2018年江苏省南通市启东中学自主招生数学试卷(附答案)
精品解析：江苏省南通市启东中学2018-2019学年高一上学期期初数学试题(解析版)
启东中学2018级高一年级期初考试数学试题一､填空题1.因式分解:33a b -=_____________. 【答案】()()22a b a ab b-++【解析】 【分析】先利用配方法，再提公因式，即可得出.【详解】解：33322322a b a a b ab b a b ab -=-+-+-Q()()()22a a b b a b ab a b =-+-+-()()22a b a b ab =-++故答案为：()()22a b a ab b-++.【点睛】本题考查因式分解的过程.2.若1x y +-与3x y -+互为相反数，则()2018x y +=______________.【答案】1 【解析】 【分析】根据绝对值的性质转化为方程组进行求解即可． 【详解】解：若|1|x y +-与|3|x y -+互为相反数， 则|1||3|x y x y +-=--+， 即10x y +-=且30x y -+=， 得1x =-，2y =，则201820182018()(12)11x y +=-+==. 故答案为：1.【点睛】本题主要考查指数幂的求解，利用绝对值的性质转化为方程组是解决本题的关键．3.=_____________.【答案】3【解析】【分析】根据根式的化简和分母有理化即可得出答案.【详解】解：化简得：)22-+整理得：233=+.【点睛】本题考查二次根式的乘除法和利用分母有理化化简根式.4.因式分解:2253x x--=________________.【答案】()()213x x+-【解析】【分析】直接运用十字相乘法进行因式分解即可.【详解】解：利用十字相乘法得：2253x x--=()()213x x+-.故答案为：()()213x x+-.【点睛】本题考查运用十字相乘法进行因式分解.5.若1x和2x分别是一元二次方程22530x x+-=的两根，则1211+x x的是_____________. 【答案】53【解析】【分析】由韦达定理得1252x x +=-，1x 232x =-，12121211x x x x x x ++=进而求解．【详解】解：由韦达定理：1252x x +=-，1x 232x =-，12121251152332x x x x x x -++===-.故答案为：53.【点睛】本题考查韦达定理，两根只差与两根之和、两根之积的关系． 6.若01a <<，则不等式()10x a x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭的解是_____________. 【答案】1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系即可得出． 【详解】解：01a <<Q ，∴1a a<， ∴不等式1(0)()x a x a --<的解集是1}|{x a x a <<．故答案为：1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题考查熟练掌握一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系是解题的关键．7.解方程组3,38xy x xy y +=⎧⎨+=⎩的解为_____________. 【答案】12x y =⎧⎨=⎩或14x y =-⎧⎨=-⎩【解析】 【分析】根据题意，①⨯3-②求得31y x =-，代入3xy x +=，求出1x =或1x =-， 即可求出y .【详解】解：由题可知方程组338xy x xy y +=⎧⎨+=⎩①②，则①⨯3-②得：31x y -=， 即：31y x =-③，由③代入①得：()313x x x -+=，整理得：233x =， 解得：1x =或1x =-， 则当1x =时，2y =，所以方程组的解为：12x y =⎧⎨=⎩则当1x =-时，4y =-， 所以方程组的解为：12x y =⎧⎨=⎩.故答案为：12x y =⎧⎨=⎩或14x y =-⎧⎨=-⎩. 【点睛】本题考查利用代入法解方程组.8.已知集合{}0,1,2A =，则集合A 的真子集共有 个． 【答案】7 【解析】试题分析：集合含有3个元素，则子集个数为328=，真子集有7个 考点：集合的子集9.已知集合{}{}|21,,|05A x x k k Z B x x ==+∈=<<，则A B =I ________.【答案】{}1,3 【解析】 【分析】根据集合A 中元素的特征求出A B ⋂即可．【详解】因为集合A ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z}为奇数集，B ＝{x |0<x <5}， 所以A ∩B ＝{1,3}． 故答案为{1,3}．【点睛】本题考查集合中元素的特征和集合交集运算，考查分析问题的能力，属于基础题． 10.根据函数的图象，若1211x x -<<<，则()1f x 与()2f x 的大小关系是_____________.【答案】()()12f x f x < 【解析】 【分析】由图象可知函数在(),1-∞上的单调性，利用函数的单调性的定义，即可比较()1f x 与()2f x 大小. 【详解】解：由图象可知，()f x 在(),1-∞上单调递增，且1211x x -<<<， 结合单调性的定义得：()()12f x f x <. 故答案为：()()12f x f x <【点睛】本题考查利用函数的单调性比较大小.11.函数()y f x =与直线x a =的交点个数可能是_____________个. 【答案】0或1 【解析】 【分析】求图象的交点，即求联立函数方程的解的个数．根据函数的定义来判断解的个数．【详解】解：联立()x ay f x =⎧⎨=⎩，当x a =有定义时，把x a =代入函数()y f x =，根据函数的定义：定义域内每一个x 对应惟一的y ， 当x a =在定义域范围内时，有唯一解，当x a =无定义时，没有解．所以至多有一个交点． 故答案为：0或1.【点睛】本题考查对函数的定义的理解，得出结论：函数()y f x =的图象与直线x a =至多有一个交点．12.函数y =的定义域______. 【答案】112x x x ⎧⎫≤≠-⎨⎬⎩⎭且【解析】 【分析】利用偶次根式的被开方非负且分母不为0列式可解得答案.【详解】由y =有意义, 可得2102320x x x -≥⎧⎨--≠⎩ ,解得12x ≠-且1x ≤.所以函数2232y x x =--的定义域是112x x x ⎧⎫≤≠-⎨⎬⎩⎭且. 故答案为: 112x x x ⎧⎫≤≠-⎨⎬⎩⎭且.【点睛】本题考查了求具体函数的定义域,分母不为0容易漏掉,属于基础题. 13.已知()()32f x f x x+-=，则()f x =_____________. 【答案】3x【解析】 【分析】由题意，32()()f x f x x+-=为①式，以x -代替x ，得②式；由①②组成方程组，求出()f x 即可． 【详解】解：()()32f x f x x+-=Q ，①； 令x x =-，得32()()f x f x x-+=-，②；再由①2⨯-②，得： 93()f x x =， 3()f x x∴=．故答案为：3x. 【点睛】本题考查的知识点是函数解析式的求解方法--方程组法，熟练掌握方程组法求解析式的适用范围和步骤是解答的关键．14.函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，若()()2f a f ≤，则实数a 的取值范围是_______________【答案】][(),22,-∞-⋃+∞ 【解析】由()f x 是偶函数，得22f f =-（）（），若2f a f ≤（）（） ，有2f a f ≤-（）（）.()f x 在(],0-∞ 上是增函数，则()f x 在(]0,+∞上是减函数， 综上可得当(],0a ∈-∞时，由22f a f a （）（）≤-⇒<-；当(]0,a ∈+∞时，由22f a f a ≤⇒>（）（），所以a 的取值范围是][(),22,-∞-⋃+∞ 二､解答题15.若11a a --=，求下列各式的值:（1）22a a -+；（2）33a a --；（3）1a a -+；（4）3a -【答案】（1）3（2）4（3）4【解析】 【分析】利用有理数性质及运算法则直接求解． 【详解】解：（1）11a a --=Q ，1222()21a a a a --∴-=+-=， 223a a -∴+=．（2）33122()(1)1(31)4a a a a a a ----=-++=⨯+=． （3）1222()2325a a a a --+=++=+=，1a a -∴+=．（4）33122()(1)(32)a a a a a a ---+=++-=-=，即33a a -+=2）得：334a a --=，342a -∴=【点睛】本题考查指数式化简求值，考查根式与指数式互化公式、指数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想． 16.解下列不等式:（1）2210x x -++<；（2）2353x x +≤；（3）1032x x +>+【答案】（1）{1x x 或12x ⎫<-⎬⎭（2）∅（3）23x x ⎧-⎨⎩或}1x <- 【解析】 【分析】根据题意，（1）利用一元二次不等式解法即可求出解集；（2）根据一元二次方程根的判别式和二次函数图象即可判断求解不等式；（3）将分式不等式转化为解一元二次不等式，且分母不为0，即可求解集. 【详解】解：（1）由2210x x -++<得：()()2110x x +->， 解得：21x <-或1x >， 所以不等式的解集为：{1x x >或12x ⎫<-⎬⎭. （2）由2353x x +≤，得23503x x -+≤，令23503x x -+=，可知9435510∆=-⨯⨯=-<， 则2533y x x =+-对应抛物线开口向上， 所以23503x x -+≤的解集为：∅.（3）1032x x +>+等价于()()1320320x x x ⎧++>⎨+≠⎩，解得：1x <-或23x >-， 所以不等式解集为：{23x x >-或}1x <- 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和分式不等式的解法，考查计算能力和转化思想. 17.已知集合{}|03A x x =<<，{}|8B x a x a =<<+（1）若A B B ⋃=,求实数a 的取值范围； （2）若A B =∅I ,求实数a 的取值范围. 【答案】(1)[-5，0]; (2)(][),83,-∞-⋃+∞. 【解析】 【分析】（1）由A B B ⋃=，结合集合的运算与集合的关系可得A B ⊆， 列不等式组083a a ≤⎧⎨+≥⎩运算可得解.（2）由A B =∅I ,结合集合交集的运算可得：80a +≤或3a ≥，运算即可得解. 