矩形和菱形
矩形和菱形的性质和判定(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解矩形和菱形的基本概念。矩形是一种四边形，有四个直角，对边平行且相等；菱形则是四边相等的四边形，对角线互相垂直平分。它们在几何图形中具有重要的地位，广泛应用于日常生活和艺术设计中。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何利用矩形和菱形的性质来解决实际问题，如计算图形的面积和周长。
4.培养学生的数学应用意识，将矩形和菱形的知识应用于生活实际，如设计图案、计算面积等，增强数学与生活实际的联系，提高学生的数学素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）矩形和菱形的性质：熟练掌握矩形和菱形的定义、特征及性质，包括对边平行且相等、对角线互相平分等。
举例：矩形性质的应用——计算矩形面积；菱形性质的应用——判断菱形对角线长度关系。
1.培养学生的空间观念和几何直观能力，通过观察、操作矩形和菱形，使其理解并掌握其性质，能运用这些性质解决实际问题；
2.培养学生的逻辑思维和推理能力，通过矩形和菱形的判定方法的学习，使学生能够运用严谨的逻辑推理证明四边形的类型，提高解决问题的能力；
3.培养学生的数据分析能力，使学生能够运用矩形和菱形的相关性质，分析解决实际问题时四边形边长、角度等数据的变化规律；
（4）几何证明的逻辑推理：在判定矩形和菱形时，学生需要具备严密的逻辑推理能力，能够运用已知条件和性质进行证明。
举例：运用矩形和菱形的性质，通过步骤严谨的推理过程，证明一个四边形是矩形或菱形。
在教学过程中，教师需针对这些难点和重点，采用适当的教学策略，如直观演示、案例分析、小组讨论等，帮助学生透彻理解矩形和菱形的性质与判定方法，提高解决问题的能力。
（2）矩形和菱形的判定方法：理解和掌握矩形、菱形的判定条件，能够准确判断四边形的类型。
矩形和菱形争雄
矩形和菱形争雄
话说这一日，华灯初上，四边形王国的盛大晚会便就鸣锣开场了，各种各样的四边形齐聚一堂，它们在梯形舞台上各展动人的风采．首先登台亮相的是矩形和菱形，它们不甘示弱地比试着各自的特长与作用．
矩形：我比平行四边形漂亮．
菱形：我比平行四边形美观．
矩形：我既是轴对称图形，又是中心对称图形．
菱形：我既是中心对称图形，也是轴对称图形．
矩形：我有两条对称轴，不偏不斜地经过两组对边的中点．
菱形：我的对称轴有两条，对角线所在的直线就是它俩．
矩形：我的四个角相等，你呢？
菱形：我的四条边相等，怎么样？
矩形：我的对角线相等，你有吗？
菱形：我的对角线互相垂直，比你逊色吗？
矩形：我是正方形的表姐．
菱形：正方形是我的表妹．
矩形：只要我的一组邻边相等，我就变成了美丽的正方形．
菱形：只要我的一个内角为直角，漂亮的正方形就是我了．
矩形：要是我的对角线互相垂直，我不让你羡慕才怪呢？
菱形：要是我的对角线相等，你唯恐羡慕还来不及呢？
矩形：我的作用可大了．
菱形：我的作用也不小．
矩形：你说窗、门是矩形的吧？
菱形：你说窗、门上要不是菱形的图案点缀能显得那么美丽吗？
矩形：你见过菱形的床吗？
菱形：没见过．但你见过矩形的花吗？
矩形：也没见过．看来我俩不应各自分开．
菱形：是啊，我俩该好好合作．
矩形、菱形：只要我俩一合作，世界就会变成充满完美的正方形，那该多好啊！。
矩形、菱形、正方形的性质及判定(四边形)
矩形、菱形、正方形的性质及判定一、知识提要1.矩形定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；性质①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等.判定①有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形.2.直角三角形斜边的中线等于斜边长的一半.3.菱形定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.性质①菱形的四条边都相等；②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.判定①有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四边相等的四边形是菱形.4.菱形的面积等于对角线乘积的一半.5.正方形定义四条边都相等、四个角都是直角的四边形是正方形.性质正方形拥有平行四边形、矩形、菱形的所有性质；判定①由一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形.二、精讲精练1.矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则边与对角线组成的直角三角形的个数是________.2.（2011浙江）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知∠AOB= 60°，AC=16，则图中长度为8的线段有( ) A．2条B．4条ODC BA60°C ．5条D ．6条3. 矩形ABCD 中，AB =2BC ，E 为CD 上一点，且AE =AB ，则∠BEC = ___.4. 已知矩形ABCD ，若它的宽扩大2倍，且它的长缩小四分之一，那么新矩形的面积等于原矩形ABCD 面积的__________．5. （2011四川）下列关于矩形的说法中正确的是（ ）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相平分的四边形是矩形C ．矩形的对角线互相垂直且平分D ．矩形的对角线相等且互相平分6. （2011江苏）在四边形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC .请再添加一个条件，使四边形ABCD 是矩形.你添加的条件是_______________(写出一种即可) 7. （2011山东）如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC 、AB 于点D 、F ，BE ⊥DF 交DF 的延长线于点E ，已知∠A =30°，BC =2，AF =BF ，则四边形BCDE 的面积是（ ）A ．23B ．33C ．4D ．438. 如图，将□ABCD 的边DC 延长到点E ，使CE =DC ，连接AE ，交BC 于点F ．（1）求证：△ABF ≌△ECF（2）若∠AFC =2∠D ，连接AC 、BE ．求证：四边形ABEC 是矩形．9. （2011江苏）在菱形ABCD 中，AB=5cm ，则此菱形的周长为（ ）A. 5cmB. 15cmC. 20cmD. 25cm10. （2011河北）如图，已知菱形ABCD ，其顶点A ，B 在数轴对应的数分别为-4和1，则BC =_______．EFDCBAD CBAHFGE ADBC11. 菱形的一边与两条对角线夹角的差是20°，则菱形的各角的度数为___________．12. (2011重庆)如图,菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC =8，BD =6，过点O 作OH ⊥AB ，垂足为H ，则点O 到边AB 的距离OH =_________．13. 已知菱形周长是24cm ，一个内角为60°，则菱形的面积为＿_____.14. 菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，若S 菱形ABCD =24cm 2，则AE =6cm ，则菱形ABCD的边长为_______.15. （2011山东）已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4:3，则这个菱形的面积是（ ）A ．12cm 2B ． 24cm 2C ． 48cm 2D ． 96cm 2 16. 菱形有____条对称轴，对称轴之间具有________的位置关系． 17. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )A ．两组对边分别平行B ．两组对边分别相等C ．一组邻边相等D ．对角线相互平分18. （2011四川）如图，点E 、F 、G 、H 分别是任意四边形ABCD 中AD 、BD 、BC 、CA 的中点，当四边形ABCD 的边至少满足__________条件时，四边形EFGH 是菱形.19. （2011浙江）如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，过点A 作AG ∥DB 交CB 的延长线于点G ． （1）求证：DE ∥BF ；（2）若∠G =90°，求证：四边形DEBF 是菱形．F E B C A D 20. （2011湖州）如图，已知E 、F 分别是□ABCD 的边BC 、AD 上的点，且BE =DF . （1）求证：四边形AECF 是平行四边形；（2）若BC =10， BAC =90，且四边形AECF 是菱形，求BE 的长.21. （2011湖南）下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（ ） A.平行四边形 B.正方形 C.等腰梯形 D.矩形22. 有一组邻边_______并且有一个角是________的平行四边形，叫做正方形． 23. （2010湖北）已知正方形ABCD ，以CD 为边作等边△CDE ，则∠AED 的度数是 .24. 已知正方形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，OE ⊥BC 于E ，若OE =2，则正方形的面积为____．25. 如图，已知，正方形ABCD 的对角线交于O ，过O 点作OE ⊥OF ，分别交AB 、BC 于E 、F ，若AE =4，CF =3，则EF 等于（ ）A ．7B ．5C ．4D ．326. （2011贵州）如图，点E 是正方形ABCD 内一点，△CDE 是等边三角形，连接EB 、EA ，延长BE 交边AD 于点F . （1）求证: △ADE ≌△BCE ； （2）求∠AFB 的度数.FED CBA FE ODCBA三、测试提高【板块一】菱形的性质1. 若菱形两邻角的比为1:2，周长为24 cm ，则较短对角线的长为_____． 【板块二】菱形的判定2. （2011湖南）如图，小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A 和B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于C 、D ，则直线CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定是（ ） A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．等腰梯形 3. （2011湖北）顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD 一定是（ ） A.菱形 B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形【板块三】菱形余矩形的性质4. （2011江苏）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）A ．对角线互相垂直B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．对角互补 【板块四】特殊四边形的判定5. 下列命题中，正确命题是( )A ．两条对角线相等的四边形是平行四边形；B ．两条对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；C ．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形；D ．两条对角线平分且相等的四边形是正方形；四、课后作业1. 矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠AOB =60°，若BD =10 cm ，则AD =_____．2. 矩形周长为72cm ，一边中点与对边两个端点连线的夹角为直角，此矩形的长边为_______.3. 矩形的边长为10和15，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分的长度分别为_________.4. 过矩形ABCD 的顶点D ，作对角线AC 的平行线交BA 的延长线于E ，则△DEB 是( ).A ． 不等边三角形B ． 等腰三角形C ． 等边三角形D ． 等腰直角三角形BACD5. 矩形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD ，BC 分别交于E ，F ，则四边形AFCE 是___________．6. 菱形一个内角为120°，平分这个内角的一条对角线长12 cm ，则菱形的周长为_____．7. 若菱形两条对角线长分别为6 cm 和8 cm ，则它的周长是________，面积是_______．8. 菱形的一个角是60°，边长是8 cm ，那么菱形的两条对角线的长分别是_________．9. 已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为_____. 10. 在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ， AF ⊥CD ，且BE =EC ， CF =FD ，则∠AEF 等于_______.11. 如图，小华剪了两条宽为2的纸条，交叉叠放在一起，且它们交角为45°，则它们重叠部分的面积为（ ）. A.22 B.1 C.332 D.2 12. （2011广东）如图，两条笔直的公路1l 、2l 相交于点O ，村庄C 的村民在公路的旁边建三个加工厂A 、B 、D ，已知AB =BC =CD =DA =5公里，村庄C 到公路1l 的距离为4公里，则村庄C 到公路2l 的距离是（ ）. A ．3公里 B ．4公里C ．5公里D ．6公里13. 正方形的对角线__________且_________，每条对角线平分_____． 14. 如图，AC 是菱形ABCD 的对角线，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，且AE =AF ． 求证：△ACE ≌△ACF ．FE BCDA15. （2011山东）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作直线EF ⊥BD ，分别交AD 、BC 于点E 和点F ，求证：四边形BEDF 是菱形．OFEDCBA。
