东北大学 高等数学习题5解析

y e t dt
x
cos tdt
0
所确
0
0
定，求dy ； dx
2、
设
x
y
t2
1 u ln udu, (t 1) ,求d 2 y
1 u2 ln udu,
dx 2
t2
；
3、 d cos x cos( t 2 )dt ； dx sin x
4、设g( x) x2 dx ，求g(1) .
0 1 x3
dx x
4、
2 0
f
( x)dx
____，其中
f
(x)
x2 , 0 x 2 x , 1
1 x
2
.
5、设I1
cos mx cos nxdx ,
sin mx sin nxdx，
（1）、当m n 时， I1=__ ,I2 =_____ ， （2）、当m n 时，I1=___ ,I2 =_____ .
1、若 在 a
,
b
上
f
(x)
0,
且 b a
f
( x)dx
0
，
则
在
a , b上 f ( x) 0 ；
2、若在a , b上， f ( x) 0 ,且f ( x) 不恒等于 0 ，则
b
a f ( x)dx 0 ；
3、若在a , b上 f ( x) g( x),且
b
f ( x)dx
b g( x)dx ，则在a , b上f ( x) g( x) .
三、计算下列各定积分：
1、
2(x2
1
1 x2
)dx ;
3、 0 3 x 4 3 x 2 1 dx;
1 x 2 1
1
2、
2 1
2
dx ; 1 x2
4、
2
sin x dx
.
0
四、求下列极限：
( x e t2 dt)2
1、 lim x
0
x e 2t2 dt
;
0
1
x2 (1 cos t 2 )dt
三、1、 9
3 1 3
x
arctan
xdx
2
3
；
2、1 1
dx
arcsin 3 .
2 0 4 2x x2 x3
5
第三节 练 习 题
一、填空题：
Hale Waihona Puke 1、d dx b a
e
x2 2
dx
=_______
.
2、
xd (
f ( x))dx __________ .
a dx
3、 d 2 3 t ln(t 2 1)dt _______ .
4、区间 a , b 长度的定积分表示是_____________ .
二、利用定积分的定义计算由抛物线y x 2 1 , 两直线 x a , x b ( b a) 及横轴所围成的图形的面积 .
三、利用定积分的定义计算积分 b xdx ，( a b ) . a
四、利用定积分的几何意义，说明下列等式：
2、 lim 0
.
x0
5
x2
五、设 f ( x)为连续函数，证明:
x f (t)( x t)dt
_______________________；
3、当 a b 时 ，我们规定 b f ( x)dx 与 a f ( x)dx 的关
a
b
系是______________________；
4、积分中值公式
b f ( x)dx f ( )(b a) , (a b)的几何意义是 a
_______________；
a
a
练习题答案
一、1、 c f ( x)dx b f ( x)dx ；
a
c
2、m(b a) b f ( x)dx M (b a) , a b； a
3、
b
f ( x)dx
a f ( x)dx ；
a
b
4、曲边梯形各部分面积的代数和等于
f ( ) 与 b a 为邻边的矩形面积；
5、(1)>； (2)>； (3)>.
a
a
三、估计下列积分
3 3
xarc
cot
xdx
的值
.
3
四、证明不等式： 2 x 1dx 2 . 1
六、用定积分定义和性质求极限:
1、lim( 1 1 ... 1 );
n n 1 n 2
2n
2.、lim 4 sinn xdx. n 0
七、设 f ( x)及 g( x)在 a , b 上连续，证明：
5、下列两积分的大小关系是：
（1） 1 x 2dx _____ 1 x 3dx
0
0
（2） 2 ln xdx_______ 2 (ln x)2 dx
1
1
（3）
1 e xdx _______
1
( x 1)dx
0
0
二、证明：
b
kf ( x)dx k
b f ( x)dx （ k 是常数 ）.
练习题答案
n
一、1、lim 0 i1
f ( i )xi ；
2、被积函数,积分区间,积分变量；
3、介于曲线 y f ( x), x 轴 ,直线x a , x b 之间
各部分面积的代数和；
4、 b dx . a
二、1 (b3 a 3 ) b a. 3
三、1 (b2 a 2 ). 2
五、88.2(千牛).
第二节 练 习 题
一、填空题：
1、如果积分区间 a , b 被点c 分成a , c与c , b，则
定积分的可加性为 b f ( x)dx __________； a
2、如 果 f ( x)在a , b 上 的 最 大 值 与 最 小 值 分 别 为
M 与 m ，则 a f ( x)dx 有如下估计式：_________ b
1
1、
1 x2dx ;
0
4
2、
2
cos
xdx
2
2 cos xdx
0
;
2
五、水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力，已知 闸门上水的压强 P 是水深 h 的 函数，且有
p 9.8h(千米 米2 )，若闸门高H 3米 ，宽 L 2米 ，求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水
压力P （见教材图 5-3）.
第一节 练 习 题
一、填空题：
1、函数 f ( x) 在 a , b 上的定积分是积分和的极限，
即 b f ( x)dx _________________ . a
2、定 积 分 的 值 只 与 ______ 及 _______ 有 关 ， 而 与 _________的记法无关 .
3、定积分的几何意义是_______________________ .
6、设 cos mx sin nxdx,
（1）、当m n 时，I3 =____ ,
（2）、当m n 时，I3 =_____ .
9
7、4 x(1 x )dx _____ .
8、
3 dx
1 3
1
x2
_____
.
x
cos
t 2dt
9、lim 0
________ .
x0
x
二、求导数：
1、设函数 y y( x) 由方程