2013年专转本高等数学试卷及答案解析
dy 为（ ）
dx (0,0)
A. 1
B. 2
C. 3
D. −1
4.设
z
=
z ( x,
y)
是由方程
1 x
−
1 y
=
1 z
确定，则
x2 zx′
+
y2 z′y
=
（
）
A.0
B. x2 + y2
C.
−
1 x2
+
1 y2
D.
1 x2
−
1 y2
-1-
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x<0
续？
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-2-
当你没有出路的时候，前进是唯一的出路
14.已知参数方程
x = ln(1+ t2 ) y = t − arctan t
，求
dy dx
,
d2y dx2
.
15.求不定积分 ∫
x dx .
x−3
16.求定积分
∫e 1
ln
x
dx
6.设级数
∞
∑
un
收敛，则下述结论中，不正确的是（
）
n=1
∞
∑ A. (u2n−1 + u2n ) 收敛 n=1
∞
B. ∑ kun (k ≠ 0) 收敛 n=1
C.
∞
∑ un
收敛
n=1
D.
lim
n→∞
un
=
0
时，级数发散
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分）
7.设函数 f (x) = x2 −1 ，则其第一类间断点为
母填在题后的括号内）
1
1.设 lim (1+ ax2 )2 −1 = 1 ，则必有 a = （ ）
x→0 cos x −1
A.2
B.1
C. −2
D.-1
2.曲线
y
=
x x2 −1
有（
）渐近线.
A. 1 条
B. 2 条
C. 3 条
D. 4 条
3.若函数
f
(x)
在点
x0
可导，且
f ′(x0 )
=
a
，则 lim h→0
.
x (x −1)
8.已知函数 y = ln 1 , 则 dy = ________ .
1− x2
∫ 9.定积分 2 4 − x2 (1+ x cos3 x)dx = _________ . −2
10.已知函数
Φ(
x)
=
1
∫x2
sin
tdt
，则
Φ′′(x)
=
______
.
∫ ∫ 11.交换积分次序4. Nhomakorabeae
17.求过点 P(−1, 2,3) 垂直于直线 x = y = z 且平行于平面
456
7x + 8y + 9z +10 = 0 的直线方程.
18.设函数 z = yf (x − 2 y, x2 y) ，其中 f 有二阶连续偏导数，求 ∂2z .
∂x∂y
19.计算二重积分 ∫∫ xydxdy ，其中 D 为 x2 + y2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0 所围成的区 D
高等数学
注意事项：
1.考生务必将密封线内的各项填写清楚.
2.考生必须要钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上，写在草稿
纸上无效.
3.本试卷五大题 24 小题 150 分，考试时间 120 分钟.
一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分，在每
小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把所选项前的字
dy
y+4 2
f (x, y)dx = ___________________ .
0
4− y
∞
12.幂级数 ∑ n=1
(2x −1)n n
的收敛域为
.
三、解答题（本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分）
l− cos x
13.设函数
f
(x)
=
k
x2
1 x
−
1 ex −
1
x>0
x = 0 ，当 k 为何值， f (x) 在点 x = 0 处连
∫ 16.求定积分 ln2 ex −1dx . 0
17.求过直线 l : x −1 = y − 2 = z − 3 且垂直于平面 3x − y + 2z + 7 = 0 的平面
2 1 −1
方程.
18.已知函数 z = f (x2 − y2, xy) ，其中 f 有二阶连续偏导数，求 ∂z , ∂2z .
A.1
B. 2
C. 3
D. 4
2.设 f ′(0) = 1，α , β 为常数，且αβ ≠ 0 ，则 lim f (α x) − f (β x) = （ ）
x→0
x
A. α + β
B. 1 − 1
αβ
C. 1 + 1
αβ
D. α − β
3.由方程 x − y + 1 sin y = 0 所确定的隐函数 y = y(x) 在点 (0, 0) 处的导数
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当你没有出路的时候，前进是唯一的出路
江苏省 2013 年普通高校“专转本”统一考试模拟试卷（三）
高等数学
注意事项：
1.考生务必将密封线内的各项填写清楚.
2.考生必须要钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上，写在草稿
纸上无效.
3.本试卷五大题 24 小题 150 分，考试时间 120 分钟.
xt
f (u)du = t
x
f (u)du + x
t f (u)du ，求 f (x) .
0
1
1
五、证明题（本大题共 2 小题，每小题 9 分，满分 18 分）
23.设 f (x) = ex − 2 ，求证在区间 (0, 2) 内至少有一点 x0 ，使 ex0 − 2 = x0 . 24.求证：当 x > 0 时， (x2 −1) ln x ≥ (x −1)2 .
∂x ∂x∂y
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当你没有出路的时候，前进是唯一的出路
19.计算二重积分 ∫∫ xdxdy ，其中 D 是由曲线 y = ln x 、直线 x = 2, x = e 和 x D
轴所围成的区域.
20.求微分方程 y′′ − 2 y′ − e2x = 0 满足条件 y(0) = 1, y′(0) = 1 的解.
三、解答题（本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分）
13.求极限 lim x − sin x .
x→0 tan x ⋅ sin2 x
14.设曲线
x
=
x(t ),
y
=
y(t)
由方程组
et
x +
= tet ey =
2e
所确定，求该曲线在 t
=1
时的斜率.
15.求不定积分
∫
1
1 +e
x
dx
.
当你没有出路的时候，前进是唯一的出路
5.在空间直角坐标系下，与平面 x + y + z = 1垂直的直线方程为( )
A.
x+y+ x + 2 y +
z z
=1 =0
C. 2x + 2 y + 2z = 5
B. x + 2 = y + 4 = z
2
1 −3
D. x −1 = y − 2 = z − 3
xdx
=
.
−π
10.已知曲线 y = mx3 + x4 的一个拐点处的切线方程为12x − 81y + 4 = 0，则
4 m = ______.
11.设函数 z = arctan y ，则 ∂2z = ______ .
x
∂x∂y
∑ 12.已知 ∞ (−1)n−1 ，当
n p−3
n=1
时级数绝对收敛.
f
( x0
+ 2h) − h
f
( x0
− 3h)
=
（）
A. a
B. 3a
C. 2a
D. 5a
4.若 e−x 是
f
(x)
的一个原函数，则
2
∫
1
1 x2
f (ln x)dx = （
）
A. − 1
4
B. − 1
C. 1
D. 1
4
5.下列级数条件收敛的是( )
∑ A. ∞ (−1)n−1
n=1
n
∑ B. ∞ (−1)n−1( 2)n
一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分，在每
小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把所选项前的字
母填在题后的括号内）
1.已知函数
f
(x)
=
1
1
−x ln
+ x
2 x2 −1 +a
x −1
0< x <1
， 若极限 lim f (x) 存在，则 a 等
x >1
x →1
（3）函数 f (x) 在闭区间[− 2,3]上的最大值和最小值.
