东北大学高数试题上

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东北大学历年期末高等数学试题

八、高等数学试题 2005/1/10一、填空题（本题20分，每小题4分）1．已知==⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→a a x a x xx ，则9lim2．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+=1112)(2x b ax x x x f ，，，当a = ,b = 时，f (x )在x =1处可导。

3．方程017=-+x x 共有个正根。

4．当=x 时，曲线c bx ax y ++=2的曲率最大。

5．⎰=20sin πxdx x 。

二、选择题（本大题24分，共有6小题，每小题4分） 1．下列结论中，正确的是（）（A ）若a x n n =∞→2lim ，a x n n =+∞→12lim ，则a x n n =∞→lim ；（B ）发散数列必然无界；（C ）若a x n n =-∞→13lim ，a x n n =+∞→13lim ，则a x n n =∞→lim ；（D ）有界数列必然收敛。

2．函数)(x f 在0x x =处取得极大值，则必有（）。

（A ）0)(0='x f ；（B ）0)(0<''x f ；（C ）0)(0='x f 或)(0x f '不存在；（D ）0)(0='x f 且0)(0<''x f 。

3．函数⎰=xa dt t f x F )()(在][b a ，上可导的充分条件是：)(x f 在][b a ，上（）（A ）有界；（B ）连续；（C ）有定义；（D ）仅有有限个间断点。

4．设⎰-+=2242cos 1sin ππxdx x x M ，⎰-+=2243)cos (sin ππdx x x N ，⎰--=22432)cos sin (ππdx x x x P ，则必有关系式（）（A ） M P N <<；（B ）P M N <<；（C ）N P M <<；（D ）N M P <<。

大一上学期(第一学期)高数期末考试题(有答案)

其通解为
y C1e x C2 e2x
1, r2 2.
2
1
代入初始条件 y(0)
y (0) 1，得
C1
, C2 3
3
y
2 e
x
故所求曲线方程为：
3
五、解答题（本大题 10 分）
1 e2 x 3
y 15. 解：（1）根据题意，先设切点为 ( x0 , ln x0 ) ，切线方程：
ln x0
1
(x x0
x0 )
设 ( x) 1 x ， ( x) 3 33 x，则当 x 1时（）
2.
1x
.
（A） ( x)与 (x) 是同阶无穷小，但不是等价无穷小；是等价无穷小；
（B） ( x)与 (x)
（C） ( x) 是比 ( x) 高阶的无穷小；无穷小 .
（D） ( x) 是比 (x) 高阶的
x
3.
F (x) 若
1
(1 q) f ( x) d x q f ( x)dx
0
q
1 [0, q ] 2 [ q,1]
q (1 故有：
q) f ( 1)
q (1
f ( 1) f ( 2)
q) f ( 2 )
0
q
1
f ( x) d x q f ( x )dx
0
0
证毕。
17.
x
F ( x) f ( t)dt , 0 x
证：构造辅助函数：
x 0, y 0 ， y (0) 1 10. 解： u x7 7 x6dx du
原式
1 (1 u)
11
du
(
2 )du
7 u(1 u) 7 u u 1

东北大学大一公共课专业高等数学统考试卷及答案 (3)

东北大学?微积分〔下〕?自测试卷3〔时间120分钟，总分100〕学院〔系〕专业班姓名：成绩报告表序号：一、填空题 1．[3分]211x+的幂级数展开式为 2．[3分]幂级数()()21!2!nn n x n ∞=∑的收敛半径为3．[3分]假设(),z z x y =由方程,0y z F x x ⎛⎫=⎪⎝⎭确定，则z z x y x y ∂∂+=∂∂4．[3分] 二次积分()()20,0af x y dx a >⎰在极坐标下的二次积分为5．[3分]设区域(){}22,4,0D x y xy y =+≤≥，利用被积函数的对称性及区域的对称性知积分()32Dx x y d σ+=⎰⎰6、[3分]设()()ln 11ydu x y dx e x dy -=-++++⎡⎤⎣⎦，则(),u x y =二、计算1、[5分]设()2,xz f ye x y =，且f 具有二阶连续偏导数，求2,f f x y x∂∂∂∂∂ 2、[6分]设x y z yf xg y x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中,f g 具有二阶连续偏导数，求222z z x y x x y ∂∂+∂∂∂3、[6分]设()()(),xyz f u u u g t dt ϕ==+⎰，其中()g t 连续，()(),u f u ϕ均可导，且()1u ϕ'≠，求()()z zg y g x x y∂∂+∂∂ 4、[7分]求函数()()22(,)64f x y x xy y =--的极值5、[6分] 计算二重积分,x yDedxdy D ⎰⎰由2,0,1y x x y ===所围6、[6分计算,DD 由直线,0,y x y x a ===所围7、[6分] 判别级数())111n n n ∞-=-∑的敛散性，假设收敛，说明示条件收敛还是绝对收敛8、[7分] 将函数()212f x x x =--展开为3x -的幂级数9、[7分]求微分方程()1222xy y x y'=++的通解10、[8分]设生产某种产品的数量与所用的两种原料,A B 的数量,x y 间有关系式(),3Q x y x y αβ=，其中,αβ为正常数，且1αβ+=。