矩形、菱形、正方形的判定及性质应用举例
ABCD EFO矩形、菱形、正方形的判定及性质应用举例矩形、菱形、正方形的判定和性质是初中数学中最重要的内容之一.在中考中所占的比例较大，常以填空题、选择题、计算题、证明题的形式出现. 现举几例供同学们参考. 一、矩形知识的应用例1(甘肃白银7市课改)如图，矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 和BC 于点E 、F ，23AB BC ==，，则图中阴影部分的面积为 .分析：由四边形ABCD 是矩形，利用矩形的对角线互相平分且相等可知，矩形中OA=OB=OD=OC ，由三角形全等可求出阴影部分的面积.解：∵矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O . ∴OA=OB=OD=OC ，AC=BD∵)(,SAS COF AOE COD AOB ∆≅∆∆≅∆ ∴COF AOE COD AOB S S S S ∆∆∆∆==, ∴阴影部分的面积33221=⨯⨯=点评：矩形是特殊的平行四边形，其特殊性表现在角上(四个角都是直角)，两条对角线将矩形分成四个等腰三角形，从而可以计算阴影部分的面积.二、菱形知识的应用例2. (山东)如下图，菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且DE ⊥AB ，AB=a ，求：(1)∠ABC 的度数；(2)已知a AO 23=，求对角线AC 的长；(3)求菱形的面积.分析： 因为E 是AB 的中点，且DE ⊥AB 可得等腰三角形ABD 为等边三角形，这样菱形的4个内角都可求出，并且由特殊角的关系很容易求出AC 的长和菱形面积.解：(1)连结BD.在菱形ABCD 中，∵ DE ⊥AB ，E 是AB 的中点，∴ AB=AD=DB. ∴ △ABD 为等边三角形.∴ ∠ABD=60° .∴ ∠ABC=2∠ABD=120°.(2)在菱形ABCD 中 ，AC ⊥BD ，且AC 与BD 互相平分. 由(1)在Rt △ABO 中，a AO 23=a a AO AC 32322=⨯==∴ (3)由(1)知a AB BD ==，∴a a S ⋅⨯=⋅=321BD AC 21菱形 .232a = 点评：(1)本题首先证明△ABD 是等边三角形，从而求出∠ABD 的度数，再利用菱形的性质可求∠ABC.(2)求AC 的长可利用菱形的对角线互相垂直平分(3)菱形的面积可用21AC·BD 求出，也可利用AB·DE 求出. 本题应用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，即可求出面积.三、正方形知识的应用例3(浙江台州)把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于点H (如图).试问线段HG 与线段HB 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想.分析：本题是将正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向进行旋转，画出正方形AEFG .构造全等三角形.解：HG HB =. 证法1：连结AH ，∵四边形ABCD ，AEFG 都是正方形.∴90B G ∠=∠=°.由题意知AG AB =，又AH AH =.DCAB GHFEDC AB GHFERt Rt()∴△≌△，AGH ABH HL=∴.HG HB证法2：连结GB.，都是正方形，∵四边形ABCD AEFG∠=∠=∴°.ABC AGF90由题意知AB AG=.∴.∠=∠AGB ABG∴.∠=∠HGB HBG∴.=HG HB点评：本题主要考查正方形的性质及三角形全等的判定，要证HG=HB，转化为证Rt△AGH≌Rt△ABH或HBG∠即可.=HGB∠练习：1.如图，如果要使平行四边行ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是.2.如图，在梯形纸片ABCD中，AD//BC，AD>CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C处，折痕DE交BC于点E，连结C′E.求证：四边形CDC′E是菱形.3.如图，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC 于点E，PF⊥CD于点F.(1) 求证：BP=DP；(2) 如图，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；(3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论.参考答案1.AB AD AC BD，等.=⊥2.证明：根据题意可知DE∆≅C∆CDE'则'''，，=∠=∠=CD C D C DE CDE CE C E∵AD//BC ∴∠C′DE=∠CED∴∠CDE=∠CED ∴CD=CE∴CD=C′D=C′E=CE ∴四边形CDC′E为菱形3.(1) 解法一：在△ABP与△ADP中，利用全等可得BP=DP.解法二：利用正方形的轴对称性，可得BP=DP.(2) 不是总成立.当四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，点P旋转到BC 边上时，DP >DC>BP，此时BP=DP不成立.说明：未用举反例的方法说理的不得分.(3)连接BE、DF，则BE与DF始终相等.在图中，可证四边形PECF为正方形，在△BEC与△DFC中，可证△BEC≌△DFC .从而有BE=DF.。
矩形与菱形性质及判定
矩形与菱形性质及判定【教学目标】1. 掌握矩形及菱形的概念和性质，理解矩形、菱形与平行四边形的区别与联系2. 会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题3. 掌握矩形及菱形的判定，能求解较为综合型问题【教学重难点】1. 熟练运用矩形与菱形的性质，求解相关问题2. 对于矩形及菱形的判定熟练掌握3. 综合运用矩形及菱形的性质及判定求解较为复杂的问题【教学内容】★知识梳理一、矩形1. 性质定理（1）矩形的四个角都是直角（2）矩形的两条对角线相等2. 判定定理（1）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（2）有三个角是直角的四边形是矩形（3）对角线相等的平行四边形是矩形二、菱形1. 性质定理（1）菱形的四条边都相等（2）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角2. 判定定理（1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（2）四条边都相等的四边形是菱形（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形★考点一、矩形例1. 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，图中有个直角三角形，个等腰三角形例2. 如图，在矩形ABCD中，AC和BD是两条对角线，若AE⊥BD于点E，∠DAE = 2∠BAE，则∠EAC =例3. 如图，在四边形ABCD中，∠BDC=90°，AB⊥BC于点B，E是BC中点，连结AE、DE，则AE与DE的大小关系是（）（A）AE=DE （B）AE>DE （C）AE<DE （D）不能确定例4. 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，若∠AOD=60°，OB=4，则DC的长例5. 如图，在矩形ABCD中，已知E是BC的中点，AE=AD=2，求AC的长例6. 如图，在矩形ABCD中，已知点E在DC上，AE=2BC，且AE=AB，求∠CBE的度数例7. 如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过顶点C作CE∥BD，交AB延长线于点E，求证：AC=CE例8. 已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，△AOD是正三角形，AD=4，求这个平行四边形的面积例9. 如图，延长等腰△ABC的腰BA至点D，使AD=BA，延长腰CA至点E，使AE=CA，连结CD、DE、EB，求证：四边形BCDE是矩形例10. 如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，P为BC的延长线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，求证：DE⊥DF且DE = DF例11. 如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H求证：四边形EFGH是矩形例12. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN于点E，求证：四边形ADCE是矩形二、菱形例13. 若菱形的一边与两条对角线夹角的差是20°，则菱形的各角的度数为例14. 菱形的一个角是60°，边长是8 cm，则菱形的两条对角线的长分别是例15. 在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，且BE=EC，CF=FD，则∠AEF等于（）（A）120°（B）45°（C）60°（D）150°例16. 在菱形ABCD中，若∠ADC=120°，则BD：AC等于（）（A）3：2 （B）3：3 （C）1：2 （D）3：1例17. 在菱形ABCD中，已知∠A=30°，AB=10 cm，求AD和BC之间的距离例18. 如图，在菱形ABCD中，已知E是BC上一点，且AE=AB，∠EAD=2∠BAE求证：BE=AF例19. 如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，AB=5，CO=2，BD=2求证：四边形ABCD是菱形例20. 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，分别过点A、D作AE∥BD，DE∥AC交于点E ，求证：四边形AODE 是菱形例21. 如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与AD ，BC ，AC 分别交于E 、F 、O 求证：四边形AFCE 是菱形例22. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 、F 在直线AB 上，且AE=AB=BF ，连结CE 、DF 分别交AD 、BC 于点M 、N（1）求证：四边形DMNC 是平行四边形（2）若要使四边形DMNC 为菱形，则还需增加什么条件？例23. 如图，△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，ED ⊥BC ，DF//AB ，求证：AD 与EF 互相垂直平分AB C D EF★ 能力训练1. 如图所示，在矩形ABCD 中，AB=5cm ，BC=4cm ，动点P 以1cm/s 的速度从A 点出发，经点D 、C 到点B ，设△ABP 的面积为s （cm 2），点P 运动的时间为t （s ）（1）求当点P 在线段AD 上时，s 与t 之间的函数关系式（2）求当点P 在线段BC 上时，s 与t 之间的函数关系式2. 