22.求微分方程 xdy + (x − 2 y)dx = 0 的一个解 y = y(x) ，使曲线 y = y(x) 与直
江苏省2013年专转本高数真题及答案
江苏省2013年普通高校“专转本”选拔考试高等数学试题卷（二年级）注意事项：1、本试卷分为试题卷和答题卡两部分，试题卷共3页，全卷满分150分，考试时间120分钟．2、必须在答题卡上作答，作答在试题卷上无效。
作答前未必将自己的姓名和准考证号准确清晰地填在试题卷和答题卡上的指定位置。
3、考试结束时，须将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分。
在下列每小题中，选出一个正确答案，请在答题卡上将所选项的字母标号涂黑）1、当0®x 时，函数()ln(1)f x x x =+-是函数2)(x x g =的( ) A.高阶无穷小 B.低阶无穷小 C.同阶无穷小 D.等价无穷小2、曲线22232x x y x x +=-+的渐近线共有( ) A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条3、已知函数sin 20()011x x xf x xx x ì<ïï=í>ï+-î，则点0x =是函数)(x f 的A 、跳跃间断点B 、可去间断点C 、无穷间断点D 、连续点4、设1()y f x =，其中f 具有二阶导数，则22d ydx=A. 231121()()f f x x x x ¢¢¢-+B. 431121()()f f x x x x ¢¢¢+C. 231121()()f f x x xx ¢¢¢-- D. 431121()()f f x x xx¢¢¢-5、下列级数中收敛的是A 、211n n n¥=+åB 、1()1nn n n ¥=+åC 、1!2nn n ¥=åD 、13nn n¥=å6、已知函数)(x f 在点1x =处连续，且21()1lim 12x f x x ®=-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为A. 1y x =-B. 22y x =-C. 33y x =-D. 44y x =- 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）分）7、设函数1sin 0()0x x f x xa x ì¹ï=íï=î在点0=x 处连续，则常数a = ▲ ． 8、已知空间三点(1(1,1,1),,1,1),(2,3,4),(3,4,5)A B C ，则ABC D 的面积为的面积为▲ ． 9、设函数)(x y y =由参数方程2311x t y t ì=+ïí=-ïî所确定，则221x d ydx == ▲ ．10、设向量®®b a ,互相垂直，且，，23==®®b a ，则=+®®b a 2 ▲ ． 11、设1lim()xx a x e a x ®+=-，则常数=a ▲ ．12、幂级数12nnn x n¥=å的收敛域为的收敛域为▲ ． 三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）分）13、求极限01lim ln(1)x x e x x ®éù-êú+ëû． 14、设函数(,)z z x y =由方程3331z xy z +-=所确定，求dz 及22z x ¶¶． 15、求不定积分2cos 2x xdx ò．16、计算定积分22024dx x+-ò．17、设函数223(,)x yz f x e+=，其中函数f 具有二阶连续偏导数，求2z y x¶¶¶．18、已知直线10330x y z x y z -+-=ìí--+=î平面P 上，又知直线23132x t y t z t =-ìï=+íï=+î与平面P 平行，求平面P 的方程．方程．19、已知函数()y f x =是一阶微分方程dyy dx=满(0)1y =的特解，的特解，求二阶常系数非齐次线性求二阶常系数非齐次线性微分方程32()y y y f x ¢¢¢-+=的通解．的通解．20、计算二重积分Dxdxdy òò，其中D 是由曲线24(0)y x x =->与三条直线,3,0y x x y ===所围成的平面闭区域．所围成的平面闭区域．四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）分） 21、设平面图形D 由曲线2x y =，y x =-与直线1y =围成，试求：围成，试求：（1）平面图形D 的面积；的面积；（2）平面图形D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积．轴旋转一周所形成的旋转体的体积．22、已知21132()(95)xF x t t dt =-ò是函数()f x 的一个原函数，的一个原函数，求曲线求曲线)(x f y =的凹凸区间与拐点．拐点．五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）分）23、证明：当1x >时，2(1ln )21x x +<-．24、设函数()f x 在[,]a b 上连续，证明：函数2()[()()]a bbaaf x dx f x f a b x dx +=++-òò．江苏省2013年普通高校“专转本”统一考试高等数学（二年级） 试卷答案一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）分） 1、C 2、C 3、B 4、B 5、D 6、A 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）分）7、0 8、629、34 10、2 11、ln y x x cx =+ 12、11[,)22-三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）分）13、原式=20001ln(1)ln(1)1lim lim lim ln(1)2x xxx x x x e xe xe x xe x x x x x x®®®+--+-++==+ 2013(1)lim 22xxxx e e xe x ®++++== 14、令32(,,)331,3,3,33x y z F x y z z xy z F y F x F z ¢¢¢=+--===-22222233,,33133111yxz z F F z y y z x x y x dz dx dyxF z z y F z z z z ¢¢¶¶=-=-==-=-=\=+¢¢¶--¶----22222222223()(2)()2211(1)(1)(1)z z y y y z yz z y z x x z z x x x z z z ¶¶¶--¶¶¶¶--=====¶¶¶--- 15、22221111cos 2sin 2sin 2sin 2sin 2cos 22222x xdx x d x x x x xdx x x xd x==-=+òòòò 22111111sin 2cos 2cos 2sin 2cos 2sin 2222224x x x x xdx x x x x x C =+-=+-+ò16、令2sin ,2cos ,0,0;2,2x t dx tdt x t x t p======，则原式=222220000222cos 12cos cos 12(1)22cos 1cos 2cos 2cos22t t t dt dt dt dt t tt t p p p p -===-++òòòò 222002011tan 12222cos2t t dt d t pp p p p=-=-=-òò 17、2232323232212223,(22)36x yx yx yx yz z f ef x f e eef yy x++++¶¶¢¢¢¢¢¢=××=×+××+¶¶¶18、直线方向向量12(1,1,1)(1,3,1)(4,2,2),(3,1,2),S S ®®=-´--=-=-平面P 的法向量12(4,2,2)(3,1,2)(6,2,10),n S S ®®®=´=-´-=-在第一条直线上任取一点(1,1,1)，该点也在平面上，所以平面方程为6(1)(2)(1)10(1)0x y z -+--+-=即3570x y z -+-=19、由dy y dx =得111111,,ln ,,x C C C x x x dy dx dy dx y x C y e e e y e e Ce y y +===+===±=òò，由(0)1y =得1C =,所以xy e =，即212,320,1,322xe r y y r r r y -¢¢¢-+==+==，齐次方程的通解为212xxY C e C e =+.