样本一元线性回归方程
1一元线性回归方程
i =1 n
i =1 n
2
Lxy = ∑( Xi − X ) (Yi −Y )
i=1
ˆ ˆ β0 = Y − β1 X ˆ Lxy β1 = Lxx
二、OLS回归直线的性质 回归直线的性质
ˆ （1）估计的回归直线 Yi ）
（2） ）
ˆ ˆ = β 0 + β 1X i
前三个条件称为G-M条件 条件 前三个条件称为
§1.2 一元线性回归模型的参数估计
普通最小二乘法（ Squares） 普通最小二乘法（Ordinary Least Squares） OLS回归直线的性质 OLS回归直线的性质 OLSE的性质 OLSE的性质
一、普通最小二乘法
对于所研究的问题， 对于所研究的问题，通常真实的回归直线 E(Yi|Xi) = β0 + β1Xi 是观 测不到的。可以通过收集样本来对真实的回归直线做出估计。 测不到的。可以通过收集样本来对真实的回归直线做出估计。
Y
55 80 100 120140 160
X
二、随机误差项εi的假定条件 随机误差项
为了估计总体回归模型中的参数，需对随机误差项作出如下假定： 为了估计总体回归模型中的参数，需对随机误差项作出如下假定： 假定1： 假定 ：零期望假定：E(εi) = 0。 。 假定2： 假定 ：同方差性假定：Var(εi) = σ 2。 假定3： 假定 ：无序列相关假定：Cov(εi, εj) = 0, (i ≠ j )。 。 假定4： 假定 ： εi 服从正态分布，即εi ∼ N (0, σ 2 )。 。
以下设 x 为自变量(普通变量 Y 为因变量(随机变 普通变量) 普通变量 随机变 量) .现给定 x 的 n 个值 x1,…, xn, 观察 Y 得到相应的 n 个 值 y1,…,yn, (xi ,yi) i=1,2,…, n 称为样本点 样本点. 样本点 以 (xi ,yi) 为坐标在平面直角坐标系中描点,所得到 的这张图便称之为散点图 散点图. 散点图
9.4一元线性回归方程检验：拟合优度
一元线性回归模型检验实例
解
X 表示广告费用，Y 表示牙膏销售量。
利用观察数据计算得到广告费用对牙膏销售量的样本回归方程为
计算得到 Yˆi 1.649 1.043Xi
n
R2 SSR SST
(Yˆi
i 1 n
(Yi
Y )2 Y )2
10.33 13.46
0.7673
i 1
2. 反映回归直线的拟合程度 3. 取值范围在 [ 0 , 1 ] 之间
4. R 2 1，说明回归方程拟合的越好；R 20，说明回归方程拟合的
越差
5. 判定系数等于相关系数的平方，即R 2＝r 2
回归估计标准差
均方误差
n
n
(Yi Yˆi )2
ei2
MSE i1
i1
n2
n
Se MSE
(Yi Yˆi )2
i 1
3.13 0.3344
n2
30 2
一元线性回归模型检验实例
解 判定系数的实际意义是：在牙膏销售量的波动中，有76.73%可以
由牙膏销售量与广告费用之间的线性关系来解释，或者说，在牙膏销 售量的波动中，有76.73%是由广告费用所决定的。
i
i
i
Yˆ Y i
Y Y i
Y ....
.
X
X
图 因变量Y 的离差分解
判定系数
Yi Y (Yˆi Y ) (Yi Yˆi ) 两侧分别取平方求和
n
n
(Yi Y )2 ((Yˆi Y ) (Yi Yˆi ))2
i 1i ຫໍສະໝຸດ 1由于nn
(Yˆi Y )(Yi Yˆ) (ˆ0 ˆ1Xi Y )ei
一元线性回归方程
北京市城市居民家庭生活抽样调查表1 14 12 10 8 6 4 2 0 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988
Y: 人 均 收 入
x:年份
北京市城市居民家庭生活抽样调查图表 2 10 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8
Y:人均食品支出
10 12 14 16 18
Fα (1,n-2),得否定域为F >Fα (1,n-2);
4.代入样本信息,F落入否定域则否定原假设, 线性关系显著;落入接受域则接受原假设, 线性关系不显著.