如图，点E 是矩形ABCD 边AD 上一点，且BE=ED ，P 是对角线BD 上任一点，PF ⊥BE ，PG ⊥AD ，垂足分别为F 、G ，试探索线段PF 、PG 、AB 之间的数量关系，并证明3. 如图，平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，AB=1，BC=5，对角线AC 、BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交BC 、AD 于点E 、F（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF 是平行四边形（2）试说明在旋转过程中，线段AF 与EC 总保持相等【课后作业】A BC OFE1. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）（A）平行四边形（B）等边三角形（C）矩形（D）直角三角形2. 下列叙述错误的是（）（A）平行四边形的对角线互相平分（B）平行四边形的四个内角相等（C）矩形的对角线相等（D）有一个角时90º的平行四边形是矩形3. 已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为（）（A）45°, 135°（B）60°, 120°（C）90°, 90°（D）30°, 150°4. 若矩形的对角线长为4cm，一条边长为2cm，则此矩形的面积为5. 菱形的一个内角为120°，平分这个内角的一条对角线长为12 cm，则菱形的周长为6. 菱形有条对称轴，对称轴之间具有的位置关系7. 若菱形两邻角的比为1：2，周长为24 cm，则较短对角线的长为8. 若从菱形的一个顶点到对边的距离等于边长的一半，则菱形两相邻内角的度数分别是9. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，BD=CD，E是BC的中点求证：四边形ABED是矩形10. 如图，在平行四边形ABCD中，M是BC的中点，∠MAD=∠MDA求证：四边形ABCD是矩形11. 如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD于E，∠DCE:∠BCE=3:1，且M为OC的中点，试说明ME⊥AC12. 如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC，求证：CE = EF13. 如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别在CD 、BC 上，且CE=CF ，求证：AE = AF14. 如图，已知四边形ABCD 是菱形，点E F ，分别是边CD 、AD 的中点.，求证：AE CF15. 如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是角平分线，E 为AD 延长线上一点，CF//BE 交AD 于F ，连接BF 、CE ，求证：四边形BECF 是菱形A B C DE FA EC BF。
专题16 矩形和菱形(知识点串讲)-解析版
专题16 矩形和菱形（知识点串讲）【知识点考点--思维导图】©知识点一：矩形的性质矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形的性质：1）矩形具有平行四边形的所有性质；2）矩形的四个角都是直角；几何描述：∵四边形ABCD是矩形∴∠BAD=∠ADC=∠BCD=∠ABC=90°3）对角线相等；几何描述：∵四边形ABCD是矩形∴AC=BD推论：1、在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半。
2、直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半。
4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形。
矩形的对称中心是矩形对角线的交点；矩形有两条对称轴，矩形的对称轴是过矩形对边中点的直线；矩形的对称轴过矩形的对称中心。
◎考点1：矩形性质的理解L 例1．（2020·贵阳市清镇养正学校九年级月考）如图，在矩形ABCD 中，DE 平分ADC ∠交BC 于点E ，EF AD ⊥交AD 于点F ，若3EF =，5AE =，则AD 等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【分析】 利用勾股定理求出AF ，根据矩形的四个角是直角可得∠ADC =∠C =90°，然后求出四边形CDFE 是矩形，再根据角平分线的定义可得∠ADE =∠CDE ，再根据平行线的性质可得∠ADE =∠CED ，然后可得∠CDE =∠CED ，根据等角对等边的性质可得CD =CE ，根据邻边相等的矩形是正方形得到矩形CDFE 是正方形，根据正方形的四条边都相等求出DF ，根据AD =AF +DF 即可得解．【详解】解：∠EF AD ⊥，3EF =，5AE =，∠4AF ===，在矩形ABCD 中，∠ADC =∠C =90°，∠EF AD ⊥，∠∠DFE =90°，∠四边形CDFE 是矩形，∠DE 平分∠ADC ，∠∠ADE =∠CDE ，∠∠ADE=∠CED，∠∠CDE=∠CED，∠CD=CE，∠矩形CDFE是正方形，∠EF=3，∠DF=EF=3，∠AD=AF+DF=4+3=7．故选C．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，角平分线的定义，平行线的性质，正方形的判定与性质．熟记各性质是解题的关键．练习1．（2020·沙坪坝区·重庆南开中学八年级月考）下列说法正确的是（）A．矩形的对角线互相垂直且平分B．矩形的邻边一定相等C．对角线相等的四边形是矩形D．有三个角为直角的四边形为矩形【答案】D【分析】根据矩形的性质可知：A、B两个选项错误；根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形这个判定知，C选项错误；三个角为直角，则第四个也为直角，根据有四个角是直角的四边形是矩形判定得，故D选项正确．A：矩形的对角线的性质是：矩形的对角线互相平分且相等，故此说法错误；B：矩形的邻边不一定相等，但对边一定相等，故此说法错误；C：对角线互相平分且相等的四边形是矩形，由此判定知，此说法错误；D：当有三个角是直角时，根据四边形内角和定理，第四个角也是直角，从而判定是矩形，此说法正确．故选：D【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，必须准确而熟练地掌握矩形的判定和性质．练习2．（2020·吴江经济开发区实验初级中学八年级月考）一次数学课上，老师请同学们在一张长为18厘米，宽为16厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其它两个顶点在矩形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为（）A．50或40或30B．50或40C．50D．50或30或20【答案】A【分析】本题中由于等腰三角形的位置不确定，因此要分三种情况进行讨论求解，①如图（1），②如图（2），③如图（3），分别求得三角形的面积．【详解】解：如图四边形ABCD是矩形，AD＝18cm，AB＝16cm；本题可分三种情况：①如图（1）：∠AEF中，AE＝AF＝10cm；S ∠AEF ＝12•AE•AF ＝50cm 2；②如图（2）：∠AGH 中，AG ＝GH ＝10cm ；在Rt∠BGH 中，BG ＝AB−AG ＝16−10＝6cm ；根据勾股定理有：BH ＝8cm ；∠S ∠AGH ＝12AG•BH ＝12×8×10＝40cm 2； ③如图（3）：∠AMN 中，AM ＝MN ＝10cm ；在Rt∠DMN 中，MD ＝AD−AM ＝18−10＝8cm ；根据勾股定理有DN ＝6cm ；∠S ∠AMN ＝12AM•DN ＝12×10×6＝30cm 2． 故等腰三角形的面积为：50或40或30．故选：A ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键在于能够进行正确的分类讨论．练习3．（2021·四川绵阳市·八年级期末）如图，在长方形ABCD 中，AF BD ⊥，垂足为E ，AF 交BC 于点F ，连接DF ，且DF 平分BDC ∠．下列结论中：①ABD CDB ≅；②ADE BDF S S =△△；③90ABD CDF ∠+∠=︒；④AD DF =．其中正确的个数有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】C【分析】 由长方形的性质可得：,,90,AB CD AD BC BAD BCD ==∠=∠=︒从而可判断①；由面积公式可得,ADF BDC S S =再利用角平分线的性质证明,Rt DFE Rt DFC ≌再利用面积差可判断②；由90ABD DBC ∠+∠=︒，结合90ABD CDF ∠+∠=︒，证明,DBC CDF ∠=∠ 再证明30,DBC EDF CDF ∠=∠=∠=︒ 可得AF 是BD 的垂直平分线，可得,AB AD = 则四边形ABCD 为正方形，与已知互相矛盾，可判断③；由,AF BD ⊥ 结合AD DF =，可证明BD 是AF 的垂直平分线，可得,BA BF = 从而可证明45ABE ADB ∠=∠=︒，可得,AB AD = 则四边形ABCD 为正方形，与已知互相矛盾，可判断④．【详解】 解： 长方形ABCD ，,,90,AB CD AD BC BAD BCD ∴==∠=∠=︒(),ABD CDB SAS ∴≌ 故①符合题意； 11,,22ADF BDC SAD CD S BC CD == ,ADF BDC SS ∴=,,ADE ADF DEF BDF BCD DCF S S S S S S =-=-DF 平分BDC ∠，,90,AF BD BCD ⊥∠=︒,FE FC ∴=,DF DF =(),Rt DFE Rt DFC HL ∴≌,DEF DCF SS ∴= ,ADE BDFS S ∴= 故②符合题意； 长方形ABCD ，90ABD DBC ∴∠+∠=︒，若90ABD CDF ∠+∠=︒，,DBC CDF ∴∠=∠,Rt DFE Rt DFC ≌,EDF CDF ∴∠=∠ ,DE DC =30,DBC EDF CDF ∴∠=∠=∠=︒2,BD DC ∴=E ∴是BD 的中点，AF ∴是BD 的垂直平分线，,AB AD ∴=则四边形ABCD为正方形，与已知互相矛盾，故③不符合题意；AF BD⊥,=，若AD DFAE EF∴=,∴是AF的垂直平分线，BD∴=BA BF,∠=°，ABC90∴∠=∠=︒，45BAF BFAABE ADB∴∠=∠=︒，45∴=,AB AD则四边形ABCD为正方形，与已知互相矛盾，故④不符合题意；故选：.C【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的判定，角平分线的性质，垂直平分线的定义与判定，等腰三角形的判定与性质，含30的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．◎考点2：利用性质求角度例1．（2021·浙江）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，DE⊥AC于E，且⊥ADE：⊥EDC＝3：2，则⊥COD的度数为（）A．54°B．60°C．65°D．72°【答案】D【分析】设∠ADE＝3α，∠EDC＝2α，根据题意列出方程求出α的值，然后根据三角形的内角和定理即可求出答案．【详解】解：设∠ADE＝3α，∠EDC＝2α，∠3α+2α＝90°，∠α＝18°，∠∠CDE＝2α＝36°，∠DE∠AC，∠∠DCE＝90°﹣36°＝54°，∠OD＝OC，∠∠DCE＝∠ODC＝54°，∠∠COD＝180°﹣2×54°＝72°，故选：D．【点睛】本题考查矩形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练运用矩形的性质，属于基础题型．练习1．（2021·浙江九年级专题练习）如图，E、F分别是矩形ABCD边上的两点，设⊥ADE ＝α，⊥EDF＝β，⊥FDC＝γ，若⊥AED＝α+β，下列结论正确的是（）A．α＝βB．α＝γC．α+β+2γ＝90°D．2α+γ＝90°【答案】B【分析】由矩形的性质得出∠A＝∠ADC＝90°，则α+β+γ＝90°，由直角三角形的性质得出∠AED+α＝90°，证出2α+β＝90°，推出α+β+γ＝2α+β，即可得出结果．【详解】解：∠四边形ABCD是矩形，∠∠A＝∠ADC＝90°，∠∠ADE＝α，∠EDF＝β，∠FDC＝γ，∠α+β+γ＝90°，∠∠AED+α＝90°，∠AED＝α+β，∠2α+β＝90°，∠α+β+γ＝2α+β，∠α＝γ，故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．