圆锥曲线中的最值、范围问题

圆锥曲线中的最值、范围问题

圆锥曲线中最值问题的两种类型和两种解法 (1)两种类型

① 涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；

② 求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些 问题. (2)两种解法

① 几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来 解决；

② 代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系， 则可先建立起目标函数，

再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解.

［典例］(2018武昌调研)已知椭圆的中心在坐标原点，

A(2,0), B(0,1)是它的两个顶点,

直线y = kx(k>0)与直线AB 相交于点D ，与椭圆相交于 E , F 两点.

(1) 若 ED — = 6I D F ，求 k 的值； (2) 求四边形AEBF 的面积的最大值. ［思路演示］

2

解：(1)由题设条件可得，椭圆的方程为

X + y 2= 1,直线AB 的方程为x + 2y — 2= 0. 4

设 D(x o , kx o ), E(X 1, kx 1), F(X 2, kx ?),其中 X 1

2

解得X 2=

—x1

=〒4F ?①

-- >

由 ED — = 6DF ，得 x 0— x 1= 6(x 2— x 0),

解得k = 2或k = 3.

2

由点D 在直线AB 上，得X o + 2kx 0-

2 =

x o =百.

2 1 + 2k 10 7 .1 + 4k 2' 化简，得

24k 2— 25k + 6= 0,

y = kx , 由 V y

2= 1

得(1 + 4k 2)x 2= 4,

X o = ^(6X 2+ X 1) = 5x 2 = _10_

7 ；1 +

⑵根据点到直线的距离公式和①式可知， 点E ,F 到AB 的距离分别为d 1= |X1+ 2kX1 2|

=2(1 + 2k + 寸 1 + 4k 2,

A /5(1 + 4 k 2 )'

|X 2+ 2kx 2— 2| 2 1 + 2k - 1 + 4k 2

d 2= ------ : ----- = J

2 -------- ，

\5

心(1 + 4k 2)

又 |AB|= 22 + 12= 5, ???四边形AEBF 的面积为 1 」1 厂 4(1 + 2k ) S = 2A B|(d1+ d2) = 2 ? 5 ? 51 + 40

2 2

解：(1)设椭圆的方程为 字+器=1(a >b >0). 依题意可知，2b =与^= 4,所以b = 2. 又 c = 1,故 a 2= b 2+ c 2= 5,

2

2

故椭圆C 的方程为:+y =1.

5 4

⑵由题意，圆P 的方程为x 2 + (y —1)2= t 2+1. 设 Q(x o , y o )，因为 PM 丄 QM ,

.5

4k 1

+ 1 + 4k 2 当且仅当

1 1

4k = k (k>0)，即k =1时，等号成立. 故四边形 AEBF 的面积的最大值为 2 2.

［解题师说

由于四边形 AEBF 中的四个顶点中,

A ,

B 为已知定点，E , F 为直线y = kx 与椭圆的 交点，其坐标一定与 k 有关，故四边形 AEBF 的面积可用直线 y = kx 的斜率k 表示，最后

通过变形，利用基本不等式求最值.

［应用体验］

1已知椭圆 C 的左、右焦点分别为

F i (- 1,0), F 2(1,0)，且

F 2 到直线 X - _ 3y - 9 = 0

的距离等于椭圆的短轴长.

(1) 求椭圆C 的方程；

(2) 若圆P 的圆心为P(0, t)(t >0)，且经过F i , F 2, Q 是椭圆

C 上的动点且在圆 P 夕卜, 过点Q 作圆P 的切线，切点为 M ，当QM |的最大值为

t 的值.