[东北大学]21春学期《高等数学(一)》在线平时作业1答卷

[东北大学]21春学期《高等数学(一）》在线平时作业1 试卷总分:100 得分:100
一、单选题 (共 10 道试题,共 50 分)
1.
A.偶函数
B.奇函数
C.无界函数
D.单调函数
解析：参看课本303，并分析回答
选项正确的是:A
2.{题目为图片形式}
A.1
B.3
C.0
D.2
解析：参看课本303，并分析回答
选项正确的是:B
3.{题目为图片形式}
A.{题目为图片形式}
B.{题目为图片形式}
C.{题目为图片形式}
D.{题目为图片形式}
解析：参看课本303，并分析回答
选项正确的是:B
4.
A.
B.
C.
D.
解析：参看课本303，并分析回答
选项正确的是:C
5.{题目为图片形式}
A.A
B.B
C.C
D.D
解析：参看课本303，并分析回答
选项正确的是:B
6.{题目为图片形式}。

【东北大学】21春学期《高等数学(一)》在线平时作业1-学习资料答案

【东北大学】21春学期《高等数学(一）》在线平时作业1 注：本材料是东北大学2021年春季课程辅导资料，仅作为学习参考！！！一、单选题 (共 10 道试题,共 50 分)1.【A.】偶函数【B.】奇函数【C.】无界函数【D.】单调函数[提示：按照课程学习要求，对以上试题进行分析,并从中选择答案填写在答题卡上] 参考选项是:A2.{此题目不显示}【A.】1【B.】3【C.】0【D.】2[提示：按照课程学习要求，对以上试题进行分析,并从中选择答案填写在答题卡上] 参考选项是:B3.{此题目不显示}【A.】{此题目不显示}【B.】{此题目不显示}【C.】{此题目不显示}【D.】{此题目不显示}[提示：按照课程学习要求，对以上试题进行分析,并从中选择答案填写在答题卡上] 参考选项是:B4.【A.】【B.】【C.】【D.】[提示：按照课程学习要求，对以上试题进行分析,并从中选择答案填写在答题卡上] 参考选项是:C5.{此题目不显示}【A.】A【B.】B【C.】C【D.】D[提示：按照课程学习要求，对以上试题进行分析,并从中选择答案填写在答题卡上] 参考选项是:B6.{此题目不显示}【A.】A【B.】B【C.】C【D.】D[提示：按照课程学习要求，对以上试题进行分析,并从中选择答案填写在答题卡上] 参考选项是:D7.{此题目不显示}【A.】{此题目不显示}【B.】{此题目不显示}【C.】{此题目不显示}【D.】{此题目不显示}[提示：按照课程学习要求，对以上试题进行分析,并从中选择答案填写在答题卡上] 参考选项是:C8.{此题目不显示}【A.】{此题目不显示}【B.】{此题目不显示}【C.】{此题目不显示}【D.】{此题目不显示}[提示：按照课程学习要求，对以上试题进行分析,并从中选择答案填写在答题卡上] 参考选项是:C9.{此题目不显示}【A.】{此题目不显示}【B.】{此题目不显示}【C.】{此题目不显示}【D.】{此题目不显示}[提示：按照课程学习要求，对以上试题进行分析,并从中选择答案填写在答题卡上] 参考选项是:C10.{此题目不显示}【A.】{此题目不显示}【B.】{此题目不显示}【C.】{此题目不显示}【D.】{此题目不显示}[提示：按照课程学习要求，对以上试题进行分析,并从中选择答案填写在答题卡上] 参考选项是:A二、判断题 (共 10 道试题,共 50 分)11.{此题目不显示}【A.】正确【B.】错误[提示：按照课程学习要求，对以上试题进行分析,并从中选择答案填写在答题卡上] 参考选项是:正确12.【A.】正确【B.】错误[提示：按照课程学习要求，对以上试题进行分析,并从中选择答案填写在答题卡上] 参考选项是:正确13.{此题目不显示}【A.】正确【B.】错误[提示：按照课程学习要求，对以上试题进行分析,并从中选择答案填写在答题卡上] 参考选项是:正确14.无穷小是一个函数（）【A.】正确【B.】错误[提示：按照课程学习要求，对以上试题进行分析,并从中选择答案填写在答题卡上] 参考选项是:正确15.{此题目不显示}【A.】正确【B.】错误[提示：按照课程学习要求，对以上试题进行分析,并从中选择答案填写在答题卡上] 参考选项是:错误16.【A.】正确【B.】错误[提示：按照课程学习要求，对以上试题进行分析,并从中选择答案填写在答题卡上] 参考选项是:错误17.{此题目不显示}【A.】正确【B.】错误[提示：按照课程学习要求，对以上试题进行分析,并从中选择答案填写在答题卡上] 参考选项是:错误18.【A.】正确【B.】错误[提示：按照课程学习要求，对以上试题进行分析,并从中选择答案填写在答题卡上] 参考选项是:错误19.{此题目不显示}【A.】正确【B.】错误[提示：按照课程学习要求，对以上试题进行分析,并从中选择答案填写在答题卡上] 参考选项是:错误20.{此题目不显示}【A.】正确【B.】错误[提示：按照课程学习要求，对以上试题进行分析,并从中选择答案填写在答题卡上] 参考选项是:错误。

