学姐笔记-矩形、菱形中考数学几何经典题型

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解题技巧：矩形、菱形、正方形中定值、最值、中点四边形问题压轴题四种模型全攻略(解析版)

专题08解题技巧专题：矩形、菱形、正方形中定值、最值、中点四边形问题压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一矩形、菱形、正方形中求定值问题】 (1)【考点二矩形、菱形、正方形中求最小值问题】 (9)【考点三矩形、菱形、正方形中求最大值问题】 (21)【考点四矩形、菱形、正方形中点四边形问题】 (28)【典型例题】【考点一矩形、菱形、正方形中求定值问题】【答案】PE PF+的值是定值，定值为【分析】连接OP，过点△的面积求出然后根据AOD【详解】解：PE PF+的值是定值，定值为∵四边形ABCD 是矩形，∴90BAD ∠=︒，又∵3AB =，4=AD ，∴由勾股定理可得BD =【变式训练】1．（2023上·四川德阳·九年级统考期末）如图，边长为定值的正方形ABCD 的中心与正方形EFGH 的顶点E 重合，且与边AB 、BC 相交于M 、N ，图中阴影部分的面积记为S ，两条线段MB 、BN 的长度之和记为l ，将正方形EFGH 绕点E 逆时针旋转适当角度，则有（）∵四边形ABCD 和四边形∴EB EC =，EBM ∠∴BEN BEM ∠+∠=∠∴BEM CEN ∠=∠，A ．有最大值aB ．有最小值【答案】D 【分析】连接AP ，过点B 作BF ∵在矩形ABCD 中，AE AB =∴223,AB a AC AB BC ==+∵1122ABC S AB BC AC BF=⋅=⋅(1)求证：矩形DEFG是正方形；+的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；(2)探究：CE CG(3)直接写出当点E满足什么条件时，【答案】(1)见解析；(2)CE CG+为定值，42；四边形ABCD为正方形，∴∠=︒，90BCD⊥，，EN CD⊥EM BC∴∠=∠=∠=90EMF ENC END【考点二矩形、菱形、正方形中求最小值问题】例题：（2023上·山西晋中·九年级统考期末）如图，在ABC 中，6AC =，8BC =，10BA =，P 为边AB 上一动点，PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥于点F ，点M 为EF 中点，则PM 最小值为（）A．2.4B．2.5【答案】A【分析】首先根据勾股定理的逆定理可以证明【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，矩形，垂线段，直角三角形斜边上的中线，直角三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理判定直角三角形，矩形的判定与性质、垂线段最短的性质，直角三角形斜边上的中线性质，由面积法求三角形的高，是解决问题的关键．【变式训练】【答案】10【分析】本题考查了正方形的性质、最小值问题、勾股定理、轴对称的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．∵正方形ABCD∴点B与点D关于=，∴MB MD∴MD ME MB ME+-+【答案】52【分析】本题主要考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、垂线段最短．解决线段最值问题，一般会运用垂线段最短定理求解，注意线段的转化．易知四边形FG就最小，根据垂线段最短，值，则最小FG值可求．⊥时，在正方形当BE AC【答案】22【分析】连接AF ，利用三角形中位线定理，可知线段最短，即可解决问题．∵四边形ABCD 是菱形，∴8AB BC ==，∵G ，H 分别为AE ，EF 的中点，(1)求证：四边形ADCE为矩形．(2)当ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并证明．(3)在矩形ADCE中内部有一动点P，满足13CDP ADCES S=矩形△，求【答案】(1)见解答(2)当ABC是等腰直角三角形时，四边形ADCE是一个正方形，理由见解答(3)45作点C关于点P所在直线的对称点∴8CF＝，∴22DF=+=，8445+的最小值为45∴PD PC【点睛】本题考查角平分线的性质，矩形的判定，正方形的判定，线段和的最小值，熟练掌握以上知识是解关键．+的值；(1)若点R为菱形ABCD对角线的交点，PQ为ACD的中位线，求PR QR连接PR ，QR ，∵PQ 为ACD 的中位线，∴PR ，QR 也为ACD 的中位线，11∵AP CQ =，则AP AP CQ '==又∵AOP COQ '∠=∠，∴()AAS AOP COQ '△≌△，∴12OA OC AC ===，则点则PR QR PQ P R QR QP PP '''''++=++≥，当此时点R 为AC 中点，∵60P QD PQD ADC ''∠=∠=︒=∠，则QP ∴P P '''过点O （点R ），且P P AD '''∥可知CRQ △，ARP △为等边三角形，分别为AD ，AC ，CD 的中点，∥交CD于Q；作法：取AD的中点为P，作PQ AC++的最小值为6．综上，PR QR PQ【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定及性质，含30︒的直角三角形，轴对称等知识，利用轴对称构造辅助线，将线段和问题转化为三角形三边关系，两点之间距离问题等是解决问题的关键．【考点三矩形、菱形、正方形中求最大值问题】【答案】2【分析】本题考查正方形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，确定何时连接DF，则MN是【详解】解：连接DF，N分别是EDM∴是DEFMN的中位线，当DF最大时，MN有最大值，，F分别是边ABE【变式训练】3PA AB == ，4BC =，2222345AC AB BC ∴=+=+=，∵M 为PC 的中点，∴OM 是ACP △的中位线，1322OM PA ∴==，【答案】17 2【分析】连接DP，根据矩形的性质和三角形的中位线定理即可得到结论．【详解】解：如图所示，连接DP∵E为CD中点，F为CP中点，∴EF为CDP△的中位线，∴12EF DP=，当PD取得最大值时，EF的值最大，【答案】9【分析】取AB的中点直角三角形斜边中线的性质可得答案．【详解】解：取AB的中点【点睛】此题考查的是矩形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质及勾股定理，正确作出辅助线是解决此题的关键．4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）点E为OD的中点，点F【答案】2【分析】作E 的对称点'E ，连接FE PF PE PF PE E F ''-=-≤，最后根据等边三角形的性质及菱形的性质即可解答．【详解】解：作E 的对称点E '，连接∴PE PE '=，【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，菱形的性质，中点的定义，三角形的三边关系，掌握等边三角形的性质及菱形的性质是解题的关键．5．（2022上·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在菱形正三角形，点E ，F 分别在菱形的边上滑动时，求CEF △面积的最大值．【答案】3【分析】连接AC ，根据菱形的性质以及等边三角形的性质可得ABE ACF V V ≌，从而得到S 四边形ABCD 为菱形，∠∴160EAC BAC ∠+∠+∠=︒13∠∠∴=，由“垂线段最短”可知：当正三角形∴ 的面积会随着AE的变化而变化，且当AEF正三角形AEF的面积会最小，此时点⊥于点G，过点A作AG EF【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形判定与性质及三角形面积的计算，求证ABE ACF V V ≌是解题的关键，有一定难度．【考点四矩形、菱形、正方形中点四边形问题】(1)请判断四边形EGFH (2)四边形ABCD 满足什么条件时，四边形(3)四边形ABCD 满足什么条件时，四边形【答案】(1)四边形∵AB CD ⊥，,EG AB EH CD ∥∥，∴EG EH ⊥，∴90GEH ∠=︒，∴四边形EGFH 是矩形．【点睛】本题考查中点四边形．解题的关键是掌握三角形的中位线定理，以及菱形和矩形的判定定理．【变式训练】A ．四边形EFGH 一定是平行四边形B ．当90BAC ∠=︒时，四边形C ．当AC BD =时，四边形D ．当AC BD ⊥时，四边形【答案】B,,,E F G H 分别为四边形11,,22EF AC HG AC EH ∴==且EF AC,HG AC,EF ∥∥∥EF GH ,EH FG ∴==，且EF GH ,EH FG ∥∥，故四边形EFGH 为平行四边形，故A 正确；当90BAC ∠=︒时，EF AC∥Q 90BEF BAC ∴∠=∠=︒90FEH ∴∠<︒故平行四边形EFGH 不是矩形，B 错误；当AC BD =时，则EF GH EH FG ===，故四边形EFGH 为菱形，C 正确；当AC BD ⊥时，EF AC,HG AC,EH BD,FG BD ∥∥∥∥ ，AC FG,FG HG ∴⊥⊥，故四边形EFGH 为矩形，D 正确；故选：B ．【点睛】该题主要考查了平行四边形、矩形、菱形的判定，以及三角形中位线定理，解题的关键是掌握各种四边形的性质和判定方法．2．（2023下·湖南长沙·八年级统考期末）如图，点E F G H 、、、分别是四边形ABCD 边AB BC CD DA 、、、的中点．则正确的是（）A ．若AC BD =，则四边形EFGH 为矩形B ．若AC BD ⊥，则四边形EFGH 为菱形C ．若EFGH 是平行四边形，则AC 与BD 互相平分D ．若EFGH 是正方形，则AC 与BD 互相垂直且相等【答案】D=【答案】AB CD【分析】本题可根据菱形的定义来求解．线，同理，HF是三角形因此四边形EHFG是平行四边形，【答案】1【分析】先证明一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线⊥时，中点四边形是矩形，当对角线角线AC BD分析各选项即可．(1)猜想四边形EFGH 的形状，直接回答，不必说明理由；(2)点P 在线段AB 的上方时，如图2，在APB △的外部作APC △和BPD △，其他条件不变，（成立吗？说明理由；(3)如果（2）中，90APC BPD ∠=∠=︒，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH 的形状，并说明理由．∵APC BPD∠=∠∴∠+∠=∠+∠APC CPD BPD CPD ，即又∵PC PA =，PD PB =，∴PAD PCB ≌，APC BPD ∠=∠ ，APC CPD BPD CPD ∴∠+∠=∠+∠即APD CPB ∠=∠．又PA PC = ，PD PB =，(SAS)APD CPB ∴≌△△，判断四边形EFGH是正方形．理由：连接AD，BC．（2）中已证：APD CPB△，≌∴∠=∠．PAD PCB，∠=︒APC90∴∠+∠=︒．190PAD【答案】（1）D ；（2）AC BD =，AC BD ⊥；（3）证明见解析；（4）22MN AC =，的最小值为22．【分析】（1）由正方形对角线相等且互相垂直可得答案；（2）由中位线的性质可得：12EF AC =，EF AC ∥，12FG BD =，FG BD ∥，结合正方形的性质可得结论；∵四边形BCGE 各边中点分别为M ∴MN 、NR ，RL ，LM 分别是BCG ∴MN BG ∥，12MN BG =，RL ∥∴MN RL ∥，MN RL =，RN CE ∥∴四边形MNRL 是平行四边形，∵四边形ABCD 是“中方四边形∴四边形ENFM 是正方形，∴FM FN =，MFN ∠∴22MN FM FN =+=当点O 在MN 上（即M 、∴()2OM ON +的最小值由性质探究（1）知：AC 又∵M ，N 分别是AB ，∴2AB OM =，2CD ON =。

