新课标下初中几何教学中基本图形分析法的实践研究(终审稿)

新课标下初中几何教学中基本图形分析法的实

践研究

文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-

新课标下初中几何教学中基本图形分析法的实践研究【摘要】许多初中学生在学习几何时会感到困难，虽然理解、掌握了几何概念和定理，但还不能灵活解题，仍然要靠大量的重复操练巩固知识、掌握方法。本文探索如何引导学生先掌握能够反映概念、定理或者是在习题中经常出现的基本图形，在分析几何问题时，找出、分离适当的基本图形，若不能找到完整的基本图形，则根据部分基本图形，通过添辅助线构造完整的基本图形，进而应用这些基本图形的性质及相关数学原理解决问题。基本图形分析法重在探索解题思路的形成过程，对于帮助学生掌握几何原理，培养学生的思维能力，可达到举一反三、适负高质的效果。

【关键词】初中几何基本图形分析法实践研究

一、问题的提出

数学是培养人的思维能力的一门学科，学生在学习数学的时候，如果只会解决自己做过、老师讲过的问题，不能独立分析解决问题，那么思维能力是非常弱的。这样的学生势必会通过大量的重复操练来提高成绩，会有比较重的课业负担。

在进行几何教学时，经常会遇到学生很难形成分析推理能力，不会独立思考，遇到陌生的问题就束手无策。当学生不会做题时，问他在这几分钟进行了哪些思考？不少人总是回答：不知道怎样想，好像是在这几分钟内大脑没有进行任何活动一样。在进行练习或考试时，不少学生只会做那些见过、做过的面孔熟悉的题目。一遇到陌生的问题就不会进行思考，不会把问题转化。甚至经常有讲过、做过几遍的问题，在考试中还不能解答的情况。

尤其是不少女学生，能记住相关内容的文字表述，但不会分析具体的问题，看到问题不知道从何处着手思考。

这种现象在我们的教学中是长期存在的，怎样改变这一现状呢？笔者尝试在几何教学中系统地进行基本图形分析法的实践研究，以几何知识和与之相关联的基本图形为载体，培养学生的思维能力。

二、研究文献概述

对于几何问题的解决，上海市创造学会副会长，上海市杨浦区教育学院数学副教授徐方瞿老师于1978年首创并提出能揭示平面几何问题的分析方法规律性的基本图形分析法，解决了几何问题如何添加辅助线这一长期未能解决的难题，并应邀在京、津、沪等10多个省、市、自治区作基本图形分析法的学术报告，受到各地教学研究人员和数学教师一致的好评，并着有《怎样应用基本图形分析法添辅助线》一书，比较系统地讨论和叙述了平面几何中添辅助线的规律。但这些模式是基于老教材的结构，内容有些偏难、繁，不太适合新课标下的初中学生。⑴

在随后的一些教学研究杂志上，也零星出现过一些运用“基本图形分析法”、“基本图形分离法”、“补形法”等解决几何问题的辅助线问题的方法，但都局限于一些简单的解题技巧方面，没有形成结合教材的系统的分析几何问题的基本方法。

本研究试图在新课标的框架下，以初中浙教版数学教材为载体，结合教材中的基本知识，探索、概括出一些基本的几何图形，并以此为基础，以数学的基本思想方法为指引，进行分析解决几何问题，重点放在解题思路的产生过程上，即怎样想出解题方法的。

三、研究的理论基础

1.建构主义理论

建构主义和最近发展区理论是本实践研究的主要理论基础。皮亚杰认为认识是一种连续不断的建构，“所谓建构，指的是结构的发生和转换，只有把人的认知结构放到不断的建构过程中，动态地研究认知结构的发生和转换，才能解决认识论问题。”

鉴于数学的对象主要是抽象的形式化的思想材料，数学的活动也主要是思辨的思想活动，因此数学新知识的学习就是典型的建构学习的过程。数学建构主义学习的实质是：主

体通过对客体的思维构造，在心理上建构客体的意义。所谓“思维构造”是指主体在多方位地把新知识与多方面的各种因素建立联系的过程中，获得新知识意义。首先要与所设置的情境中的各种因素建立联系，其次要与所进行的活动中的因素及其变化建立联系，又要与相关的各种已有经验建立联系，还要与认知结构中有关知识建立联系。这种建立多方面联系的思维过程，构造起新知识与各方面因素间关系的网络构架，从而最终获得新知识的意义。在这个过程中，有外部的操作活动，也有内部的心理活动，还有内部和外部的交互活动。“建构”学习是以学习者为参照中心的自身思维构造的过程，是主动活动的过程，是积极创建的过程，最终所建构的意义固着于亲身经历的活动背景，溯于自己熟悉的生活经验，扎根于自己已有的认知结构。⑵

