初中苏科初二数学下册期末考试试卷

初中苏科初二数学下册期末考试试卷

一、解答题

1．把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E、F 两点均在BD上），折痕分别为BH、DG．

（1）求证：△BHE≌△DGF；

（2）若AB＝6cm，BC＝8cm，求线段FG的长．

2．先化简：

2

2

24

1

a a

a a a

+-

-÷

-

，再从﹣1、0、1、2中选一个你喜欢的数作为a的值代入

求值．

3．已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在AD上，且AE=DF

求证：四边形BECF是平行四边形．

4．一粒木质中国象棋子“帅”，它的正面雕刻一个“帅”字，它的反面是平滑的．将它从定高度下掷，落地反弹后可能是“帅”字面朝上，也可能是“帅”字面朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“帅”字面朝上的概率，某实验小组做了棋子下掷实验，实验数据如表：

试验次数20406080100120140160“帅”字面朝上频数a18384752667888

相应频率0.70.450.630.590.520.550.56b

＝；＝；

（2）画出“帅”字面朝上的频率分布折线图；

（3）如图实验数据，实验继续进行下去，根据上表的这个实验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是多少？

5．如图,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,AB // OC,点B,C 的坐标分别为（15,8）,（21,0）,动点M 从点A 沿A→B 以每秒1个单位的速度运动;动点N 从点C 沿C→O 以每秒2个单位的速度运动．M,N 同时出发,设运动时间为t 秒． （1）在t ＝3时,M 点坐标 ,N 点坐标 ; （2）当t 为何值时,四边形OAMN 是矩形？

（3）运动过程中,四边形MNCB 能否为菱形？若能,求出t 的值;若不能,说明理由．

6．化简求值：221211x

x x x x x x ++??-÷

?--??

，其中31x =- 7．如图，在平行四边形ABCD 中，AE BD CF BD ⊥⊥，

，垂足分别为E F 、.

（1）求证：AE CF =；

（2）求证：四边形AECF 是平行四边形

8．如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD 为正方形,已知点A(-6,0),D(-7,3)，点B 、C 在第二象限内．

(1)点B 的坐标 ；

(2)将正方形ABCD 以每秒1个单位的速度沿x 轴向右平移t 秒,若存在某一时刻t,使在第一象限内点B 、D 两点的对应点B′、D′正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t 的值以及这个反比例函数的解析式；

(3)在(2)的情况下,问是否存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q,使得以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出符合题意的点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由．

9．如图，∠MON＝90°，正方形ABCD的顶点A、B分别在OM、ON上，AB＝13，OB＝5，E为AC上一点，且∠EBC＝∠CBN，直线DE与ON交于点F．

（1）求证BE＝DE；

（2）判断DF与ON的位置关系，并说明理由；

（3）△BEF的周长为．

10．先化简，再求代数式（1﹣

3

2

x+

）÷

21

2

x

x

-

+

的值，其中x＝4．

11．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD．求证：四边形ABCD为菱形．

12．如图，在?ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE＝DF，EF分别与

AB ，CD 交于点G ，H ，则BG 与DH 有怎样数量关系？证明你的结论．

13．解方程（1）2

2(1)1x x +=+ （2）22310x x ++=（配方法） 14．阅读下列材料：

已知：实数x 、y 满足22

320.25

x x

y x x +=++(0.75)x ≠-，求y 的最大值． 解：将原等式转化成x 的方程，得2

1

(3)(2)04

y x y x y -+-+

=①． 若3y =，代入①得0.75x =-，

0.75x ≠-，

3y ∴≠，因此①必为一元二次方程．

21

(2)4(3)404

y y y y ∴?=---?

=-+≥，解得4y ≤，即y 的最大值为4． 根据材料给你的启示，解决下面问题：

已知实数x 、y 满足2

2

32

21

x x y x x ++=++15x ??≠- ??

?，求y 的最小值．

15．如图，点P 是正方形ABCD 对角线AC 上一动点，点E 在射线BC 上，且

PB PE =，连接PD ，O 为AC 中点．

（1）如图1，当点P 在线段AO 上时，试猜想PE 与PD 的数量关系和位置关系，并说明

理由；

（2）如图2，当点P 在线段OC 上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；

（3）如图3，当点P 在AC 的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、解答题

1．（1）见解析 （2）3cm 【分析】

1）先根据矩形的性质得出∠ABD=∠BDC ，再由图形折叠的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，∠A=∠HEB=90°，∠C=∠DFG=90°，进而可得出△BEH ≌△DFG ；

（2）先根据勾股定理得出BD 的长，进而得出BF 的长，由图形翻折变换的性质得出CG=FG ，设FG=x ，则BG=8﹣x ，再利用勾股定理即可求出x 的值． 【详解】

（1）如图，ABCD 四边形是矩形，

AB CD ∴=，90A C ∠=∠=?，ABD BDC ∠=∠.