中考总复习矩形、菱形、正方形精品整理含各类中考真题

典例3 如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE 绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点．
(1)试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；四边形AFHE是正方形，理由如下： ∵Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°， ∴∠AFH＝90°， ∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
考点训练
1．如图，矩形纸片 ABCD，AD︰AB＝ 2︰1，点 E，F 分别在 AD，BC 上，把纸片如图沿 EF 折叠，点 A，B 的对应点分别为 A′，B′，连接 AA′并延长交线段 CD 于点 G，则AEGF的值为( A )
A．
2 2
B．23
C．12
D．
5 3
2．如图，在 Rt△OAB 中，∠A＝90°，点 B 的坐标为4，0，∠OBA＝30°， P，Q 分别是射线 OA、线段 OB 上的点，且 OP＝BQ，以 OP，OQ 为邻边构造平行四边形 OPMQ.
(1)若线段 PM 与 AB 交于点 D，当DPMD ＝12时，则 BQ＝__1_；
(2)把△PMQ 沿着 PQ 进行折叠，当折叠后△PMQ 与△OPQ 的重叠部分的面积是平行四边形 OPMQ 的14时，则 BQ＝_43_或__83______.
课堂训练
1．如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB＝6，BC＝10，点 E 在 CD 上，将△BCE 沿 BE 折叠，点 C 恰落在边 AD 上的点 F 处；点 G 在 AF 上，将△ABG 沿 BG 折叠，点 A 恰落在线段 BF 上的点 H 处，有下列结论： ①∠EBG＝45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG＝32S△FGH；④AG＋DF＝FG. 其中正确的是__①__③__④__.(把所有正确结论的序号都选上)

中考几何矩形菱形正方形复习考点

中考几何矩形菱形正方形复习考点一、矩形矩形是特殊的平行四边形，从运动变化的观点来看，当平行四边形的一个内角变为90时，其它的边、角位置也都随之变化。

因此矩形的*质是在平行四边形的基础上扩充的。

1、矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做短形(通常也叫做长方形)2、矩形*质定理1：矩形的四个角都是直角。

3.矩形*质定理2：矩形的对角线相等。

4、矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。

说明：因为四边形的内角和等于360度，已知有三个角都是直角，那么第四个角必定是直角。

5、矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。

说明：要判定四边形是矩形的方法是：法一：先*出是平行四边形，再*出有一个直角(这是用定义*)法二：先*出是平行四边形，再*出对角线相等(这是判定定理1)法三：只需*出三个角都是直角。

(这是判定定理2)二、菱形菱形也是特殊的平行四边形，当平行四边形的两个邻边发生变化时，即当两个邻边相等时，平行四边形变成了菱形。

1、菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2、菱形的*质1：菱形的四条边相等。

3、菱形的*质2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

4、菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形。

5、菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

说明：要判定四边形是菱形的方法是：法一：先*出四边形是平行四边形，再*出有一组邻边相等。

(这就是定义*)。

法二：先*出四边形是平行四边形，再*出对角线互相垂直。

(这是判定定理2)法三：只需*出四边都相等。

(这是判定定理1)三、正方形正方形是特殊的平行四边形，当邻边和内角同时运动时，又能使平行四边形的一个内角为直角且邻边相等，这样就形成了正方形。

1、正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2、正方形*质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等。

3、正方形*质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

专题16 矩形、菱形、正方形的性质与判定压轴题十种模型全攻略(解析版)