令特解为,,xx xy xAe y Ae xAe **¢==+，,x x xy Ae Ae xAe *¢¢=++代入原方程得：,1x xAe e A -==-，所以通解为212xxxy Y C e C exe ==+-20、原式=333cos 4cos 4422127cos cos (8cos )33cos rd r rdrd d p p p q q qq qqq q q==-òòòò241142(27tan 8sin )(27tan 8sin )933443p p pq q =-=-=-. 四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）分） 21、（1）1312320215(2)(2)333S y y dy y y =+=×+=ò（2）22252221010821[1()][1()]()()42802510xxxx Vx dx dx x xp p pp pp p --=--+-=++-=+=òò22、25233()2(95)1810,f x x x x x x =-=-23()3020f x x x ¢=-，13()20200,f x x-¢¢=-=解得1x =，另外0x =为二导不存在的点，为二导不存在的点，通过列表分析得：通过列表分析得：在(,0),(1,)-¥+¥凸，在(0,1)凹， 拐点为(0,0),(1,8)。
2013年江苏省专转本高等数学(三年级)真题参考答案
y x
1
S
x2 y
x2 x5 21 x x ． 2 1 80 0 10
5 2 2
0
2
1
O
图2
1 3
2
x
22、解：求导数得： f ( x) 18 x 3 10 x ， f ( x) 30 x 3 20 x ， f ( x) 20 x 由 f ( x)
17、解：
2 z z 6e 2 x 3 y f 2 6e 4 x 6 y f 22 ． 6 xe 2 x 3 y f12 2 x f1 2e 2 x 3 f 2 ， x yx
18、解：由题意知：所求平面过点 1, 1， 1 ，且 s1 2, 1, 1 ， s2 3, 1, 2 ，则
f (a b x) d x
b a
a b 2 a
f ( x) d x a b f ( x) d x f ( x) d x 左边，
2
b
原命题获证．
第 3页（共 3页）
x 2 sin 2 x x cos 2 x 1 cos 2 x dx 2 2 2 x 2 sin 2 x x cos 2 x sin 2 x C ． 2 2 4
16、解：令 x 2sin t ，则 d x 2 cos t dt ； 当 x 0 ， t 0 ；当 x 2 ， t
2
f ( x) 2 2(1 ln x )
1 1 ln x 2 1 ， f (1) 0 ； x x
1 ln x 2 ln x ，即知 f ( x) 在 1, 是单调递增的； f ( x) 2 1 2 0 （ x 1） x x
2013河南专升本高数真题（清晰版）及答案
2013年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试高等数学 试卷一. 单项选择题（每题2分，共计60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内.不选、错选或多选者，该题不得分.1. 函数()f x =的定义域为 （ ） A. [0,2] B. (1,)+∞ C. (1,2] D. [1,2]2.设1()1f x x=-，那么 {[()]}f f f x （ ） A.1x B.11x - C. 211x - D.x 3. 函数)y x =-∞<<+∞是 ( ) A.偶函数 B. 奇函数 C.非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数4.设sin 2()x f x x=，则x=0是f(x)的 （ ） A.连续点 B.可去间断点 C.跳跃间断点 D.无穷间断点5. 当0→x （ ）A ．xB ．2xC ．2x D. 22x6.已知(0),(0)f a g b ''==，且(0)(0)f g =，则0()()limx f x g x x →--= （ ） A ．a-b B ．2a+b C ．a+b D ．b-a7.曲线cos (0,0)sin x a t a b y b t =⎧>>⎨=⎩,则4t π=对应点处的法线斜率 （ ） A. b a B. a b C. b a - D. a b- 8.设函数()()f x g x '=，则2(sin )df x = （ ）A. 2()sin g x xdxB. ()sin 2g x xdxC. (sin 2)g x dxD. 2(sin )sin 2g x xdx9.设函数()f x 具有任意阶导数，且2()[()]f x f x '=，则()()n f x = （ ）A. 1![()]n n f x +B. 1[()]n n f x +C. 1(1)[()]n n f x ++D. 1(1)![()]n n f x ++10.由方程x y xy e +=确定的隐函数()x y 的导数dy dx = （ ） A. (1)(1)x y y x -- B. (1)(1)y x x y -- C. (1)(1)y x x y +- D. (1)(1)x y y x +- 11.若()0(0)f x x a ''><<，且(0)0f =，则下面成立的是 （ ）A. ()0f x '>B. ()f x '在[0,]a 上单调增加C. ()0f x >D. ()f x 在[0,]a 上单调增加12.点(0,1)是曲线32y x bx c =++的拐点是 （ ）A. 0,1b c ==B. 1,0b c =-=C. 1,1b c ==D. 1,1b c =-= 13. 曲线2216x y x x +=+--的垂直渐近线共有 （ ）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条14.函数()x x f x e e -=-的一个原函数是 （ ）A. ()x x F x e e -=-B. ()x x F x e e -=+C. ()x x F x e e -=-D. ()x x F x e e -=--15. 若()f x '连续，则下列等式正确的是 ( )A .()()df x f x =⎰ B. ()()d f x dx f x =⎰C. ()()f x dx f x '=⎰D. 22()()d f x dx f x dx =⎰16. 2sin x xdx ππ-=⎰ ( )A .π B.π- C.1 D.017. 设221()x xf t dt xe ++=⎰ ，则()f x '= （ ）A. x xeB. (1)x x e -C. (2)x x e +D. 2x xe +18.下列广义积分收敛的是 （）A.1dxx +∞⎰ B. 1+∞⎰ C. 21dx x +∞⎰ D. 31ln xdxx +∞⎰19.微分方程22()()0y y y y '''++=的阶数是 （ ）A.1B.2C.3D.420. 微分方程220dy xy dx -=满足条件(1)1y =-的特解是 （ ） A. 21y x = B. 21y x=- C. 2y x = D. 2y x =- 21. 下列各组角中，可以作为向量的方向角的是 ( ) A ,,443πππ B ,,643πππ C ,,334πππ D ,,432πππ 22.直线124:231x y z L -+-==-与平面:2340x y z π-+-=的位置关系为( ) A. L 在π上 B. L 在π垂直相交C. L 在π平行D. L 在π相交，但不垂直23.下列方程在空间直角坐标系中所表示的图形为柱面的是 （ ） A. 22273x z y += B. 22144x y z -=- C. 22214169x y z =-- D. 2220x y x +-= 24.00x y →→=（ ） A ．