东北大学高等数学1-3

10 2 13、lim n 10 n 1 5
n
习题答案
• 4、 2 5、0 6、0
7、 2
8、 1
11、1
9、0
12、1
3 10、 2 1 13、 10
1 5、lim n n 2
1 6、lim 1 n n 1 2 2 7、lim n n
n
n 1 8、 lim n n 1 1 9、 lim 2 n n
3n 1 10、lim n 2n 1
n a 11、lim n n
2
n
2
0.999 9 12、lim n
故 lim x n a .
n
三、数列极限的性质
1、有界性
定义: 对数列 x n , 若存在正数 M , 使得一切自然数n , 恒有 x n M 成立, 则称数列x n 有界, 否则, 称为无界.
n 例如, 数列 x n ; 有界数列 x n 2 n . 无界 n1 数轴上对应于有界数列的点 x n 都落在闭区间
1 1 1 1 给定 ,由 , 只要 n 100时, 有 x n 1 , 100 n 100 100 1 给定 , 1000
只要 n 1000时,
1 有 xn 1 , 1000
1 1 给定 , 只要 n 10000 , 时, 有 x n 1 10000 10000
[ M , M ]上.
定理1
收敛的数列必定有界.
n
证设 lim xn a ,
由定义,
取 1,
则N , 使得当n N时恒有 x n a 1,
即有 a 1 xn a 1.
记 M max{ x1 ,, x N , a 1 , a 1 },

高等数学1(上册)试题答案及复习要点汇总(完整版)

承诺：我将严格遵守考场纪律，知道考试违纪、作弊的严重性，还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位，愿承担由此引起的一切后果。

21 D. 21 C. 12 B. 21 A.)A (4 sin 1cos cos 22----+=⎩⎨⎧+=+=点处的法线斜率为上在对应曲线、πt t y t t x大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5.=+→xx x sin 2)31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x x x f d cos )(则 .7.lim (cos cos cos )→∞-+++=22221n n n n n n ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ．　求，，设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V . 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21　.7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)c o s ()()x ye y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=- 10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：10330()xf x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰3()xxd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰　令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