相关系数检验法: 相关系数检验法:
1.提出原假设:H0:b=0; lxy 2.选择统计量 R = lxxl yy 3.对给定的显著性水平α,查临界值rα (n-2), 得否定域为R >rα (n-2); 4.代入样本信息,R落入否定域则否定原假设,线性关 系显著;落入接受域则接受原假设,线性关系不显著.
第二节
一元线性回归方程
一 回归直线方程
两个变量之间的线性关系，其回归模型为： 两个变量之间的线性关系，其回归模型为：
yi = a + bxi + εi
ε 称为 y称为因变量，x称为自变量，
随机扰动，a,b称为待估计的回归参 数，下标i表示第i个观测值。
对于回归模型，我们假设：
εi ~ N( 0,σ ),i = 1,2,⋯,n E( εiε j ) = 0,i ≠ j
pt
qt
概率 0.25 0.50 0.25 0.25 0.50 0.25 … 0.25 0.50 0.25
qt = 11 − 4 pt+ εt
其中
这时， 这时，方程的形式为
εt
为随机变量. 为随机变量
一元线性回归方程的建立
第二节一元线性回归方程的建立一元线性回归分析是处理两个变量之间关系的最简单模型，它所研究的对象是两个变量之间的线性相关关系。
通过对这个模型的讨论，我们不仅可以掌握有关一元线性回归的知识，而且可以从中了解回归分析方法的基本思想、方法和应用。
一、问题的提出例2-1-1 为了研究氮含量对铁合金溶液初生奥氏体析出温度的影响，测定了不同氮含量时铁合金溶液初生奥氏体析出温度，得到表2-1-1给出的5组数据。
表2-1-1 氮含量与灰铸铁初生奥氏体析出温度测试数据如果把氮含量作为横坐标，把初生奥氏体析出温度作为纵坐标，将这些数据标在平面直角坐标上，则得图2-1-1，这个图称为散点图。
从图2-1-1可以看出，数据点基本落在一条直线附近。
这告诉我们，变量X与Y的关系大致可看作是线性关系，即它们之间的相互关系可以用线性关系来描述。
但是由于并非所有的数据点完全落在一条直线上，因此X与Y的关系并没有确切到可以唯一地由一个X值确定一个Y值的程度。
其它因素，诸如其它微量元素的含量以及测试误差等都会影响Y 的测试结果。
如果我们要研究X与Y的关系，可以作线性拟合（2-1-1）二、最小二乘法原理如果把用回归方程计算得到的i值(i=1,2,…n)称为回归值，那么实际测量值y i与回归值i之间存在着偏差，我们把这(i=1,2,3,…,n)。
这样，我们就可以用残差平种偏差称为残差，记为e i方和来度量测量值与回归直线的接近或偏差程度。
残差平方和定义为: (2-1-2) 所谓最小二乘法，就是选择a和b使Q(a,b)最小，即用最小二乘法得到的回归直线是在所有直线中与测量值残差平方和Q最小的一条。
由(2-1-2)式可知Q是关于a,b的二次函数，所以它的最小值总是存在的。
下面讨论的a和b的求法。
一元线性回归方程的应用
第四节一元线性回归方程的应用回归方程最主的应用就是用它进行估计或预测。
只要r2≠1，估计误差就不可避免。
因而在应用回归方程时，需要对估计的误差以及与之相联系的一些问题有所了解。
一、回归方程的建立与预测（或估计）对于一组X、Y的数据，我们可以建立回归方程，有了y对X的回归方程，也就找到了X与y之间变化的数量关系，对于任意一个X值都可估计出与之对应的y值。
一）回归方程的建立例下面是20名工作人员的智商和某一次技术考试成绩，根据这个结果求出考试成绩对智商的回归方程。
如果另有一名工作人员智商为120，则估计一下若让他也参加技术考试，将会得多少分？解：经检验两者具有线性关系计算得：X与Y的均值：107 71标准差：13.69 11.63 r=0.86代入公式则回归方程为：NO 智商X成绩Y估计Y'NO智商X成绩Y估计Y'1 89 55 57.86 11 84 53 54.212 97 74 63.7 12 121 82 81.223 126 87 84.87 13 97 58 63.74 87 60 56.4 14 101 60 66.625 119 71 79.76 15 92 67 60.056 101 54 66.62 16 110 80 73.197 130 90 87.79 17 128 85 86.338 115 73 76.84 18 111 73 73.929 108 67 71.73 19 99 71 65.1610 105 70 69.54 20 120 90 80.49二）回归方程的检验1．方差分析法SSR＝1997.48 SST=2705.14 SSE=707.66F=MSR/MSE=(SSR/dfR)/(SSE/dfE)= 1997.48 /(707.66/18)=50.81查表F(1,18)=8.28(0.01) 或 4.41(0.05) 结果显著2．回归系数法SX=13.69 SY=11.63 b=0.73 r=0.86三）用回归方程进行预测若X=120，代入回归方程得＝80.5就是说，这位工作人员虽没参加技术考试，但根据他的智商，估计其技术考试的分数应该为80.5。
