线性代数第三章 向量与向量空间
线性代数 3-6 第3章6讲-极大线性无关组和秩(2)
0 0
1 0
1 0
1 4
0
B
4
(3) 将其余向量用该极大无关组线性表示.
0 0 0 0
0
化为梯形阵后每个阶梯选一个向量得一个极大无关组：1,2,5 ；
(3) 把矩阵B继续作初等行变换：
1 0 3 2 1 1 0 3 2 1 1 0 3 1 0
B 0 1 1 1
0
0
1
1
1
0 0
1
1
1
0
0 0 0 4 4 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1
所以向量组1，
，
2
， n 与向量组e1，e2，
，en等价.
5
本讲内容
01 极大线性无关组和向量组的秩 02 向量组的秩和矩阵的秩的关系
二、向量组的秩和矩阵的秩的关系
定理3.7 设A是一个m n矩阵，则A 的秩等于A 的行秩，也等于A 的列秩.
记1，
，
2
， n
是A
的列向量组 (m
维)，1，2，
，m是A
的行向量组 (n
维)，
则
r( A)
r
(1，
，
2
，n )
r
(1，
，
2
，m ).
7
二、向量组的秩和矩阵的秩的关系
例3 求向量组的秩与极大无关组：
1 (1,1, 4)T ,2 (1, 0, 4)T ,3 (1, 2, 4)T ,4 (1,3, 4)T .
1 1 1 1 1 1 1 1
解
A 1,2,3,4 1 0 2 3 0 1 1 2
b11
b1s
AB (1, 2,, s )=(1,2,, Nhomakorabean
大学数学线性代数知识点归纳总结
大学数学线性代数知识点归纳总结线性代数是数学的一个重要分支，广泛应用于各个领域。
作为大学数学的一门核心课程，线性代数为我们提供了一种处理线性方程组、矩阵运算和向量空间等数学工具和理论。
在这篇文章中，我将对大学数学线性代数的知识点进行归纳总结。
1. 向量与向量空间- 向量的定义和性质- 向量的线性组合与线性相关性- 向量空间的定义和基本性质- 子空间与超平面- 线性无关与基2. 线性方程组- 线性方程组的概念与解的存在唯一性- 矩阵形式与增广矩阵- 初等行变换与线性方程组的等价性- 齐次线性方程组与非齐次线性方程组- 线性方程组的解的结构3. 矩阵与矩阵运算- 矩阵的定义和性质- 矩阵的加法与数乘- 矩阵的转置与对称矩阵- 矩阵乘法与矩阵的秩- 逆矩阵与可逆矩阵4. 特征值与特征向量- 特征值与特征向量的定义 - 特征多项式与特征方程- 对角化与可对角化条件- 特征值与矩阵的相似性5. 线性变换与线性映射- 线性变换的基本性质- 线性变换矩阵与基变换- 线性变换的零空间与像空间 - 线性变换的维数定理6. 内积空间与正交性- 内积空间的定义和性质- 正交向量与正交补空间- 正交投影与最小二乘法- 施密特正交化过程7. 特殊矩阵与应用- 对角矩阵与对角化- 正交矩阵与正交对角化- 幂零矩阵与Jordan标准形- 应用：图像处理、数据压缩、网络分析等通过对以上知识点的整理和总结，我们对大学数学线性代数的学习有了更加清晰的认识。
线性代数的理论和方法在计算机科学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用，了解和掌握线性代数知识对于我们的学术研究和职业发展都具有重要意义。
希望本文能帮助读者对线性代数有更深入的了解，并在实际应用中发挥作用。
线性代数中的向量空间与线性映射
线性代数中的向量空间与线性映射线性代数是数学中的一个重要分支，研究向量空间和线性映射等概念。
在本文中，我们将深入探讨线性代数中的向量空间和线性映射的定义、性质以及应用。
一、向量空间的定义与性质向量空间是线性代数中最基本的概念之一。
它是一组向量的集合，满足一定的运算规则和性质。
具体而言，一个向量空间需要满足以下条件：1. 加法封闭性：对于任意的向量u、v，它们的和u+v也属于该向量空间。
2. 数乘封闭性：对于任意的标量c和向量u，它们的数乘积cu也属于该向量空间。
3. 零向量存在性：存在一个零向量0，使得对于任意的向量u，有u+0=u。
4. 加法逆元存在性：对于任意的向量u，存在一个加法逆元-v，使得u+(-v)=0。