【详解】解：（1）由集合{}|03A x x =<<，{}|8B x a x a =<<+， 因为A B B ⋃=,所以A B ⊆, 则083a a ≤⎧⎨+≥⎩，解得50a -≤≤，即实数a 的取值范围为[]5,0-； （2）因为 A B =∅I , 又B ≠∅,可得80a +≤或3a ≥，即 8a ≤-或3a ≥， 故实数a 的取值范围(][),83,-∞-⋃+∞.【点睛】本题考查了集合的运算与集合的关系、重点考查了集合交集的运算，主要考查了运算能力，属基础题. 18.解下列各题:（1）已知函数()f x 的定义域是[]1,2，求函数()1f x +的定义域.（2）已知函数()1f x +的定义域是[]1,2，求函数()f x 的定义域.【答案】（1）[]0,1（2）[]2,3 【解析】 分析】（1）结合抽象函数的性质，利用原函数的定义域求解函数(1)f x +的定义域即可；（2）根据复合函数定义域之间的关系进行转化求解即可． 【详解】解：（1）由题意可得，对于函数(1)f x +， 应有：1[1x +∈，2]， 据此可得：[0x ∈，1]，即函数(1)y f x =+的定义域是[0，1]，（2）)1(f x +Q 的定义域是[1，2]，12x ∴剟，得213x +剟，即()f x 的定义域为[2，3]，【点睛】本题考查了函数定义域的求解，抽象函数的定义域等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，结合复合函数定义域之间的关系是解决本题的关键． 19.已知函数()32f x x=-试判断()f x 在()0,∞+内的单调性，并用定义证明. 【答案】单调增函数；证明见解析 【解析】 【分析】容易看出()f x 在(0,)+∞上单调递增，根据增函数的定义，设任意的120x x >>，然后作差，通分，从而得出1212123()()()x x f x f x x x --=，根据120x x >>说明12123()0x x x x ->即可得出()f x 在(0,)+∞上单调递增． 【详解】解：函数()f x 在(0,)+∞上单调递增， 证明：设120x x >>， 则：121221123()33()()x x f x f x x x x x --=-=， 120x x >>Q ，120x x ∴>，120x x ->， ∴12123()0x x x x ->， 12()()f x f x ∴>，()f x ∴在(0,)+∞上单调递增．【点睛】本题考查反比例函数的单调性，增函数的定义，根据增函数的定义证明一个函数是增函数的方法和过程．20.已知()f x 是定义在R 上的函数，对任意的,x y R ∈，都有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=⋅，且()00f ≠.（1）求证:()01f =（2）判断函数()f x 的奇偶性【答案】（1）证明见解析（2）()f x 为偶函数【解析】【分析】（1）令0x y ==，代入已知式，即可得证；（2）函数()f x 为偶函数，令0x =，结合(0)1f =即可得证．【详解】（1）令()()()200020x y f f f==⇒+=， ∴()()22020f f =，又()00f ≠，∴()01f =.（2）令0x =，则()()()()()202f y f y f f y f y +-==，∴()()-=f y f y ，即()()f x f x -=，又()f x 的定义域为R ，∴()f x 为偶函数.【点睛】本题考查抽象函数的求值及奇偶性判断，考查赋值法的运用．。
江苏省启东中学2018高考数学附加题专练习5 含答案 精品
1.设二次曲线22:4650C x y y +-+=以矩阵A=1 a -a 1⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示的变换对C 作变换得C '，当C '与x 轴相切时，求a 的值．【解析】设C '上的任一点为(,)x y ，与之对应的C 上点为(,)x y ''，则：1 a ,-a 1x x ay x x ay x y ax y y ax y y '''''++=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎧==∴⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'''''-+-+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩，即2211x ayx a ax y y a -⎧'=⎪⎪+⎨+⎪'=⎪+⎩∵(,)x y ''在曲线C 上，∴222224650111x ay ax y ax y a a a -++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+-⨯+= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭令0y =，得222224650(1)1a ax x a a +-+=++，由△=0，得a =2．在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos 3y x ，其中θ为参数.以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为63)3cos(2=+πθρ.求椭圆C 上的点到直线l 距离的最大值和最小值及对应点的坐标。
解：直线l 的普通方程为：0633=--y x ，设椭圆C 上的点到直线l 距离为d .263)4sin(62|63sin 3cos 3|+-=--=πθθθd ∴当1)4sin(=-πθ时，62max =d ，当1)4sin(-=-πθ时，6min =d .对应点的坐标为：3．（本小题10分）姚明率领火箭队打入了季后赛，次轮与湖人队争夺出线权，NBA 季后赛采用7场4胜制，即若某队先取胜4场则比赛结束.由于NBA 有特殊的政策和规则能进入季后赛次轮的球队实力都较强，因此可以认为，两个队在每一场比赛中取胜的概率相等.根据不完全统计，主办一场季后赛，组织者有望通过出售电视转播权、门票及零售商品、停车费、广告费等收入获取收益2000万美元. （Ⅰ）求两队所需比赛场数的分布列； （Ⅱ）组织者收益的数学期望.3．解：（Ⅰ）所需比赛场数ξ是随机变量，其取值为4，5，6，7，}{k =ξ表示获胜队在第k 场获胜后结束比赛（k =4,5,6,7），显然获胜队在前面k -1场中获胜3场，从而)(k p =ξ=131)21(--k k C , k =4,5,6,7，所以分布列为……………4′（Ⅱ）所需比赛场数的数学期望是)1693165(71666415814)(+⨯⨯⨯+⨯=x E ，组织者收益的数学期望为⨯16932000=11625万美元. ………………10′ 4．（本小题10分）2条直线将一个平面最多分成4部分，3条直线将一个平面最多分成7 部分， 4条直线将一个平面最多分成11部分，；4＝02C +1222C C +，7＝03C +1233C C +，11＝04C +1244C C +；.（Ⅰ）试猜想：n 条直线将一个平面最多分成多少个部分(1n >)?（Ⅱ）试猜想：n 个平面最多将空间分割成多少个部分(2n >)?并利用（Ⅰ）的结论证明（Ⅱ）的结论.4．解：（Ⅰ）猜想：n 条直线将一个平面最多分成012n n nC C C ++个部分(1n >)；……4′ （Ⅱ）猜想：n 个平面最多将空间分割成0123n n n nC C C C +++个部分(2n >). 证明：在这里，我们用数学归纳法：设n 个平面可将空间最多分成()f n 个部分，当n =３时,３个平面可将空间分成８个部分，012333338C C C C +++=，所以结论成立.假设当n =k 时，0123()k k k k f k C C C C =+++，则当n =1k +时，第1k +个平面必与前面的k 个平面产生k 条交线，而由（Ⅰ）知，这k 条交线把第1k +个平面最多分成012k k k C C C ++个部分，且每一部分将原有的空间分成两个部分，所以(1)f k +=012()k k k f k C C C +++0123012()()k k k k k k k C C C C C C C =++++++ 0101()k k k C C C +=++2132()()k k k k C C C C ++++ 01231111k k k k C C C C ++++=+++.因此，当n =1k +时，结论成立.由数学归纳法原理可知，对*N n ∈且2n >，结论得到了证明. ……………10′。
(完整版)江苏省南通市2018年中考数学试卷(Word版,含解析)
南通市2018年初中毕业、升学考试试卷数 学 注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项1. 本试卷共6页.满分150分.考试时间为120分钟。
考试结束后.请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前.请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡指定的位置。
3. 答案必须按要求填涂、书写在答题卡上.在草稿纸、试卷上答题一律无效。
一、选择题（本大题共10小题.每小题3分.共30分．在每小题所给出的的四个选项中.恰有一项是符合题目要求的）1．6的相反数是（ ）A ．—6B ．6C ．61-D ．61 2．计算32x x •结果是（ ）A ．52xB ．5xC ．6xD ．8x3．若代数式1-x 在实数范围内有意义.则x 的取值范围是（ ）A ．1<xB ．1≤xC ．1>xD ．1≥x4．2017年国内生产总值达到827000亿元.稳居世界第二．将数827000用科学记数法表示为（ ）A ．82.7×104B ．8.27×105C ．0.827×106D ．8.27×1065．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）A ．3.4.5B ．2.3.4C ．4.6.7D ．5.11.126．如图.数轴上的点A.B.O.C.D 分别表示数－2.—1.0.1.2.则表示数5-2的点P 应落在（ ）A ．线段AB 上 B ．线段BO 上C ．线段OC 上D ．线段CD 上7．若一个凸多边形形的内角和为720°.则这个多边形的边数为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．78．一个圆锥的主视图是边长为4cm 的正三角形.则这个圆锥的侧面积等于（ ）A ．16πcm 2B ．12πcm 2C ．8πcm 2D ．4πcm2 9．如图.Rt△ABC 中.∠ACB＝90°.CD 平分∠ACB 交AB 于点D.按下列步骤作图：步骤1：分别以点C 和点D 为圆心.大于21CD 的长为半径作弧.两弧相交于M.N 两点； 步骤2：作直线MN.分别交AC.BC 于点E.F ；步骤3：连接DE.DF ．若AC ＝4.BC ＝2.则线段DE 的长为（ ）A ．35B ．23C ．2D ．34 10．如图.矩形ABCD 中.E 是AB 的中点.