3.

2. 设函数(,)f x y 连续，则二次积分1

(,)y

dy f x y dx ??= [ ].

(A) 1

1

(,)x

dx f x y dy ?

?； (B)

1

00

(,)x

dx f x y dy ??；

(C)

11

(,)y

dy f x y dx ??

； (D)

1

(,)y

dy f y x dx ?

?.

3. 设Ω为平面1x y z ++=与三个坐标面所围成的闭区域，则dv z y x )(++???Ω

=

[ ].

(A) 1/6； (B) 1/8； (C) 1/12； (D) 1/24. 4.

设(1)ln(1n n u =-，则级数 [ ].

(A) 1n n u ∞

=∑与21

n n u ∞

=∑都收敛； (B) 1n n u ∞

=∑与21

n n u ∞

=∑都发散；

(C) 1

n n u ∞

=∑收敛而21

n

n u ∞=∑发散； (D) 1

n n u ∞

=∑发散而21

n n u ∞

=∑收敛.

二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共计20分）

1. 已知1=a ，2=b ，a 与b 的夹角为4

π

，则b a += .

2. 设Ω

是由曲面z =与0=z 围成的立体，则Ω的形心坐标 . 3.设曲线Γ为连接)1,1,1(与(2,3,4)两点的直线段，则曲线积分

()x y z ds Γ

++?= .

4. 设∑为锥面22y x z +=被平面1=z 结下的有限部分，则曲面积分

??∑

zdS = .

5.幂级数∑∞

=0

2

n n n x a 的收敛区间为),(+∞-∞则a 应满足 .

三、计算下列各题 （本题共5小题，每小题7分，共计35分）

1. 求过点)5,2,3(-M 且与两个平面34=-z x 和152=--z y x 的交线垂直的 平面方程.

2. 求函数yz x u 32+=在点)1,1,1(处沿椭球面632222=++z y x 在该点的外

法线方向的方向导数.

3.计算22()D

x y dxdy +??, 其中D 是由曲线222x y x +=，

224x y x +=，y x =和0y =所围成的平面区域.

4.求幂级数 +--+--+--

--n

x x x x n

n )1()1(3)1(2)1()1(132在其收敛域上的和函数.并求∑∞

=--1

1

)1(n n n 的值.

5.设2)(x x x f +=,),[ππ-∈x 是周期为π2的函数，将)(x f 展成Fourier 级数. 并 求级数∑

∞

=1

21

n n 的和. 四、(8分) 一质点在力j y x i y x y x F F )sin ()(),(2

2

+--==的作用下，由点

)0,0(O 沿上半圆22x x y -=移动到点)1,1(A ，求力F 所作的功.

五、(8分) 计算曲面积分

x y d x d y y zd zd x x zd y d z ??∑

++

，其中∑是由抛物面223y x z +=和球面224y x z --=所围成立体的表面外侧.

六、(8分) 设函数(,)f x y 有二阶连续偏导数，满足

20f

x y

?=??，且存在一元函数()h u ，使(,)f x

y h =，求(,)f x y .

七、(5分) 设12(,)((,),(,))F x y f x y f x y =是在00(,)x y 的某邻域内定义的向量函数，定

义12((,),(,))f x y f x y =

为12((,),(,))f x y f x y 的模. 如

果

0000(,)(,)(,)F x x y y F x y A x B y C x D y o +?+?--?+??+?=，其中

,,,A B C D 是与,x y ??无关而仅与00,x y

有关的常数，o

的高阶无穷小. 则称(,)F x y 在00(,)x y 点可微，记为

00(,)

(,)

(,)x y dF x y A x B y C x D y =?+??+?.

设(,)(arctan , y

F x y x

=，求(1,1)

(,)

dF x y .

解答

一、1.【解】应选择A;

?????=-+==--+=0

2)2(2),(0

)22)(2(2),(2

22

2y x y x y x f x x y x y x f y x ???==?01y x ，1)0,1(=f . 的边界为D 0222=-+x y x ，的边界上的值为零在D ),(y x f . 0;1min max ==f f

2.【解】应选择A ；

10

(,)y

dy f x y dx ??

= σd y x f D

??),(=

11

(,)x

dx f x y dy ??