5. 结合律：对于向量空间中的任意三个向量u、v和w，有(u+v)+w=u+(v+w)。
6. 交换律：对于向量空间中的任意两个向量u和v，有u+v=v+u。
7. 数乘结合律：对于任意的标量c和向量u、v，有c(u+v)=cu+cv。
8. 数乘分配律：对于任意的标量c和向量u，v，有(c+d)u=cu+du。
9. 数乘分配律：对于任意的标量c和向量u，v，有c(u+v)=cu+cv。
除了以上性质外，向量空间还可以定义维度的概念。
维度是指向量空间中的一个基所包含的向量个数。
一个向量空间的维度可以用来描述该空间的大小。
二、线性映射的定义与性质线性映射是两个向量空间之间的一个函数，它将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的向量。
线性映射具有以下性质：1. 加法性：对于向量空间V中的任意两个向量u、v，以及标量c，线性映射f 满足f(u+v)=f(u)+f(v)和f(cu)=cf(u)。
2. 零向量映射：线性映射f将向量空间V中的零向量映射到另一个向量空间中的零向量，即f(0)=0。
3. 逆映射：对于线性映射f，存在一个逆映射g，使得f(g(v))=v和g(f(u))=u对于向量空间V中的任意向量u和另一个向量空间中的任意向量v成立。
向量空间与线性变换
向量空间与线性变换向量空间和线性变换是线性代数中的两个重要概念。
向量空间是由一组向量所构成的集合，而线性变换是一种保持向量加法和标量乘法运算的映射关系。
本文将对向量空间和线性变换进行详细介绍。
一、向量空间向量空间是由一组满足一定条件的向量组成的集合。
假设V是一个向量空间，那么V中的向量必须满足以下条件：1. 封闭性：对于任意向量u和v，u+v仍然属于V。
2. 数乘封闭性：对于任意向量u和标量c，cu仍然属于V。
3. 零向量：存在一个零向量0，满足对于任意向量v，v+0=v。
4. 加法逆元：对于任意向量v，存在一个向量-u，使得v+(-u)=0。
5. 结合律：对于任意向量u、v和w，(u+v)+w=u+(v+w)。
6. 交换律：对于任意向量u和v，u+v=v+u。
向量空间可以是有限维或无限维的，可以由几何向量、多项式、矩阵等各种形式的向量组成。
常见的向量空间包括欧几里得空间、实数域和复数域上的向量空间等。
二、线性变换线性变换是一种保持向量加法和标量乘法运算的映射关系。
设V和W是两个向量空间，T是从V到W的映射。
若T满足以下条件，则称T为一个线性变换：1. 加法性：对于任意向量u和v，有T(u+v)=T(u)+T(v)。
2. 数乘性：对于任意标量c和向量v，有T(cv)=cT(v)。
线性变换可以保持向量空间中的线性关系不变。
例如，一个线性变换可以将平面上的所有点沿着某个固定的向量进行平移，或者将空间中的所有点绕着某个固定的点进行旋转。
线性变换可以用矩阵表示。
对于一个线性变换T，我们可以找到一个矩阵A，使得对于任意向量v，T(v)=Av。
这个矩阵A被称为线性变换T的表示矩阵。
矩阵可以通过线性变换来描述向量空间之间的转换关系。
三、应用向量空间和线性变换在科学和工程领域中有广泛的应用。
它们提供了一种可以描述和处理多维数据的有效工具。
在计算机图形学中，向量空间和线性变换用于描述三维空间中的物体位置、方向和形变。
向量空间的基本性质与判定定理
向量空间的基本性质与判定定理向量空间是线性代数中的重要概念，它有一些基本的性质和判定定理。
本文将介绍向量空间的定义、基本性质和判定定理，并探讨它们在数学和实际应用中的重要性。
一、向量空间的定义向量空间是一种包含了向量的集合，满足特定的运算规则和性质。
具体而言，向量空间要满足以下三个条件：1. 封闭性：对于向量空间V中的任意两个向量u和v，它们的线性组合u+v也属于V。
2. 结合律：对于向量空间V中的任意三个向量u、v和w，(u+v)+w=u+(v+w)。
3. 数乘结合律：对于向量空间V中的任意标量c和任意向量v，有c(v+u)=cv+cu。
二、向量空间的基本性质1. 零向量：向量空间V中存在一个特殊的向量0，称为零向量，满足对于任意向量v，v+0=v。