专题16矩形、菱形、正方形的性质与判定压轴题十种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一利用矩形的性质求角度】 (1)【考点二利用矩形的性质求线段长】 (4)【考点三矩形的性质与判定综合问题】 (7)【考点四利用菱形的性质求角度】 (11)【考点五利用菱形的性质求线段长】 (12)【考点六菱形的性质与判定综合问题】 (15)【考点七利用正方形的性质求角度】 (19)【考点八利用正方形的性质求线段长】 (21)【考点九正方形的性质与判定综合问题】 (24)【考点十矩形、菱形、正方形中无刻度作图问题】 (31)【过关检测】 (35)【典型例题】【考点一利用矩形的性质求角度】【答案】56︒四边形ABCD是长方形，∴∥，AD BC∴∠=∠=︒，DAC ACB68由作图痕迹可知，AE平分【变式训练】【答案】35【分析】利用矩形的性质可得：∵30BOF ∠=︒，∴AOF AOB BOF ∠=∠-∠如图所示，当点F 在BC 上时，∵30BOF ∠=︒，∴7630106AOF AOB BOF ∠=∠+∠=︒+︒=︒，故答案为：46︒或106︒．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形的外角的性质，分类讨论是解题的关键．【考点二利用矩形的性质求线段长】【答案】23【分析】由矩形的性质可得【变式训练】【答案】5【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，证题关键．⊥，则MN AD⊥，则MN BD(1)求EC的长；(2)求CDE∠的度数．【答案】(1)(843)cm-【考点三矩形的性质与判定综合问题】例题：（2023上·辽宁丹东·九年级统考期中）如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 在边BC 的延长线上，且CE BC =，AE AB =，AE ，DC 相交于点O ，连接DE ．(1)求证：四边形ACED 是矩形；(2)若120AOD ∠=︒，4AC =，求AE 的长．【答案】(1)证明详见解析(2)8【分析】本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形的性质，等边三角形的性质和判定的应用，能综合运【变式训练】1．（2023上·陕西咸阳·九年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，ABCD Y 的对角线相交于点O ，且2COD OBC ∠=∠．(1)求证：四边形ABCD 是矩形；(2)点E 在OD 上，连接AE ，若24,4AB AD OD OE ===，求ADE V 的面积．(1)求证：四边形ADCE 为矩形；(2)若65BD DF ==，，求AD 的长．【答案】(1)见解析(2)8【分析】（1）证明90ADC DAE AEC ∠=∠=∠=︒，根据矩形的判定即可得到结论；（2）根据矩形的性质和勾股定理即可求出AD 的长．此题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键．【详解】（1）证明：∵AB AC =，AD 是BAC ∠的平分线，∴,AD BC BAD CAD ⊥∠=∠，∴90ADC ∠=︒，∵AN 是ABC 外角CAM ∠的平分线，∴MAN CAN ∠=∠．∴=90DAE ∠︒，∵CE AN ⊥，∴90AEC ∠=︒．∴90ADC DAE AEC ∠=∠=∠=︒，∴四边形ADCE 为矩形；（2）解：∵四边形ADCE 为矩形，∴AE CD AC DE ==，，∵BD CD =，∴6AE BD ==，∵510DF AC DE ===，，【考点四利用菱形的性质求角度】【答案】70︒/70度【分析】本题考查菱形性质，利用三角形内角和即可求得本题答案．【变式训练】【答案】20︒/20度【分析】本题考查菱形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，关键是熟练掌握直角三角形斜边∠中线性质．先根据菱形的性质得到CBD四边形ABCD是菱形，ABC∠=，∴∠=︒，OA OCBCD100∴∠=∠=︒，PA=50ACB ACD∴∠=∠=︒，PAC PCA20【考点五利用菱形的性质求线段长】【答案】513 13【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理；根据菱形的性质得出AO=得AE，在Rt ABE△中，勾股定理即可求解．【变式训练】【答案】2.5【分析】本题考查了菱形的性质以及中位线的性质，解题的关键是求出菱形的边长．【详解】解：四边形ABCD【答案】6或63或6【分析】由题意知AP =90BP A ∠=︒，由勾股定理得，当16AP =时，16BP=；∵菱形ABCD 中，=60B ∠︒，∴ABC 是等边三角形，∵2162AP AC ==，【考点六菱形的性质与判定综合问题】(1)求证：四边形ABEF是菱形；AB=，求AE的长．(2)若8BF=，5【答案】(1)见解析(2)AE的长为6【变式训练】(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若5AB=，2BD=，求在（2）的条件下，1OD =∵2DM =，∴22OM DM OM =-=(1)求证：四边形AFCE 是菱形．(2)若8AC =，6EF =，求BF 【答案】(1)见解析(2)75BF =【考点七利用正方形的性质求角度】【答案】22.5︒/22【分析】本题考查了正方形的性质，根据四边形=，即可求出据BP OB【详解】解：四边形90BOC ∴∠=︒，45OBC ∠=︒，BP OB = ，BOP BPO ∴∠=∠，(18045)267.5BOP BPO ∴∠=∠=︒-︒÷=︒，9067.522.5COP ∴∠=︒-︒=︒．故答案为：22.5︒．【变式训练】【答案】70【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质．证明ABE CBE △△≌，得到AEB BEC ∠=∠，利用三角形的内角和定理和平角的定义，进行求解即可．掌握正方形的性质，是解题关键．【详解】解：∵正方形ABCD ，∴45,ABE CBE AB BC ∠=∠=︒=，∵BE BE =，∴ABE CBE △△≌，∴AEB BEC ∠=∠，∵25BCF ∠=︒，∴1804525110AEB BEC ∠=∠=︒-︒-︒=︒，∴180********AEB AED ∠∠=︒--︒==︒︒，故答案为：70．【考点八利用正方形的性质求线段长】【答案】22【分析】本题主要考查正方形的性质以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据正方形的性质得到2AB BC ==，再由勾股定理得到答案．【变式训练】【答案】352【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理求得12x =，进而表示出【详解】解：如图所示，连接∵AE 的垂直平分线分别交∴AG EG=设BG x =，则4CG =-∵E 是CD 的中点，则CE ∴(2224GE CG CE =+=∵2AP =，边长为6，即∴4PB =∵点Q 为BC 的中点，∴3CQ BQ ==，，过点P 作PE BC ⊥于E ，，∴6PE AB ==，BE AP =∵3BQ =，2AP =，∴1QE =，∴221637PQ =+=，【考点九正方形的性质与判定综合问题】例题：（2023上·山西吕梁·九年级统考期末）综合与实践【问题情境】如图1，正方形ABCD 中，点E 为其内一点，以点E 为直角顶点，以AB 为斜边构造直角三角形ABE ，使得90AEB ∠=︒，将Rt ABE △绕点B 按顺时针方向旋转90︒，得到△CBE '（点A 的对应点为C ），延长AE 交CE '于点F ，连接DE ．DA DE =，∴12AQ QE AE ==．四边形ABCD 是正方形，∴90DAB ∠=︒，DA AB =，∴90BAE DAQ ︒∠+∠=．90ADQ DAQ ∠+∠=︒，∴BAE ADQ ∠=∠，90DQA AEB ︒∠=∠=，∴(AAS)ADQ BAE △≌△，∴AQ BE =，DQ AE =，∴22DQ AE AQ BE ===．将Rt ABE 绕点B 沿顺时针方向旋转【变式训练】1．（2024上·内蒙古鄂尔多斯·九年级统考期末）如图1，正方形ABCD 的边长为5，点E 为正方形CD 边上一动点，过点B 作BP AE ⊥于点P ，将APB △绕点A 逆时针旋转90︒得AP D '△，延长BP 交P D '于点F ，连(1)判断四边形的AP FP '的形状，并说明理由；(2)若1DF =，求AP 的长度；(3)在（2）的条件下，求CPB APBS S ∆∆．