练习2．（2020·石家庄市第四十一中学八年级期中）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果⊥ADB=40°，则⊥E的度数是（）A．10°B．20°C．30°D．40°【答案】B【分析】如图连接AC．只要证明CE＝CA，推出∠E＝∠CAE，进而即可解决问题．【详解】解：连接AC，交BD于点O，∠四边形ABCD是矩形，∠AC＝BD，∠EC＝BD，∠AC＝CE，∠∠E＝∠CAE，∠OB=OC，∠∠ACB=∠DBC ，又∠AD∠BC ，∠∠DBC=∠ADB ，∠∠ACB ＝∠ADB ＝40°，∠∠ACB ＝∠E ＋∠CAE ，∠∠E ＝∠CAE ＝20°，故选B ．【点睛】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造等腰三角形解决问题．练习3．（2020·福建省泉州实验中学八年级月考）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若DF AC ⊥，:3:2ADF FDC ∠∠=，则BDF ∠=（ ）A ．18°B ．36°C ．27°D ．54°【答案】A【分析】 由矩形ABCD 的性质结合:3:2ADF FDC ∠∠=，求解ADF ∠，结合DF AC ⊥，求解DAC ∠，再利用矩形的性质可得：OA OD =，求解ADO ∠，再利用角的和差可得答案．【详解】 解：矩形ABCD ，90,ADC ADF CDF ∴∠=︒=∠+∠:3:2ADF FDC ∠∠=，390545ADF ∴∠=⨯︒=︒， ,DF AC ⊥9036DAC ADF ∴∠=︒-∠=︒，矩形ABCD ，,OA OD ∴=36OAD ODA ∴∠=∠=︒，543618.BDF ADF ADO ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒故选：A ．【点睛】本题考查的是矩形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，掌握以上知识是解题的关键．◎考点3：利用性质与判定求线段长例1．（2021·沙坪坝区·重庆南开中学八年级开学考试）如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作OE ⊥BD 交AD 于点E ，已知AB =2，54DOE S =，则AE 的长为（ ）A．1.5B．2C．2.5D 【答案】A【分析】首先连接BE，由题意可得OE为对角线BD的垂直平分线，可得BE=DE，S∠BOE=S∠DOE=54，由三角形的面积则可求得DE的长，得出BE的长，然后由勾股定理求得答案．【详解】解：连接BE，如图所示：由题意可得，OE为对角线BD的垂直平分线，∠BE=DE，S∠BOE=S∠DOE=54，∠S∠BDE=2S∠BOE=52，∠12DE•AB=52，又∠AB=2，∠DE=52，∠BE=52，在Rt∠ABE中，由勾股定理得：AE，故选：A．【点睛】此题考查了矩形的性质、勾股定理以及三角形的面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．练习1．（2021·浙江）矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，则点A到BD的距离是（）A．4B．4.6C．4.8D．5【答案】C【分析】先根据矩形的性质和勾股定理求出BD＝10，再根据∠ABD的面积即可得出答案．【详解】解：设点A到BD的距离为h，在矩形ABCD中，∠AB＝6，BC＝AD＝8，∠由勾股定理可知：BD，S矩形ABCD= AD•AB=48，S∠ABD= 12S矩形ABCD=24，∠12h•BD＝24，∠h＝4.8，故选：C．【点睛】本题考查矩形的性质，解题的关键是熟练运用勾股定理以及矩形的性质，本题属于基础题型．练习2．（2021·四川绵阳市·八年级期末）如图，四边形ABCD 中，90A B ∠=∠=︒，60C ∠=°，2CD AD =，4AB =，点P 是AB 上一动点，则PC PD +的最小值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C【分析】作D 点关于AB 的对称点D '，连接CD '交AB 于P ，根据两点之间线段最短可知此时PC +PD 最小；再作D 'E ∠BC 于E ，则EB =D 'A =AD ，先根据等边对等角得出∠DCD '=∠DD 'C ，然后根据平行线的性质得出∠D 'CE =∠DD 'C ，从而求得∠D 'CE =∠DCD '，得出∠D 'CE =30°，根据30°角的直角三角形的性质求得D 'C =2D 'E =2AB ，即可求得PC +PD 的最小值．【详解】作D 点关于AB 的对称点D '，连接CD '交AB 于P ，P 即为所求，此时PC +PD =PC +PD '=CD '，根据两点之间线段最短可知此时PC +PD 最小．作D 'E ∠BC 于E ，则EB =D 'A =AD ．∠CD =2AD ，∠DD '=CD ，∠∠DCD '=∠DD 'C ．∠∠DAB =∠ABC =90°，∠四边形ABED '是矩形，∠DD '∠EC ，D 'E =AB =4，∠∠D 'CE =∠DD 'C ，∠∠D 'CE =∠DCD '．∠∠DCB =60°，∠∠D 'CE =30°，∠在Rt∠D 'CE 中，D 'C =2D 'E =2×4=8，∠PC +PD 的最小值为8．故选：C ．【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，轴对称的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，含30°角的直角三角形的性质等，确定出P 点是解答本题的关键．练习3．（2021·全国八年级专题练习）矩形ABCD 与ECFG 如图放置，点B ，C ，F 共线，点C ，E ，D 共线，连接AG ，取AG 的中点H ，连接EH ．若4AB CF ==，2BC CE ==，则EH =（ ）AB ．2CD 【答案】A【分析】 延长GE 交AB 于点R ，连接AE ，设AG 交DE 于点M ，过点E 作EN∠AG 于N ，先计算出RG=6，∠ARG=90︒，AR=2，根据勾股定理求出AG =，利用1122AEG S EG AR AG EN =⋅⋅=⋅⋅，求出EN =，即可利用勾股定理求出NG 、EH ． 【详解】如图，延长GE 交AB 于点R ，连接AE ，设AG 交DE 于点M ，过点E 作EN∠AG 于N ， ∠矩形ABCD 与ECFG 如图放置，点B ，C ，F 共线，点C ，E ，D 共线，∠RG=BF=BC+CF=2+4=6，∠ARG=90︒，AR=AR -CE=4-2=2，∠AG ===，∠H 是AG 中点，，∠1122AEG S EG AR AG EN =⋅⋅=⋅⋅，∠24⨯=，∠EN =，在Rt∠ENG 中，NG ==，∠5NH NG HG =-=，∠EH =，故选：A ．【点睛】此题考查矩形的性质，勾股定理，线段中点的性质，三角形面积法求线段长度，熟记矩形的性质及熟练运用勾股定理是解题的关键．◎考点4：利用性质与判定求面积例1．（2021·全国八年级专题练习）如图，点P 是矩形ABCD 的对角线上一点，过点P 作//EF BC ，分别交,AB CD 于,E F ，连接,PB PD ，若1,3AE PF ==，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12 【答案】A【分析】先根据矩形的性质证得DFP PBE S S =，然后求解即可．【详解】解：作PM∠AD 于M ，交BC 于N ，∠四边形AEPM 、四边形DFPM 、四边形CFPN 和四边形BEPN 都是矩形，∠ADC ABC S S =△△，AMP AEP SS =，PBE PBN S S =，PFD PDM S S =，PFC PCN S S =， ∠S 矩形DFPM =S 矩形BEPN ，∠PM=AE=1，PF=NC=3， ∠131322DFP PBE S S ==⨯⨯=△△， ∠S 阴=33+=322， 故选：A ．【点睛】本题主要考查矩形的性质、三角形的面积等知识，证得DFP PBE S S =是解答本题的关键． 练习1．（2020·河南洛阳市·七年级期中）如图，周长为34的矩形ABCD 被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（）A．280B．140C．70D．196【答案】C【解析】解：设小长方形的长、宽分别为x、y，依题意得：，解得：，则矩形ABCD的面积为7×2×5=70．故选C．【点评】考查了二元一次方程组的应用，此题是一个信息题目，首先会根据图示找到所需要的数量关系，然后利用这些关系列出方程组解决问题．练习2．（2020·石阡县教育局教研室八年级期末）矩形的对角线长为20，两邻边之比为3：4，则矩形的面积为（）A．56B．192C．20D．以上答案都不对【答案】B【分析】首先设矩形的两邻边长分别为：3x ，4x ，可得（3x ）2+（4x ）2=202，继而求得矩形的两邻边长，则可求得答案．【详解】解：∠矩形的两邻边之比为3：4，∠设矩形的两邻边长分别为：3x ，4x ，∠对角线长为20，∠（3x ）2+（4x ）2=202，解得：x=4，∠矩形的两邻边长分别为：12，16；∠矩形的面积为：12×16=192．故选B ．练习3．（2019·浙江丽水市·九年级学业考试）在矩形ABCD 中，，BC=2，以A 为圆心，AD 为半径画弧交线段BC 于E ，连接DE ，则阴影部分的面积为（ ）A ．2πB ．22π- C ．πD ．2π- 【答案】A【详解】解：连接AE ，根据矩形的性质，可AE=AD=BC=2．在Rt∠ABE 中，根据勾股定理可得=然后由∠ABE 是等腰直角三角形，求得∠DAE=45°，因此可求得S 阴影=S 扇形DAE ﹣S ∠DAE =2452360π⨯﹣12=2π． 故选A ．【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、扇形面积公式等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等腰直角三角形是解决问题的关键．◎考点5：利用矩形性质证明例1．（2021·广东佛山市·平洲二中九年级月考）如图，BD 是矩形ABCD 的一条对角线．（1）作BD 的垂直平分线EF ，分别交AD ，BC 于点E 、F ．垂足为点O （要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）求证：BE BF =．【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）分别以B 、D 为圆心，以大于BD 一半的长为半径上下画弧，上下各有一个交点，这两点的连线即为所求；（2）先通过矩形的性质得到有关条件证明DEO BFO ∆∆≌，得到 OE =OF ，再利用垂直平分线的判定得到BD 是EF 的垂直平分线，再利用垂直平分线的性质即可求解．【详解】（1）解：如图所示：EF 即为所求；（2）证明：连接BE ，四边形ABCD 为矩形，//AD BC ∴，ADB CBD ∴∠=∠． EF 垂直平分线段BD ，BO DO ∴=，90DOE BOF ==︒∠∠．在DEO ∆和BFO ∆中，ADB CBD DO BO DOE BOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，(ASA)DEO BFO ∴△≌△，OE OF ∴=，又BD EF ⊥，∴BD 垂直平分EF ，BE BF ∴=．【点睛】本题综合考查了如何作线段的垂直平分线、矩形的性质、线段的垂直平分线的性质和判定、三角形全等的性质和判定等内容，要求学生熟记作图步骤，灵活运用线段垂直平分线的性质和判定进行线段关系的转化，考查了学生分析推理的能力．练习1．（2020·海南鑫源高级中学八年级期末）如图，矩形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，过点O 的直线EF 与AB 、CD 的延长线分别交于点E 、F ．（1）求证：BOE DOF ∆≅∆；（2）以A 、E 、C 、F 为顶点的四边形是平行四边形？试证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）由矩形的性质：OB =OD ，AE ∠CF 证得BEO DFO ∠=∠，根据AAS 可证明∠BOE ∠∠DOF ； （2）根据BOE DOF ∆≅∆得BE =DF ，根据四边形ABCD 是矩形得AB =CD ，AE //CF ，从而进一步可证明四边形AECF 是平行四边形．【详解】解：（1）证明：∠四边形ABCD 是矩形∠OB OD =，//AE CF∠BEO DFO ∠=∠又BOE DOF ∠=∠∠BOE DOF ∆≅∆；（2）证明 ：∠BOE DOF ∆≅∆，∠BE =DF∠四边形ABCD 是矩形，∠AB CD =，//AE CF∠AE AB BE =+，CF CD DF =+∠AE CF =∠四边形AECF 是平行四边形【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质和平行四边形的判定．