东北大学高数下试题2010-2013_年

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东北大学历年期末高等数学试题

八、高等数学试题 2005/1/10一、填空题（本题20分，每小题4分）1．已知==⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→a a x a x xx ，则9lim2．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+=1112)(2x b ax x x x f ，，，当a = ,b = 时，f (x )在x =1处可导。

3．方程017=-+x x 共有个正根。

4．当=x 时，曲线c bx ax y ++=2的曲率最大。

5．⎰=20sin πxdx x 。

二、选择题（本大题24分，共有6小题，每小题4分） 1．下列结论中，正确的是（）（A ）若a x n n =∞→2lim ，a x n n =+∞→12lim ，则a x n n =∞→lim ；（B ）发散数列必然无界；（C ）若a x n n =-∞→13lim ，a x n n =+∞→13lim ，则a x n n =∞→lim ；（D ）有界数列必然收敛。

2．函数)(x f 在0x x =处取得极大值，则必有（）。

（A ）0)(0='x f ；（B ）0)(0<''x f ；（C ）0)(0='x f 或)(0x f '不存在；（D ）0)(0='x f 且0)(0<''x f 。

3．函数⎰=xa dt t f x F )()(在][b a ，上可导的充分条件是：)(x f 在][b a ，上（）（A ）有界；（B ）连续；（C ）有定义；（D ）仅有有限个间断点。

4．设⎰-+=2242cos 1sin ππxdx x x M ，⎰-+=2243)cos (sin ππdx x x N ，⎰--=22432)cos sin (ππdx x x x P ，则必有关系式（）（A ） M P N <<；（B ）P M N <<；（C ）N P M <<；（D ）N M P <<。

下册--东北大学高数期末考试试题

2008~2009学年第二学期试题一、单项选择题（本题共4小题，每小题4分，共计16分）1.设函数(,)f x y 在点(0,0)的某邻域内有定义，且(0,0)3x f =，(0,0)1y f =-，则[ ] (A)(0,0)3dzdx dy =-；(B) 曲面(,)z f x y =在点(0,0,(0,0))f 的一个法向量为(3,1,1)-；(C)曲线(,)0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的一个切向量为(1,0,3)；(D) 曲线(,)0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的一个切向量为(3,0,1)2. 设10 (1,2,)n u n n≤<=，则下列级数中必收敛的是[ ](A)1n n u ∞=∑； (B)1(1)nnn u∞=-∑； (C)1n ∞= (D)21(1)nnn u∞=-∑.3. 如果81lim 1=+∞→nn n a a ，则幂级数∑∞=03n n n x a [ ](A) 当8<x 时收敛； (B) 当2<x 时收敛； (C) 当81>x 时发散； (D) 当21>x 时发散.4. 设Ω是由球面2222x y z a ++=所围成的闭区域，则222x y z dv Ω++⎰⎰⎰= [ ] .(A) 545a π； (B) 44a π； (C) 543a π； (D) 525a π.二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共计24分）1. 曲面2222321x y z ++=在点(1,2,2)-处的法线方程为 .2. 函数),(y x f 22y xy x +-=在点)1,1(处的全微分为 .3. 已知曲线L 为连接(1,0)和(0,1)两点的直线段，则曲线积分()Lx y ds +⎰= .4. 由曲面2243()z x y =-+与曲面22z x y =+所围立体的体积为 .5. 设∑为平面1234x y z++=在第一卦限中的部分，则曲面积分()234x y z dS ∑++⎰⎰= . 6. 设()f x 是周期为4的周期函数，它在[2,2)-上的表达式为0, 20()3, 022x f x x -≤<⎧⎪=⎨≤<⎪⎩，()f x 的Fourier 级数的和函数为()s x ，则(4)s = .三、计算下列各题（本题共5小题，每小题6分，共计30分） 1. 求过点1(1,1,1)M 和2(0,1,1)M -且与平面0x y z ++=垂直的平面方程.2. 设z = f (e xsin y , x 2+ y 2), 其中f 具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂.3. 设(,,)F x y z 具有连续偏导数，且对任意实数t 有(,,)F tx ty tz (,,)k t F x y z =(k 为自然数)，试证:曲面(,,)0F x y z =上任意一点的切平面相交于一定点(设在任意点处2220x y z F F F ++≠).4. 计算二重积分Dxydxdy ⎰⎰，其中D 是由两条抛物线y x =，2y x =所围成的闭区域.5. 将函数()arctan f x x =展开成关于x 的幂级数，并求展开式成立的区间. 四、 (8分) 设曲线积分[]⎰-+BA x dy x f ydx x f e )()(与路径无关，且21)0(=f ，求)(x f ，并求当A ，B 分别为（0，0），（1，1）时的曲线积分值.五、(8分) 计算积分222(I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++⎰⎰，其中∑是抛物面22z x y =+被平面4z =截下的有限部分的下侧.六、(8分) 3．(10分)平面通过球面x 2 + y 2 +z 2 = 4(x - 2y - 2z )的中心, 且垂直于直线L : 00x y z =⎧⎨+=⎩, 求平面与球面的交线在xOy 平面上的投影, 并求投影与(1, -4,1)点的最短和最长距离.七、(6分) )判断级数111ln n n n n ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑的敛散性.解答一、1. 【解】应选择C.),(),,(0000y x f y x f y x 存在只是全微分存在的必要条件，故A 是错误的。