0 B ．1 C ．14-D ．不存在 25.设22(,23)z f x y x y =-+，则z y∂=∂ （ ） A. 1223yf f ''+ B. 1223yf f ''-+ C. 1222xf f ''+ D. 1222xf f ''-26.设2220020(,)(,)x I dx f x y dy f x y dy =+⎰⎰⎰，则交换积分次序后，I 可以化为 A.20(,)dy f x y dx ⎰ B.2202(,)x dy f x y dx ⎰⎰C. 02(,)x f x y dx ⎰⎰D.202(,)dy f x y dx ⎰⎰27.积分12201dx x ydy =⎰⎰ ( ) A.2 B.13 C. 12 D.0 28.设L 是抛物线2x y =上从(0,0)O 到(1,1)A 的一段弧，则曲线积分22L xydx x dy +=⎰A.0B.2C.4D.129. 幂级数1(1)n n n x∞=+∑的收敛区间为 （ ）A . (0,1) B. (,)-∞+∞ C. (1,1)- D. (1,0)-30．下列级数收敛的是 （ ） A. 11(1)1nn n ∞=-+∑ B. 11ln(1)n n ∞=+∑ C. 11sin n n∞=∑ D. 1!nn n n ∞=∑二、填空题（每题2分，共30分）31．函数()f x 在点0x 有定义是极限0lim ()x x f x →存在____________条件. 32. 已知23lim(1)pxx e x -→∞-=，则p= .33.函数,0()cos 2,0ax e a x f x a x x x ⎧-≤=⎨+>⎩是连续函数 ,则a =_____.34.设函数421()f x x =，则()f x '= . 35. 2cos 2sin xdx x x +=+⎰_____.36. 向量{1,0,1}a =与向量{1,1,0}b =-的夹角是 .37. 微分方程0y y x '+-=的通解是__________.38.设方程220x y z x y z ++-=所确定的隐函数为(,)z zx y =，则01x y zx ==∂=∂ .39.曲面22z x y =+在点（1，2，5）处的切平面方程是 .40.将1()f x x =展开成（x-4）的幂级数是 .三、计算题（每小题5分，共50分）41．011lim[]ln(1)x x x →-+.42. 已知函数()x x y =由方程arctan yx =所确定，求dydx .43.求不定积分⎰.44. 设21,0(),0x x x f x e x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩求31(2)f x dx -⎰. 45.求微分方程23x y y y e '''+-=的通解.46．设2sin 2xy u x y e =++，求全微分du .47．一平面过点(1,0,-1)且平行于向量a={2,1,-1}和b={1,-1,2},求此平面的方程.48．计算x y D edxdy ⎰⎰，其中D 是由y=1,y=x,y=2,x=0所围成的闭区域.49．计算积分2222(210)(215)L x xy y dx x xy y dy +-++--+⎰，其中L 为曲线y=cosx 上从点(,0)2A π到点(,0)2B π-的一段弧.50．求幂级数0(1)2(1)nn n x n ∞=-+∑的收敛域.四、应用题（每题6分，共计12分）51.某房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为2000元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加100元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费200元的维修费，试问租金定为多少可获得最大收入？最大收入是多少？52.曲线2(0)y x x =≥，直线x+y=2以及y 轴围成一平面图形D ，试求平面图形D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积.五、证明题（8分）53. 设f(x)在区间[0,1]上连续，且f(x)<1,证明：方程02()1xx f t dt -=⎰在区间(0,1)内有且仅有一个实根.附答案。
2013年浙江专升本高等数学真题与答案解析(详细)
浙江省 2013 年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试高等数学请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、 准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
一、选择题: 本大题共5小题,每小题4分,共 20分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设()sin(cos 2),x f x x =-∞<<+∞，则此函数是 AA.有界函数B.奇函数C.偶函数D.周期函数 解：正弦函数都是有界的。
2.若函数y=f(x)是区间[1,5]上的连续函数，则该函数一定 A A.在区间[1,5]上可积 B 在区间（1,5）上有最小值 C.在区间（1,5）上可导 D.在区间（1,5）上有最大值 解：连续必定可积。
3.π0cos x xdx ⎰= DA. 0B.1C.-1D.-2解：000cos sin sin sin cos 2x xdx xd x x x xdx x πππππ==-==-⎰⎰⎰4.由曲线y =y x =所围成的平面图形的面积是 D A.3/2 B.1/2 C.1/3 D.1/6 解：交点为()()0,0,1,1，)13122002121132326S x dx x x ⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭⎰5.二阶微分方程263sin cos x y y y e x x '''+-=，则其特解的形式为B A 2(cos sin )x e a x b x + B.)2sin 2cos (2x b x a e x +C.2(cos sin )x xe a x b x +D.2(cos 2sin 2)xxe a x b x + 解：22363sin cos sin 22xx y y y e x x e x '''+-==，齐次方程的特征方程为：212603,2r r r r +-=⇒=-=，而2λ=，所以22ϖ±不是特征根，故选择B非选择题部分注意事项:1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
2013年专转本高等数学试卷及答案解析
A.任意实数
B. ln 2
C. 2
D. 0
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分）
7.设函数
f
(x)
=
x
∫0 sin
tdt
，则
f
[
f
(π 2
)]
=
________
.
8.同时垂直于向量
r a
=
(1,
−3,
−1),
r b
=
(2,
−1,
3)
的单位向量为
.
9.定积分
π
∫
(
x2
+
1) sin
（1）试求 D1 绕 x 轴旋转而成的旋转体体积V1 ； D2 绕 y 轴旋转而成的
旋转体体积V2 ；
（2）问当 a 为何值时，V1 +V2 取得最大值？试求此最大值.
22.设函数 f (x) 在 (0, +∞) 内连续， f (1) = 5 ，且对所有 x,t ∈ (0, +∞) ，满足
2
∫ ∫ ∫ 条件
域.
20.求非齐次微分方程 y′′ − 3y′ + 2 y = xex 的通解.
四、综合题（本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分）
21.设函数 f (x) = 2x3 − 3x2 −12x +13 ，试求：
（1）函数 f (x) 的单调区间与极值；
（2）曲线 y = f (x) 的凹凸区间与拐点；
xdx
=
.