3. 【解】应选择B ；

dv z y x )(++???Ω

=zdv ???

Ω

3=???z

D dxdy zdz 1

03=?-1

022)1(3dz z z

=81

4. 【解】应选择

D

(1)ln(1n

n u =-∑∞

=1

n n u 是交错级数n

n

11111+

<++

n 1n u )11(ln )11ln(1u =+

<++

=+n

n

又0)n

11(ln lim u lim n n n =+

=∞

→∞

→

∑∞

=1

n n

u 收敛

∑∞

=12n n

u 是正项级数n n n u n 11~)1ln(12

22

=???

? ?????? ??+= ∑∞

=11

n n

发散?∑∞

=1

2

n n

u

发散

二、1．【解】应填5；

因为5224

cos 212112)()(222=?+??+?=+?+=+?+=+π

b b a a b a b a b a

所以 5=+b a

2．【解】应填)8

3

,0,0(.

形心在轴上z ，0==y x

dr r d d d drd r r zdv ?????????Ω

Ω

==1

320

2

2

cos sin sin cos π

π

???θθ??? =442sin 21

4202

π?ππ

=?

???????????r π3

2=

???Ω

dv 83

3

24===

??????ΩΩ

ππ

dv zdv

z 3. 【解】应填146；

曲线Γ的参数方程为??

?

??+=+=+=13121

t z t y t x ，10≤≤t 。

ds

z y x ?Γ

++)(dt t t t 2221

321)13121(+++++++=?146=

4. 【解

】应填

3

2

2y x z += D xy

x 2+y 2≤

1

dxdy z z dS y

x

221++=dxdy dxdy y

x y y x x 212

2222

2

=++++

=

zdS ∑

??dxdy y x Dxy 221

+=

?

?

=??πθ20

1

22dr r d π3

2

2

=

5. 【解】应填1

12)

1(1lim lim lim 022

+∞

→+∞→+∞→====n n n n n n

n n a a a a a ρ1

2. (0, 0, 3/8)；

3. 149；

4.

3

； 5. )1,1(- . 三、1. 【解】 取平面的法向量5

12401

---=k

j i n

k j i

---=34

所求平面方程为0)5()2(3)3(4=-+-++z y x .

2. 【解】 632222=++z y x 的外法向量 )6,4,2(z y x n = ，)3,2,1(2)1,1,1(=n

外法向量的方向余弦141cos =

α，142cos =β，14

3cos =γ … 在)1,1,1(处

2=??x u ，3=??y u ，3=??z

u 14

17

cos cos cos =??+??+??=??γβαz u y u x u n u 3【解】

??D

ydxdy 2

4

4

2

2

y y dy ydx +-=?

?2

4

2(4)2

y y y dy -=+-?=18.

4. 【解】 级数的收敛域为(0,2]. 设∑∞

=---=1

1)1()1()(n n

n n x x s ，显然0)1(=s .

x

x x x x x s n n 1

)1(11)1()1()1()1(1)(112-=-+=

+--+--+--='--

x dx x

dx x s x

x

ln 1

)(1

1

==

'?

?

，x s x s ln )1()(=-，所以x x s ln )(= (0,2]. 令2=x 得， ∑∞

=--1

1

)1(n n n =2ln )2(=s .

5. 【解】 3

2)(1

)(1

22

0πππ

π

ππ

π

=+==

??--

dx x x dx x f a

??

?-

-

=+==

π

ππ

π

ππ

ππ0

22

cos 2

cos )(1

cos )(1

nxdx x nxdx x x nxdx x f a n

]cos 2cos 2[2]sin 2sin [20

2

2

2?

?

-=-=π

π

π

π

ππdx n nx

n nx

x dx n nx x n

nx x 2

cos 4n

n π=2)1(4n n

-=， ,2,1=n ??

?-

-

=+==

π

ππ

π

ππππ

2

sin 2

sin )(1

sin )(1

nxdx x nxdx x x nxdx x f b n

n

n dx n nx n

nx

x πππ

π

cos 2]cos cos [2

-

=+-=?