2010年辽宁高考理科数学试题含答案

（ⅰ）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；
（ⅱ）完成下面 2×2 列联表，并回答能否有 99.9%的把握认为“注射药物 A 后的疱疹面积与
注射药物 B 后的疱疹面积有差异”. 表 3：
（19）（本小题满分 12 分）已知三棱锥 P－ABC 中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=½AB，N 为 AB 上一点，AB=4AN,M,S
（A）{1,3} (B){3,7,9} (C){3,5,9} (D){3,9}
(2)设 a,b 为实数，若复数 1+2i 1 i ，则 a bi
（A） a 3 ,b 1 22
(B) a 3,b 1
(C) a 1 ,b 3 22
(D) a 1,b 3
23
（3）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是
x+
)+2
的图像向右平移
4
个单位后与原图像重合，则
的最小
3
3
值是
2
（A）
3
4
3
(B)
(C)
(D)3
3
2
（6）设{an}是有正数组成的等比数列， Sn 为其前 n 项和。已知 a2a4=1, S3 7 ,则 S5
15
（A）
2
31
33
(B)
(C)
4
4
17
(D)
2
(7)设抛物线 y2=8x 的焦点为 F，准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足．如
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。
（13） (1 x x2 )(x 1 )6 的展开式中的常数项为_________. x

东北大学考试试卷(A卷)2010-2011学年第2学期图论与代数结构答案

东北大学考试试卷（A卷）2010—2011 学年第 2 学期课程名称：图论与代数结构┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄总分一二三四五六七八九学院班级学号姓名……………○……………密……………○……………封……………○…………线………………得分一．(15分) 填空1.设A={2, 4, 6, 8}，A上的二元运算*定义为：a*b=max{a, b}，则在独异点<A,*>中，单位元是 2 ，零元是8 。