2. 负向量：对于向量空间V中的任意向量v，存在一个唯一的向量-v，满足v+(-v)=0。
3. 唯一性：向量空间V中的零向量和负向量是唯一的，即只有一个零向量和一个负向量。
三、向量空间的判定定理判定一个集合是否构成向量空间的基本手段是验证其是否满足向量空间的定义和基本性质。
除此之外，还有一些判定定理可以用来简化判定过程。
1. 零向量的存在性：一个集合构成向量空间的必要条件是存在一个零向量。
2. 加法逆元的存在性：一个集合构成向量空间的必要条件是每个向量都存在一个加法逆元。
3. 闭性的必要性：一个集合构成向量空间的必要条件是对于任意两个向量，它们的线性组合也属于该集合。
4. 向量空间的非空性：一个集合构成向量空间的充分必要条件是该集合非空。
5. 零乘法：如果向量空间中允许定义零向量与非零向量相乘且结果为零向量，那么该集合不构成向量空间。
四、向量空间的重要性向量空间的概念不仅仅在数学中具有重要性，也被广泛应用于物理学、计算机科学和工程学等领域。
在物理学中，向量空间可以用来描述物体的运动和力的作用；在计算机科学中，向量空间可以用来表示文本、图像等信息；在工程学中，向量空间可以用来描述电路和信号处理等问题。
线性代数与空间解析几何(哈工大
20
例5：证明 (a b)2 (a b)2 a2b2 证：由内积定义知 (a b)2 | a |2 | b |2 c，os2
21
3.2.4 三个向量的混合积
1．定义（混合积）[abc] (a b)是c 个数值.
2．几何意义：[abc] V， 设 a,b不,c 共
面，| a b || a || b | sin(a, b) ， S oADB [abc] (a b) c，|当a b为|| c | cos
锐角 时， 右手a,b系,c
1
3.1 几何向量及其线性运算
3.1.1 几何向量的概念
现实生活中有这样的两种量：数量（标量）， 即仅有大小的量，如时间、长度、质量、温 度等. 向量（矢量）即不仅有大小而且还有方 向的量，如：力、速度、加速度、电场强度 等，仅知道力的大小，不了解它的方向是不 行的. 向量是研究物理学及几何学不可缺少的 工具.
( a) (mb) m(a b)
3．注：（（2）1）称a 为b 并数0 不量见积得是因中结ab必果有是个向数0量. ， 也a 可b.
（ （34） ）数量a 积b无c不意满义足. 消去律即 事实上，所以.
a b a c, a 0 b c
15
例2：用向量的数量积，证明恒等式
| a b |2 | a b |2 2 | a |2 2 | b |2
6
二、数乘向量：
为了描述向量的“伸缩”，定义实数与向 量的乘法.
1．定义：k Z, a ，0 则 是ka一个向量，与 共线a ，模 | ka || k || a与|, k 同0 向，a 时与 反向，k 0 . a 0a 0
线性代数[第三章n维向量]山东大学期末考试知识点复习
线性代数[第三章n维向量]⼭东⼤学期末考试知识点复习第3章 n维向量⼀、n维向量的概念1．n维向量的定义由n个数a1，a2，…，a n所组成的⼀个有序数组α=(a1，a2，…，a n)称为⼀个n维向量，其中第i个数ai称为向量α的第i个分量(i=1，2，…，n)．向量常⽤希腊字母α，β，γ，…来表⽰，其分量常⽤⼩写拉丁字母a，b，c，…来表⽰．2．零向量所有分量都是零的向量称为零向量．3．负向量向量α中的每个分量都变号后得到的向量，称为α的负向量，记为-α．4．向量相等两个向量相等的充要条件是它们的对应分量相等．⼆、向量的线性运算1．向量的加法设α=(a1，a2，…，a n)，β=(b1，b2，…，b n)，定义α+β为这两个向量的对应元素相加所得到的向量，即α+β=(a1+b1，a2+b2，…，a n+b n)，并称其为向量的加法．2．数与向量的乘法设α=(a1，a2，…，a n)，k∈R，则kα=(ka1，ka2，…，ka n)3．向量的减法设α=(a1，a2，…，a n)，β=(b1，b2，…，b n)，则α-β=(a1-b1，a2-b2，…，a n-b n)．4．向量的线性运算向量的加法以及数与向量的乘法称为向量的线性运算．