−π
10.已知曲线 y = mx3 + x4 的一个拐点处的切线方程为12x − 81y + 4 = 0，则
2013年专升本高数真题答案解析(浙江)
浙江省2013年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试高等数学参考答案选择题部分一、选择题:本大题共5小题,每小题4分,共20分。
题号12345答案AADDB1.A 解析:因为1)2sin(cos1≤≤-x，所以函数)2sin(cos )(x x f =是有界函数，而且是非奇非偶函数，非周期函数，所以选项A 正确。
2.A 解析:由可积的充要条件可知，函数)(x f 在闭区间]5,1[上的连续，可推得)(x f 在闭区间]5,1[上可积，所以选项A 正确。
3.D 解析:()()2cos sin sin )(sin cos 0000-==-==⎰⎰⎰πππππx xdx x x x xd xdx x ，可见选项D 正确。
4.D 解析:根据题意可知：6121322132211231=-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎰x dx x ，所以选项D 正确。
5.B 解析:21x e x f x 2sin 23)(2=，（利用公式x x x 2sin 21cos sin =），故设特解为:)2sin 2cos(2x b x a e y x +=*，可见选项B 正确。
非选择题部分二、填空题:本大题共10小题，每小题4分，共40分。
6.0解析:0)cos(2lim )()sin()cos(2lim 1)sin(ln lim )sin(ln lim 2022202020=-=-⋅==→→→→x x x x x x xx x x x x x x7.[]()2,(21)ππ+∈k k k z 解析:由0sin 1≤≤x ，解得()2(21)ππ≤≤+∈k x k k z 8.2-解析:000(1)(1)(1)(1)(1)(1)limlim lim ∆→∆→∆→-∆-+∆-∆--+∆=+∆∆∆x x x f x f x f x f f f x x x x0(1)(1)(1)(1)limlim 2(1)2∆→∆→-∆--+∆'=--=-=--∆-∆x x f x f f f x f x x9.yxe e y ycos 1sin sin -解析:隐函数方程求导可知，方程sin 1=+yy xe两边同时对x 求导，得：sin sin cos ''=+⋅yyy e xey y ，即：yxe e y y ycos 1sin sin -='10.C x +ln ln （C 为任意常数）解析:(ln )ln ln ln ln ==+⎰⎰dx d x x C x x x （C 为任意常数）11.1sin ⎰x xdx解析:利用定积分的定义求极限可知，原式10111122331lim (sin sin sin sin1)lim sin sin →∞→∞==+++⋅⋅⋅+=⋅=∑⎰n n n i n i i x xdxn n n n n n n n n nn 12.(1,1)-解析:2123211lim )()(lim )(x x n n x x u x u x n n n nn n =⋅+==++∞→+∞→ρ，令1)(2<=x x ρ，解得：()1,1-∈x ，因此收敛区间为：()1,1-13.])([1)()(C dx e x Q eydx x P dxx P +⎰⎰⋅-⎰=-（C 为任意常数）解析:由伯努利方程，令y z 1=，z y 1=，dxdzz dx dy ⋅-=21，所以原方程可化为：221)(1)(1z x Q z x P dx dz z ⋅=⋅+⋅-，即：)()(x Q z x P dxdz -=⋅-，由一阶线性微分方程的通解公式可得：])([)()(C dx e x Q e z dx x P dx x P +⎰⎰⋅-⎰=-，即：])([1)()(C dx e x Q eydxx P dxx P +⎰⎰⋅-⎰=-（C 为任意常数）14.0323=-+-z y x 解析:由点法式可知，平面方程为：0)1(2)0(3)1(=-+---z y x ，即：0323=-+-z y x 15.264-解析:球心坐标为：)2,0,0(，半径2=R ，球心到平面2260+-+=x y z 的距离为：64)1(12262222=-+++-=h ，故所求距离为：264-=-=R h d三、计算题：本题共有8小题，其中16-19小题每小题7分，20-23小题每小题8分，共60分。
13年专升本高数真题答案
共 7 页，第 1 页2013年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学 答案及解析一、选择题（每小题2分，共60分）1．答案：C【解析】：易知，需满足，即，故应选C.⎩⎨⎧>-≤≤-0111x x 21≤<x 2．答案：D【解析】：因为，则，，故应选D.1()1f x x =-()[]x x x x f f 11111-=--={}[()]f f f x =()[]x xx x f f =--=1113．答案：B【解析】：因为为奇函数，则也为奇函数，应选B.()x x -+21ln )y x =-∞<<+∞4．答案：B 【解析】：因为，故是的可去间断点，应选B.22lim 2sin lim 00==→→xxx x x x 0x =()f x 5．答案：A【解析】：当时，，则与是等价无穷小0x →()1112lim 11lim00=-++=--+→→x x x xxx x x x x x --+11x 量，应选A.6．答案：C【解析】：因，应选C.0()()lim x f x g x x →--=()()()()()()()()b a x x g g x f x f x x g g f x f x x x +=--+-=--+-→→→0lim 0lim 00lim 0007．答案：B【解析】：因为曲线，则，故对应点处的法线cos (0,0)sin x a t a b y b t=⎧>>⎨=⎩t a b t a t b dt dx dt dy dx dy cot sin cos //-=-==4π=t 斜率为，应选B.ba8．答案：D【解析】： 因为，则，应选D.()()f x g x '=2d (sin )f x =()()xdx x g xdx x x f 2sin sin cos sin 2sin 22='9．答案：A【解析】：设函数具有任意阶导数，且，则；()f x 2()[()]f x f x '=()()()()[]322x f x f x f x f ='=''；()()[]()()[]42!332x f x f x f x f ='⨯='''()()()[]()()[]534!4432x f x f x f x f ='⨯⨯=()()n f x =1![()]n n f x +10．答案：A【解析】：方程两边对求导，其中看作的函数，，所以x yxy e+=y x y ()1+'⋅=+'+x ex y x yx ，应选A.()()11--=--=--=='++x y y x y xy xy x y e e x dy dx x y x y x 11．答案：B【解析】：因为，则在上单调增加，应选B.()0(0)f x x a ''><<()f x '[0,]a 12．答案：A【解析】：点是曲线的拐点，则，故，应选A.(0,1)32y x bx c =++()()00,10=''=y y 0,1b c ==13.答案：A【解析】：因为，则2216x y x x +=+--()()3221-+++=x x x ；；()()543221lim 621lim 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛--++-→-→x x x x x x x x ()()∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛--++→→3221lim 621lim 323x x x x x x x x 故是曲线的垂直渐近线，应选A.3=x 14.答案：B【解析】： 因为，则，故应选B.()xxf x e e -=-()()C e e dx e ex F x x x x++=-=--⎰15.答案：D【解析】： 根据不定积分的相关性质，易知，正确，应选D.22d ()d ()d f x x f x x =⎰16．答案：D【解析】：因为为奇函数，故，应选D.x x sin 20sin 2=⎰-dx x x ππ17．答案：A 【解析】：方程两边对求导，得，则，故221()d x x f t t xe ++=⎰x ()x x xe e x f +++=+222()()x x e x e x f 2-+=，应选A.()f x '=x xe 18．答案：C【解析】：由P 无穷广义积分的结论可知，应选C.19．