2.设a是12阶群的生成元，则a2是 6 阶元素，a5是12 阶元素。

3.设〈G, *〉是一个群，G中的幂等元是 e 。

若G={a,b,c}，a*x=b，则x=a-1*b ；设a是幺元，则b*c= a 。

4.小于5个元素的格都是有补分配（布尔）格。

5.有n个结点的树，其结点度数之和是2(n-1)。

6.一个无向图有生成树的充分必要条件是该图是连通图__。

7.n阶无向完全图Kn 的边数是n(n-1)/2 ，每个结点的度数是n-1 。

若Kn为欧拉图，则n的取值为奇数。

8.具有6 个顶点，12条边的连通简单平面图中，每个面都是由 3 条边围成。

9.无向树T有8片树叶，2个3度分支结点，其余的分支结点都是4度顶点，则 2 个4度分支结点。

得分二． (26分)判断题4.（6分）判断下列集合和运算能否构成半群、独异点和群。

如果不能，简单说明理由。

（1）a是正整数，G={a n|n∈Z，Z为整数集}, 运算是普通乘法。

是半群、独异点和群。

（2分）（2）Q+是正有理数集，运算为普通加法。

（2分）是半群，不是独异点和群。

满足封闭、结合，但没有幺元。

（3）设Z为整数集，∀ x,y∈Z, 运算x*y=x+y-2。

是半群、群和独异点。

（2分）1.（6分）设V1=<Z,+>, V2=<Z, •>，其中Z为整数集合，+和•分别代表普通加法和乘法。

判断下述集合S能否构成V1和V2的子半群和子独异点。

01-11东北大学高等数学(下)期末考试试卷

东北大学高等数学(下)期末考试试卷一、填空题（20分）1．曲线t t t e z t e y t e x 2,sin ,cos ===相应于点0=t 处的切线与oz 轴夹角的正弦=γsin （）2．设40,10:≤≤≤≤y x D ，则=⎰⎰Ddxdy x 3（）3．设L 是由2x y =及1=y 所围成的区域D 的正向边界，则=+++⎰Ldy y x x dx y x xy )()(24233（）4．周期为π2的周期函数)(x f ，它在一个周期上的表达式为ππ≤≤-=x x x f ,)(，设它的付立叶级数的和函数为)(x s ，则=)23(πs （） 5．微分方程0=+ydy xdx 的通解是（）二、求解下列各题（32分）1．（8分）设yxe u y x u f z ==),,,(，其中f 具有二阶连续偏导数，求yx z∂∂∂2。

2．（8分）计算⎰⎰⎰Ωzdv ，其中Ω是由曲面222y x z --=及22y x z +=所围成的闭区域。

3．（8分）计算曲线积分⎰Lxds ，其中L 为由直线x y =及抛物线2x y =所围成的区域的整个边界。

4．（8分）求微分方程0)2(=-+ydx dy x y 的通解。

三．（9分）计算曲面积分⎰⎰∑-dxdy z )3(，其中∑是曲面222y x z +=上介于2=z 及3=z 之间部分的下侧。

四．（7分）判别级数∑∞=1223cos n nn n π的敛散性。

五．（9分）求微分方程x xe y y y 265=+'-''的通解。

六．（9分）将函数x x f 3sin )(=展开成)3(π+x 的幂级数，并指出收七．（9分）经过点（2，3，1）的平面中，求这样的平面，使得该平面与三个坐标面围成的第一卦限中的立体体积最小。

八. (7分)设)(u f 连续，试证：⎰⎰⎰-≤+=+111)()(du u f dxdy y x f y x高等数学试题答案 2001.07.16一、（1 （2）3；（3）0；（4）;2π-（5.C =二、1．'';y u x z e f f x ∂=+∂ 22""""'.y y y y u u u yx uxy u z x e f e f x e f f e f x y ∂=++++∂∂ 2．221rzdV d rdr zdz πθΩ=⎰⎰⎰⎰⎰12407(2).12r r r dr ππ=--=⎰ 3．Lxds =⎰1L xds +⎰2L xds =⎰10+=⎰⎰4．112,(2)dydy y y dx x x ee dy C dy y-⎰⎰-==+⎰(2ln ).y y C =+ 三、22(3)(3)2Dx y z dxdy dxdy ∑+-=--⎰⎰⎰⎰220224)232[28r d rdr r r πθππ=-=-=⎰ 四、2cos 3,22n nn n n n n u v π=≤= 且用比值法知道1n n v ∞=∑收敛，再用比较法可知原级数是收敛的。