向量的线性运算满⾜以下⼋条运算规律：(1)α+β=β+α；(2)(α+β)+γ=α+(β+γ)；(3)α+θ=α；(4)α+(-α)=θ；(5)1.α=α；(6)(kl)α=k(lα)；(7)k(α+β)=kα+kβ；(8)(k+l)α=kα+lα三、向量的线性组合1．向量的线性组合的定义设β，α1，α2，…，αn是⼀组m维向量，如果存在数k1，k2，…，k n使得关系式β=k1α1+k2α2+…+k nαn成⽴，则称卢是向量组α1，α2，…，αn的线性组合，或称β可由向量组α1，α2，…，αn线性表⽰．2．⼏个常⽤结论(1)零向量可由任意同维向量组线性表⽰；(2)向量组中的任⼀向量可由该向量组线性表⽰；(3)任⼀n维向量α=(a1，a2,…，a n)都可由n维单位向量组ε1，ε2，…，ε线性表⽰，且α=a1ε1+a2ε2+…+a nεn．n四、向量组的等价1.定义设有两个向量组α1，α2，…，αm，(1)β1，β2，…，βn．(2)若向量组(1)中每个向量可以由向量组(2)线性表⽰，则称向量组(1)可由向量组(2)线性表⽰．若向量组(1)与向量组(2)可互相线性表⽰，则称两向量组等价，记作{α1，α2，…，αm}≌{β1，β2，…，βn}．2．向量组的等价性质向量组的等价满⾜反⾝性、对称性、传递性．五、向量组线性相关与线性⽆关1．定义设α1，α2，…，αn为n个m维向量，如果存在⼀组不全为零的数k1，k2，…，k n，使得k1α1+k2α2+…+k nαn=θ成⽴，则称向量组α1，α2，…，αn线性相关；否则，称向量组α1，α2，…，αn线性⽆关．线性⽆关的⼏种等价定义：(1)对任意⼀组不全为零的数k1，k2，…，k n，都有k1α1+k2α2+…+k nαn≠θ(2)k1α1+k2α2+…+k nαn=θ当且仅当k1，k2，…，k n全为零．2．⼏个常⽤结论(1)由⼀个向量α构成的向量组线性相关的充要条件是α=θ．(2)由两个向量构成的向量组线性相关的充要条件是其对应分量成⽐例．(3)含有零向量的任⼀向量组线性相关．(4)若⼀个向量组中有⼀个部分向量组线性相关，则该向量组线性相关；反之，若⼀个向量组线性⽆关，则它的任⼀部分组都线性⽆关．我们可把这个结论简单地记为“部分相关，整体相关；整体⽆关，部分⽆关”．(5)⼀个线性⽆关的向量组中的每个向量按相同的位置随意增加⼀些分量所得到的⾼维向量组仍线性⽆关．逆否命题：⼀个线性相关的向量组中的每个向量按相同的序号划去⼀些分量所得的低维向量组仍线性相关．(6)n维向量组α1，α2，…，αn线性⽆关的充要条件是D=det(α1，α2，…，αn)≠0；n维向量组α1，α2，…，αn线性相关的充要条件是D=det(α1，α2，…，αn)=0．(7)向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性相关的充要条件是其中⾄少有⼀个向量是其余s-1个向量的线性组合．(8)若向量组α1，α2，…，αs线性⽆关，⽽α1，α2，…，αs，β线性相关，则向量β可由向量组α1，α2，…，αs线性表⽰，且表⽰法惟⼀．(9)若向量组α1，α2，…，αs可由向量组β1，β2，…，βt线性表⽰，且s>t，则向量组α1，α2，…，αs线性相关．逆否命题：若向量组α1，α2，…，αs线性⽆关，且可由向量组β1，β2，…，βt线性表⽰，则s≤t．(10)m个n维向量组(m>n)必线性相关．(11)两个等价的线性⽆关的向量组必含有相同个数的向量．六、向量组的极⼤线性⽆关组1．极⼤线性⽆关组的概念向量组α1，α2，…，αr，αr+1，…，αs的部分组α1，α2，…，αr是极⼤⽆关组(1)α1，α2，…，αr线性⽆关；(2)α1，α2，…，αr，αr+1，…，αs中每个向量可由α1，α2，…，αr 线性表⽰．(1)α1，α2，…，αr线性⽆关；(2)α1，α2，…，αr，αr+1，…，αs中任意r+1个向量线性相关．2．关于极⼤线性⽆关组的常⽤结论(1)含⾮零向量的任⼀向量组⼀定存在极⼤⽆关组．(2)线性⽆关向量组的极⼤⽆关组是其⾃⾝、．(3)任何向量组均与其极⼤⽆关组等价．(4)⼀个向量组的任意两个极⼤⽆关组都含有相同个数的向量．