解答此题的关键是熟知矩形、全等三角形的判定与性质定理和平行四边形判定．练习2．（2020·赣州市赣县区第四中学八年级期中）如图，矩形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，CD 边上，连接CE 、AF ，⊥DCE =⊥BAF ．试判断四边形AECF 的形状并加以证明．【答案】四边形AECF 是平行四边形，证明见解析．【分析】根据矩形的性质得出//DC AB ，可得出∠DFA =∠BAF ，进而得出∠DCE =∠DFA ，证得//FA CE ，再根据平行四边形的判定得出即可．【详解】解：四边形AECF 是平行四边形．∠四边形ABCD 是矩形，∠//DC AB ，∠∠DFA =∠BAF ，又∠∠DCE =∠BAF ，∠∠DCE =∠DFA∠//FA CE ，∠四边形AECF 是平行四边形．【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的判定以及平行四边形的判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．练习3．（2021·湖南师大附中博才实验中学九年级期末）如图，在矩形ABCD 中，点M 、N 分别在边AD 、BC 上，且连结BM 、DN ．（1）若M ，N 分别为AD ，BC 的中点，求证：ABM ⊥CDN ；（2）当四边形BMDN 是菱形，AD =2AB ，AM =3时，求菱形的边长．【答案】（1）见解析；（2）5【分析】（1）根据矩形的性质和M ，N 分别为AD ，BC 的中点，可以得到∠ABM 和∠CDN 全等的条件，从而可以证明结论成立；（2）根据菱形的性质和勾股定理，可以求得菱形的边长．【详解】证明：（1）∠四边形ABCD 是矩形∠AD=BC ，AB=CD ，∠A=∠C=90°∠M ，N 分别为AD ，BC 的中点∠AM=CN在∠ABM 和∠CDN 中，AB CD A C AM CN ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∠∠ABM ∠∠CDN （SAS ）（2）设AB =x ，则AD =2x∠四边形ABCD 是矩形∠∠A=90°∠四边形BMDN 是菱形，AM =3∠BM =DM =2x -3∠AM 2+AB 2=BM 2∠32+x 2=（2x -3）2解得：x 1=0（舍去），x 2=4即AB =4∠BM 5=即菱形的边长是5．【点睛】本题考查菱形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．◎考点6：求矩形在平面直角坐标系中的坐标例1．（2021·全国八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点O 是坐标原点，点A 、C 的坐标分别是()6,0，()0,3，点B 在第一象限，则点B 的坐标是（ ）A ．()3,6B ．()6,3C ．()6,6D ．()3,3【答案】B【分析】 根据矩形的性质得出点B 的坐标即可．【详解】解：∠四边形OABC 是矩形，∠OC=AB ，CB=OA ，∠点A ，C 的坐标分别是（6，0），（0，3），∠AB=3，OA=6，∠点B 坐标为（6，3），故选：B ．【点睛】此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质得出点B 的坐标．练习1．（2020·山西晋中市·八年级期中）一个长方形的三个顶点在平面直角坐标系中的坐标分别为(1,1)--，(1,2)-，(3,1)-，那么第四个顶点的坐标为（ ）A ．(3,2)B ．(2,3)C ．(3,3)D ．(2,2)【答案】A根据长方形对边平行且相等，利用横坐标与纵坐标和已知点的横坐标或纵坐标相同即可求出第四点坐标．【详解】在平面直角坐标系中的坐标分别为（-1，-1），（-1，2），两点的横坐标相同，这两点连线平行y轴，第四点与（3，-1）连线也平行y轴，则第四点的横坐标为3，由于在平面直角坐标系中的坐标分别为（-1，-1），（3，-1）纵坐标相同，此两点连线平行x轴，为此（-1，2），与第四点两线平行x轴，则第四点的纵坐标为2，所以第四点的坐标为（3，2），故选择：A．【点睛】本题考查长方形的第四点坐标问题，掌握长方形的性质，会利用平行x轴或y轴，两点的横坐标或纵坐标相等来解决问题是关键．练习2．（2021·全国）如图，矩形OABC的顶点A在x轴上，点B的坐标为（1，2）．固定边OA，向左“推”矩形OABC，使点B落在y轴的点B'的位置，则点C的对应点C'的坐标为（）A．（﹣1B．1）C．（﹣1，2）D．（2，﹣1）【答案】A【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出OB'的长，得到点C'的坐标．解：∠四边形OABC 是矩形，点B 的坐标为（1，2），∠OA ＝1，AB ＝2，由题意得：AB '＝AB ＝2，四边形OAB 'C '是平行四边形，∠OB '==1B C OA ''==，∠点C 的对应点C '的坐标为(-．故选：A ．【点睛】本题考查点坐标的求解和矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质求出线段长从而得到点坐标．练习3．（2021·上海九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(4,4)，点E F 、分别在x y 、轴的正半轴上，PE PF ⊥，则四边形OEPF 的面积为（ ）A ．20B ．16C ．12D ．8【答案】B【分析】 过点P 作PM OE ⊥，PN OF ⊥，证明△△OME PNF ≅，再根据面积计算即可；【详解】如图所示，过点P 作PM OE ⊥，PN OF ⊥，∠点P 的坐标为(4,4)，∠PM=PN ，∠PE PF ⊥，∠MPE EPN FPN EPN ∠+∠=∠+∠，∠∠=∠MPE NPF ，又∠PME PNF ∠=∠，∠()△△OME PNF ASA ≅，∠四边形四边形△正方形4416OEPF ONPE PME ONPM S S S S =+==⨯=．故答案选B ．【点睛】 本题主要考查了四边形与坐标系结合，全等三角形的应用，准确判断计算是解题的关键．◎考点7：矩形与折叠问题例1．（2020·海南鑫源高级中学八年级期末）如图，在矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，将该矩形沿AE 折叠，恰好使的D 落在边BC 上的点F 处，如果⊥BAF =60°，则⊥DAE 的大小为（ ）A ．10°B ．15 °C ．20 °D ．25°【答案】B【分析】 由题意可知90BAD ∠=︒，12FAE DAE DAF ∠=∠=∠．再由DAF BAD BAF ∠=∠-∠，即可求出DAE ∠的大小．【详解】∠四边形ABCD 为矩形，∠90BAD ∠=︒， ∠FAE 是由DAE △沿AE 折叠而来，且F 点恰好落在BC 上， ∠12FAE DAE DAF ∠=∠=∠， ∠906030DAF BAD BAF ∠=∠-∠=︒-︒=︒， ∠130152DAE ∠=⨯︒=︒． 故选：B ．【点睛】本题考查矩形的折叠问题，根据折叠的性质推出12FAE DAE DAF ∠=∠=∠是解答本题的关键．练习1．（2020·浙江杭州市·八年级期中）在矩形纸片ABCD 中，6,10AB AD ==．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A '处，折痕为PQ ，当点A '在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动，若限定点P 、Q 分别在线段AB 、AD 边上移动，则点A '在BC 边上可移动的最大距离为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】 根据翻折的性质，①当P 与B 重合时，可得BA′与AP 的关系，根据线段的和差，可得A′C ，②当Q 与D 重合时，根据勾股定理，可得A′C ，根据线段的和差，可得答案．【详解】解：①当P 与B 重合时，BA′＝BA ＝6，CA′＝BC−BA′＝10−6＝4，②当Q 与D 重合时，由勾股定理，得CA′8，CA′最大是8，CA′最小是4，点A′在BC 边上可移动的最大距离为8−4＝4，故选：B ．【点睛】本题考查了翻折变换，利用了翻折的性质，勾股定理，分类讨论是解题关键．练习2．（2021·广东汕尾市·九年级期末）如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点A 与点C 重合，折痕为EF ．若8AB =，4BC =，那么线段EF 的长为（ ）A ．4B ．6C ．D ．【答案】C【分析】 连接EC ，设AC 与EF 交于点O ．根据题意易得线段EF 和线段AC 互相垂直平分，即得出结论AE EC =，12OE OF EF ==，12OA OC AC ==．利用勾股定理可求出AC 的长，即得出OA 的长．设AE EC x ==，则8BE x =-，在Rt BEC △中利用勾股定理即可列出关于x 的方程，求出x ，即求出AE 长．再在Rt AOE 中，利用勾股定理即可求出OE 长，最后即得出 EF 长．【详解】连接EC ，设AC 与EF 交于点O ．根据题意可知线段EF 和线段AC 互相垂直平分．∠AE EC =，12OE OF EF ==，12OA OC AC ==．在Rt ABC 中，AC =∠12OA AC == 设AE EC x ==，则8BE x =-，在Rt BEC △中，222BE BC EC +=，即2224)8(x x -+=，解得：5x =，∠5AE =，在Rt AOE 中，222OA OE AE +=，即2225OE +=，∠OE =．∠2EF OE ==故选：C ．【点睛】本题考查图形的翻折变换．利用线段垂直平分线的性质，矩形的性质以及勾股定理找出边的等量关系是解答本题的关键．练习3．（2020·贵州毕节市·九年级期末）如图，将矩形纸片ABCD 沿其对角线AC 折叠，使点B 落到点B '的位置，AB '与CD 交于点E ，若7AB =，3AD =，则图中阴影部分的周长为（ ）A ．10B ．13C ．17D ．20【答案】D【分析】首先由四边形ABCD 为矩形及折叠的特性，得到B ′C =BC =AD ，∠B ′=∠B =∠D =90°，∠B ′EC =∠DEA ，得到∠AED ∠∠CEB ′，得出EA =EC ，再由阴影部分的周长为AD +DE +EA +EB ′+B ′C +EC ，即矩形的周长解答即可．【详解】解：∠四边形ABCD 为矩形，∠B ′C =BC =AD ，∠B ′=∠B =∠D =90°，∠∠B ′EC =∠DEA ，在∠AED 和∠CEB ′中，DEA BE C D B AD B C ∠=∠'⎧⎪∠=∠'⎨⎪='⎩， ∠∠AED ∠∠CEB ′（AAS ）；∠EA =EC ，∠阴影部分的周长为AD +DE +EA +EB ′+B ′C +EC=AD +DE +EC +EA +EB ′+B ′C=AD +DC +AB ′+B ′C=3+7+7+3=20，故选：D ．【点睛】本题主要考查了图形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，及矩形的性质．熟记翻折前后两个图形能够重合找出相等的角是解题的关键．◎考点8：直角三角形斜边上的中线问题例1．（2020·浙江杭州市·八年级期中）如图，公路,AC BC 互相垂直，公路AB 的中点M与点C 被湖隔开，若测得 1.2km AC =， 1.6km BC =，则M ，C 两点间的距离为（ ）A ．2.0kmB ．1.2kmC ．1.0kmD ．0.5km【答案】C【分析】 首先根据勾股定理求得AB 的长度，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质即可求解．【详解】解：如图，在直角∠ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝1.2km ，BC ＝1.6km ，由勾股定理得到：AB （km ）． ∠点M 是AB 的中点，∠MC ＝12AB ＝1km ． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．练习1．（2020·鞍山市第五十一中学九年级月考）如图，在Rt⊥ABC中，⊥ACB＝90°，将⊥ABC 绕顶点C逆时针旋转得到⊥A'B'C，M是BC的中点，N是A'B'的中点，连接MN，若BC＝4，⊥ABC＝60°，则线段MN的最大值为（）A．4B．8C．D．6【答案】D【分析】连接CN，根据直角三角形斜边中线的性质求出CN＝12A′B′＝4，利用三角形的三边关系即可得出结果．