高等数学(东北大学出版社)第1-5章和第8-10章习题和复习题参考答案

第1-5章和第8-10章习题和复习题参考答案第1章函数、极限与连续习题1.1⒈下列各组函数，哪些是同一函数，哪些不是？（1）yx =与是同一函数（2）y x =与y=（3）2111x y x x -=-+与y=不是同一函数（4）22ln ln y x x =与y=不是同一函数⒉指出下列函数的定义域. （1）43)(+=x x f 的定义域是),34[+∞- （2）xx f -=11ln )(的定义域是)1,(-∞（3）)1ln()(2-=x x f 的定义域是),2[]2,(+∞⋃-∞（4）)arcsin(ln )(x x f =的定义域是],1[e e -（5）若)(x f 的定义域是]4,4[-，则)(2x f 的定义域是]2,2[-（6）若)(x f 的定义域是]3,0[a ，则)()(a x f a x f -++的定义域是]2,[a a3.判别下列函数的奇偶性.（1）()sin f x x x =+是奇函数（2）()cos f x x x =⋅是奇函数（3）()2f x x x =-是非奇非偶函数（4）()1lg 1x f x x-=+是奇函数（5）()cos(sin )f x x =是偶函数（6）()sin x f x x=是偶函数（7）())f x x =是奇函数（8）()f x =⒋下列函数哪些在其定义域内是单调的. （1）sin y x =在其定义域内不是单调的（2）arcsin y x =在其定义域内是单调递增的（3）2y x x =-在其定义域内不是单调的（4）0≠a 时，ax ye =在其定义域内是单调的，其中0<a 时，axy e =在其定义域内是单调递减的，0>a 时，axy e =在其定义域内是单调递增的5.下列函数在给定区间中哪个区间上有界. （1）),1(1+∞=在区间xy 上有界（2）)10,1()12ln(在区间-=x y 上有界（3）)4,3(3-=在区间x y 上有界（4）)1,1(),,(),0,(sin -+∞-∞-∞=在区间x y 上分别有界 6.下列函数哪些是周期函数，如果是求其最小正周期.（1）sin 3yx =是周期函数，最小正周期是32π（2）cos y x =是周期函数，最小正周期是π（3）tan 2y x =是周期函数，最小正周期是2π （4）ln(cos 2)y x =+是周期函数，最小正周期是π7.下列各对函数中，哪些可以构成复合函数.（1）2),2arcsin()(x u u u f =+=不可以构成复合函数（2）x u u u f 2sin ),1ln()(=-=不可以构成复合函数（3）221ln,)(x u u u f +==不可以构成复合函数（4）212,arccos )(xxu u u f +==可以构成复合函数 8.将下列复合函数进行分解.（1）对复合函数43)(2--=x x x f 的分解结果是：43,)(2--==x x u u x f（2）对复合函数32)(-=x e x f 的分解结果是：32,)(-==x u e x f u（3）对复合函数()ln(23)f x x =-的分解结果是：32,ln )(-==x u u x f（4）对复合函数()arcsin(1)f x x =+的分解结果是：1,sin )(+==x u u acc x f9.求函数值或表达式. （1）已知函数12)(,2)0(,4-)2(,0)2(,12)(222+-===-=+-=x x x f f f f x x x f 则.（2）已知函数0)(,22)4(,0)1(,1,01,sin )(===⎩⎨⎧≥<=ππf f f x x xx f 则.（3）已知函数21-)21arcsin (,sin )(=-=f x x f 则.（4）已知函数x x f 2cos )(sin =，则[]1,1,21)(2-∈-=x x x f习题1.21.用观察法判断下列数列是否有极限，若有，求其极限.（1） ,67,51,45,31,23,1:n x 没有极限（2）n x n 1=有极限，01lim =∞→nn （3）2sin πn x n =没有极限（4）1)1(3+-=n n x nn 有极限，0]1)1[(lim 3=+-∞→n n n n 2.分析下列函数的变化趋势，求极限（1）01lim2=∞→x x （2）011lim =++∞→x x （3）+∞=++∞→)2ln(lim x x （4）2232lim=++-∞→x x x3.