1

2(1)n n +-=， ,2,1=n ]sin )1(2cos )1(4[3)(122

nx n

nx n x f n

n n -+-+=∑∞

=π ， ),(ππ-∈x .

x π=±时 ()f x 的fourier 级数收敛到

2(0)(0)

2

f f πππ-++-=

x π=时，2

2

214

3n n

ππ∞

==

+∑，故 21

16n n π∞

==∑. 四、【解】 记曲线22x x y -=上由)0,0(O 到点)1,1(A 的一段有向弧为L ，则

W ?+--=L

dy y x dx y x )sin ()(22

x

y x y y x ?--?=-=?-?)

sin (1)(22，积分与路径无关. ???+-=+--=1

21

2

2

2)sin 1()sin ()(dy y dx x dy y x dx y x W L

sin 27

46=

- 五、【解】 记∑所围成的闭区域为Ω，由Gauss 公式有， ?????Ω

∑

=++zdv xydxdy yzdzdx xzdydz 2

???-=πθ20

3

43

2

2

2r r zdz rdr d

ππ2

13

)94(23

42

=--=?

dr r r r .

六、(8分) 解

f h x ?'=?

3222

222222)

()

()(y x xy y x h y x xy y x h y x f ++'-++''=??? 记22y x r +=，由已知，有0)(1

)(='-''r h r

r h

解得 r C r h 1)(='，2121

()2

h r C r C =+

2212(,)()f x y C x y C =++.

七、【解】 由已知，得

100100(,)(,)()f x x y y f x y A x B y o +?+?--?+?=

200200(,)(,)()f x x y y f x y C x D y o +?+?--?+?= 因此，),(),,(21y x f y x f 在00(,)x y 点均可微，则

)

,(1

00y x x

f A ??=

，)

,(100y x y

f B ??=

，),(200y x x

f C ??=

，)

,(200y x y

f D ??=

.

当1(,)arctan y

f x y x

=，2(,)f x y =时

122(,)f x y y x x y ?-=?+，122(,)f x y x y x y ?=?+，222(,)f x y x x x y ?=?+222

(,)f x y y

y x y ?=?+. 2

1,21===-=D C B A .

2010~2011学年第二学期

试题

一、单项选择题（本题共5小题，每小题4分，共计20分） 1．设=

),(y x f 42y x +，则函数在原点偏导数存在的情况是[ ].

（A ）)0,0(x f '，)0,0(y f '都存在 （B ）)0,0(x f '不存在，)0,0(y f '存在 （C ）)0,0(x f '存在， )0,0(y f '不存在 （D ）)0,0(x f '，)0,0(y f '都不存在 2．设平面

的法向量为),,(C B A n = ，直线L 的方向向量为),,(p n m s =

，则

p

C

n B m A ==是平面 与直线L 垂直的[ ].

(A)充要条件； (B)充分条件 ； (C)必要条件； (D)无关条件. 3．设 是球面x 2 + y 2 + z 2 = R 2，则下列结果正确的是[ ].

(A) ??∑

=++0)(2dS z y x ； (B) ??∑=334

R dS π；

(C) ??∑

=++0)(222dS z y x ； (D) ??∑

=++42224)(R dS z y x π.

4．设常数0>λ，则级数∑∞

=???

??

?-+λ+1211n n n n )()ln( [ ]。

（A ）绝对收敛； （B ）条件收敛； （C ）发散； （D ）收敛性与λ取值有关。 5．设曲线1),(:=y x f C （),(y x f 具有一阶连续偏导数），L 为C 上从点M (1,

1)到点N (1,

1)的一段弧，则下列小于零的是[ ]

（A ）?L

dx y x f ),( （B ）?L

dy y x f ),(

（C ）?L

ds y x f ),( （D ）dy y x f dx y x f y L

x ),(),('+'?

二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共计20分）

1．设3||=a

，1||=b ，6

),(π=∧b a ，则b a +在b a -上的投影为 .

2．交换积分次序?

?--2

222

1

),(x x x

dy y x f dx 为 .

3．设正向闭曲线L 的方程为1||||=+y x ，则?

++L

ds y x 2||||1

= .

4．设???<≤-<≤=πx x x x f 11102

)(2, )(x S 是)(x f 的以π2为周期的余弦级数展开式的

和函数, 则=-+)2()(S S π .