通过建构基本知识的基本图形和典型的基本图形，便于学生在自己熟悉的知识的基础上逐步地建构知识，通过分析法和综合法形成解决几何问题的能力，进而培养学生的的思维能力。

2.信息加工理论

从学习论的角度来看，信息加工论在以下几个方面给我们以启迪：不能仅仅考虑到刺激的特征，还要关注学习者已有的信息和认知图式；短时记忆加工信息的能量是有限的，如果一味要求学生在短时间内掌握大量的信息，不给他们留有加工或思考的时间，结果必然会象狗熊拣苞米一样，拣一个丢一个；“组块”理论，为了尽可能使学生在短时间内学习较多的知识，我们必须把知识组成有意义的块状；信息编码不仅有助于学生的理解，而且也有助于信息的贮存和提取。⑶在本研究中关注了教师引导学生建构知识，把基本只是组建成基本图形，即把知识组成系统的“块”，然后从新情形中把基本图形分离出来，强调了把复杂问题转化为简单的基本图形的问题，把陌生问题转化为熟知的基本图形的问题，都基本符合信息加工学习理论。

3. 图式理论

德国心理学家巴特利特认为, 图式是个体已有的知识结构。而知识结构是学习和实践在人心理, 特别是在思维过程中形成的知识体系, 这个知识结构对于个体认识事物发挥着重要作用。在认知过程中, 个体只有把新刺激与已有的相关知识联系起来才会理解它。随着现代认知心理学的发生和发展, 图式理论也不断得以丰富和完善, 并被广泛用于阅读、理解等心理过程的研究。现代认知心理学家鲁默哈特把图式称之为认知的建筑块料( 或“组块” ) , 他认为, 图式理论是一种关于人的知识的理论。所有的已有知识在头脑中经过整理内化形成一定的组织, 这种组织就是图式。图式不仅包含知识本身, 还包含有关这些知识如何被运用的信息, 即图式的启动。⑷引导学生一基本图形的形势理解记忆数学知识，就是在学生的头脑中构建种种图式，在分析问题的时候便于根据相关的联系把图式提取出来，有利于问题的解决。

四、研究的界说

“基本图形分析法”是指把能够反映一个或几个定理的几何图形，或经常使用的反映图形基本规律的几何图形作为基本图形。在分析几何问题时，根据条件和结论，找出适当的一个或若干个基本图形，若不能找到完整的基本图形，则尝试找到基本图形的一部分，再思考怎样把基本图形补全，构造成基本图形，进而应用这些基本图形的性质及基本数学知识，使问题得到解决的一种思考方法。

基本图形以教材上的基本概念、定理和常用的数学结论和基本规律为基础，具有高度的代表性、提炼性和浓缩性。过多的基本图形会加重学生的负担，使数学变成记忆性的知识，背离数学的思维本质。

五、研究的内容与措施

1．建立基本图形与几何知识的双向关联

在教学过程中把基本的定义定理以基本图形的形式反映出来，建立最基本的基本图形库，引导学生用几何语言表述相关的定义定理。想到几何知识就联想到与之相关的几何图

形，看到几何图形就想到相应的几何知识。改变那种把性质定理的文字表述与图形割裂开的学习方法。

建立基本图形与几何知识的双向关联，是分析解决问题的先决条件，没有这种基本的关联，训练思维能力就缺少了必要的载体。教师在平时的课堂教学中，就渗透这种理解、记忆几何知识的方法。

如三角形外角基本图（图1），学习三角形的一个外角等于和他不相邻的两个内角和的时候，想到三角形的外交相关的性质，就想到图1，看到图1的形状就想到∠1=∠A+∠B，再如三线八角基本图（图2），同位角基本图（图3），内错角基本图（图4）等，看到这种图形就能以这些图形为索引，联想到相关联的知识。

2．把

经常在习

题中出现

的基本形态作为基本图形。

尽管数学练习千变万化，但是绝大多数题目都能从中提炼出一些基本元素，在教学中帮助学生梳理、提炼这些基本图形，遇到问题时分离这些基本图形，基本图形残缺时，构造基本图形，这样可以以这些基本图形为载体，培养学生的空间想象能力，分析推理能力。

一种是简单的基本图形。例如，三角形全等的基本图形（如图5）；直角三角形斜边上中线等于斜边的一半的基本图形；三角形相似的基本图形，（如图5、6、7），还有弦切角定理、切线长定理基本图形等，这些都是比较简单的常见的全等、相似的基本形状，易于掌握和应用。

图5D

C

O

B

A

F

E

C

B

A

图6图7

A

B C

D

E _图1

_1

图2

_2

_1

图3

_2

_1

图4

A

B

另一种是比较复杂，经常在习题中考题中出现，也可以提炼为基本图形。例如：河边取水基本图（如图8），问题是：从A 处到小河m 取水拿到B 处，怎么选取水点才能使所走的总路程最近？这个利用轴对称的知识把问题转化为两点之间线段最短的问题，提炼出一个基本图形，在四边形中，圆的有关问题中，平面直角坐标系中都有很多的的应用。