东北大学大一公共课专业高等数学统考试卷及答案 (2)

东北大学?微积分〔下〕?自测试卷2〔时间120分钟，总分100〕学院〔系〕专业班姓名：成绩报告表序号：一、填空题1．[3分] 级数1(2)n n u ∞=-∑收敛，则()sin limn n nu u π→∞= 2．[3分]幂级数)11n n n x ∞=+的收敛域为 3．[3分]假设(),ln f x y =()1,1df =4．[3分] 二元函数3322339z x y x y x =-++-的极小值点为5．[3分]二重积分(),D f x y dxdy ⎰⎰在极坐标下的二次积分为()2sin 00cos ,sin d f r r dr πθθθθ⎰⎰，则积分区域D 在直角坐标系中可表示为6、[3分]假设()f x 满足方程()()02x f t dt f x =-⎰，则()f x = 二、计算1、[4分]设2y x z f x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求,z z x y ∂∂∂∂2、[6分]设()2x yxy z x y f t dt +=+⎰，其中()f t 可导，求2,z dz x y∂∂∂ 3、[7分]求函数()()22,2x f x y e x y y =++的极值4、[7分] 计算二重积分D xydxdy ⎰⎰，D 为22(2)1x y -+≤ 5、[6分] 求幂级数21(2)1nn x n ∞=+∑的收敛半径及收敛域 6、[7分]设()()1111n n n x x u x x n n +=--≤≤+，求()1n n u x ∞=∑的和函数7、[6分] 将函数()ln f x =展开为x 的幂级数，并求出其收敛域8、[6分]求微分方程30y y x y '-=-的通解 9、[7分]利用代换cos u y x =将方程cos 2sin 3cos x y x y x y x e '''-+=化简，并求出原方程的通解10、[8分]设()f t 函数在[0,)+∞上连续，且满足方程222244()t x y t f t e f dxdy π+≤=+⎰⎰，求()f x 三、证明题 1、[5分] 设函数y x z x y =，求证：()ln z z x y x y z z x y∂∂+=++∂∂ 2、[6分] 求证：原点到曲面()221x y z --=上的点的最短距离为23、[7分] 设()01,2,n a n >=单调，且级数11n n a ∞=∑收敛，证明：级数112n n n a a a ∞=+++∑收敛参考答案及提示一、()()223110;[,);;1,0;2;2223x dx dy x y y e ++≤ 二、2221,y x x f f x y xy y ⎛⎫⎛⎫'-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22212,x x f f x y y y ⎛⎫⎛⎫'- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()()()()()()()22,2xy f x y yf xy dx x f x y xf xy dy x f x y f xy xyf xy ''⎡⎤++-+++-++--⎡⎤⎣⎦⎣⎦；极小值为()()13111,1;;,,;11;228222e f S x x x -⎛⎫⎡⎤-=-=-≤≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 12cos 24,2sin cos 5cos xxx e u u e y c c x x x ''+==++ ()()()()()2222442402,88,412tt t t r f t e f rdr f t te tf t f t t e πππππππ⎛⎫'=+=+=+ ⎪⎝⎭⎰ 三、1、2略，3、提示：122222,n n n n n a a a na a ≤=+++，1221212(1)2,(1)n n nn n a a a n a a +++≤=++++由12n n a ∞=∑收敛知112n n n a a a ∞=+++∑收敛。

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一、高等数学试题 2007/1/14二、填空题（将正确答案填在横线上，本大题共6小题, 每小题4分, 共24分）1.120lim(1sin 3)________xx x →+=．2.方程x 5 – 5x – 1 = 0在(1, 2)共有______个根.3.7222(1)sin xxdx ππ-+=⎰_________.4.________dx =．5.球体半径的增长率为0.02m/s ，当半径为2 m 时，球体体积的增长率为_________.6. 幂级数0!nn n n x n∞=∑的收敛半径R = .三、计算题(6分⨯4 = 24分)1.设2321ln ,.t x t d y y t dx ==⎧⎨=⎩求 2.求2011lim tan x x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭. 3.求2.4．已知,2)1(11=-∑∞=-n n n u,5112=∑∞=-n n u求1n n u ∞=∑四、(10分)设y = x e -x (0 ≤ x < +∞)，求函数的极大值，函数曲线的拐点，并求曲线与直线x = 2, x = 1, y = 0所围成曲边梯形的面积及此平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体体积. 五、(8分) 将函数341)(2++=x x x f 展开成(x -1)的幂级数．并给出收敛域。