七、向量组的秩1．向量组的秩的定义向量组α1，α2，…，αs的任⼀极⼤⽆关组所含向量的个数称为这个向量组的秩，记为r(α1，α2，…，αs)．2．关于向量组的秩的常⽤结论(1)对任何向量组α1，α2，…，αs均有0≤r(α1，α2，…，αs)≤s；(2)向量组α1，α2，…，αs线性⽆关?r(α1，α2，…，αs)=s；(3)向量组α1，α2，…，αs线性相关?r(α1,α2，…，αs)(4)若向量组α1，α2，…，αs可由向量组β1，β2，…，βt线性表⽰，则r(α1，α2，…，αs)≤r(β1，β2，…，βt)．特别地，若两向量组等价，则它们的秩相同；反之不真．(5)若向量组的秩为r，则其任何含r个向量的线性⽆关的部分组都是其极⼤线性⽆关组．⼋、矩阵的⾏秩与列秩1．定义矩阵A的⾏(列)向量组的秩称为A的⾏(列)秩．2．矩阵秩的性质(1)对任何矩阵A，都有A的⾏秩=A的列秩=r(A)；(2)r(AB)≤min{r(A)，r(B)}；(4)r(A+B)≤r(A)+r(B)．九、极⼤⽆关组的求法1.矩阵的初等⾏(列)变换不改变其列(⾏)向量间的线性关系2．求向量组α1，α2，…，αs的⼀个极⼤⽆关组的⽅法(1)以α1，α2，…，αs为列向量作矩阵A；(2)对A施以初等⾏变换化成阶梯形矩阵B，设r(B)=r，且B中第j1，j2，…，j r列有⼀个r阶⼦式不等于零，则αj1，αj2，…，αjr 即为所求向量组的⼀个极⼤⽆关组．3．求向量组α1，α2，…，αs的极⼤⽆关组并将其余向量⽤该极⼤⽆关组表出的⽅法(1)以α1，α2，…，αs为列向量作矩阵A；(2)对A施以初等⾏变换化成阶梯形矩阵B；(3)再通过初等⾏变换化为⾏简化阶梯形矩阵C，设矩阵C的第j1，j2，…，j r列为单位向量，则αj1，αj2，…，αjr即为所求向量组的⼀个极⼤⽆关组，且C 中列向量间的线性关系即为A中相应列向量间的线性关系．⼗*、向量空间1.向量空间的定义设V是⾮空的n维向量的集合，若集合V对于加法及数乘两种运算封闭，则称V是向量空间．2．向量空间的⽣成3．向量空间的相等若{α1，α2，…，αm}≌{β1，β2，…，βn}，则span(α1，α2，…，αm)=span(β1，β2，…，βn)．4．向量空间的⼦空间设有向量空间V1，V2，若V1?V2，则称V1是V2的⼦空间．5．向量空间的基及其维数设V是向量空间，如果存在r个向量α1，α2，…，αr∈V，满⾜(1)α1，α2，…，αr线性⽆关；(2)V中任⼀向量都可由α1，α2，…，αr线性表⽰；则称α1，α2，…，αr为V的⼀个基，r称为V的维数．⼗⼀、重点难点（⼀）重点(1)向量的线性运算可以看做是特殊矩阵的线性运算，它是后⾯讨论向量的线性组合、线性相关性等概念的基础，必须熟练掌握．(2)向量的线性组合、线性相关、线性⽆关的概念、性质及三者之间的关系定理是本章的重点，要熟练掌握三个概念及有关结论，详见内容提要；要深刻理解概念、定理的本质，熟练掌握线性相关和线性⽆关的有关性质及判别法，并能灵活应⽤．(3)向量组的极⼤⽆关组是特别重要的概念，它在向量组线性相关性的证明中往往能起到重要的作⽤；此外，还应当掌握求向量组的极⼤⽆关组的⽅法．(4)理解并掌握向量组的秩的概念，理解矩阵的秩与其⾏(列)向量组的秩的关系，熟练掌握求向量组的秩的⽅法，并能通过秩这⼀重要⼯具来判断向量组的线性相关性．（⼆）难点(1)向量组的线性相关性的证明．常见的⽅法有：定义法、利⽤有关结论及定理、利⽤齐次线性⽅程组有⽆⾮零解、利⽤向量组的秩与向量组所含向量的个数关系等．(2)向量组的秩与线性⽅程组有关理论的证明．。
线性代数 3-1 第3章1讲-n维向量及其线性表示
7
二、n维向量的线性运算
定理3.1 向量的线性运算满足如下运算规律。
（1） （2）( ) ( ) （3） O （4） ( ) O
（5）1 （6）k(l ) (kl) （7）k( ) k k （8）(k l) k l
称 为向量与的和
（5）向量的减法 ( )
(a1 b1 ,a2 b2 , ,an bn ),
即：两个向量相加减就是将它们的对应分量相加减
6
二、n维向量的线性运算
（6）数乘