再如梯形ABCD 中（如图9），有三对面积相等的三角形，S 2=S 4

， S 1+ S 2=S 4+S 1 S 2+S 3+S 4+S 3 ，还有同底的三角形的面积比等于底边之比 S 1： S 3=DO:BO ；还有相似三角形的面积比与线段比的关系 S 1: S 3=AO 2：CO 2等，把此图作为基本图形，可以很容易的解决一大类相关问题。

3．把反映重要数学规律的图形作为基本图形。

尽管几何部分有很多知识点，但是某块内容的有关练习都有很多共性之处，可以把其中最有共性、最本质的基本元素提炼出来作为基本图形，给解决问题带来便捷。

例如，圆中有关的线段计算问题，如图10，由半径、弦的一半、弦心距组成的“垂径三角形”是一个很重要的基本图形，很多圆的计算问题都可以转化为这个基本图形，在直角三角形中OAP 中求解。在半径、弦、弦心距（还有拱高）这4个量中只要知道2个量就可以求其余2个量。

再如：在锐角三角函数应用的有关计算中，很多问题都可以归结为图11的模型，图

AD 、CD 、AC 、BC 、AB 、BD 六条边中1条可求其余5(必须有一边），即可求出其余未知量，把问题转化为或构造出这个基本图，使问题迎刃而解。如图12中的问题就可以归结为这个基本图形解决。

S 2 ·A · P ·B ·A ′ 图8 m O D C B A 图9

S 1 S 3 S 4 C 图10

A B 1 D C 2 图

4．利用基本图形分析法分析几何问题的基本教学模式。

看到一个几何问题，采用分析法和综合法相结合的分析模式，在平时的教学中渗透、培养学生采用基本图形分析法分析问题的能力。

在分析问题时首先根据单个的条件和结论联想基本知识和基本图形，若解决问题有困难，再综合两个或多个条件，必要时需把结论进行转化，从图形中寻找基本图形。若不能找到，则看有没有某个基本图形的一部分，然后根据条件或者结论思考怎样添加辅助线能构造出基本图形。

当图形比较复杂、不能把注意力集中在图形的某个部分进行思考的时候，可以考虑把图形中对解决问题有用的一部分分离出来，在图形的旁边重新画出，以便更方便地进行思考分析。

分析几何问题的基本模式为：

例如：如图

是DE 的中点，CM 的延长线交AB

于点N ，求三角形DMN

分析：看到中位线联想到：中点、平行线、字相似图；由M 为中点想到：与三角形DMN 有关的“”字全等基本图形。但是图中没有这样的基本图形，由此想到添加水平地面 A B O E N D E F M (4(1D A B N E M

辅助线构造基本图形，过E作EF平行于AB交CN于F，就会分离出图（2），图中的面积比等于相似比的平方；图（3）中的同高的三角形的面积比等于底边的比；图（4）中的“8”字全等基本图形；由于图形比较复杂，所以从中把需要关注的基本图形从中分离出来，这样，设三角形DNM的面积为单位1，就可以求出四边形ANME的面积为5.

5．分析基本图形与数学思想方法相融合

分析问题应在基本的数学思想方法指导下进行。如无处不在的转化思想，数学建模思想，数形结合思想，分类讨论思想等。重要的是借助于基本图形，使解题思路产生在学生的最近发展区。解决一个问题有困难时可考虑把它转化为其它问题考虑，转化前、后都应考虑基本图形。

例如：八年级上册的一道课后作业：如图14，找出图中的

同位角、内错角、同旁内角。

可以根据分类讨论的思想，把图中的三线八角基本图形分离

图14

出来，分类时可以按照谁做第三条直线的线索进行。然后在每个

基本图形中找同位角、内错角、同旁内角就容易得多，而且能做到不重不漏。如下图，学生能很很容易的从每个图中找出同位角、内错角、同旁内角。

六、研究的成效

1．促进了教师的成长

以往学生遇到简单的问题会做，问他思路怎么来，学生说不上来；遇到难题总是不知道怎么想。教师讲解分析法与综合法时，讲课很容易出“味道”，但是中下程度学生掌握起来还是很困难。用基本图形分析法分析问题，可以引导学生在最近发展区内积极思考，课堂变得活跃起来，因为对于难的问题，学生虽然不能解决，但总能根据题目的已知条件进行相应的思维活动，尽管这种思维活动对解题不一定有大的作用，对学生总是一种锻炼。这样教师分析问题时不是总想着怎么“教”，而是从学生的角度想，怎么引导学生“学”，这是本人在研究中的最大收获。