【详解】连接CN，如图所示：在Rt∠ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，∠B＝60°，∠∠A＝30°，∠AB＝A′B′＝2BC＝8，∠NB ′＝NA ′，∠CN ＝12A ′B ′＝4， ∠CM ＝BM ＝2，∠MN ≤CN +CM ＝6，∠MN 的最大值为6，故选：D ．【点睛】本题考查旋转的性质、含30°角直角三角形的性质、直角三角形斜边中线的性质、三角形的三边关系等知识；解题的关键是灵活运用三角形的三边关系．练习2．（2020·渝中区·重庆巴蜀中学九年级二模）已知Rt ACB △中，点D 为斜边AB 的中点，连接CD ，将DCB 沿直线DC 翻折，使点B 落在点E 的位置，连接DE 、CE 、AE ，DE 交AC 于点F ， 若12BC =，16AC =，则AE 的值为（ ）．A ．2825B ．285C ．145D ．11225【答案】B【分析】过点D 作DM∠BC ，DN∠AE ，垂足为M 、N ，连接BE 交CD 于点G ，由折叠得CD 是BE 的中垂线，借助三角形的面积公式，可以求出BG ，进而求出BE ，由等腰三角形的性质，可得DN是三角形的中位线，得到DN等于BE的一半，求出DN，在根据勾股定理，求出AN，进而求出AE．【详解】解：过点D作DM∠BC，DN∠AE，垂足为M、N，连接BE交CD于点G，∠Rt∠ACB中，20==，∠点D为斜边AB的中点，∠CD=AD=BD=12AB=10，在∠DBC中，DC=DB，DM∠BC，∠MB=MC=12BC=6，8==，由折叠得，CD垂直平分BE，∠BDC=∠EDC，在∠ADE中，DA=DE，DN∠AE，∠AN=NE=12 AE，∠DN是∠ABE的中位线，∠DN∠BE，DN=12 BE，在∠DBC中，由三角形的面积公式得：12BC•DM=12DC•BG，即：12×8=10×BG，∠BG=485=DN，在Rt∠ADN中，145==，∠AE=2AN=285，故选：B．【点睛】考查直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线以及勾股定理等知识，综合应用知识较强，理解和掌握这些知识是解决问题的前提和关键．练习3．（2021·四川省内江市第六中学九年级开学考试）如图，M是⊥ABC的边BC的中点，AN是⊥ABC的外角平分线，BN⊥AN于点N，且AB＝4，MN＝2.8，则AC的长是（）A．1.2B．1.4C．1.6D．1.8【答案】C【分析】延长CA得射线CD，取AB的中点E，连接NE、ME，可证N、E、M三点共线，即MN与AB 的交点即为AB的中点E，从而易得ME，由AC=2ME即可求解．【详解】解：延长CA得射线CD，取AB的中点E，连接NE、ME，如图，∠M为BC的中点，∠ME//AC，ME12=AC∠BN∠AN，∠ANB∆是直角三角形，∠AE=NE12=AB=2又∠AN是∠ABC的外角平分线，∠EAN ENA NAD∠=∠=∠∠NEB ENA EAN EAN NAD DAE∠=∠+∠=∠+∠=∠∠NE//AC∠N、E、M三点共线，即MN与AB的交点即为AB的中点E，∠NE＝2，MN＝2.8∠ME=0.8∠AC=2 ME=20.8⨯=1.6故选：C．【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，中位线的性质，解题的关键是准确作出辅助线，得出M、N、AB的中点三点共线．©知识点二：矩形的判定矩形的判定：1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形；2）对角线相等的平行四边形是矩形；3）有三个角是直角的四边形是矩形。
中考专题复习——矩形菱形正方形
中考专题复习第二十一讲矩形菱形正方形【基础知识回顾】一、矩形：1、定义：有一个角是角的平行四边形叫做矩形2、矩形的性质：⑴矩形的四个角都⑵矩形的对角线3、矩形的判定：⑴用定义判定⑵有三个角是直角的是矩形⑶对角线相等的是矩形【名师提醒：1、矩形是对称图形，对称中心是，矩形又是对称图形，对称轴有条2、矩形被它的对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形3、矩形中常见题目是对角线相交成600或1200角时，利用直角三角形、等边三角形等图形的性质解决问题】二、菱形：1、定义：有一组邻边的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质：⑴菱形的四条边都⑵菱形的对角线且每条对角线3、菱形的判定：⑴用定义判定⑵对角线互相垂直的是菱形⑶四条边都相等的是菱形【名师提醒：1、菱形既是对称图形，也是对称图形，它有条对称轴，分别是2、菱形被对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形3、菱形的面积可以用平行四边形面积公式计算，也可以用两对角线积的来计算4、菱形常见题目是内角为1200或600时，利用等边三角形或直角三角形的相关知识解决的题目】三、正方形：1、定义：有一组邻边相等的是正方形，或有一个角是直角的是正方形2、性质：⑴正方形四个角都都是角，⑵正方形四边条都⑶正方形两对角线、且每条对角线平分一组内角3、判定：⑴先证是矩形，再证⑵先证是菱形，再证【名师提醒：1、菱形、正方形具有平行四边形的所有性质，正方形具有以上特殊四边形的所有性质。
这四者之间的关系可表示为：2、正方形也既是对称图形，又是对称图形，有条对称轴3、几种特殊四边形的性质和判定都是从、、三个方面来看的，要注意它们的区别和联系】【重点考点例析】考点一：与矩形有关的折叠问题例1 （2016•泸州）如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，已知折痕AE=105cm，且tan∠EFC=34，那么该矩形的周长为（）A．72cm B．36cm C．20cmD．16cm对应训练1．（2016•湖州）如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE．若DE：AC=3：5，则ADAB的值为（）A．12B．33C．23D．22考点二：和菱形有关的对角线、周长、面积的计算问题例2 （2016•泉州）如图，菱形ABCD的周长为85，对角线AC和BD相交于点O，AC：BD=1：2，则AO：BO= ，菱形ABCD的面积S= ．对应训练2．（2016•凉山州）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（）A．14B．15C．1 D．17考点三：和正方形有关的证明题例3 （2016•湘潭）在数学活动课中，小辉将边长为2和3的两个正方形放置在直线l 上，如图1，他连结AD、CF，经测量发现AD=CF．（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长．思路分析：（1）根据正方形的性质可得AO=CO ，OD=OF ，∠AOC=∠DOF=90°，然后求出∠AOD=∠COF ，再利用“边角边”证明△AOD 和△COF 全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）与（1）同理求出CF=AD ，连接DF 交OE 于G ，根据正方形的对角线互相垂直平分可得DF ⊥OE ，DG=OG=12OE ，再求出AG ，然后利用勾股定理列式计算即可求出AD ． 解：（1）AD=CF ．理由如下：在正方形ABCO 和正方形ODEF 中，AO=CO ，OD=OF ，∠AOC=∠DOF=90°， ∴∠AOC+∠COD=∠DOF+∠COD ，即∠AOD=∠COF ，在△AOD 和△COF 中，AO CO AOD COF OD OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOD ≌△COF （SAS ）， ∴AD=CF ；（2）与（1）同理求出CF=AD ，如图，连接DF 交OE 于G ，则DF ⊥OE ，DG=OG=12OE ，∵正方形ODEF 的边长为2，∴OE=2×2=2，∴DG=OG=12OE=12×2=1， ∴AG=AO+OG=3+1=4，在Rt △ADG 中，AD=22224117AG DG +=+=，∴CF=AD=17．点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，（1）熟练掌握正方形的四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分是解题的关键，（2）作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．对应训练3．（2016•三明）如图①，在正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上的一点，点E 在BC 的延长线上，且PE=PB ．（1）求证：△BCP≌△DCP；（2）求证：∠DPE=∠ABC；（3）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC=58°，则∠DPE= 度．3．（1）证明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，∵在△BCP和△DCP中，BC DCBCP DCPPC PC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCP≌△DCP（SAS）；（2）证明：由（1）知，△BCP≌△DCP，∴∠CBP=∠CDP，∵PE=PB，∴∠CBP=∠E，∴∠DPE=∠DCE，∵∠1=∠2（对顶角相等），∴180°-∠1-∠CDP=180°-∠2-∠E，即∠DPE=∠DCE，∵AB∥CD，∴∠DCE=∠ABC，∴∠DPE=∠ABC；（3）解：与（2）同理可得：∠DPE=∠ABC，∵∠ABC=58°，∴∠DPE=58°．故答案为：58．考点四：四边形综合性题目例4 （2016•资阳）在一个边长为a（单位：cm）的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC，CD上的动点，连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N．（1）如图1，当点M与点C重合，求证：DF=MN；（2）如图2，假设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以2cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t＞0）；①判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由．②连结FM、FN，△MNF能否为等腰三角形？若能，请写出a，t之间的关系；若不能，请说明理由．思路分析：（1）证明△ADF≌△DNC，即可得到DF=MN；易证△MND ∽△DFA，∴ND DMAF AD=，即ND a tat aa t-=-，得ND=t．∴ND=CM=t，AN=DM=a-t．若△MNF为等腰三角形，则可能有三种情形：（I）若FN=MN，则由AN=DM知△FAN≌△NDM，∴AF=DM，即ata t-=t，得t=0，不合题意．∴此种情形不存在；（II）若FN=FM，由MN⊥DF知，HN=HM，∴DN=DM=MC，∴t=12a，此时点F与点B重合；（III）若FM=MN，显然此时点F在BC边上，如下图所示：易得△MFC≌△NMD，∴FC=DM=a-t；又由△NDM∽△DCF，∴DN DCDM FC=，即t aa t FC=-，∴FC=()a a tt-．∴()a a tt-=a-t，∴t=a，此时点F与点C重合．综上所述，当t=a或t=12a时，△MNF能够成为等腰三角形．点评：本题是运动型几何综合题，考查了相似三角形、全等三角形、正方形、等腰三角形、命题证明等知识点．解题要点是：（1）明确动点的运动过程；（2）明确运动过程中，各组成线段、三角形之间的关系；（3）运用分类讨论的数学思想，避免漏解．对应训练4．（2016•营口）如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，F是AC边上的一个动点（点F与A、C不重合），以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连接BF、AD．（1）①猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；②将图1中的正方形CDEF，绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2、图3的情形．图2中BF交AC于点H，交AD于点O，请你判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断．（2）将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，∠ACB=90°，正方形CDEF改为矩形CDEF，如图4，且AC=4，BC=3，CD=43，CF=1，BF交AC于点H，交AD于点O，连接BD、AF，求BD2+AF2的值．4．