【答案】(1)四边形AP FP '是正方形(2)3AP =∠=∠=∠=∵APB CGB ABC ∠+∠=∠∴ABP CBG BCG ∠=∠，∴ABP BCG中，在ABP和BCG(1)如图1，当点E 在线段AC 上时．①求证：矩形DEFG 是正方形；②求证：CG AC CE =-；(2)如图2，当点E 在线段AC 的延长线上时，正方形ABCD 【答案】(1)①证明见解析，②证明见解析；(2)34GE =．∵EF DE ⊥，45PEC ∠=︒∴90DEF ∠=︒，∴45PED FEC ∠∠+=︒，∵45QEF FEC ∠+∠=︒，∴QEF PED ∠=∠，∵EP EQ =，90EQF EPD ∠=∠=︒∴()ASA EQF EPD ≌，∴EF ED =，∵四边形DEFG 矩形，EF ED =，∴四边形DEFG 是正方形；②证明：∵四边形DEFG 是正方形，∴DE DG =，90EDG ∠=︒∵90ADE EDC ∠+∠=︒，90CDG EDC ∠+∠=︒，∴ADE CDG ∠=∠，∵AD DC =，DE DG=∴()SAS ADE CDG ≌，∴AE CG =，∵AE AC CE =-，∴CG AC CE =-；（2）同（1）理，四边形DEFG 是正方形，∴,90DE DG EDG =∠=︒，∵90ADE EDC ∠=︒+∠，90CDG EDC ∠=︒+∠，∴ADE CDG ∠=∠，∵,AD DC DE DG ==，∴()SAS ADE CDG ≌，）【考点十矩形、菱形、正方形中无刻度作图问题】例题：（2024上·江西吉安·九年级统考期末）如图，菱形ABCD 的边AB 上的一点E （不与A ，B 重合），请仅用无刻度的直尺画图．(1)使BF DE =（保留画图痕迹）；(2)在AD 上找到点G ，使BF BG DE ==，作出等腰BFG ．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查作图-复杂作图，菱形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．（1）如图1中，连接AC 交DE 交于点O ，连接EO ，延长EO 交AD 于点F ，此时BF DE =；（2）连接AC BD 、交于点O ，DE 与AC 相交于点M ，连接BM 交AD 于点G ，连接EO 交CD 于点F ，连接EF ，此时BF BG DE ==，BFG 是等腰三角形．【详解】（1）如图所示：（2）如图所示：【变式训练】1．（2024上·江西吉安·九年级统考期末）请仅用无刻度直尺作图，不写作法，保留作图痕迹．(1)如图①，在菱形ABCD 中，点E 是BC 的中点，请过E 作出AB 的平行线．(2)如图②，在ABCD Y 中，点E ，是CD 的中点，请找出BC 的中点．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理：（1）如图所示，连接AC BD 、交于O ，连接EO 并延长，交AD 于F ，则直线EF 即为所求；（2）如图所示，连接AC BD 、交于O ，连接EO 并延长，交AB 于G ，连接CG BE ，交于H ，连接OH 并延长交BC 于F ，点F 即为所求．【详解】（1）解：如图所示，连接AC BD 、交于O ，连接EO 并延长，交AD 于F ，则直线EF 即为所求；由菱形的性质可得O 为AC 中点，得OE 是ABC 中位线，则OE ∥AB ；（2）解：如图所示，连接AC BD 、交于O ，连接EO 并延长，交AB 于G ，连接CG BE ，交于H ，连接OH 并由菱平行四边形的性质可得四边形，则H 为CG 中点，则BC 的中点．2．（23-24九年级上·江西九江·期末）如图，四边形ABCD 为矩形，且有AE DE =．请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要的画图痕迹．(1)在图1中求作BC 边的中点F ；(2)在图2中的边BC 上求作点H ，使BG CH =．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质和判定：（1）连接,AC BD ，过,AC BD 的交点与点E 作直线，交BC 于点F ，即可；（2）方法一：连接AG ，并延长AG 交EF 于点P ，连接DP 交BC 于点H ，即可；方法二：连接AH ，交EF 于点Q ，连接DQ ，并延长DQ 交BC 于点H ，即可；【详解】（1）解：如图，点P 即为所求；（2）解：如图，点H 即为所求．3.（23-24九年级上·江西九江·期中）如图正方形ABCD ，正方形GCEF 如图，并排放置，G 不是CD 中点．请用无刻度直尺完成下列作图．(1)在图1中作平行四边形BDMC ；(2)在图2中边AD 上寻找点P ，使得PD CG ．【答案】(1)图见解析(2)图见解析【分析】本题考查无刻度直尺作图．（1）连接BD ，连接CF 并延长交AD 的延长线与点M ，则平行四边形BDMC 即为所求；（2）在（1）的基础上，连接BM ，交CD 与点H ，连接EH 并延长，交AD 于点P ，则点P 即为所求．熟练掌握正方形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，是解题的关键．【详解】（1）解：如图，平行四边形BDMC 即为所求；由图可知：,BD CM BC DM ∥∥，∴四边形BDMC 为平行四边形；（2）如图：点P 即为所求；由图可知：H 为平行四边形BDMC 的对角线的交点，∴DH CH =，又90,ECH PDH DHP CHE ∠=∠=︒∠=∠，∴PDH ECH ≌，∴PD CE CG ==．【过关检测】一、单选题1．（2023·江苏淮安·一模）如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 的长分别为6和8，则这个菱形的面积是（）A ．48B ．40C ．24D ．20故选：C．2．（22-23九年级下·广东汕头·期中）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分BED∠，2AB=，∠︒，则DE的长为（）ABE=45A．2-B1C1D．Y中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线．下3．（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，在ABCD列说法错误的是（）A ．当2AB AD =时，四边形DEBF 是菱形B ．当90ADB ∠=︒时，四边形DEBF 是菱形C ．当AD BD =时，四边形DEBF 是矩形D ．当DE 平分ADB ∠时，四边形DEBF 是矩形【答案】A【分析】本题考查平行四边形的性质与菱形的判定，先根据平行四边形性质得到DF EB ∥，DF EB =，得到四边形DEBF 是平行四边形，再结合选项条件结合菱形的判定，逐个判定即可得到答案；【详解】解：∵在ABCD Y 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，∴DF EB ∥，1122DF DC AB EB ===，∴四边形DEBF 是平行四边形，∵DE 平分ADB ∠，∴DE AB ⊥，∴四边形DEBF 是矩形，故D 选项正确不符合题意，当2AB AD =时，得不到四边形DEBF 是菱形，故A 选项错误，符合题意，当90ADB ∠=︒时，DE BE =，∴四边形DEBF 是菱形，故B 选项正确不符合题意，当AD BD =时，∵E 为边AB 的中点，∴90DEB ∠=︒，∴四边形DEBF 是矩形，故C 选项正确不符合题意，故选：A ．4．（23-24九年级上·广西桂林·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数(0)ky x x=>的图象交矩形OABC 的边AB 于点D 交边BC 于点E ，且2BE EC =，若四边形ODBE 的面积为12，则k 的值为（）A ．3B ．4C ．6D ．12【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的系数k 的几何意义．连接OB ，由矩形的性质和已知条件得出OBD 的面积OBE = 的面积12=四边形ODBE 的面积，再求出OCE △的面积，即可得出k 的值．【详解】解：连接OB ，如图所示：四边形OABC 是矩形，90OAD OCE DBE ∴∠=∠=∠=︒，OAB 的面积OBC = 的面积，D 、E 在反比例函数(0)k y x x=>的图象上，OAD ∴ 的面积OCE = 的面积，OBD ∴△的面积OBE = 的面积12=四边形ODBE 的面积6=，2BE EC = ，OCE ∴ 的面积12OBE = 的面积3=，6k ∴=．故选：C ．5．（2023·广西桂林·二模）如图①，在正方形ABCD 中，点P 从点A 出发，沿AB BC →的路径匀速运动，到点C 停止．