5．设函数),(y x z z =由方程)(bz y az x -=-?所确定，其中)(u ?有连续导数，则

=??+??y

z b x z a

. 三、计算下列各题 （本题共5小题，每小题6分，共计30分）

1．设y

xe u y x u f z ==),,,(，其中f 具有二阶连续偏导数，求y

x z

???2。

2．求曲面22y x z +=的与直线???=+=+2

21

2z y z x 垂直的切平面的方程。

3．计算二重积分??-D

dxdy x y ,其中D 是由直线x y =,1=y ，0=x 所围成的平

面区域.

4．求??∑

-+-+-dxdy x z dzdx z y dydz y x )()()(，是抛物面22y x z +=被平面z =

1截下的有限部分下侧。 5．求幂级数∑

∞

=1

3n n

n x n 在收敛域内的和函数。 四、 (8分) 设球体占有闭区域z z y x 2:222≤++Ω，它在内部各点处的密度大小等于该点到坐标原点的距离的平方，求球体对于z 轴的转动惯量。 五、(8分) 求抛物面 22y x z += 与平面 1=++z y x 的交线（椭圆）到原点的最长距离和最短距离．．

六、(8分)设)(x f 是非负连续函数，且1)(2

0=?dx x f ，计算曲线积分

?

+-L

x dx e y xdy )(，式中L 为沿)(x f y =从点)0,0(O 到)0,2(A 的曲线段.

七、(6分)设级数∑∞

=--1

1)(n n n a a 收敛，∑∞

=1

n n b )0(≥n b 收敛，证明级数∑∞

=1

n n n b a 绝对

收敛。

解答

一、单项选择题（本题共5小题，每小题4分，共计20分） 1．设=

),(y x f 42y x +，则函数在原点偏导数存在的情况是[ B ].

（A ）)0,0(x f '，)0,0(y f '都存在 （B ）)0,0(lim x f '不存在，)0,0(y f '存在

（C ）)0,0(x f '存在， )0,0(y f '不存在 （D ）)0,0(x f '，)0,0(y f '都不存在 2．设平面

的法向量为),,(C B A n = ，直线L 的方向向量为),,(p n m s =

，则

p

C

n B m A ==是平面 与直线L 垂直的[ A ].

(A)充要条件； (B)充分条件 ； (C)必要条件； (D)无关条件. 3．设 是球面x 2 + y 2 + z 2 = R 2，则下列结果正确的是[ D ].

(A) ??∑

=++0)(2dS z y x ； (B) ??∑=334

R dS π；

(C) ??∑

=++0)(222dS z y x ； (D) ??∑

=++42224)(R dS z y x π.

4．设常数0>λ，则级数∑∞

=???

??

?-+λ+1211n n n n )()ln( [ C ]。

（A ）绝对收敛； （B ）条件收敛； （C ）发散； （D ）收敛性与λ取值有关。 5．设曲线1),(:=y x f C （),(y x f 具有一阶连续偏导数），L 为C 上从点M (1,

1)到点N (1,

1)的一段弧，则下列小于零的是[ B ]

（A ）?L

dx y x f ),( （B ）?L

dy y x f ),(

（C ）?L

ds y x f ),( （D ）dy y x f dx y x f y L

x ),(),('+'?

二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共计20分）

1．设3||=a

，1||=b ，6

),(π=∧b a ，则b a +在b a -上的投影为 2 .

2．交换积分次序?

?--2

222

1

),(x x x

dy y x f dx 为

?

?-+-2

1121

),(y y

dx y x f dy .

3．设正向闭曲线L 的方程为1||||=+y x ，则

?++L

ds y x 2||||1

=

4．设???<≤-<≤=πx x x x f 11102

)(2, )(x S 是)(x f 的以π2为周期的余弦级数展开式的

和函数, 则=-+)2()(S S π

2

+ 2 .

5．设函数),(y x z z =由方程)(bz y az x -=-?所确定，其中)(u ?有连续导数，则

=??+??y

z b x z a

1 . 三、计算下列各题 （本题共5小题，每小题6分，共计30分）

1．设y

xe u y x u f z ==),,,(，其中f 具有二阶连续偏导数，求y

x z

???2。

解

21f e f x

z

y +?=??