答案：B【解析】：微分方程的阶数是指微分方程中最高导数的阶数，应选B.20．答案：B【解析】：对方程分离变量，得，两边积分，得,代入，2d 2d 0y xy x -=xdx y dy 22=C x y+=-21(1)1y =-，故方程的特解是，应选B.0=C 21y x -=21．答案：C【解析】：向量的方向角需满足，应选C.1cos cos cos 222=++γβα22．答案：B【解析】：直线的方向向量与平面法向量平行，故与垂直相交，应选B.L π23．答案：D【解析】：缺少变量的二次曲面方程为柱面，应选D.共 7 页，第 3 页24．答案：C 【解析】：，应选C.0x y →→=()()41421lim 42lim 0000-=++-=++-→→→→xy xy xy xy y x y x 25．答案：B【解析】：因为，则22(,23)z fx y x y =-+zy∂=∂1223yf f ''-+26．答案：A 【解析】：因为为X 型积分，则交换积分次序后，Y 型积分的2 22 00 2d (, )d (, )d x I x f x y y x f x y y =+⎰⎰⎰积分区域为：，故可以化为，应选A.(){}282,20,y x y y y x -≤≤≤≤I 2d (, )d y f x y x ⎰⎰27.答案：C 【解析】： 积分，应选C. 122 01d d x x y y =⎰⎰21213121210321102=⋅=⋅⎰⎰x x ydy dx x 28. 答案：D【解析】：参数方程，则，应L ()10,2≤≤⎩⎨⎧==y yy y x 22d d Lxy x x y +=⎰[]1522105141042===+⋅⋅⎰⎰y dy y dy y ydy y y 选D.29.答案：C 【解析】：因为，则收敛半径，收敛区间为，应选C.121lim lim 1=++=∞→+∞→n n u u n n n n 1=R (1,1)-30．答案：A【解析】：A 为交错级数，且单调递减，，故收敛；B 、C 中，11+n 011lim=+∞→n n 111sinlim ,1111ln lim ==⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→nn n n n n 且发散，故B 、C 均发散；D 中，故D 发散；应选A.∑∞=11n n∞=∞→!lim n n nn 二、填空题（每小题2分，共20分）31．答案：既不充分也不必要【解析】：函数在点有定义与极限存在没有关系，故为既不充分也不必要()f x 0x 0lim ()x x f x →条件.32．答案：32【解析】：因为，故.2331lim --∞→==⎪⎭⎫⎝⎛-e e x p pxx p =3233．答案：21【解析】：因为函数为连续函数，则，得，故.()()a x x a a a e x axx =+-=-+-→→2cos lim ,1lim 0a a =-121=a 34．答案：32x -【解析】：因为，则，故．421f x x ⎛⎫=⎪⎝⎭()21x x f =()32x x f -='35．答案：C x x ++sin 2ln 【解析】：2cos d 2sin x x x x +=+⎰()Cx x x x x x d ++=++⎰sin 2ln sin 2sin 236．答案：π32【解析】：，则．21221,cos -=⋅-=⋅⋅>=<→→→→→→ba ba b a 32,π>=<→→b a 37．答案：1-+=-xCex y 【解析】：由一阶线性微分方程的通解公式得，.()1-+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=---⎰⎰xxxdx dx Cex C dx xe e C dx xe e y 38．答案：-5【解析】：令，则，将代入方程，则，()xyz z y x y x F 22,-++=xy F yz F z x 21,21-='-='1,0==y x 2-=z 故.52121101010-=---=''-=∂∂======y x y x z x y x xyyz F F xz39．答案：542=-+z y x 【解析】：令，故点处的切平面法向量，故切()1,2,2,,,22-='='='-+=z y x F y F x F z y x z y x F ()5,2,1{}1,4,2-平面方程为，即.()()()052412=---+-z y x 542=-+z y x 40．答案：()()nn n n x 44101-⋅-∑∞=+【解析】：.()()()()∑∑∞=+∞=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+⋅=-+==010441441414411414411n nn n nn n x x x x x x f 三、计算题（每小题5分，共50分）41．．011lim ln(1)x x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦共 7 页，第 5 页【解析】：原式=.()()()()21211lim 2111lim 1ln lim 1ln 1ln lim 200200-=+-=-+=-+=+-+→→→→x x x x x x x x x x x x x x42．已知函数由方程所确定，求.()x x y =arctanyx=d d x y 【解析】：方程两边同时对求导，可知，，即y 2222222222111yx y x x yx x x y x xy ++'⋅+='-⋅+，故.2222y x y x x y x x y x ++'=+'-d d xy yx yx y x x y x x +-=+'-='=2243.求不定积分．x ⎰【解析】：.Cx x x x C t t t t dt tt t t dtt t t t tdt dx x tx tdt dx ++-=++-⋅=+-+-⋅=+-⋅==⎰⎰⎰⎰==arctan arctan arctan arctan 111arctan 1arctan arctan arctan 22222222244．设，求.21,0(),0x x x f x e x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩31(2)d f x x -⎰【解析】：.()()()e e t t dt e dt t dt tf dx x f ttt x +=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++==----=-⎰⎰⎰⎰313121013100121131245．求微分方程的通解．23xy y y e '''+-=【解析】：原方程对应的齐次方程为，则特征方程为，特征根为，02=-'+''y y y 0122=-+r r 21,121=-=r r 故原方程对应的齐次方程的通解为.又知不是特征根，则原方程的()为任意常数2121211,,C C e C eC y x x+=-1=λ特解可设为，代入原方程可得，即,故原方程的通解为xAe y =*xxxxe Ae Ae Ae 32=-+23=A .x x xe eC e C y 232121++=-46．设，求全微分．2+sin2+xyu x y e =d u 【解析】：方法一：由题意可知，所以,2cos 2,2xy xy xe y yu ye x x u +=∂∂+=∂∂.()()dy xe y dx ye x dy yudx x u du xy xy +++=∂∂+∂∂=2cos 22方法二：对等式两边同时求微分，可知.()()()()dyxe y dx ye x ydx xdy e ydy xdx xy d e ydy xdx de y d dx du xy xy xy xy xy +++=+⋅++=++=++=2cos 222cos 222cos 222sin 247．一平面过点且平行于向量和，求此平面方程.(1,0,1)-{2,1,1}a =-{1,1,2}b =- 【解析】：由题意可知，所求平面平行于向量和，则所求平面的法向量，即{2,1,1}a =-{1,1,2}b =- →→→⨯=b a n ，又知平面过点，由平面的点法式方程可知，平面方{}3,5,135211112--=--=--=⨯=→→→→→→→→→k j i kj ib a n (1,0,1)-程为，即.()()01351=+---z y x 435=--z y x 48．计算，其中是由所围成的闭区域.d d xyDex y ⎰⎰D 1,,2,0y y x y x ====【解析】：由题意可知，如图所示，该区域为Y 型区域，则.d d x yDe x y ⎰⎰()()()1232112122121021-=-=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰⎰⎰⎰e y e dy e y dy ye dx e dy y y x yyx 49．