过点P 作PQ BD ∥，PQ 与边AD （或边CD ）交于点Q ，PQ 的长度y （cm ）与点P 的运动时间x （秒）的函数图象如图②所示．则正方形ABCD 的边长是（）A ．2cmB ．4cmC ．42D ．无法确定【答案】B 【分析】本题考查动点的函数图象，正方形的性质，勾股定理．根据图象得到当2x =时，P 点移动到B 点，42PQ BD ==，进而求出正方形的边长．【详解】解：∵BD 是正方形ABCD 的对角线，∴45,90ABD A ∠=︒∠=︒，∵PQ BD ∥，∴45APQ ABD ∠=∠=︒，∴45AQP ∠=︒，∴AP AQ =，由图②可知：当2x =时，42y =，即当点P 运动到点B 时，点P 运动时间是2秒，42PQ BD cm ==，∵45ABD ∠=︒∴24242AB AD cm ==⨯=．∴正方形ABCD 的边长是4cm ．故选：B ．二、填空题6．（2023·甘肃平凉·三模）如图，在ABCD Y 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，请添加一个条件，使ABCD Y 成为菱形（写出符合题意的一个条件即可）【答案】AB AD =或AC BD ⊥（答案不唯一）【分析】此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．【详解】解：添加AB AD =，四边形ABCD 是平行四边形，AB AD =，∴平行四边形ABCD 成为菱形；添加：AC BD ⊥，∵四边形ABCD 是平行四边形，AC BD ⊥，∴平四边形ABCD 是菱形；故答案为：AB AD =或AC BD ⊥（答案不唯一）．7．（2023·海南海口·二模）如图，在菱形ABCD 中，120A ∠=︒，2AB =，E 为边CD 的中点，连接BE ，则菱形ABCD 的面积等于，BE 的长等于．【答案】237【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，连接AC AE ，，证明ADC △是等边三角形，根据等边三角形的性质证明AE CD ⊥，1CE DE ==，然后可以求出菱形面积；再利用勾股定理求出BE ．【详解】解：如图，连接AC AE ，，∵四边形ABCD 是菱形，1202BAD AB ∠=︒=，，∴602D AD CD AB ∠=︒===，，8．（23-24九年级上·山东济南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的对角线OB 在x 轴上，顶点A 在反比例函数(0)k y x x =<的图象上，若菱形OABC 的面积为12，则k 的值为．四边形OABC 是菱形，OB AC ∴⊥，ΔAOD S =，k<∴=-，k6-．故答案为：69．（2023·宁夏银川·三模）七巧板是中国民间流传的一种传统智力玩具，它是由等腰直角三角形，正方形和平行四边形组成的．如图，有一块边长为4的正方形厚纸板ABCD，做成如图①所示的一套七巧板（点O为∥），将图①示七巧板拼正方形纸板对角线的交点，点E、F分别为AD、CD的中点，GE BI∥，IH CD成如图②所示的“鱼形”，则“鱼尾”MN的长为．BC=，点E是线段AD上一点，且不与A、10．（2023·河南郑州·三模）如图，已知矩形ABCD，2AB=，4D重合，沿BE折叠使点C落在矩形某边所在直线上，则DE的长是．【答案】2或23【分析】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、正方形的判定、勾股定理等知识，应注意分类讨论，以免丢解．设点C 、点D 的对应点分别为点C '、点D ¢，由矩形的性质得90BAD B C D ∠=∠=∠=∠=︒，2CD AB ==，4AD BC ==，由折叠得4BC BC '==，2C D CD ''==，90C C '∠=∠=︒，90D D '∠=∠=︒，再分两种情况讨论，一是点'C 在BA 的延长线上，可证明四边形AC D E ''是正方形，则2DE D E '==；二是点C '在DA 的延长线上，可证明C EB C BE ''∠=∠，则4EC BC ''==，所以2223DE D E EC C D ''''==-=，于是得到问题的答案．【详解】解：设点C 、点D 的对应点分别为点C '、点D ¢，四边形ABCD 是矩形，2AB =，4BC =，90BAD ABC C D ∴∠=∠=∠=∠=︒，2CD AB ==，4AD BC ==，由折叠得4BC BC '==，2C D CD ''==，90C C '∠=∠=︒，90D D '∠=∠=︒，当点'C 在BA 的延长线上，如图1，则18090EAC BAD '∠=︒-∠=︒，∴四边形AC D E ''是矩形，422AC BC AB ''=-=-= ，AC C D '''∴=，∴四边形AC D E ''是正方形，2D E AC ''∴==，2DE D E '∴==；当点C '在DA 的延长线上，如图2，AD BC ，C EB CBE '∴∠=∠，由折叠得C BE CBE '∠=∠，C EB C BE ''∴∠=∠，三、解答题11．（2023·新疆乌鲁木齐·三模）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC BD 、相交于点O ，DE AC AE BD ∥∥，．(1)求证：四边形AODE 是矩形．(2)若菱形ABCD 的边长为10，面积为，求四边形AODE 的周长．12．（23-24九年级下·北京丰台·开学考试）如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，BC ，EO 为矩形BECO 对角线，BC AD ∥，AD EO =．(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)连接DE ，若2AC =，120BCD ∠=︒，求DE 的值．13．（2023·浙江金华·三模）已知点M ，N 在矩形的边上，利用直尺和圆规，按要求作图，保留作图痕迹．(1)如图1，在矩形边上找点E ，F ，使得MNEF 为平行四边形；(2)如图2，在矩形边上找P ，G ，H 三点，使得四边形MPGH 为菱形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】此题考查尺规作图和菱形的判定：（1）连接矩形的对角线交于点O ，连接,MO NO ，分别延长,MO NO 交矩形的对边于点E ，F ，即可求解；（2）连接矩形的对角线交于点O ，连接MO ，分别延长MO 交矩形的对边于点G ，再作GM 的垂直平分线，分别交矩形的两边于点P ，H ，即可求解；【详解】（1）解：如图，四边形MNEF 即为所求；（2）解：如图，四边形MPGH 即为所求．14．（22-23八年级下·辽宁抚顺·期末）在ABC 中，AB AC ＝，点D 为射线BC 上一动点（点D 不与B ，C 重合），以AD 为边作菱形ADEF ，使DAF BAC ∠∠＝，连接CF ．(1)如图1，当点D 在线段BC 上时，直接写出线段BD 与CF 的数量关系；(2)如图2，当点D 在线段BC 的延长线上，且90＝BAC ∠︒时，求证：2CF CD -=．【答案】(1)BD CF＝(2)见详解【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，菱形的性质，利用已知条件证明BAD CAF ≌是解题的关键．（1）由已知DAF BAC ∠∠＝得BAD CAF ∠∠＝，再根据菱形的性质得AD AE =，再由AB AC ＝，证明BAD ≌CAF V ；（2）同（1）可得BAD ≌CAF V ，得BD CF ＝，再由90＝BAC ∠︒，AB AC ＝证得2BC AC =，所以2BD CD BC AC -==．【详解】（1）证明：四边形ADEF 是菱形，AD AF ∴＝，BAC DAF ∠∠＝，BAD CAF ∴∠∠＝，AB AC ＝，BAD ∴ ≌SAS CAF（），BD CF ∴＝．（2）证明：四边形ADEF 是菱形，AD AF ∴＝，BAC DAF ∠∠＝，BAD CAF ∴∠∠＝，AB AC ＝，BAD ∴ ≌SAS CAF（），15．（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）四边形ABCD 为矩形，G 是BC 上的任意一点，DE AG ⊥于点E ．(1)如图1，若AB BC =，BF DE ，且交AG 于点F ，求证：AF BFEF =－；(2)如图2，在（1）的条件下，若AG =，求GCEC ；(3)如图3，连EC ，若CG CD =，DE =2CE =，则GE =．（直接写出结果）∵5AG BG =，设在Rt ABG △中，∴G 为BC 的中点，在ABG 和△FCG BAG CFG ABG FCG BG CG ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝。