23211311212f f xe f e f xe e f y

x z

y y y y ++++?=??? 2．求曲面22y x z +=的与直线???=+=+221

2z y z x 垂直的切平面的方程。

解 直线可化为

2

/11211-=

-=-z

y x ，方向向量是)2/1,1,1(-k 。 所以所求切平面的法向量是)2/1,1,1(-k ，曲面的法向量)1,2,2(-y x ， 令)2/1,1,1()1,2,2(-=-k y x ，得到切点坐标2,1,1,2====z y x k 。 所以切平面是 0)2(2/1)1(1)1(1=---+-z y x ， 化简得 222=-+z y x 。

3．计算二重积分??-D

dxdy x y ,其中D 是由直线x y =,1=y ，0

=x 所围成的平面区域.

解 积分区域是直角三角形，D 的不等式表示是

}{y x y y x D ≤≤≤≤=0,10),(，

故

??

??

-=-D y dx x y dy dxdy x y 100

???????--=1

023)(32dy x y y

o

154

321023

==?dy y

4．求??∑

-+-+-dxdy x z dzdx z y dydz y x )()()(，是抛物面2

2y x z +=被平面z = 1截下的有限部分下侧。

解 设

1：z = 1

(122≤+y x )上侧

??∑

????∑∑+∑-=

1

1

?????∑Ω

--=1

)1(3dxdy x dxdydz

?????≤+--

=1

1

10

20

222)1(3y x r

dxdy x dz rdr d πθ

2

23π

ππ=-=

5．求幂级数∑

∞

=13

n n

n

x n 在收敛域内的和函数。 解 设∑∞

==1

3)(n n

n x n x s ∑?

∞

=-'=110

}3{)(n n n x

dx x n x x s ∑∞

='=1}3

1{n n

n

x x '

?????

?

??-=x x x 311312)3(3x x

-= (

3 < x < 3)

四、 (8分) 设球体占有闭区域z z y x 2:222≤++Ω，它在内部各点

处的密度大小等于该点到坐标原点的距离的平方，求球体对于z 轴的转动惯量。 解 dv z y x y x I z ))((22222+++=???Ω

?

????=κ

π

π

???θcos 20

22222

20

sin sin dr r r r d d

π???ππ

35

32

sin cos 72562037=?-

=?d 。

五、(8分) 求抛物面 22y x z += 与平面 1=++z y x 的交线（椭圆）

到原点的最长距离和最短距离．

解：该问题化为条件极值问题: ??

?

??=+++=++1)max(min)(22222z y x y x z z y x ; 引入Lagrange 函数

)1()(),,,,(22222-+++-++++=z y x v z y x u z y x v u z y x L ，

求驻点：

022=++=??v ux x x L ，022=++=??v uy y y L ，02=+-=??v u z x

L ， 022=-+=??z y x u L ，01=-++=??z y x v

L

．

解得 21

3+-

==y x ，32+=z ；2

1

3-==y x ，32-=z ； 令 222),,(z y x z y x f ++=，经检验

359)32,2

1

3,213(+=++-+-

f ， 359)32,2

13,213(

-=---f ， 可见，曲线到原点的最长距离和最短距离分别为 359+ 和 359-． 六、(8分)设)(x f 是非负连续函数，且1)(2

0=?dx x f ，计算曲线积分

?+-L

x

dx e

y xdy )(，式中L 为沿)(x f y =从点)0,0(O 到)0,2(A 的曲线段.

解 ?+-L

x dx e y xdy )(=?++-AO

L x dx e y xdy )(?+--AO

x dx e y xdy )(

???--=20

2dx e dxdy x D

221)1(2e e --=---=

七、(6分)设级数∑∞

=--1

1)(n n n a a 收敛，∑∞

=1

n n b )0(≥n b 收敛，证明级数

∑∞

=1

n n

n b

a 绝对收敛。

证明 设011201)()()(a a a a a a a a S n n n n -=-++-+-=-

级数∑∞

=--1

1)(n n n a a 收敛，则s a a S n n n n =-=∞→∞→0lim lim ，s a a n n +=∞

→0lim

存在M ，使得 |a n | M 。

n n n Mb b a ≤||

∑∞

=1

n n

b

)0(≥n b 收敛，由比较审敛法，级数∑∞

=1

n n n b a 绝对收敛。