计算积分，其中为曲线上从点到点2222(210)d (215)d Lx xy y x x xy y y +-++--+⎰L cos y x =π,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭一段弧.π,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】：由题意可知，，则()()152,,102,2222+--=+-+=y xy x y x Q y xy x y x P ，即，说明该曲线积分与积分路径无关，选取直线路径y x x Q y x y P 22,22-=∂∂-=∂∂xQy P ∂∂=∂∂，故⎪⎭⎫ ⎝⎛-→=22:,0ππx y .2222(210)d (215)d Lxxy y x x xy y y +-++--+⎰()ππππππ1012103103222232--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎰--x x dx x 50．求幂级数的收敛域．0(1)2(1)nn n x n ∞=-+∑【解析】：该幂级数的为非标准不缺项的类型，令，则原幂级数可变形为，因为t x =-1()∑∞=+012n n nn t ，则幂级数的收敛半径为，故幂级数的收敛区间()()2221121lim lim11=++=+∞←+∞←n n u u n n n n nn ()∑∞=+012n nn n t 2=R ()∑∞=+012n n n n t 为；()2,2-当时，级数收敛；当时，级数收敛发散；2-=t ()()∑∞=+-011n n n 2=t ()∑∞=+011n n共 7 页，第 7 页则幂级数的收敛域为，故原幂级数的收敛域为.()∑∞=+012n n n n t [)2,2-0(1)2(1)nn n x n ∞=-+∑[)3,1-四、应用题（每小题6分，共12分）51．某房地产公司有50套公寓要出租,当月租金定为2000元时,公寓会全部租出去,当月租金每增加100元时,就会多一套公寓租不出去,而租出去的公寓每月需花费200元的维修费，试问租金定为多少可获得最大收入?最大收入是多少?【解析】：设租金定位元时，收入为，则，即x ()x S ()()200100200050-⎪⎭⎫⎝⎛--=x x x S ，令，得唯一的驻点，又知()()2000,14000721002≥-+-=x x x x S ()07250=+-='x x S 3600=x ，则为的极小值点，结合实际情况，也就是对应的最大值，所以当租金定位3600()0501<-=''x S 3600=x ()x S 元时，有最大收入，最大收入为115600元.52．曲线，直线以及轴围成一平面图形,试求平面图形绕轴旋转一周所得旋转体3(0)y x x =≥2x y +=y D D y 的体积.【解析】：由题意可知，如图所示，该区域为X 型区域，则体积=.()()ππππ151453222221053214213=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=--⎰⎰x x x dx x x x dx x x x 五、证明题（8分）53．设在区间上连续，且，证明：方程在区间（0,1）内有且仅有一个实根.()f x [0,1]()1f x <02()d 1xx f t t -=⎰【证明】：存在性：令，因为在区间上连续，则在区间上()()[]1,0,120∈--=⎰x dt t f x x F x()f x [0,1]()x F [0,1]也连续，而且，由零点定理可知，在区间（0,1）内至少存在一点()()()()()1,011,1010<>-=-=⎰x f dt t f F F ξ，使得；()0=ξF 唯一性：因为，则在区间（0,1）内单调递增，故方程在()()()()1,02<>-='x f x f x F ()x F 02()d 1xx f t t -=⎰区间（0,1）内至多有一实根；综上所述，方程在区间（0,1）内有且仅有一个实根.2()d 1xx f t t -=⎰。
2013年江苏专转本(高等数学)真题试卷(题后含答案及解析)
2013年江苏专转本（高等数学）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题 6. 证明题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．当x→0时，函数f(x)=ln(1+x)-x是函数g(x)=x2的( )A．高阶无穷小B．低阶无穷小C．同阶无穷小D．等价无穷小正确答案：C解析：由题意故选C．2．曲线y=的渐近线共有( )A．1条B．2条C．3条D．4条正确答案：C解析：当x→1和x→2时，有y→∞有2条垂直渐近线，当x→∞时，y=2所以有一条水平渐近线，故选C．3．设f(x)=则点x=0是函数f(x)的( )A．跳跃间断点B．可去间断点C．无穷间断点D．连续点正确答案：B解析：在0点左极限，等于右极限．4．设y=f(x2)，其中f具有二阶导数，则=( )A．2xf2(x2)+2f2(x2)B．4x2f2(x2)+2f2(x2)C．4xf2(x2)+2f2(x2)D．4x2f2(x2)正确答案：B解析：y’=2f’(x2).2x，y”=2f”(x2)+42f”(x2)．故选B．5．下列极数中收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：D解析：A：P级数收敛，调和级数发散，所以相加仍为发散．选项B：选项C：选项D：故选D．6．已知函数f(x)在点x=1处连续，且，则曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为( )A．y=x-1B．y=2x-2C．y=3x-3D．y=4x-4正确答案：A解析：因为f(x)在点x=1处连续，即f’(x)=1，f(1)=0即k=f’(1)=1,在点[1，f(x)]处的切线方线为y=x-1，故选A填空题7．设f(x)=在点x=0处连续，则常数a=______．正确答案：0解析：(无穷小有界函数仍为无穷小)因为在0处连续故8．已知空间三点A(1，1，1)，B(2，3，4)，C(3，4，5)，则△ABC的面积为______．正确答案：解析：由题意因为=-i+2j.k=(-1，2，-1)，所以9．设函数y=y(x)由参数方程所确定，则_____．正确答案：解析：10．设=c，则常数c=______．正确答案：2解析：等式左边=当a=2时，左边=右边．11．微分方程的通解为______．正确答案：y=xlnx+Cx解析：y’=u+xu’代入原式①得u+xu’=1+u，xu’=1，两边积分得u=lnx+C，把U=代入得y=lnx+Cx．12．幂级数的收敛数为______．正确答案：解析：解答题解答时应写出推理、演算步骤。
2013江苏专转本 专转本数学
函数的连续性与导数、微分的概念的练习题答案一、单项选择题（每小题4分，共24 分）1．若()f x 为是连续函数，且()()01,10f f ==， 则1lim sin x f x x →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A ． -1B ．0C ．1D ． 不存在解： 原式1sin 1lim sin lim1x x f x f x f x x →∞→∞⎡⎤⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦连续()10f ==，选B2． 要使()()ln 1mx f x kx =+在点0x =处连续，应给()0f 补充定义的数值是( )A ． kmB ． kmC ． ln kmD ． km e解：()00lim ln lim(1)mx x x f x kx →→⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦0lim ln ln x m kx km x e e km →⋅===()0f km ∴= 选A3．若lim ()x a f x A →=，则下列正确的是 （ ）A ． ()lim x a f x A →=B ．x a →=C ． ()lim x a f x A →=-D ． lim ()x a f x A →=解：x →=选B4．设()()(),00,0f x x F x x f x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩且()f x 在0x =处可导，()00,f '≠()00f =,则0x =是()F x 的 ( )A ． 可去间断点B ． 跳跃间断点C ． 无穷间断点D ． 连续点解：()()()()000lim lim 0,0x x f x f F x f x →→-'==- ()()00f f '≠()()()000lim 0x F f F →∴=≠，故0x =是()F x 的第一类可去间断点。