图略，)(lim 0x f x →不存在4.下列变量中，哪些是无穷小量，哪些是无穷大量？（1）0→x 时，2100x 是无穷小量（2）+→0x 时，x2是无穷大量（3）∞→x 时，112--x x 是无穷小量（4）+∞→x 时，xe 是无穷大量（5）∞→n 时，3)1(2+-n n n 是无穷大量（6）∞→x 时，x x sin 是无穷小量（7）∞→x 时，x 1sin 是无穷小量（8）0→x 时，12-x 是无穷小量5.已知函数2)3(1)(--=x x x f ，则)(x f 在-∞→x 或+∞→x 或∞→x 的过程中是无穷小量，在-→3x 或+→3x 或3→x 的过程中是无穷大量？6. 当1x →-时，无穷小1x +与下列无穷小是否同阶？是否等价？（１）当1x →-时，无穷小1x +与无穷小31x +同阶，但不等价（２）当1x →-时，无穷小1x +与无穷小21(1)2x -同阶，而且等价习题1.31.设函数x x f =)(，则xt x f t x f t 21)()(lim0=-+→2.设函数⎩⎨⎧<+≥+=2,122,1)(2x x x x x f ，则5)(lim ,5)(lim ,5)(lim 222===→→→+-x f x f x f x x x .3.求下列各式的极限：（1）15)52(lim 22=+--→x x x （2）3213lim 2421-=++-→x x x x（3）35)321(lim 0=--→x x （4）242lim 22=+-∞→x x x x （5）2111lim 220-=+-→x x x （6）21)21(lim 222=+++∞→nn n n n （7）1122lim2=-+++∞→x x x x （8）311lim 31=--→x x x （9）61)319(lim 2=-++∞→x x x x （10）112lim1=---→x x x x （11）201020101032)53()32()1(lim =---+∞→x x x x 4.已知516lim21-=-+-→x ax x x ，则7=a . 5.2)(lim 2=-++∞→x kx x x ，则4=k .6.求下列极限：（1）252sin 5sin lim 0=→x x x （2）1sin 2tan lim 0=-→x xx x（3）43cos cos lim 20=-→x x x x （4）2)sin()2tan(lim 230=-+→x x x x x （5）11sin lim =⋅∞→xx x （6）0sin sin lim 0=+-→x x xx x（7）323arcsin 2lim 0=→x x x （8）21sin tan lim 30=-→xx x x 7.求下列极限：（1）82)41(lim e x x x =+∞→ （2）21)21(lim --∞→=-e xx x（3）3220)33(lim -→=-e x x x （4）21)11(lim --∞→=+-e x x x x（5）5ln 51)ln 1(lim e x xx =++→ （6）e x x x =+→sec 2)cos 1(lim π8.用等价无穷小替换计算下列各极限：（1）236arctan lim0=→x x x （2）214lim 20=-→x x e x（3）22cos 1lim 20=-→x x x （4）21)21ln(lim 0=-+→x x e x 习题1.41.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1,31,11)(2x x x x x f ，则()f x 在1=x 处不连续．2.指出下列函数的间断点，并指明是哪一类间断点？（1）函数11)(2-=x x f 的间断点有点1-=x 和点1=x ，它们都是第二类间断点中的无穷间断点（2）函数xe xf 1)(=的间断点有点0=x ，它是第二类间断点（3）函数xx x x f )1(1)(2--=的间断点有点0=x 和点1=x ，其中点0=x 是第二类间断点中的无穷间断点，点1=x 是第一类间断点（4）函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-≠+-=1,01,11)(2x x x x x f 的间断点有点1-=x ，它是第一类间断点中的可去间断点（5）函数⎩⎨⎧>≤+=0,20,2)(2x x x x f x的间断点有点0=x ，它是第一类间断点中的跳跃间断点（6）函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=2,32,24)(2x x x x x f 的间断点有点2=x ，它是第一类间断点中的可去间断点3.