1 + 4k~ + 4k 1 + 4 k

2 = 2

=2(1+ 2k = 2 =_

1 + 4k 2=

2 =2

1

+ —

= 2羽，

2 4k

k

4

1+ ----- W 2 1 4k + .

k

，求

所以|QM|= |PQ|2-12- 1 = x0+ y o—t2—t2— 1

=p-揄+ 4t f+ 4+ 4代

1

若—4t W —2,即t>-,

当y°=—2时，|QM|取得最大值，

|QM |max = 4t+ 3= %2,解得t= 8<-(舍去).若—4t>—2，即O v t v2, 当y0=—4t 时，|QM |取

最大值，且|QM |max=寸4+ 4『=^J2，解得t^-42. 综上可知，当t=￥时，|QM|的最大值为冷2.

解决圆锥曲线中的取值范围问题的5种常用解法

(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

⑵利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的

(3) 利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

(4) 利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；

(5) 利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.

2 2

x y

［典例］(2018 ?肥质检)已知点F为椭圆E： / +器=1(a>b>0)的左焦点，且两焦点与短轴的一

个顶点构成一个等边三角形，直线x+ y=1与椭圆E有且仅有一个交点M.

4 2

(1)求椭圆E的方程；

⑵设直线x+ y= 1与y轴交于P,过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A, B,若开PM |2= |PA| |PB|,求实数入的取值范围.

［思路演示］

解：⑴由题意，得a = 2c, b= 3c,

2 2

则椭圆E的方程为4^2+总=1.

2 2

x_+v _—c 2

4 十 3 = C ， 由 x

+ 2— 1 4 2

???直线X + y — 1与椭圆E 有且仅有一个交点 M ,

4 2 ? △— 4— 4(4 — 3c 2) — 0,解得 c 2= 1,

2 2

?椭圆E 的方程为x- + y — 1.

4 3

???直线x + y = 1与y 轴交于P (O ,2),

4 2 2

5

?- |PM|2

=-

当直线I 与x 轴垂直时，

|PA| |PB|= (2 + .3) X (2 — 3) = 1, 2 4

??? 4PM |2= |PA| |PB|? X=.

5 当直线I 与x 轴不垂直时，

设直线 I 的方程为 y = kx + 2, A(X 1, y 1), B (X 2, y 2), y = kx + 2, 2 2 由 2 2

消去 y ，得(3 + 4k 2)x 2

+ 16kx + 4 = 0,

3x 2 + 4‘- 12= 0

r

4

2

则 X 1X 2= 2,且△= 48(4k — 1)>0 ,

3 + 4k ? |PA| |PB|=仆 + k2)x 1X 2= (1 + k 2) 1+ ^2=入

? 4

= -1+

缶,

v

k 2f ，? 4<

综上可知，实数 入的取值范围是 -,1 . ［解题师说］

在关系式4PM |2= |PA| |PB|中，P , M 为已知定点，而 A , B 两点是动直线I 与椭圆的 交点，故4与直线I 的斜率有关，应考虑建立 4关于k 的函数关系式求解.

得 x ? — 2x + 4 — 3c ?— 0.

(2)由(1)得 M 1,

3- 2

［应用体验］

2?已知椭圆E 的中心在原点，焦点 F i , F 2在y 轴上，离心率等于 乎,P 是椭圆E 上

直线l 的倾斜角的取值范围.

c =乎,b 2= a 2- c 2=-.

??? PF 2丄 F 1F 2.

???IPF 2= a.

a 2= 9,

解得b 2 =

2

??椭圆E 的方程为￡ + x 2= 1.

⑵?.?直线x =- 2与x 轴垂直，且由已知得直线i 与直线x =-号相交, ?直线I 不可能与x 轴垂直，

?设直线 I 的方程为 y = kx + m , M (X 1, y“，N (X 2, y 2), ,y = kx + m, q 2 2 2

由 2 2

得(k 2+ 9)x 2 + 2kmx + (m 2- 9)= 0.

9x + y = 9

???直线I 与椭圆E 交于两个不同的点 M , N , 二△= 4k 2m 2- 4(k 2+ 9)(m 2-9)>0 , 即 m 2- k 2- 9<0.

—2 km

则X 1+ x 2=丙亍.