一元线性回归
i
x )Yi
l xx
,
3
一元回归方程检验
⑴ F检验法：
当H0为真时，
SSE
SSE
2
2
~ 2 ( n 2),
2
~ (1);
且SSR与SSE相互独立；因此，当H0为真时，
SSR F ~ F (1, n 2), SSE ( n 2)
当F≥F1-α(1,n-2)时应该放弃原假设H0。
Y0的观测值y0的点预测是无偏的。
⑵ 当x＝x0时，用适合不等式P{Y0∈(G,H)}≥ 1-α的统计量G和H所确定的随机区间(G,H) 预测Y0的取值范围称为区间预测，而(G,H)称 为Y0的1-α预测区间。 若Y与样本中的各Y相互独立，则根据 Z＝Y0-(a+bx0)服从正态分布，E(Z)＝0， 2 1 ( x0 x ) 2 D( Z ) (1 ), n l xx SSE 及 2 ~ 2 ( n 2), Z与SSE相互独立，
Q 2 ˆ 是 的无偏估计。 n2
2
2. 总体中未知参数的估计 根据最小二乘法的要求由
Q Q 0, 0, 得 a b
n
2 [ y i (a bx i )] 0, i 1 n 2 [ y i (a bx i )] x i 0, i 1
(2)t检验法：
b ~ N ( ,
2
l xx
),
SSE
2
~ 2 (n 2),
当H0为真时，
l xx t b ~ T (n 2), SSE (n 2)
当|t|≥t1-0.5α(n-2)时应该放弃原假设H0。
根据x与Y的观测值的相关系数 (3)r检验法：
计量经济学讲义——线性回归模型的异方差问题1
Gleiser检验与Park检验存在同样的弱点。
(9.3) (9.4) (9.5)
9.4 异方差的诊断－方法4：怀特(White)检验法
Yi = B1 + B 2 X 2 i + B3 X 3 i + u i
2、做如下辅助回归： (9.6) (9.7)
1、首先用普通最小二乘法估计方程(9.6)，获得残差ei
E(Y|X)=α+β*X Y
＋u ＋u －u －u －u ＋u
0
同方差(homoscedasticity)
X 0
E(Y|X)=α+β*X
异方差(heteroscedasticity)
X
一元线性回归分析－回归的假定条件
假定5 无自相关假定，即两个误差项之间不相关。 Cov（ui,uj） = 0。
ui
9.2 异方差的性质
例9.1 美国创新研究：销售对研究与开发的影响 ^ R&D ＝ 266.2575 + 0.030878*Sales se＝(1002.963) (0.008347) t ＝(0.265471) (3.699508) p ＝(0.7940) R2 ＝ 0.461032 从回归结果可以看出： （1）随着销售额的增加，R&D也逐渐增加，即销售 额每增加一百万美元，研发相应的增加3.1 万美元。 （2）随着销售额的增加，R&D支出围绕样本回归线 的波动也逐渐变大，表现出异方差性。 (0.0019)
从统计学看线性回归（1）——一元线性回归
从统计学看线性回归（1）——⼀元线性回归⽬录1. ⼀元线性回归模型的数学形式2. 回归参数β0 , β1的估计3. 最⼩⼆乘估计的性质 线性性 ⽆偏性 最⼩⽅差性⼀、⼀元线性回归模型的数学形式 ⼀元线性回归是描述两个变量之间相关关系的最简单的回归模型。
⾃变量与因变量间的线性关系的数学结构通常⽤式（1）的形式：y = β0 + β1x + ε (1)其中两个变量y与x之间的关系⽤两部分描述。
⼀部分是由于x的变化引起y线性变化的部分，即β0+ β1x，另⼀部分是由其他⼀切随机因素引起的，记为ε。
该式确切的表达了变量x与y之间密切关系，但密切的程度⼜没有到x唯⼀确定y的这种特殊关系。
式（1）称为变量y对x的⼀元线性回归理论模型。
⼀般称y为被解释变量（因变量），x为解释变量（⾃变量），β0和β1是未知参数，成β0为回归常数，β1为回归系数。
ε表⽰其他随机因素的影响。