将△BCE 沿CE 翻折.点B 落在点F 处.ta n∠DCE =34．设AB ＝x .△ABF 的面积为y .则y 与x 的函数图像大致为（ ）二、填空题（本大题共8小题.每小题3分.共24分．不需写出解答过程）11．计算3a 2b －a 2b ＝ ．12．某校学生来自甲、乙、丙三个地区.其人数比为2：7：3.绘制成如图所示的扇形统计图.则甲地区所在扇形的圆心角度数为 度．13．一个等腰三角形的两边长分别为4cm 和9cm.则它的周长为 cm ．14．如图.∠AOB＝40°.OP 平分∠AOB .点C 为射线OP 上一点.作CD⊥OA 于点D.在∠POB 的内部作CE∥OB .则∠DCE＝ 度．15．古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里．驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日.问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走240里.跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天.快马几天可追上慢马？若设快马x 天可追上慢马.则由题意.可列方程为 ．16．如图.在△ABC 中.AD.CD 分别平分∠BAC 和∠ACB .AE∥CD .CE∥AD．若从三个条件：①AB＝AC ；②AB＝BC ；③AC ＝BC 中.选择一个作为已知条件.则能使四边形ADCE 为菱形的是 （填序号）．17．若关于x 的一元二次方程0142212=+--m mx x 有两个相等的实数根.则)1(2)2(2---m m m 的值为 ．18．在平面直角坐标系xOy 中.已知A （2t.0）.B （0.一2t ）.C （2t.4t ）三点.其中t ＞0.函数x t y 2=的图像分别与线段BC.AC 交于点P.Q ．若S △PAB －S △P QB ＝t.则t 的值为 ．三、解答题（本大题共10小题.共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（本题满分10分）计算：（1）203231)3(64)2(-⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--； （2）aa a a a 396922-÷++-． 20．（本题满分8分）解方程13321++=+x x x x ． 21．（本题满分8分）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球.把他们分别标号为1.2.3．随机摸取一个小球然后放回.再随机摸出一个小球．用列表或画树状图的方法.求两次取出的小球标号相同的概率．22．（本题满分8分）如图.沿AC 方向开山修路．为了加快施工进度.要在小山的另一边同时施工．从AC 上的一点B 取∠ABD＝120°.BD ＝520m.∠D＝30・那么另一边开挖点E 离D 多远正好使A.C.E 三点在一直线上（3取1.732.结果取整数）？23．（本题满分9分）某商场服装部为了调动营业员的积极性.决定实行目标管理.根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励．为了确定一个适当的月销售目标.商场服装部统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万元）.数据如下：17 18 16 13 24 15 28 26 18 1922 17 16 19 32 30 16 14 15 2615 32 23 17 15 15 28 28 16 19对这30个数据按组距3进行分组.并整理、描述和分析如下．请根据以上信息解答下列问题：（1）填空：a ＝ .b ＝ .c ＝ ；（2）若将月销售额不低于25万元确定为销售目标.则有 位营业员获得奖励；（3）若想让一半左右的营业员都能达到销售目标.你认为月销售额定为多少合适？说明理由．24．（本题满分8分）如图.AB 为⊙O 的直径.C 为⊙O 上一点.AD 和过点C 的切线互相垂直.垂足为D.且交⊙O 于点E ．连接OC.BE.相交于点F ．（1）求证：EF ＝BF ；（2）若DC ＝4.DE ＝2.求直径AB 的长．25．（本题满分9分）小明购买A.B 两种商品.每次购买同一种商品的单价相同.具体信息如下表：根据以上信息解答下列问题（1）求A.B 两种商品的单价；（2）若第三次购买这两种商品共12件.且A 种商品的数量不少于B 种商品数量的2倍.请设计出最省钱的购买方案.并说明理由．26．（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中.已知抛物线k k x k x y 25)1(222-+--=（k 为常数）． （1）若抛物线经过点（1.2k ）.求k 的值；（2）若抛物线经过点（k 2.1y ）和点（2.2y ）.且1y ＞2y .求k 的取值范围；（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线.当21≤≤x 时.新抛物线对应的函数有最小值23-.求k 的值． 27．（本题满分13分）如图.正方形ABCD 中.AB ＝52.O 是BC 边的中点.点E 是正方形内一动点.OE ＝2.连接DE.将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF.连接AE.CF ．（1）求证：AE ＝CF ；（2）若A.E.O 三点共线.连接OF.求线段OF 的长；（3）求线段OF 长的最小值．28．（本题满分13分）【定义】如图1.A.B 为直线l 同侧的两点.过点A 作直线l 的对称点A ＇.连接A ＇B 交直线l 于点P.连接AP.则称点P 为点A.B 关于直线l 的“等角点”．【运用】如图2.在平面直坐标系xOy 中.已知A （2.3）.B （－2.－3）两点．（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,4C .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,4D .⎪⎭⎫ ⎝⎛21,4E 三点中.点 是点A.B 关于直线4=x 的等角点；（2）若直线l 垂直于x 轴.点P （m.n ）是点A.B 关于直线l 的等角点.其中m ＞2.∠APB＝a.求证：22tan n a =； （3）若点P 是点A.B 关于直线)0(≠+=a b ax y 的等角点.且点P 位于直线AB 的右下方.当∠APB＝60°时.求b 的取值范围（直接写出结果）．南通市2018年初中毕业、升学考试试卷数学参考答案及解析1．A 解析：本题考査了相反数的概念．6的相反数是－6.故选A ．2．B 解析：本题考査了积的乘方和同底数幂的乘法．53232x x x x ==•+.故选B ．3．D 解析：本题考査了二次根式有意义的条件．根据题意.得01≥-x .解得1≥x .故选D ．4．B 解析：本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为na 10⨯的形式.其中101<≤a .n 为整数．将827000用科学记数法表示为51027.8⨯．故选B ．5．A 解析：本题考查了直角三角形与勾股定理．A 选项：32＋42＝52.正确；B 选项：22＋32≠42.错误；C 选项：42＋62≠72.错误；D 选项：52＋112≠122.错误.故选A ． 6．B 解析：本题考查了实数大小的比较和利用数轴表示数．2－3＜2－5＜2－2.即一1＜2－5＜0.所以点P 应落在线段BO 上．故选B ．7．C 解析：本题考査了多边形内角和的概念．由（n －2）×180°＝720°.得n ＝6．故选C ．8．C 解析：本题考査了圆锥侧面积的计算．由题意.圆锥底面圆半径为2cm.母线长为4cm.圆锥侧面积＝rl π＝42⨯⨯π＝8πcm 2.故选C ．9．D 解析：本题考査了角平分线.垂直平分线.平行线分线段成比例． ∵CD 平分∠ACB．∴∠ECD＝∠DCF＝45°.∵MN 垂直平分CD.∴CE＝DE.∴∠ECD＝∠EDC＝45°.∴∠CED＝90.又∵∠ACB＝90°.∴DE∥CB .∴△AED∽△ACB .CB ED AC AE =. 设ED ＝x .则EC ＝x .AE ＝x -4.∴244x x =-.解得34=x ．故选D ． 10．D 解析：本题考查了三角函数.相似三角形.三角形面积计算和二次函数图像等知识． ∵四边形ABCD 是矩形.∴CD∥AB .∠ABC＝90°.∵CD∥AB .∴∠CEB＝∠DCE．∴tan∠CEB＝tan∠DCE＝34＝BE CB .∵AB ＝x. ∴BE＝x 21.∴BC＝x 32． 在Rt △C BE 中.CE ＝22BC BE +＝x 65．由翻折知EF ＝EB.B F⊥CE. ∴∠EFB＝∠EBF．∵E 是AB 中点.∴AE＝BE.又∵EF＝EB.∴AE＝EF.∴∠EAF＝∠EFA .∴∠AFB＝∠E FA+∠EFB＝90°.∠FAB＋∠F BA ＝90°.又∵BF ⊥CE.∴∠CEB＋∠FBA＝90°.∴∠FAB＝∠CEB .∴△AFB ∽△EBC .25365622=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆CE AB S S EBC AFB ．261322121x x x S EBC =••=∆. ∴AFB S ∆的面积y 的图像是二次函数0>x 部分.5=x 时.6=y ．故选D ．11．2a 2b 解析：本题考查整式的运算.3a 2b 一a 2b ＝2a 2b.故答案为2a 2b ．12．60 解析：本题考查了扇形统计图的相关知识.求甲地区的圆心角度数.只需求出甲所占的百分比.再乘以360°即可.所以甲所对应的圆心角度数为︒=︒⨯6036061.故答案为60．13．22 解析：本题考査了等腰三角形的性质．根据两边之和大于第三边.所以该等腰三角形的第三边只能是9.所以周长为4＋9＋9＝22cm.故答案为22．14．130 解析：本题考查了相交线与平行线的相关知识.以及角平分线的性质.垂线和三角形内角和、外角和相关知识.由于CE 与OB 平行.所以∠PCE＝20°.根据外角和定理可得∠DCP ＝110°.所以∠DCE＝130°.故答案为130．15．240x ＝150（x ＋12） 解析：本题考查了一元一次方程的实际应用.根据题意可得.由于快马和慢马走的路程一样.根据这一等量关系可列方程为240x ＝150（x ＋12）.故答 案为：240x ＝150（x ＋12）．16．② 解析：本题考查了菱形的判定定理.根据②AB＝BC.可以推出△ABC 是等腰三角形.由角平分线可推出AD ＝DC.再结合四边形ADCE 是平行四边形可证其是菱形．故答案为②．17．27 解析：本题考查了一元二次方程根的判别式以及整式的混合运算——化简求值．由题意得△＝b 2－4ac ＝0.即()()01421422=+-⨯⨯--m m .整理得：2122=+m m ． 