教师积累了丰富的关于基本图形的经验，为几何复习课的教学积累了宝贵的素材。在以往的教学中，往往是做练习、讲练习，量大低效，现在上新课或者是复习课，教师可以根据基本知识选取相应的题组，引导学生练习，可以起到举一反三的作用。并且，教师有了一定的积累，备课也比较经济。

本人的《分析基本图形培养思维能力》在萧山区说题比赛中获二等奖。

2．学生学习几何的热情，尤其是女生的学习热情比以前高了。

在教学时引导学生结合图形理解记忆基本知识，学生只要根据图形用自己的语言把意思表达清楚就可以了，学生易于接受，容易落实。在参与课堂讨论的时候，某些学生虽然没有找到解决问题的办法，但总能说出自己的部分想法，想到了哪些基本图形、哪些基本知识，经常在讨论中使问题得到解决。学生也很少再为答不出问题而感到羞愧，增强了学生学习数学的信心，更愿意参与到课堂中来。调查显示所教两个班级中（95人）有82对数学很感兴趣了，其中有16人原来对数学不感兴趣，现在对数学兴趣很浓厚了。

3．学生以基本图形的形式建立几何知识索引的效果较好。

浙江省教研室的张锋老师的研究发现，学生看到陌生题目不会做的原因是他们按照题目在头脑中建立索引的，即看到题目首先想到的是这个题目有没有做过，而不是想如何根据已有的知识方法分析它。知识索引是指学生把基本的知识通过加工储存在头脑里，本研究是通过基本图形与基本知识相关联的形式进行储存，引导学生看到题目中的条件就想到相应的基本图形和知识点。利用这种方法分析问题时，即使不能找到解题方法，学生也进行了一定的数学活动，也会有所收益。

以基本图形的形式建立知识索引，是“块”状知识的索引，即信息加工理论中的“组块”，或者是图式理论中的“图式”，便于学生需要这些知识时从头脑中提取出来。

4．对一个选择题的检测显示，基本图形分析法，效果较好

在研究的最初，进行了几次检测，其中的一次就是测试下面的一个问题：

在如图15所示的四个图形中，∠1和∠2的是同位角的是（）

一个班级在测试前不强调基本图形分析法，即分离出两直线被第三直线所截的基本图形的方法；另一个班级重点教授基本图形分析法，即图形复杂时从中分离出基本图形来分

析问题。学习基本图形分析法的班级有31个人做对（共48人），而另一个班级只有18个人做对（共46人），特别是漏选了（

2）和误选了（3），选对（2）的同学都是画出了构成∠1和∠2的基本图形，或者是在头脑中构想了这个基恩图形，这说明用基本图形分析法很容易排除干扰，把注意力集中在需要的的地方。

5．学生思维的广度和深度得到了发展。

如图2，AB 、CD 相交于E ，AD=AE ，CB=CE ， F 、G 、H 分别是DE 、BE 、AC 的中点.请说明：HF=HG.

学生往往会想到等腰三角形“三线合一”基本 图形，等腰三角形基本图，三角形中位线定理基本

图，所有和条件有直接关系的基本知识和图形都能

想到，但还是解决不了问题，这就促使学生深入思考： 有没有与基本图形的性质派生出的结论和条件相结合形关联的基本图呢？数学基本知识扎实的学生就想到了直角三角形斜边上的中线基本图形，于是想到连结AE 、CG ，使问题得到了解决。

用基本图形分析法分析比较复杂的几何问题，可以锻炼的学生的思维广阔性和深刻性。解决问题后，学生的身心愉悦，有相当强的成功体验，成为学习数学的无穷动力。

七、反思

1．从平时的观测来看，基本图形分析法对于中下程度的学生掌握基本知识效果较好，学生不用死记硬背基本知识，只要联想到基本图形，看着图形说出大概意思，然后能进行简单的应用就行，但是对于他们分析较难的综合问题，有时效果不明显，毕竟，思维能力的培养，需要一个过程。

1

（11 1 1 2 2 2 2 （2

（3（4图15 H

A

B

C

D E F

G 图16

2．基本图形分析法对提高优秀学生的解题能力效果明显，且明显缩短了思考时间，减少了尝试--失败的次数，且很容易激发学生的学习兴趣，促使学生自主探究较难的问题。

3．计划在今后的复习课中系统的实施基本图形分析法，建立完备的基本图形库，引导学生进行适负高效的数学学习。

参考文献：

⑴徐方衢，《怎样应用基本图形分析法添辅助线》，宁夏人民出版社。

⑵张建伟陈琦，《什么是建构性的学习和教学》，中国教育和科研计算机网。

⑶施良方，《学习论》，人民教育出版社，1994年5月第一版，第291页。

⑷付茁，《试论图式理论与数学审题教学》，《教育与职业》2007年7月下，第21

期(总第553期)。