矩形、菱形、正方形的性质与判定压轴题九种模型全攻略(解析版)

专题06矩形、菱形、正方形的性质与判定压轴题九种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一利用矩形的性质求角度】 (1)【考点二利用矩形的性质求线段长】 (3)【考点三矩形的性质与判定综合问题】 (6)【考点四利用菱形的性质求角度】 (10)【考点五利用菱形的性质求线段长】 (11)【考点六菱形的性质与判定综合问题】 (14)【考点七利用正方形的性质求角度】 (18)【考点八利用正方形的性质求线段长】 (20)【考点九正方形的性质与判定综合问题】 (23)【过关检测】 (30)【典型例题】【考点一利用矩形的性质求角度】【答案】27.5︒【分析】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质．由矩形的性质得出【变式训练】【答案】75︒/75度【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．根据矩形的性质可得90,BAD ABC OA ∠=∠=︒而得到30OBE ∠=︒，再根据等腰三角形的性质，即可求解．∵30BOF ∠=︒，∴AOF AOB BOF ∠=∠-∠如图所示，当点F 在BC 上时，∵30BOF ∠=︒，∴AOF AOB BOF ∠=∠+∠故答案为：46︒或106︒．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形的外角的性质，分类讨论是解题的关键．【考点二利用矩形的性质求线段长】例题：（2023上·四川成都·九年级校考阶段练习）如图，矩形ABCD 中，对角线AC BD 、相交于点O ，过点O【答案】3【分析】本题主要考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，连接BE ，由矩形的性质可得11S OB OE OD OE =⋅=⋅∵四边形ABCD 是矩形，对角线90BAD OB OD ∴∠=︒=，，OE BD ⊥ ，OE ∴垂直平分BD ，BOE S 【变式训练】1．（2024上·江西鹰潭·九年级统考期末）如图，矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O ，E ，F 分别是OC ，BC 的中点．若5cm EF =，求AC 的长．AC=【答案】20cm【分析】本题考查了矩形的性质，中位线，根据矩形的性质得E、F分别是OC、BC的中点，(1)求EC的长；(2)求CDE∠的度数．【答案】(1)(843)cm-【考点三矩形的性质与判定综合问题】例题：（2023上·辽宁丹东·九年级统考期中）如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 在边BC 的延长线上，且CE BC =，AE AB =，AE ，DC 相交于点O ，连接DE ．(1)求证：四边形ACED 是矩形；(2)若120AOD ∠=︒，4AC =，求AE 的长．【答案】(1)证明详见解析(2)8【变式训练】Y的对角线相交于点O，且1．（2023上·陕西咸阳·九年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，ABCD∠=∠．COD OBC2(1)求证：四边形ABCD是矩形；是ABC 外角CAM ∠的平分线，CE AN ⊥，垂足为点E ．(1)求证：四边形ADCE 为矩形；(2)若65BD DF ==，，求AD 的长．【答案】(1)见解析(2)8【分析】（1）证明90ADC DAE AEC ∠=∠=∠=︒，根据矩形的判定即可得到结论；（2）根据矩形的性质和勾股定理即可求出AD 的长．此题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键．【详解】（1）证明：∵AB AC =，AD 是BAC ∠的平分线，∴,AD BC BAD CAD ⊥∠=∠，∴90ADC ∠=︒，∵AN 是ABC 外角CAM ∠的平分线，∴MAN CAN ∠=∠．∴=90DAE ∠︒，∵CE AN ⊥，∴90AEC ∠=︒．∴90ADC DAE AEC ∠=∠=∠=︒，∴四边形ADCE 为矩形；（2）解：∵四边形ADCE 为矩形，∴AE CD AC DE ==，，∵BD CD =，∴6AE BD ==，【考点四利用菱形的性质求角度】【答案】70︒/70度【分析】本题考查菱形性质，利用三角形内角和即可求得本题答案．【变式训练】【答案】20︒/20度【分析】本题考查菱形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，关键是熟练掌握直角三角形斜边∠中线性质．先根据菱形的性质得到CBD四边形ABCD是菱形，ABC∠=，∴∠=︒，OA OCBCD100∴∠=∠=︒，PA=50ACB ACD∴∠=∠=︒，PAC PCA20【考点五利用菱形的性质求线段长】【答案】513 13【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理；根据菱形的性质得出AO=得AE，在Rt ABE△中，勾股定理即可求解．【变式训练】【答案】2.5【分析】本题考查了菱形的性质以及中位线的性质，解题的关键是求出菱形的边长．【详解】解：四边形ABCD【答案】6或63或6【分析】由题意知AP =90BP A ∠=︒，由勾股定理得，当16AP =时，16BP=；∵菱形ABCD 中，=60B ∠︒，∴ABC 是等边三角形，∵2162AP AC ==，【考点六菱形的性质与判定综合问题】(1)求证：四边形ABEF是菱形；AB=，求AE的长．(2)若8BF=，5【答案】(1)见解析(2)AE的长为6【变式训练】(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若5AB=，2BD=，求在（2）的条件下，1OD =∵2DM =，∴22OM DM OM =-=(1)求证：四边形AFCE 是菱形．(2)若8AC =，6EF =，求BF 【答案】(1)见解析(2)75BF =【考点七利用正方形的性质求角度】【答案】22.5︒/22【分析】本题考查了正方形的性质，根据四边形=，即可求出据BP OB【详解】解：四边形90BOC ∴∠=︒，45OBC ∠=︒，BP OB = ，BOP BPO ∴∠=∠，(18045)267.5BOP BPO ∴∠=∠=︒-︒÷=︒，9067.522.5COP ∴∠=︒-︒=︒．故答案为：22.5︒．【变式训练】【答案】70【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质．证明ABE CBE △△≌，得到AEB BEC ∠=∠，利用三角形的内角和定理和平角的定义，进行求解即可．掌握正方形的性质，是解题关键．【详解】解：∵正方形ABCD ，∴45,ABE CBE AB BC ∠=∠=︒=，∵BE BE =，∴ABE CBE △△≌，∴AEB BEC ∠=∠，∵25BCF ∠=︒，∴1804525110AEB BEC ∠=∠=︒-︒-︒=︒，∴180********AEB AED ∠∠=︒--︒==︒︒，故答案为：70．【考点八利用正方形的性质求线段长】【答案】22【分析】本题主要考查正方形的性质以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据正方形的性质得到2AB BC ==，再由勾股定理得到答案．【变式训练】【答案】352【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理求得12x =，进而表示出【详解】解：如图所示，连接∵AE 的垂直平分线分别交∴AG EG=设BG x =，则4CG =-∵E 是CD 的中点，则CE ∴(2224GE CG CE =+=∵2AP =，边长为6，即∴4PB =∵点Q 为BC 的中点，∴3CQ BQ ==，，过点P 作PE BC ⊥于E ，，∴6PE AB ==，BE AP =∵3BQ =，2AP =，∴1QE =，∴221637PQ =+=，【考点九正方形的性质与判定综合问题】例题：（2023上·山西吕梁·九年级统考期末）综合与实践【问题情境】如图1，正方形ABCD 中，点E 为其内一点，以点E 为直角顶点，以AB 为斜边构造直角三角形ABE ，使得90AEB ∠=︒，将Rt ABE △绕点B 按顺时针方向旋转90︒，得到△CBE '（点A 的对应点为C ），延长AE 交CE '于点F ，连接DE ．DA DE =，∴12AQ QE AE ==．四边形ABCD 是正方形，∴90DAB ∠=︒，DA AB =，∴90BAE DAQ ︒∠+∠=．90ADQ DAQ ∠+∠=︒，∴BAE ADQ ∠=∠，90DQA AEB ︒∠=∠=，∴(AAS)ADQ BAE △≌△，∴AQ BE =，DQ AE =，∴22DQ AE AQ BE ===．将Rt ABE 绕点B 沿顺时针方向旋转【变式训练】1．（2024上·内蒙古鄂尔多斯·九年级统考期末）如图1，正方形ABCD 的边长为5，点E 为正方形CD 边上一动点，过点B 作BP AE ⊥于点P ，将APB △绕点A 逆时针旋转90︒得AP D '△，延长BP 交P D '于点F ，连(1)判断四边形的AP FP '的形状，并说明理由；(2)若1DF =，求AP 的长度；(3)在（2）的条件下，求CPB APBS S ∆∆．【答案】(1)四边形AP FP '是正方形(2)3AP =∵90APB CGB ABC ∠=∠=∠=︒，∴ABP CBG BCG CBG ∠+∠=∠+∠=∴ABP BCG ∠=∠，在ABP 和BCG 中，APB BGC ∠=∠⎧⎪(1)如图1，当点E在线段AC上时．①求证：矩形DEFG是正方形；=-；②求证：CG AC CE(2)如图2，当点E在线段AC的延长线上时，正方形ABCD的边长为【答案】(1)①证明见解析，②证明见解析；(2)34GE=．∵EF DE ⊥，45PEC ∠=︒∴90DEF ∠=︒，∴45PED FEC ∠∠+=︒，∵45QEF FEC ∠+∠=︒，∴QEF PED ∠=∠，∵EP EQ =，90EQF EPD ∠=∠=︒∴()ASA EQF EPD ≌，∴EF ED =，∵四边形DEFG 矩形，EF ED =，∴四边形DEFG 是正方形；②证明：∵四边形DEFG 是正方形，∴DE DG =，90EDG ∠=︒∵90ADE EDC ∠+∠=︒，90CDG EDC ∠+∠=︒，∴ADE CDG ∠=∠，∵AD DC =，DE DG=∴()SAS ADE CDG ≌，∴AE CG =，∵AE AC CE =-，∴CG AC CE =-；（2）同（1）理，四边形DEFG 是正方形，∴,90DE DG EDG =∠=︒，∵90ADE EDC ∠=︒+∠，90CDG EDC ∠=︒+∠∴ADE CDG ∠=∠，∵,AD DC DE DG ==，∴()SAS ADE CDG ≌，）∴AE CG =，45DCG DAC ∠=∠=︒，∴90ACG ∠=︒，【过关检测】一、单选题1．（2024上·广东清远·九年级统考期末）菱形的面积为212cm ，一条对角线长是4cm ，那么菱形的另一条对A．22.5︒【答案】A【分析】本题主要考查的正方形的性质，等腰三角形的性质，根据正方形的性质得出腰三角形的性质得出【详解】解：∵四边形A．322B．32【答案】C【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键．首先根据三角形中位线定理得到ACA．5B【答案】B【分析】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质；连接四边形ABCD是矩形，对角线A．四边形BFDE是平行四边形B．若四边形ABCDC．若四边形ABCD∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA OC OB OD ==，，∵E 、F 是对角线AC 上的两点（不与点A 、C 重合），AE CF =，∴OE OF =，∵OB OD =，∴四边形BFDE 是平行四边形，故A 不符合题意；当四边形ABCD 是菱形时，BD AC ⊥，∴EF BD ⊥，又∵四边形BFDE 是平行四边形，∴四边形BFDE 是菱形，故B 不符合题意；当四边形ABCD 是正方形时，BD AC ⊥，∴EF BD ⊥，又∵四边形BFDE 是平行四边形，∴四边形BFDE 是菱形，故C 不符合题意；当四边形ABCD 是矩形时，AC BD =，∵E 、F 是对角线AC 上的两点（不与点A 、C 重合），∴EF BD ≠，∴四边形BFDE 不是矩形，故D 符合题意，故选：D ．二、填空题=（答案不唯一）【答案】AC BD【分析】本题主要考查了矩形的判定．根据矩形的判定定理，即可求解．=，理由：【详解】解：添加AC BD【答案】67.5︒【分析】本题主要考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键；根据正方形的性质得到线段相等和【答案】20︒/20度【分析】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．由菱形的性质得OB OD=，CD【答案】51 2 +【分析】在ABC中，AB∵,36AB AC A =∠=︒，∴(11802ABC ACB ==∠∠∴723636BCD ∠=︒-︒=︒，∴1807236BDC ∠=︒-︒-∴BDC B ∠=∠，∵四边形ABCD 为菱形，∴1362BAC BAD ==︒∠∠∴在等腰ABC 中底角为36【答案】1.5或3【分析】本题考查了矩形与翻折问题，∠=︒，画出对应的图形即可求解．EPC90∠=【详解】解：若PEC∠=∠=∠∵AEP B PEC、、三点共线∴A E C==由题意得：BC AD==，则CP设EP BP x∴2C E A C A E =-=∴()22242x x -=+，解得： 1.5x =∴ 1.5BP =若90EPC∠=︒，如图所示：则四边形ABPE 是矩形，由翻折可知：BP EP =，∴四边形ABPE 是正方形∴3BP AB ==综上所述： 1.5BP =或3BP =故答案为：1.5或3．三、解答题11．（2023上·新疆喀什·九年级校联考期中）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，AE BC ⊥交CB 延长线于E ，CF AE ∥交AD 延长线于点F ．(1)求证：四边形AECF 是矩形；(2)连接OE ，若5AD =，3BE =，求线段OE 的长．【答案】(1)见解析∵四边形ABCD 为菱形，∴5AB BC AD ＝＝＝，又∵四边形AECF 为矩形，OA OC OE =＝，(1)求证：OE OF=；CF=，求OC(2)若12CE=，5(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形【答案】(1)证明见解析【点睛】本题考查矩形的判定，平行四边形的判定，直角三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，根据已知得出题关键．13．（2023上·河南驻马店·九年级驻马店市第二初级中学校考阶段练习）如图在(1)求证：四边形ADCF 是平行四边形(2)若6,10AB BC ==．①当AC =______时，四边形ADCF ②若四边形ADCF 是菱形，则DG勾股定理，是一道较为综合的几何题，熟练掌握各知识点并应用是解题的关键．14．（2023上·山东枣庄·九年级校考阶段练习）如图，在ABC 中，D 是BC 边上的一点，点E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF BD =，连接BF ．(1)求证：BD CD =；(2)当ABC 满足什么条件时四边形AFBD 为矩形?证明你的结论；(3)若ABC 为直角三角形，且90BAC ∠=︒时，判断四边形AFBD 的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)当AB AC =时，四边形AFBD 为矩形，见解析(3)四边形AFBD 为菱形，见解析【分析】（1）证明AEF DEC △≌△可得AF DC =，再根据条件AF BD =可利用等量代换可得BD CD =；（2）首先判定四边形AFBD 为平行四边形，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AD BC ⊥，进而可得四边形AFBD 为矩形；（3）利用直角三角形斜边中线的性质求得AD BD =，进而可得四边形AFBD 为菱形．【详解】（1）证明：∵AF BC ∥，AFE ECD ∴∠=∠．E 是AD 的中点，DE AE ∴=，在AEF △与DEC 中，AFE ECD AEF DEC AE ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(AAS)AEF DEC ∴△≌△，AF DC ∴=，AF BD = ，(1)求证：四边形AEDF 是菱形；(2)若5AE =，8AD =，求EF 的长；(3)ABC 满足什么条件时，四边形【答案】(1)见解析(2)6EF =四边形平行四边形(1)求证：矩形DEFG是正方形；(2)若2,2==，求CG的长度；AB CE(3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30︒时，直接写出【答案】(1)见解析（2）解：如图2中，在Rt ∵2,AB =∴222AC AB ==，2CE = ，AE CE ∴=，（3）解：①当DE 与AD 的夹角为则903060CDE ∠=︒-︒=︒，在四边形CDEF 中，由四边形内角和定理得：②当DE 与DC 的夹角为30︒90HCF DEF ∠=∠=︒ ，CHF ∠30EFC CDE ∴∠=∠=︒，综上所述，120EFC ∠=︒或30【点睛】本题考查正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．。