设函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+=<=0,11sin 0,0,sin )(x x x x k x xxx f ，当1=k 时，函数)(x f 在其定义域内是连续的.4.求下列极限：（1）42arccoslim 21π=+→x x x （2）0sin lg lim 2=→x x π （3）021lim cos sin 0=+-→x x x e e （4）2ln ln )1ln(lim 1=-+→xxx x（5）2121lim 224=+++∞→x x x x （6）11lim 1=--→x xx x（7）e x x e x 1ln lim =→ （8）4arctan lim 1π=→x x5.（略）6.（略）复习题1一、单项选择题1.下列函数中（C ）是初等函数.（A ）)2arcsin(2+=x y （B ）⎩⎨⎧∈∉=Q x Qx x f 10)(（C ）12+-=x y （D ）⎩⎨⎧>+<≤=1110)(2x x x x x f2.下列极限存在的是（B ）.（A ）xx 4lim ∞→ （B ）131lim 33-+∞→x x x （C ）xx ln lim 0+→ （D ）11sin lim 1-→x x 3.当0x →时，2tan x 与下列（D ）不是等价无穷小.（A ）2tan x （B ）2x （C ）2sin x （D ）2cos x 4.函数在某点连续是该函数在此点有定义的（B ）.（A ）必要条件（B ）充分条件（C ）充分必要条件（D ）无关条件 5.已知0sin lim2x axx→=,则常数=a （C ）.（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4 6.闭区间[,]a b 上的连续函数()y f x =在[,]a b 上一定是（C ）.（A ）单调函数（B ）奇函数或偶函数（C ）有界函数（D ）周期函数二、填空题1.设10()20x x x f x x +-∞<≤⎧=⎨<<+∞⎩，则(2)f = 4 .2.函数5cos 3y x =是由简单函数 x v v u u y 3,cos ,3=== 复合而成的. 3.点1x =是函数1,1()3,1x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩ 的第一类间断点中的跳跃间断点.4.当x ∞- 时，函数3xy =是无穷小.5.极限 2lim 1xx x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭= 2e.6.函数ln(4)y x =-的连续区间为 [)4,1.三、计算下列极限1.24231x x x x -++=0 2.223lim 2x x x →--不存在 3.2211lim 21x x x x →---21= 4.22356lim 815x x x x x →-+-+ 5.1)2(1lim 22=---∞→x x x x 6.4281lim5x x x x →∞-++ 不存在 7.63132lim1=--+→x x x 8.231lim (3cos )1x x x x →∞+++=0 9.21sin cos 1lim0=-→θθθθ 10.1cos lim =-∞→x x x x 11.212sin )1ln(lim0=+→x x x 12.21)81221(lim 32=---→x x x13.320lim(12)xx x →-3-=e 14.122lim(1)xx x-→∞- 1-=e15.11lim x x x x +→+⎛⎫⎪⎝⎭e = 16.1lim()1xx x x →∞-+ 2-=e 四、综合题1.函数2101()11x x f x x x ⎧-≤≤=⎨+>⎩在点1=x 处不连续，在点2=x 处连续，函数的图像略。