设 (a1 ,a2 , ,an ), 是n维向量 , λ是实数 , 规定
(a1 ,a2 , ,an )
二、 n维向量的线性运算
2. n 维向量的运算
定义3.2
（1）零向量 分量都为零的向量称为零向量, 记作O。 即 O = (0, 0, , 0).
（2）负向量 设 (a1 , a2 , , an ), 记 (a1 , a2 , , an ) 称 为的负向量.
（3）向量的相等 设 (a1 , a2 , , an ), (b1 , b2 , , bn )都是n维向量，则规定 :
线性代数（慕课版）
第三章 向量与向量空间
第一讲 n 维向量及其线性运算
主讲教师 |
本讲内容
01 n维向量的定义 02 n维向量的线性运算
一、n维向量的定义
1. n 维向量的定义
定义3.1 n个有序数a1, a2 ,, an 所组成的数组 (a1, a2,, an ) ，称为n 维向量.
a1, a2 ,, an 称为分量或坐标. 行向量 (a1, a2 ,, an )称为n 维行向量；
线性代数总结知识点
线性代数总结知识点线性代数是数学的一个分支，主要研究向量、向量空间（也称为线性空间）、线性变换以及线性方程组的理论。
它是现代数学的基础工具之一，广泛应用于物理学、工程学、计算机科学、经济学和社会科学等领域。
以下是线性代数的一些核心知识点总结：1. 向量与向量运算- 向量的定义：向量可以是有序的数字列表，用于表示空间中的点或方向。
- 向量加法：两个向量对应分量相加得到新的向量。
- 标量乘法：一个向量与一个标量相乘，每个分量都乘以该标量。
- 向量的数量积（点积）：两个向量的对应分量乘积之和，用于计算向量的长度或投影。
- 向量的向量积（叉积）：仅适用于三维空间，结果是一个向量，表示两个向量平面的法向。
2. 矩阵- 矩阵的定义：一个由数字排列成的矩形阵列。
- 矩阵加法和减法：对应元素相加或相减。
- 矩阵乘法：第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数，结果矩阵的每个元素是两个矩阵对应行列的乘积之和。
- 矩阵的转置：将矩阵的行变成列，列变成行。
- 单位矩阵：对角线上全是1，其余位置全是0的方阵。
- 零矩阵：所有元素都是0的矩阵。
3. 线性相关与线性无关- 线性相关：如果一组向量中的任何一个可以通过其他向量的线性组合来表示，则这组向量是线性相关的。
- 线性无关：如果只有所有向量的零组合才能表示为零向量，则这组向量是线性无关的。
4. 向量空间（线性空间）- 定义：一组向量，它们在向量加法和标量乘法下是封闭的。
- 子空间：向量空间的子集，它自身也是一个向量空间。
- 维数：向量空间的基（一组线性无关向量）的大小。
- 基和坐标：向量空间的一组基可以用来表示空间中任何向量的坐标。
5. 线性变换- 定义：保持向量加法和标量乘法的函数。
- 线性变换可以用矩阵表示，矩阵的乘法对应线性变换的复合。
6. 特征值和特征向量- 特征值：对应于线性变换的标量，使得变换后的向量与原向量成比例。
- 特征向量：与特征值对应的非零向量，变换后的向量与原向量方向相同。
线性代数入门
线性代数入门线性代数是数学的一个分支，主要研究向量空间（或称线性空间）及其变换。
它广泛应用于科学、工程、计算机科学等领域，是现代科技不可或缺的数学工具。
本文档旨在为初学者提供线性代数的基础知识入门，帮助理解其基本概念和运算规则。
向量与向量空间在线性代数中，向量是一个基本概念。
一个向量可以视为在n维空间中的一个点，由一组有序的数构成，这些数称为向量的分量。
例如，二维空间中的点(x, y)可以表示为向量[x, y]。
向量空间则是所有向量的集合，满足某些特定的运算规则，如加法和标量乘法。
矩阵与矩阵运算矩阵是线性代数中另一个核心概念，它是一个由数字排成的矩形阵列。
矩阵可以用来表示线性变换，即一种将向量空间中的每个向量映射到另一个向量的规则。
基本的矩阵运算包括矩阵加法、矩阵乘法以及矩阵与向量之间的乘法。
行列式与逆矩阵行列式是与方阵相关的一个标量值，它在解线性方程组、计算矩阵的可逆性等方面有重要作用。