原式＝()424222442222++-=+--=+-+-=m m m m m m m m .将2122=+m m 代入.即原式＝27421=+-.故答案为27． 18．4 解析：本题考查了待定系数法求一次函数解析式、反比例函数的图像及其性质以及三角形的面积公式．如图.设BC 交x 轴于点D.BQ 交x 轴于点G.过P 作PE⊥y 轴于点E.并延长EP 交AC 于点H.过点Q 作QD⊥y 轴于点D ．由B （0.-2t ）.C （2t.4t ）.易得BC 的解析式为y ＝3x-2t ．令y ＝0.得x ＝t 32.即F 的坐标为（t 32.0）．与x t y 2= 联列.可得3x －2t ＝x t 2.解得x ＝t.t x 31-=（舍）.∴P 点坐标为（t.t ）． 由A （2t.0）.C （2t.4t ）.易得Q 点的横坐标为2t.代入x t y 2=中.即t t t y 2122==.∴Q 点坐标为（2t.t 21）．由B （0.－2t ）.Q （2t.t 21）. 易得BQ 的解析式为t x y 245-=．令y ＝0.得得x ＝t 58.即G 的的坐标为（t 58.0）． 由图可知.()[]2223222121t t t t t BE AF S PAB =--⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=•=∆． ()()2222474721422142158222121242121212121t t t t t t t t t t t t t t PH CQ AG BD AG BD OA AC S S S S CPQ ABQ ACB PQB =--=-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⨯-⨯⨯=•-•-•-•=--=∆∆∆∆ ∵t S S PQB PAB =-∆∆.∴t t t =-22472.解得：t 1=4.t 2=0（舍去）．∴t=4． 19．（1）本题主要考查了实数的运算．在计算时.需对零指数幂、乘方、立方根、负指数幂分别进行计算.然后根据实数的运算法则.求得计算结果；（2）本题主要考查分式的化简.分别用平方差公式和完全平方公式.除法化为乘法.化简分式．解：（1）原式＝4－4＋1－9＝一8．（2）原式()()()333332+=-•+-+a a a a a a a ． 20．本题考査了分式方程的解法.可以采用去分母的方法把分式方程转化为整式方程再求解． 解：去分母可得3x ＝2x ＋（3x ＋3）.化简可得2x ＝－3.解得23-=x ．经检验23-=x 是原方程的解．21．解析：本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果.列表法适合于两步完成的事件.树状图适合两步或两步以上完成的事件．要熟练掌握：概率＝事件所包含的可能结果数与全部可能结果总数的比.即：如果一个事件有n 种可能的情况.且它们们的可能性相同.其中事件A 出现了m 种结果.那么事件A 的概率()nm A P =． 解：画树状图如下：或列表如下：根据树状图或列表可知满足情况的有3种.∴P＝3193=． 22．解析：本题考查了解直角三角形的应用.三角函数的定义.利用三角函数解决实际问题．本题中若要使A 、C 、E 三点共线.则三角形BDE 是以∠E 为直角的三角形.利用三角函数即可解得DE 的长．解：∵∠ABD＝120°.∴∠CBD＝60°.∵∠CED＝90°.∴ED＝BD ・sin∠EBD＝520×23＝2603≈450m． 答：当开挖点E 离D450m 时正好使A.C.E 三点在同一直线上．23．解析：本题考査了对样本数据进行分析的相关知识.考查了频数分布表、平均数、众数和中位数的知识.根据数据整理成频数分布表.会求数据的平均数、众数、中位数．并利用中位数的意义解决实际问题．（1）根据数据可得到落在第四组、第六组的个数分别为3个、4个.所以a ＝3.b ＝4.再根据数据可得15出现了5次.出现次数最多.所以众数c ＝15；（2）从频数分布表中可以看出月销售额不低于25万元的营业员有8个.所以本小题答案为：8；（3）本题是考查中位数的知识.根据中位数可以让一半左右的营业员达到销售目标．解：（1）3.4.15；（2）8；（3）根据中位数为18可得.可把营业额定在18万元.就可以让一半左右的人达到销售目标．24．解析：本题考査了切线的性质和判定、矩形判定和性质、垂径定理、解直角三角形等知识．（1）根据切线的性质.易证四边形CDEF 是一个矩形.即可推出OC 与EB 相互垂直.再根据垂径定理即可证明结论；（2）由题意易得DC ＝EF ＝FB ＝4.CF ＝DE ＝2.设半径为r.则OF ＝r －2.在Rt△OBF 中.利用勾股定理即可得到半径的长.从而求出直径AB 的长．解：（1）由于CD 为圆的切线.可得OC⊥CD .∠OCD＝90°.又∵AD⊥CD .∴∠ADC＝90°.∵AB 是直径.∴∠AEB＝90°.可证四边形CDEF 是矩形.∴OC ⊥EB.EF ＝FB ．（2）由（1）得DC ＝EF ＝FB ＝4.CF ＝DE ＝2.设半径为r.则OF ＝r —2.在Rt△OBF 中.OF2＋FB 2＝OB 2.()22242r r =+-.解得得r ＝5.所以AB ＝10． 25．解析：本题考查了二元一次方程组的解法以及不等式的相关知识.解题的关键是掌握消元思想与解二元一次方程组的方法步骤．利用加减消元法解方程得出答案．（1）列二元一次方程组.用代入法或加减法解方程即可；（2）将题目转化为一元一次不等式.利用一元一次不等式解即可．解：（1）设A.B 两种商品的价格分别为x.y.由题意可得⎩⎨⎧=+=+,653,552y x y x 解得⎩⎨⎧==,15,20y x 所以A.B 两种商品的价格分别为20.15；（2）设购买的A 商品a 件.则B 商品为12－a 件.所花钱数为m ．由于a≥2（12－a ）.可得8≤a≤12.∵m ＝20a+15（12-a ）=5a+180.∴当a ＝8时所花钱数最少.即购买A 商品8件.B 商品4件．26．解析：本题考査了二次函数的代入点求值、二次函数的最值、二次函数与一元二次不等式、方程的关系以及函数平移的问题.是二次函数的综合题.要求熟练掌握二次函数的相关知识．（1）把（1.k 2）代入抛物线解析式中并求解即可；（2）将点分别代入抛物线解析式中.由y 1＞y 2列出关于k 的不等式.求解即可；（3）先求出新抛物线的解析式.然后分1≤k≤2.k ＞2以及k ＜1三种情况讨论.根据二次函数的顶点及增减性.分别确定三种情况下各自对应的最小值.然后列出方程并求出满足题意的k 值即可．解：（1）∵抛物线k k x k x y 25)1(222-+--=经过点（1.k 2）. ∴k k k k 25)1(21222-+--=.解得k ＝32． （2）∵抛物线k k x k x y 25)1(222-+--=经过（2k.y 1）、点（2.y 2）. ∴k k k k k k k y 23252)1(242221+=-+⨯--=. 8213252)1(222222+-=-+⨯--=k k k k k y . ∵21y y >.∴82132322+->+k k k k .解得k ＞1． （3）∵[]121)1(25)1(2222----=-+--=k k x k k x k x y . ∴将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线为[]121)(1211)1(22---=-----=k k x k k x y . 当k ＜1时.1≤x≤2对应的抛物线部分位于对称轴右侧.y 随x 的增大而增大.∴x＝1时.y 最小＝k k k k 25121)1(22-=---.∴23252-=-k k . 解得11=k .232=k .都不合题意.舍去； 当1≤k≤2时y 最小＝121--k .∴23121-=--k . 解得k ＝1；当k ＞2时.1≤x ≤2对应的抛物线部分位于对称轴左侧.y 随x 的增大而减小.∴x＝2时.y 最小＝329121)2(22+-=---k k k k .∴233292-=+-k k . 解得k 1＝3.k 2＝23（舍去）.综上可知k ＝1或3．27．解析：本题考查了正方形的性质、几何图形旋转的性质、利用三角形全等解决问题的相关知识．（1）根据旋转的性质.对应线段、对应角相等.可证明△ADE≌△CDF .即可得到AE ＝CF ．（2）先利用△AEKC∽△AOB .求得AK.EK 长.再利用△AEK≌△CFG .求得FG.CG 长.即可求得OF 的长；（3）本题考査了利用三角形全等转化的思想解决问题．解：（1）∵线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF.∴DE＝DF.∠EDF ＝90°.∴∠CDE+∠CDF ＝90°.在正方形ABCD 中.AD ＝CD.∠ADC＝90°．∴∠CDE+∠ADE ＝90°.∴∠ADE＝∠CDF .在△ADE 与△CDF 中.⎪⎩⎪⎨⎧===，，，DF DE CDF ∠ADE ∠CD AD∴△ADE≌△CDF .∴AE=CF（2）如图.过F 点作OC 的垂线.交OC 的延长线于G 点.过E 点作EK⊥AB 于点K. 若 A.E.O 三点共线.可得△AEK∽△AO B.∴BO EK AB AK AO AE ==. 已知AB ＝25.BO ＝5.∴AO＝5.AE ＝3.∴55253EK AK ==. AK ＝655.EK ＝553. ∵∠DAE＝∠DCF .∴∠EAK＝∠FCG .∵AE＝CF.∠AKE＝∠FGC＝90.∴△AEK≌△CFG .FG ＝553.CG ＝655. 在Rt△OGF 中.由勾股定理得OF ＝26．（3）如图.由于OE ＝2.所以E 点可以看作是在以O 为圆心.2为半径的半圆上运动. 延长BA 至P 点.使得AP ＝OC.连接PE.∵AE＝CF.∠PAE＝∠OCF .∴△PAE≌△OCF .PE ＝OF ．当PE 最小时.为O.E.P 三点共线.OP ＝22PB OB +＝22)53()5(+＝25.∴PE＝OP －OE ＝25－2.∴OF 最小值为25－2．28．解析：本题是一道开放性探究题.主要考查自主探究的能力.建立在直角坐标系的探究题目.里面涉及新的定义.利用了一次函数.三角函数的相关知识.要求我们把握定义.理解定义.严格按照定义解题．（1）根据“等角点”的定义找到A 关于x ＝4的对称点A ＇.连接A ＇B.求得与x ＝4的交点即可；（2）根据“等角点”的定义和三角函数的知识.再利用△APG∽△BPH .即可得到；（3）构造辅助圆⊙O 解题.当直线y＝ax ＋b 与⊙O 相交的另一个交点为Q 时.利用圆周角定理以及对称性可证明△ABQ 为等边三角形.从而确定Q为定点．再过A.Q 分别作y 轴的垂线.构造相似三角形（Rt△AMO∽Rt△ONQ）.利用相似三角形对应边成比例即可求出Q 的坐标.再利用待定系数法求出BQ 和AQ 的解析式.由此即可确定b 的取值范围．解：（1）C ；（2）如图.过点A 作直线l 的对称点A ＇.连接A ＇B.交直线l 于点P.作BH⊥l 于点H ． ∵点A 和点A ＇关于直线l 对称.∴∠APG＝∠A＇PG ．