六、(8分)设2,01(),1,x x f x ax b x ⎧≤≤=⎨+>⎩适当选取a , b 值，使f (x )成为可导函数，令0()()x x f t dt ϕ=⎰，并求出ϕ(x )的表达式.七、(6分)设f (x )具有二阶连续导数，且f (a ) = f (b ), f '(a ) > 0, f '(b ) > 0, 试证：∃ξ∈(a , b )，使f ''(ξ) = 0. 答案：一、1．(C) 2.(A) 3.(B ) 4 .(D). 5.(A) 二、1.32e 2.1 3.2π4.2(arctan C + 5. 0.32π 6.e. 三、1. 9. 2.13.3. 12arcsin 22x C -. 4.8. 四、极大值1(1)y e =, 拐点222,e ⎛⎫⎪⎝⎭，面积223A e e =-，体积245134V e e π⎛⎫=- ⎪⎝⎭。

五、2221xy x =-.六、a = 2, b = -1, 32,13()1,13⎧≤⎪⎪=⎨⎪-+>⎪⎩x x x x x x ϕ.二、高等数学试题 2008/1/14二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共计16分） 1. 32sin()0xy exy -+=在0x =处的切线方程是．2. 一个圆锥形容器，深度为10m ，上面的顶圆半径为4m ，则灌入水时水的体积V 对水面高度h 的变化率为．3．曲线326124y x x x =-++的拐点为． 4．1()1f x x=+展开成x - 2的幂级数为三、（7分）设 23, 01;2()1, 1 2.x x f x x x⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩ 试研究函数()f x 在[0, 2]上是否满足拉格朗日中值定理的条件.四、计算下列各题（本题共6小题，每小题6分，共计36分）． 1.x →.2. 10sin lim xx x x →⎛⎫⎪⎝⎭. 3.设ln arctanx y t ⎧⎪=⎨=⎪⎩，计算22d d y x ．4. 计算积分ln(x x ⎰． 5.计算积分12d x x ． 6. 求幂级数35213521n x x x x n ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅-在收敛域上的和函数. 五、（7分）由曲线0y =，8x =，2y x =围成曲边三角形OAB ，其中A 为0y =与8x =的交点，B 为2y x=与8x =的交点．在曲边OB 上求一点，过此点作2y x =的切线，使该切线与直线段OA ，AB 所围成的三角形面积为最大．六、（7分）求心形线(1cos )r a θ=+与圆3cos r a θ=所围图形公共部分. 七、（7分）设f (x )是(-∞, +∞)的可微函数，且满足：(1) f (x ) > 0 x ∈ (-∞, +∞),(2)存在0 < λ <1, 使得| f '(x )| < λ f (x ), x ∈ (-∞, +∞). 任取a 0 ∈ (-∞, +∞), 定义a n = ln f (a n -1), (n = 1, 2, ⋅⋅⋅), 证明11()nn n aa ∞+=-∑绝对收敛.八、（4分）设()f x 在[,]a b 上二阶可导，且()0f x ''>，证明()d ()()2baa bf x x b a f +≥-⎰．答案：一、1. B. 2. A. 3. A. 4.C.二、1. 113y x =+. 2. 2425h π. 3. (2,12). 4.10(1)(2)3nn n n x ∞+=--∑. 四、1.2. 2.1, 3. 22231d y t dx t +=-,4. ln(x x C5. 11ln 21x x+- (-1 < x < 1), 6. 1212cos 2sin 2cos sin 39y C x C x x x x =+++. 五. 16256(,)39. 六. 254a π。