BEH ?是BAH ?翻折而成的，1=2∴∠∠，==90A HEB ∠∠?，AB BE =. DGF DGC ??是翻折而成的，

3=4∴∠∠，90C DFG ∠=∠=?，CD DF =，

∴在BEH ?和DFG ?中，HEB DFG ∠=∠，BE DF =，2=3∠∠，BHE DGF ∴??≌.

（2）四边形ABCD 是矩形，6AB =，8BC =，6AB CD ∴==，8AD BC ==， 22=10BD BC CD ∴+=，又由（1）知，DF CD =，CG FG =，=1064BF ∴-=.

设FG x =，则8BG x =-，在Rt BGF ?中，222BG BF FG =+，即

()

2

2284x x -=+，

3x ∴=，即3FG =.

【点睛】

本题主要考查矩形的折叠问题，涉及知识点有全等三角形的证明与性质，勾股定理，折叠性质等知识点，解题关键在于能够灵活运用勾股定理

2．1a 2-

-，当1a =-时，原式1=3 【分析】

本题根据分式的除法和减法运算法则，结合平方差以及提公因式法将题目化简，然后从

1-、0、1、2中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】

原式2(1)11

11(2)(2)22

a a a a a a a a a +--=-

?=-=-+---， 由已知得：若使原分式有意义，需满足0a ≠，20a a -≠，240a -≠， 即当0a =、1、2、2-时原分式无意义， 故当1a =-时，原式11

123

=-=--． 【点睛】

本题考查分式的化简求值，解题关键在于对平方差、完全平方公式等运算法则的运用，其次注意计算仔细即可． 3．证明见解析. 【分析】

根据平行四边形的性质，可得对角线互相平分，根据对角线互相平分的四边形式平行四边形，可得证明结论． 【详解】

如答图，连接BC ，设对角线交于点O ．

∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OD ，OB=OC ． ∵AE=DF ，OA ﹣AE=OD ﹣DF ，∴OE=OF ． ∴四边形BEDF 是平行四边形．

4．（1）14，0.55；（2）图见解析；（3）0.55．

【分析】

（1）根据图中给出的数据和频数、频率与总数之间的关系分别求出a、b的值；

（2）将频率作为纵坐标，试验次数作为横坐标，描点连线，可得折线图．

（3）根据表中数据，试验频率为0.7，0.45，0.63，0.59，0.52，0.55，0.56，0.55稳定在0.55左右，即可估计概率的大小．

【详解】

（1）a＝20×0.7＝14；

b＝

88

160

＝0.55；

故答案为：14，0.55；

（2）根据图表给出的数据画折线统计图如下：

（3）随着试验次数的增加“帅”字面朝上的频率逐渐稳定在0.55左右，利用这个频率来估计概率，得P（“帅”字朝上）＝0.55．

【点睛】

此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．作图时应先描点，再连线．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率．频率=所求情况数与总情况数之比．

5．（1）（3,8）;（15,0）;（2）t＝7;（3）能,t＝5．

【分析】

（1）根据点B、C的坐标求出AB、OA、OC,然后根据路程＝速度×时间求出AM、CN,再求出ON,然后写出点M、N的坐标即可;

（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形,当AM＝ON时,四边形OAMN是矩形,然后列出方程求解即可;

（3）先求出四边形MNCB是平行四边形的t值,并求出CN的长度,然后过点B作BC⊥OC于

D,得到四边形OABD是矩形,根据矩形的对边相等可得OD＝AB,BD＝OA,然后求出CD,再利用勾股定理列式求出BC,然后根据邻边相等的平行四边形是菱形进行验证．

【详解】

解：（1）∵B（15,8）,C（21,0）,

∴AB＝15,OA＝8,

OC＝21,

当t＝3时,AM＝1×3＝3,

CN＝2×3＝6,

∴ON＝OC-CN＝21﹣6＝15,

∴点M（3,8）,N（15,0）;

故答案为：（3,8）;（15,0）;

（2）当四边形OAMN是矩形时,AM＝ON,

∴t＝21-2t,

解得t＝7秒,

故t＝7秒时,四边形OAMN是矩形;