∵∠BPH＝∠A＇PG.∴∠APG＝∠BPH．∵∠AGP＝∠BHP＝90°.∴△AGP∽△BHP． ∴HP GP BH AG =.即3322+-=+-n n m m ． ∴32=mn .即n m 32=． ∵∠APB＝α.AP ＝A ＇P.∴∠A＝∠A＇＝2α． 在Rt △AGP 中.22323232tan n nn m n AG PG =--=--==α． （3）如图.当点P 位于直线AB 的右下方.∠APB＝60°时.点P 在以AB 为弦.所对的圆周角为60°.且圆心在AB 下方的圆上．若直线)0(≠+=a b ax y 与圆相交.设圆与直线)0(≠+=a b ax y 的另一个交点为Q ．由对称性可知：∠APQ＝∠A＇PQ.又∠APB＝60°.∴∠APQ＝∠A＇PQ ＝60°．∴∠ABQ＝∠APQ＝60°.∠AQB＝∠APB＝60°．∴∠BAQ＝60°＝∠AQB＝∠ABQ．∴△ABQ 是等边三角形．∵线段AB 为定线段.∴点Q 为定点．若直线)0(≠+=a b ax y 与圆相切.易得点P 与Q 重合．∴直线)0(≠+=a b ax y 经过定点Q ．连接OQ.过点A.Q 分别作AM⊥y 轴.QN⊥y 轴.垂足分别为M.N ．∵A（2.3）.B （－2.－3）.∴OA＝OB ＝7．∵△ABQ 是等边三角形.∴∠A OQ ＝∠BOQ＝90°.OQ ＝3OB ＝21．∴∠AOM+∠NOQ＝90°.又∵∠AOM＋∠MAO＝90°.∠NOQ＝∠MAO．又∵∠AMO＝∠ONQ＝90°.∴△AMO∽△ONQ．∴OQ AO NQ MO ON AM ==．∴21732==NQ ON ． ∴ON＝23.NQ ＝3.∴Q（3.32-）．设直线BQ 的解析式为b kx y +=.将B 、Q 两点代入得⎪⎩⎪⎨⎧+=-+-=-,332,23b k b k 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.537,53b k ∴直线BQ 的解析式为53753--=x y ． 设直线AQ 的解析式为n mx y +=.将A 、Q 两点代入得⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=,332,23n m n m .解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.37,33n m ∴直线AQ 的解析式为3733+-=x y ．若点P 与B 点重合.则直线PQ 与直线BQ 重合.此时537-=b ；若点P 与点A 重合.则直线PQ 与直线AQ 重合.此时b ＝37；∵a≠0.∴b≠－32；又∵y＝ax ＋b （a≠0）.且点P 位于AB 的右下方.∴b＜－537且b≠－23或b>73．。
江苏省启东中学2018学年高一上学期第一次月考数学试题
江苏省启东中学2018~2018学年度创新班高一阶段考试数学试卷2018.9.20一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题．．纸．相应位置上．．．．．． 1．不等式223x x -<的解集为 ．2．在ABC ∆中，已知3AB =，2BC =，60B ︒∠=，则AC = ． 3．已知等比数列{}n a 的各项都是正数，且41016a a =，则8a = ．4．ABC ∆的三边长分别为a ，b ，c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC ∆的形状为 ．5．方程3sin 1cos 2x x =+在区间[]02π， 上的解集为 ．6．在数列{}n a 中，12a =，*11(N )n n a a n +=-∈，n S 为数列的前n 项和，则2015201620172S S S -+的值为 ．7．函数(cos sin )f x x x x x +-的最小正周期是 ．8．若x ，y 满足错误！未找到引用源。
2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，，，则2x y +的最大值为 ．9．已知正数a ，b 满足3ab a b =++，则a b +的最小值为 ．10．已知数列{}n a 是以3为公差的等差数列，n S 是其前n 项和，若10S 是数列{}n S 中的唯一最小项，则数列{}n a 的首项1a 的取值范围是 ．11．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若22a b -=，sin C B =，则角A = ．12．各项均为正数的等比数列{}n a 中，若1a ≥1，2a ≤2，3a ≥3，则4a 的取值范围是 ．13．已知函数27()1x ax a f x x +++=+，R a ∈，若对于任意的*N x ∈，()f x ≥4恒成立，则a的取值范围是 ．14．无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和．若对任意*N n ∈，{}23n S ∈， ，则k 的最大值为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题．．纸．指定区域．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，222a c b +=+．⑴求B ∠的大小；cos A C +的最大值． 16．（本小题满分14分） 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan )cos cos A BA B B A+=+．⑴证明：2a b c +=；⑵求cos C 的最小值．17．（本小题满分14分）对于实数π(0)2x ∈， ，2214()=9sin 9cos f x x x+． ⑴若()f x ≥t 恒成立，求t 的最大值M ；⑵在⑴的条件下，求不等式2|2|x x M +-+≥3的解集． 18．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+， {}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+．⑴求数列{}n b 的通项公式；⑵令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．19．（本小题满分16分） 请用多种方法证明不等式：（用一种方法得8分，两种方法得14分，三种方法得16分．）已知a ，(0)b ∈+∞，+20．（本小题满分16分）设A是由有限个正整数组成的集合，若存在两个集合B，C满足：①B C=∅；②B C A；③B的元素之和等于C的元素之和，则称集合A“可均分”．=⑴证明：集合{}A=， ， ， ， ， ， ，“可均分”；12345678⑵证明：集合{}， ， ，“可均分”；A=+++2015120152201593⑶求出所有的正整数k，使得{}， ， ，“可均分”．=+++A k20151201522015。
江苏省启东中学2018实验班自主招生数学试题及答案
江苏省启东一中2018年创新人才培养实验班自主招生考试数学试卷注意事项1.本试卷共 6 页，满分为150 分，考试时间为120 分钟。
2.答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效．一、选择题（本大题共6小题，每小题5分,共30分.在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.把x2y-2xy2+y3分解因式正确的是( )A.y(x2-2xy+y2)B.y(x-y)2C.y(x-2y)2D.y(x+y)22.已知a,b为一元二次方程x2+2x-9=0的两个根,那么a2+a-b的值为( )A.-7B.0C.7D.113.如图,在R△ABC中,∠C=900,AC=4,BC=3,O是△ABC的内心,以O为圆心,r为半径的圆与线段AB有交点，则r的取值范围是（）A.r≥1B.1≤r≤5C.1≤r≤10D.1≤r≤44.如图,等边△ABC中，AC=4,点D,E,F分别在三边AB，BC，AC上,且AF=1,FD⊥DE,且∠DFE=600,则AD长为( )A.0.5B.1C.1.5D.25.如图,△ABC中,AB=BC=4cm,∠ABC=1200,点P是射线AB上的一个动点,∠MPN=∠ACP,点Q是射线PM上的一个动点.则CQ长的最小值为( )A.3B.2C.23D.46.二次函数y=2x2-8x+m满足以下条件:当-2<x<-1时，它的图象位于x轴的下方;当6<x<7时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为( )A.8B.-10C.-42D.-24写在答题卡相应位置上）7.计算-82015×(-0.125)2016= ．8.市政府为了解决老百姓看病贵的问题,决定下调药品的价格.某种药品经过两次降价，由每盒72元调至56元．若每次平均降价的百分率为x ，由题意，可列方程为 ．9.在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别A(3，0)，B(8，0)，若点P 在y 轴上,且△PAB 是等腰三角形，则点P 的坐标为 ． 10.关于x 的方程0112=--+x ax 的解是正数，则a 的取值范围是 ． 11.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC 是边长为8的正方形，M(8，s)，N(t ，8)分别是边AB,BC 上的两个动点,且OM ⊥MN,当ON 最小时，s ＋t= ．12.如图,△ABC 在第一象限,其面积为5.点P 从点A 出发,沿△ABC 的边从A —B —C —A 运动一周,作点P 关于原点O 的对称点Q,再以PQ 为边作等边三角形PQM,点M 在第二象限,点M 随点P 的运动而运动,则点M 随点P 运动所形成的图形的面积为 ．三、解答题（本大题共6小题,共90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）13.(本小题满分15分)阅读下面材料，并解决问题．材料：如图1,在平面直角坐标系xOy 中,直线y 1=ax+b 与双曲线xky =2交于A （1,3）和B （-3,-1）两点.观察图象可知：①当x=-3或1时,y 1=y 2 ；②当-3<x<0或x>1时,y 1>y 2.即通过观察函数的图象，可以得到不等式ax+b>xk 的解集．问题：求不等式x 3+4x 2-x-4>0的解集．小聪同学通过以上的阅读材料，对上述问题进行了探究．下面是他的探究过程，请将（2）,（3）,（4）补充完整： （1）将不等式按条件进行转化 当x ＝0时,原不等式不成立；当x ＞0时,原不等式可以转化为:x 2+4x-1>x4; 当x ＜0时,原不等式可以转化为:x 2+4x-1<x4. （2）构造函数，画出图象:设y 3=x 2+4x -1,y 4=x 4,在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象．