七。

提示：两边求导解微分方程。

八．提示：()f x 在2a bx +=处的一阶Taylor 公式为三、高等数学试题 2009/1/16二、填空题（本题共５小题，每小题３分，共计1５分）1. 已知21(cos )0()0x x x f x ax ⎧⎪≠=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a = ． 2. 设函数f (x )可导，y = f (sin 2x )，则d y = ．3．函数f (x ) = e x 的３阶麦克劳林公式为． 4．质点以速度t sin t 2(米/秒)做直线运动，则从时刻1t =秒)到2t 秒)质点所经过的路程等于＿＿＿(米)．5．以y 1 = cos2x , y 2 = sin2x 为特解的常系数齐次线性微分方程为＿＿＿＿．三、（８分）设函数 21sin 0()sin 0x x f x xx xx ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，求f '(x ).四、计算下列各题（本题共6小题，每小题6分，共计36分）．1. lim (arctan )2x x x π→+∞-.2.2x ⎰.3. 设函数y = y (x )由y = 1 + xe y确定，求22d d yx．4. 设函数f (x )连续，且310()d x f x x x -=⎰，求f (7)．5.判断级数1n ∞=的敛散性，如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？五、(8分) 设0()nnn f x a x ∞==∑在[-1, 1]上收敛，试证：当a 0 = a 1 = 0时，级数11()n f n ∞=∑收敛。

六、（８分）设函数,0()1,0x xe x f x x x -⎧≥=⎨+<⎩，计算20(1)d f x x -⎰.七、（８分）在抛物线y = – x 2 + 1(x > 0)上求一点P , 过P 点作抛物线的切线，使此切线与抛物线及两坐标轴所围成的面积最小．八、(8分) 求幂级数ΛΛ+--+--+---nx x x x nn )1()1(3)1(2)1()1(32在其收敛域上的和函数。

九、（６分）设函数y =()f x 在(-1, 1)具有二阶连续导数且()0f x ''≠， (1)证明对于(-1, 1)任一x ≠ 0, 存在惟一的θ (x ) ∈ (0, 1),使 f (x ) = f (0) + xf '[θ (x )⋅x ]成立；(2)求0lim ()x x θ→．答案：一、1. B. 2. A. 3. B. 4.C. 5. D二、1. 12a e -=. 2. 3sin 2(sin )dy xf x dx '=. 3. 233()1()26x x f x x o x =++++. 4.12. 5.y ''+ 4y = 0.三、112sin cos ,0()sin cos ,000x x x x f x x x x x x ⎧->⎪⎪'=+<⎨⎪=⎪⎩四、1.１.2. 2arcsin 2x C ,3. 2223(3)(2)y d y e y dx y -=-, 4. 1(7)12f =，5.条件收敛五. y = x 3 + 3x + 1. 六.1322e --。

七. 2)3P八．ln x (0 < x ≤ 2)四、高等数学试题 2010/01/16二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共计24分）1. 若函数1(1)0()0⎧⎪+≠=⎨⎪=⎩x x x f x ax 在0x =处连续，则a = ．2. 函数()sin 22=-+x f x x 在(0,)2π的极小值为． 3．函数f (x )在(-∞, +∞)是可导的偶函数，且0(3)(3)lim 1,2→--=x f x f x则y = f (x )在点(-3, f (-3))处的切线斜率为． 4．若41()2=⎰xf t dt x ，则f (1) =＿＿＿． 5．若f (x )在[,]22ππ-上连续，则222[()()]sin ππ---=⎰f x f x xdx6．设f (x )是以2为周期的函数，其表达式为22,10,(),01,x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩则f (x )的Fourier 级数在x = -1处收敛于____________。

三、计算下列各题（本题共6小题，每小题6分，共计36分）．1.若2arcsin 2=a x y a (a > 0), 求dy dx. 2. 求极限231lim(sin )→∞-x x x x.3. 计算不定积分2(arcsin )⎰x dx ．4.计算定积分5⎰x ． 5．若33,, x t y t ⎧=⎪⎨⎪=⎩，求224π=t d y dx6．如果y = f (x )满足()∆=+∆y x o x ，且f (1) = 1, 求f (x )．四、(8分)摆线(sin ),(1cos ),=-⎧⎨=-⎩x a t t y a t (a > 0)的第一拱(0 ≤ t ≤ 2π), 求(1)该摆线的弧长；(2)该摆线与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得立体的体积．五、（８分）设f (x ) = x + x 2, x ∈ [-π , π), 将 f (x )展开成Fourier 级数, 并求级数∑∞=121n n的和。