解：（1）①BF=AD ，BF ⊥AD ；②BF=AD ，BF ⊥AD 仍然成立，证明：∵△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AC=BC ，∵四边形CDEF 是正方形，∴CD=CF ，∠FCD=90°，∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF ，即∠BCF=∠ACD ，在△BCF 和△ACD 中BC ACBCF ACD CF CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCF ≌△ACD （SAS ），∴BF=AD ，∠CBF=∠CAD ，又∵∠BHC=∠AHO ，∠CBH+∠BHC=90°，∴∠CAD+∠AHO=90°，∴∠AOH=90°，∴BF ⊥AD ；（2）证明：连接DF ，∵四边形CDEF 是矩形，∴∠FCD=90°，又∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠FCD∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF ，即∠BCF=∠ACD ，∵AC=4，BC=3，CD=43，CF=1，∴34BC CF AC CD ==，∴△BCF ∽△ACD ，∴∠CBF=∠CAD ，又∵∠BHC=∠AHO ，∠CBH+∠BHC=90°∴∠CAD+∠AHO=90°，∴∠AOH=90°，∴BF⊥AD，∴∠BOD=∠AOB=90°，∴BD2=OB2+OD2，AF2=OA2+OF2，AB2=OA2+OB2，DF2=OF2+OD2，∴BD2+AF2=OB2+OD2+OA2+OF2=AB2+DF2，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB2=AC2+BC2=32+42=25，∵在Rt△FCD中，∠FCD=90°，CD=43，CF=1，∴DF2=CD2+CF2=(43)2+12=259，∴BD2+AF2=AB2+DF2=25+259=2509．【聚焦山东中考】1．（2016•威海）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）A．BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF2．（2016•枣庄）如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（）A．3-1B．3-5C．5+1D．5-13．（2016•临沂）如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是．4．（2016•烟台）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，四边形EFGB也是正方形，以B为圆心，BA长为半径画AC，连结AF，CF，则图中阴影部分面积为．5．（2016•济南）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+3．其中正确的序号是（把你认为正确的都填上）．6．（2016•济宁）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．（1）求证：AF=BE；（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．6．（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，∵AF⊥BE，∴∠ABE+∠BAF=90°，∴∠ABE=∠DAF，∵在△ABE和△DAF中，ABE DAFAB ADBAE D∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABE≌△DAF（ASA），∴AF=BE；（2）解：MP与NQ相等．理由如下：如图，过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，则与（1）的情况完全相同．7．（2016•青岛）已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD、BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．（1）求证：△ABM ≌△DCM ；（2）判断四边形MENF 是什么特殊四边形，并证明你的结论；（3）当AD ：AB= 时，四边形MENF 是正方形（只写结论，不需证明）8．（2016•淄博）矩形纸片ABCD 中，AB=5，AD=4．（1）如图1，四边形MNEF 是在矩形纸片ABCD 中裁剪出的一个正方形．你能否在该矩形中裁剪出一个面积最大的正方形，最大面积是多少？说明理由；（2）请用矩形纸片ABCD 剪拼成一个面积最大的正方形．要求：在图2的矩形ABCD 中画出裁剪线，并在网格中画出用裁剪出的纸片拼成的正方形示意图（使正方形的顶点都在网格的格点上）．8．解：（1）正方形的最大面积是16．设AM =x （0≤x ≤4），则MD =4-x ．∵四边形MNEF 是正方形，∴MN =MF ，∠AMN +∠FMD =90°．∵∠AMN +∠ANM =90°，∴∠ANM =∠FMD ．∵在△ANM 和△DMF 中A D ANM FMD MN FM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ANM ≌△DMF （AAS ）．∴DM =AN ．∴S 正方形MNEF =MN 2=AM 2+AN 2，=x2+（4-x）2，=2（x-2）2+8∵函数S正方形MNEF=2（x-2）2+8的开口向上，对称轴是x=2，在对称轴的左侧S随x的增大而减小，在对称轴的右侧S随x的增大而增大，∵0≤x≤4，∴当x=0或x=4时，正方形MNEF的面积最大．最大值是16．（2）先将矩形纸片ABCD分割成4个全等的直角三角形和两个矩形如图1，然后拼成如图2的正方形．9．（2016•济南）（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BE=CD；（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）；（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．9．解：（1）完成图形，如图所示：证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，∵在△CAD和△EAB中，【备考真题过关】一、选择题1．（2016•铜仁地区）下列命题中，真命题是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形2．（2016•宜宾）矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等3．（2013•随州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°．已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是（）A．25B．20C．15D．104．（2016•重庆）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（）A．6cm B．4cm C．2cm D．1cm 5．（2016•南充）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）A．12B．24C．123D．1636．（2016•巴中）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD 的周长是（）A．24B．16C．43D．237（2016•茂名）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=60°，AD=2，则AC 的长是（）A．2B．4C．2 3D．438．（2016•成都）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C和点C′重合，若AB=2，则C′D的长为（）A．1B．2C．3D．4 9．（2016•包头）如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（）A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．3S1=2S210．（2016•扬州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC 于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°11．（2016•绵阳）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则GH=（）A．2825cm B．2120cm C．2815cm D．2521cm12．（2016•雅安）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE．其中正确结论有（）个．A．2B．3C．4D．5二、填空题13．（2016•宿迁）如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α为------度时，两条对角线长度相等．14．（2016•淮安）若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是．15．（2013•无锡）如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O，AB=8，E是CD的中点，则OE的长等于．16．（2016•黔西南州）如图所示，菱形ABCD的边长为4，且AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠B=60°，则菱形的面积为．17．（2016•攀枝花）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cosA=35，BE=4，则tan ∠DBE的值是．18．（2016•南充）如图，正方形ABCD的边长为2，过点A作AE⊥AC，AE=1，连接BE，则tanE= ．19．（2016•苏州）如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G．若1CGGB k=，则ADAB=用含k的代数式表示）．20．（2016•哈尔滨）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AB于E，若BC=4，△AOE的面积为5，则sin∠BOE的值为．21．（2016•北京）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为．22．（2016•南京）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF= cm．23．（2016•舟山）如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB、BC上，AE=BF=1，小球P从点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P第一次碰到点E时，小球P所经过的路程为．24．（2016•桂林）如图，已知线段AB=10，AC=BD=2，点P是CD 上一动点，分别以AP 、PB 为边向上、向下作正方形APEF 和PHKB ，设正方形对角线的交点分别为O 1、O 2，当点P 从点C 运动到点D 时，线段O 1O 2中点G 的运动路径的长是 ．25．（2016•荆州）如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把△ACD 沿CA 方向平移得到△A 1C 1D 1，连结AD 1、BC 1．若∠ACB=30°，AB=1，CC 1=x ，△ACD 与△A 1C 1D 1重叠部分的面积为s ，则下列结论：①△A 1AD 1≌△CC 1B ；②当x=1时，四边形ABC 1D 1是菱形；③当x=2时，△BDD 1为等边三角形；④s=38（x -2）2 （0＜x ＜2）； 其中正确的是 （填序号）．三、解答题26．（2016•南通）如图，AB=AC ，AD=AE ，DE=BC ，且∠BAD=∠CAE ．求证：四边形BCDE 是矩形．26．证明：∵∠BAD=∠CAE ，∴∠BAD -∠BAC=∠CAE -∠BAC ，∴∠BAE=∠CAD ，∵在△BAE 和△CAD 中AE AD BAE CAD AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAE ≌△CAD （SAS ）， ∴∠BEA=∠CDA ，BE=CD ，∵DE=BC ，∴四边形BCDE 是平行四边形，∵AE=AD ，∴∠AED=∠ADE ，∵∠BEA=∠CDA ，∴∠BED=∠CDE ，∵四边形BCDE 是平行四边形，∴BE ∥CD ，∴∠CDE+∠BED=180°，∴∠BED=∠CDE=90°，∴四边形BCDE 是矩形．