一个方阵如果其行列式非零，则这个矩阵是可逆的，存在一个逆矩阵使得原矩阵与其逆矩阵相乘得到单位矩阵。
线性方程组与解的结构线性方程组是由若干线性方程构成的集合，形式上通常写作Ax = b，其中A是系数矩阵，x是未知向量，b是常数向量。
解线性方程组是线性代数的一个重要应用，涉及到求解未知向量x的值。
根据系数矩阵的性质，解可以是唯一的，也可以是无解，或者是无数多个解。
特征值与特征向量特征值和特征向量是描述线性变换特性的重要工具。
一个矩阵的特征值是满足方程Av = λv的标量λ，其中v是非零向量，称为特征向量。
特征值和特征向量可以帮助我们理解矩阵表示的变换的本质。
总结来说，线性代数提供了一套强大的工具来处理与向量空间及其变换相关的问题。
通过学习向量、矩阵、行列式、线性方程组以及特征值等概念，我们可以更好地理解和解决实际问题。
希望本文能够为初学者提供一个清晰的线性代数入门路径，并激发进一步学习的兴趣。
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21 线性代数练习题 第三章 向量与向量空间 系 专业 班 姓名 学号 第一节 n维向量 第二节 向量间的线性关系 一．选择题 1．n维向量s,,,21)(01线性相关的充分必要条件是 [ D ] （A）对于任何一组不全为零的数组都有02211sskkk （B）s,,,21中任何)(sjj个向量线性相关 （C）设),,,(sA21，非齐次线性方程组BAX有无穷多解 （D）设),,,(sA21，A的行秩 ＜ s. 2．若向量组,,线性无关，向量组,,线性相关，则 [ C ] （A）必可由,,线性表示 （B）必不可由,,线性表示 （C）必可由,,线性表示 （D）比不可由,,线性表示 二．填空题： 1． 设TTT)0,4,3(,)1,1,0(,)0,1,1(321 则T)1,0,1(21 T)2,1,0(23321 2． 设)()()(321523，其中T),,,(31521，T)10,5,1,10(2 T),,,(11143
，则(1,2,3,4)T
3． 已知TTTk),,,(,),,,(,),,,(84120011211321线性相关，则k 2 4． 设向量组),,(,),,(,),,(bacbca000321线性无关，则cba,,满足关系式 abc=0 三．计算题： 1． 设向量Tk1,1,11，Tk),,(1112，Tk),,(1113，Tkk),,(21，试问当k为何值时 （1）可由321,,线性表示，且表示式是唯一？ （2）可由321,,线性表示，且表示式不唯一？ （3）不能由321,,线性表示？ (向量组的秩ppt)
21123312
11131131111131100(3)11131100rrcccrrkkkkkkkkkkkkk
22
2． 设向量T),,,(32011，T),5,3,1,1(2，Ta),,,(12113，Ta),,,(84214 Tb),,,(5311
，试问当ba,为何值时，（1）不能由4321,,,线性表示？
（2）有4321,,,的唯一线性表达式？并写出表达式。
3141
321242
11111111112011210112123243012133518502252111111021001121011210010001020001000010rrababrraarrrrababrraa
(1) a= -1,b≠0. 12341234(,,,)2;(,,,,)3RR
(2) a≠-1 12341234(,,,)(,,,,)4RR
1323
21001102101201121101021100101001010001000010barrbaaabrrabaaa
1232(1)111bbbaaa 23
线性代数练习题 第三章 向量与向量空间 系 专业 班 姓名 学号 第三节 向 量 组 的 秩 一．选择题：
1．已知向量组4321,,,线性无关，则下列向量组中线性无关的是 [ C ] （A）14433221,,, （B）14433221,,, （C）14433221,,, （D）14433221,,, 过渡矩阵满秩 2．设向量可由向量组m,,,21线性表示，但不能由向量组（Ⅰ）：121m,,,线性表示，记向量组（Ⅱ）：,,,,