2010-2011-2线性代数试卷及答案

试卷（A卷）(共2页）┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(15分)设三阶矩阵，,.解因为＝,所以,分）设向量组，，线性相关，向量.解由于所以，分）证明所有二阶实对称矩阵组成的集合V是R2⨯2的子空间，试在,使V成为欧几里得空间,并给出V的一组正交基.V对线性运算封闭，所以V是R2⨯2的子空间。

［A,B］=，］=［B,A］，［kA，B]=k［A,B］, [A,A］≥0且[A,A］=0当且仅当A=0..四分）已知三阶矩阵的伴随矩阵，求齐次线性方程组的通解。

解R（A)=2，所以，的解空间是1维的。

又由于，所以，的列向量是的解.，3)T是的基础解系，所以，通解为：15分）设三阶实对称矩阵满足,且向量是齐次方程的一个基础解系，解由的基础解系含一个解知A的秩为2.由知A的特征值只能为2或0，所以，A的三个特征值为：2，2，0。

由知是属于特征值0的特征向量.所以，A的属于特征值2的特征向量必与正交，所以，特征值2的特征向量可取为:和，于是，可构造正交矩阵：满足：所以，分) 某仓库有A,B,C三种物品若干件，现按下述方案进行采购:购进原B物品件数30%和原C物品件数50％的A物品;购进原A物品件数30％的B物品;购进原B物品件数60％的C物品。

试建立采购前后仓库A,B,C三种物品件数间的关系式。

若采购后仓库A，B，C三种物品件数分别为290，330,380，求采购前仓库A,B，C三种物品的件数。

解记采购前仓库A，B,C三种物品件数分别为：，采购后仓库A，B，C三种物品件数分别为：，则由已知有：即：所以，若时,有即采购前仓库A，B，C三种物品的件数分别为100，300, 200。

2-2。

东北大学高等数学(下)期末试题2013-2015

2 Ω
(B) (D)
∫∫∫ ( x
Ω
2
4 5； + y 2 + z 2 )dv = πR 3
0； ∫∫∫ ( x + y + z )dv =
Ω
( x ∫∫
∑
2
+ y 2 + z 2 )dS = 4π R 2 。
]
4．微分方程 y ″ + y = sinx 的一个特解的形式为[
4
(A) Ax sin x ；(B) A cos x + B sin x ；(C) Ax cos x + B sin x ；(D) Ax cos x + Bx sin x 。 5 ．设 f (u) 连续可微，且 ∫ f (u )du= k ≠ 0 ，其中 L 为圆周 = y
2
4. u = f ( x, xy ) 具有二阶偏导数，求
∂ 2u 。 ∂x∂y
5. 计算二重积分二、
x 2 + y 2 ≤9
∫∫
( x 2 + y 2 − 7 x + 32 y + 1)dxdy 。
x 2 y′ + xy = 1 1. 求解微分方程的初值问题 y |x = 2 = 1
轴旋转一周所得旋转体的体积最小，试求 D 的面积。高等数学（下）2014 年 7 月一、单项选择题 1. 设向量 a = (2, −2, −5) 的起点坐标为 (2,1, 7) ，则[ （A） a 的终点坐标为 (4, −2,1) ；（C） a 与 y 轴的夹角为 arccos
2 2

]