广东中考数学第22讲矩形、菱形

A.一组邻边相等的矩形是正方形
B.一组邻边相等的平行四边形是菱形
C.一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
D.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
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2.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点C作
CE⊥CA,交BD的延长线于点E,若AB＝2,BC＝4,则DE的长
为
2 5
3
.
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则四边形是矩形,故B符合题意;
C.对角线互相垂直的四边形不能判定是平行四边形,也就不
能判定是菱形,故C不符合题意;
D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形,不能判断它的内角
有直角,故D不符合题意;
故选:B.
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2.(2021·徐州)如图,四边形ABCD与AEGF均为矩形,点E、F分
别在线段AB、AD上.若BE＝FD＝2 cm,矩形AEGF的周长为
∴∠BAO＝∠AOB＝60°,OA＝OB,
∵四边形ABCD是平行四边形,
1
1
∴OB＝OD＝2BD,OA＝OC＝2AC,∴BD＝AC,
∴▱ABCD是矩形;
(2)解:∵▱ABCD是矩形,∴∠BAD＝90°,
∵∠ABO＝60°,
∴∠ADB＝90°－60°＝30°,
∴AD＝ 3AB＝4 3.
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考点演练
1.下列说法中的错误的是( C )
④面积＝长×宽.
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(3)矩形的判定
①有一个角是直角的平行四边形是矩形;
②对角线相等的平行四边形是矩形;
③有三个角是直角的四边形是矩形.
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1.(1)如图,在矩形ABCD中,AE⊥BD
于E,∠DAE＝3∠EAB,则∠EAC的度
数为 45° .