双曲线y 4=x4如图2所示，请在此坐标系中,画出抛物线y 3=x 2+4x-1.（不用列表）（3）确定两个函数图象:公共点的横坐标,观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知满足y 3=y 4 的所有x 的值为 ；（4）借助图象，写出解集:结合（1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知不等式x 3+4x 2-x-4>0的解集为 ．14.(本小题满分12分)如图,“元旦”期间,学校在综合楼上从点A 到点B 悬挂了一条宣传条幅,小明和小芳所在的教学楼正好在综合楼的对面.小明在四楼D 点测得条幅端点A 的仰角为300,测得条幅端点B 的俯角为450;小芳在三楼C 点测得条幅端点A 的仰角为450,测得条幅端点B 的俯角为300.若楼层高度CD 为3米,请你根据小明和小芳测得的数据求出条幅AB 的长.（结果保留根号）15.（本小题满分14分）如图1，A ，B ，C ，D 四点都在⊙O 上，AC 平分∠BAD ，过点C 的切线与AB 的延长线交于点E ．（1）求证：CE ∥BD ；（2）如图2，若AB 为⊙O 的直径，AC=2BC ，BE=5，求⊙O 的半径．16.(本小题满分15分)惠民超市试销一种进价为每件60元的服装,规定试销期间销售单价不低于进价,且获利不得高于40%.经试销发现,销售量y(件)与销售单价x(元)满足一次函数y=kx＋b,且当x=70时,y=50；x=80时,y=40．（1）求一次函数y=kx＋b的解析式；（2）设该超市获得的利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，超市可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该超市预期的利润不低于500元，试确定销售单价x的取值范围．17.（本小题满分16分）如图,已知抛物线y=-x2+2x+3的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．（2）点M在抛物线上,且△BMC的面积与△BCD的面积相等，求点M的坐标；（3）若点P在抛物线上，点Q在y轴上，以P，Q，B，D四个点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点P 的坐标．18.（本小题满分18分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形OACB的边OA，OB分别在x轴和y轴上，OA=8，OB=6．点P从点O开始沿OA边匀速移动，点M从点B开始沿BO边匀速移动，点P,点M同时出发，它们移动的速度均为每秒一个单位长度，设两个点运动的时间为t秒（0≤t≤6）．（1）连接矩形的对角线AB，当t为何值时，以P，O，M为顶点的三角形与△AOB相似；（2）在点P，点M运动过程中，线段PM的中点Q也随着运动，请求出CQ的最小值；（3）将POM沿PM所在直线翻折后得到△PDM，试判断D点能否在对角线AB上，如果能，求出此时t的值，如果不能，请说明理由．。
启东中学提前招生数学试卷及答案详解
江苏省启东中学九年级数学试卷姓名 考号一、选择题（本大题共10个小题；每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．函数3-=x y 中，自变量 x 的取值范围是( )（A ）x ＞3 （B ）x ≥3 （C ）x ＞-3 （D ）x ≥-32．在Rt ABC △中，若90C ∠=，1AC =，2BC =，则下列结论中正确的是（ ）(A)sin B =(B) 2cos 5B =(C)tan 2B =(D)1cot 2B =3．如图，已知ＤＥ∥ＢＣ，ＣＤ与ＢＥ相交于点Ｏ，并且Ｓ⊿ＤＯＥ：Ｓ⊿ＣＯＢ＝４：９， 则ＡＥ：ＡＣ＝（ ） （Ａ）４：９ （Ｂ）２：３ （Ｃ）３：２ （Ｄ）９：４4．如图：将一个矩形纸片ABCD ，沿着BE 折叠，使C 、D 点分别落在点11,C D 处.若150C BA ∠= ，则ABE ∠的度数为( )(A)15(B) 20(C) 25(D) 305．由6个大小相同的正方形搭成的几何体如图所示，则关于它的视图说法正确的是( ) （Ａ）正视图的面积最大 （Ｂ） 左视图的面积最大（Ｃ） 俯视图的面积最大 （Ｄ） 三个视图的面积最大6．方程2221x x x ++=的正数根．．．的个数为（ ） (A) ０ (B) １ (C) ２ (D) ３7．如图，正方形OABC ADEF ，的顶点A D C ，，在坐标轴上，点F 在AB 上，点B E ，在函数xy 4=（x ＞0）的图象上，则点E 的坐标是（ ） (Ａ)()15,15-+ (B)()53,53-+ (C)()15,15+- (D) ()53,53+-8．观察下列正方形的四个顶点所标的数字规律， 那么2009这个数标在( )ＡＢＣ Ｄ Ｅ Ｏx(A)第502个正方形的左下角 (B) 第502个正方形的右下角 (C) 第503个正方形的左下角 (D) 第503个正方形的右下角9． 用12根等长的火柴棒拼三角形（全部用上，不可折断、重叠），不可以拼成的是（ ） (A)等腰三角形 (B)等边三角形 (C)直角三角形 (D)不等边三角形10．100人共有2000元人民币，其中任意10人的钱数的和不超过380元。
江苏省启东中学2018高考数学附加题专练习2含答案
1．求出曲线221x y +=依次经过矩阵A = 2 00 1⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B =0 -11 0⎡⎤⎢⎥⎣⎦作用下变换得到的曲线方程. 【解析】由已知BA =0 -11 0⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 2 00 1⎡⎤⎢⎥⎣⎦=0 -12 0⎡⎤⎢⎥⎣⎦任取曲线221xy +=上一点0(,)P x y ,它在矩阵BA 对应的变换作用下变为(,)P x y '，则有00 -12 0x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦故02y xx y-=⎧⎨=⎩，∵P 在曲线221x y +=上，∴22001xy +=，因此2214y x +=，从而曲线221xy +=在矩阵BA 作用下变成椭圆2214y x +=。
2．过点P （－3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线1,()1x t tt y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数相交于A 、B 两点．求线段AB 的长． 解析：直线的参数方程为3,()12x s y s ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数， 曲线1,()1x t tt y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数可以化为224xy -=．将直线的参数方程代入上式,得2100s-+=．设A 、B 对应的参数分别为12s s ，,∴121210s ss s +==．AB 12s s=-3．在一次购物抽奖活动中，假设某10张劵中有一等奖劵1张，二等奖劵3张，其余6张没有奖，某顾客从此10张劵中任抽2张， 求：（1）该顾客中奖的概率;（2）设随机变量X 为顾客抽的中奖劵的张数，求出X 的概率分布及数学期望.【分析】（1)顾客中奖的情形即为至少抽到1张中奖卷，反面情况为抽不到中奖卷。
（2）先明确X 的取值，然后分别求出X 各个取值的概率，从而写出概率分布列。
【解析】（1）解法一：11246421023C C C P C +==; 解法二：26210213C P C =-=；（2)随机变量X 的取值为0，1,2；262101(0)3C P X C ===，11462108(1)15C C P X C ===,242102(2)15C P X C ===；所以X 的分布列为X 0 12P13 815 2151824()012315155E X ∴=⨯+⨯+⨯=. 4．已知抛物线2:4C yx =的焦点为F ，过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D.（Ⅰ）证明：点F 在直线BD 上；(Ⅱ)设89FA FB =，求BDK ∆的内切圆M 的方程 .。
2018届江苏省南通市启东中学高三上期初数学试卷答案解析与点睛(13页)
2018届江苏省南通市启东中学高三上期初数学试卷数学试题一、填空题1.已知集合223|}0{,A x x xx Z =<-∈﹣，集合{}|0B x x =>，则集合A B =I _____. 【答案】{}1,2 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式求出集合A ，再利用集合的交运算即可求解. 【详解】求解不等式2230x x --<可得：13x -<<， 结合题意可得：{}0,1,2A =， 利用交集的定义可得：{}1,2A B =I . 故答案为：{}1,2.【点睛】本题主要考查了集合的交运算，同时考查了一元二次不等式的解法，属于基础题. 2.从1,2,3,4,5共五个数字中,任取两个数字,取出数字之和为偶数的概率是_______ 【答案】25【解析】【详解】任取两个数字的可能为：25C 种，这个数为偶数的种数为：2232C C + ，结合古典概型公式可得，所求概率为：22322525C C p C +== . 3.函数()ln f x x x =-的单调递增区间为_______. 【答案】【解析】函数有意义，则：0x > ，且：()1'1f x x=- ，由()'0f x > 结合函数的定义域可得函数的单调递增区间为()0,1，故答案为()0,1.4.若函数R ，则m 的取值范围是 ；【答案】［0，4］ 【解析】当0m =时，显然函数有意义，当0m ≠，则210mx mx ++≥对一一一一恒成立，所以0{0m >∆≤，得04m <≤，综合得04m ≤≤点睛：本题在解题时尤其要注意对0m =时的这种情况的检验，然后根据二次函数大于等于零恒成立，只需开口向上0∆≤即可.5.若()22lg x xf x a -=+是奇函数，则实数a =_____________．【答案】110【解析】试题分析：依题意可得()0022lg 1lg 0f a a -=+=+=,1lg 1,10a a ∴=-∴=． 考点：奇函数．6.已知cos()63πθ-=，则25cos()sin ()66ππθθ+--=__________．【答案】23-- 【解析】由题意可知25ππcos θsin θ66⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=πcos θ6⎛⎫-- ⎪⎝⎭+2π cos θ6⎛⎫- ⎪⎝⎭-1=23，填23-． 7.若直线y kx =与函数2xy e =的图像内相切，则实数k 的值为__________． 