（3）存在t＝5秒时,四边形MNCB能否为菱形．

理由如下：四边形MNCB是平行四边形时,BM＝CN,

∴15-t＝2t,

解得：t＝5秒,

此时CN＝5×2＝10,

过点B作BD⊥OC于D,则四边形OABD是矩形,

∴OD＝AB＝15,BD＝OA＝8,

CD＝OC-OD＝21-15＝6,

在Rt△BCD中,BC＝22

BD CD

+＝10,

∴BC＝CN,

∴平行四边形MNCB是菱形,

故,存在t＝5秒时,四边形MNCB为菱形．

【点睛】

本题主要考查了四边形综合以及矩形的性质,平行四边形与菱形的关系,梯形的问题、勾股定理等知识,根据矩形、菱形与平行四边形的联系列出方程是解题的关键．

6．

1

1

x+

；

3

3

【分析】

通分合并同类项，再约分，代入求值． 【详解】

原式22211

1

(1)x x x x x x -=?=+-+ 代入得原式3

3

311==

-+． 【点睛】

本题考查分式的化简求值，分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算． 7．（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】

（1）证出△ABE ≌△CDF 即可求解； （2）证出AE 平行CF ，AE CF =即可/ 【详解】

（1）∵AE BD CF BD ⊥⊥，

∴∠AEB=∠CFD ∵平行四边形ABCD ∴∠ABE=∠CDF,AB=CD ∴△ABE ≌△CDF ∴AE=CF

（2）∵AE BD CF BD ⊥⊥，

∴AE ∥CF ∵AE=CF

∴四边形AECF 是平行四边形

【点睛】

本题考查的是平行四边形的综合运用，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键. 8．（1）（31-，）；（2）t=9，6

y x =；（3）点P 、Q 的坐标为：P （132

，0）、Q （

3

2

，4）或P （7，0）、Q （3，2）或P （-7，0）、Q （-3，-2）． 【分析】

（1）过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点B 作BF ⊥x 轴于点F ，由正方形的性质结合同角的余角相等即可证出△ADE ≌△BAF ，从而得出DE=AF ，AE=BF ，再结合点A 、D 的坐标即可求出

点B 的坐标；

（2）设反比例函数为k

y x

=

，根据平行的性质找出点B ′、D ′的坐标，再结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k 、t 的二元一次方程组，解方程组解得出结论；

（3）假设存在，设点P 的坐标为（m ，0），点Q 的坐标为（n ，6

n

）．分B ′D ′为对角

线或为边考虑，根据平行四边形的性质找出关于m 、n 的方程组，解方程组即可得出结论． 【详解】

解：（1）过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点B 作BF ⊥x 轴于点F ，如图1所示．

∵四边形ABCD 为正方形， ∴AD=AB ，∠BAD=90°，

∵∠EAD+∠ADE=90°，∠EAD+∠BAF=90°， ∴∠ADE=∠BAF ． 在△ADE 和△BAF 中，有

90AED BFA ADE BAF AD BA ∠=∠=???

∠=∠??=?

， ∴△ADE ≌△BAF （AAS ）， ∴DE=AF ，AE=BF ．

∵点A （-6，0），D （-7，3）， ∴DE=3，AE=1，

∴点B 的坐标为（-6+3，0+1），即（-3，1）． 故答案为：（-3，1）． （2）设反比例函数为k

y x

=

， 由题意得：点B ′坐标为（-3+t ，1），点D ′坐标为（-7+t ，3）， ∵点B ′和D ′在该比例函数图象上， ∴33(7)k t

k t =-+??

=?-+?

，

解得：t=9，k=6，

∴反比例函数解析式为

6

y

x =．

（3）假设存在，设点P的坐标为（m，0），点Q的坐标为（n，6

n

）．

以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形分两种情况：

①B′D′为对角线时，

∵四边形B′PD′Q为平行四边形，

∴

6

31

62

n

m n

?

-=

?

?

?-=-

?

，解得：

13

2

3

2

m

n

?

=

??

?

?=

??

，

∴P（13

2

，0），Q（

3

2

，4）；

②当B′D′为边时．

∵四边形PQB′D′为平行四边形，

∴

62

6

031

m n

n

-=-

?

?

?

-=-

??

，解得：

7

3

m

n

=

?

?

=

?

，

∴P（7，0），Q（3，2）；

∵四边形B′QPD′为平行四边形，

∴

62

6

031

n m

n

-=-

?

?

?

-=-

??

，解得：

7

3

m

n

=-

?

?