中考数学黄金知识点整理矩形菱形正方形.doc

中考数学黄金知识点整理矩形菱形正方形中考数学黄金知识点整理矩形菱形正方形
矩形菱形正方形
聚焦考点☆温习理解
一、矩形
1、矩形的概念
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、矩形的性质
（1）具有平行四边形的一切性质
（2）矩形的四个角都是直角
（3）矩形的对角线相等
（4）矩形是轴对称图形
3、矩形的判定
（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
4、矩形的面积
S矩形=长×宽=ab
二、菱形
1、菱形的概念
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2、菱形的性质
（1）具有平行四边形的一切性质
（2）菱形的四条边相等
（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
（4）菱形是轴对称图形
3、菱形的判定
（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形
（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4、菱形的面积。

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矩形、菱形
知识考点
：理解并掌握矩形的判定与性质，并能利用所学知识解决有关问题。

精典例题：
【例1】如图，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，∠
DAE∶∠BAE＝3∶1，求∠EAC的度数。
分析：本题充分利用矩形对角线把矩形分成四个等腰三角形的基本图形进行求解。
解略，答案450。

【例2】如图，已知菱形ABCD的边长为3，延长AB到点E，使BE＝2AB，连结EC并延
长交AD的延长线于点F，求AF的长。
分析：本题利用菱形的性质，结合平行线分线段成比例的性质定理，可使问题得解。
解略，答案AF＝4.5。
【例3】如图，在矩形ABCD中，M是BC上的一动点，DE⊥AM，垂足为E，3AB＝2BC，

并且AB、BC的长是方程02)2(2kxkx的两根。
（1）求k的值；
（2）当点M离开点B多少时，△ADE的面积是△DEM面积的3倍？请说明理由。
分析：用韦达定理建立线段AB、AC与一元二次方程系数的关系，求出k。

略解：（1）由韦达定理可得AB＋BC＝2k，AB·BC＝k2，又由BC＝23AB可消去AB，

得出一个关于k的一元二次方程0123732kk，解得1k＝12，2k＝31，因AB＋BC＝
2k
＞0，∴k＞2，故2k＝31应舍去。

（2）当k＝12时，AB＋BC＝10，AB·BC＝k2＝24，由于AB＜BC，所以AB＝4，BC＝
6，由DEMAEDSS3可得AE＝3EM＝43AM。易证△AED∽△MBA得MBAE＝AMAD，设AE

＝a3，AM＝a4，则MB＝22a，而AB2＋BM2＝AM2，故2421644aa，解得2a＝2，
MB＝22a＝4。即当MB＝4时，DEMAEDSS3。
评注：本题将几何问题从“形”向“数”转化，这类综合题既有几何证明中的分析和推
理，又有代数式的灵活变换、计算，其解题过程层次较多，步骤较复杂，书写过程也要加强
训练。
探索与创新
：

【问题一】如图，四边形ABCD中，AB＝6，BC＝35，CD＝6，且∠ABC＝1350，

例1图
E
O
DCBA
例2图

E
D
C

BA
例3图

MDCB

A
∠BCD＝1200，你知道AD的长吗？
分析：这个四边形是一个不规则四边形，应将它补割为规则四边形才便于求解。
略解：作AE⊥CB的延长线于E，DF⊥BC的延长线于F，再作AG⊥DF于G
∵∠ABC＝1350，∴∠ABE＝450
∴△ABE是等腰直角三角形

又∵AB＝6，∴AE＝BE＝3
∵∠BCD＝1200，∴∠FCD＝600
∴△DCF是含300的直角三角形

∵CD＝6，CF＝3，DF＝33

∴EF＝3)35(3＝8
由作图知四边形AGFE是矩形
∴AG＝EF＝8，FG＝AE＝3

从而DG＝DF－FG＝32
在△ADG中，∠AGD＝900
∴AD＝22DGAG＝1264＝76＝192
【问题二】把矩形ABCD沿BD折叠至如上图所示的情形，请你猜想四边形ABDE是什
么图形，并证明你的猜想。
分析与结论：本题根据题设并结合图形猜想该四边形是等腰梯形，利用对称及全等三角
形的有关知识易证。
跟踪训练：
一、填空题：
1、若矩形的对称中心到两边的距离差为4，周长为56，则这个矩形的面积为。
2、已知菱形的锐角是600，边长是20cm，则较短的对角线长是 cm。

3、如图，矩形ABCD中，O是对角线的交点，若AE⊥BD于E，且OE∶OD＝1∶2，AE＝
3
cm，则DE＝ cm。
4、如图，P是矩形ABCD内一点，PA＝3，PD＝4，PC＝5，则PB＝。
5、如图，在菱形ABCD中，∠B＝∠EAF＝600，∠BAE＝200，则∠CEF＝。

二、选择题：
6、在矩形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、G、H，使EFGH为矩形，则这
样的矩形（）

第3题图
E
O
D
C
B

A
第4题图
?
5
4
3

CB
A

第5题图
F
E
D

C
B

问题一图
G
FEDCB
A

问题二图
E
D

C
B

A
A、仅能作一个 B、可以作四个
C、一般情况下不可作 D、可以作无穷多个
7、如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm，P点在AD边上以每秒1 cm的速度从A
向D运动，点Q在BC边上，以每秒4 cm的速度从C点出发，在CB间往返运动，二点同
时出发，待P点到达D点为止，在这段时间内，线段PQ有（）次平行于AB。
A、1 B、2 C、3 D、4

8、如图，已知矩形纸片ABCD中，AD＝9cm，AB＝3cm，将其折叠，使点D与点B重合，那
么折叠后DE的长和折痕EF的长分别是（）

A、4cm、10cm B、5cm、10cm

C、4cm、32cm D、5cm、32cm
9、给出下面四个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；
③有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形；④菱形的对角线的平方和等于边长
平方的4倍。其中正确的命题有（）
A、①② B、③④ C、③ D、①②③④
10、平行四边形四个内角的平分线，如果能围成一个四边形，那么这个四边形一定是（）
A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、等腰梯形
三、解答题：
11、如图，在矩形ABCD中，F是BC边上一点，AF的延长线交DC的延长线于点G，DE
⊥AG于E，且DE＝DC，根据上述条件，请在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论。

12、如图，在△ABC中，∠ACB＝900，CD是AB边上的高，∠BAC的平分线AE交CD于
F，EG⊥AB于G，求证：四边形GECF是菱形。
13、如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△
BCE、△ACF。请回答下列问题（不要求证明）：
（1）四边形ADEF是什么四边形？
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？

•
•
第7题图

P
D
C
B

第8题图
G
FEDC
B

第11题图
G
F
E
DCBA
第12题图
G
F

C
B

A
第13题图
F

C
B
A
（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？
跟踪训练参考答案
一、填空题：
1、180；2、20cm；3、3；4、23；5、200
提示：4题过点P作矩形任一边的垂线，利用勾股定理求解；5题连结AC，证△ABE≌
△ACF得AE＝AF，从而△AEF是等边三角形。
二、DDBBA
三、解答题：
11、可证△DEA≌△ABF
12、略证：AE平分∠BAC，且EG⊥AB，EC⊥AC，故EG＝EC，易得∠AEC＝∠CEF，∵CF
＝EC，EG＝CF，又因EG⊥AB，CD⊥AB，故EG∥CF。四边形GECF是平行四边形，又因EG＝
FG，故GECF是菱形。
13、（1）平行四边形；（2）∠BAC＝1500；（3）当∠BAC＝600时，以A、D、E、F为顶
点的四边形不存在。