???线段 MN 被直线2x + 1 = 0平分,

2

b 2 =屯， 由9b 4 终=1

a ，

-- > -- > T 9PF 1 PF 2 = 1,

-- 之 2 ??? 9|PF 2|2= 爷=1. 的点?以线段 PF 1为直径的圆经过 F 2,且

—> 9PF 1 —> PF 2 = 1.

(1)求椭圆 E 的方程;

(2)作直线 l 与椭圆E 交于两个不同的点

N.如果线段 MN 被直线2x + 1 = 0平分，求

解：(1)依题意，设椭圆

2

E 的方程为y

2 +

X 2

R= 1(a>b>0)，半焦距为 c.

???椭圆E 的离心率等于 2,2 3，

???以线段PF i 为直径的圆经过 F 2,

x i + X 2 口戸一2 km ??? 2X -^2- + 1 = 0,即齐9 + 3 4= 0.

2 2

j m — k — 9<0 , 2 由 I - 2km 得 lk+9)-(k 2 + 9)<0.

2「c + 1 = 0 I 2k 丿 k + 9 2

2

k + 9

T k + 9>0,.?.=^- 1<0 , 4k

-k 2>3，解得 k> 3或 k< - 3. ???直线I 的倾斜角的取值范围为

［升级增分训练］

⑴求椭圆的离心率;

⑵过点C （ - 1,0）的直线I 交椭圆于不同两点 A , B ，且N CC = 2?首，当△ AOB 的面积最 大时，求直线I 的方程.

解：（1）由题意知，c +b =3 c - 所以 b = c, a 2= 2b 2,

(2)设 A (X I , y i ), B (X 2, y 2), 直线AB 的方程为x = ky - 1(k z 0),

因为 AC = 2 CB ，所以(一1 — X i , — y i )= 2(x 2+ 1, y 2), 即 2y 2 + y 1 = 0.①

由(1)知，a 2= 2b 2，所以椭圆方程为 x 2+ 2y 2= 2b 2.

x = ky -1,

2

2

2

2

2

2 消去 x ，得(k 2

+ 2)y 2- 2ky + 1-2b 2= 0,

x + 2y = 2b 所以y 1+ y 2=命?② 由①②知，y2=-

命,y1=伞.

2 2

4 （2018

广东五校协作体诊断）若椭圆（+皆1（

a >b>0）的左、右焦点分别为F1, F

1 2,

线段F i F 2被抛物线y 2= 2bx 的焦点

所以e =c

-ar

因为 S A AOB = 2ly i 1+ 2“2|，

即k = ± 2时取等号，

此时直线l 的方程为x = 2y - 1或x =- 2y — 1, 即 x — 2y + 1 = 0 或 x +_ 2y + 1 = 0. 2.

2 2

x y

(2018惠州调研)如图，椭圆 C : a 2 + b 2= 1(a > b >0)的右顶点为 A(2,0)，左、右焦点分 别为F 1, F 2,过点A 且斜率为舟的直线与y 轴交于点P ,与椭圆交于另一个点 B ，且点B 在

x 轴上的射影恰好为点 F 1.

(1)求椭圆C 的标准方程；

1

⑵过点P 且斜率大于1的直线与椭圆交于 M ,N 两点(|PM| > |PN|),若S ^RAM : S ^RBN =人 求实数入的取值范围.

解：(1)因为BF 1丄x 轴，所以点B — C ,—号,

a = 2,

=2，解得 b = 3,

[c = 1,

2 2 所以椭圆C 的标准方程是x 4+

卷=1

.

所以 PM ―=—扌PN —>.

由(1)可知 P(0, — 1)，设直线 MN : y = kx — 1 k > 1 , M (X 1, y 1), N (X 2, y 2),

所以

S A AOB

=3皋=3

打

|k| 1 1

a

=b 2， 由 aa +

c

a 2 =

b 2+

c 2, (2)因为

PAM

S ^ PBN 1

?|PA| |PM| sin / APM

1

2|PB| |PN| sin / BPN

|PM| 入 品=厂2)，

，当且仅当|k|2= 2,