⼀般假定ε是不可观测的随机误差，它是⼀个随机变量，通常假定ε满⾜：（2）对式（1）两边求期望，得E(y) = β0 + β1x, （3）称式（3）为回归⽅程。
E(ε) = 0 可以理解为ε对 y 的总体影响期望为 0，也就是说在给定 x 下，由x确定的线性部分β0 + β1x 已经确定，现在只有ε对 y 产⽣影响，在 x = x0，ε = 0即除x以外其他⼀切因素对 y 的影响为0时，设 y = y0，经过多次采样，y 的值在 y0 上下波动（因为采样中ε不恒等于0），若 E(ε) = 0 则说明综合多次采样的结果，ε对 y 的综合影响为0，则可以很好的分析 x 对 y 的影响（因为其他⼀切因素的综合影响为0，但要保证样本量不能太少）；若 E(ε) = c ≠ 0，即ε对 y 的综合影响是⼀个不为0的常数，则E(y) = β0 + β1x + E(ε)，那么 E(ε) 这个常数可以直接被β0 捕获，从⽽变为公式（3）；若 E(ε) = 变量，则说明ε在不同的 x 下对 y 的影响不同，那么说明存在其他变量也对 y 有显著作⽤。
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2、相关分析测定相关程度和方向，回归分析用 回归模型进行预测和控制；
3、相关分析只有一个结果 rxy ryx ；而在回归 分析中，自变量与因变量互换可以拟合两个独立 的回归方程。
联系：
1、相关分析是回归分析的基础和前提； 2、回归分析是相关分析的继续和深化。
（3）程度 0<|r|<1表示存在不同程度线性相关： |r|≤0.3为不存在线性相关 0.3< |r| ≤ 0.5 为低度线性相关； 0.5＜ |r| ≤0.8为显著线性相关； |r| ＞0.8为高度线性相关。
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例：P254 某地区居民货币收入和社会商品零售额资料
如下，试计算其相关系数，并作相关判别？
单位：亿元
年份 居民货币收入 社会商品零售额
12345678
12 13 14 15 14 16 18 20 10 12 12 13 13 14 15 17
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(1)存储x：x 122,x2 1910
(2)存储y： y 106, y2 1436
(3)存储xy： xy 1655
项目管理硕士研究生基础学位课——《统计学》课件
第六章 相关与回归分析
2019/6/6
第六章 相关与回归分析
本章教学目的：相关分析是研究变量之间相互关
系的一种重要的统计方法，通过本章的学习，使 学生：了解相关分析的意义，相关的种类、回归 分析的概念，掌握相关系数的计算和简单线性回 归分析。
本章教学重点：相关分析、回归分析 本章教学难点：回归分析 本章教学学时：4学时
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第一节 相关分析的意义和内容
一、相关分析的涵义
（一）变量间依存关系 1.函数关系 存在严格的数量依存关系。 2.相关关系 存在不确定性的依存关系。
（二）相关分析 研究两个或两个以上变量之间的相关方向和相
关程度的统计分析方法。
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二、相关关系的种类
（一）按变量之间相关的程度 1、完全相关 如销售额与销售量之间的关系（价格不变） 2、完全不相关 注意：虚假相关。如天气与股票价格的关系 3、不完全相关 如居民的收入与支出水平
n xy x y
n x2 ( x)2 n y2 ( y)2
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令E(x) , D(x) 2 y a bx
则：E( y) a b, D( y) b2 2 E(xy) E(ax bx2 ) a b( 2 2 )
Cov(x, y) E(xy) E(x)E( y)
a b( 2 2 ) (a b) b 2
r Cov(x, y) b 2 D(x) D(y) b
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（二）性质：
（1）相关系数r的取值范围：-1≤r≤1