121m
，则 [ B ]
（A）m不能由（Ⅰ）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示 （B）m不能由（Ⅰ）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示 （C）m可由（Ⅰ）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示 （D）m可由（Ⅰ）线性表示，但不可由（Ⅱ）线性表示
112211112121(0)1mmmmmmmmmmmmkkkkkkkkkkkk
3．设n维向量组s,,,21的秩为3，则 [ C ] （A）s,,,21中任意3个向量线性无关 （B）s,,,21中无零向量 （C）s,,,21中任意4个向量线性相关 （D）s,,,21中任意两个向量线性无关 4．设n维向量组s,,,21的秩为r，则 [ C ] （A）若sr，则任何n维向量都可用s,,,21线性表示 （B）若ns，则任何n维向量都可用s,,,21线性表示 （C）若nr，则任何n维向量都可用s,,,21线性表示 （D）若ns，则nr 二．填空题： 1．已知向量组),,,(,),,,(,),,,(25400021121321t的秩为2，则t = 3 24
2．已知向量组),,,(43211，),,,(54322，),,,(65433，),,,(76544，则该向量组的秩为 2 3． 向量组Ta),,(131，Tb),,(322，T),,(1213，T),,(1324的秩为2， 则a = 2 b = 5
三．计算题： 1．设T),,,(51131，T),,,(41122，T),,,(31213，T),,,(92254，Td),,,(262 （1）试求4321,,,的极大无关组 （2）d为何值时，可由4321,,,的极大无关组线性表示，并写出表达式 13213141
2323
1342
35232152111221122600104111220121454390121101112211022012140101400104001040000600006rrrrrrrrrrrrrrrrdddd
1210012010140010400006rrd
（1）123,.线性无关组： （2）1236244d时，
2．已知3阶矩阵A有3维向量x满足xAAxxA233，且向量组xAAxx2,,线性无关。 （1）记),,(xAAxxP2，求3阶矩阵B，使PBAP； （2）求 | A | 25
23232
232
1(,,)(,,)3000(,,)(,,)103011000103.0110APPBAxAxAxxAxAxBAxAxAxAxAxAxxAxAxBAPBPB
由可得，又由可得，
从而 26 线性代数练习题 第三章 向量与向量空间 系 专业 班 姓名 学号 第四节 向 量 空 间 综 合 练 习 一．选择题： 1．设向量组321,,线性无关，则下列向量组中，线性无关的是 [ C ] （A）133221,, （B）32132212,, （C）1332213,32,2 （D）321321321553,2232, 2．设矩阵Anm的秩)(ARnm，Em为m阶单位矩阵，下列结论中正确的是 [ D ] （A）A的任意m个列向量必线性无关 （B）A通过初等行变换，必可以化为（Em0）的形式 （C）A的任意m阶子式不等于零 （D）非齐次线性方程组bAx一定有无穷多组解 二．填空题：
1．设403212221A，三维列向量Ta)1,1,(，已知A与线性相关，则a = -1
122212123,30413423=11aaAaaaa
两个向量线性相关各分量成比例
2．从2R的基011，112到基111，212的过渡矩阵为2312
12121212
(,)(,)(,,,)111110231023011201120112AA即求，使得：
作法：行最简形
三．计算题： 1．设TTT)8,6,0,2(,)1,1,3,3(,)1,1,1,1(321，试用施密特正交化方法将向量组
321,,aaa标准正交化。