【答案】2e 【解析】设切点为(x 0,y 0)，则002xy e =一 一y ′=(2e x )′=2e x ，∴切线斜率02x k e =一 又点(x 0,y 0)在直线上，代入方程得y 0=kx 0一 即00022x x ex e =⨯一解得x 0=1一 一k =2e .点睛：导数运算及切线的理解应注意的问题一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.8.已知()1122sin 22x x x xxf x +--++=+的最大值和最小值分别是M 和m ，则M m +=_____. 【答案】4 【解析】 【分析】首先将函数整理化简得sin ()222x x x f x -=++，设()sin 22x xxg x -=+，判断函数()g x 为奇函数，从而可得()g x 的最大值与最小值，且互为相反，进而可求出()f x 的最大值与最小值之和.【详解】()11222sin 22sin sin ()2222222x x x x x x x x x xx x x f x -+----++++===++++， 设()sin 22x xxg x -=+，则()()sin 22xxxg x g x --=-=-+， 即()g x 为奇函数， 可设()g x 最大值为t ，则最小值为t -，可得2M t =+，2m t =-+， 即有4M m +=. 故答案为：4.【点睛】本题考查了函数的奇偶性应用，考查了分析能力与计算能力，属于基础题.9.设实数1,1a b >>，则“a b <”是“ln ln a b a b ->-”成立的_________条件．（请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中之一填空） 【答案】充要 【解析】试题分析:设函数,因为,所以函数是上的单调递减的函数,故当时,,即,也即ln ln a b a b ->-,所以“a b <”是“ln ln a b a b ->-”的充分条件；反之,若ln ln a b a b ->-,即,则,而以函数是上的单调递减函数,故,即“a b <”是“ln ln a b a b ->-”的必要条件.故应填答案充要.考点：充分必要条件的判定．【易错点晴】充分必要条件是高中数学中的重要内容和解答数学问题的重要工具之一.本题设置的目的意在考查充分必要条件的判定和对数函数等有关知识的灵活运用.求解时先依据充分必要条件判定方法和定义构造函数,运用导数的知识得到函数是上的单调递减函数,然后分别推断条件其充分性和必要性,从而将问题进行等价转化,从而使得问题巧妙获解. 10.设函数f (x)在(0,＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则()1f '＝__________． 【答案】2 【解析】试题分析：令x t e =，()ln (0)f t t t t =+>，所以()ln ,(0)f x x x x =+>，1()1+f x x='，()12f '=，所以答案应填：2． 考点：导数的运算．11.已知O 是ABC ∆外接圆的圆心，若4560OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，则cosC =__________．【答案】4【解析】设ABC ∆的外接圆的半径为R ，因为4560OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，所以456OA OB OC +=-u u u r u u u r u u u r，则2222162540cos 36R R R AOB R ++∠=，即8cos 1AOB ∠=-，即28(2cos 1)1C -=-，解得cos 4C =. 12.二次函数()f x 满足()()33f x f x -=+，又()f x 是[]03，上的增函数，且()()0f a f ≥，那么实数a 的取值范围是____________一 【答案】[]06，【解析】二次函数()f x 满足()()33f x f x -=+得函数的对称轴为3，又()f x 是[]03，上的增函数，所以函数是开口向下得二次函数，因为()()0f a f ≥，又(0)(6)f f =，所以[0,6]a ∈一故答案为[]0,6.13.已知函数()xf x e =，将函数()f x 的图象向右平移3个单位后，再向上平移2个单位，得到函数()g x 的图象，函数6(1)2,5()42,5xe x x h x e x --+≤⎧=⎨+>⎩，若对任意的[3,]x λ∈一3λ>），都有()()h x g x ≥，则实数λ的最大值为__________． 【答案】9ln 22+ 【解析】由()xf x e =的图象向右平移3个单位后得到3x e -再向上平移2个单位，可得()32x eg x -+=当[]3,x λ∈（3λ>）时，()g x 为增函数， ()()32max g x g e λλ-∴==+函数()()612,542,5xe x x h x ex -⎧-+≤=⎨+>⎩当[]3,5x ∈时，()()12h x e x =-+是增函数，此时53λ≥> ()()322min h x h e ==+则3222e e λ-+≤+ 解得24ln λ≤+53λ≥>Q∴实数λ的最大值为24ln +当()5x ∈-∞，时，()642xh x e -=+是减函数，此时5λ<()2?42h x e ∴<<+则322e λ-+≤ 解得λ∈∅综上可得：实数λ的最大值为24ln +点睛：本题中根据()f x 平移后求解()g x ，从而得到了[]3,x λ∈（3λ>）时，()g x 为增函数，()g λ为最大值，()()612,542,5xe x x h x ex -⎧-+≤=⎨+>⎩，对于任意的[]3,5x ∈和5λ<进行讨论()h x 的最小值，根据()()min max h x g x ≥，即可求得实数λ的最大值．14.已知函数()()sin coscos 262x x f x A x πθ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭（其中A 为常数，(),0θπ∈-），若实数123,,x x x 满足：①123x x x <<；②312x x π-<；③()()()123f x f x f x ==，则θ的值为 . 【答案】23π- 【解析】试题分析：因为()()()13sin coscos sin sin 26223x x f x A x A x x ππθθ⎛⎫⎛⎫=+--=+-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当()1sin sin 023A x x πθ⎛⎫+-+≠ ⎪⎝⎭时，()y f x =的周期为2π，由123x x x <<及()()()123f x f x f x ==得312x x π-≥与312x x π-<矛盾，所以()1sin sin 023A x x πθ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，因为(),0θπ∈-，故23πθ=-考点：三角函数的图像和性质【名师点睛】本题考查三角函数的图像和性质，属中档题.解题的关键在于正确化简已知函数解析式，正确理解已知条件在解题中的作用，对学生思维有较高要求二、计算题15.已知命题[]2:2,4,220p x x x a ∀∈--≤恒成立，命题()2:1q f x x ax =-+在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数．若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围． 【答案】(][),14,-∞⋃+∞． 【解析】试题分析：根据函数恒成立问题，求出p 为真时的a 的范围，根据二次函数的性质求出q 为真时的a 的范围，从而判断出p 、q 一真一假时的a 的范围即可,最后求两范围的并集即可． 试题解析：若p 为真命题，则4a ≥，若q 为真命题，则1a ≤由题意知p 、q 一真一假，当p 真q 假时，4a ≥；当p 假q 真时，1a ≤， 所以a 的取值范围为(][),14,-∞⋃+∞． 考点：复合命题的真假．16.设事件A 表示“关于x 的一元二次方程220x ax b ++=有实根”，其中a ，b 为实常数.（Ⅰ）若a 为区间[0，5]上的整数值随机数，b 为区间[0，2]上的整数值随机数，求事件A 发生的概率；（Ⅱ）若a 为区间[0，5]上的均匀随机数，b 为区间[0，2]上的均匀随机数，求事件A 发生的概率.【答案】（Ⅰ）23;（Ⅱ）35. 【解析】 试题分析：(1)列出所有可能的事件，结合古典概型公式可得满足题意的概率值为23一 (2)利用题意画出概率空间，结合几何概型公式可得满足题意的概率值为35.试题解析：（Ⅰ）当a ∈{0，1，2，3，4，5}，b ∈{0，1，2}时，共可以产生6×3=18个一元二次方程. 若事件A 发生，则a 2－4b 2≥0，即|a |≥2|b |. 又a ≥0， b ≥0，所以a ≥2b .从而数对（a ，b ）的取值为（0，0），（1，0），（2，0），（2，1），（3，0），（3，1），（4，0），（4，1），（4，2），（5，0），（5，1），（5，2），共12组值.所以P （A ）=122183=. （Ⅱ）据题意，试验的全部结果所构成的区域为D={(a ，b)|0≤a ≤5，0≤b ≤2}，构成事件A 的区域为A={(a ，b)|0≤a ≤5，0≤b ≤2，a ≥2b }. 在平面直角坐标系中画出区域A 、D ，如图，其中区域D 为矩形，其面积S （D ）=5×2=10，区域A 为直角梯形，其面积S （A ）=15262+⨯=. 所以P （A ）=()()63105S A S D ==. 17.已知(cos ,sin )a αα=v，(cos ,sin )b ββ=v ，0βαπ<<<.（1）若a b -=vv a b ⊥v v ；（2）设(0,1)c =v ，若a b c +=v v v ，求,αβ的值.【答案】（1）证明略；（2）56πα=，6πβ=． 【解析】试题分析：（1）把a b -=r r 2222a a b b -⋅+=r r r r ，由于22221a b a b ====r r r r ，所以0a b ⋅=r r .从而证得a b ⊥rr；（2）由a b c +=rrr可得cos cos 0{sin sin 1αβαβ+=+=，由0βαπ<<<得0αβπ<-<，整理得1sin sin 2αβ==，结合范围即可求得,αβ的值. 试题解析：（1）证明：由题意得22a b -=r r ，即()22222a b a a b b -=-⋅+=rr r r r r ，又因22221a b a b ====r r r r所以222a b -⋅=r r ，即0a b ⋅=rr .