（B） a 的长度为 6；
七、（8 分）设 f (u)连续可微，L 为由 A 3,

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.
f (x, y)在(x0 , y0 )可微 f (x, y)在(x0 , y0 )连续 .
f (x, y)在(x0 , y0 )可微 f x (x0 , y0 ) f y (x0 , y0 )存在 . 2．【解】应选择 B
设切点为(
x(t
0
),
y(t0
),
z(t
0
));
切向量为(
x(t0
2
4
8
4．将 f (x) 1 展开为关于 x 2 的幂级数时，其收敛域为 [
].
1 x
(A) (1, 5)； (B) (1, 1)； (C) (2, 4)； (D) (2, 2).
二. 填空题（每题 4 分，共 16 分）
1．过点(3, 1, 4)且与 y 轴相交，又与平面 y + 2z = 0 平行的直线方程为_______________.
3．设 f (x, y)是连续函数，D 是由 y = x2, y = 0, x = 1 所围的区域，且 f (x, y)满
足恒等式
则 f (x, y) =[
f ( x, y) xy D
].
f( ,x )y d，x d y
(A) xy + 1； (B) xy 1 ； (C) xy 1 ； (D) xy 1 .
h 部分的外侧. 五 (8 分 ) 在抛物面 : z x2 y2 1 上求一点
M 0 (x0 , y0 , z0 ) (x0 0, y0 0, x02 y02 1) ，使在点 M 0 处的切平面与柱面
y 1 x2 及三个坐标面在第一卦限所围立体的体积最大. 六、(8 分)已知 L 是第一象限中从点(0, 0)沿圆周 x2 + y2 = 2x 到点(2, 0), 再沿
n1 1 an
八、(6 分)设有一半径为 R 的球体，P0 是此球表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到 P0 的距离成正比 (比例系数 k > 0)，求球体对于点 P0 的转动惯量.
2
解答 2011-2012
一、1.【解】应选择 D。
f x (x, y), f y (x, y)在(x0 , y0 )连续 f (x, y)在(x0 , y0 )可微。
[
].
(A) ③ ② ① ；(B) ③ ④ ①；(C) ③ ① ④；(D) ② ③ ①.
2．在曲线 x = t , y = t2, z = t3 的所有切线中，与平面 x + 2y + z = 4 平行的切
线[
].
(A) 只有 1 条； (B) 只有 2 条； (C) 至少 3 条； (D) 不存在.
4．求幂级数 (1)n1 x2n1 的收敛域与和函数. n1 2n 1
5．求 (x y z)dS ，式中是平面 y + z = 5 被柱面 x2 y2 25 所截得的有
限部分.
四、(8 分) 计算积分 I x3dydz y2dzdx zdxdy ，是柱面 x2 + y2 = a2 在 0 z
圆周 x2 + y2 = 4 到点(0, 2)的曲线段，计算曲线积分 I 3x2 ydx (x3 x 2y)dy . L

七、(8 分) 设 an > 0 (n = 1, 2, ), 数列{an }单调减少，且级数 (1)n an 发散， n1

判断级数 (
1
)n 的敛散性.
D
对 f (x, y) xy f (x, y)dxdy 两边在区域 D 上做重积分
D
f (x, y)dxdy xydxdy Adxdy
D
D
D
可得
A xydxdy A dxdy
D
D
A 1 A A1
12 3
8
因此, f (x, y) xy 1 8
4 ．设 f (x) 是以 2 为周期的周期函数，其在一个周期上的表达式为
2,
f
(
x)

x2
,
1 x 0, 则 f (x)的 Fourier 级数在 x = 1 处收敛于____________. 0 x 1
1
三. 计算下列各题（每题 6 分，共 30 分）
2011-1012 学年第二学期试题
一. 单项选择题（每题 4 分，共 16 分） 1．函数 f (x, y) 有如下 4 条性质:
① f (x, y) 在 (x0 , y0 ) 处连续； ② f (x, y) 在 (x0 , y0 ) 处两个偏导数连续；
③ f (x, y) 在 (x0 , y0 ) 处可微； ④ f (x, y) 在 (x0 , y0 ) 处两个偏导数存在. 若用 “ PQ ” 表示由性质 P 推出性质 Q ，则
),
y(t0),z(t0))

(1,2t0
,3t
2 0
)
由题设知11 2 2t0 ,1 3t02
0 解得 t0
1,或t0

1 3
在点 (1,1,1)或(1 , 1 , 1 )处的切线与平面 x + 2y + z = 4 平行 3 9 27
3．【解】应选择 D
设 A f (x, y)dxdy
2．设 f (x, y)是连续函数，交换积分次序：
1
2 xx2
2
2x
0 dx0
f (x, y)dy dx
f (x, y)dy 为_____ _____________.
1
0
3．设 L 为圆周 x = acost, y = asint (0 t 2), 则 (x2 y2 )3 ds = _______________. L
1．已知 u f x2 y2 ,exy ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 u ， 2u . x xy
2．计算 (2x 3y z)dv ，是由半球面 z 2 x2 y2 和旋转抛物面
z x2 y2 围成的立体.
3．求平行于平面 6x + y + 6z + 5 = 0，而与三个坐标面所构成的四面体体积为 1 个单位的平面方程.