27．（2016•广州）如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD相交于O ，AB=5，AO=4，求BD 的长．27．解：∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于O ，∴AC ⊥BD ，DO=BO ，∵AB=5，AO=4，∴BO=2254-=3，∴BD=2BO=2×3=6．28．（2013•厦门）如图所示，在正方形ABCD 中，点G 是边BC 上任意一点，DE ⊥AG ，垂足为E ，延长DE 交AB 于点F ．在线段AG 上取点H ，使得AG=DE+HG ，连接BH ．求证：∠ABH=∠CDE ．28．证明：如图，在正方形ABCD 中，AB=AD ，∠ABG=∠DAF=90°，∵DE ⊥AG ，∴∠2+∠EAD=90°，又∵∠1+∠EAD=90°，∴∠1=∠2，在△ABG 和△DAF 中， 1 290AB AD ABG DAF =⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△ABG ≌△DAF （ASA ），∴AF=BG ，AG=DF ，∠AFD=∠BGA ，∵AG=DE+HG ，AG=DE+EF ，∴EF=HG ，在△AEF 和△BHG 中，AF BG AFD BGA EF HG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△BHG （SAS ），∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∵∠2+∠CDE=∠ADC=90°，∠3+∠ABH=∠ABC=90°，∴∠ABH=∠CDE ．29．（2013•黔东南州）如图，在正方形ABCD 中，点M 是对角线BD 上的一点，过点M 作ME ∥CD 交BC 于点E ，作MF ∥BC 交CD 于点F ．求证：AM=EF ．29．证明：过M 点作MQ ⊥AD ，垂足为Q ，作MP 垂足AB ，垂足为P ，∵四边形ABCD 是正方形，∴四边形MFDQ 和四边形PBEM 是正方形，四边形APMQ 是矩形，∴AP=QM=DF=MF ，PM=PB=ME ，∵在△APM 和△FME 中，AP MF APM FME PM ME =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△APM ≌△FME （SAS ）， ∴AM=EF ．30．（2016•铁岭）如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，点O 为AB 的中点，连接DO 并延长到点E ，使OE=OD ，连接AE ，BE ．（1）求证：四边形AEBD 是矩形；（2）当△ABC 满足什么条件时，矩形AEBD 是正方形，并说明理由．30．（1）证明：∵点O 为AB 的中点，连接DO 并延长到点E ，使OE=OD ，∴四边形AEBD 是平行四边形，∵AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB=90°，∴平行四边形AEBD 是矩形；（2）当∠BAC=90°时，理由：∵∠BAC=90°，AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，∴AD=BD=CD ，∵由（1）得四边形AEBD 是矩形，∴矩形AEBD 是正方形．31．（2016•南宁）如图，在菱形ABCD 中，AC 为对角线，点E 、F 分别是边BC 、AD 的中点．（1）求证：△ABE ≌△CDF ；（2）若∠B=60°，AB=4，求线段AE 的长．31．解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=BC=AD=CD ，∠B=∠D ，∵点E 、F 分别是边BC 、AD 的中点，∴BE=DF ，在△ABE 和△CDF 中，∵AB CD B D BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△CDF （SAS ）；（2）∵∠B=60°，∴△ABC 是等边三角形，∵点E 是边BC 的中点，∴AE ⊥BC ，在Rt △AEB 中，∠B=60°，AB=4，sin60°=4AE AE AB =， 解得AE=23．32．（2016•贵阳）已知：如图，在菱形ABCD 中，F 是BC 上任意一点，连接AF 交对角线BD 于点E ，连接EC ．（1）求证：AE=EC ；（2）当∠ABC=60°，∠CEF=60°时，点F 在线段BC 上的什么位置？说明理由．32．（1）证明：如图，连接AC ，∵BD 也是菱形ABCD 的对角线，∴BD 垂直平分AC ，∴AE=EC ；（2）解：点F 是线段BC 的中点．理由如下：在菱形ABCD 中，AB=BC ，又∵∠ABC=60°，∴△ABC 是等边三角形，∴∠BAC=60°，∵AE=EC ，∠CEF=60°，∴∠EAC=12∠BAC=30°， ∴AF 是△ABC 的角平分线，∵AF 交BC 于F ，∴AF 是△ABC 的BC 边上的中线，∴点F 是线段BC 的中点．33．（2016•曲靖）如图，点E 在正方形ABCD 的边AB 上，连接DE ，过点C 作CF ⊥DE 于F ，过点A 作AG ∥CF 交DE 于点G ．（1）求证：△DCF ≌△ADG ．（2）若点E 是AB 的中点，设∠DCF=α，求sinα的值．33．（1）证明：在正方形ABCD 中，AD=DC ，∠ADC=90°，∵CF ⊥DE ，∴∠CFD=∠CFG=90°，35．（2016•绥化）已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD 三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；②若正方形ADEF的边长为22，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．35．证明：（1）∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，在直线BA上取点F，使BF=BP，且点F与点E在BC同侧，连接EF，CF．（1）如图 ，当点P在CB延长线上时，求证：四边形PCFE是平行四边形；（2）如图 ，当点P在线段BC上时，四边形PCFE是否还是平行四边形，说明理由；（3）在（2）的条件下，四边形PCFE的面积是否有最大值？若有，请求出面积的最大值及此时BP长；若没有，请说明理由．36．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠PBA=90°∵在△PBA和△FBC中，AB BCPBA ABCBP BF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PBA≌△FBC（SAS），∴PA=FC，∠PAB=∠FCB．∵PA=PE，∴PE=FC．∵∠PAB+∠APB=90°，∴∠FCB+∠APB=90°．∵∠EPA=90°，∴∠APB+∠EPA+∠FPC=180°，即∠EPC+∠PCF=180°，∴EP∥FC，∴四边形EPCF是平行四边形；（2）结论：四边形EPCF是平行四边形，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠CBF=90°∵在△PBA和△FBC中，AB BCPBA ABCBP BF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PBA≌△FBC（SAS），∴PA=FC，∠PAB=∠FCB．∵PA=PE，。
第22讲 菱形、矩形、正方形
一半.
菱形的性质和判别
◆中考指数:★★☆☆☆
1.菱形的性质： (1)菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，可将 菱形的问题转化为直角三角形去解决. (2)有一个内角为60°(或120°)的菱形，连结对角线可构成 等边三角形，可将菱形问题转化到等边三角形中去解决. (3)巧用菱形的对称性可解决一些求线段和最小值的问题. 2.菱形的判别的两个思路： (1)若四边形为(或可证明为)平行四边形，则再证一组邻边 相等或对角线互相垂直. (2)若相等的边较多(或容易证出)时，可证四条边相等.
形的对角线相等且互相平分．
6.(2012·盐城中考)如图,在四边形ABCD中,已知AB∥DC,AB=DC. 在不添加任何辅助线的前提下,要想该四边形成为矩形,只需再
加上的一个条件是_______.(填上你认为正确的一个答案即可)
【解析】由题知四边形ABCD为平行四边形，再根据有一角为 90°的平行四边形为矩形可得结论. 答案：∠A=90°(或∠A=∠B或∠A+∠C=180°，答案不惟一)
1.(2012·长沙中考)如图，菱形ABCD中， 对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC且交 BC于E，AD=6 cm,则OE的长为( (A)6 cm (C)3 cm (B)4 cm (D)2 cm )
【解析】选C.由于四边形ABCD为菱形， 所以AD=AB=6 cm, OC 1 .
AC 2 由于OE∥AB，所以 OC OE ， AC AB
知 识 点 睛
特 别 提 醒
当已知中出现对角线的相关条件时，常用“对角线相等且
互相垂直平分的四边形是正方形”来证.
【例3】(2012·黄冈中考)如图，在 正方形ABCD中，对角线AC,BD相交于 点O,E,F分别在OD,OC上,且DE=CF， 连结DF,AE，AE的延长线交DF于点M. 求证:AM⊥DF. 【思路点拨】正方形的性质→△AOE≌△DOF→
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轴对称图形。
互相平分、
菱形
对边平行， 四边相等。
对角相等。互且相每垂一直条， 对
中心对称图形， 轴对称图形。
角线平分一
组对角。
矩形菱形的性质运用举例
例1:已知如图，菱形ABCD 中,∠B=60°； E,F在边BC,CD上， 且∠EAF=60 °.
求证：AE=AF.
A
D
F
B
E
C
2.在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，若
D
A
C O
B
矩形菱形的性质运用举例
3、菱形的边与两条对角线的夹角之比 为2：3，求菱形的各内角的度数。
研究矩形和菱形的特有性质
一、边方面
•菱形的性质定理1：菱形的四条边都相等.
A
A
B
B
D
D
C
C
二、角方面 • 矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角
A
A
B
B D
D
C
C
三、对角线方面
• 矩形性质定理2：矩形的两条对角线相 等
BE=OE，AB=2 (1)求AC的长。 (2)S矩形ABCD
A
D
O
E
B
C
3.如图,菱形ABCD中,对角线BD交于点 O,AE ⊥CD,且AE=OD.求∠CAE的度数.ABO NhomakorabeaD
E C
拓展思考，课外延伸
1、已知：在矩形ABCD中，
AE平分∠BAD，∠AOD＝120°，
求：∠BOE
A
D
O
B
E
C
拓展思考，课外延伸
• 菱形性质定理2：菱形的对角线互相垂
直，并且每一条对角线平分一组对角
A
D
D
O
A
C O
B
C
B
四、对称性方面：
矩形和菱形既是中心对称图形又是轴对 称图形
A
B
D
C
练习
如图:在ABCD矩形中
AB=6cm,BC=8cm,
A/
将矩形折叠，
使B点与点D重合， A E
D
求折痕EF的长。
O
B
C
F
4、如图，菱形ABCD中，E是DA延长 线一点,且EB=EC,EB⊥EC,求∠ABC的度
数.
EA
D
B
C
矩形菱形的性质运用举例
1、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于
点O，∠AOD=120°，AB=4厘米,求
AC,BD的长和面积.
A
D
O
B
C
矩形菱形的性质运用举例
2、如图：菱形ABCD中，AB＝13cm，AC＝ 24cm，求(1)BD的长。 (2)这个菱形的面积． （3）菱形的高。
22.3特殊的平行四边形 矩形和菱形
（1）矩形和菱形的概念
• 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 • 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
两组对边 四边形 分别平行
平行四边形
矩形 菱形
矩形、菱形性质回顾：
A
D
D
O
A
C O
B
C
B
边
角
对角线
对称性
矩形 对边平行、四个角都是 互相平分且 中心对称图形，
对边相等。直角。 相等。