故a b ⊥rr. （2）因()()cos cos ,sin sin 0,1a b αβαβ+=++=rr ，所以cos cos 0{sin sin 1αβαβ+=+= 由此得cos cos()απβ=-，由0βπ<<得0αβπ<-<，又0απ<<故απβ=-代入1sin sin 2αβ==，而αβ>，所以5,66ππαβ==. 考点：平面向量垂直关系的证明及已知三角函数值求角.18.已知函数()2()33xf x a a a =-+是指数函数． (1)求()f x 的表达式；(2)判断()()()F x f x f x =--的奇偶性，并加以证明 (3)解不等式：log (1)log (2)a a x x ->+．【答案】（1）()2x f x =（2）见证明；（3）1{|2}2x x -<<- 【解析】 【分析】(1)根据指数函数定义得到，2331a a -+=检验得到答案. (2) ()22x x F x -=-，判断(),()F x F x -关系得到答案. (3)利用函数的单调性得到答案.【详解】解：（1）∵函数()2()33xf x a a a =-+是指数函数，0a >且1a ≠， ∴2331a a -+=，可得2a =或1a =（舍去），∴()2x f x =； （2）由（1）得()22xxF x -=-， ∴()22xx F x --=-，∴()()F x F x -=-，∴()F x 是奇函数；（3）不等式：22log (1)log (2)x x ->+，以2为底单调递增， 即120x x ->+>， ∴122x -<<-，解集为1{|2}2x x -<<-． 【点睛】本题考查了函数的定义，函数的奇偶性，解不等式，意在考查学生的计算能力.19.如图，OA 是南北方向的一条公路，OB 是北偏东45︒方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C ．为方便游客光，拟过曲线C 上的某点分别修建与公路OA ，OB 垂直的两条道路PM ，PN ，且PM ，PN 的造价分别为5万元/百米，40万元/百米，建立如图所示的直角坐标系xOy ，则曲线符合函数9)y x x =+剟模型，设PM x =，修建两条道路PM ，PN 的总造价为()f x 万元，题中所涉及的长度单位均为百米． （1）求()f x 解析式；（2）当x 为多少时，总造价()f x 最低？并求出最低造价．【答案】（1）232()5()(19)f x x x x =+剟；（2）当4x =时，总造价最低，最低造价为30万元． 【解析】 【分析】（1）求出P 的坐标，直线OB 的方程，点P 到直线0x y -=的距离，即可求()f x 解析式； （2）利用导数的方法最低造价．【详解】解：（1）在如图所示的直角坐标系中，因为曲线C的方程为9)y x x =+剟， 所以点P坐标为(,x x ， 直线OB 的方程为0x y -=， 则点P 到直线0x y -=2|(||4x x x -=， 又PM 的造价为5万元/百米，PN 的造价为40万元/百米． 则两条道路总造价为22432()5405()(19)f x x x x x x =+=+g 剟． （2）因为22432()5405()(19)f x x x x x x=+=+g 剟， 所以333645(64)()5(1)x f x x x-'=-=， 令()0f x '=，得4x =，列表如下：所以当4x =时，函数()f x 有最小值，最小值为232(4)5(4)304f =+=． 答：（1）两条道路PM ，PN 总造价()f x 为232()5()(19)f x x x x=+剟； （2）当4x =时，总造价最低，最低造价为30万元．【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的运用，确定函数的解析式是关键．的20.已知0,1a a >≠，函数()()21,ln x f x a g x x x a =-=-+. （1）若1a >，证明：函数()()()h x f x g x =-在区间()0,∞+上是单调增函数；（2）求函数()()()h x f x g x =-在区间[]1,1-上的最大值；（3）若函数()F x 的图像过原点，且()F x 的导数()()F x g x '=，当103a e >时，函数()F x 过点(1,)A m 的切线至少有2条，求实数m 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）当1a >时,最大值为()11ln h a a-=+；当01a <<时,最大值为()11ln h a a-=+（3）43 【解析】【分析】（1）由题()()()21ln x h x f x g x a x x a =-=-+-,利用导函数求单调区间即可； （2）利用导数可以推导得到()h x 在区间[)1,0-上是减函数,在区间(]0,1上是增函数,则当11x -≤≤时,()h x 的最大值为()1h -和()1h 中的最大值,作差可得()()()1111ln ln 2ln h h a a a a a a a ⎛⎫--=--+=-- ⎪⎝⎭,设()12ln ,0G a a a a a =-->,再次利用导数推导()G a 的单调性,进而得到[]1,1-上的最大值；（3）由题可得()3211ln 32F x x x a =-+,设切点为3200011,ln 32B x x x a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,则B 处的切线方程为：()()3220000011ln ln 32y x x a x x a x x ⎛⎫--+=-+- ⎪⎝⎭,将(1,)A m 代入可得32000211ln ln 32m x a x x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭,则将原命题等价为关于0x 的方程至少有2个不同的解,设()32211ln ln 32x x a x x a ϕ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭,进而利用导函数判断()x ϕ的单调性,从而求解即可【详解】（1）证明：()()()21ln x h x f x g x a x x a =-=-+-,则()()1ln 2x h x a a x '=-+, 1,a >∴Q 当0x >时,10,ln 0x a a ->>,∴()0h x '>,即此时函数()h x 在区间()0,∞+上是单调增函数.（2）由（1）知,当1a >时,函数()h x 在区间()0,∞+上是单调增函数,当0x <时,10x a -<,则()1ln 0x a a -<,()0h x '∴<,则()h x 在区间(),0-∞上是单调减函数； 同理,当01a <<时,()h x 在区间()0,∞+上是单调增函数,在区间(),0-∞上是单调减函数；即当0a >,且1a ≠时,()h x 在区间[)1,0-上是减函数,在区间(]0,1上是增函数,则当11x -≤≤时,()h x 的最大值为()1h -和()1h 中的最大值，()()()1111ln ln 2ln h h a a a a a a a ⎛⎫--=--+=-- ⎪⎝⎭Q , ∴令()12ln ,0G a a a a a=-->, 则()22121110G a a a a ⎛⎫'=+-=-≥ ⎪⎝⎭, ∴()12ln G a a a a=--在()0,∞+上为增函数, ()1112ln10G =--=Q ,∴当1a >时,()0G a >,即()()11h h >-,此时最大值为()1ln h a a =-；当01a <<时,()0G a <,即()()11h h ->,此时最大值为()11ln h a a-=+. （3）Q ()()2g ln F x x x x a '==-+, ∴()3211ln 32F x x x a c =-++, Q ()F x 的图像过原点,()00F ∴=,即0c =,则()3211ln 32F x x x a =-+, 设切点为3200011,ln 32B x x x a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,则B 处的切线方程为：()()3220000011ln ln 32y x x a x x a x x ⎛⎫--+=-+- ⎪⎝⎭,将(1,)A m 代入得()()3220000011ln x ln 132m x x a x a x ⎛⎫--+=-+- ⎪⎝⎭, 即32000211ln ln 32m x a x x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭（※）, 则原命题等价为关于0x 的方程（※）至少有2个不同的解,设()32211ln ln 32x x a x x a ϕ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭, 则()()()()222ln ln 12ln x x a x a x x a ϕ'=-++=--,令()0x ϕ'=,12ln 1,2a x x ∴==, 103ln 5,123a a e >∴>>Q , 当(),1x ∈-∞和ln ,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭时,()0x ϕ'>,此时函数()x ϕ为增函数； 当ln 1,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0x ϕ'<,此时函数()x ϕ减函数, ∴()x ϕ的极大值为()211111ln ln ln 3223a a a ϕ=--+=-, ()x ϕ的极小值为322321111111ln ln ln 1ln ln ln ln 212422244a a a a a a a ϕ⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 设ln t a =,则103t >,则原命题等价为321111ln ln ln 24423a a m a ≤≤-+-,即32111124423t m t t ≤≤-+-对103t >恒成立, ∴由1123m t ≤-得43m ≤ 设()3211244s t t t =-+,则()2111118224s t t t t t ⎛⎫'=-+=-- ⎪⎝⎭, 令()0s t '=,则10t =,24t =,当10,43t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0s t '>；当()4t ,∈+∞时,()0s t '<, ,即()s t 在10,43⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在()4,+∞上单调递减, ()s t ∴的最大值为()443s =,∴43m ≥, 故43m =, 综上所述,当103a e >时,函数()F x 过点()1,A m 的切线至少有2条,此时实数m 的值为43【点睛】本题考查利用导函数证明函数的单调性,考查利用导函数求最值,考查导数的几何意义的应用,考查运算能力,考查分类讨论思想和转化思想.。