选A5．()1sin ,00,0x f x x x x ⎧⎪=≠⎨⎪=⎩在0x =处 ( )A ． 极限不存在B ．极限存在但不连续C ．连续但不可导D ．可导但不连续解：()001lim lim sin 0x x f x x x→→=⋅= ，且()00f = ()f x ∴在0x =连续，又()0f '01sin 0lim 0x x x x →-==-不存在，()f x ∴在0x =不可导 选C 6．设()21,1,1x x f x ax b x ⎧+≤=⎨+>⎩在1x =可导，则,a b 为 （ ） A ． 2,2a b =-= B ． 0,2a b ==C ． 2,0a b ==D ． 1,1a b ==解：（1）()f x 在1x =连续，()()211lim 12,lim x x x ax b a b -+→→∴+=+=+ 故()21a b +=⋯（2）()()2111lim 2,11x x f f x --+→-''==-()()11112lim lim 11x x a x ax b a x x ++→→-+-==--2a ∴=，代入()1得0b =，选C二、 填空题（每小题4分，共24分）7．设()f x 为连续奇函数，则()0f =解：（1）()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-（2）()()00lim lim x x f x f x →→-=-⎡⎤⎣⎦又()f x 在0x =连续()()00f f ∴=- 故()00f =8．若()f x 为可导的偶函数，则()0f '=解：（1）()f x 为偶函数，()()f x f x ∴-=(2)()f x 可导，()()f x f x ''∴--= 故()()00f f ''-=()200f '= 即()00f '=9．设6y x k =+是曲线23613y x x =-+的一条切线，则k =解： （1）6,66,666,2y y x x x ''==-∴-==（2）62346213,12121213,k k ⨯+=⨯-⨯+∴+=-+故1k =10． 若()y f x =满足：()()0f x f =x +()x +α，且()0lim 0x x x →α=则()0f '=解：()()()000lim 0x f x f f x →-'=-()0lim 101x x x x α→-==+=11． 设()f x 在2x =连续，且(2)f =4， 则2214lim ()24x f x x x →⎛⎫-= ⎪--⎝⎭解： 原式=2224(2)lim 4x x f x →+--2114lim 4124x x →==⋅=+12．()5sin 1()x x f x x x ⋅-=-的间断点个数为解： 令()()()520,1110x x x x x x -=-++=0,1,1x x x ==-=为间断点，故()f x 有三个间断点三 、计算题（每小题8分，共64分）13． 已知2sin 21,0(),0ax x e x f x xa x ⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在(),-∞+∞上连续，求a 的值解：()f x 在0x =连续()200sin 21lim lim axx x x e f x x →→+-∴=200sin 21lim lim 22ax x x x e a x x →→-=+=+且()0,22f a a a =∴+=故2a =-14． 讨论1,0()0,01ln ,11x e x f x x xx x ⎧⎪<⎪=≤≤⎨⎪⎪>-⎩在0,1x x ==连续性解：（1）在0x =处，10lim 0,xx e -→= 0lim 00x +→=且()00f =()f x ∴在0x =处连续（2）在1x =处，1lim 00,x -→= ()10ln 1ln 1lim lim 11x x t x x t x t++→→+-===- ()f x ∴在1x =不连续15． 设()f x 有连续的导函数，且()()00,0f f b '==若()()sin ,0,0f x a x x F x xA x +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =连续，求常数A 。
2013年专升本高数真题答案解析(浙江)
浙江省2013年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试高等数学参考答案选择题部分一、选择题:本大题共5小题,每小题4分,共20分。
题号12345答案AADDB1.A 解析:因为1)2sin(cos1≤≤-x，所以函数)2sin(cos )(x x f =是有界函数，而且是非奇非偶函数，非周期函数，所以选项A 正确。
2.A 解析:由可积的充要条件可知，函数)(x f 在闭区间]5,1[上的连续，可推得)(x f 在闭区间]5,1[上可积，所以选项A 正确。
3.D 解析:()()2cos sin sin )(sin cos 0000-==-==⎰⎰⎰πππππx xdx x x x xd xdx x ，可见选项D 正确。
4.D 解析:根据题意可知：6121322132211231=-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎰x dx x ，所以选项D 正确。
5.B 解析:21x e x f x 2sin 23)(2=，（利用公式x x x 2sin 21cos sin =），故设特解为:)2sin 2cos(2x b x a e y x +=*，可见选项B 正确。
非选择题部分二、填空题:本大题共10小题，每小题4分，共40分。
6.0解析:0)cos(2lim )()sin()cos(2lim 1)sin(ln lim )sin(ln lim 2022202020=-=-⋅==→→→→x x x x x x xx x x x x x x7.[]()2,(21)ππ+∈k k k z 解析:由0sin 1≤≤x ，解得()2(21)ππ≤≤+∈k x k k z 8.2-解析:000(1)(1)(1)(1)(1)(1)limlim lim ∆→∆→∆→-∆-+∆-∆--+∆=+∆∆∆x x x f x f x f x f f f x x x x0(1)(1)(1)(1)limlim 2(1)2∆→∆→-∆--+∆'=--=-=--∆-∆x x f x f f f x f x x9.yxe e y ycos 1sin sin -解析:隐函数方程求导可知，方程sin 1=+yy xe两边同时对x 求导，得：sin sin cos ''=+⋅yyy e xey y ，即：yxe e y y ycos 1sin sin -='10.C x +ln ln （C 为任意常数）解析:(ln )ln ln ln ln ==+⎰⎰dx d x x C x x x （C 为任意常数）11.1sin ⎰x xdx解析:利用定积分的定义求极限可知，原式10111122331lim (sin sin sin sin1)lim sin sin →∞→∞==+++⋅⋅⋅+=⋅=∑⎰n n n i n i i x xdxn n n n n n n n n nn 12.(1,1)-解析:2123211lim )()(lim )(x x n n x x u x u x n n n nn n =⋅+==++∞→+∞→ρ，令1)(2<=x x ρ，解得：()1,1-∈x ，因此收敛区间为：()1,1-13.])([1)()(C dx e x Q eydx x P dxx P +⎰⎰⋅-⎰=-（C 为任意常数）解析:由伯努利方程，令y z 1=，z y 1=，dxdzz dx dy ⋅-=21，所以原方程可化为：221)(1)(1z x Q z x P dx dz z ⋅=⋅+⋅-，即：)()(x Q z x P dxdz -=⋅-，由一阶线性微分方程的通解公式可得：])([)()(C dx e x Q e z dx x P dx x P +⎰⎰⋅-⎰=-，即：])([1)()(C dx e x Q eydxx P dxx P +⎰⎰⋅-⎰=-（C 为任意常数）14.0323=-+-z y x 解析:由点法式可知，平面方程为：0)1(2)0(3)1(=-+---z y x ，即：0323=-+-z y x 15.264-解析:球心坐标为：)2,0,0(，半径2=R ，球心到平面2260+-+=x y z 的距离为：64)1(12262222=-+++-=h ，故所求距离为：264-=-=R h d三、计算题：本题共有8小题，其中16-19小题每小题7分，20-23小题每小题8分，共60分。