=-

?

．

综上可知：存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B′、D′四个点

为顶点的四边形是平行四边形，符合题意的点P、Q的坐标为：P（13

2

，0）、Q（

3

2

，

4）或P（7，0）、Q（3，2）或P（-7，0）、Q（-3，-2）．【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、全等三角形的判定及性质、平行四边形的性质以及解方程组，解题的关键是：（1）证出△ADE≌△BAF；（2）找出关于k、t的二元一次方程组；（3）分类讨论．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，利用反比例函数图形上点的坐标表示出来反比例函数系数k是关键．

9．（1）见解析；（2）DF⊥ON，理由见解析；（3）24

【分析】

（1）根据正方形的性质证明△BCE≌△DCE即可；

（2）由第一题所得条件和已知条件可推出∠EDC＝∠CBN，再利用90°的代换即可证明；（3）过D点作DG垂直于OM，交点为G，结合已知条件推出DF和BF的长，再根据第一题结论得出△BEF的周长等于DF加BF即可得出答案．

【详解】

解：（1）证明：∵四边形ABCD正方形，

∴CA平分∠BCD，BC＝DC，

∴∠BCE＝∠DCE＝45°，

∵CE＝CE，

∴△BCE≌△DCE（SAS）；

∴BE＝DE；

（2）DF⊥ON，理由如下：

∵△BCE≌△DCE，

∴∠EBC＝∠EDC，

∵∠EBC＝∠CBN，

∴∠EDC＝∠CBN，

∵∠EDC+∠1＝90°，∠1＝∠2，

∴∠2+∠CBN＝90°，

∴∠EFB＝90°，即DF⊥ON；

（3）过D点作DG垂直于OM，交点为G，

∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD=AB ，∠BAD=90°， ∴∠DAG+∠BAO=90°， ∵∠ABO+∠BAO=90°， ∴∠DAG=∠ABO ，

又∵∠MON=90°，DG ⊥OM ， ∴△ADG ≌△ABO ， ∴DM=AO ，GA=OB=5， ∵AB=13，OB=5， 根据勾股定理可得AO=12， 由（2）可知DF ⊥ON ， 又∵∠MON=90°，DG ⊥OM ， ∴四边形OFDM 是矩形， ∴OF=DG=AO=12，DF=OM=17， 由（1）可知BE ＝DE ，

∴△BEF 的周长=DF+BF=17+（12-5）=24． 【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，掌握知识点是解题关键． 10．

1

1x +；15

【分析】

首先把括号内的分式进行通分、相减，把除法转化为乘法，即可化简，最后代入数值计算即可． 【详解】

解：原式＝()()232

211x x x x x +-+?++- ()()12

211x x x x x -+=?++- 11

x =

+

当x ＝4时，原式＝15

． 【点睛】

本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则． 11．详见解析． 【分析】

先判断出∠OAB ＝∠DCA ，进而判断出∠DAC ＝∠DAC ，得出CD ＝AD ＝AB ，证出四边形ABCD 是平行四边形，再由AD ＝AB ，即可得出结论． 【详解】

证明：∵AB ∥CD ， ∴∠OAB ＝∠DCA ， ∵AC 平分∠BAD ． ∴∠OAB ＝∠DAC ， ∴∠DCA ＝∠DAC ， ∴CD ＝AD ＝AB ， ∵AB ∥CD ，

∴四边形ABCD 是平行四边形， ∵AD ＝AB ，

∴四边形ABCD 是菱形． 【点睛】

本题考查了菱形的判定，能够了解菱形的几种判定方法是解答本题的关键，难度不大． 12．见解析 【分析】

由平行四边形的性质得AD ∥BC ，根据平行线的性质证明∠E ＝∠F ，角边角证明△AFG ≌△CEH ，其性质得AG ＝CH ，进而可证明BG ＝DH ． 【详解】

BG ＝DH ，理由如下： ∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∠A ＝∠C ，AB ＝DC ， ∴∠E ＝∠F ，

又∵BE ＝DF ，AF ＝AD +DF ，CE ＝CB +BE ， ∴AF ＝CE ，

在△CEH 和△AFG 中，

A C AF CE F E ∠=∠??

=??∠=∠?