（2）方向、类别 r>0 为正相关，r < 0 为负相关； r=0 表示不存在线性关系； |r|＝1 表示完全线性相关；
一、回归分析的概念
指在相关分析的基础上，根据相关关系的数 量表达式（回归方程式）与给定的自变量x，揭示 因变量y在数量上的平均变化，并据以进行因变量 的估计或预测的统计分析方法。
二、相关分析与回归分析的关系
区别：
1、相关分析中x与y对等，回归分析中x与y
要确定自变量和因变量（随机变量）；
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2019/6/6
二、相关图
年维修费
1200
1000
800
600
400
200
使 用
0
年
0
2
4
6
8
10 限
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三、相关系数
（一）基本公式：最先由卡尔.皮尔逊提出衡量一元 线性相关的密切程度。
r
2 xy
x y
1 n
(x
Байду номын сангаас
x)(
y
y)
1 n
(
x
x)2
1 n
(
y
y)2
(4)求r：
r
n xy x y
n x2 ( x)2 n y2 ( y)2
8 1655-122 106
308
=
0.975
(81910-1222 )(81436-1062 ) 315.899
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2019/6/6
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第三节 回归分析
900—1000 0 0 0 0 1 0 0 1
800—900 0 0 0 1 0 1 0 2
700—800 0 0 1 0 2 0 0 3
600—700 0 0 1 1 0 0 0 2
500—600 1 1 0 0 0 0 0 2
400—500 1 0 0 0 0 0 0 1
合计
2 1 2 2 3 1 1 12
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（二）按相关关系涉及变量的多少 1、单相关：一个变量对另一个变量的相关关
系。 如只研究农物产量与施肥量间的关系。
2、复相关：一个变量对两个或多个变量的相 关关系，称复相关。
如研究农物产量与施肥量、降雨量间的关 系。
3、偏相关：一个变量与多个变量相关时，假 定其他变量不变，只研究其中两个变量之间的 相关关系，称偏相关。
均收入水平等。 2、负相关 如商品流转额与流通费用。
Y轴 Y轴
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X轴
强正相关
X轴
强负相关
第二节 线性相关的测定
一、相关表
（一）简单相关表
机床 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 使用年限 2 2 3 4 4 5 5 6 6 6 8
年维修费 400 540 520 640 740 600 800 700 760 900 840 用（元）
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（二）单变量分组相关表 使用年限 机床数(台) 平均维修费用
2
2
3
1
4
2
5
2
6
3
8
1
9
1
合计
12
470 520 690 700 787 840 1080 --
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(三)双变量分组相关表
年维修费用
机床使用年限(年)
合
（元） 2 3 4 5 6 8 9 计
1000—1100 0 0 0 0 0 0 1 1
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（三）按变量之间相关关系的表现形态 1、线性相关：两种变量之间大致呈线性关系。 2、非线性相关（或曲线相关）：两种变量之
间不呈线性关系，近似某种曲线方程的关系。
Y轴 Y轴
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X轴
强正相关
X轴
曲线相关
（四）对线性相关，按相关变量变化的方向 1、正相关 如工人工资与劳动生产率；人均消费水平与人