∴△AFG ≌△CEH （ASA ）， ∴AG ＝CH ， ∴BG ＝DH ．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键．

13．（1）11x =-，212x =-；（2）11x =-，212

x =- 【分析】

（1）移项，提取公因式1x +，利用因式分解法求解即可；

（2）移项，方程左右两边同时除以2后，两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】

（1）2

2(1)1x x +=+，

移项得：2

2(1)10()x x -++=， 提取公因式1x +得：121)()(0x x ++=， 可得：10x +=或210x +=，

解得：1211

2

x x =-=-，； （2）22310x x ++=， 原方程化为：2

3122

x x +

=-， 配方得：2

2

233132424x x ????++=-+ ? ???

??，即231()416x +=，

开方得：31

44

x +

=±， 解得：121

1

2

x x =-=-，． 【点睛】

本题考查了解一元二次方程-因式分解法及配方法，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．

14．

2316

【分析】

类比阅读材料给出的方法，分类探讨得出函数的最小值即可． 【详解】

解：将原等式转化成关于x 的方程，得：

2(3)(21)(2)0y x y x y -+-+-=①，

若3y =，代入①得15

x =-

，

∵15

x ≠-

， ∴3y ≠，因此①必为一元二次方程． ∵3a y =-，21b y =-，2c y =+，

∴2

2

4(21)4(3)(2)0b ac y y y ?=-=----≥， 解得：23

16

y ≥

且3y ≠． ∴y 的最小值为2316

． 【点睛】

本题考查了根的判别式的运用，把函数转化为关于x 的方程，根据系数的取值范围，结合根的判别式，分类探讨得出答案即可．

15．（1）PE PD =且PE PD ⊥，详见解析；（2）猜想成立，详见解析；（3）猜想成立 【分析】

（1）根据点P 在线段AO 上时，利用三角形的全等判定和性质以及四边形内角和定理可以得出PE ⊥PD ，PE=PD ；

（2）利用三角形全等得出，BP=PD ，由PB=PE ，得出PE=PD ，要证PE ⊥PD ；从三方面分析，当点E 在线段BC 上（E 与B 、C 不重合）时，当点E 与点C 重合时，点P 恰好在AC 中点处，当点E 在BC 的延长线上时，分别分析即可得出； （3）根据题意作出图形，利用（2）中证明思路即可得出答案． 【详解】

（1）当点P 在线段AO 上时，PE PD =且PE PD ⊥，理由如下： ∵四边形ABCD 是正方形，AC 为对角线， ∴BA DA =，45BAP DAP ∠=∠=?， 在△ABP 和△ADP 中，

45AB AD BAP DAP AP AP =??

∠∠????

＝＝＝， ∴△ABP ≌△ADP ，

∴PB PD =，ABP ADP ∠=∠，CDP CBP ∠=∠， 又∵PB PE =，

∴CBP BEP ∠=∠，PE PD =， ∴BEP CDP ∠=∠， ∵180BEP CEP ∠+∠=?， ∴180CDP CEP ∠+∠=?， ∵正方形ABCD 中，90BCD ∠=?，

∴36090DPE CEP CDP BCD ∠=?-∠-∠-∠=?，

∴PE PD ⊥；

（2）当点P 在线段OC 上时，PE PD =且PE PD ⊥，理由如下： ∵四边形ABCD 是正方形，AC 为对角线， ∴BA DA =，45BAP DAP ∠=∠=?， 又PA PA =，

∴BAP DAP ???(SAS)， ∴PB PD =， 又∵PB PE =， ∴PE PD =，

①当点E 与点C 重合时，PE PD ⊥； ②当点E 在BC 的延长线上时，如图所示， ∵BAP DAP ???， ∴ABP ADP ∠=∠， ∴CDP CBP ∠=∠，

PB PE =，

∴CBP PEC ∠=∠，

∴PEC PDC ∠=∠， ∵12∠=∠，

∴90DPE DCE ∠=∠=?， ∴PE PD ⊥， 综上所述：PE PD ⊥．

∴当点P 在线段OC 上时，（1）中的猜想成立；

（3）当点P 在线段OC 的延长线上时，如图所示，（1）中的猜想成立．

∵四边形ABCD 是正方形，点P 在AC 的延长线上， ∴BA DA =，45BAP DAP ∠=∠=?， 又PA PA =，

∴BAP DAP ???(SAS)， ∴PB PD =， 又∵PB PE =， ∴PE PD =， ∵BAP DAP ???， ∴ABP ADP ∠=∠， ∴CDP CBP ∠=∠，

PB PE =，

∴CBP PEC ∠=∠，

∴PEC PDC ∠=∠， ∵DGC EGP ∠=∠， ∴90DPE DCE ∠=∠=?， ∴PE PD ⊥． 【点睛】

本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及垂线的证明方法，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考压轴题．．